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TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DEL ORIENTE DEL ESTADO DE MÉXICO.

DIVISIÓN DE INGENIERÍA INDUSTRIAL.

ELABORACIÓN DE CUADERNILLO DE APUNTES: MATEMÁTICAS I (CÁLCULO DIFERENCIAL).

ELABORADO POR:

ING. OSCAR EDUARDO PEREZ GAONA. MAT.JORGE NIEVA GARCÍA

LOS REYES, LA PAZ, ESTADO DE MÉXICO. 2008.

GOBIERNO DEL ESTADO DE MÉXICO

INTRODUCCIÓN

PÁG

CAPÍTULO I

1.0 Los números reales 1 1.1 Tipos de números 1 1.2 Propiedades de los

números reales 3

1.3 Representación geométrica de los números reales 15

1.3.1 Intervalos 18 1.3.1.1 Intervalo Abierto 18 1.3.1.2 Intervalo Cerrado 19 1.3.1.3 Intervalo semi abierto por la

izquierda 19

1.3.1.4 Intervalo semi abierto por la derecha 20

1.4 Desigualdades 21 1.4.1 Desigualdades lineales 22 1.4.1 Desigualdades cuadráticas 33

Ejercicios I 38 1.5 Valor absoluto 39

Ejercicios II 49

CAPÍTULO II

2.0 Funciones 50 2.1 Gráfica de una función 51

2.1.1 Funciones constantes 52 2.1.2 Funciones lineales 53 2.1.3 Funciones cuadráticas 56 2.1.4 Funciones donde aparece la raíz

cuadrada 58

2.1.5 Funciones racionales 61 2.1.6 Funciones polinomiales 63

2.2 Funciones especiales 64 2.2.1 Función exponencial 64 2.2.2 Función logarítmica 66 2.2.3 Funciones trigonométricas 67

2.2.3.1 Función seno y coseno 67 2.2.3.2 Función tangente 69 2.2.3.3 Función secante 70 2.2.3.4 Función cosecante 70 2.2.3.5 Función cotangente 71

2.3 Función inversa 71 2.4 Operaciones con funciones 76

Ejercicios III 81

ÍNDICE

CAPÍTULO III

3.0 Límites 84 3.1 Definición 84 3.2 Teorema de los límites 84 3.3 Límite de una función 84 3.4 Límites directos 85 3.5 Límites no directos 85 3.6 Límites al infinito 87 3.7 Límites laterales 89 3.8 Continuidad de una función 95 3.9 Discontinuidad de una función 100

Ejercicios IV 102 Ejercicios V 104

CAPÍTULO IV

4.0 La derivada 105 4.1 Interpretación geométrica 105 4.2 Fórmulas de derivación 108

4.2.1 Reglas básicas para derivar 109 4.2.2 Reglas de la cadena 110 4.2.3 Derivación por producto 111 4.2.4 Derivación por cociente 113 4.2.5 Derivación de funciones

trigonométricas 115

4.2.6 Derivación de funciones logarítmicas 120

4.2.7 Derivación de funciones exponenciales 124

4.2.8 Derivación implícita 127 Ejercicios VI 130

CAPÍTULO V

5.0 Aplicaciones de la derivada 132 5.1 Recta tangente y normal. 132 5.2 Regla De´L Hopital 136

Ejercicios VII 136 Ejercicios VIII 139

5.3 Funciones crecientes y decrecientes 141 5.4 Máximos y mínimos (criterio de la

primera derivada) 142

Ejercicios IX 145

5.5 Concavidades, máximos y mínimos (criterio de la segunda derivada) 146

5.6 Puntos de Inflexión 149 5.7 Problemas de aplicación de la derivada

(máximos y mínimos) 156

Ejercicios X 156 Ejercicios XI 164

Bibliografía

Anexos: Soluciones de los Ejercicios

Apéndice I: Matemáticas fundamentales

Apéndice II: El uso del Software Derive

INTRODUCCIÓN.

A pesar de que las matemáticas son una de las asignaturas que deberían ser

prioritarias en la vida de los estudiantes, es en ésta donde se presenta el más alto

índice de reprobación y desesperación de los alumnos y autoridades por la

aparente dificultad en su aprendizaje. La asignatura de Matemática, cualquiera

que sea, se ha convertido en una fuerte causa de deserción escolar y un obstáculo

muy grande para que muchos de los alumnos no terminen sus estudios. A tal

grado que en muchas instituciones se ha pretendido poner en duda la utilidad de

las Matemáticas y se ha debatido acerca de si no sería mejor quitarla del

currículum escolar de las carreras. Se ha incluso sugerido en no desaparecerla,

pero sí reducirla lo más que se pueda; de modo que el problema se ha agravado

por dos motivos: en primer lugar, por ejemplo, en carreras como Contaduría se la

ha reducido a una absurda mezcolanza de temas, dando como resultado una gran

confusión de los alumnos… y de los maestros que la imparten. Y tienen toda la

razón: ¿Hacia dónde los lleva esa mezcla de cosas? ; en Biología no quieren

saber nada de Matemáticas; quizá sólo aquello que suene a diagramas de barras

y cálculo de promedios que les permita hacer una exposición “bonita” , pero inútil

con diapositivas , o a saber algunas extrañas formulitas para contar objetos.

Los ingenieros son los que “sospechan” de que quizá la Matemática es de

alguna manera útil y aguantan “estoicamente” todavía cursos más o menos

amplios de Cálculo Diferencial e Integral, e incluso otros cursos derivados del

mismo como Métodos Numéricos , Ecuaciones Diferenciales, Estadística y

Simulación, pero ante la terrible dificultad se preguntan si no todo ya lo pueden

hacer con algún programa de computadora. Desafortunadamente todavía las

máquinas no pueden formular modelos; quizás nos puedan ayudar a hacer

cálculos, a simular, pero no a formular el modelo sobre el cual vamos a estudiar a

un fenómeno. La razón es que la formulación de un modelo matemático consiste

en conectar lógica y correctamente varias ramas del saber como Física, Química,

Administración, Matemáticas, etc , y eso sólo lo podemos hacer los humanos, por

el momento; y suponemos que por mucho tiempo más.

El segundo problema que se deriva de no tener una buena formación

matemática es que nuestros alumnos sólo trabajarían al nivel de un técnico; no

estarían preparados para continuar estudios de mayor nivel o hacer análisis

expertos de las mediciones que tomen acerca del comportamiento de un sistema,

sobre todo en Ingeniería; ¡Imagínense que algunos de nuestros muchachos

pretendieran hacer estudios en robótica o teoría de máquinas; o teoría de códigos,

o que alguno de nuestros estudiantes de Contaduría de pronto se le ocurriera

abordar una maestría en Actuaría o Ingeniería Financiera!. No queremos ni

imaginarnos qué “análisis estadístico” haría un Ingeniero Ambiental acerca de la

cantidad de contaminantes o de si estaría preparado para llevar a cabo una

simulación del comportamiento de la cantidad de contaminantes , de su impacto y

de predecir hacia dónde va dicho fenómeno para hacer recomendaciones bien

fundamentadas a las autoridades para prevenirlo. En pocas palabras, no

debemos cortarles las alas a nuestros estudiantes; estamos convencidos de que

en una buena institución de educación superior como debe ser el TESOEM, los

jóvenes deben tener las herramientas necesarias que les permitan aspirar a más y

no quedarse sólo en el nivel de técnicos.

El presente trabajo es otro más de los miles de intentos que se han puesto

como propósito fundamental ayudar a “facilitar” el proceso enseñanza-aprendizaje

de la materia de MATEMÁTICAS I (CÁLCULO DIFERENCIAL) en el área de las

ingenierías. El mismo cubre temas básicos y se apega al programa de estudios

vigente con el fin de estandarizar nivel y conceptos en dicha asignatura; desde

luego, también representa el punto de vista de los autores acerca de la manera en

que se debe enseñar dicha asignatura, punto de vista derivado tanto de la

experiencia frente a los grupos que han tenido los autores, como de la formación

académica de los mismos. Dicho material puede ser empleado como un libro de

texto para estudiantes del nivel medio superior como de licenciatura,

especialmente en las áreas de ingenierías. Hemos procurado hacer un balance

equilibrado entre la formalidad y la confianza en la intuición de aquellas personas

interesadas en aprender esta materia.

Estamos convencidos en que la Matemática es una materia que debe

aprenderse con un esfuerzo continuo de los alumnos y de los profesores que la

imparten: unos dedicándose con esmero al estudio y los otros procurando en

repensar y actualizarse en aquello que enseñan ; los conceptos que se manejan

en un curso de Cálculo Diferencial definitivamente se pueden convertir en “muy

complicados” para aquellas personas que sólo pretendan aprenderse de memoria

ciertos procedimientos para salvar el curso; muy al contrario, tanto profesores

como alumnos deben evitar la mecanización y deben dar prioridad a la reflexión

acerca de cómo es que se llega a un resultado de manera correcta.

El estudio del Cálculo Diferencial e Integral es extremadamente importante

para las áreas teóricas y aplicadas. El Cálculo nació en el siglo XVI en Europa y

desde entonces se ha convertido en la herramienta o la llave hacia un progreso

continuo en esos países. No es ninguna casualidad el que Alemania, Inglaterra o

Francia sean líderes en la creación de tecnología desde aquellos tiempos, pues en

esos países es donde se creó el concepto de “el Cálculo”; y es que en esos

lugares se estudian con mucho cuidado diversas ramas de la Matemática, se las

comprende y se les aplica con mucho éxito. En América Latina y en otros lugares

obviamente rezagados todos tanto económica como culturalmente, si se implanta

el estudio de estas materias, se hace sin un cabal convencimiento del para qué y

se implantan sin método , ni filosofía; simplemente se incluyen porque han oído

que debe estar presente en el estudio de diversas carreras.

En esta obra ,el contenido de sus temas y sus aplicaciones pueden ser

bastante interesantes para los alumnos, sobre todo si los profesores están

capacitados para entender su propósito ( De hecho, los autores pretendemos

desarrollar cursos de capacitación para aquellos compañeros que no están

habituados a los métodos de razonamiento que se utilizan en Matemáticas);

pretendemos convencer a los alumnos y usuarios en general que no importa que

no sean matemáticos, sí es necesario que sepan aplicar el razonamiento

abstracto (simbólico); después de todo, no todo es sustancia , ni todo se puede

tocar para medirlo.

Tan sólo recuérdese que los astrónomos han tenido que calcular las distancias

de la Tierra a la Luna o a otros planetas y a otros lugares del espacio sin antes

poder estar ahí, a fin de colocar satélites para estudiar huracanes , recursos y

vigilar a los enemigos o aliados de sus países. Los griegos hace mucho tiempo

calculaban alturas de pirámides sin tener que medirlas, valiéndose sólo de la

sombra que proyectaban, y ellos fueron los maestros de la humanidad al introducir

el método de razonamiento a base de axiomas o suposiciones.

Los físicos han llegado a interesantes conclusiones acerca del átomo y de la

energía que desprenden los procesos atómicos sin antes tener ningún medio para

medir nada. Sólo a base de conectar muchas evidencias y hechos aparentemente

sin relación. La Teoría de la Relatividad es la obra más representativa a este

respecto: todo comenzó por el interés de Einstein por comprender qué le pasaría a

alguien que hipotéticamente se montara en un rayo de luz y pudiera viajar junto

con esta. Gauss, valiéndose de sólo algunas observaciones pudo calcular la órbita

que seguía el planetoide Ceres; o Newton mismo, el creador del Cálculo,

consultado por Edmund Halley se interesó por calcular la trayectoria que seguía

ese asteroide llamado “Halley”. Y lo hizo correctamente, dejando impresionado a

todo el Mundo civilizado en aquel tiempo ( y aún hoy nos impresiona enormemente

esa hazaña del pensamiento abstracto, fue algo extremadamente bello). Esto lo

decimos porque erróneamente- a nuestro parecer, andan circulando teorías

educativas “modernas” acerca de que el alumno a fuerza debe poder medir y

tocar para poder aprender y hacer posible que haga cesudos análisis de algo que

le interese. No estamos seguros siquiera que eso sea aplicable a un niño; para los

jóvenes universitarios es indispensable que sepan razonar bajo suposiciones, con

palabras como “…y si suponemos que…”. Nuestro punto de vista es que la

Humanidad ha creado métodos de razonamiento sumamente poderosos que

solamente son estudiados por gente de Matemáticas , Física o Filosofía, como el

método axiomático, pero que se desperdicia su potencial en otras áreas. Por eso

con el fin de promoverlo, incluimos en varias secciones un gran número de

ejemplos ilustrativos (resueltos paso a paso), donde se muestran las técnicas

matemáticas y de razonamiento aplicadas, teniendo siempre en cuenta que para

su comprensión se necesitará tener la paciencia adecuada…y profesores

preparados y dispuestos a ponerlo en práctica.

El desarrollo del presente material está diseñado en capítulos, mostrando

siempre al inicio el objetivo del mismo, el cual para su entendimiento se encuentra

de la siguiente manera:

En el capítulo I: Los números reales, tratamos las propiedades de los números

reales, haciendo especial énfasis en su uso para problemas de álgebra; en

particular las aplicamos en la resolución de desigualdades lineales, cuadráticas ,

racionales y con valor absoluto, donde a través de los diferentes teoremas se

tendrá un mejor entendimiento del mismo.

En el capítulo II: Funciones, describe brevemente lo que es una función, sus

principales elementos dominio y rango, las operaciones entre las funciones y

cómo calcularlos.

En el capítulo III: El Límite, se tienen los concepto del límite y continuidad de

una función, sus propiedades, el cálculo de límites indeterminados, en los que se

incluyen procesos algebraicos, en el cual el estudiante deberá contar con

conocimientos de álgebra para un mejor entendimiento.

En el capítulo IV: La derivada, se tiene el concepto de la derivada, su

representación geométrica, las reglas para derivas y como emplear cada una con

ejemplos prácticos.

En el último capítulo V: La aplicación de la derivada, se presentan s problemas

donde se aplican la derivada, como es el caso de las ecuaciones de la recta

tangente y normal de una función, regla de L´Hôpital, máximos y mínimos bajo el

criterio de la primera y segunda derivada, concavidades, puntos de inflexión y

problemas de optimización de recursos (casos prácticos),donde se muestra de

forma detallada el cómo se llegó al resultado.

Se contará con una serie de ejercicios para reforzar el conocimiento aprendido

al final de cada tema y sus soluciones se encuentran en el apartado de anexos,

esto queda en el entendido de cada capítulo. Además de cuenta con dos

apéndices.

El apéndice I, muestra un formulario y conocimientos matemáticos

fundamentales para el entendimiento del presente trabajo, donde el alumno y el

profesor podrán checar métodos de factorización, identidades trigonométricas,

leyes de los exponentes, etc.

El apéndice II, muestra el uso del programa Derive para la solución de

problemas matemáticos, aunque debemos advertir que el usos de un software

cambia muy rápidamente a los largo de sus diferentes versiones; contempla los

conocimientos básicos para el uso de este software.

Esperamos que la obra sea de gran utilidad para profesores y alumnos y que

sea un fuerte material de apoyo en el curso, en el cual creemos que favorecerá de

manera importante en un mejor desarrollo de los temas para el profesor en su

enseñanza y para un buen aprendizaje del alumno. También esperamos que este

material ayude a estandarizar los temas, terminología y conceptos sobre la

materia.

Objetivo: El estudiante aplicará las propiedades de los números reales en la resolución de desigualdades lineales, cuadráticas y de valor absoluto.

CAPÍTULO I: LOS NÚMEROS REALES.

1

Capítulo I: Los números reales

A1.0 NÚMEROS REALES

Todos los números racionales e irracionales forman el sistema de números reales. Las relaciones entre los tipos de números que se usan el álgebra se ilustran en el diagrama, donde una línea que enlaza dos rectángulos significa que los números del rectángulo más alto incluyen los de más abajo. Los números complejos, contienen a todos los números reales. En el diagrama 1 se muestra la clasificación de los números reales.

Diagrama1. Clasificación de los números reales1

Los números reales son cerrados respecto de la operación de adición (denotado por +); esto es, a todo par x, y de números reales corresponde exactamente un numero real 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦, llamado suma de 𝑥𝑥 y 𝑦𝑦. los números reales también son cerrados en relación con la multiplicación (dotada por *); o sea, a todo par 𝑥𝑥,𝑦𝑦 de números reales corresponde exactamente un numero real 𝑥𝑥 ∗ 𝑦𝑦 (también denotado por 𝑥𝑥𝑦𝑦 o bien 𝑥𝑥 ∗ 𝑦𝑦), denominado producto de 𝑥𝑥 y 𝑦𝑦.

1.1) Tipos de números2

a) Números naturales (“N” o ℕ): son los primeros números que utilizamos para contar los elementos de un conjunto, tales como; el número de alumnos del salón de clase, el número de libros que están sobre la mesa, etc., y lo denotamos por: ℕ =N = {1, 2, 3, 4, 5,…}

1 Earl W.Swokoswki y Jeffery A.Cole; Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica.Edit.Thompson, p.3. 2 M.En E.M.Encarnación Torres; Introducción al Cálculo Diferencial e Integral.Edit.Libudi, pag 1 a la 3.

Números Reales

Números racionales

Números Irracionales

Enteros

0 Enteros Positivos Enteros Negativos

2


Por otro lado, si resolvemos ecuaciones de la forma 𝑥𝑥 + 8 = 3, cuya solución es 𝑥𝑥 = −5, vemos que -5 no es un elemento del conjunto de los números naturales (-5 ∉ N). Por tanto tenemos otro sistema de números llamados:

b) Números enteros (“Z” o ℤ): El cual incluye además del conjunto de los números Naturales (N = Z+

Z = {…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,…}

Enteros positivos), a los números negativos y al cero:

Como en este sistema de números no es posible resolver ecuaciones de la forma 3𝑥𝑥 + 1 = 2 cuya solución es 𝑥𝑥 = 1

3� ∉ 𝑍𝑍 llamados cocientes (razones), formados por números enteros, se inventó otro sistema de números que los contenga, al que se ha llamado “números racionales”, los cuales se definen como:

c) Números racionales (“Q” o ℚ): El cual está formado por el cociente de números enteros, 3

4, 7

2,− 5

8,− 4

3; …, así como los números decimales con un

número finito de dígitos tales como 2.45 = 245100

, 2.36 = −−236100

; los decimales periódicos positivos y negativos con número no finito de dígitos.

13

= 0.33,− 26

= −0.33. Que designaremos por: q=Q= �𝑥𝑥�𝑥𝑥 = 𝑝𝑝𝑞𝑞

;𝑝𝑝, 𝑞𝑞 ∈ 𝑍𝑍, 𝑞𝑞 ≠ 0�.

Si resolvemos ecuaciones de forma 𝑥𝑥2 − 3 = 0; 𝑥𝑥 = √3 = 1.730508 … ∉ 𝑄𝑄 donde 1.730508 es un número decimal no periódico con un número no finito de dígitos. Estos números los consideramos como los:

d) Números irracionales (Q’ o ℚ𝑐𝑐 ).

Q’ = �√2,√3,𝜋𝜋 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡. 1400, 1.730508, 3.14159 … �

Observando la forma de cómo está la construcción de estos sistemas de números podemos decir que: N ⊂ Z ⊂ 𝑄𝑄 y los (Q’). A la unión de los NÚMEROS RACIONALES (Q) con los NÚMEROS IRRACIONALES (Q’) es lo que llamaremos el conjunto de NÚMEROS REALES. R= Q ∪ Q’ = (

-𝜋𝜋 -3 2� 3 2� 𝜋𝜋

-∞P, +∞ )

R …….-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ……..

Símbolos: ∈ “pertenencia” & ⊂ “Contencion” (subconjunto)

1 ∈ N; 1 elemento de N(1 pertenece a N)

3


-3 ∉ N; -3 no es elemento de N(-3 no pertenece a N)

N ⊂ Z Naturales Subconjunto de los números enteros.

Z ⊂ R Enteros Subconjunto de los números Reales.

1.2) Propiedades de campo de los números reales.

Cuando a este conjunto de símbolos que solemos llamar “Números reales” les adicionamos las operaciones de suma (+) y multiplicación (*) usuales creamos algo que se le llama CAMPO DE NÚMEROS REALES. Estas operaciones deben cumplir y de hecho están caracterizadas con las siguientes propiedades, las cuales mostramos en la tabla 1: donde a, b y c son números reales cualesquiera:

TABLA 1. Las propiedades de las operaciones con los números reales.

Terminología Caso General Significado

(1)La adición es conmutativa

𝑡𝑡 + 𝑏𝑏 = 𝑏𝑏 + 𝑡𝑡 3 + 4 = 4 + 3

7 = 7

El orden es intranscendente cuando se suman dos números. (El orden de los sumandos no altera la suma).

(2)La adición es asociativa

𝑡𝑡 + (𝑏𝑏 + 𝑐𝑐) = (𝑡𝑡 + 𝑏𝑏) + 𝑐𝑐 1 + (5 + 7) = (1 + 5) + 7

13 = 13

La agrupación es intrascendente cuando se suman tres dígitos.

(3) 0 es el neutro aditivo

𝑡𝑡 + 0 = 𝑡𝑡 12

+ 0 =12

Sumar 0 a cualquier cantidad produce la misma cantidad.

(4) -a es el inverso aditivo, o negativo, de a.

𝑡𝑡 + ( − 𝑡𝑡 ) = 0 43

+ �−43� = 0

0 = 0

Sumar una cifra y su inverso da 0.

(5) la multiplicación es conmutativa 𝑡𝑡 × 𝑏𝑏 = 𝑏𝑏 × 𝑡𝑡 2 × 3 = 3 × 2

6 = 6

El orden no tiene importancia al multiplicar dos números. (El orden de los factores no altera el producto).

(6) La multiplicación es asociativa

𝑡𝑡 × (𝑏𝑏 × 𝑐𝑐) = (𝑡𝑡 × 𝑏𝑏) × 𝑐𝑐 2 × (3 × 5) = (2 × 3) × 5

30 = 30

La agrupación carece de importancia al multiplicar tres cifras

(7) 1 es el neutro multiplicativo

𝑡𝑡 × 1 = 𝑡𝑡

312

× 1 = 312

Multiplicar cualquier número por 1 da el mismo número.

4


(8) Si a ≠ 0, 1𝑡𝑡 es el inverso

multiplicativo, o reciproco, de a.

𝑡𝑡 × �1𝑡𝑡� = 1

3 × �13� = 1

Multiplicar un número diferente de 0 por su reciproco da 1.

(9) La multiplicación es distributiva sobre la adición (10) La propiedad de cerradura

𝑡𝑡 × (𝑏𝑏 + 𝑐𝑐) = 𝑡𝑡 × 𝑏𝑏 + 𝑡𝑡 × 𝑐𝑐 (𝑡𝑡 + 𝑏𝑏) × 𝑐𝑐 = 𝑡𝑡 × 𝑐𝑐 + 𝑏𝑏 × 𝑐𝑐

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5 27 = 27

(3 + 4) × 5 = (3 × 5) + (4 × 5) 35 = 35

3𝑥𝑥4 = 12

3 + 4 = 7

Multiplicar un número y la suma de dos cifras equivale a multiplicar cada cifra por el número y luego sumar los resultados. Sumar o multiplicar a dos números reales dará siempre como resultado otro número real.

A las propiedades de ℝ enunciadas en la Tabla 1 se les denomina “propiedades de campo”, para distinguirlas de otros dos conjuntos de propiedades de este conjunto llamadas propiedades de orden y propiedades de continuidad de las cuales hablaremos más adelante. Las propiedades de campo nos indican a lo que tenemos derecho al estar haciendo operaciones con los elementos de ℝ, por eso es tan importante tener un buen conocimiento de ellas; porque de otro modo, su desconocimiento nos llevaría a cometer errores en el manejo de las expresiones algebraicas y con las operaciones en general que hagamos con los números, cosa que ocurre muy frecuentemente con los estudiantes. Así que no importa que el estudiante se dedique a la Biología, a la Contaduría o a la Ingeniería; debe dársele una introducción suficiente a este tema, a fin de evitarle penurias posteriores.

EJERCICIO: Determine el inverso aditivo y el inverso multiplicativo (recíproco) de los siguientes números o expresiones algebraicas (siga los ejemplos):

NÚMERO INV. ADITIVO INVERSO MULTIPLICATIVO

−8 8 1/8 3/5 -3/5 −5/3 𝜋𝜋 -𝜋𝜋 𝜋𝜋−1 1

𝑥𝑥 − 2

−1𝑥𝑥 − 2

𝑥𝑥 − 2

5


√2𝑥𝑥 + 1 −√2𝑥𝑥 + 1 1√2𝑥𝑥 + 1

3.5 1√2

1 − 3𝑥𝑥2 3𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥 + 1

0 No existe

Para que te des cuenta de cómo funcionan estas reglas, demostraremos algunas propiedades adicionales, que son consecuencia inmediata de los axiomas enumerados anteriormente:

TEOREMA 1. Para todo 𝑥𝑥 en ℝ, 𝑥𝑥 ∗ 0 = 0 = 0 ∗ 𝑥𝑥.

Demostración:

1.- 𝑥𝑥 ∗ 0 = 𝑥𝑥 ∗ 0 + 0…..neutro aditivo

2.- 𝑥𝑥 ∗ 0 + 0 = 𝑥𝑥 ∗ 0 + (𝑥𝑥 + (−𝑥𝑥))…….propiedad del inverso aditivo

3.- 𝑥𝑥 ∗ 0 + �𝑥𝑥 + (−𝑥𝑥)� = (𝑥𝑥 ∗ 0 + 𝑥𝑥) + (−𝑥𝑥)……prop. Asociativa

4.- (𝑥𝑥 ∗ 0 + 𝑥𝑥) + (−𝑥𝑥) = 𝑥𝑥(0 + 1) + (−𝑥𝑥)…….prop. distributiva

5.- 𝑥𝑥(0 + 1) + (−𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 + (−𝑥𝑥)………………neutro aditivo

6.- 𝑥𝑥 + (−𝑥𝑥) = 0……………………………..prop. del inverso aditivo.

Conclusión: 𝑥𝑥 ∗ 0 = 0. El hecho de que 𝑥𝑥 ∗ 0 = 0 ∗ 𝑥𝑥, se sigue de la propiedad distributiva.

Como te puedes dar cuenta, en cada paso escribimos la justificación (eso significa escribir la o las propiedades de los números reales que me permiten pasar de un punto a otro en la demostración). Una vez demostrado un resultado o teorema, podemos tener la confianza de utilizarlo en donde sea necesario; por ejemplo, en este caso, tú puedes decir con toda confianza que cualquier número multiplicado por cero, da como resultado cero.

6


Teorema 2.- Para todo x en ℝ, −𝒙𝒙 = (−𝟏𝟏)𝒙𝒙. Este teorema te está diciendo que cada vez que veas el símbolo – 𝑥𝑥, lo que quiere decir es que estás multiplicando a 𝑥𝑥 por el número -1, lo cual, entre otras cosas te permitirá factorizar a la 𝑥𝑥, en alguna expresión en donde aparezca.

Demostración.

La demostración usará el hecho de que el inverso aditivo −𝑥𝑥de un número 𝑥𝑥 es único. De este modo si lo que dice el teorema es cierto, entonces

𝑥𝑥 + (−1)𝑥𝑥 = 0

Lo cual es correcto, debido a que

1. 𝑥𝑥 + (−1)𝑥𝑥=x(1+(-1))….prop. distributiva. 2. 𝑥𝑥�1 + (−1)� = 𝑥𝑥(0)……prop.neutro aditivo 3. 𝑥𝑥(0) = 0………………..por teorema 1 que demostramos anteriormente.

Conclusión: Por la unicidad del inverso aditivo, se sigue que – 𝑥𝑥 = (−1)𝑥𝑥

Corolario1: Para 𝑥𝑥 y 𝑦𝑦 en ℝ 𝑥𝑥(−𝑦𝑦) = −(𝑥𝑥𝑦𝑦) = (−𝑥𝑥)𝑦𝑦.

Un corolario es un resultado que supuestamente debería de desprenderse de manera casi inmediata de algún teorema; en este caso el actual corolario debería ser consecuencia inmediata del resultado anterior. Veamos la demostración:

1. 𝑥𝑥(−𝑦𝑦) = 𝑥𝑥((−1)𝑦𝑦)……teorema 2 2. 𝑥𝑥(−1)(𝑦𝑦) = (−1)(𝑥𝑥𝑦𝑦)……prop. Asociativa 3. (−1)(𝑥𝑥𝑦𝑦) = −(𝑥𝑥𝑦𝑦)………teorema 2.

Hasta aquí, ya se ha demostrado la primera parte de la cadena de igualdades propuesta. Usted termine la demostración; todo lo que tiene que aplicar es la propiedad asociativa y el teorema 2.

No se olvide que en ℝ, solamente se han definido de entrada dos únicas operaciones que son la suma y la multiplicación. La resta y la división son dos operaciones derivadas a partir de estas. Este es el contenido de las siguientes definiciones:

7


Definición 1 ( La resta): Para todo 𝑥𝑥 y 𝑦𝑦 en ℝ, 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 + (−𝑦𝑦).

Lo que nos está diciendo esta definición es que le llamaremos “resta o sustracción x-y” a la suma de un número x con el inverso aditivo de otro número 𝑦𝑦

Definición 2 ( la división): Si 𝑥𝑥 y 𝑦𝑦 son dos números reales, se entenderá por división 𝑥𝑥

𝑦𝑦 a la multiplicación 𝑥𝑥𝑦𝑦−1; es decir a la multiplicación de 𝑥𝑥 con el

recíproco de y. Esta operación estará definida siempre y cuando el denominador 𝑦𝑦 sea distinto de cero.

Nota: Decimos que la división entre 0 no tiene sentido en nuestro sistema debido a que está en contradicción con la definición de recíproco de un número real; en efecto, suponiendo que existiera el recíproco 𝑥𝑥 de 0, debería de cumplir que 0 ∗ 𝑥𝑥−1 = 1; pero eso no puede ser posible, según el teorema 1, que indica que el producto de cualquier número por el 0 debe dar 0.

Entre otras reglas muy importantes para trabajar de manera correcta con los números reales o con expresiones algebraicas, consecuencia de los axiomas de campo, tenemos,

1. Regla de la suma de fracciones: 𝑡𝑡𝑏𝑏

+ 𝑐𝑐𝑑𝑑

= 𝑡𝑡𝑑𝑑+𝑏𝑏𝑐𝑐𝑏𝑏𝑑𝑑

, siempre que 𝑏𝑏 𝑦𝑦 𝑑𝑑 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑠𝑠𝑡𝑡𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡𝑑𝑑𝑠𝑠 𝑑𝑑𝑠𝑠 0.

Demostración:

1. 𝑡𝑡𝑏𝑏

+ 𝑐𝑐𝑑𝑑

= 𝑡𝑡𝑏𝑏−1 + 𝑐𝑐𝑑𝑑−1……..definición de división. 2. 𝑡𝑡𝑏𝑏−1 + 𝑐𝑐𝑑𝑑−1 = (𝑏𝑏𝑑𝑑)−1(𝑏𝑏𝑑𝑑)(𝑡𝑡𝑏𝑏−1 + 𝑐𝑐𝑑𝑑−1)…..prop. del inv.mtvo. 3. (𝑏𝑏𝑑𝑑)−1(𝑏𝑏𝑑𝑑)(𝑡𝑡𝑏𝑏−1 + 𝑐𝑐𝑑𝑑−1) = (𝑏𝑏𝑑𝑑)−1�(𝑏𝑏𝑑𝑑)(𝑡𝑡𝑏𝑏−1� + (𝑏𝑏𝑑𝑑)(𝑐𝑐𝑑𝑑−1))

.……prop. distributiva

4. (𝑏𝑏𝑑𝑑)−1�(𝑏𝑏𝑑𝑑)(𝑡𝑡𝑏𝑏−1� + (𝑏𝑏𝑑𝑑)(𝑐𝑐𝑑𝑑−1)) = (𝑏𝑏𝑑𝑑)−1(𝑡𝑡𝑑𝑑(𝑏𝑏𝑏𝑏−1) +𝑏𝑏𝑐𝑐(𝑑𝑑𝑑𝑑−1))………………prop. Asociativa

5. (𝑏𝑏𝑑𝑑)−1(𝑡𝑡𝑑𝑑(𝑏𝑏𝑏𝑏−1) + 𝑏𝑏𝑐𝑐(𝑑𝑑𝑑𝑑−1) = (𝑏𝑏𝑑𝑑)−1(𝑡𝑡𝑑𝑑 + 𝑏𝑏𝑐𝑐)….inv. adtvo. 6. (𝑏𝑏𝑑𝑑)−1(𝑡𝑡𝑑𝑑 + 𝑏𝑏𝑐𝑐) = 𝑡𝑡𝑑𝑑+𝑏𝑏𝑐𝑐

𝑏𝑏𝑑𝑑…….defn. de división.

8


Conclusión: 𝑡𝑡𝑏𝑏

+ 𝑐𝑐𝑑𝑑

= 𝑡𝑡𝑑𝑑+𝑏𝑏𝑐𝑐𝑏𝑏𝑑𝑑

.

En forma similar se pueden demostrar las siguientes propiedades:

2. �𝑡𝑡𝑏𝑏� �𝑐𝑐

𝑑𝑑� = 𝑡𝑡𝑐𝑐

𝑏𝑏𝑑𝑑………Regla de producto de fracciones.

3. �𝑡𝑡𝑏𝑏�

�𝑐𝑐𝑑𝑑�=𝑡𝑡𝑑𝑑𝑏𝑏𝑐𝑐

…………..Regla de la división ( O del sándwich: “pan con pan,

jamón con jamón…). 4.

𝑡𝑡𝑐𝑐𝑏𝑏𝑐𝑐

= 𝑡𝑡𝑏𝑏……….Regla de cancelación .

Definición 3. (raíz n-ésima de un número). En este curso, entenderemos a la raíz n-esima de un número como sigue: 𝑦𝑦 = √𝑥𝑥𝑡𝑡 𝑠𝑠í 𝑦𝑦 𝑠𝑠ó𝑙𝑙𝑑𝑑 𝑠𝑠𝑑𝑑 𝑦𝑦𝑡𝑡 = 𝑥𝑥. Aún más, modernamente se maneja la notación:

√𝑥𝑥𝑡𝑡 = �𝑥𝑥

1𝑡𝑡 , 𝑠𝑠𝑑𝑑 𝑡𝑡 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑑𝑑𝑖𝑖𝑝𝑝𝑡𝑡𝑖𝑖,

𝑥𝑥1𝑡𝑡 , 𝑠𝑠𝑑𝑑 𝑡𝑡 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑝𝑝𝑡𝑡𝑖𝑖 𝑦𝑦 𝑥𝑥 ≥ 0,

𝑡𝑡𝑑𝑑 𝑖𝑖𝑠𝑠𝑡𝑡𝑙𝑙, 𝑠𝑠𝑑𝑑 𝑡𝑡 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑝𝑝𝑡𝑡𝑖𝑖 𝑦𝑦 𝑥𝑥 < 0

�

Y debe entender que por el momento sólo nos queda manejar de manera formal a la regla de los exponentes (convencional, suponiendo que las operaciones involucradas siempre dan lugar a un número real ). Dichas reglas indican:

REGLA DE LOS EXPONENTES:

1. 𝑥𝑥𝑖𝑖 ∗ 𝑥𝑥𝑡𝑡 = 𝑥𝑥𝑖𝑖+𝑡𝑡

2. 𝑥𝑥𝑖𝑖

𝑥𝑥𝑡𝑡= 𝑥𝑥𝑖𝑖−𝑡𝑡

3. √𝑥𝑥𝑖𝑖𝑡𝑡 =𝑥𝑥𝑖𝑖𝑡𝑡

De estas se desprenden otras que aparecen frecuentemente ; como por ejemplo:

9


4. 𝑥𝑥−𝑖𝑖 = 1𝑥𝑥𝑖𝑖

5. 𝑥𝑥0 = 1, 𝑠𝑠𝑑𝑑𝑠𝑠𝑖𝑖𝑝𝑝𝑖𝑖𝑠𝑠 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑠𝑠 𝑥𝑥 ≠ 0 6. 𝑥𝑥1 = 𝑥𝑥 7.

Ejemplos.

A fin de que memorices y comprendas las propiedades de los números reales, te proponemos los siguientes ejemplos y ejercicios:

1. Resolver la ecuación propuesta. En cada paso justificar sus pasos, escribiendo la o las propiedades que vaya usando:

(a) 3x+1=8

Solución.

1. 3𝑥𝑥 + 1 = 8……………….propuesta 2. 3𝑥𝑥 + 1 + (−1) = 8 + (−1)sumé el inv. Aditivo de 1 a cada lado de la ec. 3. 3𝑥𝑥 + 0 =7………………prop. Inv. Aditivo y asociatividad. 4. 3𝑥𝑥 = 7………………..prop. neutro aditivo y cerradura. 5. 3𝑥𝑥(3−1) = 7(3−1) ….multipliqué por en inv. Mtvo de 3 a ambos lados de

la ec. 6. 𝑥𝑥(1) = 7/3………..inv. mtvo y defn. de división. 7. 𝑥𝑥 = 7/3…………….prop. neutro mtvo.

Conclusión: 𝑥𝑥 = 73

(b) 𝑅𝑅𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑙𝑙𝑅𝑅𝑠𝑠𝑖𝑖 4 − 6(2 − 3𝑥𝑥) = 5

Solución.

1. 4 − 6(2− 3𝑥𝑥) = 5………..propuesta 2. 4 − 12 + 18𝑥𝑥 = 5……………..regla distributiva y cerradura 3. −8 + 18𝑥𝑥 = 5………………….asociativa 4. −8 + 8 + 18𝑥𝑥 = 5 + 8…………sumé el inv. adtvo de 8 aambos lados de

la ecuación. 5. 0 + 18𝑥𝑥 = 13………………….asociatividad y prop. del inv. Aditivo 6. 18𝑥𝑥 = 13…………………….prop. neutro adtvo. 7. 18𝑥𝑥(18−1) = 13(18−1)………multipliqué por inv. mtvo de 18

10


8. 𝑥𝑥(1) = 13/18………………….inv. mtvo, asociatividad, conmutatividad. 9. 𝑥𝑥 = 13/18…………………….neutro mtvo.

Conclusión: 𝑥𝑥 = 13/18

(c) Resolver 6−5𝑥𝑥3𝑥𝑥−1

= 5𝑥𝑥 − 3

Solución:

1. 6−5𝑥𝑥3𝑥𝑥−1

= 5…………….propuesta

2. 6−5𝑥𝑥3𝑥𝑥−1

(3𝑥𝑥 − 1) = 5(3𝑥𝑥 − 1)…….multipliqué por el inv. mtvo de 13𝑥𝑥−1

a

ambos lados de la ecuación 3. (6 − 5𝑥𝑥)(1) = (5)(3𝑥𝑥 − 1)…………………prop. Inv. mtvo 4. 6 − 5𝑥𝑥 = 15𝑥𝑥 -5…… ……..prop. neutro mtvo y regla distributiva 5. (6−5x)+(-(6-5x))=15𝑥𝑥 − 5 + (−(6− 5𝑥𝑥))…….sumé inv adtvo de 6 − 5𝑥𝑥 a

ambos lados de la ec. 6. 0 = 10𝑥𝑥 − 11…………………………asociatividad 7. 0 + 11 = 10𝑥𝑥-11+11………………………sumé a ambos lados inv adtvo de

−11 8. 11 = 10𝑥𝑥…………………………….neutro adtvo 9. 11

10= 10𝑥𝑥(10)−1……………………..multipliqué a ambos lados por inv mtvo

de 10. 10. 11

10= 𝑥𝑥(1)…………………………prop. Inv. mtvo

11. 1110

= 𝑥𝑥……………………………prop. Neutro mtvo.

Conclusión: 1110

= 𝑥𝑥

Con estos ejemplos deseamos que te quede claro cómo es que las reglas de los números reales nos permiten resolver problemas algebraicos de manera totalmente justificada y sin tropiezos; aunque al principio parece difícil, la práctica continua permite habituarse a este tipo de razonamiento, en vez del tradicional, que puede provocar serias confusiones a los estudiantes.

Cabe señalar que la lógica permite usar de diversos modos a las propiedades de campo, de tal modo que otra persona puede ocurrírsele resolver el mismo

11


problema de otra manera y en forma completamente válida, llegando al mismo resultado (siempre y cuando use de manera adecuada a las propiedades).

Otro tipo de ejemplos son aquellos en donde debes simplificar una expresión algebraica; por ejemplo:

1. Simplifique 1√𝑥𝑥

+ √𝑥𝑥3

.

Solución.

1. 1√𝑥𝑥

+ √𝑥𝑥3

……………propuesto

2. 1√𝑥𝑥

+ √𝑥𝑥3

= 3+�√𝑥𝑥�(√𝑥𝑥)3√𝑥𝑥

…..regla de la suma de fracciones

3. 3+�√𝑥𝑥�(√𝑥𝑥)

3√𝑥𝑥= 3+𝑥𝑥

3√𝑥𝑥……….Reglas de los exponentes.

2 .2�√3𝑥𝑥+1�−(1−4𝑥𝑥)

√3𝑥𝑥+1( √3𝑥𝑥+1 )2

Solución:

.2�√3𝑥𝑥+1�−(1−4𝑥𝑥)

√3𝑥𝑥+1( √3𝑥𝑥+1 )2 =

2√3𝑥𝑥+1√3𝑥𝑥+1−(1−4𝑥𝑥)√3𝑥𝑥+1

( √3𝑥𝑥+1 )2 = 2(3𝑥𝑥+1)−(1−4𝑥𝑥)( √3𝑥𝑥+1 )2√3𝑥𝑥+1

=2(3𝑥𝑥+1)−(1−4𝑥𝑥)( √3𝑥𝑥+1 )3

Suma de fracciones Regla del sándwich Regla de los exponentes

Y regla de los exponentes

=6𝑥𝑥+2−1+4𝑥𝑥( √3𝑥𝑥+1 )3 = 10𝑥𝑥+1

(3𝑥𝑥+1)3/2.

Regla distributiva y regla de los exponentes

12


Es necesario que los alumnos sean capaces de simplificar una expresión a fin de poder usar dicha expresión en otros cálculos; por ejemplo al calcular máximos y mínimos de una función es común este tipo de ejercicio.

Para finalizar la exposición de cómo usar las propiedades de los números reales para llevar a cabo con seguridad cálculos algebraicos, expondremos la deducción de la fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas:

Teorema. (Fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas).Las dos raíces de la ecuación cuadrática general 𝐴𝐴𝑥𝑥2 + 𝐵𝐵𝑥𝑥 + 𝐶𝐶 = 0, donde 𝐴𝐴 ≠ 0, vienen

dadas por −𝐵𝐵±√𝐵𝐵2−4𝐴𝐴𝐶𝐶

2𝐴𝐴.

Demostración.

1. 𝐴𝐴𝑥𝑥2 + 𝐵𝐵𝑥𝑥 + 𝐶𝐶 = 0 2. 𝐴𝐴𝑥𝑥2 + 𝐵𝐵𝑥𝑥 + 𝐶𝐶 + (−𝐶𝐶) = 0 + (−𝐶𝐶)……sumé el inv. adtvo de C a ambos

lados de la ec. 3. 𝐴𝐴𝑥𝑥2 + 𝐵𝐵𝑥𝑥 + 0 = 0 + (−𝐶𝐶)…………….prop. del inv. adtvo 4. 𝑥𝑥2 + 𝐵𝐵

𝐴𝐴𝑥𝑥 = −𝐶𝐶

𝐴𝐴…………………prop. Neutro aditivo. División entre A

5. 𝑥𝑥2 + 𝐵𝐵𝐴𝐴𝑥𝑥 + 𝐵𝐵2

4𝐴𝐴2 = (− 𝑐𝑐𝐴𝐴

) + 𝐵𝐵2

4𝐴𝐴2……..completando trinomio cuadrado

perfecto

6. ( 𝑥𝑥 + 𝐵𝐵2𝐴𝐴

)2 = (− 𝑐𝑐𝐴𝐴) + 𝐵𝐵2

4𝐴𝐴2…………..escribiendo el binomio cuadrado

7. ( 𝑥𝑥 + 𝐵𝐵2𝐴𝐴

)2 = 𝐵𝐵2−4𝐴𝐴𝐶𝐶4𝐴𝐴2 ……………..regla de suma de fracciones

8. 𝑥𝑥 + 𝐵𝐵2𝐴𝐴

= �𝐵𝐵2−4𝐴𝐴𝐶𝐶4𝐴𝐴2 = √𝐵𝐵2−4𝐴𝐴𝐶𝐶

2𝐴𝐴…..Definición de raíz cuadrada

9. 𝑥𝑥 = −𝐵𝐵±√𝐵𝐵2−4𝐴𝐴𝐶𝐶2𝐴𝐴

………….sumé el inverso aditivo de 𝐵𝐵

2𝐴𝐴

La demostración de esta fórmula nos permitirá usarla de aquí en adelante.

Nota: Debe saber que si el número dentro del radical es negativo, se dirá en este curso que no hay solución real.

EJERCICIOS. Resolver las siguientes ecuaciones:

(a) 3𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 − 1 = 0.

Solución. En este caso A=3; B=2; C=-1

13


Sustituyendo en la fórmula general:

𝑥𝑥 = −2±�22−4(3)(−1)2(3)

=−2±√4+126

= −2±46

= �26−1

�= �13−1

�

En este caso decimos que estos son los números en donde se intersecta la gráfica de 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 3𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 − 1, con el eje X, como se ve en la figura

(b) 5𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 + 3 = 0. Solución: En este caso:

𝐴𝐴 = 5; 𝐵𝐵 = 2; 𝐶𝐶 = 3

𝑥𝑥 = −2±�4−4(5)(3)2(5)

= −2±√−6610

. En este caso se dice que no existe solución

real. Geométricamente esto significa que no existe intersección de la gráfica de 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 3𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 + 3 con el eje X. Observar la gráfica.

-2 -1 1 2

2.5

5

7.5

10

12.5

15

14


EJERCICIOS 1. Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas.

1. 5𝑥𝑥2 − 3𝑥𝑥 + 4 = 0 2. −2𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥 = 6𝑥𝑥2 − 3𝑥𝑥

3. 4−2𝑥𝑥5−𝑥𝑥

= 𝑥𝑥3−2𝑥𝑥

4. 2

3−5𝑥𝑥2 = 5 5. 𝑥𝑥(3 − 2𝑥𝑥) + 4 = 6 + 3(5 − 3𝑥𝑥2)

Ejercicios 2. Haga las siguientes demostraciones:

1. Probar que −0 = 0 2. Probar que – 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = −(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) 3. Probar que si 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 + 𝑧𝑧, 𝑠𝑠𝑡𝑡𝑡𝑡𝑑𝑑𝑡𝑡𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑦𝑦 = 𝑧𝑧. A esta regla se le llama

“Regla de cancelación para la adición”. 4. Probar que 𝑥𝑥 − (𝑦𝑦 − 𝑧𝑧) = (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦) + 𝑧𝑧. 5. Probar que 1−1 = 1. 6. Probar que si 𝑥𝑥𝑦𝑦 = 0, 𝑠𝑠𝑡𝑡𝑡𝑡𝑑𝑑𝑡𝑡𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 = 0, 𝑑𝑑 𝑏𝑏𝑑𝑑𝑠𝑠𝑡𝑡 𝑦𝑦 = 0. 7. Probar que si 𝑥𝑥𝑦𝑦 ≠ 0, 𝑠𝑠𝑡𝑡𝑡𝑡𝑑𝑑𝑡𝑡𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠 (𝑥𝑥𝑦𝑦)−1 = 𝑥𝑥−1𝑦𝑦−1. 8. Probar que 𝑥𝑥 ≠ 0, 𝑠𝑠𝑡𝑡𝑡𝑡𝑑𝑑𝑡𝑡𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠 (𝑥𝑥−1)−1 = 𝑥𝑥. 9. Probar que si 𝑥𝑥𝑦𝑦 = 𝑥𝑥𝑧𝑧 𝑦𝑦 𝑥𝑥 ≠ 0, 𝑠𝑠𝑡𝑡𝑡𝑡𝑑𝑑𝑡𝑡𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑦𝑦 = 𝑧𝑧. A esta regla se le conoce

como regla de cancelación para la multiplicación.

15

Capítulo II: Funciones

1.3) Representación geométrica de los números reales.

Es necesario que los alumnos antes tengan un repaso de la teoría básica de conjuntos y sobre todo de las operaciones que podemos llevar a cabo con ellos y su significado. Esta teoría es muy importante, porque las soluciones de un problema matemático en general forman conjuntos.

1.3.0. Elementos de la teoría de conjuntos.

En realidad el concepto de conjunto no es definible; sin embargo, intuitivamente lo podemos concebir como una colección de objetos que se pueden agrupar gracias a que satisfacen una descripción común.

CONJUNTO. Colección de objetos que tienen una propiedad o propiedades en común.

Para describir a los elementos de un conjunto lo podemos hacer de dos maneras:

• Forma Enumerativa: Entre llaves y separados por comas escribimos a cada uno de los elementos del conjunto. Por ejemplo:

a) 𝐴𝐴 = {2,4,6,8,10} b) B={𝑀𝑀é𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥,𝐻𝐻𝑥𝑥𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻,𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑥𝑥𝑥𝑥𝐵𝐵,𝑁𝑁𝑥𝑥𝑥𝑥𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝑁𝑁𝐻𝐻𝐻𝐻,𝑃𝑃𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝑃𝑃á, … }

Usaremos esta forma cuando los elementos sean a nuestro juicio pocos como para escribirlos todos; o bien cuando citando a unos cuántos, se sobreentienda qué elementos forman al conjunto.

• Forma Descriptiva: En este caso, escribimos entre llaves las propiedades que satisfacen los elementos que deban estar en dicho conjunto. Por ejemplo:

a) 𝐴𝐴 = {𝑥𝑥 ∈ ℕ| 𝑥𝑥 𝐻𝐻𝐵𝐵𝐻𝐻 𝐻𝐻𝐻𝐻 𝐻𝐻ú𝑃𝑃𝐵𝐵𝐻𝐻𝑥𝑥 𝑝𝑝𝐻𝐻𝐻𝐻} b) 𝐴𝐴 = {𝑥𝑥 ∈ ℕ|𝑥𝑥 𝐻𝐻𝐵𝐵𝐻𝐻 𝐻𝐻𝐻𝐻 𝐻𝐻ú𝑃𝑃𝐵𝐵𝐻𝐻𝑥𝑥 𝑝𝑝𝐻𝐻𝑥𝑥𝑃𝑃𝑥𝑥 𝑦𝑦 11 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 270}

Es evidente que usaremos esta forma cuando los elementos sean demasiados como para enumerarlos; o aún imposible de hacer.

CONJUNTOS ESPECIALES. Dos conjuntos que tiene especial importancia debido a que en base a ellos se definen ciertas propiedades y operaciones entre conjuntos son el conjunto universal , al cual denotaremos como U es el que contiene a todos los elementos posibles que podrían interesar en un estudio;

16


mientras que el conjunto vacío , denotado por ∅ es el conjunto que no contiene a ningún elemento.

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS. Dados dos conjuntos A y B, podemos unirlos 𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵, intersectarlos 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵, obtener su diferencia 𝐴𝐴 − 𝐵𝐵 y calcular su complemento 𝐴𝐴𝑥𝑥 . A estas operaciones les corresponden las siguientes definiciones.

𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵 = {𝑥𝑥 ∈ 𝑈𝑈| 𝑥𝑥 ∈ 𝐴𝐴 ó 𝑥𝑥 ∈ 𝐵𝐵}

En donde la “ó” , significa “x cumple al menos una de las condiciones para estar en A ó en B”.

𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 = {𝑥𝑥 ∈ 𝑈𝑈|𝑥𝑥 ∈ 𝐴𝐴 ý 𝑥𝑥 ∈ 𝐵𝐵}

Lo cual quiere decir que la intersección se forma con todos aquellos elementos que cumplen juntas las condiciones que describen a los conjuntos A y B. En otras palabras, 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵, es el conjunto formado por los elementos que comparten A con B.

𝐴𝐴 − 𝐵𝐵 = {𝑥𝑥 ∈ 𝑈𝑈|𝑥𝑥 ∈ 𝐴𝐴 ý 𝑥𝑥 ∉ 𝐵𝐵}

Lo cual quiere decir que en la diferencia de A-B, incluiremos aquellos elementos que exclusivamente se encuentren en el conjunto A, pero no en B.

Por último, el conjunto complemento de A, se define como:

𝐴𝐴𝑥𝑥 = {𝑥𝑥 ∈ 𝑈𝑈|𝑥𝑥 ∉ 𝐴𝐴}

Que significa que el complemento de un conjunto es aquel que se obtiene al extraer del conjunto universal a todos los elementos del conjunto A.

EJEMPLO. Obtener lo que se pide.

Suponga que 𝑈𝑈 = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

𝐴𝐴 = {2,4,6,8,7}

𝐵𝐵 = {1,4,7,6}

𝐶𝐶 = {1,4,6,9}

Obtener:

17


a) 𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵 = 𝐸𝐸𝐵𝐵𝐵𝐵𝑃𝑃𝐵𝐵𝐻𝐻𝐸𝐸𝑥𝑥𝐻𝐻 𝑞𝑞𝐻𝐻𝐵𝐵 𝐵𝐵𝐻𝐻𝐸𝐸á𝐻𝐻 𝐵𝐵𝐻𝐻 𝐻𝐻𝐵𝐵 𝑃𝑃𝐵𝐵𝐻𝐻𝑥𝑥𝐻𝐻 𝐻𝐻𝐻𝐻𝑥𝑥 𝐻𝐻𝐵𝐵 𝐵𝐵𝑥𝑥𝐻𝐻 𝑥𝑥𝑥𝑥𝐻𝐻𝑐𝑐𝐻𝐻𝐻𝐻𝐸𝐸𝑥𝑥𝐻𝐻 𝐻𝐻 𝑥𝑥 𝐵𝐵 ={1,2,4,6,7,8}

b) 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 = 𝐸𝐸𝐵𝐵𝐵𝐵𝑃𝑃𝐵𝐵𝐻𝐻𝐸𝐸𝑥𝑥𝐻𝐻 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑃𝑃𝑝𝑝𝐻𝐻𝐻𝐻𝐸𝐸𝑥𝑥𝐻𝐻𝑥𝑥𝐻𝐻 𝑝𝑝𝑥𝑥𝐻𝐻 𝐴𝐴 𝑦𝑦 𝐵𝐵 = {4,6,7} c) 𝐴𝐴𝑥𝑥 = 𝐸𝐸𝐵𝐵𝐵𝐵𝑃𝑃𝐵𝐵𝐻𝐻𝐸𝐸𝑥𝑥𝐻𝐻 𝐻𝐻𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐻𝐻𝐻𝐻𝑥𝑥𝑢𝑢𝐵𝐵𝐻𝐻𝐻𝐻𝑥𝑥 𝐻𝐻𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥𝐻𝐻𝐸𝐸𝐵𝐵𝐻𝐻𝑥𝑥𝐻𝐻𝑥𝑥𝐻𝐻 𝐵𝐵𝐻𝐻 𝐴𝐴 = {1,3,5,9} d) 𝐴𝐴 − 𝐶𝐶 = 𝐸𝐸𝐵𝐵𝐵𝐵𝑃𝑃𝐵𝐵𝐻𝐻𝐸𝐸𝑥𝑥𝐻𝐻 𝑞𝑞𝐻𝐻𝐵𝐵 𝐵𝐵𝑥𝑥𝑥𝑥𝐵𝐵𝐻𝐻𝐻𝐻𝑥𝑥𝑢𝑢𝐻𝐻𝑃𝑃𝐵𝐵𝐻𝐻𝐸𝐸𝐵𝐵 𝐵𝐵𝐻𝐻𝐸𝐸é𝐻𝐻 𝐵𝐵𝐻𝐻 𝐴𝐴, 𝑝𝑝𝐵𝐵𝐻𝐻𝑥𝑥 𝐻𝐻𝑥𝑥 𝐵𝐵𝐻𝐻 𝐵𝐵 = {2,8,7} e) (𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵𝐶𝐶) ∪ 𝐶𝐶. En este caso debemos hacer por partes el cálculo; es decir,

paso a paso: 𝐵𝐵𝑥𝑥 = {2,3,5,8,9} 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵𝑥𝑥 = {2,8} (𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵𝐶𝐶) ∪ 𝐶𝐶 = {1,2,4,6,8,9} EJERCICIOS. Dado 𝑈𝑈 = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11} 𝐴𝐴 = {2,5,7,9,10} 𝐵𝐵 = {1,4,5,6,9} 𝐶𝐶 = {2,5,6,8,9}

Calcular (a) 𝐴𝐴𝑥𝑥 (b) (𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵) ∪ 𝐶𝐶 (c)(𝐴𝐴 − 𝐵𝐵𝑥𝑥) ∪ 𝐶𝐶

PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON CONJUNTOS.

Entre las propiedades más usuales de los conjuntos, podemos hallar a las siguientes:

1. Cerradura. Dados dos conjuntos A y B, la unión o la intersección de ellos da lugar a otro conjunto.

Comentario: Esta regla es muy sutil, indica entre otras cosas que es incorrecto escribir ; por ejemplo {1,2,3} ∩ {2,5,7} = 1, porque el número 1 no es un conjunto.

Además, también significa que aún cuando las reglas a menudo están escritas aparentemente para dos conjuntos las cadenas de operaciones con conjuntos deben pensarse en realidad como un solo símbolo.

2. Conmutatividad. El orden en que sean dispuestos los conjuntos en una operación de unión o intersección no importa , el resultado debe ser el mismo;es decir: 𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵 = 𝐵𝐵 ∪ 𝐴𝐴 y 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 = 𝐵𝐵 ∩ 𝐴𝐴

3. Distributividad. Indica que 𝐴𝐴 ∩ (𝐵𝐵 ∪ 𝐶𝐶) = (𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵) ∪ (𝐴𝐴 ∩ 𝐶𝐶) 4. Asociatividad. 𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵 ∪ 𝐶𝐶 = (𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵) ∪ 𝐶𝐶 = 𝐴𝐴 ∪ (𝐵𝐵 ∪ 𝐶𝐶)

𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 ∩ 𝐶𝐶 = (𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵) ∩ 𝐶𝐶 = 𝐴𝐴 ∩ (𝐵𝐵 ∩ 𝐶𝐶) . Esta propiedad indica que para hacer una operación en donde intervengan más de dos conjuntos, esta se haga por parejas, no importando el orden en el cual se asocien.

18


( ) a b

o o

0 1 2 3 -3 -2 -1 -∞ ∞+

o o

5. Reglas de Complementos. (𝐴𝐴𝑥𝑥)𝑥𝑥 = 𝐴𝐴

𝑈𝑈𝑥𝑥 = ∅ ∅𝑥𝑥 = 𝑈𝑈

6. Reglas de De Morgan.

(A ∪ B)c = Ac ∩ Bc

(A ∩ B)c = Ac ∪ Bc

Estas reglas son suficientes para trabajar en este curso. Ellas son fundamentales para trabajar con desigualdades.

1.3.1) Intervalos4

Al conjunto de todos los valores que puede tener una variable comprendida entre dos puntos diferentes de una recta real se le denomina intervalo. Hay varios tipos de intervalos:

Definición 1.

1.3.1.1) Intervalo abierto.

Sean a y b dos números reales tales que a<b cuando un número 𝑥𝑥 se ubica entre a y b, de tal modo que: 𝐻𝐻 < 𝑥𝑥 y 𝑥𝑥 < 𝑏𝑏, se escribe: 𝒂𝒂 < 𝑥𝑥 < 𝑏𝑏. Gráficamente:

(a, b) = {𝑥𝑥|−1 < 𝑥𝑥 < 3}

Nota1: El intervalo abierto (𝐻𝐻, 𝑏𝑏), también puede ser representado por ]𝐻𝐻, 𝑏𝑏[. El intervalo abierto no incluye sus extremos.

Ejemplo:

(−2,3) = {𝑥𝑥|−1 < 𝑥𝑥 < 3}

4 Aranda García Pedro “et-al”;Matemáticas II. Edit:IPN, pag158-159.

[Escriba una cita

< X <

19


[ � � ]

a b

0 1 2 3 -3 -2 -1 -∞ ∞+ -4 -5 4

( � ]

a b

o

0 1 2 3 -3 -2 -1 -∞ ∞+ -4 -5 4

o

1.3.1.2) Intervalo Cerrado.

El intervalo cerrado de a hasta b, es el intervalo abierto (𝐻𝐻, 𝑏𝑏), incluyendo los puntos extremos de a y b, y se simboliza por [𝐻𝐻, 𝑏𝑏], donde a y b son número reales. Gráficamente:

[𝐻𝐻, 𝑏𝑏] = {𝑥𝑥|𝐻𝐻 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝑏𝑏}

Nota2: El intervalo cerrado [a,b], incluye a sus extremos.

Ejemplo:

[−5,4] = {𝑥𝑥│ − 5 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 4}

1.3.1.3)Intervalo Semi-abierto por la izquierda.

Es el intervalo (𝐻𝐻, 𝑏𝑏), incluyendo el punto extremo de b, donde a y b son número reales, se representa de la siguiente forma (a,b]. Gráficamente:

(𝐻𝐻, 𝑏𝑏]� = {𝑥𝑥|𝐻𝐻 < 𝑥𝑥 ≤ 𝑏𝑏}

Nota3: El intervalo semi-abierto por la izquierda (a,b],no incluye al extremo de a, pero si incluye a su extremo b.

Ejemplo:

(−2,1] = {𝑥𝑥│ − 2 < 𝑥𝑥 ≤ 1}

[Escriba una cita

≤ X ≤

[Escriba una cita

< X ≤

20


� ) a

[ � o

b

0 1 2 3 -3 -2 -1 -∞ ∞+ -4 -5 4

o

1.3.1.4)Intervalo Semi-abierto por la derecha.

Se define en forma análoga y se denota por [𝐻𝐻, 𝑏𝑏) �. Donde incluye el punto extremo de a, donde a y b son número reales. Gráficamente:

≤ 𝑥𝑥 <

[𝐻𝐻, 𝑏𝑏) � = {𝑥𝑥|𝐻𝐻 ≤ 𝑥𝑥 < 𝑏𝑏}

Nota3: El intervalo semi-abierto por la derecha [𝐻𝐻, 𝑏𝑏) � no incluye al extremo de b, pero si incluye a su extremo en a.

Ejemplo:

[−4,−1) � = {𝑥𝑥│ − 4 ≤ 𝑥𝑥 < −1}

Existen también los intervalos infinitos y semi-infinitos, que se simbolizan por una doble flecha o media flecha:

Intervalo infinito (−∞,∞)

Intervalo semi-infinito por la derecha [a,∞)

a

Intervalo semi-infinito por la izquierda (−∞,𝒂𝒂]

a

[Escriba una cita del

21


1.4) Desigualdades.

El número real a<b (“el número real a es menor que el número real b”),

Definición 1.

si b-a es positivo; es decir, si 𝑏𝑏 − 𝐻𝐻 > 0.

Ejemplo:

3 < 10 si b-a; esto es 10 − 3 = 7 (positivo)

−5 < −3 si b-a; esto es −3 − (−5) = −3 + 5 = 2 (positivo) 1

3< 1

2 si b-a; esto es 1

2− 1

3= 1

6 (positivo)

Si el número real a>b (el número real a es mayor que el número real b). Si la diferencia de a-b es positiva. Ejemplo

5 > 3 si a-b; esto es 5 − 3 = 2 (positivo)

−2 > −1 si a-b; esto es −2(−1) = −2 + 1 = −1(negativo), no es positivo y por lo tanto se cambia el signo de la desigualdad, esto es:

−2 < −1

−4 < −6= si a-b; esto es −4 − (−6) = −4 + 6 = 2 (positivo).

Los símbolos ≤ ó ≥, se definen:

Definición 2.

1) a≤b, si y sólo si a<b ó a=b 2) a≥b, si y sólo si a>b ó a= b

A las expresiones a<b, a>b, a≤b y a≥b, se les llama desigualdades.

Las propiedades que tiene el símbolo >, son las siguientes:

Propiedades de Orden. Si a, b y c son número reales, entonces:

1) 𝑆𝑆𝑥𝑥 𝐻𝐻 > 𝑏𝑏 𝑦𝑦 𝑏𝑏 > 𝑥𝑥 ⇒ 𝐻𝐻 > 𝑥𝑥……………..transitiva 2) 𝑆𝑆𝑥𝑥 𝐻𝐻 > 𝑏𝑏 ⇒ 𝐻𝐻 + 𝑥𝑥 > 𝑏𝑏 + 𝑥𝑥…………….aditiva 3) 𝑆𝑆𝑥𝑥 𝐻𝐻 > 𝑏𝑏 𝑦𝑦 𝑥𝑥 > 0 ⇒ 𝐻𝐻 ∙ 𝑥𝑥 > 𝑏𝑏 ∙ 𝑥𝑥……………….multiplicativa 4) 𝑆𝑆𝑥𝑥 𝐻𝐻 > 𝑏𝑏 𝑦𝑦 𝑥𝑥 < 0 ⇒ 𝐻𝐻 ∙ 𝑥𝑥 < 𝑏𝑏 ∙ 𝑥𝑥…………….....multiplicativa

22


1.4.1) Desigualdades lineales. Una desigualdad lineal es cualquiera que pueda reducirse a la forma siguiente 𝐻𝐻𝑥𝑥 + 𝑏𝑏 ≤ 0.

Por ejemplo:

(a) 5𝑥𝑥 + 3 < 8 (b) 1 − 4𝑥𝑥 ≥ 6𝑥𝑥 − 2 (c) 7 − 2(5 − 6𝑥𝑥) > 3 − 5𝑥𝑥

Todas ellas son desigualdades lineales. Para resolverlas se aplican las propiedades de orden en conjunto con las propiedades de campo. Observe:

1. Resolver 3𝑥𝑥 + 5 < 6

Solución.

1. 3𝑥𝑥 + 5 + (−5) < 6 + (−5)……………Sumé -5 a ambos lados (prop.aditiva) 2. 3𝑥𝑥 < 1 ……………………….. prop. Inv. aditivo 3. 3𝑥𝑥 �1

3� < 1 �1

3�…………………….multipliqué a ambos lados por 1 3� (prop.

Multiplicativa) 4. 𝑥𝑥 < 1

3

Gráficamente la solución la podemos representar así:

13

Y simbólicamente así: �−∞, 13�

Desde luego, no es necesario escribir la justificación de los pasos que se siguen en el proceso de solución .Basta manejarlos mentalmente ¡pero siempre debe saber por qué está dando un paso!.. Observe los siguientes ejemplos, en donde ya no ha sido necesario escribir la justificación de los pasos:

2. Resolver 6𝑥𝑥 + 4 < 2𝑥𝑥 + 1 Solución: 6𝑥𝑥 – 2𝑥𝑥 < 1 − 4

4𝑥𝑥 < −3 𝑥𝑥 < −3/4 𝒙𝒙 𝝐𝝐 (−∞,−𝟑𝟑/𝟒𝟒) −3

4

23


3. Resolver 2 − 3(5 − 4𝑥𝑥 ≥ 3 + 2𝑥𝑥 Solución: 1. 2 − 3(5 − 4𝑥𝑥) ≥ 3 + 2𝑥𝑥 2. 2 − 15 + 12𝑥𝑥 ≥ 3 + 2𝑥𝑥 3. −13 + 12𝑥𝑥 ≥ 3 + 2𝑥𝑥 4. 12𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 ≥ 3 + 13 5. 10𝑥𝑥 ≥ 16 6. 𝑥𝑥 ≥ 16

10

16

10

4. Resolver 4 − 7𝑥𝑥 ≤ 1 Solución. 1. 4 − 7𝑥𝑥 ≤ 1 2. −7𝑥𝑥 ≤ 1 − 4 3. −7𝑥𝑥 ≤ −3 4. 𝑥𝑥 ≥ −3

−7………………………Observe que hemos cambiado el orden de la

desigualdad en virtud de la propiedad multiplicativa, la cual indica que cuando se multiplica a ambos lados de una desigualdad por un número negativo, esta debe invertir el orden

5. 𝑥𝑥 ≥ 3

7

Gráficamente 3/7

EJERCICIOS. Resolver las desigualdades lineales siguientes:

1. 5𝑥𝑥 − 2 > 4 2. 7𝑥𝑥 − 6(4 + 5𝑥𝑥) ≥ 2 − 3𝑥𝑥 3. 2 − 3𝑥𝑥 < 6𝑥𝑥 4. 6 − 2𝑥𝑥 ≥ 8 + 7𝑥𝑥 5. 3

4𝑥𝑥 < 5 − 2𝑥𝑥

Desigualdades cuadráticas. Toda desigualdad cuadrática es aquella que tiene la forma 𝐻𝐻𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 ≥ 0, o una forma semejante a esta.Por ejemplo, son desigualdades cuadráticas las siguientes:

(a) 3𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥 + 6 ≤ 7 (b) 3 − 4𝑥𝑥 > (2 − 3𝑥𝑥)(6 − 5𝑥𝑥) (c) 𝑥𝑥2 + 9 < 0

24


Para resolver algebraicamente a una desigualdad cuadrática, basta encontrar su factorización y aplicar la regla de los signos que indica lo siguiente: REGLA DE LOS SIGNOS. 𝒂𝒂𝒂𝒂 ≥ 𝟎𝟎, 𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒚𝒚 𝒔𝒔ó𝒍𝒍𝒍𝒍 𝒔𝒔𝒔𝒔

(a) 𝒂𝒂 ≥ 𝟎𝟎 𝒚𝒚 𝒂𝒂 ≥ 𝟎𝟎 o bien (b) 𝒂𝒂 ≤ 𝟎𝟎 y 𝒂𝒂 ≤ 𝟎𝟎

También se puede presentar esta regla en la forma siguiente: 𝒂𝒂𝒂𝒂 ≤ 𝟎𝟎, 𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒚𝒚 𝒔𝒔ó𝒍𝒍𝒍𝒍 𝒔𝒔𝒔𝒔

(a) 𝒂𝒂 ≥ 𝟎𝟎 𝒚𝒚 𝒂𝒂 ≤ 𝟎𝟎 o bien (b) 𝒂𝒂 ≤ 𝟎𝟎 y 𝒂𝒂 ≥ 𝟎𝟎

EJEMPLOS. Resolver las siguientes desigualdades cuadráticas.

1. 𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥 + 6 ≤ 0 Solución.

1. Factorizo: (𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 − 2) ≤ 0 2. Aplico regla de los signos:

(a) 𝑥𝑥 − 3 ≤ 0 𝑦𝑦 𝑥𝑥 − 2 ≤ 0 O bien

(b) 𝑥𝑥 − 3 ≥ 0 𝑦𝑦 𝑥𝑥 − 2 ≥ 0 Aquí la palabra “ o bien”, significa que debemos unir las soluciones encontradas en (a) y en (b).

3. Resuelvo los casos: 𝑥𝑥 ≤ 3 𝑦𝑦 𝑥𝑥 ≤ 2 → (−∞, 2] O bien: 𝑥𝑥 ≥ 3 𝑦𝑦 𝑥𝑥 ≥ 2 → [3,∞)

4. La solución es (−∞, 2] ∪ [3,∞) Cabe hacer notar que para factorizar a un polinomio cuadrático, se puede hacer uso del siguiente resultado : La factorización de 𝒂𝒂𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒂𝒂𝒙𝒙 + 𝒄𝒄 = 𝒂𝒂(𝒙𝒙 − 𝒓𝒓𝟏𝟏)(𝒙𝒙 − 𝒓𝒓𝟐𝟐), donde 𝒓𝒓𝟏𝟏 y 𝒓𝒓𝟐𝟐, son las raíces de 𝒂𝒂𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒂𝒂𝒙𝒙 + 𝒄𝒄 = 𝟎𝟎.

2. Resolver 2𝑥𝑥2 − 10𝑥𝑥 − 4 > −𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥 + 6 Solución.

1. La desigualdad la escribo así: 3𝑥𝑥2 − 13𝑥𝑥 − 10 > 0

2. Determino las raíces: 𝐻𝐻 = 13±�132−4(3)(−10)2(3)

= �−2/35

�

25


3. Factorizo: 3𝑥𝑥2 − 13𝑥𝑥 − 10 = 3 �𝑥𝑥 + 23� (𝑥𝑥 − 5) > 0

4. Aplico regla de los signos: (a) 𝑥𝑥 + 2

3> 0 𝑦𝑦 𝑥𝑥 − 5 > 0

(b) 𝑥𝑥 + 23

< 0 𝑦𝑦 𝑥𝑥 − 5 < 0 5. Resolviendo los casos:

(a) 𝑥𝑥 > − 23

𝑦𝑦 𝑥𝑥 > 5 → (5,∞)

(b) 𝑥𝑥 < 23

𝑦𝑦 𝑥𝑥 < 5 → �−∞, 23�

6. Solución: (5,∞) ∪ (−∞, 23)

3. Resolver 𝑥𝑥2 − 6𝑥𝑥 + 10 < 0 Solución.

1. Encuentro las raíces: 𝐻𝐻 = 6±�36−4(1)(10)2(1)

= 6±√−42

. En este caso, las soluciones son complejas; esto significa que si encontramos un solo valor para el cual la desigualdad sea falsa, lo será para cualquier número, y por lo tanto, el problema tiene solución al conjunto vacío ø. En efecto, este es el caso con nuestro problema, porque, si sustituimos x=0, obtenemos una contradicción: 10<0. Si en x=0, se hubiera obtenido algo cierto, entonces la solución hubieran sido todos los números reales ℝ.

EJERCICIOS. Con la ayuda de su profesor, resuelva los siguientes ejercicios:

1. 2𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥 + 5 ≤ −5𝑥𝑥 + 8 2. 6𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥 − 1 > 0 3. 𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥 + 5 < 0 4. (3 − 2𝑥𝑥)(7 − 5𝑥𝑥) ≤ 𝑥𝑥 − 1

Desigualdades racionales. Las desigualdades racionales son aquellas que entre sus términos existe alguna división de polinomios. Así por ejemplo, son desigualdades racionales las siguientes:

1. 6𝑥𝑥−47𝑥𝑥+3

< 7

2. 𝑥𝑥2−1𝑥𝑥−2

≤ 45+2𝑥𝑥

3. 3

𝑥𝑥−1> 𝑥𝑥

Para resolver una desigualdad racional o de fracciones, todo lo que tenemos que hacer es aplicar la regla de los signos, que ya hemos visto antes, pero aplicado al numerador y al denominador, no se olvide que la división es un tipo especial de multiplicación.

26


EJEMPLOS. Resolver las siguientes desigualdades racionales:

1. .6𝑥𝑥−4

7𝑥𝑥+3< 7

Solución. 1. Primero transponemos y efectuamos la suma de fracciones: 6𝑥𝑥 − 47𝑥𝑥 + 3

− 7 < 0 6𝑥𝑥 − 4 − 7(7𝑥𝑥 + 3)

7𝑥𝑥 + 3< 0

6𝑥𝑥 − 4 − 49𝑥𝑥 − 217𝑥𝑥 + 3

< 0 −43𝑥𝑥 − 25

7𝑥𝑥 + 3< 0

2. Ahora aplicamos la regla de los signos, pero sobre el numerador y el denominador. Hay dos casos:

(a) −43𝑥𝑥 − 25 > 0 𝑦𝑦 7𝑥𝑥 + 3 < 0 (b) −43𝑥𝑥 − 25 < 0 𝑦𝑦 7𝑥𝑥 + 3 > 0 Resolviendo los casos: (a) 𝑥𝑥 > − 25

43 𝑦𝑦 𝑥𝑥 < − 3

7→ (− 25

43,− 3

7)

(b) 𝑥𝑥 < − 2543

𝑦𝑦 𝑥𝑥 > − 37→ ∅

Observe que las expresiones del caso (b) son los conjuntos complementos de aquellos casos que aparecen en el caso (b). Eso podría ser aprovechado, para encontrar la solución general más rápidamente. 3. La solución es : (− 25

43,− 3

7)

4. 32−5𝑥𝑥

− 2𝑥𝑥𝑥𝑥−1

≥ 0 Solución: En primer lugar transponemos términos, efectuamos la suma y simplificamos: 3

2−5𝑥𝑥− 2𝑥𝑥

𝑥𝑥−1≥ 0

3(𝑥𝑥 − 1) − 2𝑥𝑥(2 − 5𝑥𝑥)

(2 − 5𝑥𝑥)(𝑥𝑥 − 1)≥ 0

3𝑥𝑥 − 3 − 4𝑥𝑥 + 10𝑥𝑥2

(2 − 5𝑥𝑥)(𝑥𝑥 − 1) ≥ 0

−𝑥𝑥 + 10𝑥𝑥2 − 3(2 − 5𝑥𝑥)(𝑥𝑥 − 1)

≥ 0

Observe que los números 2 5� 𝑦𝑦 1 no tienen ninguna posibilidad de pertenecer a la solución, debido a que son puntos en donde los términos de la desigualdad generan una división entre cero, lo cual no se permite.

27


A esta última desigualdad le aplicamos la regla de los signos, la cual genera dos casos: (a) 10𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥 − 3 ≥ 0 𝑦𝑦 (2 − 5𝑥𝑥)(𝑥𝑥 − 1) > 0 (b) 10𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥 − 3 < 0 𝑦𝑦 (2 − 5𝑥𝑥)(𝑥𝑥 − 1) < 0 Ahora resolvemos los casos; en este ejemplo es particularmente útil que tenga en cuenta las propiedades de los conjuntos que se han visto antes; en efecto, basta resolver (a), como los términos de (b) son los complementos de (a), entonces aprovecharemos la regla Morgan que indica: 𝐴𝐴𝑥𝑥 ∩ 𝐵𝐵𝑥𝑥 = (𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵)𝑥𝑥 . Resolviendo los casos: (a) 10𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥 − 3 ≥ 0 . Encontramos sus raíces:

𝑥𝑥 =−(−1) ± �1 − 4(10)(−3)

2(10) =1 ± √121

20=

1 ± 1120

= �35

−12

�

Factorizando:

10�𝑥𝑥 − 35� ��𝑥𝑥 + 1

2� � ≥ 0 La cual al dividir a cada término de la desigualdad entre 10,puede escribirse como:

�𝑥𝑥 − 3

5� ��𝑥𝑥 + 12� � ≥ 0

Resolviendo por la regla de los signos:

(𝐻𝐻)𝑥𝑥 − 35� ≥ 0 𝑦𝑦 𝑥𝑥 + 1

2� ≥ 0 → �3 5� ,∞�

(b)𝑥𝑥 − 35� < 0 𝑦𝑦 𝑥𝑥 + 1

2� ≤ 0 → [−∞,−12� ]

De modo que uniendo estos dos conjuntos queda: �3 5� ,∞� ∪ [−∞,−1

2� ]…….(1a)

Ahora resolvamos (2 − 5𝑥𝑥)(𝑥𝑥 − 1) > 0, la cual, como ya está factorizada: (a) 2 − 5𝑥𝑥 > 0 𝑦𝑦 𝑥𝑥 − 1 > 0 (b) 2 − 5𝑥𝑥 < 0 𝑦𝑦 𝑥𝑥 − 1 < 0 Resolviendo: (a) 2

5> 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑥𝑥 > 1 → ∅

(b) 𝑥𝑥 > 25

𝑦𝑦 𝑥𝑥 < 1 → (25� , 1)

Lo cual significa que la solución es �25� , 1�… (1𝑏𝑏)

28


Intersectando 1𝐻𝐻 𝑦𝑦 1𝑏𝑏, queda:

𝐻𝐻 = ��3 5� ,∞� ∪ [−∞,−12� ]� ∩ �2

5� , 1�

Para simplificar este conjunto, es cómodo hacerlo con flechas: −1

2 35

2

5 1 De esos diagramas se puede inferir que la solución para el primer caso es:

𝐻𝐻 = [35� , 1)

Ahora, para determinar la solución al caso (b), usamos la teoría de conjuntos que hemos visto antes; para esto, designamos:

𝐴𝐴 = {𝑥𝑥|10𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥 − 3 ≥ 0 }=��3 5� ,∞� ∪ [−∞,−12� ]�

𝐵𝐵 = {𝑥𝑥|(2 − 5𝑥𝑥)(𝑥𝑥 − 1) > 0} = (25� , 1)

𝐴𝐴𝑥𝑥 = {𝑥𝑥|10𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥 − 3 < 0 }=��3 5� ,∞� ∪ [−∞,−12� ]�

𝐶𝐶

𝐵𝐵𝑥𝑥 = {𝑥𝑥|(2 − 5𝑥𝑥)(𝑥𝑥 − 1) < 0} = (25� , 1)𝐶𝐶

El caso (b), si usted lo analiza , es igual a

𝐴𝐴𝑥𝑥 ∩ 𝐵𝐵𝑥𝑥 = ��3 5� ,∞� ∪ [−∞,−12� ]�

𝑥𝑥

∩ (25� , 1)𝐶𝐶

Aprovechando nuestros diagramas de flechas que hemos hecho antes, y teniendo en cuenta que 𝟐𝟐 𝟓𝟓 � y 1 no pueden ser parte de la solución observamos que:

𝑏𝑏 = 𝐴𝐴𝑥𝑥 ∩ 𝐵𝐵𝑥𝑥 = �−12

,35� ∩ �(−∞, 2

5� ) ∪ (1,∞)� = (−12� , 2

5� ) La solución general o total a nuestro problema es

𝐻𝐻 ∪ 𝑏𝑏 = �3 5� , 1� ∪ (−12� , 2

5� )

29


De este problema hemos aprendido muchas cosas; como por ejemplo:

• En las desigualdades racionales, se deben prohibir desde el principio a los números en donde el denominador se anule.

y -X X PUNTO DE INDETERMINACIÓN (ZONA PROHIBIDA)

• Las raíces del numerador son fronteras de zonas sobre el eje X en donde la

función pasa de ser positiva o negativa a la situación contraria.

+ +

-x x -X X - -

RAIZ RAIZ Todas estas observaciones dan lugar a un método geométrico para resolver desigualdades de manera efectiva. Llamaremos a dicho método con justa razón “Método Geométrico de Raíces e Indeterminaciones”.

Método de las Raíces e Indeterminaciones : Para resolver desigualdades del tipo 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ≥ 0, o reducibles a ella, como cuadráticas, cúbicas, de cociente, etc; es práctico hacer uso de las raíces y puntos de indeterminación de la fórmula 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ;el cual consiste en los pasos siguientes: Paso 1: Se reescribe la desigualdad, dejando el segundo miembro de la desigualdad igual a cero 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ≥ 0, de preferencia o algo semejante. Paso 2. Calcule las raíces e indeterminaciones de 𝑓𝑓(𝑥𝑥). Paso 3. Establezca las zonas “favorables” al problema que está resolviendo, mediante un análisis gráfico de signos, evaluando en números a la derecha o izquierda de los puntos raíz y de indeteterminación.

30


EJEMPLOS. RESOLVER LOS PROBLEMAS SIGUIENTES, USANDO EL MÉTODO GRÁFICO:

3𝑥𝑥−123−𝑥𝑥

> 0 . Esto se interpreta como “ se requieren zonas positivas”.

Paso 2. Calculo raíces y puntos de indeterminación, resolviendo las ecuaciones:

3𝑥𝑥 − 12 = 0 → 𝑥𝑥 = 4 (Raíz)

3 − 𝑥𝑥 = 0 → 𝑥𝑥 = 3 (Indeterminación)

No olvidar que a partir de ahora, el número 3 no puede ser parte de la solución.

Paso 3. Hacemos un análisis gráfico de signos, evaluando en 𝑥𝑥 = 4.1,

𝑥𝑥 = 3.9 𝑦𝑦 𝐵𝐵𝐻𝐻 𝑥𝑥 = 3.1 𝑦𝑦 𝑥𝑥 = 2.9 𝐻𝐻 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥−123−𝑥𝑥

. En este caso claramente:

𝑓𝑓(4.1) =3(4.1) − 12

3 − 4.1< 0

𝑓𝑓(3.9) =3(3.9) − 12

3 − 3.9> 0

𝑓𝑓(3.1) =3(3.1) − 12

3 − 3.1> 0

4.- 𝑋𝑋𝑋𝑋−3

< 4

Solución:

Paso 1. Escribo

𝑋𝑋𝑋𝑋−3

− 41

< 0

𝑋𝑋−4(𝑋𝑋−3)𝑋𝑋−3

< 0

𝑋𝑋−4𝑋𝑋+12𝑋𝑋−3

< 0

−3𝑋𝑋+12𝑋𝑋−3

< 0

31


𝑓𝑓(2.9) =3(2.9) − 12

3 − 2.9< 0

Gráficamente esto significa que:

POS POS

NEG 3 4 NEG

De aquí, la solución que se infiere es inmediata (3,4), que es la zona positiva. Usted siempre debe proceder exactamente como se trabajó en este ejemplo. Desde luego que no todas las desigualdades tienen puntos de indeterminación, así que en la mayoría de ellas es muy fácil trabajar, ya que sólo se tiene un tipo de punto que es el tipo

Tercer paso: A cada intervalo se toma un punto x, que se le denomina punto a evaluar, cada uno de dichos puntos se sustituye en la desigualdad, el intervalo correspondiente pertenecerá a la solución siempre que la satisfaga. Para éste ejemplo aquellos números reales ≤0 (es decir, número reales negativos), cuando es ≥0, se consideran los números reales positivos

Intervalo P. Evaluar Ecuación(1) Signo

( ∞− , 3) −5 −3(−5) + 12−5 − 3

= +−

-

(3, 4) 3.5 −3(3.5) + 123.5 − 3

= ++

+

(4,∞+) 7 −3(7) + 127 − 3

= −+

-

Solución 𝒙𝒙 𝜺𝜺[( ∞− ,𝟑𝟑) ∪ (𝟒𝟒,∞+)] 𝒙𝒙 𝜺𝜺 𝑹𝑹

Comprobación

( ∞− , 3) (4,∞+)

𝑥𝑥 = −8 𝑥𝑥 = 9

32


Sust. Ec. (1) Sust. Ec (1) −8

−8 − 3 ≤ 4

99 − 3

≤ 4 8

11 ≤ 4

32

≤ 4

5.- √𝑥𝑥2 + 7𝑥𝑥 + 12

-Para que exista la desigualdad tiene que ser mayor o igual a cero.

𝑥𝑥2 + 7𝑥𝑥 + 12 ≥ 0

(𝑥𝑥 + 4) (𝑥𝑥 + 3) ≥ 0….Ec(1)

Se obtienen los valores críticos igualando a cero la inecuación, para así trazar la rectar real y contar con los intervalos que satisfacen la desigualdad.

𝑥𝑥 + 4 = 0 𝑥𝑥 + 3 = 0

𝑥𝑥 = − 4 𝑥𝑥 = − 3

∞− -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 ∞+

( ∞− ,−4] (-4, -3) [-3, ∞+)

(𝑥𝑥 + 4) (𝑥𝑥 + 3)

Intervalo P. E. Ecuación(1) Signo

( ∞− ,−4] −7 (−7 + 4) (−7 + 3)

+ ( - ) ( - )

(− 4,− 3) −3.5 (− 3.5 + 4) (−3.5 + 3)

- ( + ) ( - )

[− 3,∞+) 5 ( 5 + 4 ) ( 5 + 3 )

+ ( + ) ( + )

Conjunto solución ( ∞− ,−𝟒𝟒] ∪ [ −𝟑𝟑,∞+)

−24 − 4 (1 + 𝑦𝑦)12

− 3𝑦𝑦 < 0

−24 − 4 − 4𝑦𝑦 − 3𝑦𝑦12

< 0

6) -2 – 1+𝑦𝑦3

< 𝑦𝑦4

-2 – 1+𝑦𝑦3− 𝑦𝑦

4< 0

−28 − 7𝑦𝑦 = 0

− 7𝑦𝑦 = 28

𝑦𝑦 = − 4

12 = 0

Intervalos

∞− − 4 0 ∞+

33



( ∞− , ,−4) −10 ++� +

(- 4, 0 ) −2 − +⁄ -

( 0 , ∞+) 1 − +⁄ -

Conjunto solución ( −𝟒𝟒,𝟒𝟒)

𝟒𝟒 < 𝑦𝑦 < 4

Comprobación

−2 – 1+23

< 24

-2 - 33 < 2

4

-2 – 1 < 12

- 3 < 12

1.4.2) Desigualdades cuadráticas: El procedimiento para resolver éste tipo de desigualdades es el mismo (puntos críticos), con la diferencia que se tienen que emplear métodos algebraicos (factorización), para así obtener los valores críticos donde la desigualdad se hace cero.

∞− -1 0 5 ∞+

5𝑥𝑥 + 5 = 0 𝑥𝑥 – 5 = 0

𝑥𝑥 = −1

7) 5𝑥𝑥2 − 20𝑥𝑥 − 25 > 0

5𝑥𝑥2 − 25𝑥𝑥 + 5𝑥𝑥 − 25 > 0

5𝑥𝑥(𝑥𝑥 – 5) + 5(𝑥𝑥 – 5) > 0

(5𝑥𝑥 + 5) (𝑥𝑥 – 5)

5𝑥𝑥 = −5 𝑥𝑥 = 5

𝑥𝑥 = −55�

(5𝑥𝑥 + 5) (𝑥𝑥 – 5)…..Ec(1)



34



( ∞− ,−1) −7 (-) (-) +

(- 1, 5 ) 3 (+) (-) -

( 5 , ∞+) 8 (+) (+) +

Conjunto solución 𝒙𝒙 𝜺𝜺 ( ∞− ,−𝟏𝟏𝟏𝟏) ∪ (𝟓𝟓,∞+) 𝒙𝒙 𝜺𝜺 𝑹𝑹

∞− 0 3 ∞+

(3x+9) (x-3) ≤ 0

Intervalo P. E. Ecuación Signo

( ∞− ,3) −7 (-) (-) +

(3, ∞+) 5 (+) (+) +

Conjunto solución

𝑥𝑥 = −7

5 (−7)2 − 20(−7) − 25 > 0

245 + 140 – 25 > 0

360 > 0

𝑥𝑥 = 10

3 (10)2 − 20 (10) – 25 > 0

300 – 200 – 25 > 0

75 > 0

3𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 3) – 9(𝑥𝑥 − 3)

(3𝑥𝑥 – 9) (𝑥𝑥 – 3) ≤ 0

8) 3𝑥𝑥2 – 18𝑥𝑥 + 27 ≤ 0

3𝑥𝑥2 – 9𝑥𝑥 – 9𝑥𝑥 + 27 ≤ 0

𝑥𝑥 = 93�

𝑥𝑥 = 3

3𝑥𝑥 – 9 = 0 𝑥𝑥 − 3 = 0

3𝑥𝑥 = 9 𝑥𝑥 = 3


35


9) 2−𝑥𝑥𝑥𝑥+1

< 32

2−𝑥𝑥𝑥𝑥+1

− 32

< 0

2 (2−𝑥𝑥)− 3(𝑥𝑥+1)2 (𝑥𝑥+1) < 0

4−2𝑥𝑥−3𝑥𝑥−32 (𝑥𝑥+1) < 0

−5𝑥𝑥+12 (𝑥𝑥+1) < 0 ∞− -1 0 1

5 1 ∞+

−5𝑥𝑥+12 (𝑥𝑥+1)

< 0

Intervalo P. E. Ecuación Signo

( ∞− ,−1) -4 + −⁄ -

(-1, 15 ) - 1 2� +

+� +

(1 5� ,∞+) 5 − +⁄ -

Conjunto solución 𝒙𝒙 𝜺𝜺 𝓡𝓡 [( ∞− -1) υ ( 𝟏𝟏𝟓𝟓, ∞+)]

Comprobación

10) (4 − 𝑥𝑥)2 + 3𝑥𝑥2 < 5 + (2𝑥𝑥 − 1)2

16 – 8𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥2 < 5 + 4𝑥𝑥2 – 4𝑥𝑥 + 1

−5𝑥𝑥 + 1 = 0 𝑥𝑥 + 1 = 0

−5𝑥𝑥 = −1 𝑥𝑥 = −1

𝑥𝑥 = 1 5�

2 − 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 1

< 32

2 − (−9)−9 + 1

< 32

−118� < 3

2�

( ∞− , -1) 𝑥𝑥 = −9

Sustitución.

2 − 55 + 1

< 32

−36� < 3

2�

−12� < 3

2�

( 1 5� , ∞+) 𝑥𝑥 = 5

Sustitución.


36


16 – 8𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥2 – 5 – 4𝑥𝑥2 – 1 < 0

10 – 4𝑥𝑥 < 0

−4𝑥𝑥 < −10

𝑥𝑥 > −10−4�

𝑥𝑥 > 52�

∞− -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 52� 3 4 5 ∞+

15) 25𝑥𝑥2– 9 < 0 (𝐻𝐻2 – 𝑏𝑏2) = (𝐻𝐻 – 𝑏𝑏) (𝐻𝐻 + 𝑏𝑏) (5𝑥𝑥 + 3) (5𝑥𝑥 – 3) < 0

5𝑥𝑥 + 3 = 0 5𝑥𝑥 – 3 = 0

5𝑥𝑥 = −3 5𝑥𝑥 = 3

𝑥𝑥 = −35� 𝑥𝑥 = 3 5�

∞− -2 -1 −35� 0 3 5� 1 2 ∞+

Intervalo P. E. Ecuación (5𝑥𝑥 + 3) (5𝑥𝑥 − 3) < 0 Signo

( ∞− ,−35� ) -8 (-) (-) +

(-3 5� , 3 5� ) 12� (+) (-) -

(3 5� ,∞+ ) 2 (+) (+) +

𝒙𝒙 > 𝟓𝟓 𝟐𝟐 � 𝑿𝑿 𝝐𝝐 𝑹𝑹

Conjunto solución

(𝟓𝟓 𝟐𝟐� ,∞+)

9 + 147 < 5 + 169

156 < 174

Comprobación

x = 7

(4-7)2 + 3(7)2 < 5 + (2(7) − 1)2

(-3)2 + 3𝑥𝑥49 < 5 + (13)2


Factorización de una diferencia de binomios al cuadrado.

(𝐻𝐻2 – 𝑏𝑏2) = (𝐻𝐻 – 𝑏𝑏) (𝐻𝐻 + 𝑏𝑏)

37


Conjunto solución Comprobación 𝑥𝑥 = 12�

( −𝟑𝟑 𝟓𝟓� ,𝟑𝟑 𝟓𝟓� ) 25 (12)2

−𝟑𝟑𝟓𝟓� < 𝑥𝑥 < 𝟑𝟑 𝟓𝟓�

– 9 < 0 −11

4� < 0 𝒙𝒙 𝝐𝝐 𝑹𝑹

21) 𝑥𝑥3 + 2𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥 – 8 ≥ 0

(𝑥𝑥3 + 2𝑥𝑥2) – (4𝑥𝑥 + 8) ≥ 0

𝑥𝑥2 (𝑥𝑥 + 2) – 4 (𝑥𝑥 + 2) ≥ 0

(𝑥𝑥2 − 4) (𝑥𝑥 + 2) ≥ 0

(𝑥𝑥 + 2) (𝑥𝑥 − 2) (𝑥𝑥 + 2) ≥ 0

𝑥𝑥 + 2 = 0 𝑥𝑥 – 2 = 0 𝑥𝑥 + 2 = 0 𝑥𝑥 = −2 𝑥𝑥 = 2 𝑥𝑥 = −2

∞− -2 0 -2 ∞+

Intervalos P. E. Ecuación (𝑥𝑥 + 2) (𝑥𝑥 − 2) ≥ 0 Signo

( ∞− ,−2) -3 (-) (-) (-) - (-2,2) -1 (+) (-) (+) - (2,∞+) 4 (+) (+) (+) +

Conjunto Solución 𝐶𝐶𝑥𝑥𝑃𝑃𝑝𝑝𝐻𝐻𝑥𝑥𝑏𝑏𝐻𝐻𝑥𝑥𝑥𝑥ó𝐻𝐻 𝑥𝑥 = 4 (𝟐𝟐 , ∞ +) 𝑥𝑥3+ 2𝑥𝑥2 – 4𝑥𝑥 – 8 ≥ 0 𝒙𝒙 > 2 (4)3 + 2 (4)2 – 4 (4) – 8 ≥ 0 64 + 32 – 16 – 8 ≥ 0

72 ≥ 0


38


EJERCICIOS I

1) 4𝑥𝑥 ≥ 5𝑥𝑥 − 7

15) 𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥 − 4 > 0

2) −4 < 1 – 𝑥𝑥 ≤ 3

16) (2𝑥𝑥 + 1)2 > 1

3) 𝑥𝑥 ≤ 3𝑥𝑥 + 2 ≤ 𝑥𝑥 + 6

17) 10𝑥𝑥2 + 11𝑥𝑥 > 6

4) 𝑥𝑥2-2𝑥𝑥 − 5 > 3

18) 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 3) ≤ 10

5) 6𝑥𝑥 − 8>𝑥𝑥2

19) 𝑥𝑥 + 1𝑥𝑥2 − 25

≤ 0

6) 𝑥𝑥3+2-4𝑥𝑥 − 8 ≥0

20) 3

2𝑥𝑥 + 3<

1𝑥𝑥 − 1

7) 𝑥𝑥4 + 5𝑥𝑥2 ≥ 36

8) (𝑥𝑥 + 1) (𝑥𝑥 − 2) < 0

9) (3𝑥𝑥 − 1) (2𝑥𝑥 + 3) > 0

10) 6𝑥𝑥2+13𝑥𝑥 < 5

11) 𝑥𝑥3 + 3𝑥𝑥2 > 10𝑥𝑥

12) 𝑥𝑥−2𝑥𝑥2−3𝑥𝑥−10

≥ 0

13) 𝑥𝑥2− 𝑥𝑥𝑥𝑥2+ 2𝑥𝑥

≤ 0

14) 𝑥𝑥2 (𝑥𝑥 + 2)

(𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 + 1) ≤ 0

Instrucciones: Resuelve cada uno de los siguientes ejercicios que a continuación se presentan. Las soluciones de cada uno de ellos las puedes checar en el anexo A.

39


1.5) Valor absoluto5

El valor absoluto de |𝑥𝑥| se define como:

a) |𝑥𝑥| = 𝑥𝑥 𝐻𝐻𝑥𝑥 𝑥𝑥 ≥ 0

b) |𝑥𝑥| = −𝑥𝑥 𝐻𝐻𝑥𝑥 𝑥𝑥 < 0

Cuando se habla de valor absoluto es siempre positivo.

Ejemplo:

|5| = 5

|−3|= - (-3) = 3

|0| = 0

|10| = 10

|10 − 15| = |−5| = 5

�|4 − 8| − |−10|� = �|−4|� − �|−10|� = |4 − 10| = |−6| = 6

|−5| + |−3| − |−2| − |−4| = 5 + 3 − 2 − 4 = 2

Teorema para desigualdades:

a) Si a>0, se tiene el valor absoluto de x [|𝑥𝑥|], se tiene |𝑥𝑥| < 𝐻𝐻, esto es igual

−𝐻𝐻 < 𝑥𝑥 < 𝐻𝐻.

b) el valor absoluto de 𝑥𝑥 cuando 𝑥𝑥 es mayor a “a” es igual |𝑥𝑥| > 𝐻𝐻 => −𝐻𝐻 > 𝑥𝑥 > 𝐻𝐻

c) El valor absoluto de 𝑥𝑥 cuando 𝑥𝑥 es menor o igual |𝑥𝑥| ≤ 𝐻𝐻 = −𝐻𝐻 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝐻𝐻

d) El valor absoluto de 𝑥𝑥 cuando 𝑥𝑥 es mayor o igual |𝑥𝑥| ≥ 𝐻𝐻 = −𝐻𝐻 ≥ 𝑥𝑥 ≥ 𝐻𝐻

5 Gómez Carranza Pantaleón; Introducción al Cálculo Diferencial. Edit.IPN,pag.23

40


Determinar el conjunto solución de la siguiente desigualdad.

1. |𝑥𝑥 − 5| < 4 ∴ −4 < 𝑥𝑥 − 5 < 4

°

∞− 0 1 9 ∞+

1 < x < 9

( 1 , 9 )

{𝒙𝒙|𝟏𝟏 < 𝑥𝑥 < 9} 𝒙𝒙 𝝐𝝐 𝓡𝓡.


2. �𝑥𝑥3

+ 2� ≤ 4

-4 ≤ 𝑥𝑥3

+ 2 ≤ 4

Desg 1 Desg. 2

x

∞− -18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 – 6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 ∞+

−4 < 𝑥𝑥 − 5

𝑥𝑥 – 5 > −4

𝑥𝑥 > −4 + 5

𝑥𝑥 > 1

1ra. des.

𝑥𝑥 – 5 < 4

𝑥𝑥 < 4 + 5

𝑥𝑥 < 9

2da. des.

𝑥𝑥3

+ 2 ≥ −4

𝑥𝑥3

≥ −4 − 2

𝑥𝑥3

≥ −6

𝑥𝑥 ≥ (−6) (3)

𝑥𝑥 ≥ −18

Desig. 1

-4 ≤ 𝑥𝑥3

+ 2 𝑥𝑥3

+ 2 ≤ 4

𝑥𝑥3 ≤ 4 − 2

𝑥𝑥3

≤ 2

𝑥𝑥 ≤ 2 (3)

𝑥𝑥 ≤ 6

Desig. 2

41


Conjunto Solución

−𝟏𝟏𝟏𝟏 ≤ 𝒙𝒙 ≤ 𝟔𝟔

{𝒙𝒙|− 𝟏𝟏𝟏𝟏 ≤ 𝒙𝒙 ≤ 𝟔𝟔} [−𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟔𝟔]

𝒙𝒙 𝝐𝝐 𝑹𝑹

Comprobación

�−183

+ 2� ≤ 4

|−4| ≤ 4

4 ≤ 4


3. |3𝑥𝑥 − 1| < 2𝑥𝑥 + 5

−(2𝑥𝑥 + 5) < 3𝑥𝑥 − 1 < 2𝑥𝑥 + 5

−2𝑥𝑥 – 5 <3𝑥𝑥 − 1 < 2𝑥𝑥 + 5

Desig. 1 Desig. 2

x

∞− -4 -3 -2 -1 -45 0 1 2 3 4 5 6 ∞+

�𝒙𝒙 │ −𝟒𝟒𝟓𝟓

< 𝑥𝑥 < 6�

𝒙𝒙 Є 𝑹𝑹

(- 𝟒𝟒𝟓𝟓

,𝟔𝟔)

−2𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥 < −1 + 5 −5𝑥𝑥 < 4

𝑥𝑥 > − 45

Desigualdad 1

-2𝑥𝑥 − 5 < 3𝑥𝑥 − 1 3𝑥𝑥 − 1 < 2𝑥𝑥 + 5 3𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 < 5 − 1

𝑥𝑥 < 6

Desigualdad 2

42


Comprobación

𝑥𝑥 = 3

|3 (3) − 1| < 2 (3) + 5

|9 − 1| < 6 + 5

|8| < 11

8 < 11


4. |3𝑥𝑥 + 2| > 5

−5 > 3𝑥𝑥 + 2 > 5

Desig. 1 Desig. 2

∅

∞− -4 -3 73 -2 0 1 2 3 4 ∞+

Conjunto solución

�� ∞− ,𝟕𝟕𝟑𝟑

� ∪ (𝟏𝟏,∞+)�

�𝒙𝒙� � ∞− ,−𝟕𝟕𝟑𝟑� ∪ (𝟏𝟏,∞+ )�


−5 > 3𝑥𝑥 + 2 3𝑥𝑥 + 2 < −5 3𝑥𝑥 < −5 − 2

3𝑥𝑥 < −7

𝑥𝑥 < − 73

Desigualdad 1

3𝑥𝑥 + 2 > 5 3𝑥𝑥 > 5 – 2

3𝑥𝑥 > 3 𝑥𝑥 > 3

3� 𝑥𝑥 > 1

Desigualdad 2

43


Desg. 1

-4 ≤ 3−2𝑥𝑥2+𝑥𝑥

11+2𝑥𝑥2+𝑥𝑥

≥ 0..Ec(1)

3 − 2𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥

≤ −4

3 − 2𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥

+ 41

≥ 0

3 − 2𝑥𝑥 + 4(2 + 𝑥𝑥)2 + 𝑥𝑥

≥ 0

3 − 2𝑥𝑥 + 8 + 4𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥

≥ 0


5. �3−2𝑥𝑥2+𝑥𝑥

� ≤ 4

−4 ≤ 3−2𝑥𝑥2+𝑥𝑥 ≤ 4

Desig. 1 Desig. 2

• Igualando a cero

11 + 2𝑥𝑥 = 0 2 + 𝑥𝑥 = 0

2𝑥𝑥 = −11 𝑥𝑥 = −2

𝑥𝑥 = −112

I II III

∞− −112

-2 0 ∞+

11+2𝑥𝑥2+𝑥𝑥

≥ 0

Intervalo P. E. Ecuación(1) signo

(- ∝, −112

] 8 11 + 2(8)

2 + 8=

++

+

(-112

, 2] -3 11 + 2(−3)

2 − 3=

+−

-

(- 3, ∞+) 6 11 + 2(6)2 + 6

= ++

+

∞− -−112

-2 0 ∞+

�𝑥𝑥� � ∞− ,− 112� ∪ (−3,∞+)�

3 − 2𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥

≤ 4

3 − 2𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥

− 41

≤ 0

3 − 2𝑥𝑥 − 4(2 + 𝑥𝑥)2 + 𝑥𝑥

≤ 0

3 − 2𝑥𝑥 − 8 − 4𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥

≤ 0

−6𝑥𝑥 − 52 + 𝑥𝑥

≤ 0

Desig. 2

−6𝑥𝑥 − 5 = 0 2 + 𝑥𝑥 = 0

−6𝑥𝑥 = 5 𝑥𝑥 = −2

𝑥𝑥 = −56

I II III

- ∞− -2 -1 −56

0 ∞+



44


Intervalo P. E. Ecuación −6𝑥𝑥−52+𝑥𝑥

≤ 0 signo

( ∞− , -2 ] −4 −6 (−4) − 5

2 + (−4)=

+−

-

(- 2, −56

] −1 −6 (−1) − 5

2 + (−1)=

++

+

(−56

, ∞+) 7 −6 (7) − 52 + 7

= −+

-

Conjunto solución

( ∞− , -2] ∪ ( −56� ,∞+)

�𝑥𝑥�( ∞− ,−2] ∪ �−56� ,∞+��

𝑥𝑥 Є 𝑅𝑅

∞− -4 -3 -2 -1 −56

0 ∞+

Conjunto solución

∞− -6 −116

-5 -4 -2 -1 −56

0 ∞+

Conjunto solución total

�𝒙𝒙� � ∞− ,−𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐

� ∪ �−𝟓𝟓𝟔𝟔

,∞+��


�3 − 2𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥

� ≤ 4

�3 − 2(−10)2 + (−10)

� ≤ 4

�−23

8� ≤ 4

238

≤ 4

Comprobación

45



6. |𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥 − 1| < 5

-5 < 𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥 − 1 < 5

desig. 1 desig.2

Intervalos

P. E. Ecuación (𝑥𝑥 − 4) (𝑥𝑥 − 1) > 0 signo

( ∞− ,1) −7 ( - ) ( - ) +

(1 , 4) 2 ( - ) ( + ) -

(4, ∞+) 8 ( + ) ( + ) +

Conjunto solución {𝑥𝑥|( ∞− , 1) ∪ (4,∞+)} 𝑥𝑥 Є 𝑅𝑅

Desig. 2 𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥 − 1 < 5 𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥 − 1 − 5 < 0 𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥 − 6 < 0 (𝑥𝑥 − 6) ( 𝑥𝑥 + 1) < 0 I II III ∞− -1 0 1 2 3 4 5 6 ∞+

𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥 − 1 > −5 𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥 − 1 + 5 > 0 𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥 + 4 > 0 (𝑥𝑥 − 4) (𝑥𝑥 − 1) > 0

desig. 1

−5 < 𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥 − 1 𝑥𝑥 − 4 = 0 𝑥𝑥 − 1 = 0 𝑥𝑥 = 4 𝑥𝑥 = 1

I II III

∞− 0 1 2 3 4 ∞+

∅

∞− 0 1 2 3 4 ∞+

𝑥𝑥 − 6 = 0 𝑥𝑥 + 1 = 0 𝑥𝑥 = 6 𝑥𝑥 = −1



46


Intervalos

P. E. Ecuación (𝑥𝑥 − 6) (𝑥𝑥 + 1) < 0 signo

( ∞− , 1) -4 ( - ) ( - ) +

(−1 , 6) 3 ( - ) ( + ) -

(6,∞+) 8 ( + ) ( + ) + Conjunto solución ∞− -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 ∞+

{𝑥𝑥|−1 < 𝑥𝑥 < 6}

(−1, 6) 𝑥𝑥 Є 𝑅𝑅.

Conjunto solución Total ∞− -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 ∞+

Conjunto solución total {𝒙𝒙|(−𝟏𝟏,𝟏𝟏 ) ∪ (𝟒𝟒,𝟔𝟔)} 𝒙𝒙 Є 𝑹𝑹. Comprobación (−1, 1) 𝑥𝑥 = 1

2� (4, 6) 𝑥𝑥 = 5 |𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥 − 1| < 5 |𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥 − 1| < 5

��12�

2− 5 �1

2� − 1� < 5 |(5)2 − 5(5) − 1| < 5

�1

4− 5

2− 1� < 5 |25 − 25 − 1| < 5

�−13

4� � |−1| < 5 13

4� < 5 1 < 5

3.25 < 5

47


Determinar el conjunto solución de la siguiente desigualdad. 7. �1

3𝑥𝑥 + 5 1

3� ≤ 5

3� 𝑥𝑥 − 1 -(5 3� 𝑥𝑥 − 1) ≤ 1

3𝑥𝑥 + 5 1

3 ≤ 5

3� 𝑥𝑥 − 1 −5

3� 𝑥𝑥 + 1 ≤ 13𝑥𝑥 + 5 1

3 ≤ 5

3� 𝑥𝑥 − 1 Desig. 1 Desig. 2

Desigualdad I Desigualdad II

Conjunto solución total ∅ Desigualdad I + desigualdad II

∪∩

∞− -4 -3 −136

-2 -1 0 1 2 3 4 194

5 ∞+

−53� 𝑥𝑥 + 1 ≤

13𝑥𝑥 + 5

13

−53� 𝑥𝑥 −

13𝑥𝑥 ≤ 16

3� − 1

−2𝑥𝑥 ≤ −133�

𝑥𝑥 ≥ 133−2

𝑥𝑥 ≥ −136�

13� 𝑥𝑥 + 5 1

3� ≤ 53𝑥𝑥 − 1

13� 𝑥𝑥 −

53𝑥𝑥 ≤ −1 − 5

13

𝑥𝑥 ≥ 193

−43�

𝑥𝑥 ≥ 194�

-4 3� 𝑥𝑥 ≤ −19

3�

∞− -3 −13

6 -2 -1 0 ∞+

0 1 2 3 4 194

5 6 ∞+

48


Conjunto solución

𝒙𝒙 ≥ 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟒𝟒� [𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟒𝟒� ,∞+)

�𝒙𝒙�(𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟒𝟒� ,∞+)� 𝒙𝒙 𝜺𝜺𝓡𝓡 Comprobación 𝑥𝑥 = 8 𝑥𝑥 = 19

4� �1 3� 𝑥𝑥 + 5 1

3� � ≤ 53� 𝑥𝑥 − 1 �1 3� �19

4� � + 5 13� � ≤ 5

3� �194� � − 1

�1 3� (8) + 5 13� � ≤ 5

3� (8) − 1 �8312� � ≤ 83

12� |8| ≤ 37

3� 8312� ≤ 83

12� 8 ≤ 37

3� ≈ 8 ≤ 12.3

49


EJERCICIOS II

Instrucciones: Resuelve cada uno de los siguientes ejercicios que a continuación se presenten. Las soluciones de cada uno de ellos las puedes checar en el anexo B.

1) �𝑥𝑥 + 3−2

� < 1

2) |5 − 2𝑥𝑥|> 7

3) |3𝑥𝑥 − 7| < 2

4) �3𝑥𝑥− 2� ≤ 4

5) �2 + 1𝑥𝑥� > 1

6) �2𝑥𝑥 − 1𝑥𝑥

� > 2

7) �𝑥𝑥

𝑥𝑥 + 2� ≤ 2

8) |1 − 2𝑥𝑥| ≤ 1

9) |16 − 3𝑥𝑥| ≥ 5

10) |4𝑥𝑥 + 7| < 2I

11) �3−2𝑥𝑥2+𝑥𝑥

� < 4

12) |𝑥𝑥 − 2| < 1 2�

13) |4𝑥𝑥 + 2| ≥ 10

14) |𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥 − 1| < 5

15) �14𝑥𝑥 − 3

14� ≤ 7𝑥𝑥 + 2

Objetivo: El alumno identificará los diferentes tipos de funciones y sus propiedades; al mismo tiempo realizará operaciones con ellas e interpretará su representación gráfica.

CAPÍTULO II: FUNCIONES.

50


2.0. FUNCIONES

Es un conjunto de pares ordenados de números reales (𝑥𝑥, 𝑦𝑦), en el que no hay pares ordenados distintos que tengan el mismo primer número. Si a todo elemento 𝑥𝑥, de un conjunto “a” se le hace responder un único valor de 𝑦𝑦, de un conjunto “b”, decimos que es una función de 𝑥𝑥. El conjunto de todos los valores admisibles de 𝑥𝑥, es el “dominio de una función” y todos los valores admisibles de 𝑦𝑦, se le llama “Rango de la Función o contra dominio de la función”. Ejemplo:

Pares ordenados

(𝑥𝑥1 ,𝑦𝑦2), (𝑥𝑥2 ,𝑦𝑦1), (𝑥𝑥3 ,𝑦𝑦3)

Pares ordenados

(𝑥𝑥R1, 𝑦𝑦R1), (𝑥𝑥R2, 𝑦𝑦R2), (𝑥𝑥3, 𝑦𝑦R2

𝑥𝑥R1

)

Dominio 𝑥𝑥R2

𝑦𝑦R1

𝑥𝑥3 𝑦𝑦R3

contradominio 𝑦𝑦R2

Rango 𝑦𝑦R1 , 𝑦𝑦R2

Regla de Correspondencia

A B

𝑥𝑥1 𝑦𝑦1 𝑥𝑥2 𝑦𝑦2 𝑥𝑥3 𝑦𝑦3

𝑥𝑥= variable independiente 𝑦𝑦= variable dependiente

A B

𝑥𝑥1 𝑦𝑦1 𝑥𝑥2 𝑦𝑦2 𝑥𝑥3 𝑦𝑦3

Es una función, porque nuestro primer elemento del conjunto A, 𝑥𝑥 nada más se repite una vez.

51


(𝑥𝑥3,𝑦𝑦3) (𝑥𝑥3,𝑦𝑦3) 𝑥𝑥11 Se traza una línea paralela Y debe de cortar una solo punto, Y si corta dos o más puntos No es función.

Ejemplo:

Pares ordenados (𝑥𝑥1 , 𝑦𝑦1) , (𝑥𝑥2 , 𝑦𝑦1) , (𝑥𝑥2 , 𝑦𝑦2) , ( 𝑥𝑥3 , 𝑦𝑦3)

No es una función porque 𝑥𝑥2 se repite dos veces y le corresponde 2 valores diferentes.

No es función, es una relación.

2.1) Gráfica de una función.

La gráfica de una función solo puede ser cortada por una recta vertical en un punto, si dicha recta corta más de una punto no lo es. Como se muestra en la figura 1,2 y 3 respectivamente

y

y

3

y

2 Figura1

1

𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥3

𝑦𝑦1 (𝑥𝑥1, 𝑦𝑦1)

𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥∝

𝑦𝑦2 (𝑥𝑥2,𝑦𝑦2) (𝑥𝑥0, 𝑦𝑦2)

Figura1

Figura 2

52


-100 -50 50 100

2

4

6

8

10

𝑦𝑦3 (x3,y3

)

𝑦𝑦2 (x0,y2

𝑦𝑦1 (x

)

𝑦𝑦0 2,y2) (x2,y0

)

𝑥𝑥1 x2 x0 x

3

2.1.1) Funciones constantes: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝐶𝐶, donde c es una constante o valor cualquiera.

Ejemplo: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 5.

Dominio ( ∞− ,∞+)

Rango ( 5 )

−2 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 < 1 ( ∞− , 1)

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1 𝑠𝑠𝑠𝑠 1 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 3 [1,3]

4 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 > 3 (3,∞+)

𝑥𝑥 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 5

-3 5 -2 5 -1 5 0 5 1 5 2 5

Figura 3

Figura 4

El gráfico de la función se puede ver en la figura 4.


53


Dominio ( ∞− , ∞+)

Rango [-2, 1, 4]

2.1.2) Funciones lineales: Son de la forma; 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏

Donde a y b son constantes arbitrarias El Rango y el Dominio están representados por los números reales y Df = Rf 𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥), está bien definida y la gráfica de ésta función es una línea Recta.

, dado que la expresión

-15 -10 -5 5 10 15 20

-2

-1

1

2

3

4

Figura 5

54


Ejemplo: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥 − 3

Ejemplo: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥 − 1

-100 -50 50 100

-200

-100

100

200

𝑥𝑥 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥 − 3 Puntos -2 -1 0 1 2 3

-7 -5 -3 -1 1 3

(-2,-7) (-1,-5) (0,-3) (1,-1) (2, 1) (3, 3)

𝑥𝑥 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥 − 1 Puntos

-2 -1 0 1 2

-7 -4 -1 2 5

(-2,-7) (-1,-4) (0,-1) (1, 2) (2, 5)

Dominio (-∝,∝+)

Rango (-∝,∝+)

Dominio (- ∞− ∞+)

Rango ( ∞− ,∞+)

Dominio ( ∞− ∞+)

Rango ( ∞− ,∞+)

Figura 6



55


Figura 7

Figura 8

Ejemplo: Determinar el gráfico, dominio y rango de la función.

𝑓𝑓(𝑥𝑥) =

-20 -10 10 20

-60

-40

-20

20

40

60

-2 2 4 6

2

4

6

8

𝑥𝑥 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 + 3 Puntos

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7 8 9

(-2,1) (-1,2) (0,3) (1,4) (2,5) (3,6) (4,7) (5,8) (6,9)

𝑥𝑥 + 3 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 ≠ 3

2 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 = 3

Df ( ∞− , ,∞+) = Rf

Rf ( ∞− , ,∞+)


56


Figura 9

2.1.3) Funciones cuadráticas: Son de la forma 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐, donde a, b, y c son constantes Ejemplo: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2 − 𝑥𝑥2

𝑥𝑥 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2 − 𝑥𝑥2 Puntos

-3 -2 -1 0 1 2 3

-7 -2 1 2 1 -2 -7

(-3,-7) (-2,-2) (-1, 1) (0, 2) (1, 1) (2, -2) (3, -7)


Rango [-2,∞+)


-3 -2 -1 1 2 3

-6

-4

-2

2

57


Figura 10

Determinar el dominio, rango y gráfico de la siguiente función.


-2 2 4 6

-10

-5

5

10

15

𝑥𝑥 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥 − 2 Puntos −3 −2 −1 0 1

−11 −8 −5 −2 1

(-3,-11) (-2,-8) (-1, -5) (0, -2) (1, 1)

𝑥𝑥 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2+ 12

Puntos 2 3 4 5 6

52� = 2.5

5 17 ⁄ 2 = 8.5

13 37

2� = 18.5

(2,2.5) (3, 5)

(4, 8.5) (5, 13)

(6 , 18.5)

3𝑥𝑥 – 2 si 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 < 1 ( ∞− , 1)

𝑥𝑥2+12

𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 ≥ 1 [1 ,∞+)

Dominio = [ ∞− , ∞+) Rango = [ ∞− , ∞+ Df = Rf


58


Determinar el rango, dominio y gráfico de la función. 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=

𝑥𝑥 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 + 3 Puntos 𝑥𝑥 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 + 1 Puntos 𝑥𝑥 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2 Puntos -3 6 (-3,6) 0 1 (0,1) 3 2 (3,2) -2 3 (-2,3) 1 2 (1,2) 5 2 (5,2) -1 2 (-1,2) 0 3 (0,3)

2.1.4) Funciones donde aparece la raíz cuadrada. Este tipo de funciones pueden ser 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏 ò 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐, donde a, b y c son constantes. Ejemplo: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √ 5 − 𝑥𝑥, tiene que ser positivo ≥ 0

𝑥𝑥 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √5 − 𝑥𝑥 Puntos 5 0 (5, 0) 4 1 (4 , 1) 3 √2= 1.41 (3, 1.41) 2 √3= 1.73 (2, 1.73) 1 2 (1 ,2) 0 √5= 2.23 (0, 2.23)

𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 + 3 𝑠𝑠𝑠𝑠 − 3 ≤ 𝑥𝑥 < 0 [−3,0)

𝑥𝑥 + 1 𝑠𝑠𝑠𝑠 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1 [0,1]

2 𝑠𝑠𝑠𝑠 3 < 𝑥𝑥 < 5 (3,5)

Dominio de la

Función = [−3, 1] ∪ [3 , 5)

Rango = (1,6]

5 – 𝑥𝑥 ≥ 0

−𝑥𝑥 ≥ −5

𝑥𝑥 ≤ −5−1�

𝑥𝑥 ≤ 5

-2 2 4

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Figura 11



59


Determinar el rango, dominio y gráfica de la función.


𝑥𝑥 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 5 − 𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �9 − 𝑥𝑥2 𝑥𝑥 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 5 − 𝑥𝑥 -6 -1 -3 0 3 2 -5 0 -2 √5=2.2 4 1 -4 1 -1 √8=2.8 5 0 -3 2 0 3 6 -1 1 √8=2.8 7 -2 2 √5=2.2 3 0

-2 -1 1 2 3 4 5

0.5

1

1.5

2

2.5

𝑥𝑥 + 5 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 < −3 ( ∞− ,−3)

�9 − 𝑥𝑥2 𝑠𝑠𝑠𝑠 − 3 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 3 [−3,3]

5 − 𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 > 3 (3,∞+)

Figura 12


60


Determinar el dominio, gráfico y rango de la siguiente función.

1er. Método 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �𝑥𝑥2 − 4 𝑥𝑥2-4≥0 𝑥𝑥2 ≥ 4 𝑥𝑥2 ≥ ±√4 𝑥𝑥 ≥ ±2

2do. Método

(𝑥𝑥 + 2) (𝑥𝑥 − 2) ≥ 0 Igualando a Cero y calculando los intervalos respectivos en la recta

𝑥𝑥 + 2 = 0 ; 𝑥𝑥 − 2 = 0 𝑥𝑥 = −2 ; 𝑥𝑥 = 2

I II III

∞− -2 -1 0 1 2 ∞+])

Intervalos P. E. (𝑥𝑥 + 2) ( 𝑥𝑥 − 2) ≥ 0 signo

( ∞− , -2] -4 (-4 +2)( -4 -2) ( - ) ( - ) +

(−2 , 2) -1 (-1 + 2) ( -1 -2) ( + ) ( - ) -

[2 ,∞+]) 4 (4 + 2)( 4 – 2) ( + ) ( + ) +

Conjunto Solución ( ∞− ,-2] ∪ [2 , ∞+])

Dominio ( ∞− , ,∞+))

Rango ( ∞− , ,3] x≤ 3

-6 -4 -2 2 4 6

-1

1

2

3

Figura 13

61


𝑥𝑥 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥2 − 4 -4 3.4 -3 2.2 -2 0 2 0 3 2.2 4 3.4

2.1.5) Funciones racionales: Son de la forma f(x) = 1 𝑎𝑎𝑥𝑥� , donde a es una constante diferente de cero, la función racional también es la combinación de dos o más funciones polinominales (ver sección 2.1.5), entonces se denomina función racional.

Ejemplo: Determinar el dominio, rango y gráfica de la siguiente función.

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 13𝑥𝑥

; donde 𝑥𝑥 ≠ 0 𝑥𝑥 = 0 la función se hace indeterminada

𝑥𝑥 𝑓𝑓(𝑥𝑥) =1

3𝑥𝑥 Puntos

-2 -1 6� =0.16 (-2, -1 6� ) -1 -1 3� = 0.33 (-1, -1 3� ) 1 1

3� = 0.33 (1, 1 3� ) 2 1

6� = 0.16 (2, 1 6� )

Dominio = Df = ( ∞− , ∞+) -{ 0 }

Rango = Rf = ( ∞− , ∞+) - { 0 }

-10 -5 5 10

2

4

6

8

10

Dominio ( ∞− , -2] ∪ [2, ∞+]

Rango [0, ∞+)

-30 -20 -10 10 20

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75


Figura 14


Figura 15

62


Ejemplo: Determinar el dominio, rango y gráfica de la función.

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2− 9𝑥𝑥−3

= (𝑥𝑥−3)(𝑥𝑥+3)(𝑥𝑥−3)

𝑥𝑥 − 3 = 0 𝑥𝑥 = 3 𝑥𝑥 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = x + 3 Puntos -2 1 (-2,1) -1 2 (-1,2) 0 3 (0,3) 1 4 (1,4) 2 5 (2,5) 3 6 (3,6) 4 7 (4,7)

Determinar el rango, dominio y gráfica de la siguiente función. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 18𝑥𝑥3+12𝑥𝑥2− 15𝑥𝑥−10

3𝑥𝑥2− 13𝑥𝑥−10 = �6𝑥𝑥2−5�(3𝑥𝑥+2)

(3𝑥𝑥+2)(𝑥𝑥−5)

Dominio = Df= ( ∞− , ∞+) - { 3 }

Rango = Rf= ( ∞− , ∞+)

3𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 5) + 2(𝑥𝑥 − 5)

Factorizando por agrupación

Numerador = 18𝑥𝑥3+ 12𝑥𝑥2 − 15𝑥𝑥 − 10 = 0

6𝑥𝑥2(3𝑥𝑥 + 2) – 5(3𝑥𝑥 + 2)

(6𝑥𝑥2 − 5) (3𝑥𝑥 + 2)

Denominador = 3𝑥𝑥2 − 13𝑥𝑥 − 10

3𝑥𝑥2-15𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 − 10

(3𝑥𝑥 + 2) (𝑥𝑥 − 5)

𝑥𝑥 – 5 = 0

𝑥𝑥 = 5

Igualando a cero el denominador para quitar la indeterminación de la función

Rango = 6𝑥𝑥2-5 = 6(5)2 − 5 = 145


Figura 16

-40 -20 20 40

-40

-20

20

40

63


𝑥𝑥 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 6𝑥𝑥2−5𝑥𝑥−5

Puntos

2 -193� = -6.33 (2, -6.33)

3 -192� =-24.5 (3, -24.5)

4 -911� = -91 (4, -91)

6 2111� = 211 (6, 211)

7 2892� = 144.5 (7, 144.5)

8 3793� = 126.3 (8, 126.3)

Dominio = ( ∞− ,∞+) - { 5 }

Rango = ( ∞− ,∞+)

2.1.6) Funciones polinomiales: son de la forma 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑥𝑥𝑛𝑛 + 𝑎𝑎𝑛𝑛−1𝑥𝑥𝑛𝑛−1 + … 𝑎𝑎1𝑥𝑥 + 𝑎𝑎0 es un polinomio con coeficientes reales, donde a es una constante.

-5 5 10 15 20

-400

-200

200

400

Figura 17


64


Ejemplo: Determinar dominio, rango y gráfica de la siguiente función.

𝑥𝑥 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3(2𝑥𝑥 + 3)2 Puntos -3 -243 (-3, -243) -2 -8 (-2, -8) -1 -1 (-1, -1) 0 0 (0, 0) 1 25 (1, 25) 2 392 (2, 392) 3 2187 (3, 2187)

2.2) FUNCIONES ESPECIALES

2.2.1) Función exponencial: A la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥)= 𝑒𝑒𝑥𝑥se le llama función exponencial natural, el dominio de esta función son todos los números reales.

𝑒𝑒 = 2.718281828………

Rango = (0, ∞+)

Observación: En muchos modelos matemáticos se emplean potencias de 𝑒𝑒 .

Algunos de estos modelos incluyen lo que se le conoce como CRECIMIENTO DE LA EXPONENCIAL Ó DECRECIMIENTO DE LA MISMA. Una función del tipo 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑥𝑥 , también es exponencial.

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 4𝑥𝑥5 + 12𝑥𝑥4 + 9𝑥𝑥3

= 𝑥𝑥3(4𝑥𝑥2 + 12𝑥𝑥 + 9)

= 𝑥𝑥3[2𝑥𝑥(2𝑥𝑥 + 3) + 3(2𝑥𝑥 + 3)]

= 𝑥𝑥3[(2𝑥𝑥 + 3)(2𝑥𝑥 + 3)]

= 𝑥𝑥3(2𝑥𝑥 + 3)2

Dominio = ( ∞− ,∞+)

Rango = ( ∞− ,∞+)

-100 -50 50 100

-7.5107

-5107

-2.5107

2.5107

5107

7.5107


Figura 18

65


Ejemplo: Determinar gráfico, dominio y rango de las siguientes funciones exponenciales.

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒2𝑥𝑥−1

𝑥𝑥 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒2𝑥𝑥−1 Puntos -2 0.0067 (-2, 0.0067) -1 0.0497 (-1, 0.0497) 0 0.3678 (0, 0.3678) 1 2.718 (1, 2.718) 2 20.08 (2, 20.28)

Propiedades de la función exponencial

i) 𝑒𝑒𝑥𝑥 : R (0, ∞+) ii) 𝑒𝑒0 = 1 iii) 𝑒𝑒𝑎𝑎+𝑏𝑏 = 𝑒𝑒𝑎𝑎 ∗ 𝑒𝑒𝑏𝑏 iv) 𝑒𝑒𝑎𝑎−𝑏𝑏 = 𝑒𝑒

𝑎𝑎

𝑒𝑒𝑏𝑏� v) 𝑒𝑒𝑎𝑎𝑏𝑏 = 𝑒𝑒𝑎𝑎∗𝑏𝑏

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒√𝑥𝑥+3

𝑥𝑥 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒√𝑥𝑥+3 Puntos 0 113.52 (0,5.65) 1 54.59 (1, 7.83) 2 82.61 (2, 9.35) 3 113.52 (3,11.58) 4 148.41 (4, 14.09)

Dominio = ( ∞− ,∞+)

Rango = (0, ∞+)

Dominio = [0, ∞+)

Rango = [5.65, ∞+)

-2 -1 1 2

2

4

6

8

10

12

5 10 15 20

20

40

60

80

100

120

Figura 19


Figura 20


66


2.2.2) Funciones logarítmica: Si x, cualquier numero positivo, existe un numero real tal que y = 𝑒𝑒𝑦𝑦 . A este número único “y” se le llama FUNCION LOGARITMICA NATURAL en x y se denota por 𝑙𝑙𝑛𝑛 x. luego

𝑦𝑦= 𝑙𝑙𝑛𝑛 𝑥𝑥 𝑥𝑥 = 𝑒𝑒𝑦𝑦

El dominio de la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑙𝑙𝑛𝑛 𝑥𝑥 es el intervalo (0, ∞+).

Ejemplo: Determinar gráfica, dominio y rango de la siguiente función.

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 4𝑥𝑥𝑙𝑙𝑛𝑛 2𝑥𝑥2

𝑥𝑥 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 4𝑥𝑥𝑙𝑙𝑛𝑛 2𝑥𝑥2 Puntos

1 2.77 (1, 2.77) 2 16.63 (2, 16.63) 3 34.68 (3, 3468) 4 55.45 (4, 55.45)

Propiedades de la función logarítmica natural:

Si 𝐴𝐴 > 0 𝑦𝑦 𝐵𝐵 > 0 y q es un número real cualquiera, entonces:

i) 𝑙𝑙𝑛𝑛 (𝐴𝐴 ∗ 𝐵𝐵) = 𝑙𝑙𝑛𝑛 𝐴𝐴 + 𝑙𝑙𝑛𝑛 𝐵𝐵 ii) 𝑙𝑙𝑛𝑛 (𝐴𝐴/𝐵𝐵) = 𝑙𝑙𝑛𝑛 𝐴𝐴 – 𝜆𝜆𝑛𝑛 𝐵𝐵 iii) 𝑙𝑙𝑛𝑛 𝐴𝐴𝑞𝑞 = 𝑞𝑞 𝑙𝑙𝑛𝑛 𝐴𝐴

2.5 5 7.5 10 12.5 15

100

200

300

400 Dominio función Df= (0, ∞+) Rango de la función Rf= (0, ∞+)


Figura 21

67


2.2.3) Funciones Trigonométricas

2.2.3.1) Función coseno y seno: Supóngase que se tiene el siguiente círculo unitario

1 (0,1) P(x,y) h y x x -1 (0,-1) y Del gráfico anterior se deduce que el sen t y cos t, están definidos para cualquier valor de t. el dominio de estas dos funciones son todos los reales. El máximo valor que toman estas funciones es 1 y el mínimo valor -1, el rango de la función es de [−1, 1] para ambos casos (seno y coseno). Ejemplo: determinar el dominio, rango y gráfica de la siguiente función.

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛 (𝑥𝑥 − 1)

𝑥𝑥 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3𝑆𝑆𝑒𝑒𝑛𝑛 (𝑥𝑥 − 1) Puntos -145 -1.67 (-145, -1.67) -120 -2.57 (-120, -2.57) -90 -2.99 (-90, -2.99) -65 -2.74 (-65, -2.74) -45 -2.15 (-45, -2.15) -20 -1.07 (-20, -1.07) 0 -0.05 (0, -0.05)

20 0.97 (20, 0.97) 45 2.08 (45, 2.08) 65 2.69 (65, 2.69) 90 2.99 (90, 2.99)

120 2.62 (120, 2.62) 145 1.76 (145, 1.76)

Sen t = 𝑦𝑦 ℎ�

Cos t = 𝑥𝑥 ℎ�


68


Determinar el dominio, rango y gráfica de la siguiente función.

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 2𝑥𝑥)2

𝑥𝑥 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 2𝑥𝑥)2 Puntos -145 0.116 (-145, 0.116) -120 0.25 (-120, 0.25) -90 1 (-90, 1) -65 0.413 ( -65, 0.413) -45 1 (-45, 1) -20 0.5868 (-20, 0.5868) 0 1 (0 , 1) 20 0.5868 (20, 0.5868) 45 1 (45, 1) 65 0.413 (65, 0.413) 90 1 (90, 1)

120 0.25 (120, 0.25) 145 0.116 (145, 0.116)

-40 -20 20 40

-3

-2

-1

1

2

3


Rango [-3,3]

Figura 22


69


2.2.3.2) Función tangente: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = tan x.

Pero como tan x = 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛 𝑥𝑥cos 𝑥𝑥

𝑃𝑃𝑡𝑡𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝑅𝑅𝑓𝑓 - {𝑥𝑥|𝐶𝐶𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑥𝑥 = 0}

es decir; 𝐷𝐷𝑡𝑡𝑎𝑎𝑛𝑛𝑥𝑥 = 𝑅𝑅 − �± (2𝑛𝑛−1)2

𝜋𝜋�𝑛𝑛 = 1, 2, 3, 4, …∞+�

Ejemplo: Determinar dominio, rango y gráfica de la siguiente función

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑡𝑡𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑥

𝑥𝑥 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑡𝑡𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑥 -45 -1 -20 -0.363 0 0

20 0.363 45 1

-10 -5 5 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-40 -20 20 40

-10

-5

5

10Dominio ( ∞− ,∞+)

Rango [Son todos los números reales]


Rango (0,1]

Figura 23

Figura 24


70


2.2.3.3) Función Secante: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) =sec x, pero como se sabe 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑐𝑐 = 1𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑥𝑥

→que el

𝐷𝐷𝑠𝑠𝑒𝑒𝑐𝑐𝑥𝑥 = 𝑅𝑅 − { �𝑥𝑥|𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑥𝑥 = 0}, es decir 𝐷𝐷𝑠𝑠𝑒𝑒𝑐𝑐𝑥𝑥 = 𝑅𝑅 − ��± (2𝑛𝑛−1)2

𝜋𝜋� 𝑛𝑛 = 1,2,3,4,5 … . . �.

El rango de la función secx= R-(-1,1).Ver su gráfica de esta función en la figura 25.

2.2.3.4) Función Cosecante: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = cscx, como 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑐𝑐𝑥𝑥 = 1𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛𝑥𝑥

→el 𝐷𝐷𝑐𝑐𝑠𝑠𝑐𝑐𝑥𝑥 = 𝑅𝑅 −{ �𝑥𝑥|𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛𝑥𝑥 = 0}; es decir el 𝐷𝐷𝑐𝑐𝑠𝑠𝑐𝑐𝑥𝑥 = 𝑅𝑅 − { �±𝑛𝑛𝜋𝜋|𝑛𝑛 = 1,2,3,4,5 … . . }. Ver su gráfica de esta función en la figura 26.

El rango de la función cscx= R-(-1,1).

-3 -2 -1 1 2 3

-20

-10

10

20

-10 -5 5 10

-15

-10

-5

5

10

15

Figura 26

Figura 25

71


2.2.3.5) Función Cotangente: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) =cotx; pero como la 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑡𝑡 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑥𝑥𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛𝑥𝑥

→

𝐷𝐷𝑐𝑐𝑐𝑐𝑡𝑡𝑥𝑥 = 𝑅𝑅 − { �𝑥𝑥|𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛𝑥𝑥 = 0}; es decir, 𝐷𝐷𝑐𝑐𝑐𝑐𝑡𝑡𝑥𝑥 = 𝑅𝑅 − { �±𝑛𝑛𝜋𝜋|𝑛𝑛 = 1,2,3,4,5 … . . }. Ver su gráfica de esta función en la figura 27.

El rango de la función está dada por cotx={y∈R}

2.3) Función Inversa. Una función 𝑓𝑓 puede tener el mismo valor para diferentes números; por ejemplo si 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2, 𝑒𝑒𝑛𝑛𝑡𝑡𝑐𝑐𝑛𝑛𝑐𝑐𝑒𝑒𝑠𝑠 𝑓𝑓(2) = 4 𝑦𝑦 𝑓𝑓(−2) = 4, pero 2 ≠ −2. Para definir la inversa de una función es esencial que distintos números del dominio siempre den diferentes valores de 𝑓𝑓. A tales funciones se les denomina biunívocas (o uno a uno- También conocida como función inyectiva).

Una función 𝑓𝑓 con Dominio D y rango R, es una función biunívoca, si se satisface cualquiera de las dos condiciones equivalentes.

1.- Siempre 𝑎𝑎 ≠ 𝑏𝑏 en el dominio; entonces𝑓𝑓(𝑎𝑎) ≠ 𝑓𝑓(𝑏𝑏)en el rango.

2.- Siempre que 𝑓𝑓(𝑎𝑎) = 𝑓𝑓(𝑏𝑏)en rango, entonces 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 en dominio.

Ejemplo: Determinar.

a) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥 + 2, 𝑒𝑒𝑠𝑠 𝑏𝑏𝑠𝑠𝑏𝑏𝑛𝑛í𝑣𝑣𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎. b) 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 − 3,𝑛𝑛𝑐𝑐 𝑒𝑒 𝑏𝑏𝑠𝑠𝑏𝑏𝑛𝑛í𝑣𝑣𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎.

a) Se usará la condición dos de la definición anterior 𝑓𝑓(𝑎𝑎) = 𝑓𝑓(𝑏𝑏), para algunos

números 𝑎𝑎 𝑦𝑦 𝑏𝑏 del dominio 𝑓𝑓. Esto da:

-10 -5 5 10

-20

-10

10

20

Figura 27

72


3𝑎𝑎 + 2 = 3𝑏𝑏 + 2 𝑑𝑑𝑒𝑒𝑓𝑓𝑠𝑠𝑛𝑛𝑠𝑠𝑐𝑐𝑠𝑠ó𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑓𝑓(𝑥𝑥)

3𝑎𝑎 = 3𝑏𝑏 𝑎𝑎𝑙𝑙 𝑟𝑟𝑒𝑒𝑠𝑠𝑡𝑡𝑎𝑎𝑟𝑟 2

𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 𝑎𝑎𝑙𝑙 𝑑𝑑𝑠𝑠𝑣𝑣𝑠𝑠𝑑𝑑𝑠𝑠𝑟𝑟 𝑒𝑒𝑛𝑛𝑡𝑡𝑟𝑟𝑒𝑒 3

Se concluye que 𝑎𝑎 debe ser igual a 𝑏𝑏,𝑓𝑓 es biunívoca.

b) Demostrar que una función es biunívoca requiere una prueba general del número 1. Para probar que 𝑔𝑔(𝑥𝑥) no es biunívoca basta con encontrar dos números reales distintos en el dominio que produzca el mismo valor de función; por ejemplo -1 ≠ 1,pero 𝑔𝑔(−1) = 𝑔𝑔(1). De hecho, como 𝑔𝑔 es una función par, 𝑔𝑔(−𝑎𝑎) = 𝑔𝑔(𝑎𝑎) para todo número real de 𝑎𝑎.

Sea 𝑓𝑓 una función biunívoca con dominio D y rango R. Una función 𝑓𝑓−1con dominio R y rango D, es la función inversa de 𝒇𝒇 si:

Nota:

Una función creciente en su dominio es biunívoca.

Una función decreciente en su dominio es biunívoca.

𝑓𝑓−1(𝑦𝑦) 𝑛𝑛𝑐𝑐 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑔𝑔𝑛𝑛𝑠𝑠𝑓𝑓𝑠𝑠𝑐𝑐𝑎𝑎 1

𝑓𝑓(𝑦𝑦)

El recíproco 1𝑓𝑓(𝑦𝑦)

, se puede denotar con [𝑓𝑓(𝑦𝑦)]−1. Es importante recordar que los dominios y rangos de 𝑓𝑓 𝑦𝑦𝑓𝑓−1.

2.3.1) Pasos para obtener 𝑓𝑓−1en casos sencillos.

𝑓𝑓−1�𝑓𝑓(𝑥𝑥)� = 𝑥𝑥 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑟𝑟𝑎𝑎 𝑡𝑡𝑐𝑐𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑥𝑥 𝑒𝑒𝑛𝑛 𝐷𝐷.

𝑓𝑓�𝑓𝑓−1(𝑥𝑥)� = 𝑥𝑥 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑟𝑟𝑎𝑎 𝑡𝑡𝑐𝑐𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑥𝑥 𝑒𝑒𝑛𝑛 𝑅𝑅.

1. Verificar que 𝑓𝑓 es una función biunívoca ( que 𝑓𝑓 es creciente o decreciente, en todo su dominio)

2. Despejar a 𝑥𝑥 en términos de 𝑦𝑦 de la ecuación 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥), obteniendo una ecuación de la forma 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓−1(𝑦𝑦).

3. Verificar las siguientes condiciones: a) 𝑓𝑓−1�𝑓𝑓(𝑥𝑥)� = 𝑥𝑥 b) 𝑓𝑓�𝑓𝑓−1(𝑥𝑥)� = 𝑥𝑥

Para todo 𝑥𝑥 en los dominios de 𝑓𝑓 y𝑓𝑓−1, respectivamente

𝑑𝑑𝑐𝑐𝑑𝑑𝑠𝑠𝑛𝑛𝑠𝑠𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑓𝑓−1 = 𝑅𝑅𝑎𝑎𝑛𝑛𝑔𝑔𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑓𝑓.

𝑟𝑟𝑎𝑎𝑛𝑛𝑔𝑔𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑓𝑓−1 = 𝑑𝑑𝑐𝑐𝑑𝑑𝑠𝑠𝑛𝑛𝑠𝑠𝑐𝑐 de f

73


Sea 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3, encuentre la función inversa 𝑓𝑓−1𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑓𝑓 y trazar las gráficas de 𝑓𝑓 𝑦𝑦 𝑓𝑓−1.

𝑦𝑦 = 𝑥𝑥3

Despejando a 𝑥𝑥, tomando la raíz cúbica de cada lado:

𝑥𝑥 = 𝑦𝑦13 = �𝑦𝑦3 .

Ahora

𝑓𝑓−1(𝑦𝑦) = �𝑦𝑦3 o bien, lo cual equivale a 𝑓𝑓−1(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥3

Comprobando las condiciones (a) y (b)

(a)𝑓𝑓−1�𝑓𝑓(𝑥𝑥)� = 𝑓𝑓−1(𝑥𝑥3) = √𝑥𝑥33 = 𝑥𝑥 para toda 𝑥𝑥 en el dominio de 𝑓𝑓(𝑥𝑥).

(b) 𝑓𝑓�𝑓𝑓−1(𝑥𝑥)� = 𝑓𝑓 �√𝑥𝑥3 � = √𝑥𝑥33 = 𝑥𝑥 para toda 𝑥𝑥 en el dominio 𝑓𝑓−1.

-4 -2 2 4

-2

-1

1

2

1 2 3 4 5

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

El gráfico de la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3 , se puede

ver en la figura 28.

Figura 28

Se puede apreciar que la función 𝑓𝑓es impar y∴, la gráfica es simétrica con respecto al orígen y puesto que es creciente en todo su dominio ( ∞− ,∞+) ; es biunívoca y en consecuencia tiene una función inversa 𝑓𝑓−1

El gráfico de la función 𝑓𝑓−1(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥3 , se puede ver en la figura 29.

Figura 29

74


Sea 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥 − 1, encuentre la función inversa 𝑓𝑓−1𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑓𝑓 y trazar las gráficas de 𝑓𝑓 𝑦𝑦 𝑓𝑓−1.

Despejando a 𝑥𝑥

𝑦𝑦 = √𝑥𝑥 − 1

�𝑦𝑦 = (𝑥𝑥 − 1)12�

2

𝑥𝑥 = 𝑦𝑦2 + 1

Ahora

𝑓𝑓−1(𝑦𝑦) = 𝑦𝑦2 + 1 o bien, la cual equivale a 𝑓𝑓−1(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 + 1

2 3 4 5 6

0.5

1

1.5

2

1 2 3 4 5 6

5

10

15

20

25

30

35

El gráfico de la

función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �𝑥𝑥 − 1 , se puede ver en la figura 30.

Figura 30.

El gráfico de la función 𝑓𝑓−1(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 + 1 , se

puede ver en la figura 31.

Figura 31.

Se puede apreciar que la función 𝑓𝑓;la gráfica no es simétrica con respecto al orígen y puesto que es creciente en todo su dominio[1,∞+]; es biunívoca y en consecuencia tiene una función inversa 𝑓𝑓−1

75


Comprobando las condiciones a y b

a)𝑓𝑓−1�𝑓𝑓(𝑥𝑥)� = 𝑓𝑓−1�√𝑥𝑥 − 1� = (√𝑥𝑥 − 1)2 + 1 = 𝑥𝑥 + 1 − 1 = 𝑥𝑥 para toda 𝑥𝑥 en el dominio de 𝑓𝑓(𝑥𝑥). b) 𝑓𝑓(𝑓𝑓−1(𝑥𝑥)) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥2 + 1) = √𝑥𝑥2 + 1 − 1 = √𝑥𝑥2 = 𝑥𝑥 para toda 𝑥𝑥 en el dominio 𝑓𝑓−1

Sea 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒𝑥𝑥+1, encuentre la función inversa 𝑓𝑓−1𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑓𝑓 y trazar las gráficas de 𝑓𝑓 𝑦𝑦 𝑓𝑓−1.

𝑦𝑦 = 𝑒𝑒𝑥𝑥+1

Despejando a 𝑥𝑥 de ecuación, se tienen que aplicar logaritmos.

𝑙𝑙𝑛𝑛[𝑦𝑦 = 𝑒𝑒𝑥𝑥+1]

𝑙𝑙𝑛𝑛𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 + 1

𝑥𝑥 = 𝑙𝑙𝑛𝑛𝑦𝑦 − 1

Ahora

𝑓𝑓−1(𝑦𝑦) = 𝑙𝑙𝑛𝑛𝑦𝑦 − 1, o bien, la cual equivale a 𝑓𝑓−1(𝑥𝑥) = 𝑙𝑙𝑛𝑛𝑥𝑥 − 1

-6 -4 -2 2 4

10

20

30

40

50

60

70

2 3 4 5

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

El gráfico de la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒𝑥𝑥+1 , se

puede ver en la figura 32.

Figura 32.

Se puede apreciar que la función 𝑓𝑓;la gráfica no es simétrica con respecto al orígen y puesto que es creciente en todo su dominio[0,∞+]; es biunívoca y en consecuencia tiene una función inversa 𝑓𝑓−1

El gráfico de la función 𝑓𝑓−1(𝑥𝑥) = 𝑙𝑙𝑛𝑛𝑥𝑥 − 1 , se puede ver en la figura 33.

Figura 33.

76


Comprobando las condiciones a y b

a)𝑓𝑓−1�𝑓𝑓(𝑥𝑥)� = 𝑓𝑓−1(𝑒𝑒𝑥𝑥+1) = ln(𝑒𝑒𝑥𝑥+1) − 1 = 𝑥𝑥 + 1 − 1 = 𝑥𝑥 para toda 𝑥𝑥 en el dominio de 𝑓𝑓(𝑥𝑥).

b) 𝑓𝑓(𝑓𝑓−1(𝑥𝑥)) = 𝑓𝑓(𝑙𝑙𝑛𝑛𝑥𝑥 − 1) = 𝑒𝑒𝑙𝑙𝑛𝑛𝑥𝑥−1+1 = 𝑥𝑥 + 1 − 1 = 𝑥𝑥 para toda 𝑥𝑥 en el dominio 𝑓𝑓−1

2.4) Operaciones con funciones.

Si 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥

Obtener:

a) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (−1)2 − 2(1) = 3

b) 𝑓𝑓(0) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (0)2 − 2(0) = 0

c) 𝑓𝑓(𝑥𝑥 + ℎ) = (𝑥𝑥 + ℎ)2 − 2(𝑥𝑥 + ℎ) = 𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥ℎ + ℎ2 − 2𝑥𝑥 − 2ℎ

d)𝑓𝑓(𝑥𝑥+ℎ) – 𝑓𝑓(𝑥𝑥)ℎ

= (𝑥𝑥+ℎ)2−2(𝑥𝑥+ℎ)−(𝑥𝑥2−2𝑥𝑥)ℎ

= 𝑥𝑥2+2𝑥𝑥ℎ+ℎ2−2𝑥𝑥−2ℎ−𝑥𝑥2+2𝑥𝑥

ℎ = ℎ

2−2ℎ+2𝑥𝑥ℎℎ

= ℎ(ℎ−2+2𝑥𝑥)ℎ

= 2𝑥𝑥 − 2 + ℎ

2.4.1) Suma, resta, producto y cociente de funciones.

Si se tienen las funciones f(x) y g(x), entonces:

a) (f + g) (𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) + 𝑔𝑔(𝑥𝑥) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑛𝑛 𝐷𝐷𝑐𝑐𝑑𝑑𝑓𝑓 + 𝑔𝑔 = 𝐷𝐷𝑓𝑓(𝑥𝑥) ∩ 𝐷𝐷𝑔𝑔(𝑥𝑥)

b) (f - g) (𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) – 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 𝐷𝐷𝑓𝑓(𝑥𝑥) ∩ 𝐷𝐷𝑔𝑔(𝑥𝑥)

c) (f * g) (𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ∗ 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 𝐷𝐷𝑓𝑓(𝑥𝑥) ∩ 𝐷𝐷𝑔𝑔(𝑥𝑥)

d) (𝑓𝑓𝑔𝑔

) (𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑔𝑔(𝑥𝑥)

, 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑟𝑟𝑎𝑎 𝑔𝑔(𝑥𝑥) ≠ 0 = 𝐷𝐷𝑓𝑓(𝑥𝑥) ∩ 𝐷𝐷𝑔𝑔(𝑥𝑥) 𝑔𝑔(𝑥𝑥) ≠ 0

Es decir, el dominio del cociente es la intersección del dominio 𝑓𝑓(𝑥𝑥) y el dominio 𝑔𝑔(𝑥𝑥) menor el valor o valores de x para los cuales 𝑔𝑔(𝑥𝑥) sea cero.

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥 + 1 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥2 − 4

Determinar (f * g)x y su dominio, rango y gráfica.

(𝑓𝑓 ∗ 𝑔𝑔)(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥 + 1 ∗ √𝑥𝑥2 − 4 = �(𝑥𝑥 + 1)(𝑥𝑥2 − 4)


77


Dominio

𝑥𝑥 + 1 ≥ 0

𝑥𝑥 ≥ −1

∞− -1 0 ∞+

I II III

-∝ -2 0 2 ∝+

intervalo P. E. (𝑥𝑥 + 2) (𝑥𝑥 − 2) ≥0 signo ( ∞− , , -2] −5 ( - ) ( - ) +

(−2 , 2) 1 ( + ) ( - ) - [2 , ∞+)) 3 ( + ) ( - ) +

Conjunto solución parcial

( ∞− , ,−2] ∪ [2 ,∞+))

𝐷𝐷(𝑓𝑓 ∗ 𝑔𝑔) 𝑥𝑥 = [−1,∞+) ∩ [( ∞− , − 2) ∪ (2,∞+)]

∞− -2 -1 0 1 2 ∞+

Dominio de la función = [2, ∞+)

𝑥𝑥 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �(𝑥𝑥 + 1)(𝑥𝑥2 − 4) Puntos 2 √0 = 0 (2, 0) 3 √20 = 4.47 (3, 4.47) 4 √60 = 7.74 (4, 7.74) 5 √126 = 11.22 (5, 11.22) 6 √224 = 14.96 (6, 14.96)

𝑥𝑥2 − 4 ≥ 0

(𝑥𝑥 + 2) (𝑥𝑥 − 2) ≥ 0

𝑥𝑥 + 2 = 0𝑥𝑥 − 2 = 0

Igualando a cero y hallando los intervalos en

la recta.

78


Determinar (𝑓𝑓𝑔𝑔) (x) su dominio, rango y grafico de la función.

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥2 + 6

𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥 + 4

(𝑓𝑓𝑔𝑔) (𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥2+6

3𝑥𝑥+4

𝑥𝑥 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥2+63𝑥𝑥+4

Puntos -2 -9 (-2,-9) -1 9 (-1,9) 0 3

2� = 1.5 (0,1.5) 1 9

7� = 1.28 (1,1.28) 2 9

5 = 1.8� (2,1.8) 3 33

13 = 2.5� (3,2.5)

3𝑥𝑥 + 4 = 0 3𝑥𝑥 = −4 𝑥𝑥 = −4

3�

𝑦𝑦 = 343� = 11.3

Dominio= ( ∞− , ∞+)- (-4 3� )

Rango= ( ∞− , ∞+)

2 4 6 8

5

10

15

20

Figura 34

Dominio [2,�∞+)

Rango [0,�∞+)


79


Determinar rango, dominio y gráfico de la función.

(𝑓𝑓 − 𝑔𝑔) 𝑥𝑥

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 + 3

𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 + 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛 𝑥𝑥

(𝑓𝑓.𝑔𝑔) 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 (𝑥𝑥) – 𝑔𝑔 (𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 + 3 − [𝑥𝑥2 + 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛 𝑥𝑥] 𝑥𝑥2 + 3 − 𝑥𝑥2 − 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛 𝑥𝑥 = 3 – 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛 𝑥𝑥

-3 -2 -1 1 2 3 4

-40

-30

-20

-10

10

20

30

𝑥𝑥 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3 − 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛𝑥𝑥 Puntos -90 4 (-90,-4) -70 3.93 (-70,3.93) -50 3.76 (-50,3.76) -30 3.5 (-30,3.5) -10 3.17 (-10,3.17) 0 3 (0,3)

10 2.82 (10,2.82) 30 2.5 (30,2.5) 50 2.23 (50,2.23) 70 2.06 (70,2.06) 90 2 (90,2)

Dominio ( ∞− , ∞+)

Rango [4, 2]

Figura 35.


80


-30 -20 -10 10 20 30

2.5

3

3.5

4

Figura 36

81


Ejercicios III

Sección 3.1: Encuentre el dominio, rango y gráfica de las siguientes funciones, la solución se encuentra en el anexo C.

1) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1−3𝑥𝑥2

2) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1 – √𝑥𝑥 + 1

3) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 9 − 𝑥𝑥2

4) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) =

5) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −√10 − 𝑥𝑥2;

6) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 + 6𝑥𝑥 + 16

7) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √2 − 𝑥𝑥

8) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −√36 − 𝑥𝑥2

9) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 4

𝑥𝑥

𝑥𝑥2 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 < 0

3𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠 0 ≤ 𝑥𝑥 < 2

6 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 ≥ 2

82


Sección 3.2: Evalúa las siguientes funciones en los puntos dados en cada una de ellos. Las soluciones se encuentran en el anexo D.

1) Si 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥 − 4 Hallar 𝑓𝑓(−2); 𝑓𝑓(0); 𝑓𝑓(4)

2) Si 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥 − 4 − 3𝑥𝑥 Hallar 𝑓𝑓(4); 𝑓𝑓(8); 𝑓𝑓(13)

3) Si 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −(4 + 𝑥𝑥2) Hallar 𝑓𝑓(4); 𝑓𝑓(3); 𝑓𝑓(1)

4) Si 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2−2𝑥𝑥𝑥𝑥−3

Hallar 𝑓𝑓(0); 𝑓𝑓(−10); 𝑓𝑓(−15)

5) Si 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥2 − 3𝑥𝑥 − 4 Hallar 𝑓𝑓(1); 𝑓𝑓(−2); 𝑓𝑓(3)

Sección 3.3: Realizar las operaciones con las funciones como se indica cada apartado y determina el dominio de 𝑐𝑐 𝑏𝑏⁄ de ellas, las soluciones se encuentran en el anexo E. Hallar (f * g) (x)

1) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √4 − 𝑥𝑥2 ; 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥

2) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √25 − 𝑥𝑥2 ; 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥 − 3

3) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥 − 2 ; 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥 − 5

4) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥−1𝑥𝑥+2

; 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥−3𝑥𝑥−4

83


5) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 − 4 ; 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = √3𝑥𝑥

6) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 − 4 ; 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥 + 2

Hallar (𝑓𝑓 + 𝑔𝑔) (𝑥𝑥) 𝑦𝑦 (𝑓𝑓 – 𝑔𝑔) (𝑥𝑥)

7) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 + 2 ; 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥2 − 1

8) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥 + 5 ; 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥 + 5

𝐻𝐻𝑎𝑎𝑙𝑙𝑙𝑙𝑎𝑎𝑟𝑟 (𝑓𝑓 + 𝑔𝑔) (𝑥𝑥)

9) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥2 − 4

Hallar (𝑓𝑓 𝑔𝑔� ) (𝑥𝑥)

10) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥𝑥𝑥−4

; 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥𝑥𝑥+5

11) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √4 − 𝑥𝑥2 ; 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥

12) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 − 1; 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥 − 2

13) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √4 − 𝑥𝑥2 ; 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥 + 1

𝑥𝑥 + 1 𝑠𝑠𝑠𝑠 0 ≤ 𝑥𝑥 < 1

2 𝑠𝑠𝑠𝑠 3 ≤ 𝑥𝑥 < 5

𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠 − 1 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 0

Objetivo: El alumno determinará el límite de una función, en caso de que exista, lo evaluará numéricamente y aplicará los teoremas de límites; al mismo tiempo analizará la continuidad de una función.

CAPÍTULO III: LÍMITES Y

CONTINUIDAD.

84

Capítulo IV: La derivada

3.0) LÍMITES

3.1) Definición

Es momento de abordad uno de los conceptos más importantes del Cálculo Diferencial.

La expresión lim𝑥𝑥→𝑥𝑥𝑜𝑜 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝐿𝐿 (se lee “El límite de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) cuando 𝑥𝑥 tiende a 𝑥𝑥𝑜𝑜 es L”). Así la expresión lim𝑥𝑥→𝑥𝑥𝑜𝑜 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝐿𝐿 indica que si 𝑥𝑥 está próximo a 𝑥𝑥𝑜𝑜 entonces 𝑓𝑓(𝑥𝑥) está cerca de L

3.2) Teoremas de los límites.

A continuación se presentan los teoremas acerca de los límites:

Teorema 1: Si 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑐𝑐, una constante, entonces el lim𝑥𝑥→𝑎𝑎 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑐𝑐

𝑆𝑆𝑆𝑆 lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝐴𝐴 𝑦𝑦 lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 𝐵𝐵, 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑜𝑜𝑒𝑒𝑐𝑐𝑒𝑒𝑒𝑒:

Teorema 2: lim𝑥𝑥→𝑎𝑎 𝑘𝑘𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑘𝑘𝐴𝐴,𝑘𝑘 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑎𝑎𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒.

Teorema 3: lim𝑥𝑥→𝑎𝑎[𝑓𝑓(𝑥𝑥) ± 𝑔𝑔(𝑥𝑥)] = lim𝑥𝑥→𝑎𝑎 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ± lim𝑥𝑥→𝑎𝑎 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 𝐴𝐴 ± 𝐵𝐵.

Teorema 4: lim𝑥𝑥→𝑎𝑎[𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑔𝑔(𝑥𝑥)] = lim𝑥𝑥→𝑎𝑎 𝑓𝑓(𝑥𝑥) lim𝑥𝑥→𝑎𝑎 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 𝐴𝐴𝐵𝐵.

Teorema 5:lim𝑥𝑥→𝑎𝑎𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑔𝑔(𝑥𝑥)

= lim 𝑥𝑥→𝑎𝑎 𝑓𝑓(𝑥𝑥)lim 𝑥𝑥→𝑎𝑎 𝑔𝑔(𝑥𝑥)

= 𝐴𝐴𝐵𝐵

, 𝑒𝑒𝑆𝑆𝑒𝑒𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑒𝑒 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑒𝑒 𝐵𝐵 ≠ 0.

Teorema 6: lim𝑥𝑥→𝑎𝑎 �𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑒𝑒 = �lim𝑥𝑥→𝑎𝑎 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑒𝑒 = √𝐴𝐴𝑒𝑒 =, 𝑒𝑒𝑞𝑞𝑠𝑠𝑞𝑞𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑜𝑜 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑒𝑒 √𝐴𝐴𝑒𝑒 , 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑞𝑞𝑒𝑒 𝑒𝑒ú𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠𝑜𝑜 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑎𝑎𝑟𝑟Te

Teorema 7: lim𝑥𝑥→𝑎𝑎(𝑓𝑓(𝑥𝑥))𝑒𝑒 = [lim𝑥𝑥→𝑎𝑎 𝑓𝑓(𝑥𝑥)]𝑒𝑒

3.3) Límite de una función:

Supóngase que se tiene la siguiente función:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥2−𝑥𝑥−6𝑥𝑥−2

= (2𝑥𝑥+3)(𝑥𝑥−2)(𝑥𝑥−2)

𝑥𝑥 = 2

Como se puede observar esta función no está definida en 𝑥𝑥 = 2, pero le daremos valores a 𝑥𝑥 que estén cercanos a 2, para ver hacia donde se aproxima.

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥 + 3

Se le dará valores a 𝑥𝑥 que se aproxima a 2 por la izquierda

𝑥𝑥 1 1.5 1.8 1.9 1.99 2 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥 + 3 5 6 6.6 6.8 6.98 7

85


Se le dará valores a 𝑥𝑥 cuando se aproxime a 2 por la derecha

𝑥𝑥 3 2.5 2.2 2.1 2.01 2 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥 + 3 9 8 7.4 7.2 7.02 7

Nuevamente se observa que 𝑓𝑓(𝑥𝑥) tiende a 7 cuando 𝑥𝑥 toma valores que se aproximan a 2 por la derecha.

Este análisis lleva a la conclusión que el límite de una función no es más que una noción de cercanía. El concepto de límite unifica todas las ideas de cercanía.

3.4) Límites directos: Se obtienen sustituyendo la variable x a la variable que se trata a la que se aproxima.

Ejemplos: Calcular los límites que a continuación se enlistan.

lim𝑥𝑥→−2

�2𝑥𝑥 − 1𝑥𝑥 + 1

= lim𝑥𝑥→−2

�(2)(−2) − 1−2 + 1

= �−5−1

= √5

lim𝑥𝑥→2

(2𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥 − 5) = 2(2)2 − 3(2) − 5 = 2(4) − 6 − 5 = 9

lim𝑥𝑥→04𝑥𝑥−4−𝑥𝑥

4𝑥𝑥+4−𝑥𝑥=

40− 140

40+ 140

= 1−1

11+1

= 02 = 0

3.5) Límites no directos:

lim𝑥𝑥→1

2�

4𝑥𝑥2 − 12𝑥𝑥 − 1

= lim𝑥𝑥→1

2� (2𝑥𝑥 + 1)(2𝑥𝑥 − 1)

(2𝑥𝑥 − 1)= lim

𝑥𝑥→12�2𝑥𝑥 + 1 = 2 �

12� + 1 = 1 + 1 = 2

lim𝑥𝑥→√5𝑋𝑋−√5𝑥𝑥2−5

= lim𝑥𝑥→√5

𝑋𝑋−√5�𝑋𝑋+√5�(𝑋𝑋−√5)

= lim𝑥𝑥→√5

1𝑋𝑋+√5

= 1√5+√5

= 12√5

lim𝑥𝑥→0

𝑒𝑒𝑥𝑥 + 𝑒𝑒−𝑥𝑥

2= lim

𝑥𝑥→0 𝑒𝑒𝑥𝑥 + 1

𝑒𝑒𝑥𝑥2

= 𝑒𝑒0 + 1

𝑒𝑒0

2=

1 + 11

2=

22

= 1

lim𝑥𝑥→4

64 − 𝑥𝑥3

16 − 𝑥𝑥2 = lim𝑥𝑥→4

(4 − 𝑥𝑥)(16 + 4𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2)

(4 − 𝑥𝑥)(4 + 𝑥𝑥)=

16 + 4𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2

4 + 𝑥𝑥=

488

= 6

lim𝑥𝑥→1

𝑥𝑥3 − 1𝑥𝑥 − 1

= lim𝑥𝑥→1

(𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 + 1)

(𝑥𝑥 − 1)= (1)2 + (1) + 1 = 1 + 1 + 1 = 3

lim𝑥𝑥→1

3𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥2 − 6𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥

= lim𝑥𝑥→1

(𝑥𝑥 − 1)(3𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥 − 2)

𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 1)=

3𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥

86


= 3(1)2+4(1)−21

= 3+4−21

= 7−21

= 51� = 5

limℎ→0

�9 + 2ℎℎ

− 3 = limℎ→0

��9 + 2ℎℎ

− 3 ×√9 + 2ℎ + 3√9 + 2 + 3

� = limℎ→0

2ℎ

ℎ(√9 + 2ℎ + 3)

= 2

√9 + 2ℎ + 3 =

2�9 + 2(0) + 3

= 2

√9 + 3=

23 + 3

= 26

lim𝑥𝑥→2

�𝑥𝑥3 − 8𝑥𝑥2 − 4

= lim𝑥𝑥→2

�(𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 + 4)

(𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 − 2)= lim

𝑥𝑥→2�𝑥𝑥

2 + 2𝑥𝑥 + 4𝑥𝑥 + 2

= �(2)2 + 2(2) + 42 + 2

= √3

lim𝑥𝑥→0

(𝑥𝑥 + ℎ)−2 − ℎ−2

𝑥𝑥= lim

𝑥𝑥→0

1(𝑥𝑥 + ℎ)2 −

1ℎ2

𝑥𝑥= lim

𝑥𝑥→0

ℎ2 − 𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥ℎ − ℎ2

(𝑥𝑥 + ℎ)2ℎ2

𝑥𝑥= lim

𝑥𝑥→0

−𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥ℎ(𝑥𝑥 + ℎ)2ℎ2

𝑥𝑥

= lim𝑥𝑥→0

𝑥𝑥(−𝑥𝑥 − 2ℎ)𝑥𝑥(𝑥𝑥 + ℎ)2ℎ2 = lim

𝑥𝑥→0

−𝑥𝑥 − 2ℎ(𝑥𝑥 + ℎ)2ℎ2 =

−2ℎℎ2ℎ2 =

−2ℎℎ4 = −

2ℎ3

Luego:

lim𝑥𝑥→1

√𝑥𝑥 − 1√𝑥𝑥4 − 1

= lim𝑞𝑞→1

𝑞𝑞2 − 1𝑞𝑞 − 1

= lim𝑞𝑞→1

(𝑞𝑞 + 1)(𝑞𝑞 − 1)𝑞𝑞 − 1

= 𝑞𝑞 + 1 = 1 + 1 = 2

lim𝑥𝑥→1

√𝑥𝑥 − 1√𝑥𝑥3 − 1

𝑆𝑆𝑒𝑒 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑎𝑎𝑟𝑟𝑆𝑆𝑟𝑟𝑎𝑎 𝑞𝑞𝑒𝑒 𝑐𝑐𝑎𝑎𝑠𝑠𝑐𝑐𝑆𝑆𝑜𝑜 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑣𝑣𝑎𝑎𝑠𝑠𝑆𝑆𝑎𝑎𝑐𝑐𝑟𝑟𝑒𝑒

𝑞𝑞 = √𝑥𝑥6 → 𝑞𝑞6 = 𝑥𝑥 → 𝒖𝒖𝟑𝟑 = √𝒙𝒙 → 𝒖𝒖𝟐𝟐 = √𝒙𝒙𝟑𝟑

Límites donde es útil realizar un cambio de variable.

lim𝑥𝑥→1

√𝑥𝑥 − 1√𝑥𝑥4 − 1

𝑆𝑆𝑒𝑒 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑎𝑎𝑟𝑟𝑆𝑆𝑟𝑟𝑎𝑎 𝑞𝑞𝑒𝑒 𝑐𝑐𝑎𝑎𝑠𝑠𝑐𝑐𝑆𝑆𝑜𝑜 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑣𝑣𝑎𝑎𝑠𝑠𝑆𝑆𝑎𝑎𝑐𝑐𝑟𝑟𝑒𝑒

𝒖𝒖 = √𝒙𝒙𝟒𝟒 → 𝑞𝑞4 = 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝒖𝒖𝟐𝟐 = √𝒙𝒙

Luego:

lim𝑥𝑥→1

√𝑥𝑥 − 1√𝑥𝑥3 − 1

= lim𝑞𝑞→1

𝑞𝑞3 − 1𝑞𝑞2 − 1

= lim𝑞𝑞→1

(𝑞𝑞 − 1)(𝑞𝑞2 + 𝑞𝑞 + 1)(𝑞𝑞 − 1)(𝑞𝑞 + 1) = lim

𝑞𝑞→1

(𝑞𝑞2 + 𝑞𝑞 + 1)(𝑞𝑞 + 1) =

1 + 1 + 11

=32

87


3.6) Límites al infinito.

En ocasiones es necesario conocer el comportamiento global de una función real (comportamiento de la función lejos del origen), esto significa que se debe efectuar el estudio de la función en los extremos del dominio, interés especial requiere el caso en que estos extremos son -∞,∞.

Analizemos la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 5𝑥𝑥−2

, cuya gráfica es de la siguiente forma

Luego:

lim𝑥𝑥→+∞

5𝑥𝑥 − 2

=5

∞− 2= 0 ⇒ 𝐿𝐿 = 0

lim𝑥𝑥→−∞

5𝑥𝑥 − 2

=5

−∞− 2= 0 ⇒ 𝐿𝐿 = 0

En estos casos cuando lim𝑥𝑥→∞ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝐿𝐿, 𝑒𝑒𝑆𝑆𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑞𝑞𝑒𝑒𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑒𝑒í𝑒𝑒𝑒𝑒𝑜𝑜𝑒𝑒𝑎𝑎 ℎ𝑜𝑜𝑠𝑠𝑆𝑆𝑟𝑟𝑜𝑜𝑒𝑒𝑒𝑒𝑎𝑎𝑟𝑟,

Formalizando la definición anterior:

i) Sea f la función definida en el intervalo (𝑥𝑥0, +∞). El límite de la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) cuando 𝑥𝑥 crece sin límite (𝑥𝑥𝑜𝑜 → +∞) 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐿𝐿: 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝒙𝒙→+∞ 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝑳𝑳

ii) Sea f la función definida en el intervalo (,−∞, 𝑥𝑥0). El límite de la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) cuando 𝑥𝑥 decrece sin límite (𝑥𝑥𝑜𝑜 → −∞) 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐿𝐿: 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝒙𝒙→−∞ 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝑳𝑳

El procedimiento de darle valores cada vez más grandes a la 𝒙𝒙 para observar la tendencia de la función en general resulta bastante tediosos, es por eso que calcular los límites de una función; un método que se utilizará es dividir a cada término de la función entre la 𝒙𝒙 elevada al mayor exponente, que

1 2 3 4 5

-100

-50

50

100

Se observa que los valores asignados a 𝑥𝑥 → ∞,los respectivos de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) →0; similar pasa cuando a 𝑥𝑥 → −∞, los respectivos de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) →0; es decir.

𝒙𝒙 𝒇𝒇(𝒙𝒙) 4 2.5 3 5

2.5 10 2.3 16 2.2 25 2.1 50 1.9 -50 1.8 -25 1-7 -16 1.5 -10 1 -5

88


aparezca en la función; es decir, en las funciones que a continuación se presentan se dividirá cada término con la 𝒙𝒙 de mayor exponente.

Nota: Todo número real dividido entre infinito es cero (𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝒙𝒙→∞𝟏𝟏𝒙𝒙

= 𝟏𝟏∞

= 𝟎𝟎)

Ejemplos:

lim𝑥𝑥→∞

4𝑥𝑥2 − 3𝑥𝑥 + 75𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 − 9

= lim𝑥𝑥→∞

4𝑥𝑥2

𝑥𝑥2 − 3𝑥𝑥𝑥𝑥2 + 7

𝑥𝑥2

5𝑥𝑥2

𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥𝑥𝑥2 −

9𝑥𝑥2

= lim𝑥𝑥→∞

4 − 3𝑥𝑥 + 7

𝑥𝑥2

5 + 1𝑥𝑥 −

9𝑥𝑥2

= lim𝑥𝑥→∞

4 − 3∞ + 7

∞5 + 1

∞− 9∞

=

=4 − 0 + 05 + 0 − 0

=45

lim𝑥𝑥→∞

3𝑥𝑥 + 13𝑥𝑥 − 2

= lim𝑥𝑥→∞

3𝑥𝑥𝑥𝑥 + 1

𝑥𝑥3𝑥𝑥𝑥𝑥 − 2

𝑥𝑥= lim

𝑥𝑥→∞

3 + 1𝑥𝑥

3 − 2𝑥𝑥

= lim𝑥𝑥→∞

3 + 1∞

3 − 2∞

=3 + 03 − 0

=33

= 1

lim𝑥𝑥→∞

1 + 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2

2 − 𝑥𝑥3 = lim𝑥𝑥→∞

1𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥

𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥2

𝑥𝑥3

2𝑥𝑥3 −

𝑥𝑥3

𝑥𝑥3

= lim𝑥𝑥→∞

1𝑥𝑥3 + 1

𝑥𝑥2 + 1𝑥𝑥

2𝑥𝑥3 − 1

= lim𝑥𝑥→∞

1∞ + 1

∞ + 1∞

2∞− 1

=0 + 0 + 0

0 − 1=

0−1

= 0

lim𝑥𝑥→∞

2 + 3𝑥𝑥1 + √𝑥𝑥2 + 4

= lim𝑥𝑥→∞

2𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥

𝑥𝑥1𝑥𝑥 + �𝑥𝑥

2

𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥2

= lim𝑥𝑥→∞

2𝑥𝑥 + 3

1𝑥𝑥 + �1 + 4

𝑥𝑥2

= lim𝑥𝑥→∞

2∞ + 3

1∞ + �1 + 4

∞

=0 + 3

0 + √1 + 0=

31

= 3

lim𝑥𝑥→∞

��𝑥𝑥2 + 1 − 𝑥𝑥� = lim𝑥𝑥→∞

��𝑥𝑥2 + 1 − 𝑥𝑥� �√𝑥𝑥2 + 1 + 𝑥𝑥√𝑥𝑥2 + 1 + 𝑥𝑥

� = lim𝑥𝑥→∞

𝑥𝑥2 + 1 − 𝑥𝑥2

√𝑥𝑥2 + 1 + 𝑥𝑥

lim𝑥𝑥→∞

1√𝑥𝑥2 + 1 + 𝑥𝑥

= lim𝑥𝑥→∞

1𝑥𝑥

�𝑥𝑥2

𝑥𝑥2 + 1𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥

𝑥𝑥

= lim𝑥𝑥→∞

1𝑥𝑥

�1 + 1𝑥𝑥2 + 1

=1∞

�1 + 1∞ + 1

=0

√1 + 0 + 1=

02

= 0

89


3.7) Límites laterales.

• Límite lateral derecho: Sea la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥), donde a y b pertenecen a los números reales; se dice que el límite de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) es L cuando 𝑥𝑥 tiende al valor de a par la derecha y se escribe como:

lim𝑥𝑥→𝑎𝑎+

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝐿𝐿

• Límite lateral izquierdo: Se dice que el límite 𝑓𝑓(𝑥𝑥) es L, cuando 𝑥𝑥 tiende al

valor de a por la izquierda y se denota como:

lim𝑥𝑥→𝑎𝑎−

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝐿𝐿

TEOREMA: lim𝑥𝑥→𝑎𝑎 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝐿𝐿

lim𝑥𝑥→𝑎𝑎 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝐿𝐿 “existe”, si solo sus límites laterales existen y además son iguales.

lim𝑥𝑥→𝑎𝑎−

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = lim𝑥𝑥→𝑎𝑎+

𝑓𝑓(𝑥𝑥)

Existen

Ejemplo: Determine el límite 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �3𝑥𝑥 + 7 𝑒𝑒𝑆𝑆 𝑥𝑥 ≤ 4 5𝑥𝑥 − 1 𝑒𝑒𝑆𝑆 𝑥𝑥 > 4

�

• Calcular el límite para la lateral izquierda

lim𝑥𝑥→4 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = lim𝑥𝑥→4 3𝑥𝑥 + 7 = 3(4) + 7 = 12 + 7 = 19; Si existe

• Límite por la derecha

lim𝑥𝑥→4+ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = lim𝑥𝑥→4+ 5𝑥𝑥 − 1 = 5(4) − 1 = 20 − 1 = 19; Si existe

∴ La función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) existe y su valor es 19 cuando 𝑥𝑥 4; es decir existen igualdades por ambas laterales (izquierda y derecha).

• Determinar el límite de la función

90


lim𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �𝑥𝑥+4

4 𝑒𝑒𝑆𝑆 𝑥𝑥 ≤ 2

12−3𝑥𝑥4

𝑒𝑒𝑆𝑆 𝑥𝑥 > 2 �

→ Límite lateral izquierdo

lim𝑥𝑥→2

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = lim𝑥𝑥→2

𝑥𝑥 + 44

= 2 + 4

4=

64

= 32�

→ Límite lateral derecha

lim𝑥𝑥→2+

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = lim𝑥𝑥→2+

12 − 3𝑥𝑥4

= 12 − 3(2)

4=

12 − 64

= 64

= 32�

∴ El límite 𝑓𝑓(𝑥𝑥) existe y su valor es de 3 2� cuando 𝑥𝑥 → 4; esta igualada por ambas laterales.

-4 -2 2 4 6 8 10

10

20

30

40

50


Figura 37

91


Determinar el límite de la función:

𝑟𝑟𝑆𝑆𝑠𝑠 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �4 − 𝑥𝑥2 𝑒𝑒𝑆𝑆 𝑥𝑥 < 1 2 + 𝑥𝑥2 𝑒𝑒𝑆𝑆 𝑥𝑥 ≥ 1

�

→ Límite lateral izquierdo lim𝑥𝑥→1−

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = lim𝑥𝑥→1−

(4 − 𝑥𝑥2) = 4 − (1)2 = 3

→ Límite lateral derecho

lim𝑥𝑥→1+


(2 + 𝑥𝑥2) = 2 + (1)2 = 3

El límite 𝑓𝑓(𝑥𝑥) existe y su valor es 3 cuando 𝑥𝑥 →1, esta igualada por ambos laterales.

Determinar el límite de la función f(x):

lim𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥 + 6 𝑒𝑒𝑆𝑆 𝑥𝑥 < 2 ( ∞− , 2)−𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥 − 2 𝑒𝑒𝑆𝑆 𝑥𝑥 ≥ 2 [2,∞+)

�

→ Límite lateral izquierdo lim𝑥𝑥→2−

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = lim𝑥𝑥→2−

(𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥 + 6) = −(2)2 − 4(2) + 6 = 2

→ → →

-6 -4 -2 2 4 6

-20

-10

10

20

30

40

50


Figura 38


92


→ Límite lateral derecho lim𝑥𝑥→2+


(−𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥 − 2) = −(2)2 + 4(2) − 2 = −4 + 8 − 2 = 2

El límite de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) existe y su valor es 2 cuando 𝑥𝑥 → 2, esta igualada por ambos laterales.

• Determinar si existe límite en la siguiente función:

𝑓𝑓(𝑒𝑒) = �9 − 𝑒𝑒2 𝑒𝑒𝑆𝑆 𝑒𝑒 ≤ 2 3𝑒𝑒 − 2 𝑒𝑒𝑆𝑆 𝑒𝑒 > 2

�

→ Límite lateral izquierdo lim𝑥𝑥→2− 𝑓𝑓(𝑒𝑒) = lim𝑥𝑥→2−( 9 − 𝑒𝑒2) = 9 − (2)2 = 9 − 4 = 5 Existe

→ Límite lateral derecho lim𝑥𝑥→2+ 𝑓𝑓(𝑒𝑒) = lim𝑥𝑥→2+(3𝑒𝑒 − 2) = 3(2) − 2 = 6 − 2 = 4 Existe

Como los límites no son iguales, se concluye que el límite de la función no existe.

-6 -4 -2 2 4 6

-20

-10

10

20

30

40

50

Figura 39


93


• Determinar el valor de 𝑘𝑘 ∈ 𝑅𝑅, tal que la función dada tenga límite en 𝑥𝑥0 = −3

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �𝑘𝑘 − 5𝑥𝑥 𝑒𝑒𝑆𝑆 𝑥𝑥 ≤ −38𝑘𝑘 − 𝑥𝑥 𝑒𝑒𝑆𝑆 𝑥𝑥 > −3

�

Se sustituye el valor de 𝑘𝑘 = 127� en la Ec (2), se tiene.

lim𝑥𝑥→−3+

�8 �127� − 𝑥𝑥� = 96

7� + 3 = 1177�

lim𝑥𝑥→−3−

[127� − 5𝑥𝑥] = 12

7� + 15 = 1177�

-6 -4 -2 2 4 6

-5

5

10

15

8𝑘𝑘 + 3 = 𝑘𝑘 + 15

8𝑘𝑘 − 𝑘𝑘 = 15 − 3

7𝑘𝑘 = 12

𝑘𝑘 = 127�

Límite lateral = límite lateral

Derecho izquierdo

lim𝑥𝑥→−3+ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = lim𝑥𝑥→−3− 𝑓𝑓(𝑥𝑥)

𝑥𝑥 → −3+

-lim(8𝑘𝑘 − 𝑥𝑥) = 8𝑘𝑘 + 3 … .𝐸𝐸𝑐𝑐{(1)}

-lim(𝑘𝑘 − 5𝑥𝑥) = 𝑘𝑘 + 15 … .𝐸𝐸𝑐𝑐(2)

𝑥𝑥 →-3−

Figura 40

Igualando ambas ecuaciones (1 y 2) de los límites laterales (izquierdo y derecho)

94


Luego para 𝑘𝑘 = 127� los límites de esta función son iguales, ∴ La función

𝑓𝑓(𝑥𝑥) existe y su valor es 1177� cuando 𝑥𝑥 → −3; es decir, están igualados por

ambos lado

• Determinar el límite de la función: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �√1 − 𝑥𝑥2 � 𝑥𝑥 ≥ 1 [1,∞ +)

→ Límite lateral derecho lim𝑥𝑥→1+ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = lim𝑥𝑥→1+ √1 − 𝑥𝑥2, no existe a uno por la derecha, implica dar valores mayores a 1 a la función √1 − 𝑥𝑥2, para los cuales no está definida, no existe.

95


3.8) Continuidad de una función5

Observar y analizar las siguientes gráficas.

5

Torres García Encarnación; Introducción al cálculo diferencial e integral.Edit.Libudi pag 51 a la 53.

Y

𝑓𝑓(𝑥𝑥0) L

FIGURA a x

Y


FIGURA b x

- Figura a, b, c lim𝑥𝑥→𝑥𝑥0 𝑓𝑓(𝑥𝑥) Cuando existe

- 𝑓𝑓(𝑥𝑥0) está definida

Y


FIGURA c x

Y 𝑓𝑓(𝑥𝑥0) L FIGURA d x

En esta grafica(d) el lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥) cuando 𝑥𝑥 → 𝑥𝑥0 existe, pero f(𝑥𝑥0), no está definida.

Y 𝑓𝑓(𝑥𝑥0) L FIGURA e x

Y

𝑓𝑓(𝑥𝑥0) x

FIGURA f

El 𝑟𝑟𝑆𝑆𝑠𝑠𝑆𝑆𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑥𝑥 → 𝑥𝑥0 existe, 𝑓𝑓(𝑥𝑥0) esta definido, pero lim f(x) cuando 𝑥𝑥 → 𝑥𝑥0 ≠ 𝑓𝑓(𝑥𝑥0)

lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥) Cuando x → 𝑥𝑥0 no existe y la función en 𝑓𝑓(𝑥𝑥0) no está definida

96


y FIGURA g x En estas series de gráficas no es posible seguir el trazo de la gráfica en forma continua, ya que se tienen interrupciones o saltos. Definición. Una función f(x) es continua en x = 𝑥𝑥0 si y solo si, se satisfacen las siguientes condiciones.

i) 𝑓𝑓(𝑥𝑥0) = Exista ii) lim𝑥𝑥→𝑥𝑥0 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = exista iii) 𝑓𝑓(𝑥𝑥0) = lim𝑥𝑥→𝑥𝑥0 𝑓𝑓(𝑥𝑥)

𝐸𝐸𝑥𝑥𝑆𝑆𝑒𝑒𝑒𝑒𝑎𝑎: 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑔𝑔𝑒𝑒𝑆𝑆𝑓𝑓𝑆𝑆𝑐𝑐𝑎𝑎 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑟𝑟 𝑟𝑟í𝑠𝑠𝑆𝑆𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑆𝑆𝑒𝑒𝑒𝑒𝑑𝑑𝑎𝑎 ℎ𝑎𝑎𝑐𝑐𝑆𝑆𝑎𝑎 𝑞𝑞𝑒𝑒 𝑒𝑒ú𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠𝑜𝑜 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑎𝑎𝑟𝑟 𝑐𝑐𝑞𝑞𝑎𝑎𝑟𝑟𝑞𝑞𝑞𝑞𝑆𝑆𝑒𝑒𝑠𝑠𝑎𝑎

Si una de estas tres condiciones no se cumple para 𝑥𝑥0, se dice que la función f(𝑥𝑥0) es discontinua en 𝑥𝑥0

Ejemplo:

Determine si la siguiente función es continua en 𝑥𝑥 = 1

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �3 + 𝑥𝑥 𝑒𝑒𝑆𝑆 𝑥𝑥 ≤ 1 ( ∞− , 1]3 − 𝑥𝑥 𝑒𝑒𝑆𝑆 1 < 𝑥𝑥; 𝑥𝑥 > 1 (1,∞+)

�

i) 𝑓𝑓(𝑥𝑥0) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3 + 𝑥𝑥 = 3 + 1 = 4 existe ii) lim𝑥𝑥→𝑥𝑥0 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = no existe

Por extremos

→ Límite lateral izquierdo lim𝑥𝑥→𝑥𝑥0 𝑓𝑓(𝑥𝑥0) = lim𝑥𝑥→1 3 + 𝑥𝑥 = 3 + 1 = 4 existe


El límite 𝑓𝑓(𝑥𝑥) cuando 𝑥𝑥 → 𝑥𝑥0 no existe, pero la función en 𝑓𝑓(𝑥𝑥0) si está definida.


97


lim𝑥𝑥→𝑥𝑥0 𝑓𝑓(𝑥𝑥0) = lim𝑥𝑥→1 3 − 𝑥𝑥 = 3 − 1 = 2 existe ∴ La función es discontinua en 𝑥𝑥 = 1

iii) 𝑓𝑓(𝑥𝑥0) = lim𝑥𝑥→0 𝑓𝑓(𝑥𝑥); esta condición no se satisface, porque 𝑓𝑓(1) = 4 y lim𝑥𝑥→1 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 4, 2, son diferentes.

𝑥𝑥 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3 + 𝑥𝑥

𝑥𝑥 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3 − 𝑥𝑥 1 4 1 2 0 3 2 1 -1 2 3 0 -2 1

Encontrar el valor de alfa (∝) que hace que la función sea continua en todos los valores.

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �3𝑥𝑥 + 7 𝑒𝑒𝑆𝑆 𝑥𝑥 ≤ 4𝜇𝜇𝑥𝑥 − 1 𝑒𝑒𝑆𝑆 𝑥𝑥 > 4

�

i) 𝑓𝑓(𝑥𝑥0) = 𝑓𝑓(4) = 3(4) + 7 = 12 + 7 = 19 existe ii) lim𝑥𝑥→𝑥𝑥0 𝑓𝑓(𝑥𝑥0) =

Por los extremos

→ Límite lateral izquierdo lim𝑥𝑥→𝑥𝑥0��

𝑓𝑓(𝑥𝑥0) = lim𝑥𝑥→4�

3𝑥𝑥 + 7 = 3(4) + 7 = 19

-3 -2 -1 1 2 3

1

2

3

4

Discontinuidad

Figura 41

98


→ Límite lateral derecho lim𝑥𝑥→𝑥𝑥0 𝑓𝑓(𝑥𝑥0) = lim𝑥𝑥→4+ 𝜇𝜇𝑥𝑥 − 1 = 5(4) − 1 = 19 ⟹ existe Ecuación:

• Determine el valor de 𝑐𝑐 𝑦𝑦 𝑘𝑘, tal que las funciones sean continuas en todos los números reales.

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �𝑥𝑥 𝑒𝑒𝑆𝑆 𝑥𝑥 < 1 𝑐𝑐𝑥𝑥 + 𝑘𝑘 𝑒𝑒𝑆𝑆 1 ≤ 𝑥𝑥 < 4−2𝑥𝑥 𝑒𝑒𝑆𝑆 𝑥𝑥 ≥ 4

�

Para 𝑥𝑥 = 1

i) 𝑓𝑓(𝑥𝑥0) = 𝑓𝑓(1) = 𝑐𝑐(1) + 𝑘𝑘 = 𝑐𝑐 + 𝑘𝑘 = 1 ii) lim𝑥𝑥→𝑥𝑥0 𝑓𝑓(𝑥𝑥0)

Por extremos

→ Límite lateral derecho lim𝑥𝑥→𝑥𝑥0

𝑓𝑓(𝑥𝑥0) = lim𝑥𝑥→1+

(𝑐𝑐𝑥𝑥 + 𝑘𝑘) = 𝑐𝑐 + 𝑘𝑘

→ Límite lateral izquierdo

lim𝑥𝑥→𝑥𝑥0 𝑓𝑓(𝑥𝑥0) = lim𝑥𝑥→1 𝑥𝑥 = 1 Existe

𝜇𝜇𝑥𝑥 − 1 = 19

𝜇𝜇4 − 1 = 19

𝜇𝜇4 = 19 + 1

𝜇𝜇4 = 20

𝜇𝜇 = 204�

𝜇𝜇 = 5

99


Para 𝑥𝑥 = 4

i) 𝑓𝑓(𝑥𝑥0) = 𝑓𝑓(4) = −2𝑥𝑥 = −2(4) = −8 Existe ii) lim𝑥𝑥→𝑥𝑥0 𝑓𝑓(𝑥𝑥0)

Por extremos

→ Límite lateral derecho lim𝑥𝑥→𝑥𝑥0

𝑓𝑓(𝑥𝑥0) = lim𝑥𝑥→4+

(−2𝑥𝑥) = −2(4) = −8


lim𝑥𝑥→𝑥𝑥0 𝑓𝑓(𝑥𝑥0) = lim𝑥𝑥→4−(𝑐𝑐𝑥𝑥 + 𝑘𝑘) = 4𝑐𝑐 + 𝑘𝑘 = ?

Determinar los valores de las ecuaciones

𝑐𝑐 + 𝑘𝑘 = 1 − 𝐸𝐸𝑐𝑐 (1) 4𝑐𝑐 + 𝑘𝑘 = −8 − 𝐸𝐸𝑐𝑐 (2)

Despejando C de la Ec (1)

𝑐𝑐 = 1 − 𝑘𝑘 - 𝐸𝐸𝑐𝑐 (3)

Sustituyendo Ec (3) en Ec (2) 4(1 − 𝑘𝑘) + 𝑘𝑘 = −8 4 − 4𝑘𝑘 + 𝑘𝑘 = −8

4 – 3𝑘𝑘 = −8 −3𝑘𝑘 = −8 − 4 −3𝑘𝑘 = −12 𝑘𝑘 = −12

−3� 𝑘𝑘 = 4

Sustituyendo el valor

De 𝑘𝑘 = 4 en la Ec (3)

𝑐𝑐 = 1 – 𝑘𝑘 𝑐𝑐 = 1 – 4 𝑐𝑐 = −3

Comprobación

𝑐𝑐 + 𝑘𝑘 = 1 → −3 + 4 = 1 𝐸𝐸𝑐𝑐 (1) 4𝑐𝑐 + 𝑘𝑘 = −8 → 4(−3) + 4 = −8 𝐸𝐸𝑐𝑐 (2)

−12 + 4 = −8

100


3.9) Discontinuidad de una función. Una función es discontinua en 𝑥𝑥𝑜𝑜si no cumple la condición lim𝑥𝑥→𝑥𝑥𝑜𝑜 𝑓𝑓( 𝑥𝑥𝑜𝑜) existe ⟹

Se dice que la 𝑥𝑥 → 𝑥𝑥0 función 𝑓𝑓(𝑥𝑥), presenta una discontinuidad esencial.

Ejemplo:

Investigar si la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥+2𝑥𝑥2−8𝑥𝑥+12

= 𝑥𝑥+2(𝑥𝑥−6)(𝑥𝑥−2)

Para los puntos 𝑥𝑥 = 6 𝑦𝑦 𝑥𝑥 = 2;

i) 𝑓𝑓(6) = 80

= indeterminada

ii) lim𝑥𝑥→𝑥𝑥0 𝑓𝑓(𝑥𝑥0) = lim𝑥𝑥→6 �𝑥𝑥+2

(𝑥𝑥−2)(𝑥𝑥−6)� = 4

0 No existe

∴ La función representa una discontinuidad esencial en 𝑥𝑥 = 2 𝑦𝑦 𝑥𝑥 = 6.

Si no se cumple la 1𝑠𝑠𝑎𝑎 condición, pero la 2𝑑𝑑𝑎𝑎 sí, la discontinuidad se le llama discontinuidad removible.

i) Primera condición 𝑓𝑓(0) = existe ii) Segunda condición lim𝑥𝑥→𝑎𝑎 𝑓𝑓(𝑥𝑥) existe

-2 2 4 6 8

-20

-10

10

20


Figura 42

101


Determina si la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3−8𝑥𝑥−2

es continua o discontinua, en caso de ser discontinua determinar de qué clase es.

Para 𝑥𝑥 = 2

i) 𝑓𝑓(2) = (2)3−82−2

= 00 = no existe

ii) lim𝑥𝑥→2 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3−8𝑥𝑥−2

= lim𝑥𝑥→2

(𝑥𝑥−2)(𝑥𝑥2+2𝑥𝑥+4)(𝑥𝑥−2)

= 4 + 4 + 4 = 12 existe

∴ La función es discontinua en 𝑥𝑥 = 2 y la forma removible.

-2 2 4

10

20

30El gráfico de la función se puede ver en la figura 43.

Figura 43

102


EJERCICIOS IV.

Instrucciones: Resuelve cada uno de los siguientes límites que a continuación se presentan. Las soluciones las puedes encontrar en el anexo F.

1.- lim𝑎𝑎→∞4𝑥𝑥+52𝑥𝑥+3

2.- lim𝑒𝑒→04𝑒𝑒2+3𝑒𝑒+2𝑒𝑒3+2𝑒𝑒−6

3.- limℎ→0𝑥𝑥2ℎ+3𝑥𝑥ℎ2+ℎ3

2𝑥𝑥ℎ+5ℎ2

4.- lim𝑥𝑥→∞6𝑥𝑥3−5𝑥𝑥2+32𝑥𝑥3+4𝑥𝑥−7

5.- lim𝑥𝑥→2𝑥𝑥2+𝑥𝑥−6𝑥𝑥2−4

6.- lim→∞4𝑦𝑦2−3

2𝑦𝑦3+3𝑦𝑦2

7.- limℎ→∞3ℎ+2𝑥𝑥ℎ2+𝑥𝑥2ℎ3

4−3𝑥𝑥ℎ−2𝑥𝑥3ℎ3

8.- lim𝑥𝑥→∞𝑎𝑎0𝑥𝑥𝑒𝑒+𝑎𝑎1𝑥𝑥𝑒𝑒−1+⋯+𝑎𝑎𝑒𝑒𝑐𝑐0𝑥𝑥𝑒𝑒+𝑐𝑐1𝑥𝑥𝑒𝑒−1+⋯+𝑐𝑐𝑒𝑒

9.- lim𝑥𝑥→0𝑎𝑎0𝑥𝑥𝑒𝑒+𝑎𝑎1𝑥𝑥𝑒𝑒−1+⋯+𝑎𝑎𝑒𝑒𝑐𝑐0𝑥𝑥𝑒𝑒+𝑐𝑐1𝑥𝑥𝑒𝑒−1+⋯+𝑐𝑐𝑒𝑒

10.- limℎ→0√𝑥𝑥+ℎ−√𝑥𝑥

ℎ

11.- lim𝑥𝑥→∞2𝑥𝑥2−3𝑥𝑥−5

8𝑥𝑥3−9𝑥𝑥

12.- lim𝑥𝑥→−∞3𝑥𝑥2−2𝑥𝑥+5−√5𝑥𝑥4+3

13.- lim𝑥𝑥→∞3−√𝑥𝑥

2+√𝑥𝑥+3

14.- lim𝑥𝑥→1𝑥𝑥2+5𝑥𝑥−3

2𝑥𝑥2+3

15.- lim𝑥𝑥→04𝑥𝑥3+2𝑥𝑥2+𝑥𝑥

8𝑥𝑥2−7𝑥𝑥

16.- lim𝑥𝑥→2𝑥𝑥2−5𝑥𝑥+6

3𝑥𝑥2−4𝑥𝑥−4

17.- lim𝑥𝑥→0√1+𝑥𝑥+𝑥𝑥2−1

𝑥𝑥

103


18.- lim𝑒𝑒→13

3𝑒𝑒−19𝑒𝑒2−4

19.- lim𝑥𝑥→9√𝑥𝑥−3√𝑥𝑥+3

20.- lim𝑥𝑥→11−√𝑥𝑥1− √𝑥𝑥3

21.- lim𝑥𝑥→−∞3𝑥𝑥3+𝑥𝑥−2

8𝑥𝑥3+2𝑥𝑥+5

22.- lim𝑥𝑥→+∞√𝑥𝑥2+1𝑥𝑥+1

23.- lim𝑥𝑥→03𝑥𝑥−3−𝑥𝑥

3𝑥𝑥+3−𝑥𝑥

24.- lim𝑥𝑥→−1𝑥𝑥2+3𝑥𝑥+2𝑥𝑥2+4𝑥𝑥+3

25.- lim𝑥𝑥→2𝑥𝑥−2√𝑥𝑥2−4

26.- lim𝑥𝑥→∞2𝑥𝑥2+1

6+𝑥𝑥−3𝑥𝑥2

27.- lim𝑥𝑥→∞𝑥𝑥2+5𝑥𝑥+6𝑥𝑥+1

28.- lim𝑥𝑥→∞3𝑥𝑥−3−𝑥𝑥


29.- lim𝑥𝑥→−∞3𝑥𝑥−3−𝑥𝑥


104


EJERCICIO V

Sección I: Resuelve cada uno de los siguientes ejercicios que a continuación se presentan. Determina si las siguientes funciones son continuas o discontinuas. Las soluciones las encontraras en el anexo G

a) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �−3𝑥𝑥 + 1; 𝑥𝑥 < −1−4𝑥𝑥; −1 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 2𝑥𝑥2 − 8; 𝑥𝑥 > 2

�

b) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = � 𝑥𝑥 − 4 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 ≥ 2𝑥𝑥2 − 6 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 < 2

�

c) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �4 − 𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 ≥ 0

𝑥𝑥 − 2 𝑠𝑠𝑠𝑠 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 3𝑥𝑥 − 1 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 ≤ 0

�

Sección II: Determinar en cada una de las siguientes funciones, si son continuas en los intervalos indicados.

d) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1𝑥𝑥2 ; (0,∞+)

e) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 �1 + 1𝑥𝑥� ; [0, 1]

Sección III: Encontrar el valor de las constante p y q, según sea el caso, que hacen que la función sea continua para todo número real R, (trace la grafica de la función que resulte al sustituir los valores obtenidos)

a) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �𝑝𝑝𝑥𝑥 − 2, 𝑥𝑥 < −1𝑝𝑝𝑥𝑥2, 𝑥𝑥 ≥ −1

�

b) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �𝑝𝑝𝑥𝑥, 𝑥𝑥 < −2

𝑞𝑞𝑥𝑥 + 1, 2 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 6 𝑥𝑥2, 𝑥𝑥 > 6

�

Objetivo: El alumno desarrollará la capacidad de derivar funciones algebraicas y trascendentes mediante las diferentes técnicas de derivación, además de comprender su concepto e interpretación geométrica y física.

CAPÍTULO IV: LA DERIVADA.

105


Recta Normal

Q(𝑥𝑥2,𝑓𝑓(𝑥𝑥2))

i

P(𝑥𝑥1,𝑓𝑓(𝑥𝑥1))

4.0) LA DERIVADA

4.1) Interpretación geométrica.

𝑌𝑌

f(𝑥𝑥2)

𝑓𝑓(𝑥𝑥1)

𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥

Sea la función continua en 𝑓𝑓(𝑥𝑥1), se desea definir la pendiente de la recta Tangente (solamente toca un punto de la gráfica 𝑓𝑓(𝑥𝑥1) en la gráfica 𝑓𝑓, en el punto P[𝑥𝑥1,𝑓𝑓(𝑥𝑥1)].

Sea 𝒾𝒾 el intervalo abierto que contiene a 𝑥𝑥1, en la cual este definido 𝑓𝑓(𝑥𝑥1), sea Q, [𝑥𝑥2, 𝑓𝑓(𝑥𝑥2)] otro punto sobre la gráfica de 𝑓𝑓, tal que 𝑥𝑥2, también este en 𝒾𝒾.

Se traza una recta a través de P y Q; cualquier recta que pase por dos puntos en una curva se llama secante, por lo tanto la recta que pasa por P y Q es una recta SECANTE.

∴ La derivada se puede definir como la pendiente de la recta tangente a la curva generada por la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = en el punto P[𝑥𝑥1,𝑓𝑓(𝑥𝑥1)]. La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto, es lo mismo que la derivada de la función evaluada en ese punto.

Fórmula de la pendiente

𝑚𝑚= 𝑦𝑦2−𝑦𝑦1𝑥𝑥2− 𝑥𝑥1

𝑚𝑚𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥2)− 𝑓𝑓(𝑥𝑥1)𝑥𝑥2− 𝑥𝑥1

Pendiente de la recta secante

𝑚𝑚𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥1+ ∆𝑥𝑥)− 𝑓𝑓(𝑥𝑥1)∆𝑥𝑥

Recta Secante

Recta Tangente

∆𝑥𝑥 = 𝑑𝑑𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑 𝑟𝑟𝑠𝑠𝑠𝑠𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑠𝑠 𝑥𝑥1𝑑𝑑 𝑥𝑥2

106


La derivada por definición 𝑚𝑚𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 = 𝑚𝑚𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = lim∆𝑥𝑥→0𝑓𝑓(𝑥𝑥1+∆𝑥𝑥)− 𝑓𝑓(𝑥𝑥1)

∆𝑥𝑥; si el límite

existe

Nota: La derivada se puede denotar por las siguientes expresiones.

𝑓𝑓′ (x) = 𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑥𝑥

= 𝑦𝑦′ = 𝐷𝐷𝑥𝑥𝑦𝑦

𝑚𝑚𝑑𝑑𝑟𝑟𝑟𝑟𝑚𝑚𝑑𝑑𝑛𝑛 = − 1

𝑚𝑚𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡

Determinar la derivada de la siguiente función:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 + 1

𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = lim∆𝑥𝑥→0

𝑓𝑓(𝑥𝑥 + ∆𝑥𝑥) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥)∆𝑥𝑥


(𝑥𝑥 + ∆𝑥𝑥)2 + (𝑥𝑥 + ∆𝑥𝑥) + 1 − [𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 + 1]∆𝑥𝑥


𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥∆𝑥𝑥 + ∆𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 + ∆𝑥𝑥 + 1 − 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥 − 1∆𝑥𝑥


2𝑥𝑥∆𝑥𝑥 + ∆𝑥𝑥2 + ∆𝑥𝑥∆𝑥𝑥

= ∆𝑥𝑥[2𝑥𝑥 + ∆𝑥𝑥 + 1]

∆𝑥𝑥


2𝑥𝑥 + ∆𝑥𝑥 + 1 = 2𝑥𝑥 + 0 + 1 = 2𝑥𝑥 + 1

𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥 + 1

Determinar la derivada de la siguiente función

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √2𝑥𝑥 + 1



= lim∆𝑥𝑥→0

�2(𝑥𝑥 + ∆𝑥𝑥) + 1 − √2𝑥𝑥 + 1∆𝑥𝑥


�2(𝑥𝑥 + ∆𝑥𝑥) + 1∆𝑥𝑥

− √2𝑥𝑥 + 1 ��2(𝑥𝑥 + ∆𝑥𝑥) + 1 + √2𝑥𝑥 + 1

�2(𝑥𝑥 + ∆𝑥𝑥) + 1 + √2𝑥𝑥 + 1�


2(𝑥𝑥 + ∆𝑥𝑥) + 1 − (2𝑥𝑥 + 1)

∆𝑥𝑥 ��2(𝑥𝑥 + ∆𝑥𝑥) + 1 + √2𝑥𝑥 + 1�= lim

∆𝑥𝑥→0

2√2𝑥𝑥 + 2∆𝑥𝑥 + 1 + √2𝑥𝑥 + 1

107


𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 2

√2𝑥𝑥 + 1 + √2𝑥𝑥 + 1=

22√2𝑥𝑥 + 1

=1

√2𝑥𝑥 + 1


𝑓𝑓(𝑥𝑥) = -3𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 − 5




−3(𝑥𝑥 + ∆𝑥𝑥)2 + 2(𝑥𝑥 + ∆𝑥𝑥) − 5 − [−3𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 − 5)�

∆𝑥𝑥


−3𝑥𝑥2 − 6𝑥𝑥∆𝑥𝑥 − 6∆𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 + 2∆𝑥𝑥 − 5 + 3𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥 + 5∆𝑥𝑥


6𝑥𝑥∆𝑥𝑥 − 6∆𝑥𝑥2 + 2∆𝑥𝑥∆𝑥𝑥


∆𝑥𝑥[6𝑥𝑥 − 6∆𝑥𝑥 + 2]

∆𝑥𝑥= lim

∆𝑥𝑥→0[6𝑥𝑥 − 6∆𝑥𝑥 + 2] = −6𝑥𝑥 + 2

𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = −6𝑥𝑥 + 2


𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 4𝑥𝑥4𝑥𝑥−3




16𝑥𝑥2 − 12𝑥𝑥 + 16𝑥𝑥∆𝑥𝑥 − 12∆𝑥𝑥 − 16𝑥𝑥2 − 16𝑥𝑥∆𝑥𝑥 + 12𝑥𝑥[4(𝑥𝑥 + ∆𝑥𝑥 + 3)][4𝑥𝑥 − 3]

∆𝑥𝑥1

= −12

(4𝑥𝑥 − 3)(4𝑥𝑥 − 3)=

12(4𝑥𝑥 − 3)2

108


4.2) Formulas de derivación.

1) 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(𝑘𝑘) = 0 𝑘𝑘 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑢𝑢𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑠𝑠𝑟𝑟𝑑𝑑𝑠𝑠𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑠𝑠


(𝑥𝑥) = 1


(𝑢𝑢 ± 𝑣𝑣 ± ⋯ ) = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(𝑣𝑣) ± 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(𝑢𝑢)


(𝑘𝑘𝑢𝑢) = 𝑘𝑘 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(𝑢𝑢) 𝑘𝑘 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑢𝑢𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑠𝑠𝑟𝑟𝑑𝑑𝑠𝑠𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑠𝑠 𝑦𝑦 𝑢𝑢 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑢𝑢𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑓𝑓𝑢𝑢𝑑𝑑𝑠𝑠𝑠𝑠ó𝑑𝑑 𝑞𝑞𝑢𝑢𝑠𝑠 𝑑𝑑𝑠𝑠𝑝𝑝𝑠𝑠𝑑𝑑𝑑𝑑𝑠𝑠 𝑑𝑑𝑠𝑠 𝑥𝑥

5) 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑢𝑢

(𝑢𝑢𝑣𝑣) = 𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥𝑣𝑣 + 𝑣𝑣 𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑢𝑢


(𝑥𝑥)𝑑𝑑 = 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑−1


�𝑢𝑢𝑘𝑘� =

𝑣𝑣𝑑𝑑𝑢𝑢𝑑𝑑𝑥𝑥 −𝑢𝑢𝑑𝑑𝑣𝑣𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑣𝑣2


�𝑢𝑢𝑘𝑘� = 1

𝑘𝑘 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(𝑢𝑢)


ln𝑢𝑢 = 1𝑢𝑢

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(𝑢𝑢),𝑑𝑑𝑟𝑟𝑑𝑑𝑑𝑑𝑠𝑠 𝑢𝑢 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑢𝑢𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑓𝑓𝑢𝑢𝑑𝑑𝑠𝑠𝑠𝑠𝑟𝑟𝑑𝑑 𝑞𝑞𝑢𝑢𝑠𝑠 𝑑𝑑𝑠𝑠𝑝𝑝𝑠𝑠𝑑𝑑𝑑𝑑𝑠𝑠 𝑑𝑑𝑠𝑠 𝑥𝑥

10) 𝑑𝑑𝑠𝑠𝑢𝑢

𝑑𝑑𝑥𝑥= 𝑠𝑠𝑢𝑢 𝑑𝑑(𝑢𝑢)

𝑑𝑑𝑥𝑥

11) 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑 𝑢𝑢 = cos𝑢𝑢 𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑥𝑥 (𝑢𝑢)


cos𝑢𝑢 = −𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑 𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(𝑢𝑢)

13) 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑢𝑢 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝑢𝑢 𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑥𝑥(𝑢𝑢)


cot𝑢𝑢 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(𝑢𝑢)


sec𝑢𝑢 = sec𝑢𝑢 ∗ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(𝑢𝑢)


csc𝑢𝑢 = −𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑢𝑢 ∗ cot𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(𝑢𝑢)

17) 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑢𝑢 = 𝑑𝑑𝑢𝑢 ∗ ln𝑑𝑑 𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑥𝑥(𝑢𝑢), 𝑑𝑑𝑟𝑟𝑑𝑑𝑑𝑑𝑠𝑠 𝑑𝑑 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑢𝑢𝑑𝑑𝑛𝑛𝑞𝑞𝑢𝑢𝑠𝑠𝑠𝑠𝑟𝑟 𝑠𝑠𝑟𝑟𝑑𝑑𝑠𝑠𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑠𝑠

18) 𝑑𝑑𝑟𝑟𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑 𝑢𝑢 = 1√1−𝑢𝑢2 𝑑𝑑


19) 𝐴𝐴𝑟𝑟𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠 𝑢𝑢 = − 1√1−𝑢𝑢2 𝑑𝑑


20) 𝐴𝐴𝑟𝑟𝑠𝑠 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑢𝑢 = 11+𝑢𝑢2 𝑑𝑑


21) 𝐴𝐴𝑟𝑟𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑟𝑟𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑢𝑢 = - 11+𝑢𝑢2 𝑑𝑑


22) 𝐴𝐴𝑟𝑟𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑢𝑢 = 1|𝑢𝑢|√𝑢𝑢2−1


(𝑢𝑢)

23) 𝐴𝐴𝑟𝑟𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑢𝑢 = - 1|𝑢𝑢|√𝑢𝑢2−1


(𝑢𝑢)

109


4.2.1) Reglas básicas para derivar.

• 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 5 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 0

• 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 8𝑥𝑥 • 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 8𝑥𝑥1−1

𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 8𝑥𝑥0 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 8

• 𝑦𝑦 = −8𝑥𝑥5 + √5𝑥𝑥3 − 7𝑥𝑥 + 12

𝑦𝑦′ = −8 ∗ 5𝑥𝑥5−1 + 3 ∗ 1√5𝑥𝑥3−1 − 7𝑥𝑥1−1 𝑦𝑦′ = −40𝑥𝑥4 + 3√5𝑥𝑥2 − 7

• • 𝑦𝑦 = 1

𝑥𝑥+ 3

𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥3

𝑦𝑦 = 𝑥𝑥−1 − 6𝑥𝑥−2 − 6𝑥𝑥−3 𝑦𝑦′ = −𝑥𝑥−2 − 6𝑥𝑥−3 − 6𝑥𝑥−4

𝑦𝑦′ = −1𝑥𝑥2 −

6𝑥𝑥3 −

6𝑥𝑥4

• 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2

𝑥𝑥12�

+ 6

𝑥𝑥1

3�= 2

𝑥𝑥3

2�− 4

𝑥𝑥3

4�

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥−12 + 6𝑥𝑥−

13 − 2𝑥𝑥−

32 − 4𝑥𝑥−

34 = −𝑥𝑥−

32 − 2𝑥𝑥−

43 + 3𝑥𝑥−

52 + 3𝑥𝑥−

74

𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = −1

𝑥𝑥32�−

2

𝑥𝑥43�

+3

𝑥𝑥52�

+3

𝑥𝑥74�

• 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 4 + 2𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥3 − 8𝑥𝑥4 + 9𝑥𝑥5 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 2 − 6𝑥𝑥 − 15𝑥𝑥2 − 40𝑥𝑥3 + 45𝑥𝑥4

• 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √3𝑥𝑥23 − 1√5𝑥𝑥

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (3𝑥𝑥2)13� − 1

(5𝑥𝑥)12�

= (3𝑥𝑥2)13� − (5𝑥𝑥)−1

2�

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 13

(3𝑥𝑥2)−23�𝑑𝑑(3𝑥𝑥2)𝑑𝑑𝑥𝑥

+12

(5𝑥𝑥)−32�𝑑𝑑(5𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 6𝑥𝑥

3(3𝑥𝑥2)23�

+ 5

2(5𝑥𝑥)32�

La derivada de una constante, es siempre cero


(𝑘𝑘) = 0 𝑘𝑘 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑢𝑢𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑠𝑠𝑟𝑟𝑑𝑑𝑠𝑠𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑠𝑠

La derivada de una función a una potencia n de su variable se emplea la

siguiente formula de derivación𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑥𝑥 (𝑥𝑥)𝑑𝑑 = 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑−1, para el ejemplo

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 8𝑥𝑥→n=1, se le resta 1 por la formula de derivación→ 𝑥𝑥0 = 1

1. Paso: Aplicar la formula𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑥𝑥 (𝑥𝑥)𝑑𝑑 = 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑−1,

identificando el valor de n en cada una de las variables y restarles 1.

2. Paso: El valor de n debe ser multiplicado por cada uno de los coeficientes de las variables.

3. Paso: Realizar las operaciones respectivas.

Nota: Recordar la siguiente regla algebraica; la

cual es básica para derivar 𝒙𝒙−𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝒙𝒙

110


𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 2

�(3𝑥𝑥2)23 + 5

2�(5𝑥𝑥)3

𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥√9𝑥𝑥43 +

52√125𝑥𝑥3

• 4.2.2)Regla de la cadena

• 𝑦𝑦 = (𝑥𝑥2 − 3)4 𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑥𝑥

= 4(𝑥𝑥2 − 3)3 𝑑𝑑 (𝑥𝑥2 − 3)

𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑥𝑥

= 4(𝑥𝑥2 − 3)22𝑥𝑥 = 𝟖𝟖𝒙𝒙(𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟑𝟑)𝟐𝟐

• 𝑦𝑦 = �(9𝑥𝑥2 − 5)3 = (9𝑥𝑥2 − 5)32�

𝑦𝑦′ = 32

(9𝑥𝑥2 − 5)12� 𝑑𝑑(9𝑥𝑥2 − 5)

𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑦𝑦′ = 3√9𝑥𝑥2 − 5

2∗ (18𝑥𝑥)

𝑦𝑦′ = 27𝑥𝑥�9𝑥𝑥2 − 5

• 𝑡𝑡(𝑥𝑥) = √8𝑥𝑥5 − 2𝑥𝑥3 = (8𝑥𝑥5 − 2𝑥𝑥)13�

𝑡𝑡′(𝑥𝑥) = 13

(8𝑥𝑥5 − 2𝑥𝑥)−23� 𝑑𝑑(8𝑥𝑥5 − 2𝑥𝑥)

𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑡𝑡′(𝑥𝑥) = 13

(8𝑥𝑥5 − 2𝑥𝑥)−23� 40𝑥𝑥4 − 2

𝑡𝑡′(𝑥𝑥) = 40𝑥𝑥4 − 2

3(8𝑥𝑥5 − 2𝑥𝑥)23�

= 40𝑥𝑥4 − 2

3�(8𝑥𝑥5 − 2𝑥𝑥)23

• 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √−3𝑥𝑥2 + 7 = (−3𝑥𝑥2 + 7)12�

𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 12

(−3𝑥𝑥2 + 7)−12� 𝑑𝑑(−3𝑥𝑥2 + 7)

𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑥𝑥

= 𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑢𝑢

𝑑𝑑𝑢𝑢𝑑𝑑𝑥𝑥

= 𝑓𝑓´(𝑢𝑢)𝑡𝑡´(𝑥𝑥)

111


𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = −6𝑥𝑥

2(−3𝑥𝑥2 + 7)12�

𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = −3𝑥𝑥

√−3𝑥𝑥2 + 7

4.2.3) Derivación por producto

• 𝑦𝑦 = (3𝑥𝑥2 + 2)√1 + 5𝑥𝑥2 • 𝑢𝑢 𝑣𝑣

𝑦𝑦 = (3𝑥𝑥2 + 2)𝑑𝑑(1 + 5𝑥𝑥2)1

2�

𝑑𝑑𝑥𝑥+ (1 + 5𝑥𝑥2)1

2� 𝑑𝑑(3𝑥𝑥2 + 2)

𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥2 + 2 12

(1 + 5𝑥𝑥2)−12� 𝑑𝑑(1 + 5𝑥𝑥2)

𝑑𝑑𝑥𝑥+ (1 + 5𝑥𝑥2)(6𝑥𝑥2)

𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥2 + 2

2(1 + 5𝑥𝑥2)12�

(10𝑥𝑥) + (1 + 5𝑥𝑥2)12� 6𝑥𝑥

𝑦𝑦′ = 30𝑥𝑥3 + 20𝑥𝑥2√1 + 5𝑥𝑥2

+ 6𝑥𝑥(1 + 5𝑥𝑥2)12�

𝑦𝑦′ = 2(15𝑥𝑥3 + 10𝑥𝑥)

2√1 + 5𝑥𝑥2+ 6𝑥𝑥

√1 + 5𝑥𝑥2

1=

15𝑥𝑥3 + 10𝑥𝑥 + 6𝑥𝑥 + 30𝑥𝑥3

√1 + 5𝑥𝑥2

𝑦𝑦′ = 45𝑥𝑥3 + 16𝑥𝑥√1 + 5𝑥𝑥2

• 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥2 − 1)(6𝑥𝑥 + 2) • 𝑢𝑢 𝑣𝑣

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥2 − 1)𝑑𝑑(6𝑥𝑥 + 2)

𝑑𝑑𝑥𝑥+ (6𝑥𝑥 + 2)

𝑑𝑑(𝑥𝑥2 − 1)𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥2 − 1)6 + (6𝑥𝑥 + 2)(2𝑥𝑥) 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 6𝑥𝑥2 − 6 + 12𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 18𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥 − 6

𝑢𝑢𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑣𝑣 + 𝑣𝑣𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑢𝑢

112


• 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2√𝑥𝑥2 + 13 • 𝑢𝑢 𝑣𝑣

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 𝑑𝑑(𝑥𝑥2 + 1)13�

𝑑𝑑𝑥𝑥+ (𝑥𝑥2 + 1)1

3�𝑑𝑑𝑥𝑥2

𝑑𝑑𝑥𝑥⇒ 𝑅𝑅𝑠𝑠𝑡𝑡𝑛𝑛𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑠𝑠 𝑛𝑛𝑑𝑑 𝑠𝑠𝑑𝑑𝑑𝑑𝑠𝑠𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 13

(𝑥𝑥2 + 1)−23�𝑑𝑑(𝑥𝑥2 + 1)

𝑑𝑑𝑥𝑥+ (𝑥𝑥2 + 1)1

3� 2𝑥𝑥

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 13

(𝑥𝑥2 + 1)−23� (2𝑥𝑥) + 2𝑥𝑥(𝑥𝑥2 + 1)1

3�

𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥3

3�(𝑥𝑥2 + 1)23 + 2𝑥𝑥√𝑥𝑥2 + 13

1=

2𝑥𝑥3 + 6𝑥𝑥�(𝑥𝑥2 + 1)33

3�(𝑥𝑥2 + 1)23

𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥3 + 6𝑥𝑥(𝑥𝑥2 + 1)

3�(𝑥𝑥2 + 1)23 =2𝑥𝑥3 + 6𝑥𝑥3 + 6𝑥𝑥

3�(𝑥𝑥2 + 1)23 =8𝑥𝑥3 + 6𝑥𝑥

3�(𝑥𝑥2 + 1)23 =2𝑥𝑥(3 + 4𝑥𝑥2)3�(𝑥𝑥2 + 1)23

• 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2√5 − 2𝑥𝑥 • 𝑢𝑢 𝑣𝑣 •

𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2 𝑑𝑑(5 − 2𝑥𝑥)12�

𝑑𝑑𝑥𝑥+ (5 − 2𝑥𝑥)1

2�𝑑𝑑(𝑥𝑥2)𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2 12

(5 − 2𝑥𝑥)−12�𝑑𝑑(5 − 2𝑥𝑥)

𝑑𝑑𝑥𝑥+ (5 − 2𝑥𝑥)1

2� (2𝑥𝑥)

𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2

2(5 − 2𝑥𝑥)12�

(−2) + 2𝑥𝑥(5 − 2𝑥𝑥)12�

𝑦𝑦′ = −2𝑥𝑥2

2√5 − 2𝑥𝑥+

2𝑥𝑥√5 − 2𝑥𝑥1

= −−𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥(5 − 2𝑥𝑥)

√5 − 2𝑥𝑥

𝑦𝑦′ = −𝑥𝑥2 + 10𝑥𝑥 − 4𝑥𝑥2

√5 − 2𝑥𝑥=

−5𝑥𝑥2 + 10𝑥𝑥√5 − 2𝑥𝑥

• 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2

√4−𝑥𝑥2 = 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2

(4−𝑥𝑥2)12�

𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2 ∗ (4 − 𝑥𝑥2)−12�

𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2 𝑑𝑑(4 − 𝑥𝑥2)−12�

𝑑𝑑𝑥𝑥+ (4 − 𝑥𝑥2)−1

2�𝑑𝑑𝑥𝑥2

𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑦𝑦′ = −12𝑥𝑥2(4 − 𝑥𝑥2)−3

2� 𝑑𝑑(4𝑥𝑥2)𝑑𝑑𝑥𝑥

+ (4 − 𝑥𝑥2)−12� 2𝑥𝑥

𝑦𝑦′ = −12𝑥𝑥2(4 − 𝑥𝑥2)−3

2� (−2𝑥𝑥) + 2𝑥𝑥(4−𝑥𝑥2)−12� =

𝑥𝑥3

�(4 − 𝑥𝑥2)3+

2𝑥𝑥√4 − 𝑥𝑥2

113


𝑦𝑦′ = 𝑥𝑥3 + 2𝑥𝑥(4 − 𝑥𝑥2)�(4 − 𝑥𝑥2)3

= 𝑥𝑥3 + 8𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥3

�(4 − 𝑥𝑥2)3=

−𝑥𝑥3 + 8𝑥𝑥�(4 − 𝑥𝑥2)3

4.2.4) Derivada por cociente.

𝑓𝑓(𝑑𝑑) = �2𝑑𝑑3 − 53𝑑𝑑 + 2

�3

⇒ 𝑅𝑅𝑠𝑠𝑡𝑡𝑛𝑛𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑠𝑠 𝑛𝑛𝑑𝑑 𝑠𝑠𝑑𝑑𝑑𝑑𝑠𝑠𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑓𝑓(𝑑𝑑) = 3 �2𝑑𝑑3 − 53𝑑𝑑 + 2

�2 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

�2𝑑𝑑3 − 53𝑑𝑑 + 2

� = 𝑢𝑢𝑣𝑣

𝑓𝑓(𝑑𝑑) = 3 �2𝑑𝑑3 − 53𝑑𝑑 + 2

�2

∗ 3𝑑𝑑 + 2 𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑥𝑥 (2𝑑𝑑3 − 5) − (2𝑑𝑑3 − 5) 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 (3𝑑𝑑 + 2)

(3𝑑𝑑 + 2)2

𝑓𝑓(𝑑𝑑) = 3 �2𝑑𝑑3 − 53𝑑𝑑 + 2

�2

∗ (3𝑑𝑑 + 2)(6𝑑𝑑2) − 3(2𝑑𝑑3 − 5)

(3𝑑𝑑 + 2)2

𝑓𝑓(𝑑𝑑) = 3 �2𝑑𝑑3 − 53𝑑𝑑 + 2

�2

∗ 18𝑑𝑑3 + 12𝑑𝑑2 − 6𝑑𝑑3 + 15

(3𝑑𝑑 + 2)2

𝑓𝑓(𝑑𝑑) = 3 �2𝑑𝑑3 − 53𝑑𝑑 + 2

�2

∗ 12𝑑𝑑3 + 12𝑑𝑑2 + 15

(3𝑑𝑑 + 2)2

𝑓𝑓′(𝑑𝑑) = 3(2𝑑𝑑3 − 5)2 ∗ 3[4𝑑𝑑3 + 4𝑑𝑑2 + 5]

(3𝑑𝑑 + 2)2(3𝑑𝑑 + 2)2

𝑓𝑓′(𝑑𝑑) = 9(2𝑑𝑑3 − 5)2 ∗ [4𝑑𝑑3 + 4𝑑𝑑2 + 5]

(3𝑑𝑑 + 2)4

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �𝑥𝑥 − 1𝑥𝑥 + 1

= �𝑥𝑥 − 1𝑥𝑥 + 1

�1

2�

= 𝑢𝑢𝑣𝑣

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 12�𝑥𝑥 − 1𝑥𝑥 + 1

�−1

2� 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

�𝑥𝑥 − 1𝑥𝑥 + 1

�

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 12�𝑥𝑥 − 1𝑥𝑥 + 1

�−1

2�

∗ (𝑥𝑥 + 1) 𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑥𝑥 (𝑥𝑥 − 1) − (𝑥𝑥 − 1) 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 (𝑥𝑥 + 1)

(𝑥𝑥 + 1)2

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 12�𝑥𝑥 − 1𝑥𝑥 + 1

�−1

2�

∗(𝑥𝑥 + 1) − (𝑥𝑥 − 1)

(𝑥𝑥 + 1)2


�𝑢𝑢𝑣𝑣� =

𝑣𝑣 𝑑𝑑𝑢𝑢𝑑𝑑𝑥𝑥 − 𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑣𝑣𝑑𝑑𝑥𝑥𝑣𝑣2

114


𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 12�𝑥𝑥 − 1𝑥𝑥 + 1

�−1

2�

∗ 𝑥𝑥 + 1 − 𝑥𝑥 + 1

(𝑥𝑥 + 1)2

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2(𝑥𝑥 − 1)−1

2�

2(𝑥𝑥 + 1)−12� (𝑥𝑥 + 1)2

𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 1

(𝑥𝑥 + 1)−12� (𝑥𝑥 + 1)2

𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 1

√𝑥𝑥 − 1�(𝑥𝑥 + 1)3

𝑦𝑦 =3𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 − 5

2𝑥𝑥 + 3=𝑢𝑢𝑣𝑣

𝑦𝑦 =2𝑥𝑥 + 3 𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑥𝑥 (3𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 − 5) − (3𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 − 5) 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 (2𝑥𝑥 + 3)

(2𝑥𝑥 + 3)2

𝑦𝑦 =2𝑥𝑥 + 3(6𝑥𝑥 + 2) − (3𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 − 5)(2)

(2𝑥𝑥 + 3)2

𝑦𝑦 = 12𝑥𝑥2 + 22𝑥𝑥 + 6 − 6𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥 + 10

(2𝑥𝑥 + 3)2

𝑦𝑦′ = 6𝑥𝑥2 + 18𝑥𝑥 + 16

(2𝑥𝑥 + 3)2

Encontrar la derivada 𝑓𝑓(𝑥𝑥); utilizando los teoremas correspondientes

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥3 + 3

(𝑥𝑥6 − 9𝑥𝑥 − 8)

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥3 + 3


(𝑥𝑥6 − 9𝑥𝑥 − 8) + (𝑥𝑥6 − 9𝑥𝑥 − 8)𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

�𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥3 + 3

�

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥3 + 3

(6𝑥𝑥5 − 9) + (𝑥𝑥6 − 9𝑥𝑥 − 8) �𝑥𝑥3 + 3 𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑥𝑥 (𝑥𝑥2 − 5) − �(𝑥𝑥2 − 5) 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 (𝑥𝑥3 + 3)�

(𝑥𝑥3 + 3)2 �

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 6𝑥𝑥7 − 30𝑥𝑥5 − 9𝑥𝑥2 + 45

𝑥𝑥3 + 3+ (𝑥𝑥6 − 9𝑥𝑥 − 8) �

(𝑥𝑥3 + 3)(2𝑥𝑥) − [(𝑥𝑥2 − 5)(3𝑥𝑥2)](𝑥𝑥3 + 3)2 �

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3(−5 + 𝑥𝑥2)(−3 + 2𝑥𝑥5)

𝑥𝑥3 + 3+ (𝑥𝑥6 − 9𝑥𝑥 − 8) �

2𝑥𝑥4 + 6𝑥𝑥 − [3𝑥𝑥4 − 15𝑥𝑥2](𝑥𝑥3 + 3)2 �

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3(−5 + 𝑥𝑥2)(−3 + 2𝑥𝑥5)

𝑥𝑥3 + 3+ (𝑥𝑥6 − 9𝑥𝑥 − 8) �

2𝑥𝑥4 + 6𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥4 + 15𝑥𝑥2

(𝑥𝑥3 + 3)2 �

𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 3(−5 + 𝑥𝑥2)(−3 + 2𝑥𝑥5)

𝑥𝑥3 + 3+ (𝑥𝑥6 − 9𝑥𝑥 − 8) �

−𝑥𝑥4 + 15𝑥𝑥2 + 6𝑥𝑥(𝑥𝑥3 + 3)2 �

115


𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 3(−5 + 𝑥𝑥2)(−3 + 2𝑥𝑥5)

𝑥𝑥3 + 3+ −𝑥𝑥10 + 15𝑥𝑥8 + 6𝑥𝑥7 + 9𝑥𝑥5 + 8𝑥𝑥4 − 135𝑥𝑥3 − 174𝑥𝑥2 − 48𝑥𝑥

(𝑥𝑥3 + 3)2

𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 3(−5 + 𝑥𝑥2)(−3 + 2𝑥𝑥5)

𝑥𝑥3 + 3+ −𝑥𝑥(𝑥𝑥9 − 15𝑥𝑥7 − 6𝑥𝑥6 − 9𝑥𝑥4 − 8𝑥𝑥3 + 135𝑥𝑥2 + 174𝑥𝑥2 + 48)

(𝑥𝑥3 + 3)2

𝑓𝑓′(𝑥𝑥) =3(−5 + 𝑥𝑥2)(−3 + 2𝑥𝑥5)(𝑥𝑥3 + 3) − 𝑥𝑥(𝑥𝑥9 − 15𝑥𝑥7 − 6𝑥𝑥6 − 9𝑥𝑥4 − 8𝑥𝑥3 + 135𝑥𝑥2 + 174𝑥𝑥2 + 48)

(𝑥𝑥3 + 3)2

𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 6𝑥𝑥10 − 30𝑥𝑥8 + 18𝑥𝑥7 − 99𝑥𝑥5 + 45𝑥𝑥3 − 27𝑥𝑥2 + 135 − 𝑥𝑥10 + 15𝑥𝑥8 + 6𝑥𝑥7 + 9𝑥𝑥5 + 8𝑥𝑥4 − 135𝑥𝑥3 − 174𝑥𝑥2 − 48𝑥𝑥

(𝑥𝑥3 + 3)2

𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 5𝑥𝑥10 − 15𝑥𝑥8 + 24𝑥𝑥7 − 90𝑥𝑥5 − 90𝑥𝑥3 − 201𝑥𝑥2 − 48𝑥𝑥 + 135

(𝑥𝑥3 + 3)2

5.2.5) Derivación de funciones trigonométricas.

• 𝑦𝑦 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑 (3𝑥𝑥2 − 7)

𝑦𝑦 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

�𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑(3𝑥𝑥2 − 7)�𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(3𝑥𝑥2 − 7)

𝑦𝑦 = cos(3𝑥𝑥2 − 7) (6𝑥𝑥) 𝑦𝑦′ = 6𝑥𝑥𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠(3𝑥𝑥2 − 7)

• 𝑦𝑦 = [1 + cos(4𝑥𝑥 − 1)]7 ⇒ 𝑅𝑅𝑠𝑠𝑡𝑡𝑛𝑛𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑠𝑠 𝑛𝑛𝑑𝑑 𝑠𝑠𝑑𝑑𝑑𝑑𝑠𝑠𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑦𝑦 = 7[1 + cos(4𝑥𝑥 − 1)]6 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(1 + cos(4𝑥𝑥 − 1))

𝑦𝑦 = 7[1 + cos(4𝑥𝑥 − 1)]6[−𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑 (4𝑥𝑥 − 1)]𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(4𝑥𝑥 − 1)

𝑦𝑦 = 7[1 + cos(4𝑥𝑥 − 1)]6[−𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑 (4𝑥𝑥 − 1)]4 𝑦𝑦′ = −28𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑(4𝑥𝑥 − 1)[1 + cos(4𝑥𝑥 − 1)]6

• 𝑦𝑦 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠4(3𝑥𝑥) 𝑦𝑦 = [sec(3𝑥𝑥)]4 ⇒ 𝑅𝑅𝑠𝑠𝑡𝑡𝑛𝑛𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑠𝑠 𝑛𝑛𝑑𝑑 𝑠𝑠𝑑𝑑𝑑𝑑𝑠𝑠𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑦𝑦 = 4[sec(3𝑥𝑥)]3 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(sec(3𝑥𝑥))

𝑦𝑦 = 4[sec(3𝑥𝑥)]3 sec 3𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡 3𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(3𝑥𝑥)

𝑦𝑦 = 4[sec(3𝑥𝑥)]3 sec 3𝑥𝑥 tan 3𝑥𝑥 (3) 𝑦𝑦′ = 12 sec 3𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡 3𝑥𝑥 [sec(3𝑥𝑥)]3

• 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑 𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 cos 𝑥𝑥 − 2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑 𝑥𝑥

𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑 𝑥𝑥 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(𝑥𝑥2) + 2𝑥𝑥𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

cos 𝑥𝑥 + cos 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(2𝑥𝑥) − 2𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑 𝑥𝑥)

𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥 + 2𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑥𝑥 − 2𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑥𝑥

116


• 𝑓𝑓(𝑑𝑑) = √𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠2𝑑𝑑 = (𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠2𝑑𝑑)1

2�

𝑓𝑓(𝑑𝑑) = 12

(𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠2𝑑𝑑)−12�𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

cos 2𝑑𝑑

𝑓𝑓(𝑑𝑑) = 12

(cos 2𝑑𝑑)−12� − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑 2𝑑𝑑


(2𝑑𝑑)

𝑓𝑓′(𝑑𝑑) = 12

(cos 2𝑑𝑑)−12� − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑 2𝑑𝑑 (2)

𝑓𝑓′(𝑑𝑑) = −𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑 2𝑑𝑑√cos 2𝑑𝑑

• 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠22𝑥𝑥 − 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑22𝑥𝑥 = (𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝑥𝑥)2 − (𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑2𝑥𝑥)2

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2 sec 2𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(sec 2𝑥𝑥) − 2𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑2𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(tan 2𝑥𝑥)

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝑥𝑥(𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝑥𝑥 ∗ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑2𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(2𝑥𝑥) − 2𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑2𝑥𝑥 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠22𝑥𝑥𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(2𝑥𝑥)

𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 4𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠22𝑥𝑥𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑2𝑥𝑥 − 4𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠22𝑥𝑥𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑2𝑥𝑥 ≈ 0

• 𝑦𝑦 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑3(𝑥𝑥2 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥) = [𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑(𝑥𝑥2 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥)]3

𝑦𝑦 = 3[𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑(𝑥𝑥2 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥)]2 cos(𝑥𝑥2 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(𝑥𝑥2 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥)

𝑦𝑦 = 33[𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑(𝑥𝑥2 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥)]2 cos(𝑥𝑥2 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥) (2𝑥𝑥 + 𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑥𝑥𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(𝑥𝑥)

𝑦𝑦′ = 3[𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑(𝑥𝑥2 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥)]2 cos(𝑥𝑥2 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥) (2𝑥𝑥 + 𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑥𝑥)

𝑦𝑦 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥

1 − 2𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑥𝑥=

𝑢𝑢𝑣𝑣

𝑦𝑦 = (1 − 2𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑥𝑥) 𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑥𝑥 (𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥) − �𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 (1 − 2𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑥𝑥)�

(1 − 2𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑥𝑥)2

𝑦𝑦 = (1 − 2𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑥𝑥)𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑥𝑥 (𝑥𝑥) − �𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥(−2 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 (𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑥𝑥)�


𝑦𝑦 = (1 − 2𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑥𝑥)𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑥𝑥 − [𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥 (2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥)]


𝑦𝑦 =𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑥𝑥 − 2𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠2𝑥𝑥 − 2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥

(1 − 2𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑥𝑥)2 = 𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑥𝑥 − 2[𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠2𝑥𝑥 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑2𝑥𝑥]


𝑦𝑦 = −2 + 𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑥𝑥


117


• 𝑦𝑦 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑 2𝑥𝑥√1−3𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑥𝑥

= 𝑢𝑢𝑣𝑣

𝑦𝑦 = (1 − 3𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑥𝑥)1

2 � 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 (𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥)2 − �(𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥)2 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 (1 − 3𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑥𝑥)1

2� �

�(1 − 3𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑥𝑥)12� �

2

𝑦𝑦 = (1 − 3𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑥𝑥)1

2� 2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 (𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥)− �𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥 1

2 (1 − 3𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑥𝑥)−12� 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 (1 − 3𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑥𝑥)�

(1 − 3𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑥𝑥)

𝑦𝑦 =

(1 − 3𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑥𝑥)12� 2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 (𝑥𝑥) − �

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥 − 3 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑥𝑥

2(1− 3𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑥𝑥)12��


𝑦𝑦 = 2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑥𝑥 (1 − 3𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑥𝑥)1

2� − � 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥 3 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥2(1 − 3𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑥𝑥)1

2��


𝑦𝑦 =

4𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑥𝑥(1 − 3𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑥𝑥)− 3𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑2𝑥𝑥2(1− 3𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑥𝑥)1

2�


𝑦𝑦′ =4𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑥𝑥 − 12𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠2𝑥𝑥 − 3𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑2𝑥𝑥

2(1 − 3𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑥𝑥)2(1 − 3𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑥𝑥) = 2[2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑟𝑟𝑥𝑥 − 6𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠2𝑥𝑥]− 3𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑2𝑥𝑥

2(1 − 3𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑥𝑥)32�

Identidades trigonométricas

• 𝑆𝑆𝑠𝑠𝑑𝑑 2𝑥𝑥 = 2𝑆𝑆𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥 𝐶𝐶𝑟𝑟𝑠𝑠𝑥𝑥 • 𝐶𝐶𝑟𝑟𝑠𝑠2𝑥𝑥 = 1 − 𝑆𝑆𝑠𝑠𝑑𝑑2𝑥𝑥 • 𝑆𝑆𝑠𝑠𝑑𝑑 𝑥𝑥 𝐶𝐶𝑟𝑟𝑠𝑠 𝑥𝑥 = 1 2� 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑 𝑥𝑥

𝑦𝑦 = 2�𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑2𝑥𝑥 − 6𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥[1 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑2𝑥𝑥]� − 3𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑2𝑥𝑥


𝑦𝑦 = 2[𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑2𝑥𝑥 − 6𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥 + 6𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑3𝑥𝑥] − 3𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑2𝑥𝑥


𝑦𝑦 = 2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑2𝑥𝑥 − 12𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥 + 12𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑3𝑥𝑥 − 3𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑2𝑥𝑥

2�(1 − 3𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑥𝑥)3

118


𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝑥𝑥 − 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥)2 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝑥𝑥𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(𝑥𝑥) −𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥)

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2(𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥) + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝑥𝑥 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝑥𝑥𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(𝑥𝑥)

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥(−𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑟𝑟𝑑𝑑𝑡𝑡𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(𝑥𝑥) + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝑥𝑥 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝑥𝑥

𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = −2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑟𝑟𝑑𝑑𝑡𝑡𝑥𝑥 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝑥𝑥 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝑥𝑥

𝑦𝑦 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑 4𝑥𝑥

√𝑥𝑥 + 3

𝑦𝑦 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑 4𝑥𝑥

√𝑥𝑥 + 3= 𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠

4𝑥𝑥√𝑥𝑥 + 3


�4𝑥𝑥

√𝑥𝑥 + 3�

𝑦𝑦 = 𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠4𝑥𝑥

√𝑥𝑥 + 3∗ �

(𝑥𝑥 + 3)12� 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 4𝑥𝑥 − 4𝑥𝑥 𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑥𝑥 (𝑥𝑥 + 3)12�

�(𝑥𝑥 + 3)12� �

2 �


√𝑥𝑥 + 3∗

⎣⎢⎢⎢⎡4(𝑥𝑥 + 3)1

2�

1 − 2𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 3)1

2�= 4(𝑥𝑥 + 3) − 2𝑥𝑥

(𝑥𝑥 + 3)12�

(𝑥𝑥 + 3)

⎦⎥⎥⎥⎤

=


√𝑥𝑥 + 3⎣⎢⎢⎢⎡

4𝑥𝑥 + 12 − 2𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 3)1

2�

(𝑥𝑥 + 3)1 ⎦

⎥⎥⎥⎤

𝑦𝑦′ = 2𝑥𝑥 + 12

(𝑥𝑥 + 3)32�

cos4𝑥𝑥

√𝑥𝑥 + 3

119


𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑑𝑑𝑟𝑟𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑(2𝑥𝑥 − 3) = 1

√1 − 𝑢𝑢2= 𝑑𝑑𝑢𝑢𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1

�1 − (2𝑥𝑥 − 3)2 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(2𝑥𝑥 − 3)

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1

�1 − (4𝑥𝑥2 − 12𝑥𝑥 + 9 2

𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 2

√1 − 4𝑥𝑥2 − 12𝑥𝑥9=

2√−4𝑥𝑥2 + 12𝑥𝑥 − 8

= 2

�(−4𝑥𝑥 + 4)(𝑥𝑥 − 2)

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = arccos 𝑥𝑥2 = 1

√1 − 𝑣𝑣2

𝑑𝑑𝑣𝑣𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 1

√1 − 𝑥𝑥4


(𝑥𝑥2) = −2𝑥𝑥

√1 − 𝑥𝑥4

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑑𝑑𝑟𝑟𝑠𝑠 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑4𝑥𝑥3 = 1

1 − 𝑢𝑢2𝑑𝑑𝑢𝑢𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 1

1 − (4𝑥𝑥3)2 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

4𝑥𝑥3 = 12𝑥𝑥2

1 − 16𝑥𝑥6

−4𝑥𝑥2 + 8𝑥𝑥 + 4𝑥𝑥 − 8

−4𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 2) + 4(𝑥𝑥 − 2)

(−4𝑥𝑥 + 4)(𝑥𝑥 − 2)

Factorización por agrupación

-4𝑥𝑥2 + 12𝑥𝑥 − 8

120


4.2.6)Derivación de funciones logarítmicas.

Propiedades:

i) 𝑛𝑛𝑑𝑑 1 = 0 (𝑛𝑛𝑑𝑑1 = 0) ii) 𝑛𝑛𝑑𝑑 𝑑𝑑 = 1 (𝑛𝑛𝑑𝑑 𝑠𝑠 = 1) iii) 𝑛𝑛𝑑𝑑 𝑢𝑢𝑣𝑣 = 𝑛𝑛𝑑𝑑 𝑢𝑢 + 𝑛𝑛𝑑𝑑 𝑣𝑣 iv) 𝑛𝑛𝑑𝑑 𝑢𝑢

𝑣𝑣 = 𝑛𝑛𝑑𝑑 𝑢𝑢 – 𝑛𝑛𝑑𝑑 𝑣𝑣

v) 𝑛𝑛𝑑𝑑 𝑣𝑣𝑟𝑟 = 𝑟𝑟𝑛𝑛𝑑𝑑 𝑢𝑢

𝑦𝑦 = 𝑛𝑛𝑑𝑑 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑 5𝑥𝑥

𝑦𝑦 = 1

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑 5𝑥𝑥cos 5𝑥𝑥


5𝑥𝑥

𝑦𝑦′ = cos 5𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑 5𝑥𝑥

(5)

𝑦𝑦′ = 5cos 5𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑 5𝑥𝑥

= 5𝑠𝑠𝑟𝑟𝑑𝑑𝑡𝑡 5𝑥𝑥

𝑦𝑦 = 𝑛𝑛𝑑𝑑�3 − 𝑥𝑥2

𝑦𝑦 = 1

(3 − 𝑥𝑥2)12�


(3 − 𝑥𝑥2)12�

𝑦𝑦 =1

(3 − 𝑥𝑥2)12�

12

(3 − 𝑥𝑥2)−12�𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(3 − 𝑥𝑥2)

𝑦𝑦 = 1

(3 − 𝑥𝑥2)12�

12

(3 − 𝑥𝑥2)−12� (−2𝑥𝑥)

𝑦𝑦 = −𝑥𝑥

(3 − 𝑥𝑥2)12� (3 − 𝑥𝑥2)1

2�= −

𝑥𝑥3 − 𝑥𝑥2

Identidad Trigonométrica

Cotg 𝑥𝑥 = cos 𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑 𝑥𝑥


𝑛𝑛𝑑𝑑 𝑢𝑢 = 1𝑢𝑢𝑑𝑑𝑢𝑢𝑑𝑑𝑥𝑥

121


𝑦𝑦 = 𝑛𝑛𝑑𝑑 (𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 − 1)3

𝑦𝑦 = 1

(𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 − 1)3𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 − 1)3 = 3(𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 − 1)2

(𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 − 1)3𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 − 1)

𝑦𝑦′ = 3(𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 − 1)2

(𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 − 1)3 2𝑥𝑥 + 1 = 6𝑥𝑥 + 3 (𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 − 1)2

(𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 − 1)2

𝑦𝑦′ = 6𝑥𝑥 + 3

(𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 − 1)2

𝑦𝑦 = 𝑛𝑛𝑑𝑑�1 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥1 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥

= 𝑛𝑛𝑑𝑑 �1 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥1 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥

�1

2�

𝑦𝑦 = 𝑛𝑛𝑑𝑑(1 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥)1

2�

(1 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥)12�

= ln(1 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥)12� − ln(1 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥)1

2�

𝑦𝑦 = 1

(1 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥)12�


(1 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥)12� −

1(1 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥)1

2�



𝑦𝑦 = 1

(1 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥)12�

12

(1 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥)−12�𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(1 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥) −1


12

(1 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥)−12�𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 (1 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥)

𝑦𝑦 = 1(1+𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥 )1 2�

12

(1 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥)−12� 𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑥𝑥(𝑥𝑥) − 1

(1−𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥 )1 2�12

(1 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥)−12� (−𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑥𝑥) 𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑥𝑥(𝑥𝑥)

𝑦𝑦 = 𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑥𝑥

2(1 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥)12� (1 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥)1

2�+

𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑥𝑥

2(1 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥)12� (1 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥)1

2�

𝑦𝑦 = 𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑥𝑥

2(1 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥)+

𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑥𝑥2(−1𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥)

= 𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑥𝑥(1 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥) + 𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑥𝑥(1 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥)

2[(1 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥)(1 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥)]

𝑦𝑦′ = 𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑥𝑥 − 𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑥𝑥 + 𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥

2[1 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑 2𝑥𝑥] = 2𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑥𝑥

2[1 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑2𝑥𝑥] = 𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑥𝑥𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠2𝑥𝑥

𝑦𝑦′ = 1

𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑥𝑥= sec𝑥𝑥

1𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑥𝑥

= sec 𝑥𝑥

Identidades

Trigonométricas

𝐶𝐶𝑟𝑟𝑠𝑠2 𝑥𝑥 + 𝑆𝑆𝑠𝑠𝑑𝑑2 𝑥𝑥= 1

𝐶𝐶𝑟𝑟𝑠𝑠2 𝑥𝑥 =1- 𝑆𝑆𝑠𝑠𝑑𝑑2 𝑥𝑥

122


• y = ln5 𝑥𝑥 = (ln𝑥𝑥)5 regla de la cadena

𝑦𝑦 = 5(𝑛𝑛𝑑𝑑𝑥𝑥)4 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(𝑛𝑛𝑑𝑑𝑥𝑥) ⇒ 𝐴𝐴𝑝𝑝𝑛𝑛𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑟𝑟 𝑛𝑛𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟𝑟𝑟𝑝𝑝𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑠𝑠 𝑛𝑛𝑟𝑟𝑠𝑠 𝑛𝑛𝑟𝑟𝑡𝑡𝑑𝑑𝑟𝑟í𝑑𝑑𝑚𝑚𝑟𝑟𝑠𝑠 𝑉𝑉

𝑦𝑦′ = 5(𝑛𝑛𝑑𝑑𝑥𝑥)4 1𝑥𝑥𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(𝑥𝑥)

𝑦𝑦′ = 5(𝑛𝑛𝑑𝑑𝑥𝑥)4

𝑥𝑥

• 𝑦𝑦 = ln(1+𝑥𝑥2

1−𝑥𝑥2)

𝑦𝑦 = 1

1 + 𝑥𝑥2

1 − 𝑥𝑥2


�1 + 𝑥𝑥2

1 − 𝑥𝑥2� =𝑢𝑢𝑣𝑣

𝑦𝑦 = 1

1 + 𝑥𝑥2

1 − 𝑥𝑥2

∗ 1 − 𝑥𝑥2 𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑥𝑥 (1 + 𝑥𝑥2) − �1 + 𝑥𝑥2 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 (1 − 𝑥𝑥2)�

(1 − 𝑥𝑥2)2

𝑦𝑦 = 1

1 + 𝑥𝑥2

1 − 𝑥𝑥2

∗ 2𝑥𝑥(1 − 𝑥𝑥2) − �1 + 𝑥𝑥2 𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑥𝑥 (1 − 𝑥𝑥2)�(1 − 𝑥𝑥2)2

𝑦𝑦 = 1

1 + 𝑥𝑥2

1 − 𝑥𝑥2

∗ 2𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥3 + 2𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥3

(1 − 𝑥𝑥2)2

𝑦𝑦′ = 1

1 + 𝑥𝑥2

1 − 𝑥𝑥2

∗ 4𝑥𝑥

(1 − 𝑥𝑥2)2

𝑦𝑦′ = 4𝑥𝑥(1 − 𝑥𝑥2)

(1 + 𝑥𝑥2)(1 − 𝑥𝑥2)2 = 4𝑥𝑥

1 − 𝑥𝑥4

• 𝑦𝑦 = 𝑛𝑛𝑑𝑑 (𝑥𝑥−2)5

(𝑥𝑥+1)3 ⇒ 𝐴𝐴𝑝𝑝𝑛𝑛𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑟𝑟 𝑛𝑛𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟𝑟𝑟𝑝𝑝𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑠𝑠 𝑛𝑛𝑟𝑟𝑠𝑠 𝑛𝑛𝑟𝑟𝑡𝑡𝑑𝑑𝑟𝑟í𝑑𝑑𝑚𝑚𝑟𝑟𝑠𝑠 𝐼𝐼𝑉𝑉

• 𝑦𝑦 = ln(𝑥𝑥 − 2)5 − ln (𝑥𝑥 + 1) 3 ⇒ 𝐴𝐴𝑝𝑝𝑛𝑛𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑟𝑟 𝑛𝑛𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟𝑟𝑟𝑝𝑝𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑠𝑠 𝑛𝑛𝑟𝑟𝑠𝑠 𝑛𝑛𝑟𝑟𝑡𝑡𝑑𝑑𝑟𝑟í𝑑𝑑𝑚𝑚𝑟𝑟𝑠𝑠 𝑉𝑉 𝑦𝑦 = 5 ln(𝑥𝑥 − 2) − 3ln(𝑥𝑥 + 1)

𝑦𝑦 = 51

𝑥𝑥 − 2𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(𝑥𝑥 − 2) −3

𝑥𝑥 + 1𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(𝑥𝑥 + 1)

𝑦𝑦′ = 5

𝑥𝑥 − 2−

3𝑥𝑥 + 1

= 5(𝑥𝑥 + 1) − 3(𝑥𝑥 − 2)

(𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 + 1)=

5𝑥𝑥 + 5 − 3𝑥𝑥 + 6(𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 − 1)

𝑦𝑦′ = 2𝑥𝑥 + 11

(𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 + 1)

123


• 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑛𝑛𝑑𝑑𝑥𝑥5 𝑛𝑛𝑑𝑑𝑥𝑥 ⇒ 𝐴𝐴𝑝𝑝𝑛𝑛𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑟𝑟 𝑛𝑛𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟𝑟𝑟𝑝𝑝𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑠𝑠 𝑛𝑛𝑟𝑟𝑠𝑠 𝑛𝑛𝑟𝑟𝑡𝑡𝑑𝑑𝑟𝑟í𝑑𝑑𝑚𝑚𝑟𝑟𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑛𝑛𝑑𝑑𝑥𝑥5 + ln(𝑛𝑛𝑑𝑑𝑥𝑥) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 5𝑛𝑛𝑑𝑑𝑥𝑥 + ln(𝑛𝑛𝑑𝑑𝑥𝑥)

𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 5𝑥𝑥𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(𝑥𝑥) + 1𝑛𝑛𝑑𝑑𝑥𝑥


(𝑛𝑛𝑑𝑑𝑥𝑥)


+1𝑛𝑛𝑑𝑑𝑥𝑥

1𝑥𝑥


(𝑥𝑥)


+1

𝑥𝑥𝑛𝑛𝑑𝑑𝑥𝑥

• 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑚𝑚𝑢𝑢𝑛𝑛𝑑𝑑𝑠𝑠𝑝𝑝𝑛𝑛𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑 𝑛𝑛𝑑𝑑 𝑠𝑠𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑚𝑚𝑎𝑎𝑟𝑟𝑠𝑠 𝑛𝑛𝑑𝑑𝑑𝑑𝑟𝑟𝑠𝑠 𝑑𝑑𝑠𝑠 𝑛𝑛𝑑𝑑 𝐸𝐸𝑠𝑠.

𝑛𝑛𝑑𝑑[𝑦𝑦 = 𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥 ] 𝑛𝑛𝑑𝑑𝑦𝑦 = 𝑛𝑛𝑑𝑑𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥 ⇒ 𝐴𝐴𝑝𝑝𝑛𝑛𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑟𝑟 𝑛𝑛𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟𝑟𝑟𝑝𝑝𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑠𝑠 𝑛𝑛𝑟𝑟𝑠𝑠 𝑛𝑛𝑟𝑟𝑡𝑡𝑑𝑑𝑟𝑟í𝑑𝑑𝑚𝑚𝑟𝑟𝑠𝑠 𝑉𝑉 1𝑦𝑦𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(𝑦𝑦) = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑛𝑛𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑥𝑥

(𝑦𝑦) = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑛𝑛𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑛𝑛𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑦𝑦′

𝑦𝑦= 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥

1𝑥𝑥𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(𝑥𝑥) + 𝑛𝑛𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑥𝑥𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(𝑥𝑥)

𝑦𝑦′

𝑦𝑦=𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥𝑥𝑥

+ 𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑛𝑛𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑦𝑦′ = 𝑦𝑦 �𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥𝑥𝑥

+ 𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑛𝑛𝑑𝑑𝑥𝑥�

𝑦𝑦′ = 𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥 �𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥𝑥𝑥

+ 𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑛𝑛𝑑𝑑𝑥𝑥�

• 𝑦𝑦 = (𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑚𝑚𝑢𝑢𝑛𝑛𝑑𝑑𝑠𝑠𝑝𝑝𝑛𝑛𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑 𝑛𝑛𝑑𝑑 𝑠𝑠𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑚𝑚𝑎𝑎𝑟𝑟𝑠𝑠 𝑛𝑛𝑑𝑑𝑑𝑑𝑟𝑟𝑠𝑠 𝑑𝑑𝑠𝑠 𝑛𝑛𝑑𝑑 𝐸𝐸𝑠𝑠.

𝑛𝑛𝑑𝑑[𝑦𝑦 = (𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 ] 𝑛𝑛𝑑𝑑𝑦𝑦 = ln(𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥)tanx ⇒ 𝐴𝐴𝑝𝑝𝑛𝑛𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑟𝑟 𝑛𝑛𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑟𝑟𝑟𝑟𝑝𝑝𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑠𝑠 𝑛𝑛𝑟𝑟𝑠𝑠 𝑛𝑛𝑟𝑟𝑡𝑡𝑑𝑑𝑟𝑟í𝑑𝑑𝑚𝑚𝑟𝑟𝑠𝑠 𝑉𝑉 1𝑦𝑦𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑥𝑥

= 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑛𝑛𝑑𝑑𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑦𝑦′

𝑦𝑦= 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥


𝑛𝑛𝑑𝑑𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑛𝑛𝑑𝑑𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑦𝑦′

𝑦𝑦= 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

1𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥


𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑛𝑛𝑑𝑑𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝑥𝑥𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(𝑥𝑥)

𝑦𝑦′

𝑦𝑦= 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑥𝑥


(𝑥𝑥)𝑛𝑛𝑑𝑑𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝑥𝑥

𝑦𝑦′

𝑦𝑦=

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑥𝑥

𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑥𝑥 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝑥𝑥𝑛𝑛𝑑𝑑𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑦𝑦′ = 𝑦𝑦[𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝑥𝑥 𝑛𝑛𝑑𝑑𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥] 𝑦𝑦′ = (𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 [𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝑥𝑥 𝑛𝑛𝑑𝑑𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥]

124


• 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑛𝑛𝑑𝑑 𝑥𝑥2

1+𝑥𝑥2

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1𝑥𝑥2

1 + 𝑥𝑥2


�𝑥𝑥2

1 + 𝑥𝑥2�


1 + 𝑥𝑥2

�1 + 𝑥𝑥2 𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑥𝑥 (𝑥𝑥2) − �𝑥𝑥2 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 (1 + 𝑥𝑥2)�

(1 + 𝑥𝑥2)2 �


1 + 𝑥𝑥2

�2𝑥𝑥(1 + 𝑥𝑥2) − [2𝑥𝑥(𝑥𝑥2)]

(1 + 𝑥𝑥2)2 �


1 + 𝑥𝑥2

�2𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥3 − 2𝑥𝑥3

(1 + 𝑥𝑥2)2 �

𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 1 + 𝑥𝑥2

𝑥𝑥2 �2𝑥𝑥

(1 + 𝑥𝑥2)2� =

4.2.7) Derivación de funciones exponenciales.

• 𝑦𝑦 = 𝑠𝑠𝑥𝑥3=𝑢𝑢

𝑦𝑦′ = 𝑠𝑠𝑥𝑥3 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(𝑥𝑥3)

𝑦𝑦′ = 𝑠𝑠𝑥𝑥3 3𝑥𝑥2 𝑦𝑦′ = 3𝑥𝑥2𝑠𝑠𝑥𝑥3

• 𝑦𝑦 = 𝑠𝑠𝑥𝑥2 𝑛𝑛𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑦𝑦 = 𝑠𝑠𝑥𝑥2𝑛𝑛𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

[𝑥𝑥2 ∗ 𝑛𝑛𝑑𝑑𝑥𝑥]

𝑦𝑦′ = 𝑠𝑠𝑥𝑥2𝑛𝑛𝑑𝑑𝑥𝑥 �𝑥𝑥2 1𝑥𝑥𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(𝑥𝑥) + 𝑛𝑛𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑥𝑥2�

𝑦𝑦′ = 𝑠𝑠𝑥𝑥2𝑛𝑛𝑑𝑑𝑥𝑥 [𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 𝑛𝑛𝑑𝑑𝑥𝑥] 𝑦𝑦′ = [𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 𝑛𝑛𝑑𝑑𝑥𝑥]𝑠𝑠𝑥𝑥2𝑛𝑛𝑑𝑑𝑥𝑥


𝑠𝑠𝑢𝑢 = 𝑠𝑠𝑢𝑢𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(𝑢𝑢)

125


• 𝑦𝑦 = 𝑠𝑠4𝑥𝑥𝑥𝑥−1

𝑦𝑦 = 𝑠𝑠4𝑥𝑥𝑥𝑥−1


�4𝑥𝑥𝑥𝑥 − 1

�

𝑦𝑦 = 𝑠𝑠4𝑥𝑥𝑥𝑥−1 �

𝑥𝑥 − 1 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 (4𝑥𝑥) − �4𝑥𝑥 𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑥𝑥 (𝑥𝑥 − 1)�(𝑥𝑥 − 1)2 �

𝑦𝑦′ = 𝑠𝑠4𝑥𝑥𝑥𝑥−1 �

4(𝑥𝑥 − 1) − (4𝑥𝑥)(𝑥𝑥 − 1)2 �

𝑦𝑦′ = 𝑠𝑠4𝑥𝑥𝑥𝑥−1 �

4𝑥𝑥 − 4 − 4𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 1)2 � = −

4(𝑥𝑥 − 1)2 ∗ 𝑠𝑠

4𝑥𝑥𝑥𝑥−1

• 𝑦𝑦 = 𝑠𝑠(𝑥𝑥2+1)3

𝑦𝑦 = 𝑠𝑠(𝑥𝑥2+1)3 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(𝑥𝑥2 + 1)3

𝑦𝑦 = 𝑠𝑠(𝑥𝑥2+1)3 3(𝑥𝑥2 + 1)2 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(𝑥𝑥2 + 1)

𝑦𝑦′ = 𝑠𝑠(𝑥𝑥2+1)3 3(𝑥𝑥2 + 1)22𝑥𝑥 𝑦𝑦 ′ = 6𝑥𝑥(𝑥𝑥2 + 1)2 𝑠𝑠(𝑥𝑥2+1)3

𝑦𝑦 = 𝑠𝑠cos 3𝑥𝑥 cot 5𝑥𝑥

𝑦𝑦 = 𝑠𝑠cos 3𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

cot 5𝑥𝑥 + cot 5𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑠𝑠cos 3𝑥𝑥

𝑦𝑦 = 𝑠𝑠cos 3𝑥𝑥(−𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 5𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

5𝑥𝑥 + cot 5𝑥𝑥 𝑠𝑠cos 3𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

cos 3𝑥𝑥

𝑦𝑦 ′ = −5𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠25𝑥𝑥 𝑠𝑠cos 3𝑥𝑥 + cot 5𝑥𝑥 𝑠𝑠cos 3𝑥𝑥(−𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑 3𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(3𝑥𝑥)

𝑦𝑦 ′ = −5 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠25𝑥𝑥 𝑠𝑠cos 3𝑥𝑥 − 3𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑3𝑥𝑥𝑠𝑠𝑟𝑟𝑑𝑑5𝑥𝑥 𝑠𝑠cos 3𝑥𝑥

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥

𝑠𝑠√4+𝑥𝑥2

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥

𝑠𝑠√4+𝑥𝑥2 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

�𝑥𝑥

(4 + 𝑥𝑥2)12��

𝑓𝑓 ′(𝑥𝑥) =𝑥𝑥

𝑠𝑠√4+𝑥𝑥2 �

(4 + 𝑥𝑥2)12� 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 (𝑥𝑥) − �𝑥𝑥 𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑥𝑥 (4 + 𝑥𝑥2)12� �

�[4 + 𝑥𝑥2]12� �

2 �

126


𝑓𝑓 ′(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥


(4 + 𝑥𝑥2)12� − �𝑥𝑥 1

2 (4 + 𝑥𝑥2)−12� 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 (4 + 𝑥𝑥2)�

4 + 𝑥𝑥2 �



⎝

⎜⎛

(4 + 𝑥𝑥2)12�

1 − � 𝑥𝑥 2𝑥𝑥2(4 + 𝑥𝑥2)1

2��

4 + 𝑥𝑥2

⎠

⎟⎞



⎝

⎜⎛

(4 + 𝑥𝑥2)12�

1 − 𝑥𝑥2

(4 + 𝑥𝑥2)12�

4 + 𝑥𝑥2

⎠

⎟⎞

= 𝑥𝑥


⎝

⎜⎛

4 + 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥2

(4 + 𝑥𝑥2)12�

4 + 𝑥𝑥2

⎠

⎟⎞



⎝

⎜⎛

4(4 + 𝑥𝑥2)1

2�

(4 + 𝑥𝑥2)1

⎠

⎟⎞

𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥


4(4 + 𝑥𝑥2)(4 + 𝑥𝑥2)1

2��

𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 4

(4 + 𝑥𝑥2)32�

𝑥𝑥



�(4 + 𝑥𝑥2)3𝑠𝑠√4+𝑥𝑥2

𝑦𝑦 = 𝑠𝑠𝑥𝑥2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑2(4𝑥𝑥3 − 6)

𝑦𝑦 = 𝑠𝑠𝑥𝑥2 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑(4𝑥𝑥3 − 6))2 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑2(4𝑥𝑥3 − 6)𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑠𝑠𝑥𝑥2

𝑦𝑦 = 𝑠𝑠𝑥𝑥2 2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑(4𝑥𝑥3 − 6)𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑(4𝑥𝑥3 − 6) + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑2(4𝑥𝑥3 − 6)𝑠𝑠𝑥𝑥2 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑥𝑥2

𝑦𝑦 = 2𝑠𝑠𝑥𝑥2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑(4𝑥𝑥3 − 6) cos(4𝑥𝑥3 − 6)𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(4𝑥𝑥3 − 6) + 2𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑2(4𝑥𝑥3 − 6)𝑠𝑠𝑥𝑥2

𝑦𝑦′ = 2𝑠𝑠𝑥𝑥2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑(4𝑥𝑥3 − 6) cos(4𝑥𝑥3 − 6) (12𝑥𝑥2) + 2𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑2(4𝑥𝑥3 − 6)𝑠𝑠𝑥𝑥2

𝑦𝑦′ = 𝑠𝑠𝑥𝑥2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑2(4𝑥𝑥3 − 6)(12𝑥𝑥2) + 2𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑2(4𝑥𝑥3 − 6)𝑠𝑠𝑥𝑥2

127


𝑦𝑦′ = 12𝑥𝑥2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑(8𝑥𝑥3 − 12) + 2𝑥𝑥𝑠𝑠𝑥𝑥2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑2(4𝑥𝑥3 − 6)

Identidades trigonométricas

• 𝑆𝑆𝑠𝑠𝑑𝑑 2𝑥𝑥 = 2𝑆𝑆𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥 𝐶𝐶𝑟𝑟𝑠𝑠𝑥𝑥

𝑦𝑦 = 𝑠𝑠√4𝑥𝑥3−5 = 𝑠𝑠(4𝑥𝑥3−5)12�

𝑦𝑦 = 𝑠𝑠√4𝑥𝑥3−5 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(4𝑥𝑥3 − 5)12�

𝑦𝑦′ = 𝑠𝑠√4𝑥𝑥3−5 12

(4𝑥𝑥3 − 5)−12� 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(4𝑥𝑥3 − 5)

𝑦𝑦′ = 𝑠𝑠√4𝑥𝑥3−5 1 (12𝑥𝑥2)

2(4𝑥𝑥3 − 5)12�

𝑦𝑦′ = 6𝑥𝑥2𝑠𝑠√4𝑥𝑥3−5

√4𝑥𝑥3 − 5

4.2.8) Derivación implícita

Las funciones implícitas se distinguen porque en ellas se encuentran mezcladas entre sí las variables (𝑥𝑥,𝑦𝑦) que forman a la función. En la cual al derivar la función con respecto a 𝒙𝒙, 𝑦𝑦 permanecerá como constante; si se deriva con respecto a 𝒚𝒚, la que permanece como constante es 𝑥𝑥.

1) 𝑥𝑥3 + 4𝑥𝑥2𝑦𝑦 − 𝑦𝑦3 = 8 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑥𝑥3 + 4𝑥𝑥2 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑦𝑦 + 𝑦𝑦𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

4𝑥𝑥2 −𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑦𝑦3 =𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

8

3𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥2𝑦𝑦′ + 8𝑥𝑥𝑦𝑦 − 3𝑦𝑦𝑦𝑦′ = 0 4𝑥𝑥2𝑦𝑦′ − 3𝑦𝑦𝑦𝑦′ = −8𝑥𝑥𝑦𝑦 − 3𝑥𝑥2 𝑦𝑦′(4𝑥𝑥2 − 3𝑦𝑦) = −8𝑥𝑥𝑦𝑦 − 3𝑥𝑥2

𝑦𝑦′ =−8𝑥𝑥𝑦𝑦 − 3𝑥𝑥2

4𝑥𝑥2 − 3𝑦𝑦

128


2) 3𝑥𝑥4𝑦𝑦2 − 7𝑥𝑥𝑦𝑦3 = 4 − 8𝑦𝑦

3𝑥𝑥4 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑦𝑦2 + 𝑦𝑦2 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

3𝑥𝑥4 − 7𝑥𝑥𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥


(−7𝑥𝑥) = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

4 −𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

8𝑦𝑦

6𝑦𝑦𝑦𝑦′ + 12𝑥𝑥3𝑦𝑦2 − 21𝑥𝑥𝑦𝑦2𝑦𝑦′ − 7𝑦𝑦3 = −8𝑦𝑦′ 6𝑥𝑥4𝑦𝑦𝑦𝑦′ − 21𝑥𝑥𝑦𝑦2𝑦𝑦′ + 8𝑦𝑦′ = 7𝑦𝑦3 − 12𝑥𝑥3𝑦𝑦3 𝑦𝑦′(6𝑥𝑥4𝑦𝑦 − 21𝑥𝑥𝑦𝑦2 + 8) = 7𝑦𝑦3 − 12𝑥𝑥3𝑦𝑦3

𝑦𝑦′ = 7𝑦𝑦3 − 12𝑥𝑥3𝑦𝑦3

(6𝑥𝑥4𝑦𝑦 − 21𝑥𝑥𝑦𝑦2 + 8)

3) 6𝑥𝑥 − 𝑦𝑦2 = �2𝑥𝑥𝑦𝑦 − 𝑥𝑥𝑦𝑦3 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

6𝑥𝑥 −𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑦𝑦2 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(2𝑥𝑥𝑦𝑦)12� − 𝑥𝑥



(−𝑥𝑥)

6 − 2𝑦𝑦𝑦𝑦′ = 12

(2𝑥𝑥𝑦𝑦)−12�𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

2𝑥𝑥𝑦𝑦 − 3𝑥𝑥𝑦𝑦2𝑦𝑦′ − 𝑦𝑦3

6 − 2𝑦𝑦𝑦𝑦′ = 1

2(2𝑥𝑥𝑦𝑦)12��2𝑥𝑥



2𝑥𝑥� − 3𝑥𝑥𝑦𝑦2𝑦𝑦′ − 𝑦𝑦3

6 − 2𝑦𝑦𝑦𝑦′ = 1

2(2𝑥𝑥𝑦𝑦)12�

[2𝑥𝑥𝑦𝑦′ + 2𝑦𝑦] − 3𝑥𝑥𝑦𝑦2𝑦𝑦′ − 𝑦𝑦3

6 − 2𝑦𝑦𝑦𝑦′ = 2𝑥𝑥𝑦𝑦′ + 2𝑦𝑦

2(2𝑥𝑥𝑦𝑦)12�− 3𝑥𝑥𝑦𝑦2𝑦𝑦′ − 𝑦𝑦3

6 − 2𝑦𝑦𝑦𝑦′ = 2(𝑥𝑥𝑦𝑦′ + 𝑦𝑦)

2(2𝑥𝑥𝑦𝑦)12�− 3𝑥𝑥𝑦𝑦2𝑦𝑦′ − 𝑦𝑦3

6 − 2𝑦𝑦𝑦𝑦′ = 𝑥𝑥𝑦𝑦′ + 𝑦𝑦

(2𝑥𝑥𝑦𝑦)12�− 3𝑥𝑥𝑦𝑦2𝑦𝑦′ − 𝑦𝑦3

6 + 𝑦𝑦3 = 𝑥𝑥𝑦𝑦 ′

(2𝑥𝑥𝑦𝑦 )12�

+ 𝑦𝑦

(2𝑥𝑥𝑦𝑦 )12�− 3𝑥𝑥𝑦𝑦2𝑦𝑦′ + 2𝑦𝑦𝑦𝑦′

6 + 𝑦𝑦3 − 𝑦𝑦

(2𝑥𝑥𝑦𝑦 )12�

= 𝑥𝑥𝑦𝑦 ′

(2𝑥𝑥𝑦𝑦 )12�− 3𝑥𝑥𝑦𝑦2𝑦𝑦′ + 2𝑦𝑦𝑦𝑦′

6 + 𝑦𝑦3 −𝑦𝑦

(2𝑥𝑥𝑦𝑦)12�

= 𝑦𝑦′ �𝑥𝑥

(2𝑥𝑥𝑦𝑦)12�−

3𝑥𝑥𝑦𝑦2

1+

2𝑦𝑦1�

6(2𝑥𝑥𝑦𝑦)12� + 𝑦𝑦3(2𝑥𝑥𝑦𝑦)1

2� − 𝑦𝑦


= 𝑦𝑦′ �𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥𝑦𝑦2(2𝑥𝑥𝑦𝑦)1

2� + 2𝑦𝑦(2𝑥𝑥𝑦𝑦)12�


�

6(2𝑥𝑥𝑦𝑦)1

2� + 𝑦𝑦3(2𝑥𝑥𝑦𝑦)12� − 𝑦𝑦


𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥𝑦𝑦2(2𝑥𝑥𝑦𝑦)12� + 2𝑦𝑦(2𝑥𝑥𝑦𝑦)1

2�


= 𝑦𝑦′

129


(2𝑥𝑥𝑦𝑦)12� �6(2𝑥𝑥𝑦𝑦)1

2� + 𝑦𝑦3(2𝑥𝑥𝑦𝑦)12� − 𝑦𝑦�

(2𝑥𝑥𝑦𝑦)12� �𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥𝑦𝑦2(2𝑥𝑥𝑦𝑦)1

2� + 2𝑦𝑦(2𝑥𝑥𝑦𝑦)12� �

= 𝑦𝑦′

6�2𝑥𝑥𝑦𝑦 + 𝑦𝑦3�2𝑥𝑥𝑦𝑦 − 𝑦𝑦𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥𝑦𝑦2�2𝑥𝑥𝑦𝑦 + 2𝑦𝑦�2𝑥𝑥𝑦𝑦

= 𝑦𝑦′

4) 𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠(𝑥𝑥𝑦𝑦) − 𝑦𝑦2 = 2𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

cos(𝑥𝑥𝑦𝑦) −𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑦𝑦2 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

2𝑥𝑥

−𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥𝑦𝑦𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(𝑥𝑥𝑦𝑦) − 2𝑦𝑦𝑦𝑦′ = 2

−𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥𝑦𝑦(𝑥𝑥𝑦𝑦′ + 𝑦𝑦) − 2𝑦𝑦𝑦𝑦′ = 2 −𝑥𝑥𝑦𝑦′𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥𝑦𝑦 − 𝑦𝑦𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥𝑦𝑦 − 2𝑦𝑦𝑦𝑦′ = 2 −𝑥𝑥𝑦𝑦′𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥𝑦𝑦 − 2𝑦𝑦𝑦𝑦′ = 2 + 𝑦𝑦𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥𝑦𝑦 𝑦𝑦′ [−𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥𝑦𝑦 − 2𝑦𝑦] = 2 + 𝑦𝑦𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥𝑦𝑦

𝑦𝑦′ = 2 + 𝑦𝑦𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥𝑦𝑦

[−𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥𝑦𝑦 − 2𝑦𝑦]

5) (𝑦𝑦2 − 9)4 = (4𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥 − 1)2 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(𝑦𝑦2 − 9)4 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(4𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥 − 1)2

4(𝑦𝑦2 − 9)3 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(𝑦𝑦2 − 9) = 2(4𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥 − 1)𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(4𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥 − 1)

4(𝑦𝑦2 − 9)32𝑦𝑦𝑦𝑦′ = 2(4𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥 − 1)8𝑥𝑥 + 3 8𝑦𝑦𝑦𝑦′(𝑦𝑦2 − 9)3 = 16𝑥𝑥 + 6(4𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥 − 1) 𝑦𝑦′8𝑦𝑦(𝑦𝑦2 − 9)3 = 64𝑥𝑥3 + 72𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 − 6

𝑦𝑦′ = 64𝑥𝑥3 + 72𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 − 6

8𝑦𝑦(𝑦𝑦2 − 9)3

130


EJERCICIOS VI

Instrucciones: Deriva cada una de las siguientes funciones con la regla de derivación correspondiente. Las soluciones las puedes consultar en el anexo H

1.- 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥 − 𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠2 �13𝑥𝑥�

2.- 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑(𝑛𝑛𝑑𝑑𝑥𝑥) + cos(𝑛𝑛𝑑𝑑𝑥𝑥)

3.- 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑠𝑠𝑥𝑥2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑2(4𝑥𝑥3 − 6)

4.- 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = tan(𝑥𝑥4 + 3)

5.- 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑛𝑛𝑑𝑑 ��𝑥𝑥2−1𝑥𝑥2+1

4�

6.- 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠 (4𝑥𝑥)1−𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑 (4𝑥𝑥)

7.- 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑛𝑛𝑑𝑑 √𝑥𝑥2+1(9𝑥𝑥−4)2

8.- 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = ln(𝑥𝑥2𝑠𝑠𝑥𝑥)

9.- 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑥𝑥

10.- 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑛𝑛𝑑𝑑√cos 2𝑥𝑥

11.- 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2√𝑥𝑥

+ 6√𝑥𝑥3

12.- 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 − 1)√𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥 + 2

13.- 𝑓𝑓(𝑑𝑑) = 𝑑𝑑2+2

3−𝑑𝑑2

14.- 𝑦𝑦 = � 𝑥𝑥3−1

2𝑥𝑥3+1�

4

15.- 𝑓𝑓(𝑑𝑑) = (4𝑑𝑑5 − 3𝑑𝑑3 + 2𝑑𝑑)−2

16.- 𝑓𝑓(𝑧𝑧) = �𝑧𝑧2 − 1𝑧𝑧2�

6

17.- 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑√𝑥𝑥

18.- 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑛𝑛𝑑𝑑𝑥𝑥

131


19.- 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑛𝑛𝑑𝑑3(5𝑥𝑥4 − 2𝑥𝑥3)

20.- 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑠𝑠5𝑥𝑥

21.- 𝑦𝑦 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑3𝑥𝑥

22.- 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑2𝑠𝑠3𝑥𝑥

23.- 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑠𝑠−𝑥𝑥𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑥𝑥

24.- 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑑𝑑𝑟𝑟𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑟𝑟𝑑𝑑 �1+𝑥𝑥1−𝑥𝑥

�

25.- 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑑𝑑𝑟𝑟𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠 12𝑥𝑥

26.- 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑑𝑑𝑟𝑟𝑠𝑠 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 3𝑥𝑥

27.- 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑑𝑑𝑟𝑟𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑 (𝑥𝑥 − 1)

28.- 𝑥𝑥2𝑦𝑦 − 𝑥𝑥𝑦𝑦2 + 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 = 0

29.- 𝑥𝑥2 = 𝑥𝑥+2𝑦𝑦𝑥𝑥−2𝑦𝑦

30.- 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑠𝑠𝑥𝑥− 1𝑠𝑠𝑥𝑥+ 1

31.- 𝑦𝑦 = 𝑠𝑠−3𝑥𝑥2

𝑥𝑥+2

32.- 𝑥𝑥𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑦𝑦 + 𝑦𝑦𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑥𝑥 = 1

Objetivo: El estudiante aplicará los conceptos de la derivada en la solución de problemas reales.

CAPÍTULO V: APLICACIONES DE

LA DERIVADA.

132

Capítulo V: Aplicaciones de la derivada

5.0) APLICACIONES DE LA DERIVADA.

5.1) Recta Tangente y Normal. • Obtener la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a cada curva en

los puntos que se indican. Ejemplo 1:

𝒚𝒚 = �𝟑𝟑𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒆𝒆𝒑𝒑𝒑𝒑 𝑨𝑨(𝟏𝟏,𝟐𝟐)

𝑦𝑦 = (3𝑥𝑥2 + 1)1

2�

𝑦𝑦 =12

(3𝑥𝑥2 + 1)−12�𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(3𝑥𝑥2 − 1)

𝑦𝑦′ =6𝑥𝑥

2(3𝑥𝑥2 + 1)12�

𝑚𝑚 = 𝑦𝑦′ =3𝑥𝑥

√3𝑥𝑥2 + 1

∴ 𝑚𝑚(1) =3(1)

�3(1)2 + 1=

3√4

= 32

Al sustituir en la ecuación y- 𝑦𝑦1 = 𝑚𝑚 (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1) se tiene

𝑦𝑦 − 2 =32

(𝑥𝑥 − 1) ⟹

∴ La ecuación de la recta es

𝑦𝑦 − 2 = 32𝑥𝑥 − 3

2

𝑦𝑦 = 32𝑥𝑥 − 3

2+ 2

�𝑦𝑦 = 32𝑥𝑥 + 1

2�2

2𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥 + 1 → 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝑑𝑑𝐼𝐼 𝐼𝐼 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝐼𝐼

𝟐𝟐𝒚𝒚 − 𝟑𝟑𝒙𝒙 − 𝟏𝟏 = 𝟎𝟎∴La ecuación de la recta tangente de la función

La Ecuación de la recta normal= -- 1𝑚𝑚𝑡𝑡𝐼𝐼𝐼𝐼

= − 132

= −23�

𝑦𝑦 − 2 = −23

(𝑥𝑥 − 1)

𝑦𝑦 − 2 = −23𝑥𝑥 +

23

133


𝑦𝑦 = −23𝑥𝑥 +

23

+ 2

�𝑦𝑦 = −23𝑥𝑥 +

83� 3

3𝑦𝑦 = −2𝑥𝑥 + 8 𝟑𝟑𝒚𝒚 + 𝟐𝟐𝒙𝒙 − 𝟖𝟖 = 𝟎𝟎∴La ecuación de la recta normal de la función. Ejemplo 2:

𝒚𝒚 = (𝟑𝟑𝒙𝒙 − 𝟐𝟐)𝟐𝟐(𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟓𝟓)𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒆𝒆𝒑𝒑𝒑𝒑 𝑩𝑩(𝟏𝟏,𝟔𝟔)

𝑦𝑦 = (3𝑥𝑥 − 2)2 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(𝑥𝑥2 + 5) + (𝑥𝑥2 + 5)𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(3𝑥𝑥 − 2)2

𝑦𝑦 = (3𝑥𝑥 − 2)22𝑥𝑥 + (𝑥𝑥2 + 5)2(3𝑥𝑥 − 2) 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(3𝑥𝑥 − 2) 𝑚𝑚 = 𝑦𝑦′ = 2𝑥𝑥(3𝑥𝑥 − 2)2 + 6(𝑥𝑥2 + 5)(3𝑥𝑥 − 2)

Cálculo de la ecuación de la recta tangente

𝑚𝑚(1) = 2(1)(3(1) − 2)2 + 6((1)2 + 5)(3(1) − 2)

𝑚𝑚(1) = 2 + 36 = 38

La ecuación de una recta.

𝑦𝑦 − 𝑦𝑦1 = 𝑚𝑚(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1)

𝑦𝑦 − 6 = 38(𝑥𝑥 − 1) 𝑦𝑦 − 6 = 38𝑥𝑥 − 38 𝑦𝑦 − 6 − 38𝑥𝑥 + 38 = 0 𝒚𝒚 − 𝟑𝟑𝟖𝟖𝒙𝒙 + 𝟑𝟑𝟐𝟐 = 𝟎𝟎 ∴La ecuación de la recta tangente de la función.

Cálculo de la ecuación de la recta normal= - 1𝑚𝑚 𝑡𝑡𝐼𝐼𝐼𝐼

= - 138

𝑦𝑦 − 6 = −1

38(𝑥𝑥 − 1)

𝑦𝑦 − 6 = −1

38𝑥𝑥 +

138

𝑦𝑦 − 6 +1

38𝑥𝑥 −

138

= 0

�𝑦𝑦 +1

38𝑥𝑥 −

22938

= 0� 38 𝟑𝟑𝟖𝟖𝒚𝒚 + 𝒙𝒙 − 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟎𝟎 ∴ La ecuación de la recta normal de la función.

134


Ejemplo 3: 𝟑𝟑𝒙𝒙𝟒𝟒𝒚𝒚𝟑𝟑 − 𝟕𝟕𝒙𝒙𝒚𝒚𝟒𝟒 = 𝟒𝟒 − 𝟖𝟖𝒚𝒚 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒆𝒆𝒑𝒑𝒑𝒑 𝑪𝑪�𝟎𝟎,𝟏𝟏 𝟐𝟐� �

3𝑥𝑥4 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥


3𝑥𝑥4 − 7𝑥𝑥𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥


− 7𝑥𝑥 =𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

4 −𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

8𝑦𝑦

3𝑥𝑥43𝑦𝑦2𝑦𝑦′ + 12𝑥𝑥3𝑦𝑦3 − 28𝑥𝑥𝑦𝑦3𝑦𝑦′ − 7𝑦𝑦4 = −8𝑦𝑦′ 9𝑥𝑥4𝑦𝑦2𝑦𝑦′ + 12𝑥𝑥3𝑦𝑦3 − 28𝑥𝑥𝑦𝑦3𝑦𝑦′ − 7𝑦𝑦4 + 8𝑦𝑦′ = 0 9𝑥𝑥4𝑦𝑦2𝑦𝑦′ − 28𝑥𝑥𝑦𝑦3𝑦𝑦′ + 8𝑦𝑦′ = 7𝑦𝑦4 − 12𝑥𝑥3𝑦𝑦3 𝑦𝑦′(9𝑥𝑥4𝑦𝑦2 − 28𝑥𝑥𝑦𝑦3 + 8) = 7𝑦𝑦4 − 12𝑥𝑥3𝑦𝑦3

𝑚𝑚 = 𝑦𝑦′ = 7𝑦𝑦4 − 12𝑥𝑥3𝑦𝑦3

9𝑥𝑥4𝑦𝑦2 − 28𝑥𝑥𝑦𝑦3 + 8

𝑚𝑚 = 7(1

2� )4− 12(0)3�12� �

3

9(0)4(12� )2−28(0)(1

2� )3+8=

716�8

= 7128

La ecuación de la recta tangente 𝑦𝑦 − 𝑦𝑦1 = 𝑚𝑚(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1)

�𝑦𝑦 −12

=7

128𝑥𝑥� 128

128𝑦𝑦 − 64 = 7𝑥𝑥 −𝟕𝟕𝒙𝒙 + 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟖𝟖𝒚𝒚 − 𝟔𝟔𝟒𝟒 = 𝟎𝟎 ∴La ecuación de la recta tangente de la función La ecuación de la recta normal = -

1𝑚𝑚𝑡𝑡𝐼𝐼𝐼𝐼

= −17

128 = − 128

7

𝑦𝑦 −12

= −128

7(𝑥𝑥 − 0)

14 �𝑦𝑦 −12

= −128

7𝑥𝑥�

14𝑦𝑦 − 7 = −256𝑥𝑥 −256𝑥𝑥 + 14𝑦𝑦 − 7 = 0 ∴ La ecuación de la recta normal de la función.

Ejemplo 4: 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟔𝟔�𝒙𝒙𝒚𝒚 − 𝟒𝟒𝒚𝒚𝟐𝟐 = 𝟐𝟐𝟒𝟒 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝑷𝑷𝒑𝒑𝒆𝒆𝒑𝒑𝒑𝒑 𝑫𝑫(𝟖𝟖,𝟐𝟐) 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑥𝑥2 + 6𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(𝑥𝑥𝑦𝑦)12� − 4


𝑦𝑦2 =𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

24

2𝑥𝑥 +62

(𝑥𝑥𝑦𝑦)12�𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(𝑥𝑥𝑦𝑦) − 8𝑦𝑦𝑦𝑦′ = 0

135


2𝑥𝑥 + 3(𝑥𝑥𝑦𝑦)−12� �𝑥𝑥



𝑥𝑥� − 8𝑦𝑦𝑦𝑦′ = 0

2𝑥𝑥 + 3(𝑥𝑥𝑦𝑦)−12� [𝑥𝑥𝑦𝑦′ + 𝑦𝑦] − 8𝑦𝑦𝑦𝑦′ = 0

2𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥𝑦𝑦′(𝑥𝑥𝑦𝑦)−12� + 3𝑦𝑦(𝑥𝑥𝑦𝑦)−1

2� − 8𝑦𝑦𝑦𝑦′ = 0 𝑦𝑦′ �3𝑥𝑥(𝑥𝑥𝑦𝑦)−1

2� − 8𝑦𝑦� = −3𝑦𝑦(𝑥𝑥𝑦𝑦)−12� − 2𝑥𝑥

𝑦𝑦′ =−3𝑦𝑦(𝑥𝑥𝑦𝑦)−1

2� − 2𝑥𝑥

3𝑥𝑥(𝑥𝑥𝑦𝑦)−12� − 8𝑦𝑦

=

−3𝑦𝑦�𝑥𝑥𝑦𝑦

− 2𝑥𝑥

3𝑥𝑥�𝑥𝑥𝑦𝑦

− 8𝑦𝑦

𝑚𝑚 =

−3(2)√8𝑥𝑥2

− 2(8)

3(8)√8𝑥𝑥2

− 8(2)= − 3

2� − 166 − 16

= −35

2�−10

= 74

Cálculo de la ecuación de la recta tangente 𝑦𝑦 − 𝑦𝑦1 = 𝑚𝑚(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1)

𝑦𝑦 − 2 =74

(𝑥𝑥 − 8)

𝑦𝑦 − 2 =74𝑥𝑥 − 14

𝑦𝑦 − 2 −74𝑥𝑥 + 14 = 0

�𝑦𝑦 −74𝑥𝑥 + 12 = 0� 4

𝟒𝟒𝒚𝒚 − 𝟕𝟕𝒙𝒙 + 𝟒𝟒𝟖𝟖 = 𝟎𝟎 ∴ 𝐿𝐿𝐼𝐼 𝑐𝑐𝑐𝑐𝐼𝐼𝐼𝐼𝑐𝑐𝑒𝑒ó𝐼𝐼 𝑑𝑑𝑐𝑐 𝐼𝐼𝐼𝐼 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑡𝑡𝐼𝐼 𝑡𝑡𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝑐𝑐𝐼𝐼𝑡𝑡𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑐𝑐 𝐼𝐼𝐼𝐼 𝑓𝑓𝐼𝐼𝐼𝐼𝑐𝑐𝑒𝑒ó𝐼𝐼.

Cálculo de la ecuación normal= - 1𝑚𝑚𝑡𝑡𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼

=−174

= −47�

𝑦𝑦 − 𝑦𝑦1 = 𝑚𝑚(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1)

𝑦𝑦 − 2 = −47

(𝑥𝑥 − 8)

�𝑦𝑦 − 2 = −47𝑥𝑥 +

327�7

7𝑦𝑦 − 14 = − 4𝑥𝑥 + 32 7𝑦𝑦 − 14 + 4𝑥𝑥 − 32 = 0 𝟕𝟕𝒚𝒚 + 𝟏𝟏𝟒𝟒𝒙𝒙 − 𝟒𝟒𝟔𝟔 = 𝟎𝟎 ∴ 𝐿𝐿𝐼𝐼 𝑐𝑐𝑐𝑐𝐼𝐼𝐼𝐼𝑐𝑐𝑒𝑒ó𝐼𝐼 𝑑𝑑𝑐𝑐 𝐼𝐼𝐼𝐼 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑡𝑡𝐼𝐼 𝐼𝐼𝐼𝐼𝑐𝑐𝑚𝑚𝐼𝐼𝐼𝐼 𝑑𝑑𝑐𝑐 𝐼𝐼𝐼𝐼 𝑓𝑓𝐼𝐼𝐼𝐼𝑐𝑐𝑒𝑒ó𝐼𝐼.

136


EJERCICIOS VII

Instrucciones: Hallar las ecuaciones de la recta tangente y normal en los puntos indicados. La solución de cada ejercicio se encuentra en el anexo I. a) 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥3 − 2𝑥𝑥2 + 4 𝑐𝑐𝐼𝐼 𝑐𝑐𝐼𝐼 𝑃𝑃𝐼𝐼𝐼𝐼𝑡𝑡𝐼𝐼 (2, 4)

b) 𝑥𝑥2 − 2𝑦𝑦2 = 7 𝑐𝑐𝐼𝐼 𝑐𝑐𝐼𝐼 𝑝𝑝𝐼𝐼𝐼𝐼𝑡𝑡𝐼𝐼 (4,−3)

c) 𝑦𝑦 = √𝑥𝑥2 − 9 𝑐𝑐𝐼𝐼 𝐼𝐼𝐼𝐼𝑙𝑙 𝑝𝑝𝐼𝐼𝐼𝐼𝑡𝑡𝐼𝐼𝑙𝑙 (−5, 4), (5, 4)

d) 𝑦𝑦 = (3𝑥𝑥 − 2)2(𝑥𝑥2 + 5) 𝑐𝑐𝐼𝐼 𝑐𝑐𝐼𝐼 𝑝𝑝𝐼𝐼𝐼𝐼𝑡𝑡𝐼𝐼 𝐴𝐴(1, 6)

e) 𝑦𝑦 = √3 − 𝑥𝑥 𝑐𝑐𝐼𝐼 𝑐𝑐𝐼𝐼 𝑝𝑝𝐼𝐼𝐼𝐼𝑡𝑡𝐼𝐼 (2, 1)

f) 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥+1

3−𝑥𝑥 𝑐𝑐𝐼𝐼 𝑐𝑐𝐼𝐼 𝑝𝑝𝐼𝐼𝐼𝐼𝑡𝑡𝐼𝐼(2, 5)

5.2) Regla De L’ Hopital (Formas indeterminadas)- Anteriormente, la evaluación de lim f(x) cuando f(x) =0

0 𝐼𝐼 ∞

∞

Se discutió para ciertos tipos particulares de funciones f(x). En esta sección se dan procedimientos más generales para evaluar estas formas indeterminadas; este procedimiento se basa en la regla de L’ Hospital. Si f(a) = g(a)=0 o f(a) = g(a) y lim𝑓𝑓(𝑥𝑥)

𝐼𝐼(𝑥𝑥) 𝑐𝑐𝑥𝑥𝑒𝑒𝑙𝑙𝑡𝑡𝑐𝑐

Entonces lim∞→𝐼𝐼𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝐼𝐼(𝑥𝑥) = lim𝑥𝑥→𝐼𝐼

𝑓𝑓′ (𝑥𝑥)𝐼𝐼′ (𝑥𝑥)

Esta regla es válida para “a” finita o infinita

Si lim𝑥𝑥→𝐼𝐼𝑓𝑓′ (𝑥𝑥)𝐼𝐼′ (𝑥𝑥)

es en sí mismo una indeterminación 00

𝐼𝐼 ∞∞

, entonces esta regla se

aplica nuevamente y lim𝑥𝑥→𝐼𝐼𝑓𝑓′ (𝑥𝑥)𝐼𝐼′ (𝑥𝑥)

= lim𝑥𝑥→𝐼𝐼𝑓𝑓′′ (𝑥𝑥)𝐼𝐼′′ (𝑥𝑥)

y así sucesivamente.

• Calcular los limites que se dan, aplicando la regla de L’ Hospital.

137


1) limℎ→0√25+ℎ−5

ℎ

limℎ→0

√25 + 5 − 5ℎ

= limℎ→0

125 (25 + ℎ)−1

2� 𝑑𝑑𝑑𝑑ℎ ℎ −

𝑑𝑑𝑑𝑑ℎ (5)

𝑑𝑑𝑑𝑑ℎ (ℎ)

=

12√25 + ℎ

1

limℎ→0

√25 + ℎ − 5ℎ

= 1

2√25 + ℎ=

12√25 + 0

= 1

10

2) lim𝑥𝑥→0𝑐𝑐𝑥𝑥− (3+𝑥𝑥)

𝑥𝑥2 = lim𝑥𝑥→0

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑐𝑐

𝑥𝑥− 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 (3+𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑥𝑥

2= lim

𝑥𝑥→0

𝑐𝑐𝑥𝑥−12𝑥𝑥

= 𝑐𝑐0−1

2(0)= 0

0 se indetermina y

se vuelve a derivar

lim𝑥𝑥→0

𝑐𝑐𝑥𝑥 − (3 + 𝑥𝑥)𝑥𝑥2 = lim

𝑥𝑥→0

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 (𝑐𝑐𝑥𝑥 − 1)

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 2𝑥𝑥

= lim𝑥𝑥→0

𝑐𝑐𝑥𝑥

2=

12

3) lim𝑥𝑥→12𝑥𝑥3+5𝑥𝑥2−4𝑥𝑥−3𝑥𝑥3+𝑥𝑥2−10𝑥𝑥+8

= lim𝑥𝑥→1


(2𝑥𝑥3+5𝑥𝑥2−4𝑥𝑥−3)𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(𝑥𝑥3+𝑥𝑥2−10𝑥𝑥+8)= lim

𝑥𝑥→1 6𝑥𝑥2+10𝑥𝑥−43𝑥𝑥2+2𝑥𝑥−10

=

6(1)2+10(1)−43(1)2+2(1)−10

= − 125

4) lim𝑥𝑥→0𝑙𝑙𝑐𝑐𝐼𝐼 𝑥𝑥𝑥𝑥

= lim𝑥𝑥→0

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑙𝑙𝑐𝑐𝐼𝐼𝑥𝑥

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑥𝑥

= lim𝑥𝑥→0

cos 𝑥𝑥1

= 1

5) lim𝑥𝑥→0 �1+3𝑥𝑥𝑙𝑙𝑐𝑐𝐼𝐼 𝑥𝑥

− 1𝑥𝑥� = lim

𝑥𝑥→0

𝑥𝑥(1+3𝑥𝑥)−𝑙𝑙𝑐𝑐𝐼𝐼𝑥𝑥𝑥𝑥𝑙𝑙𝑐𝑐𝐼𝐼 𝑥𝑥

= lim𝑥𝑥→0

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 �𝑥𝑥+3𝑥𝑥2−𝑙𝑙𝑐𝑐𝐼𝐼𝑥𝑥 �

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑙𝑙𝑐𝑐𝐼𝐼𝑥𝑥

lim𝑥𝑥→0 = 1+6𝑥𝑥−𝑐𝑐𝐼𝐼𝑙𝑙𝑥𝑥

𝑥𝑥 𝑐𝑐𝐼𝐼𝑙𝑙𝑥𝑥+𝑙𝑙𝑐𝑐𝐼𝐼𝑥𝑥= 1

0=∞ se vuelve a derivar.

lim𝑥𝑥→0

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 (1 + 6𝑥𝑥 − 𝑐𝑐𝐼𝐼𝑙𝑙𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑐𝑐𝐼𝐼𝑙𝑙𝑥𝑥 + 𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑙𝑙𝑐𝑐𝐼𝐼𝑥𝑥= lim

𝑥𝑥→0

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 (1 + 6𝑥𝑥 − 𝑐𝑐𝐼𝐼𝑙𝑙𝑥𝑥)

𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑐𝑐𝐼𝐼𝑙𝑙𝑥𝑥 + 𝑐𝑐𝐼𝐼𝑙𝑙𝑥𝑥 𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑥𝑥=

lim𝑥𝑥→0

6 + 𝑙𝑙𝑐𝑐𝐼𝐼𝑥𝑥−𝑥𝑥 𝑙𝑙𝑐𝑐𝐼𝐼𝑥𝑥 + 𝑐𝑐𝐼𝐼𝑙𝑙𝑥𝑥 + 𝑐𝑐𝐼𝐼𝑙𝑙𝑥𝑥

= lim𝑥𝑥→0

6

0 + 1 + 1=

62

= 3

138


6) lim𝑥𝑥→0𝑐𝑐𝑥𝑥−𝑐𝑐−𝑥𝑥

4 𝑙𝑙𝑐𝑐𝐼𝐼𝑥𝑥=


(𝑐𝑐𝑥𝑥 )− 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(𝑐𝑐−𝑥𝑥 )𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 4 𝑙𝑙𝑐𝑐𝐼𝐼 𝑥𝑥

= lim𝑥𝑥→0

𝑐𝑐𝑥𝑥 𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑥𝑥(𝑥𝑥)−𝑐𝑐−𝑥𝑥 𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑥𝑥 (−𝑥𝑥)

4 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑙𝑙𝑐𝑐𝐼𝐼𝑥𝑥

lim𝑥𝑥→0

𝑐𝑐𝑥𝑥 + 𝑐𝑐−𝑥𝑥

4 𝑐𝑐𝐼𝐼𝑙𝑙𝑥𝑥=

𝑐𝑐0 + 1𝑐𝑐0

4 cos 0=

1 + 14(1)

= 24

= 12

7) lim𝑥𝑥→0𝑙𝑙𝑐𝑐𝐼𝐼 𝑥𝑥−5𝑥𝑥

𝑥𝑥= lim

𝑥𝑥→0 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑙𝑙𝑐𝑐𝐼𝐼𝑥𝑥 − 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 5𝑥𝑥

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑥𝑥

= lim𝑥𝑥→0

𝑐𝑐𝐼𝐼𝑙𝑙𝑥𝑥 −51

lim𝑥𝑥→0

cos 𝑥𝑥 − 51

= 1 − 5

1= −4

8) lim𝑥𝑥→2

√𝑥𝑥3 − √22

𝑥𝑥 − 2= lim

𝑥𝑥→2

𝑥𝑥13� − 21

2�

𝑥𝑥 − 2= lim

𝑥𝑥→2

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 �𝑥𝑥

13� − 21

2� �𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 (𝑥𝑥 − 2)

lim𝑥𝑥→2

13 𝑥𝑥

−23�

1=

13�(2)23

1=

13√43

1=

13√43

9) lim𝐼𝐼→∞

2 + 3𝐼𝐼1 + √𝐼𝐼2 + 4

= lim𝐼𝐼→∞

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 (2 + 3𝐼𝐼)

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 �1 + (𝐼𝐼2 + 4)1

2� �=

312 (𝐼𝐼2 + 4)−1

2� (2𝐼𝐼)

lim𝐼𝐼→∞

31𝐼𝐼

√𝐼𝐼2 + 4

=3√𝐼𝐼2 + 4

𝐼𝐼=

3�𝐼𝐼2

𝐼𝐼2 + 4𝐼𝐼2

𝐼𝐼𝐼𝐼

=3√1 + 0

1= 3

139


EJERCICIOS VIII

Instrucciones: Resuelve cada uno de los siguientes límites aplicando la regla de L’ Hospital. La solución de cada ejercicio se encuentra en el anexo J.

1) lim𝑥𝑥→0 �𝑐𝑐𝑥𝑥−𝑐𝑐−𝑥𝑥

𝑙𝑙𝑐𝑐𝐼𝐼 𝑥𝑥 cos 𝑥𝑥�

2) lim𝑥𝑥→0 �

1∗sec 𝑥𝑥𝑥𝑥3 �

3) lim𝑥𝑥→0 �𝑥𝑥

𝑥𝑥−1− 1

ln 𝑥𝑥�

4) lim𝑥𝑥→0 �1

𝑙𝑙𝑐𝑐𝐼𝐼 𝑥𝑥− 1

𝑥𝑥�

5) lim𝑥𝑥→0(2𝑥𝑥 ln 𝑥𝑥)

6) lim𝑥𝑥→0(1 + 𝑥𝑥)1 𝑥𝑥�

7) lim𝑥𝑥→0√25+𝑥𝑥−5

𝑥𝑥

8) lim𝑥𝑥→3𝑥𝑥3−2𝑥𝑥2−2𝑥𝑥−3

𝑥𝑥2−9

9) lim𝑥𝑥→2𝑥𝑥2−𝑥𝑥−6𝑥𝑥2−4

10) lim𝑥𝑥→24−𝑥𝑥2

3−√𝑥𝑥2+5

11) lim𝑥𝑥→0 �3𝑥𝑥−3−𝑥𝑥

3𝑥𝑥+3−𝑥𝑥�

140


12) lim𝑥𝑥→2 �

𝑥𝑥−2√𝑥𝑥2−4

�

13) lim𝑥𝑥→0 �

1+3𝑥𝑥𝑙𝑙𝑐𝑐𝐼𝐼 𝑥𝑥

− 1𝑥𝑥�

14) lim𝑥𝑥→𝜋𝜋 2�� 4 tan 𝑥𝑥

1+sec 𝑥𝑥�

15) lim𝑥𝑥→0 �𝑥𝑥+1−𝑐𝑐𝑥𝑥

𝑥𝑥2 �

16) lim𝑥𝑥→∞ �𝑐𝑐−𝑥𝑥

1+𝑐𝑐−𝑥𝑥�

17) lim𝑥𝑥→0 �𝑐𝑐𝑥𝑥−𝑐𝑐−𝑥𝑥

4 𝑙𝑙𝑐𝑐𝐼𝐼 𝑥𝑥�

18) lim𝑥𝑥→1 �2𝑥𝑥3+5𝑥𝑥2−2𝑥𝑥−5

𝑥𝑥2−1�

19) lim𝑥𝑥→∞ �

𝑥𝑥 ln 𝑥𝑥𝑥𝑥2+ 1

�

20) lim𝑥𝑥→∞ �9𝑥𝑥3−7𝑥𝑥+3

−3𝑥𝑥3+2𝑥𝑥2−5�

141


5.3) Funciones crecientes y decrecientes.

Si se considera a la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) en el punto 𝑥𝑥 = 𝐼𝐼; 𝑓𝑓’(𝐼𝐼) es la pendiente de la curva 𝑓𝑓(𝑥𝑥) en el punto 𝑥𝑥 = 𝐼𝐼.

Ahora si 𝑓𝑓’(𝐼𝐼) es positiva, 𝑓𝑓(𝑥𝑥) se dice que es una función creciente de 𝑥𝑥; en 𝑥𝑥 = 𝐼𝐼 (es decir, 𝑓𝑓’(𝑥𝑥) crece a medida que 𝑥𝑥 se incrementa pasando por 𝑥𝑥 = 𝐼𝐼); si 𝑓𝑓’(𝑥𝑥) es negativa, 𝑓𝑓(𝑥𝑥) es una función decreciente de 𝑥𝑥; en 𝑥𝑥 = 𝐼𝐼 (es decir, 𝑓𝑓(𝑥𝑥) decrece a medida de que x se incrementa pasando por 𝑥𝑥 = 𝐼𝐼). Lo anterior se ilustra en la figura 44.

Ejemplo: Para cada una de las siguientes funciones que se dan, decir en que intervalos son crecientes o decrecientes.

1) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 4𝑥𝑥2 + 5 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 8𝑥𝑥2 𝑦𝑦 𝑐𝑐𝐼𝐼𝑚𝑚𝐼𝐼 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) > 0, 𝑝𝑝𝐼𝐼𝑐𝑐𝐼𝐼 𝑥𝑥 > 𝐼𝐼 ∴ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑐𝑐𝑙𝑙 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑒𝑒𝑐𝑐𝐼𝐼𝑡𝑡𝑐𝑐 𝑐𝑐𝐼𝐼 𝑐𝑐𝐼𝐼 𝑒𝑒𝐼𝐼𝑡𝑡𝑐𝑐𝑐𝑐𝑖𝑖𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 𝑑𝑑𝑐𝑐 (0,∞ +),𝐼𝐼𝑑𝑑𝑐𝑐𝑚𝑚𝐼𝐼𝑙𝑙 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) < 0 𝑝𝑝𝐼𝐼𝑐𝑐𝐼𝐼 𝑥𝑥 < 0 ∴ 𝑐𝑐𝑙𝑙 𝑑𝑑𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑒𝑒𝑐𝑐𝐼𝐼𝑡𝑡𝑐𝑐 𝑐𝑐𝐼𝐼 𝑐𝑐𝐼𝐼 𝑒𝑒𝐼𝐼𝑡𝑡𝑐𝑐𝑐𝑐𝑖𝑖𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 (−∞, 0)

2) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥2 𝑦𝑦 3𝑥𝑥2 > 0 𝑝𝑝𝐼𝐼𝑐𝑐𝐼𝐼 𝑐𝑐𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝑐𝑐𝐼𝐼𝑒𝑒𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑖𝑖𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑥𝑥, ∴ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑐𝑐𝑙𝑙 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑒𝑒𝑐𝑐𝐼𝐼𝑡𝑡𝑐𝑐 𝑐𝑐𝐼𝐼 𝑡𝑡𝐼𝐼𝑑𝑑𝐼𝐼𝑙𝑙 𝐼𝐼𝐼𝐼𝑙𝑙 𝑐𝑐𝑐𝑐𝐼𝐼𝐼𝐼𝑐𝑐𝑙𝑙.

3) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3 + 6𝑥𝑥2 + 15 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥2 + 12𝑥𝑥 = 3𝑥𝑥 (𝑥𝑥 + 4)

Y

X

Figura 44

142


Como 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) > 0 en los intervalos (-∞,−4) y (0,∞ +) la función es creciente en esos intervalos y 𝑓𝑓(𝑥𝑥) es decreciente en el intervalo (−4,0) dado que en este intervalo 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) < 0

5.4) Máximos y Mínimos (Criterio de la primera derivada).

Una función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) tiene un mínimo relativo en 𝑥𝑥 = 𝐼𝐼 si 𝑓𝑓(𝐼𝐼) < 𝑓𝑓(𝑥𝑥) pone cualquier valor de 𝑥𝑥 cercano a “𝐼𝐼”. De la misma forma 𝑓𝑓(𝑥𝑥) para cualquier valor de 𝑥𝑥 cerca de a “𝐼𝐼”.

Para determinar los valores de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) que sean máximos y mínimos relativos (si existen) se resuelve la siguiente la siguiente ecuación.

𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 0 Para obtener sus raíces o valores críticos y para cada raíz “a”, 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) cambia

de signo a medida que 𝑥𝑥 se incrementa; es decir: 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) 𝑐𝑐𝐼𝐼𝑚𝑚𝑐𝑐𝑒𝑒𝐼𝐼 𝑑𝑑𝑐𝑐 + 𝐼𝐼 − 𝑐𝑐𝐼𝐼 𝑥𝑥 = 𝐼𝐼 ⇒ 𝑀𝑀𝐼𝐼𝑥𝑥𝑒𝑒𝑚𝑚𝐼𝐼 𝑅𝑅𝑐𝑐𝐼𝐼𝐼𝐼𝑡𝑡𝑒𝑒𝑖𝑖𝐼𝐼 𝑐𝑐𝐼𝐼 𝑥𝑥 = 𝐼𝐼 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) 𝑐𝑐𝐼𝐼𝑚𝑚𝑐𝑐𝑒𝑒𝐼𝐼 𝑑𝑑𝑐𝑐 − 𝐼𝐼 + 𝑐𝑐𝐼𝐼 𝑥𝑥 = 𝐼𝐼 ⇒ 𝑀𝑀𝑒𝑒𝐼𝐼𝑒𝑒𝑚𝑚𝐼𝐼 𝑅𝑅𝑐𝑐𝐼𝐼𝐼𝐼𝑡𝑡𝑒𝑒𝑖𝑖𝐼𝐼 𝑐𝑐𝐼𝐼 𝑥𝑥 = 𝐼𝐼 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) 𝐼𝐼𝐼𝐼 𝑐𝑐𝐼𝐼𝑚𝑚𝑐𝑐𝑒𝑒𝐼𝐼 𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑙𝑙𝑒𝑒𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 ⇒ 𝑁𝑁𝐼𝐼 ℎ𝐼𝐼𝑦𝑦 𝑀𝑀𝐼𝐼𝑥𝑥𝑒𝑒𝑚𝑚𝐼𝐼 𝐼𝐼𝑒𝑒 𝑀𝑀𝑒𝑒𝐼𝐼𝑒𝑒𝑚𝑚𝐼𝐼 𝑐𝑐𝑐𝑐𝐼𝐼𝐼𝐼𝑡𝑡𝑒𝑒𝑖𝑖𝐼𝐼 𝑐𝑐𝐼𝐼 𝑥𝑥 = 𝐼𝐼

Mediante este procedimiento se obtienen los máximos y mínimos relativos que ocurren en valores de 𝑥𝑥, para los cuales 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑦𝑦 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) sean continuas. Máximos Mínimos relativos que ocurren en valores de 𝑥𝑥 para los cuales 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) es discontinua, se discuten posteriormente. Ejemplo: Obtener los máximos y mínimos relativos si existen para la siguiente función que se da: 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝒙𝒙𝟑𝟑 − 𝟑𝟑

𝟐𝟐 𝒙𝒙𝟐𝟐

𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥2 − 3𝑥𝑥 Igualando a 0 3𝑥𝑥2 − 3𝑥𝑥 = 0 3𝑥𝑥 (𝑥𝑥 − 1) = 0 ⇒ 𝐿𝐿𝐼𝐼𝑐𝑐𝐼𝐼𝐼𝐼 𝑥𝑥1 = 0 𝑦𝑦 𝑥𝑥2 = 1 𝑆𝑆𝐼𝐼𝐼𝐼 𝑖𝑖𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝑐𝑐𝑐𝑐𝑙𝑙 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑒𝑒𝑡𝑡𝑒𝑒𝑐𝑐𝐼𝐼𝑙𝑙 3𝑥𝑥 = 0 𝑥𝑥 − 1 = 0 𝑆𝑆𝑐𝑐 𝑡𝑡𝑐𝑐𝐼𝐼𝑡𝑡𝐼𝐼 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑡𝑡𝐼𝐼 𝑝𝑝𝐼𝐼𝑐𝑐𝐼𝐼 𝐼𝐼𝑐𝑐𝑒𝑒𝑐𝑐𝐼𝐼𝑐𝑐𝐼𝐼𝐼𝐼𝑙𝑙 𝑑𝑑𝑐𝑐𝐼𝐼𝑡𝑡𝑐𝑐𝐼𝐼

𝑥𝑥1 = 0 𝑥𝑥2 = 1 𝑑𝑑𝑐𝑐 𝐼𝐼𝐼𝐼𝑙𝑙 𝑒𝑒𝐼𝐼𝑡𝑡𝑐𝑐𝑐𝑐𝑖𝑖𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝑙𝑙 𝑑𝑑𝑐𝑐 𝐼𝐼𝐼𝐼𝑙𝑙 𝐼𝐼𝐼𝐼𝑚𝑚𝑐𝑐𝑐𝑐𝐼𝐼𝑙𝑙 𝑐𝑐𝑐𝑐𝐼𝐼𝐼𝐼𝑐𝑐𝑙𝑙.

−∞ 0 1 ∞ +

El gráfico de la función se puede ver en la figura 45

143


-4 -2 2 4

-4

-3

-2

-1

1

2

Intervalos Punto 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥2 − 3𝑥𝑥 Signo (-∞, 0) -5 𝑓𝑓(−5) = 90 > 0 +>0=Creciente (0, 1) 1

2� 𝑓𝑓�12� � = −3

4� < 0 -<0=Decreciente

(1, ∞ +) 5 𝑓𝑓(5) = 60 > 0 +>0=Creciente

En 𝑥𝑥 = 0 se tiene un máximo relativo En 𝑥𝑥 = 1 se tiene un mínimo relativo Además se obtiene que 𝑓𝑓(𝑥𝑥) es creciente en (−∞, 0) ∪ (1,∞ +) y decreciente de (0,1). Calcular los máximos y mínimos de la siguiente función. 2) 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝒙𝒙𝟑𝟑 − 𝟑𝟑𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟑𝟑𝒙𝒙 𝑓𝑓 ′(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥2 − 6𝑥𝑥 + 3 Factorizando por agrupación. 3𝑥𝑥2 − 6𝑥𝑥 + 3 3𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 1) − 3(𝑥𝑥 − 1) (3𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 − 1) Igualando a cero 3𝑥𝑥 − 3 = 0 𝑥𝑥 − 1 = 0 3𝑥𝑥 = 3 𝑥𝑥 = 1 𝑥𝑥 = 3

3� = 1 Único valor critico 𝑥𝑥 = 1 Se hace la recta para ubicarlos dentro de los intervalos de los números reales −∞ 1 ∞ +

Intervalos Punto 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥2 − 6𝑥𝑥 + 3 Signo (-∞, 1) -5 108 > 0 +>0=Creciente (1,∞+) 5 48 > 0 +>0=Creciente

Figura 45


144


-10 -5 5 10

-30

-20

-10

10

20

30

Luego 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) pasa de + a +∴ en 𝑥𝑥 = 1 no hay máximo ni mínimo relativo. La función es creciente de (-∞,∞+).

Calcular los máximos y mínimos de la siguiente función:

𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝒙𝒙𝟏𝟏 𝟑𝟑� (𝟖𝟖 − 𝒙𝒙)

𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥13�𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(8 − 𝑥𝑥) + (8 − 𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑥𝑥13�

𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥13� (−1) +

13𝑥𝑥−2

3� (8− 𝑥𝑥)

𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = −𝑥𝑥13� +

8 − 𝑥𝑥

3𝑥𝑥23�

=−3𝑥𝑥 + (8 − 𝑥𝑥)

3𝑥𝑥23�

=−3𝑥𝑥 + 8 − 𝑥𝑥

3𝑥𝑥23�

=−4𝑥𝑥 + 8

3𝑥𝑥23�

𝑝𝑝𝐼𝐼𝐼𝐼𝑡𝑡𝐼𝐼𝑙𝑙 𝑐𝑐𝑐𝑐í𝑡𝑡𝑒𝑒𝑐𝑐𝐼𝐼𝑙𝑙

−4𝑥𝑥 + 8 = 0 3𝑥𝑥23� = 0

−4𝑥𝑥 = −8 13/2 �𝑥𝑥23� =

03�

𝑥𝑥 = −8−4

𝑥𝑥 = ��03�

3

𝑥𝑥 = 2 𝑥𝑥 = 0 Se hace la recta para ubicar los valores Críticos

−∞ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑒𝑒𝑐𝑐𝐼𝐼𝑡𝑡𝑐𝑐 0 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑒𝑒𝑐𝑐𝐼𝐼𝑡𝑡𝑐𝑐 2 𝑑𝑑𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑒𝑒𝑐𝑐𝐼𝐼𝑡𝑡𝑐𝑐 ∞ +

Figura 46


145


2 4 6 8 10 12 14

-15

-10

-5

5

Intervalos Punto 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) =−4𝑥𝑥 + 8

3√𝑥𝑥23 Signo

(-∞, 0) -2 16

3√43 = 3.36 +>0 creciente

(0,2) 1 43

= 1.33 +>0 creciente

(2, ∞ +) 4 −8

7.55= −1.059 -<0decreciente

𝑥𝑥 = 0 No hay cambio de signo y por lo tanto ni hay un máximo ni mínimo relativo. 𝑥𝑥 = 2 Hay un máximo relativo cambio el signo de + a − La función es creciente de (-∞,2) y la función es decreciente de (2, ∞+).

EJERCICIOS IX

Instrucciones: Calcular los Máximos y Mínimos bajo el criterio de la primera derivada de cada una de las funciones; además describa los intervalos donde la función es creciente o decreciente y trace la gráfica. Sus soluciones se encuentran en el anexo K.

1) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 5 − 7𝑥𝑥 − 4𝑥𝑥2

2) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥2 − 20𝑥𝑥 + 1

3) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2√𝑥𝑥2 − 43

4) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3 + 3𝑥𝑥

5) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 10𝑥𝑥3(𝑥𝑥 − 1)2

6) 𝑓𝑓(𝑥𝑥)] = 𝑥𝑥2

3� (𝑥𝑥 − 7)2 + 2

7) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥13� (4 − 𝑥𝑥)

Figura 47

146


5.5) Concavidades, Máximos y Mínimos (Criterio de la segunda derivada).

Si la segunda derivada 𝑓𝑓′′ (𝐼𝐼) de una función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) es positiva; 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) es una función creciente de 𝑥𝑥 en 𝑥𝑥 = 𝐼𝐼; se dice que la curva que representa 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ES CONCAVA HACIA ARRIBA, donde 𝑓𝑓′′ (𝑥𝑥)sea positiva; Si 𝑓𝑓′′ (𝐼𝐼), de una función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) es negativa, 𝑓𝑓′′ (𝑥𝑥) es una función decreciente de 𝑥𝑥 en 𝑥𝑥 = 𝐼𝐼; se dice que la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) es CONCAVA HACIA ABAJO donde 𝑓𝑓′′ (𝑥𝑥) sea negativa. A continuación se muestran dos gráficas que demuestran lo anterior.

• criterio de concavidades

a) si 𝑓𝑓′′ (𝑥𝑥) > 0 para todo 𝑥𝑥Σ[𝐼𝐼, 𝑐𝑐] entonces 𝑓𝑓(𝑥𝑥) es cóncava hacia arriba en [𝐼𝐼, 𝑐𝑐], ver figura a

b) si 𝑓𝑓′′ (𝑥𝑥) < 0 para toda 𝑥𝑥Σ [a, b] entonces 𝑓𝑓(𝑥𝑥) es cóncava hacia abajo en [𝐼𝐼, 𝑐𝑐]

De lo anterior se deduce una prueba muy importante, aunque no siempre

muy aplicable, para determinar valores máximos y mínimos relativos.

Si 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑦𝑦 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) son continuas en 𝑥𝑥 = 𝐼𝐼 y 𝑓𝑓′(𝐼𝐼) = 0 entonces i). 𝑓𝑓′′ (𝐼𝐼) > 0 ⇒ mínimo relativo en 𝑥𝑥 = 𝐼𝐼 ii). 𝑓𝑓′′ (𝐼𝐼) < 0 ⇒ máximo relativo en 𝑥𝑥 = 𝐼𝐼 iii). 𝑓𝑓′′ (𝐼𝐼) = 0 ⇒ La prueba no aplica Ejemplos: Obtener los máximos, mínimos, hacer la gráfica, decir en que intervalos las funciones que se den son crecientes o decrecientes, además de sus concavidades.

𝑓𝑓′′ (𝑥𝑥) > 0

Min

Cóncava hacia arriba Figura a

Max

𝑓𝑓′′ (𝑥𝑥) < 0

Cóncava hacia abajo Figura b

147


-6 -4 -2 2 4

-6

-4

-2

2

4

6

8

1) 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝟏𝟏

𝟑𝟑𝒙𝒙𝟑𝟑 − 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟑𝟑𝒙𝒙 + 𝟏𝟏

𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥 + 3 Factorizando e igualando a cero para encontrar puntos críticos (𝑥𝑥 − 3) (𝑥𝑥 − 1) = 0

𝑥𝑥 = 3 𝑥𝑥 = 1 Determinando los intervalos donde la función es creciente y decreciente.

Intervalos P.E. 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥 + 3

Signo 𝑓𝑓 ′(𝑥𝑥) Evaluación

(−∞, 1) -3 24 +>0 Creciente (1 , 3) 2 -1 -<0 Decreciente

(3,∞+) 4 3 +>0 Creciente Segunda derivada 𝑓𝑓′′ (𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥 − 4 Igualando a cero 2𝑥𝑥 − 4 = 0

𝑥𝑥 =42

= 2

Luego Cálculos de Concavidades Intervalos P.E. 𝑓𝑓′′ (𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥 − 4

Signo 𝑓𝑓′′ (𝑥𝑥) Concavidades

(−∞, 2) -4 -12 -<0 Abajo (2,∞+) 4 4 +>0 Arriba

Cálculo de Puntos máximos y mínimos (Criterio de la segunda derivada) Si hay máximos y mínimos 𝑥𝑥 = 1; 𝑥𝑥 = 3 𝑓𝑓′′ (1) = 2𝑥𝑥 − 4 = 2(1) − 4 = −2 < 0 ⇒ 𝐻𝐻𝐼𝐼𝑦𝑦 𝐼𝐼𝐼𝐼 𝑚𝑚𝐼𝐼𝑥𝑥𝑒𝑒𝑚𝑚𝐼𝐼 𝑐𝑐𝑐𝑐𝐼𝐼𝐼𝐼𝑡𝑡𝑒𝑒𝑖𝑖𝐼𝐼 𝑓𝑓′′ (3) = 2𝑥𝑥 − 4 = 2(3) − 4 = 2 > 0 ⇒ 𝐻𝐻𝐼𝐼𝑦𝑦 𝐼𝐼𝐼𝐼 𝑚𝑚𝑒𝑒𝐼𝐼𝑒𝑒𝑚𝑚𝐼𝐼 𝑐𝑐𝑐𝑐𝐼𝐼𝐼𝐼𝑡𝑡𝑒𝑒𝑖𝑖𝐼𝐼

Figura 48


148


−∞ 0 34� ∞ +

−∞ 0 12� ∞ +

Ejemplo 2: Obtener los máximos y mínimos, hacer la gráfica y decir en que intervalos la función es creciente y decreciente, además de sus concavidades. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥4 − 𝑥𝑥3 𝑓𝑓 ′(𝑥𝑥) = 4𝑥𝑥3 − 3𝑥𝑥2 Puntos críticos 4𝑥𝑥3 − 3𝑥𝑥2 = 0 𝑥𝑥2(4𝑥𝑥 − 3) = 0 𝑥𝑥2 = 0 4𝑥𝑥 − 3 = 0 𝑥𝑥 = 0 4𝑥𝑥 = 3 𝑥𝑥 = 3

4�

Determinando los valores donde es creciente y decreciente.

Intervalo P.E 𝑓𝑓 ′(𝑥𝑥) = 4𝑥𝑥3 − 3𝑥𝑥2 𝑆𝑆𝑒𝑒𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 𝑓𝑓 ′(𝑥𝑥) Función (-∞, 0) −2 −44 −< 0 Decreciente

(0, 34� ) 1

2� −14� = −0.25 −< 0 Decreciente

(3 4� ,∞ +) 3 81 +> 0 Creciente ∴La función es decreciente de (−∞, 3

4� ) y creciente (34� ,∞+)

Determinando concavidades 𝑓𝑓′′ (𝑥𝑥) = 12𝑥𝑥2 − 6𝑥𝑥

Intervalos P.E. 𝑓𝑓 ′′(𝑥𝑥) = 12𝑥𝑥2 − 6𝑥𝑥 𝑙𝑙𝑒𝑒𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 𝑓𝑓 ′′(𝑥𝑥) Concavidades (−∞, 0) −2 60 > 0 + Arriba (0, 1

2� ) 14� − 3

4� − Abajo

(12� , ∞+) 3 90 > 0 + Arriba


149


-6 -4 -2 2 4 6 8

50

100

150

200

250

Punto de Inflexión Punto de Inflexión

Punto de Inflexión

Determinando los puntos máximos y mínimos (criterio de la segunda derivada) 𝑓𝑓′′ (𝑥𝑥) = 12𝑥𝑥2 − 6𝑥𝑥 𝑓𝑓′′ (0) = 12(0)2 − 6(0) = 0 No hay máximo ni mínimo en: 𝑥𝑥 = 0

𝑓𝑓′′ �34� � = 12�3

4� �2− 6�3

4� � = 94� > 0, hay un mínimo relativo en:

𝑥𝑥 = 34�

5.6) Puntos de inflexión.

Si la gráfica de la función continua posee una tangente en un punto en el que su concavidad cambia de hacia arriba o hacia abajo (o viceversa). Se le llama “punto de inflexión“.

A continuación se presentan algunos ejemplos. Nota:

1) Un punto de inflexión en 𝑥𝑥 = 𝐼𝐼 implica 𝑓𝑓′′ (𝑥𝑥) = 0 solamente si 𝑓𝑓(𝑥𝑥) y 𝑓𝑓′′ (𝑥𝑥)son continuas en 𝑥𝑥 = 𝐼𝐼.

Y

X X X

Y Y

Figura 49

150


2) 𝑓𝑓′′ (𝑥𝑥) = 0 no implica un punto de inflexión en 𝑥𝑥 = 𝐼𝐼 aún cuando 𝑓𝑓(𝑥𝑥) y

𝑓𝑓′′ (𝑥𝑥) sean continuas en x = a; es decir, si 𝑓𝑓(𝑥𝑥) y 𝑓𝑓′′ (𝑥𝑥) son continuas en 𝑥𝑥 = 𝐼𝐼; 𝑓𝑓′′ (𝐼𝐼) = 0 es una condición necesaria; pero no suficiente para que haya un punto de inflexión en 𝑥𝑥 = 𝐼𝐼.

Así que para determinar los putos de inflexión (si existen) de una función

𝑓𝑓(𝑥𝑥): a) Determinar los valores de 𝑥𝑥 pero los cuales 𝑓𝑓′′ (𝑥𝑥) es cero o discontinua en

𝑥𝑥 = 𝐼𝐼 y 𝑓𝑓(𝑥𝑥) es continua. b) Para cada valor de “0” tal que 𝑓𝑓(𝑥𝑥) sea continua en 𝑥𝑥 = 𝐼𝐼 y en este punto

𝑓𝑓′′ (𝑥𝑥) sea cero o discontinua; determínese si 𝑓𝑓′′ (𝑥𝑥)cambia de signo cuando “𝑥𝑥” va creciendo al pasar por 𝑥𝑥 = 𝐼𝐼.

𝑓𝑓′′ (𝑥𝑥) Cambia de signo en 𝑥𝑥 = 𝐼𝐼 ⇒ punto de inflexión en 𝑥𝑥 = 𝐼𝐼.

Observación: si 𝑓𝑓(𝑥𝑥) y 𝑓𝑓′′ (𝑥𝑥) son condiciones continuas en 𝑥𝑥 = 𝐼𝐼 y 𝑓𝑓′′ (𝑥𝑥) =0; entonces 𝑓𝑓′′′ (𝐼𝐼) ≠ 0; entonces 𝑓𝑓′′′ (𝐼𝐼) ≠ 0 implica un punto de inflexión en 𝑥𝑥 = 𝐼𝐼; esto puede ser utilizado como una alternativa para comprobar el cambio de signo de la segunda derivada en 𝑥𝑥 = 𝐼𝐼. Ejemplo: Determinar puntos de inflexión, valores máximos y mínimos, concavidades, e intervalos donde la función es creciente y decreciente, además de su gráfica. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3 − 6𝑥𝑥2 + 9𝑥𝑥 + 1 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥2 − 12𝑥𝑥 + 9 Encontrando los valores críticos (factorizando por agrupación) 3𝑥𝑥2 − 9𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥 + 9 = 0 3𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 3) − 3(𝑥𝑥 − 3) = 0 (3𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 − 3) = 0 3𝑥𝑥 − 3 = 0 𝑥𝑥 − 3 = 0 𝑥𝑥 = 3

3� 𝑥𝑥 = 3 𝑥𝑥 = 1

−∞ 1 3 ∞ +


151


Determinando los intervalos en que la función es creciente y decreciente

Intervalos P.E. 𝑓𝑓 ′′(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥2 − 12𝑥𝑥 − 9 𝑙𝑙𝑒𝑒𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 Evaluación (−∞, 1) −2 45 + > 0 Creciente

(1,3) 2 -3 − < 0 Decreciente (3,∞+) 4 9 + > 0 Creciente

∴ La función es creciente(−∞, 1) ∪ (3,∞ +) y decreciente en (1,3) Determinando las concavidades de la función. 𝑓𝑓′′ (𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥2 − 12𝑥𝑥 + 9 = 𝑓𝑓′′ (𝑥𝑥) = 6𝑥𝑥 − 12 = 0 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝑑𝑑𝐼𝐼 𝐼𝐼 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝐼𝐼 𝑦𝑦 𝑐𝑐𝐼𝐼𝑐𝑐𝐼𝐼𝐼𝐼𝑡𝑡𝑐𝑐𝐼𝐼𝑑𝑑𝐼𝐼 𝑝𝑝𝐼𝐼𝐼𝐼𝑡𝑡𝐼𝐼𝑙𝑙 𝑐𝑐𝑐𝑐í𝑡𝑡𝑒𝑒𝑐𝑐𝐼𝐼𝑙𝑙 . 𝑥𝑥 = 12

6� = 2

Intervalo P.E. 𝑓𝑓 ′′(𝑥𝑥) = 6𝑥𝑥 − 12 𝑙𝑙𝑒𝑒𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 Concavidad (−∞, 2) −2 -24 −< 0 Abajo (2,∞+) 4 12 + > 0 Arriba

Determinando sus valores Máximos y Mínimos (criterio de la segunda derivada) 𝑓𝑓′′ (𝑥𝑥) = 6𝑥𝑥 − 12 𝑓𝑓′′ (1) = 6(1) − 12 = −6 < 0 Hay un máximo relativo en 𝑥𝑥 = 1 𝑓𝑓′′ (3) = 6(3) − 12 = 6 > 0 Hay un máximo relativo en 𝑥𝑥 = 3 Calculando los puntos de inflexión. - Se iguala a cero la 2da derivada para obtener la abscisa del 𝑃𝑃𝑃𝑃 luego sustituirlo

en la función original 𝑓𝑓′′ (𝑥𝑥) = 6𝑥𝑥 − 12 6𝑥𝑥 − 12 = 0 𝑥𝑥 = 12

6� 𝑥𝑥 = 2 𝑓𝑓(2) = (2)3 − 6(2)2 + 9(2) + 1 = 3 ⇒ (2,3) 𝑓𝑓′′′ (𝑥𝑥) = 6 ≠ 0 𝑐𝑐𝐼𝐼 𝑥𝑥 = 2 ℎ𝐼𝐼𝑦𝑦 𝐼𝐼𝐼𝐼 𝑝𝑝𝐼𝐼𝐼𝐼𝑡𝑡𝐼𝐼 𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑒𝑒𝐼𝐼𝑓𝑓𝐼𝐼𝑐𝑐𝑥𝑥𝑒𝑒𝐼𝐼𝐼𝐼

152


Determinar los puntos Máximos, Mínimos, puntos de inflexión, trazar la gráfica, decir en que intervalo la función es creciente o decreciente y encontrar las concavidades.

𝑓𝑓(𝑥𝑥) =𝑥𝑥

𝑥𝑥2 + 1

Derivando (1𝑐𝑐𝐼𝐼 derivada).

𝑓𝑓′(𝑥𝑥) =𝑥𝑥2 + 1 𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑥𝑥 − �𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 (𝑥𝑥2 + 1)�

(𝑥𝑥2 + 1)2

𝑓𝑓′(𝑥𝑥) =𝑥𝑥2 + 1 − 2𝑥𝑥2

(𝑥𝑥2 + 1)2 =−𝑥𝑥2 + 1

(𝑥𝑥2 + 1)2

Determinando los intervalos donde la función es creciente, y decreciente además de sus puntos Máximos y mínimos bajo el criterio de la 1𝑐𝑐𝐼𝐼 𝑑𝑑𝑐𝑐𝑐𝑐𝑒𝑒𝑖𝑖𝐼𝐼𝑑𝑑𝐼𝐼

• Igualando a cero y encontrando puntos críticos

1−𝑥𝑥2

(𝑥𝑥2+1)2 = 0 ⇒ 1 − 𝑥𝑥2 = 0 ⇒ 𝑥𝑥 ± 1 Son los valores críticos

• Hallando los intervalos en la recta real

−∞ − 1 1 ∞

-4 -2 2 4 6

-5

-2.5

2.5

5

7.5

10

Figura 50


153


−∞ − 1 3 ∞ +

𝐼𝐼𝐼𝐼𝑡𝑡𝑐𝑐𝑐𝑐𝑖𝑖𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 𝑃𝑃.𝐸𝐸. 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) =−𝑥𝑥2 + 1(𝑥𝑥2 + 1) 𝑆𝑆𝑒𝑒𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 𝐹𝐹𝐼𝐼𝐼𝐼𝑐𝑐𝑒𝑒ó𝐼𝐼

(-∞,−1) -3 -0.8 − < 0 Decreciente (-1,1) 1

2� 35� + > 0 Creciente

(1,∞+) 3 -0.8 − < 0 Decreciente La función es decreciente en el intervalo de (-∞,−1) ∪ (1,∞+) La función es creciente en el intervalo (-1, 1) Encontrado la segunda derivada.

𝑓𝑓(𝑥𝑥) =1 − 𝑥𝑥2

(𝑥𝑥2 + 1)2

𝑓𝑓′(𝑥𝑥) =(𝑥𝑥2 + 1)2 𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑥𝑥 (1 − 𝑥𝑥2) − �1 − 𝑥𝑥2 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 (𝑥𝑥2 + 1)2�

[(𝑥𝑥2 + 1)2]2

𝑓𝑓′′ (𝑥𝑥) = −2𝑥𝑥(𝑥𝑥2 + 1)2 − [4𝑥𝑥3 + 4𝑥𝑥(1 − 𝑥𝑥2)]

[(𝑥𝑥2 + 1)2]2

1−𝑥𝑥2

4𝑥𝑥3+4𝑥𝑥4𝑥𝑥3+4𝑥𝑥5+4𝑥𝑥−4𝑥𝑥3

𝑥𝑥4+2𝑥𝑥2+1−2𝑥𝑥

−2𝑥𝑥5−4𝑥𝑥3−2𝑥𝑥

𝑓𝑓′′ (𝑥𝑥) = −2𝑥𝑥(𝑥𝑥2 + 1)2— 4𝑥𝑥5 + 4𝑥𝑥

(𝑥𝑥2 + 1)4 =−2𝑥𝑥5 − 4𝑥𝑥3 − 2𝑥𝑥 + 4𝑥𝑥5 − 4𝑥𝑥

(𝑥𝑥2 + 1)4

𝑓𝑓′′ (𝑥𝑥) =2𝑥𝑥5 − 4𝑥𝑥3 − 6𝑥𝑥

(𝑥𝑥2 + 1)4

Determinando los máximos y mínimos bajo el criterio de la segunda derivada.

Si 𝑥𝑥 = −1 ⟹ 𝑓𝑓′′ (−1) = 25(−1)5−4(−1)3−6(−1)((−1)2+1)4 = 1

2� > 0 ⇒Hay un mínimo relativo

𝑥𝑥 = 1 ⟹ 𝑓𝑓′′ (1) = 25(1)5−4(1)3−6(1)((1)2+1)4 = −1

2� < 0 ⇒ Hay un máximo relativo

Máximo / Mínimo

𝑥𝑥 = −1 ⇒ Punto Mínimo

𝑥𝑥 = 1 ⇒Punto Maximo

154


−∞ − √3 0 √3 ∞ +

Determinando concavidades

Igualando a cero (puntos críticos) la segunda derivada.

𝑓𝑓′′ (𝑥𝑥) =2𝑥𝑥5 − 4𝑥𝑥3 − 6𝑥𝑥

(𝑥𝑥2 + 1)4

21𝑥𝑥5 − 4𝑥𝑥3 − 6𝑥𝑥

(𝑥𝑥2 + 1)4 = 0 ⟹ 2𝑥𝑥5 − 4𝑥𝑥3 − 6𝑥𝑥 ⇒ 2𝑥𝑥(𝑥𝑥4 − 2𝑥𝑥2 − 3) = 0

Realizando un cambio de variable 𝑡𝑡2 = 𝑥𝑥4 𝑡𝑡 = 𝑥𝑥2 √𝑡𝑡 = 𝑥𝑥 Luego 2√𝑡𝑡(𝑡𝑡2 − 2𝑡𝑡 − 3) = 0 ⇒ 2√𝑡𝑡(𝑡𝑡 − 3)(𝑡𝑡 + 1) = 0 Luego √𝑡𝑡 = 0 ⇒ 𝑥𝑥 = 0 𝑡𝑡 = 3 ⇒ 𝑥𝑥 ± √3 𝑡𝑡 = −1 ⇒ 𝑥𝑥 = √−1 ⇒ no existe en los números reales. Puntos críticos 𝑥𝑥 = 0 𝑥𝑥 = ±√3 Ubicando ambos puntos en la recta real y se procede hacer la tabla.

155


-2 -1 1 2 3 4

-0.4

-0.2

0.2

0.4

𝐼𝐼𝐼𝐼𝑡𝑡𝑐𝑐𝑐𝑐𝑖𝑖𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 𝑃𝑃.𝐸𝐸. 𝑓𝑓′′ (𝑥𝑥) =2𝑥𝑥5 − 4𝑥𝑥3 − 6𝑥𝑥

(𝑥𝑥2 + 1) 𝑆𝑆𝑒𝑒𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 𝐹𝐹𝐼𝐼𝐼𝐼𝑐𝑐𝑒𝑒ó𝐼𝐼

(-∞− √3) -3 -9 250� − < 0 Abajo

(-√3,0) −12� 176

125� + > 0 Arriba

(0,√3) 12� -176

125� − < 0 Abajo

(√3,∞+) 3 9250� + > 0 Arriba

Calculando los puntos de inflexión, para ello es necesario calcular la tercera derivada y que sea ≠ 0

𝑓𝑓′′ (𝑥𝑥) =2𝑥𝑥5 − 4𝑥𝑥3 − 6𝑥𝑥

(𝑥𝑥2 + 1)4

𝑓𝑓′′′ (𝑥𝑥) = (𝑥𝑥2 + 1)4 𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑥𝑥 (2𝑥𝑥5 − 4𝑥𝑥3 − 6𝑥𝑥) − �2𝑥𝑥5 − 4𝑥𝑥3 − 6𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 (𝑥𝑥2 + 1)4�

[(𝑥𝑥2 + 1)4]2

𝑓𝑓′′′ (𝑥𝑥) =(𝑥𝑥2 + 1)4(10𝑥𝑥4 − 12𝑥𝑥2 − 6) − (2𝑥𝑥5 − 4𝑥𝑥3 − 6𝑥𝑥)4(𝑥𝑥2 + 1)32𝑥𝑥

(𝑥𝑥2 + 1)8

𝑓𝑓′′′ �±√3� ≠ 0 𝑐𝑐𝐼𝐼 𝑥𝑥 ± √3 existe en punto de inflexión.

Figura 51

156


EJERCICIOS X

Instrucciones: Use el criterio de la 2da derivada para calcular Máximos y Mínimos. Ubique las concavidades de la función, encuentre los puntos de inflexión si existen, además del gráfico, su solución se encuentra en el anexo L 1) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3 − 2𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 + 1

2) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥4 − 4𝑥𝑥3 + 6

3) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥5 − 1

4) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 − 27

𝑥𝑥2

5) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 8𝑥𝑥13� + 𝑥𝑥4

3�

6) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥23 (3𝑥𝑥 + 10) 7) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1

1+𝑥𝑥2

5.7) Problemas de aplicación de derivada (máximos y mínimos). 1.-Un arrendador ha adquirido un nuevo edificio con 100 departamentos para rentar y encuentra que entre más unidades “𝑥𝑥” quiere rentar, menor deberá ser su precio p(x), de acuerdo a la siguiente formula

𝐸𝐸𝑐𝑐 (1) 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 180 − 1,2𝑥𝑥 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 100 ¿Cuántas unidades y a que precio deberá intentar rentar, para maximizar sus ingresos? Solución Sus ingresos son 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥(180 − 1.2𝑥𝑥) = 180𝑥𝑥 − 1.2𝑥𝑥2.𝐸𝐸𝑐𝑐(2) Máximos Para obtener el punto en que “y” alcanza su máxima. 𝑦𝑦´ = 180 − 2.5𝑥𝑥 𝑙𝑙𝑐𝑐 𝑒𝑒𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 𝐼𝐼 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝐼𝐼 180 − 2.4𝑥𝑥 = 0

157


𝑥𝑥 = −180−2.4

𝑥𝑥 = 75 Luego sustituyo en la ecuación inicial (𝐸𝐸𝑐𝑐. 1). 𝑃𝑃(75) = 180 − 1.2(75) = 180 − 90 = 90 Luego deberá rentar 75 unidades y el precio de cada una deberá ser de 90 pesos y los ingresos máximos son: 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥𝑝𝑝(𝑥𝑥) = 75(90) = 6750 𝑝𝑝𝑐𝑐𝑙𝑙𝐼𝐼𝑙𝑙 Para comprobar que 75 es un punto máximo, lo hago a través del criterio de la segunda derivada. 𝑦𝑦′′ = −2.4 < 0 ⇒ ℎ𝐼𝐼𝑦𝑦 𝐼𝐼𝐼𝐼 𝑚𝑚𝐼𝐼𝑥𝑥𝑒𝑒𝑚𝑚𝐼𝐼 𝑐𝑐𝐼𝐼 𝑥𝑥 = 75 2.-Un trozo de alambre de 20 pulgadas de largo va a doblarse para formar un marco ¿Cuál es la mayor área posible que puede abarcarse? Luego la superficie del marco. 𝐴𝐴𝑐𝑐𝑐𝑐𝐼𝐼 𝑡𝑡𝐼𝐼𝑡𝑡𝐼𝐼𝐼𝐼 = 𝑥𝑥𝑦𝑦… .𝐸𝐸𝑐𝑐(1) Además se debe considerar la restricción de que la longitud total son de 20 pulgadas.

2𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 20 …𝐸𝐸𝑐𝑐(2) Despejo a 𝑦𝑦 de la 𝐸𝐸𝑐𝑐 (2)

2𝑦𝑦 = 20 − 2𝑥𝑥

𝑦𝑦 =20 − 2𝑥𝑥

2

Solución

𝑥𝑥 = Ancho

𝑦𝑦 = Largo

X

X

Y Y

158


𝑦𝑦 = 10 − 𝑥𝑥… …𝐸𝐸𝑐𝑐(3) Sustituyendo la 𝐸𝐸𝑐𝑐 (3) en la 𝐸𝐸𝑐𝑐(1)por saber la superficie total

𝐴𝐴(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥(10 − 𝑥𝑥) 𝐴𝐴(𝑥𝑥) = 10𝑥𝑥 − 𝑥𝑥2

Se tiene que maximizar.- para saber cuál es la mayor área posible 𝐴𝐴′(𝑥𝑥) = 10 − 2𝑥𝑥 Igualando a cero

10 − 2𝑥𝑥 = 0 −2𝑥𝑥 = −10

𝑥𝑥 = −10−2� = 5 ∴ El ancho deberá ser de 5 pulgadas

• Encontrado el largo del marco sustituya en la 𝐸𝐸𝑐𝑐(3) 𝑦𝑦 = 10 − 𝑥𝑥 𝑦𝑦 = 10 − 5 = 5

∴ El ancho y el largo deberá ser de 5’’ y el área total del marco será. Sustitución de la Ec(1)

𝐴𝐴 = (5)(5) = 25 Pulgadas cuadradas. Comprobación de que 𝑥𝑥 = 5 es un máximo Se sabe que 𝐴𝐴′(𝑥𝑥) = 10 − 2𝑥𝑥 𝐴𝐴′′ (𝑥𝑥) = −2 < 0 Bajo el criterio de la 2da Derivada es un Punto Máximo. - 3.- Un vendedor ha examinado los datos acerca de los costos anuales de

comprar, tener y mantener el inventario como función del número de unidades de c/orden que vende. La función del costo es:

𝑐𝑐(𝑐𝑐) = 4860/𝑐𝑐 + 15𝑐𝑐 + 750.000

𝑐𝑐 = Costo anual del inventario en Dólares 𝑐𝑐 = Número de unidades ordenados c/vez que se reabastece

a) Determinar el tamaño de orden que minimiza el costo anual del inventario b) ¿A cuánto espera que hacienda el costo mínimo anual del inventario?

Solución:

𝑐𝑐′(𝑐𝑐) = 4860𝑐𝑐−1 + 15𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑐𝑐 +𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

750,000

𝑐𝑐′(𝑐𝑐) = −4860𝑐𝑐2 + 15

159


Igualando a cero

𝑐𝑐′(𝑐𝑐) = −4860𝑐𝑐2 + 15

−4860𝑐𝑐2 + 15 = 0

−4860 = −15𝑐𝑐2

𝑐𝑐2 = −4860−15

𝑐𝑐 = 18 Cálculo la 2da derivada. 𝑐𝑐′′ (𝑐𝑐) = −4860𝑐𝑐−2 + 15

𝑐𝑐′′ (𝑐𝑐) =9720𝑐𝑐3

Sustituyendo 𝑐𝑐 = 18 para saber si es un máximo o un mínimo 𝑐𝑐′′ (18) = 9720

(18)3 = 1.66 > 0 ∴ Existe un punto mínimo > 0

Los costos mínimos anuales de inventario será cuando se ordenen 18 unidades c/u que el proveedor se reabastezca. b) Los costos mínimos anuales de inventario se calculan sustituyendo los valores en la ecuación.

𝑐𝑐(18) =4860

18+ 15(8) + 750,000

𝑐𝑐 = 750540 dolares

4.-Un fabricante produce vasos cilíndricos con una capacidad de a 16𝑐𝑐𝑚𝑚3.Si en su construcción utiliza una cantidad mínima de material. ¿De que dimensión los fabrica?

Solución:

Cilindro

h

r 2πr

h

160


Área=2𝜋𝜋𝑐𝑐ℎ + 𝜋𝜋𝑐𝑐2

𝑉𝑉𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝑚𝑚𝑐𝑐𝐼𝐼 = 𝜋𝜋𝑐𝑐2ℎ = 16𝑐𝑐𝑚𝑚3 (𝑐𝑐𝐼𝐼𝐼𝐼𝑑𝑑𝑒𝑒𝑐𝑐𝑒𝑒𝐼𝐼𝐼𝐼 𝑑𝑑𝑐𝑐 ℎ𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝑐𝑐𝐼𝐼)

El área del cilindro 𝐴𝐴𝑐𝑐(𝑐𝑐,ℎ) = 2𝜋𝜋𝑐𝑐ℎ + 𝜋𝜋𝑐𝑐2 … .𝐸𝐸𝑐𝑐(1)

𝑉𝑉 = 𝜋𝜋𝑐𝑐2ℎ = 16𝑐𝑐𝑚𝑚3 (𝐶𝐶𝐼𝐼𝐼𝐼𝑑𝑑𝑒𝑒𝑐𝑐𝑒𝑒ó𝐼𝐼 ℎ𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝑐𝑐𝐼𝐼). . 𝐸𝐸𝑐𝑐(2)

Si se despeja h de la 𝐸𝐸𝑐𝑐(1) y la sustituye en la 𝐸𝐸𝑐𝑐(2)

16 = 𝜋𝜋𝑐𝑐2ℎ

ℎ = 16𝜋𝜋𝑐𝑐2 . . . .𝐸𝐸𝑐𝑐(3)

Sustituyendo 𝐸𝐸𝑐𝑐(3) en la 𝐸𝐸𝑐𝑐(1)

𝐴𝐴𝑐𝑐 = 2𝜋𝜋𝑐𝑐 � 16𝜋𝜋𝑐𝑐2�+ 𝜋𝜋𝑐𝑐2

𝐴𝐴(𝑐𝑐) =32𝑐𝑐

+ 𝜋𝜋𝑐𝑐2. . . .𝐸𝐸𝑐𝑐(4)

𝐴𝐴′(𝑐𝑐) = 32𝑐𝑐−1 + 2𝜋𝜋𝑐𝑐

𝐴𝐴′(𝑐𝑐) =−32𝑐𝑐2 + 2𝜋𝜋𝑐𝑐

Igualando a cero

−32𝑐𝑐2 + 2𝜋𝜋𝑐𝑐 = 0

−32 = −2𝜋𝜋𝑐𝑐

−32𝑐𝑐2 = −2𝜋𝜋𝑐𝑐(𝑐𝑐2)

−32 = −2𝜋𝜋𝑐𝑐3

𝑐𝑐3 =−32−2𝜋𝜋

𝑐𝑐 = �16𝜋𝜋

3= 1.72𝑐𝑐𝑚𝑚

Sustituyendo en la 𝐸𝐸𝑐𝑐 (3)

161


ℎ =16

𝜋𝜋 ��16𝜋𝜋 �

13��

2 = 16

𝜋𝜋 �16𝜋𝜋 �

23�

=16

��1611�

2𝜋𝜋3=

169.29

ℎ = 1.72𝑐𝑐𝑚𝑚

Comprobando que es un mínimo.

𝐴𝐴′′ (𝑐𝑐) = −32𝑐𝑐−2 + 2𝜋𝜋𝑐𝑐

𝐴𝐴′′ (𝑐𝑐) =64𝑐𝑐3 + 2𝜋𝜋

𝐴𝐴′′ (𝑐𝑐) = 19.03 > 0 Punto mínimo.

5.- Se dispara un proyectil hacia arriba von una velocidad inicial de 100m/seg. Su altura sobre el suelo 𝑡𝑡 segundos está dada por la función 𝑙𝑙(𝑡𝑡) = −4𝑡𝑡2 + 100𝑡𝑡. Calcular: a) El tiempo en que el proyectil llegará al suelo de regreso y su velocidad en ese momento. b) La altura máxima alcanzada por el proyectil. c) ¿Cuál es la aceleración en cada instante?

a) El proyectil esta en el suelo cuando −4𝑡𝑡2 + 100𝑡𝑡 = 0 Igualando a Cero.

−4𝑡𝑡(𝑡𝑡 − 25) = 0 −4𝑡𝑡 = 0 𝑡𝑡 − 25 = 0

𝑡𝑡 = 0 𝑡𝑡 = 25 Luego el proyectil tocará suelo al caer de regreso a los 25 seg. La velocidad es:

𝑖𝑖(𝑡𝑡) =𝑙𝑙´(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡

= −4𝑡𝑡2 + 100𝑡𝑡 = −8𝑡𝑡 + 100

Para 𝑡𝑡 = 25 𝑙𝑙𝑐𝑐𝐼𝐼 ⇒ −8(25) + 100 = −100 𝑚𝑚/𝑙𝑙𝑐𝑐𝐼𝐼

El signo (-) indica que el proyectil cuando va hacia abajo. La rapidez en ese tiempo es |𝑖𝑖(25)| = |−100| = 100𝑚𝑚/𝑙𝑙𝑐𝑐𝐼𝐼

b) Alcanza su altura máxima cuando 𝑙𝑙´(𝑡𝑡) = 0 ⇒−8𝑡𝑡 + 100 = 0

−8𝑡𝑡 = −100

162


y y y y

x

x

𝑡𝑡 =100

8= 12.5 𝑙𝑙𝑐𝑐𝐼𝐼.

Sustituyendo 𝑡𝑡 = 12.5 𝑙𝑙𝑐𝑐𝐼𝐼. en la ecuación original. 𝑙𝑙(𝑡𝑡) = −4𝑡𝑡2 + 100𝑡𝑡.

𝑙𝑙(12.5) = −4(12.5)2 + 100(12.5) = −625 + 1250 = 650𝑚𝑚. ∴ La altura máxima es de 650𝑚𝑚.

c) La aceleración está dada por 𝐼𝐼(𝑡𝑡) = 𝑖𝑖´(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡

= 𝑑𝑑2𝑙𝑙(𝑡𝑡)𝑑𝑑2𝑡𝑡

𝑖𝑖(𝑡𝑡) = −8𝑡𝑡 + 100

𝐼𝐼(𝑡𝑡) = −8 𝑚𝑚/𝑙𝑙𝑐𝑐𝐼𝐼2 Esta aceleración se debe a la fuerza de gravedad.

6.- Un terreno rectangular tiene 3200𝑚𝑚2, se va a cercar y dividir en 3 parcelas iguales, mediante dos cercas paralela, dos de los lados. Encontrar las dimensiones del terreno que requieren la menor cantidad de área.

𝑥𝑥𝑦𝑦 = 3200 𝐸𝐸𝑐𝑐(1) La función que se desea minimizar es

𝐿𝐿 = 2𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 𝐸𝐸𝑐𝑐(2)

Despejando a y de la 𝐸𝐸𝑐𝑐(1).

𝑦𝑦 =3200𝑥𝑥

𝐸𝐸𝑐𝑐(3)

Sustituyendo la 𝐸𝐸𝑐𝑐(3) en la 𝐸𝐸𝑐𝑐(2).

𝐿𝐿(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥 + 4 �3200𝑥𝑥

�

𝐿𝐿(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥 +12800𝑥𝑥

El único requisito es que 𝑥𝑥 no sea negativa.

𝐿𝐿´(𝑥𝑥) = 2 + 12800𝑥𝑥−1 = 2 −12800𝑥𝑥2 =

2𝑥𝑥2 − 12800𝑥𝑥2

Igualando a Cero.

𝐿𝐿´(𝑥𝑥) =2𝑥𝑥2 − 12800

𝑥𝑥2 = 0

163


Encontrando los valores críticos. 𝑥𝑥2 = 0 2𝑥𝑥2 − 12800 = 0 𝑥𝑥 = 0 2𝑥𝑥2 = 12800

𝑥𝑥 = �128002

=80

Se Traza la recta de número reales para ubicar los puntos críticos y así calcular los intervalos y hacer la tabla.

𝐼𝐼𝐼𝐼𝑡𝑡𝑐𝑐𝑐𝑐𝑖𝑖𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 𝑃𝑃.𝐸𝐸. 𝐿𝐿′(𝑥𝑥) =2𝑥𝑥2 − 12800

𝑥𝑥2 𝑆𝑆𝑒𝑒𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼

(-∞, 0) -1 -12798 − < 0

(0,80) 50 -3.12 − < 0

(80,∞+) 100 0.72 + > 0

Determinando máximos y mínimos bajo el criterio de la primer derivada,

𝑥𝑥 = 0,𝑁𝑁𝐼𝐼 ℎ𝐼𝐼𝑦𝑦 𝑐𝑐𝐼𝐼𝑚𝑚𝑐𝑐𝑒𝑒𝐼𝐼 𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑙𝑙𝑒𝑒𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 , 𝐼𝐼𝐼𝐼 ℎ𝐼𝐼𝑦𝑦 𝑚𝑚á𝑥𝑥𝑒𝑒𝑚𝑚𝐼𝐼 𝐼𝐼𝑒𝑒 𝑚𝑚í𝐼𝐼𝑒𝑒𝑚𝑚𝐼𝐼. 𝑥𝑥 = 80,ℎ𝐼𝐼𝑦𝑦 𝑐𝑐𝐼𝐼𝑚𝑚𝑐𝑐𝑒𝑒𝐼𝐼 𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑙𝑙𝑒𝑒𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 𝑑𝑑𝑐𝑐 − 𝐼𝐼+, 𝑐𝑐𝑙𝑙 𝐼𝐼𝐼𝐼 𝑚𝑚í𝐼𝐼𝑒𝑒𝑚𝑚𝐼𝐼.

Sustituyendo 𝑥𝑥 = 80 𝑐𝑐𝐼𝐼 𝐼𝐼𝐼𝐼 𝐸𝐸𝑐𝑐(1).

𝐿𝐿(80) = 2(80) +12800

80= 320𝑚𝑚, 𝑐𝑐𝑙𝑙 𝐼𝐼𝐼𝐼 𝑐𝑐𝐼𝐼𝐼𝐼𝑡𝑡𝑒𝑒𝑑𝑑𝐼𝐼𝑑𝑑 𝑚𝑚í𝐼𝐼𝑒𝑒𝑚𝑚𝐼𝐼 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝐼𝐼𝑐𝑐𝑐𝑐𝑒𝑒𝑑𝑑𝐼𝐼 𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝐼𝐼.

Hallando el valor de 𝑦𝑦. 𝑆𝑆𝐼𝐼𝑙𝑙𝑡𝑡𝑒𝑒𝑡𝑡𝐼𝐼𝑦𝑦𝑐𝑐𝐼𝐼𝑑𝑑𝐼𝐼 𝑥𝑥 = 80 𝑐𝑐𝐼𝐼 𝐼𝐼𝐼𝐼 𝐸𝐸𝑐𝑐(3).

𝑥𝑥𝑦𝑦 = 3200

𝑦𝑦 =3200𝑥𝑥

=3200

80= 40

Las dimensiones del terreno son 80𝑚𝑚 × 40𝑚𝑚

−∞ 0 80 ∞ +

164


EJERCICIOS XI

PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE DERIVADAS Instrucciones: Resuelve cada uno de los siguientes problemas. La solución se encuentra en el anexo M 1) según una ordenanza, el área del papel de un cartel no debe ser mayor de

2.25𝑚𝑚2. se desea que los márgenes sean de 15cm arriba y abajo y de 10cm a la derecha y a la izquierda. ¿Qué dimensiones darán la máxima área impuesta?

2) Una ventana en forma de un rectángulo coronado de un triangulo equilátero tiene 5m de perímetro. ¿calcular sus dimensiones para que deje pasar la cantidad máxima de luz?

3) Se desea construir un depósito rectangular de base cuadrada, abierto por

arriba. Debe tener 125𝑚𝑚3 de capacidad. Si el costo de las caras laterales es de 2 pesos por 𝑚𝑚2, y el fondo de cuatro pesos por 𝑚𝑚2. ¿Cuáles debe ser las dimensiones para que el costo sea el mínimo?

4) Si se desea construir una artesa de un largo pieza rectangular de hojalata,

doblando los dos bordes hacia arriba de manera que la sección transversal sea rectangular si el ancho de la pieza es de 36cm. ¿Cuál debe ser la profundidad de la artesa, para que conduzca la mayor cantidad de Agua?

5) El costo total de x radios diarios es $(1 4� 𝑥𝑥2 + 35𝑥𝑥 + 25) y el precio de venta de

cada radio es $(50 − 12� 𝑥𝑥)

a) ¿con que producción diaria se consigue mayor beneficio? b) Probar que el costo de producción de un radio es mínimo para ese nivel de

producción. 6) Un muro de 8 pies de altura esta a 33

8� pies de una casa. Hallar la escalera más corta que llegara desde el sueldo hasta la casa por encima del muro.

7) Una piedra, lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 112 pies/seg, según la ley 𝑙𝑙 = 112𝑡𝑡 − 16𝑡𝑡2, donde s es la distancia del punto de partida. Calcular: a) La velocidad y aceleración cuando 𝑡𝑡 = 3 𝑦𝑦 𝑡𝑡 = 4 b) La máxima altura alcanzada c) ¿Cuándo este a 96 pies de altura?

165


8) Un cuerpo se mueve sobre una recta según la ley 𝑙𝑙 = 12� 𝑡𝑡3 − 2𝑡𝑡. Determinar

su velocidad y aceleración al cabo de 2 segundos. 9) Un globo asciende verticalmente sobre un punto A del suelo a razón de 15

pies/seg. Un punto B del suelo distante 30 pies de A. cuando el globo esta a 40 pies de A. ¿a que ritmo está cambiando su distancia al B?

10) Se desea construir una caja rectangular de base cuadrada, abierta por arriba, calcular el volumen de la mayor caja que se puede obtener de 1200 𝑐𝑐𝑚𝑚2 de material.

11) El producto de dos números positivos es 16. Hallar los números si:

a) Su suma si es mínima. b) La suma de uno con el cuadrado del otro es mínimo.

BIBLIOGRAFÍA.

Bibliografía.

1. ARANDA García Pedro, “et-al”; Matemáticas II

. Edit. IPN, México, 2004, 185 p.p.

2. AYRES Jr Frank;”et-al” Cálculo Diferencial e Integral

. Edit Mc Graw Hill, México,2000, 20 p.p.

3. GRANVILLE William Anthony; Cálculo Diferencial e Integral

. Edit Limusa, México, 2004, 686.p.p.

4. PANTALEÓN Gómez Carranza;”et-al”; Introducción al Cálculo Diferencial

. Edit IPN, México, 2001, 566 p.p.

5. SWOKOSKI W. Earl,”et-al” Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica,

. Editorial. Thompson., Madrid 2007,.893 p.p.

6. SWOKOSKI W. Earl; Cálculo con Geometría Analítica

. Edit. Iberoamericana, México, 2003, 1097 p.p.

7. TORRES García Encarnación; Introducción al Cálculo Diferencial e Integral.

Edit Libudi, México, 2004, 264 p.p.

8. Software Mathematica 5

.

ANEXOS: SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS.

ANEXO A.

Soluciones del Ejercicio I

1)Solución

(−∞, 7] 𝑥𝑥 ≤ 7 16)Solución 𝑥𝑥 > 0 ò 𝑥𝑥 < −1

2)Solución [−2,−5) −2 ≤ 𝑥𝑥 < 5 17)Solución

(-∞, -3 2� ) ∪(2

5� ,∞+)

3)Solución [−1,2] −1 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 2 18)Solución [−2 , 5]

-2 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 5

4)Solución (-∞-2) ∪ (4,∞+) 19)Solución (−∞,−5) ∪ [−1 , 5)

5)Solución (2,4) ó 2 < 𝑥𝑥 < 4 20)Solución (−∞,−32� ] ∪ ( 2 , 9 )

6)Solución {−2} ∪ [2,∞+)

7)Solución (−∞,−2] ∪ [2,∞+)

8)Solución −1 < 𝑥𝑥 < 2

9)Solución 𝑥𝑥 > 13� ó 𝑥𝑥 < −3

2�

10)Solución -5 ⁄ 2 < 𝑥𝑥 < 1 ⁄ 3

11)Solución −5 < 𝑥𝑥 < 0 ó 𝑥𝑥 > 2

12)Solución (−2,2] ∪ (5,∞+)

13)Solución (−2 , 0) ∪ (0 , 1]

14)Solución (−∞ 2) ∪ (−2 ,−1 ) ∪ {0}

15)Solución 𝑥𝑥 > 1 ò 𝑥𝑥 < −4 (1,∞+) ò (−∞,−4)

ANEXO B

Soluciones del Ejercicio II

1)Solución (−5, 1) −5 < 𝑥𝑥 < −1

2)Solución (−∞,−1) ∪ ( 6,∞+)

3)Solución 53� < 𝑥𝑥 < 3

4)Solución 𝑥𝑥 ≤ − 32� ò 𝑥𝑥 ≥ 1

2�

5)Solución 𝑥𝑥 > 0 ò 𝑥𝑥 < −1 ò −13

< 𝑥𝑥 < 0

6)Solución 𝑥𝑥 > 0 ò 0 < 𝑥𝑥 < 14�

7)Solución 𝑥𝑥 ≤ −4 ò 𝑥𝑥 ≥ −1

8)Solución 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1 ò [0 , 1]

9)Solución (−∞ , 113� ] ∪ [7,∞+)

10)Solución (−7, 72� ) ó − 7 < 𝑥𝑥 < 7

2�

11)Solución −2 < 𝑥𝑥 < 52�

12)Solución 3 ⁄ 2 < 𝑥𝑥 < 5 ⁄ 2

13)Solución (−∞,−3] ∪ [2,∞+)

14)Solución (−1, 1) ∪ (4, 6)

15)Solución 𝑥𝑥 ≥ 529� [

529

,∞+)

Anexo C

Soluciones del Ejercicio III. Sección 3.1

1) Solución 𝐷𝐷𝑓𝑓 = 𝑅𝑅𝑓𝑓 , es decreciente ( ∞− , ∞+)

2) Solución 𝐷𝐷𝑓𝑓 = 𝑅𝑅𝑓𝑓 , Decreciente ( ∞− ,−3], creciente en [−3,∞++) [0,∞+)

3) Solución 𝐷𝐷𝑓𝑓 = 𝑅𝑅𝑓𝑓 , creciente ( ∞− , 0], decreciente en [0,∞+) 𝑅𝑅𝑓𝑓= ( ∞− , 9]

4) Solución 𝐷𝐷𝑓𝑓 = 𝑅𝑅𝑓𝑓 𝑅𝑅𝑓𝑓 = (0,∞+] Decreciente en ( ∞− , 0], creciente en [0, 2], constante en [2, ∞+)

5) Solución 𝐷𝐷𝑓𝑓 = (-√10, √10); 𝑅𝑅𝑓𝑓= (-√10, 0); decreciente en �−√10, 0� creciente en �0,√10�

6) Solución 𝐷𝐷𝑓𝑓 = 𝑅𝑅𝑓𝑓 ; 𝑅𝑅𝑓𝑓= [7, ∞+), decreciente en ( ∞− , -3], creciente en [-3,∞+)

y

x

7) Solución 𝐷𝐷𝑓𝑓 = ( ∞− , 2]; 𝑅𝑅𝑓𝑓 = [0,∞+); decreciente en ( ∞− , 2]

8) Solución 𝐷𝐷𝑓𝑓 = [−6, 6]; 𝑅𝑅𝑓𝑓 = [−6,0]; decreciente en [−6, 0]; creciente en

[0, 6]

9) Solución 𝐷𝐷𝑓𝑓 = 𝑅𝑅𝑓𝑓 ; dominio de toda la función todos los números reales. Decreciente en ( ∞− , 0) y en (0, ∞+)

x

y

y

x

Anexo D


1) Solución −6,−4,−24

2) Solución −12,−22,−36

3) Solución -20,−13,−5

4) Solución 0, 98013

, 11156

5) Solución ∞+ no existe, √6, No existe ∞+

Anexo E


1) Solución (𝑓𝑓 ∗ 𝑔𝑔)(𝑥𝑥) = √4𝑥𝑥 − 𝑥𝑥3 Dominio [0, 2]

2) Solución (𝑓𝑓 ∗ 𝑔𝑔)(𝑥𝑥) = √28 − 𝑥𝑥 Dominio [3, 28]

3) Solución (𝑓𝑓 ∗ 𝑔𝑔)(𝑥𝑥) = �√𝑥𝑥 + 2 − 2 Dominio [-1,∞+)

4) Solución (𝑓𝑓 ∗ 𝑔𝑔)(𝑥𝑥) = 15−𝑥𝑥

Dominio todos los números reales excepto 4 y 5

(𝑓𝑓 ∗ 𝑔𝑔)(𝑥𝑥) = −2𝑥𝑥+5−3𝑥𝑥+7

Dominio todos los números reales excepto 2 y 7

3�

5) Solución (𝑓𝑓 ∗ 𝑔𝑔)(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥 − 4; Dominio [0 ,∞+)

6) Solución (𝑓𝑓 ∗ 𝑔𝑔) (𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 + 2 − 3 √𝑥𝑥 + 2 ; dominio [-2, ∞+)

7) Solución (𝑓𝑓 + 𝑔𝑔)(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥2 + 1 (𝑓𝑓 − 𝑔𝑔)(𝑥𝑥) = 3 − 𝑥𝑥2

8) Solución (𝑓𝑓 + 𝑔𝑔)(𝑥𝑥) = 2√𝑥𝑥 + 5 ; dominio [−5, ∞+) (𝑓𝑓 − 𝑔𝑔)(𝑥𝑥) = 0

9) Solución (𝑓𝑓 + 𝑔𝑔)(𝑥𝑥) = 2 + √𝑥𝑥2 − 4 ; dominio (3, 5)

10) Solución (𝑓𝑓 𝑔𝑔� )(𝑥𝑥) = 2(𝑥𝑥+5)𝑥𝑥−4

; dominio todos los números reales

excepto −5, 0 𝑦𝑦 4

11) Solución (𝑓𝑓 𝑔𝑔� )(𝑥𝑥) = �4−𝑥𝑥2

𝑥𝑥 ; dominio (0, 2]

12) Solución (𝑓𝑓 𝑔𝑔� )(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥−1√𝑥𝑥−2

; dominio (2,∞+)

13) Solución (𝑓𝑓 𝑔𝑔� )(𝑥𝑥) = √4−𝑥𝑥2

3𝑥𝑥+1 ; dominio −2 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 2; [−2, 2] y 𝑥𝑥 ≠ -1 3�

Dominio, todos los números l

ANEXO F

Solución del Ejercicio IV.

1.- Solución = 2

2.- Solución = -13

3.- Solución = 𝑥𝑥2

4.- Solución = 3

5.- Solución = 54

6.- Solución = 0

7.- Solución = - - 12𝑥𝑥

8.- Solución = 𝑎𝑎0𝑏𝑏0

9.- Solución = 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑏𝑏𝑛𝑛

10.- Solución = 12√𝑥𝑥

11.- Solución = 0

12.- Solución = - 3√5

13.- Solución = -1

14.- Solución = 35

15.- Solución = - -17

16.- Solución = - 18

17.- Solución = 12

18.- Solución = 12

19.- Solución = 0

20.- Solución = 32

21.- Solución = 38

22.- Solución = 1

23.- Solución = 0

24.- Solución = 12

25.- Solución = 0

26.- Solución = - 23

27.- Solución = ∞

28.- Solución = 1

29.- Solución = -1

ANEXO G

Soluciones del Ejercicio V.

Sección 3.1:

a) Continua para 𝑥𝑥 = −1 Discontinua para 𝑥𝑥 = 2

b) Es continua en todos los números reales

c) Es discontinua en 𝑥𝑥 = 0

Sección 3.2:

d) No es continua en el intervalo (0, ∞)

e) No es continua sobre el intervalo [0 , 1]

Sección 3.3:

f) 𝑃𝑃 = −1

g) 𝑃𝑃 = 6, 𝑞𝑞 = 356�

ANEXO H

Soluciones del Ejercicio VI

1.- 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑥𝑥 + 23𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 1

3𝑥𝑥𝑐𝑐𝑥𝑥𝑛𝑛 1

3𝑥𝑥

2.- 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑛𝑛𝑥𝑥𝑥𝑥

− 𝑐𝑐𝑥𝑥𝑛𝑛 ln 𝑥𝑥𝑥𝑥

3.- 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 24𝑥𝑥2𝑥𝑥𝑥𝑥2 (𝑐𝑐𝑥𝑥𝑛𝑛4𝑥𝑥3 − 6)(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐4𝑥𝑥3 − 6 + 2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥2𝑐𝑐𝑥𝑥𝑛𝑛24𝑥𝑥3 − 6)

4.- 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 4𝑥𝑥3𝑐𝑐𝑥𝑥𝑐𝑐2

5.- 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥𝑥𝑥4−1

6.- 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 41−𝑐𝑐𝑥𝑥𝑛𝑛4𝑥𝑥

7.- 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥𝑥𝑥2+ 1

− 189𝑥𝑥−4

8.- R = 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥

+ 1

9.- 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑥𝑥

10.- 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = − tan 2𝑥𝑥

11.- 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥1

2� +2𝑥𝑥4

𝑥𝑥2

12.- 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥2−4𝑥𝑥+3√𝑥𝑥2−2𝑥𝑥+2

13.- 𝑓𝑓′(𝑡𝑡) = 10𝑡𝑡(3−𝑡𝑡2)2

14.- 𝑦𝑦′ = 36𝑥𝑥2(𝑥𝑥3−1)3

(2𝑥𝑥3+1)5

15.- 𝑓𝑓′(𝑡𝑡) = −2(4𝑡𝑡5 − 3𝑡𝑡3 + 2𝑡𝑡)−3(20𝑡𝑡4 − 9𝑡𝑡2 + 2)

16.- 𝑓𝑓′(𝑧𝑧) = 6 �𝑧𝑧2 − 1𝑧𝑧2�

5�2𝑧𝑧 + 2

𝑧𝑧3�

17.- 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥√𝑥𝑥

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐√𝑥𝑥 + 2𝑐𝑐𝑥𝑥𝑛𝑛√𝑥𝑥 = √𝑥𝑥𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐√𝑥𝑥 + 2𝑐𝑐𝑥𝑥𝑛𝑛√𝑥𝑥

18.- 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 1 + ln 𝑥𝑥

19.- 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 60𝑥𝑥3−18𝑥𝑥2

5𝑥𝑥4−2𝑥𝑥3 [𝑐𝑐𝑛𝑛2(5𝑥𝑥4 − 2𝑥𝑥3)]

20.- 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 5𝑥𝑥5𝑥𝑥

21.- 𝑦𝑦′ = 3𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐3𝑥𝑥𝑥𝑥𝑐𝑐𝑥𝑥𝑛𝑛 3𝑥𝑥

22.- 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 6𝑥𝑥3𝑥𝑥 tan 𝑥𝑥3𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑥𝑥𝑐𝑐2 𝑥𝑥3𝑥𝑥

23.- 𝑦𝑦′(𝑥𝑥) = −𝑥𝑥−𝑥𝑥(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑥𝑥 + 𝑐𝑐𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑥𝑥)

24.- 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = − 11+𝑥𝑥2

25.- 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = − 1√4−𝑥𝑥2

26.- 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = − 3𝑥𝑥2+ 9

27.- 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 1√2𝑥𝑥− 𝑥𝑥2

28.- 𝑦𝑦′ = 𝑦𝑦2−2𝑥𝑥−2𝑥𝑥𝑦𝑦

𝑥𝑥2+ 2𝑦𝑦−2𝑥𝑥𝑦𝑦

29.- 𝑦𝑦′ = 1+4𝑥𝑥𝑦𝑦−3𝑥𝑥2

−2𝑥𝑥2− 2

30.- 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥𝑥𝑥

(𝑥𝑥𝑥𝑥+ 1)2

31.- 𝑦𝑦′ = 𝑥𝑥−3𝑥𝑥2

𝑥𝑥+2 �−3𝑥𝑥2− 12𝑥𝑥(𝑥𝑥+2 )2 �

32.- 𝑦𝑦′ = − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑦𝑦+𝑥𝑥𝑦𝑦 𝑐𝑐𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑥𝑥−𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑦𝑦+cos 𝑥𝑥

Anexo I Soluciones de Ejercicio VII.

a) Ecuacion de la recta tangente y = x − 4 Ecuacion de la recta normal x + 4y = 18 b) Ecuacion de la recta tangente 4x + 3y = 7 Ecuacion de la recta normal 3x − 4y = 24 c)Ecuacion de la recta tangente y = −5

4� x − 94�

y = 54� x − 9

4� Ecuacion de la recta normal y = 4

5� x + 8 y = −4

5� x + 8 d)Ecuacion de la recta tangente y = 38x − 32 Ecuacion de la recta normal y = −1

38� x + 22938�

e)Ecuacion de la recta tangente x + 2y − 4 = 0 Ecuacion de la recta normal 2x − y − 3 = 0 f) Ecuacion de la recta tangente 7x − y − 9 = 0 Ecuacion de la recta normal x + 7y − 37 = 0

Anexo J Soluciones del Ejercicio VIII.

1) 2 2) ∞ 3) 1

2� 4) 0 5) 0 6) 1 7) 1

10�

8) -133�

9) 54�

10) 6 11) 0 12) 0 13) 3 14) 4 15) -1 2� 16) 1 17) 1

2� 18) 7 19) 0 20) -54

18�

Anexo M

Solución del Ejercicio XI- 1) Solución.- 1.837m x 1.225m

2) Solución.- El rectángulo debe tener 1.17m de ancho y 74cm de alto

3) Solución.- Un cubo de 5m de lado

4) Solución.- 9 cm

5) a) solución.- Formula 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥�50 − 1

2� 𝑥𝑥� − �14� 𝑥𝑥2 + 35𝑥𝑥 + 25�

𝑥𝑥 = 10 b) 𝑃𝑃′′ (𝑥𝑥) = 50

𝑥𝑥3

𝑃𝑃′′ (10) = 50(3)3� > 0 Minimo relativo

6) Solución.- 15 5

8� 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑥𝑥𝑐𝑐

7) Soluciones a) 𝑡𝑡 = 3, 𝑣𝑣 = 16 𝑦𝑦 𝑎𝑎 = −32. La piedra está subiendo a 16pies/seg. t = 4, v = −16 y a = −32. La piedra está cayendo a 16 pies/seg. b) En el punto de altura máxima 𝑣𝑣 = 0. resolviendo 𝑣𝑣 = 0 = 112 − 32𝑡𝑡,

resulta 𝑡𝑡 = 3.5. en ese instante 𝑐𝑐 = 196 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑥𝑥𝑐𝑐

c) Haciendo 96 = 112 − 𝑡𝑡2 ⇒ 𝑡𝑡2 − 7𝑡𝑡 + 6 = 0; donde 𝑡𝑡 = 1 𝑦𝑦 𝑡𝑡 = 6. al cabo de un segundo movimiento la piedra esta en 96 pies de altura.

8) Soluciones: 𝑣𝑣 = 𝑑𝑑𝑐𝑐

𝑑𝑑𝑡𝑡= 3

2𝑡𝑡2 − 2 ∴ 𝑡𝑡 = 2, 𝑣𝑣 = 3

2(2)2 − 2 = 4 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑥𝑥𝑐𝑐/𝑐𝑐𝑥𝑥𝑔𝑔

𝑎𝑎 = 𝑑𝑑𝑣𝑣𝑑𝑑𝑡𝑡

= 3𝑡𝑡 ∴ 𝑡𝑡 = 2; 𝑎𝑎 = 3(2) = 6 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑥𝑥𝑐𝑐/𝑐𝑐𝑥𝑥𝑔𝑔2 9) Solución: 12 pies/seg

10) Solución: 4000𝑐𝑐𝑐𝑐3

11) Soluciones:

a) 4, 4 b) 8, 2

-6 -4 -2 2 4 6

-175

-150

-125

-100

-75

-50

-25

-6 -4 -2 2 4 6

-50

50

100

-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5 10

100

200

300

400

Anexo K

Soluciones del Ejercicio IX. 1) Solución: M𝑎𝑎𝑥𝑥 = − 7

8� ; creciente (-∞,−78� ]; decreciente en [-7 8� ,∞+)

2) Solución: 𝑀𝑀𝑎𝑎𝑥𝑥 = 2 𝑀𝑀𝑝𝑝𝑛𝑛 = 5

3� ;

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑥𝑥𝑐𝑐𝑝𝑝𝑥𝑥𝑛𝑛𝑡𝑡𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑛𝑛 (−∞,−2] ∪ �5 3� ,∞ +�;𝑑𝑑𝑥𝑥𝑐𝑐𝑐𝑐𝑥𝑥𝑐𝑐𝑝𝑝𝑥𝑥𝑛𝑛𝑡𝑡𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑛𝑛 �−2, 53� �

3) Solución: 𝑀𝑀𝑎𝑎𝑥𝑥 = 0 𝑀𝑀𝑝𝑝𝑛𝑛 = −√3,√3; 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑥𝑥𝑐𝑐𝑝𝑝𝑥𝑥𝑛𝑛𝑡𝑡𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑛𝑛 �−√3, 0� ∪ �√3,∞�; 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑐𝑐𝑐𝑐𝑥𝑥𝑐𝑐𝑝𝑝𝑥𝑥𝑛𝑛𝑡𝑡𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑛𝑛 �−∞,−√3� ∪ �0,√3�

4) Solución: 𝑀𝑀𝑎𝑎𝑥𝑥 = −1 𝑀𝑀𝑝𝑝𝑛𝑛 = 1; 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑥𝑥𝑐𝑐𝑝𝑝𝑥𝑥𝑛𝑛𝑡𝑡𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑛𝑛 (−∞,−1] ∪ [1,∞+) 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑐𝑐𝑐𝑐𝑥𝑥𝑐𝑐𝑝𝑝𝑥𝑥𝑛𝑛𝑡𝑡𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑛𝑛 [−1, 0) ∪ (0, 1]

5) Solución: 𝑀𝑀𝑎𝑎𝑥𝑥 = 3

5� 𝑀𝑀𝑝𝑝𝑛𝑛 = 1;𝐶𝐶𝑐𝑐𝑥𝑥𝑐𝑐𝑝𝑝𝑥𝑥𝑛𝑛𝑡𝑡𝑥𝑥 �−∞, 35� � ∪ [1,∞+)

𝑑𝑑𝑥𝑥𝑐𝑐𝑐𝑐𝑥𝑥𝑐𝑐𝑝𝑝𝑥𝑥𝑛𝑛𝑡𝑡𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑛𝑛 (35� , 1)


4� 𝑀𝑀𝑝𝑝𝑛𝑛 = 0; 𝐶𝐶𝑐𝑐𝑥𝑥𝑐𝑐𝑝𝑝𝑥𝑥𝑛𝑛𝑡𝑡𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑛𝑛 �0, 74� � ∪ [7,∞+)

𝑑𝑑𝑥𝑥𝑐𝑐𝑐𝑐𝑥𝑥𝑐𝑐𝑝𝑝𝑥𝑥𝑛𝑛𝑡𝑡𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑛𝑛 (−∞, 0] ∪ [74� , 7)

-4 -2 2 4

-60

-40

-20

20

40

60

-3 -2 -1 1 2

-3

-2

-1

1

2

1 2 3 4 5 6 7

10

20

30

40

7) Solución: 𝑀𝑀𝑎𝑎𝑥𝑥 = 1; 𝐶𝐶𝑐𝑐𝑥𝑥𝑐𝑐𝑝𝑝𝑥𝑥𝑛𝑛𝑡𝑡𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑛𝑛 (−∞, 1]; 𝐷𝐷𝑥𝑥𝑐𝑐𝑐𝑐𝑥𝑥𝑐𝑐𝑝𝑝𝑥𝑥𝑛𝑛𝑡𝑡𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑛𝑛 (1,∞+)

2 4 6 8 10

-12.5

-10

-7.5

-5

-2.5

2.5

Anexo L Solución del Ejercicio X.


3� = 𝑥𝑥; 𝑀𝑀𝑝𝑝𝑛𝑛 = 1 = 𝑥𝑥; Concavidad hacia abajo (−∞, 2

3� ) Concavidad hacia arriba (2 3� ,∞+) Punto de inflexión es 2 3� = 𝑥𝑥

2) Solución: 𝑀𝑀𝑝𝑝𝑛𝑛 = 1 = 𝑥𝑥;

Concavidad hacia abajo (−∞, 0) ∪ (23� ,∞ +

Concavidad hacia arriba (0, 23� )

Punto de inflexión es 𝑥𝑥 = 0; 𝑥𝑥 = 23�

3) Solución: No hay Máximos ni Mínimos;

Concavidad hacia abajo (−∞, 0) Concavidad hacia arriba (0,∞+) Punto de inflexión es 𝑥𝑥 = 0; 𝑥𝑥 = −1

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

-3 -2 -1 1 2 3 4

10

20

30

40

1 2 3 4

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

4) Solución: No hay Máximos ni Mínimos; Concavidad hacia abajo (−∞,−3) ∪ (3,∞ + Concavidad hacia arriba (-3, 0) ∪ (0, 3) Punto de inflexión es 𝑥𝑥 = ±3

5) Solución: 𝑀𝑀𝑎𝑎𝑥𝑥 = 𝑛𝑛𝑐𝑐 ℎ𝑎𝑎𝑦𝑦; 𝑀𝑀𝑝𝑝𝑛𝑛 = −2 = 𝑥𝑥; Concavidad hacia abajo (−∞, 0) ∪ (4,∞+) Concavidad hacia arriba (0, 4) Punto de inflexión es 𝑥𝑥 = 0

6) Solución: 𝑀𝑀𝑎𝑎𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 = − 4

3� ; 𝑀𝑀𝑝𝑝𝑛𝑛 = 𝑥𝑥 = 0;

Concavidad hacia abajo (−∞, 0) ∪ (0, 23� )

Concavidad hacia arriba (2 3� ,∞+)

Punto de inflexión es 𝑥𝑥 = 23�

-4 -2 2 4

-2500

-2000

-1500

-1000

-500

2 4 6 8

5

10

15

20

25

30

-6 -4 -2 2 4 6 8

-20

-10

10

20

30

7) Solución: 𝑀𝑀𝑎𝑎𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 = 0 Concavidad hacia abajo (−∞, −1

√3) ∪ ( 1

√3,∞+)

Concavidad hacia arriba (− 1√3

, 1√3

)

Punto de inflexión es 𝑥𝑥 = ± 1√3�

-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5

0.2

0.4

0.6

0.8

1

APÉNDICE I: MATEMÁTICAS

FUNDAMENTALES

APENDICE I

Matemáticas fundamentales

A.2. 1. Geometría

FIGURAS PLANAS

NOMBRE PERÍMETRO ÁREA FIGURA

Triangulo 𝑃𝑃 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 𝐴𝐴 = 𝑏𝑏ℎ2

Círculo 𝑃𝑃 = 2𝜋𝜋𝜋𝜋 𝐴𝐴 = 𝜋𝜋𝜋𝜋2

Sector de circular 𝑃𝑃 = 2𝜋𝜋 + 𝜋𝜋𝜃𝜃 𝐴𝐴 =

12𝜋𝜋𝜃𝜃;

𝑠𝑠 = 𝜋𝜋𝜃𝜃

Rectángulo 𝑃𝑃 = 2(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) 𝐴𝐴 = 𝑎𝑎𝑏𝑏

Paralelogramo 𝑃𝑃 = 2 (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) 𝐴𝐴 = 𝑏𝑏ℎ

Trapecio 𝑃𝑃 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 + 𝑑𝑑 𝐴𝐴 = 12

(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)ℎ

CUERPOS SÓLIDOS

NOMBRE ÁREA VOLUMEN FIGURA

Cono 𝐴𝐴1 = 𝜋𝜋𝜋𝜋�𝜋𝜋2 + ℎ2 + 𝜋𝜋𝜋𝜋2 𝑉𝑉 = 13𝜋𝜋𝜋𝜋2ℎ

Cono circular, recto truncado 𝐴𝐴1 = 𝜋𝜋(𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2) + 𝜋𝜋𝑐𝑐(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) 𝑉𝑉 =

13𝜋𝜋ℎ(𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 + 𝑎𝑎𝑏𝑏)

Cilindro 𝐴𝐴 = 2𝜋𝜋𝜋𝜋2 + 2𝜋𝜋𝜋𝜋ℎ 𝑉𝑉 = 𝜋𝜋𝜋𝜋2ℎ

Esfera 𝐴𝐴 = 4𝜋𝜋𝜋𝜋2 𝑉𝑉 = 43𝜋𝜋𝜋𝜋3

Casquete de esfera de radio R y altura h 𝐴𝐴1 = 𝜋𝜋𝜋𝜋2 + 2𝜋𝜋𝜋𝜋ℎ 𝑉𝑉 = 𝜋𝜋𝜋𝜋ℎ2 �𝑅𝑅 −

ℎ3�

A.2.2 Algebra

LEYES DE LOS EXPONENETES

𝑎𝑎−𝑛𝑛 = 1𝑎𝑎𝑛𝑛

√𝑎𝑎𝑚𝑚 = 1𝑎𝑎𝑚𝑚

; �𝑎𝑎𝑏𝑏�𝑛𝑛

= 𝑎𝑎𝑛𝑛

𝑏𝑏𝑛𝑛

1._𝑎𝑎𝑛𝑛𝑎𝑎𝑚𝑚 = 𝑎𝑎𝑛𝑛∗𝑚𝑚

2. 𝑎𝑎𝑛𝑛

𝑎𝑎𝑚𝑚= 𝑎𝑎𝑛𝑛−𝑚𝑚 ; en particular si 𝑛𝑛 = 𝑚𝑚 ⇒ 𝑎𝑎0 = 1

3._ (𝑎𝑎𝑛𝑛)𝑚𝑚 = 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑚𝑚 4. � √𝑎𝑎𝑚𝑚 �𝑚𝑚

= √𝑎𝑎𝑛𝑛𝑚𝑚 = 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑚𝑚 ; 𝑒𝑒𝑛𝑛 𝑝𝑝𝑎𝑎𝜋𝜋𝑝𝑝𝑝𝑝𝑐𝑐𝑝𝑝𝑝𝑝𝑎𝑎𝜋𝜋 𝑠𝑠𝑝𝑝 𝑛𝑛 = 1 ⇒ √𝑎𝑎𝑚𝑚 = 𝑎𝑎

1𝑚𝑚

FACTORIZACIÓN

1. 𝑎𝑎2 ± 2𝑎𝑎𝑏𝑏 + 𝑏𝑏2 = (𝑎𝑎 ± 𝑏𝑏)2 2. 𝑎𝑎2 − 𝑏𝑏2 = (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)(𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)

3._𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) + 𝑎𝑎𝑏𝑏 = (𝑥𝑥 + 𝑎𝑎)(𝑥𝑥 + 𝑏𝑏) 4. 𝑎𝑎3 + 3𝑎𝑎2𝑏𝑏 + 3𝑎𝑎𝑏𝑏2 + 𝑏𝑏3 = (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)3

5._𝑎𝑎3 − 3𝑎𝑎3𝑏𝑏 + 3𝑎𝑎𝑏𝑏2 − 𝑏𝑏3 = (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)3 6. 𝑎𝑎3 − 𝑏𝑏3 = (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)(𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎𝑏𝑏 + 𝑏𝑏2)

7.- 𝑎𝑎3 + 𝑏𝑏3 = (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)(𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎𝑏𝑏 − 𝑏𝑏2)

8.-𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = �𝑥𝑥1𝑛𝑛 − 𝑦𝑦

1𝑛𝑛� �𝑥𝑥

𝑛𝑛−1𝑛𝑛 + 𝑥𝑥

𝑛𝑛−2𝑛𝑛 𝑦𝑦

1𝑛𝑛 + 𝑥𝑥


2𝑛𝑛+𝑥𝑥


3𝑛𝑛 + ⋯+ 𝑥𝑥𝑦𝑦

𝑛𝑛−2𝑛𝑛 + 𝑦𝑦

𝑛𝑛−1𝑛𝑛 �

DIVISIVILIDAD DE LAS FORMAS 𝑎𝑎𝑛𝑛±𝑏𝑏𝑛𝑛

𝑎𝑎±𝑏𝑏

𝑎𝑎𝑛𝑛−𝑏𝑏𝑛𝑛

𝑎𝑎−𝑏𝑏; es divisible para toda 𝑛𝑛; 𝑎𝑎

𝑛𝑛+𝑏𝑏𝑛𝑛

𝑎𝑎+𝑏𝑏; es divisible si 𝑛𝑛 es impar

𝑎𝑎𝑛𝑛−𝑏𝑏𝑛𝑛

𝑎𝑎+𝑏𝑏; es divisible si 𝑛𝑛 es par; 𝑎𝑎

𝑛𝑛+𝑏𝑏𝑛𝑛

𝑎𝑎−𝑏𝑏; nunca es divisible

BINOMIO DE NEWTON (𝑛𝑛 entero positivo)

(a+𝑏𝑏)𝑛𝑛 = 𝑎𝑎𝑛𝑛 + 𝑛𝑛1!𝑎𝑎𝑛𝑛−1𝑏𝑏 + 𝑛𝑛(𝑛𝑛−1)

2!𝑎𝑎𝑛𝑛−2𝑏𝑏2 + 𝑛𝑛(𝑛𝑛−1)(𝑛𝑛−2)

3!𝑎𝑎𝑛𝑛−3𝑏𝑏3 + ⋯+ 𝑏𝑏𝑛𝑛

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

El logaritmo de base (a), de un número N, es el exponente al que hay que elevar la base a, para obtener el número N.

𝑎𝑎𝑥𝑥 = 𝑁𝑁, x es el logaritmo de base (a) del número N y se escribe 𝑥𝑥 = 𝑝𝑝𝑙𝑙𝑙𝑙𝑎𝑎𝑁𝑁

𝑒𝑒𝑦𝑦 = 𝑀𝑀,𝑦𝑦 𝑒𝑒𝑠𝑠 𝑝𝑝𝑙𝑙𝑙𝑙𝑎𝑎𝜋𝜋𝑝𝑝𝑝𝑝𝑚𝑚𝑙𝑙 𝑒𝑒𝑛𝑛 𝑝𝑝𝑎𝑎 𝑏𝑏𝑎𝑎𝑠𝑠𝑒𝑒 𝑛𝑛𝑎𝑎𝑝𝑝𝑝𝑝𝜋𝜋𝑎𝑎𝑝𝑝 (𝑒𝑒)𝑑𝑑𝑒𝑒𝑝𝑝 𝑛𝑛ú𝑚𝑚𝑒𝑒𝜋𝜋𝑙𝑙 𝑀𝑀 𝑦𝑦 𝑠𝑠𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑠𝑠𝑐𝑐𝜋𝜋𝑝𝑝𝑏𝑏𝑒𝑒 𝑦𝑦 = ln𝑀𝑀

1. 𝑝𝑝𝑙𝑙𝑙𝑙𝑎𝑎(𝑥𝑥𝑦𝑦) = 𝑝𝑝𝑙𝑙𝑙𝑙𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑝𝑝𝑙𝑙𝑙𝑙𝑎𝑎𝑦𝑦; ln(𝑥𝑥𝑦𝑦) = 𝑝𝑝𝑛𝑛𝑥𝑥 + 𝑝𝑝𝑛𝑛𝑦𝑦

2. 𝑝𝑝𝑙𝑙𝑙𝑙𝑎𝑎 �𝑥𝑥𝑦𝑦� = 𝑝𝑝𝑙𝑙𝑙𝑙𝑎𝑎𝑥𝑥 − 𝑝𝑝𝑙𝑙𝑙𝑙𝑎𝑎𝑦𝑦; ln�𝑥𝑥

𝑦𝑦� = 𝑝𝑝𝑛𝑛𝑥𝑥 − 𝑝𝑝𝑛𝑛𝑦𝑦

3. 𝑝𝑝𝑙𝑙𝑙𝑙𝑎𝑎𝑥𝑥𝑛𝑛 = 𝑛𝑛𝑝𝑝𝑙𝑙𝑙𝑙𝑎𝑎𝑥𝑥; 𝑝𝑝𝑛𝑛𝑥𝑥𝑛𝑛 = 𝑛𝑛𝑝𝑝𝑛𝑛𝑥𝑥

4. 𝑝𝑝𝑙𝑙𝑙𝑙𝑎𝑎�√𝑥𝑥𝑛𝑛 � = 𝑝𝑝𝑙𝑙𝑙𝑙𝑎𝑎𝑥𝑥

𝑛𝑛 𝑝𝑝𝑛𝑛�√𝑥𝑥𝑛𝑛 � = ln 𝑥𝑥

𝑛𝑛

5. 𝑝𝑝𝑙𝑙𝑙𝑙𝑎𝑎𝑁𝑁 = 𝑝𝑝𝑛𝑛𝑁𝑁𝑝𝑝𝑛𝑛𝑎𝑎

; Fórmula para cambiar logaritmos expresados en la base natural 𝑒𝑒, a otra base a cualquiera y viceversa

6. 𝑝𝑝𝑙𝑙𝑙𝑙𝑎𝑎𝑁𝑁 = ln 𝑏𝑏ln 𝑎𝑎

𝑝𝑝𝑙𝑙𝑙𝑙𝑎𝑎𝑁𝑁; Fórmula para cambiar el logaritmo de base N, expresado en una base b, a otra base a.

Si 𝑎𝑎𝑥𝑥 = 𝑁𝑁, 𝑒𝑒𝑛𝑛𝑝𝑝𝑙𝑙𝑛𝑛𝑐𝑐𝑒𝑒𝑠𝑠, 𝑥𝑥 = 𝑝𝑝𝑙𝑙𝑙𝑙𝑎𝑎𝑁𝑁 𝑦𝑦 𝑎𝑎𝑝𝑝𝑙𝑙𝑙𝑙𝑎𝑎𝑁𝑁 = 𝑁𝑁

𝑠𝑠𝑝𝑝 𝑒𝑒𝑦𝑦 = 𝑀𝑀, 𝑒𝑒𝑛𝑛𝑝𝑝𝑙𝑙𝑛𝑛𝑐𝑐𝑒𝑒𝑠𝑠,𝑦𝑦 = ln𝑀𝑀 𝑦𝑦 𝑒𝑒ln 𝑀𝑀 = 𝑀𝑀

A.2.3 Trigonometría

VALORES MÁS COMUNES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Funciones trigonométrica para ángulos de mayor frecuencia

Las funciones de 30° y 60° se determinan usando el triangulo

Las funciones de 45° se determina usando el triangulo

Para las funciones de 90° y sus múltiplos se usa el circulo unitario o trigonométrico

Para convertir de grados a radianes y viceversa se usa la relación de

Equivalencia 180 = 𝜋𝜋

1.- para convertir x grados a radianes, multiplicar x por el factor 𝜋𝜋180

2.- para convertir ”y, radianes” a grados, multiplicar y por 180𝜋𝜋

Longitud de arco de un segmento circular de radio r por 1 = r𝜃𝜃

(𝜃𝜃 𝑒𝑒𝑛𝑛 𝜋𝜋𝑎𝑎𝑑𝑑𝑝𝑝𝑎𝑎𝑛𝑛𝑒𝑒𝑠𝑠)

Grados 0 30 45 60 90 180 270 360 Radianes 0 𝜋𝜋

6� 𝜋𝜋 4� 𝜋𝜋

3� 𝜋𝜋2� 𝜋𝜋 3𝜋𝜋

2� 2𝜋𝜋 Seno

0 12� √2

2� √32� 1 0 −1 0

Coseno 1 √3

2� √22� 1

2� 0 −1 0 1

Tangente 0 √3

3� 1 √3 ∞ 0 ∞ 0

Cotangente ∞ √3 1 √3

2� 0 ∞ 0 ∞

Secante 1 2√3

3� √2 2 ∞ -1 ∞ 1

cosecante ∞ 2 √2 2√3

3� 1 ∞ −1 ∞

LEYES TRIGONOMÉTRICAS

Teorema de Pitágoras 𝑐𝑐2 = 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2

Leyes de los senos 𝑎𝑎𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛 ∝

= 𝑏𝑏𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛 𝛽𝛽

= 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛 𝛾𝛾

Leyes de los cosenos 𝑐𝑐2 = 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 − 2𝑎𝑎𝑏𝑏 𝑐𝑐𝑙𝑙𝑠𝑠𝛾𝛾

Relaciones trigonométricas

Sen ∝ = 1cos∝

; cos ∝= 1𝑠𝑠𝑒𝑒𝑐𝑐 ∝

; tan ∝= 1cot∝

; tan ∝ = 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛 ∝cos∝

; cot ∝ = cos∝𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛 ∝

;

Relaciones pitagóricas

𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛2 ∝ +𝑐𝑐𝑙𝑙𝑠𝑠2 ∝ = 1; 1+𝑝𝑝𝑎𝑎𝑛𝑛2 ∝= 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑐𝑐2 ∝; 1+𝑐𝑐𝑙𝑙𝑝𝑝2 ∝ = 𝑐𝑐𝑙𝑙𝑠𝑠2 ∝

Relaciones de ángulos dobles

𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛2 ∝= 12

(1 − 𝑐𝑐𝑙𝑙𝑠𝑠2 ∝); 𝑐𝑐𝑙𝑙𝑠𝑠2 ∝= 12

(1 + 𝑐𝑐𝑙𝑙𝑠𝑠2 ∝);

𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛 2 ∝= 2𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛 ∝ 𝑐𝑐𝑙𝑙𝑠𝑠 ∝; cos 2 ∝= 𝑐𝑐𝑙𝑙𝑠𝑠2 ∝ −𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛2 ∝;

tan 2 ∝= 2 tan∝1−𝑝𝑝𝑎𝑎𝑛𝑛 2∝

; cot 2 ∝= 𝑐𝑐𝑙𝑙𝑝𝑝2∝−1

2 cot∝

Sumas trigonométricas

𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛 ∝ ±𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛 𝛽𝛽 = 2𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛 12

(∝ ±𝛽𝛽)𝑐𝑐𝑙𝑙𝑠𝑠 12

(∝ ±𝛽𝛽); 𝑐𝑐𝑙𝑙𝑠𝑠 ∝ ±𝑐𝑐𝑙𝑙𝑠𝑠𝛽𝛽 = 2𝑐𝑐𝑙𝑙𝑠𝑠 12

(∝ ±𝛽𝛽)𝑐𝑐𝑙𝑙𝑠𝑠 12

(∝ ±𝛽𝛽)

𝑐𝑐𝑙𝑙𝑠𝑠 ∝ −𝑐𝑐𝑙𝑙𝑠𝑠𝛽𝛽 = −2𝑐𝑐𝑙𝑙𝑠𝑠 12

(∝ +𝛽𝛽)𝑐𝑐𝑙𝑙𝑠𝑠 12

(∝ −𝛽𝛽);

tan ∝ ± tan𝛽𝛽 = 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛 (∝±𝛽𝛽)cos∝𝑐𝑐𝑙𝑙𝑠𝑠𝛽𝛽

; cot ∝ ±𝑐𝑐𝑙𝑙𝑝𝑝𝛽𝛽 = ± 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛 (∝±𝛽𝛽)𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛 ∝𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛 𝛽𝛽

Productos trigonométricos

𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛 ∝ 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛𝛽𝛽 = 12

[𝑐𝑐𝑙𝑙𝑠𝑠(∝ −𝛽𝛽) − 𝑐𝑐𝑙𝑙𝑠𝑠(∝ +𝛽𝛽)]; 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛 ∝ 𝑐𝑐𝑙𝑙𝑠𝑠𝛽𝛽 = 12

[𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛(∝ −𝛽𝛽) − 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛(∝ +𝛽𝛽)];

𝑐𝑐𝑙𝑙𝑠𝑠 ∝ 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛𝛽𝛽 = 12

[𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛(∝ +𝛽𝛽) − 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛(∝ −𝛽𝛽)]; cos∝ 𝑐𝑐𝑙𝑙𝑠𝑠𝛽𝛽 = 12

[𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛(∝ −𝛽𝛽) + 𝑐𝑐𝑙𝑙𝑠𝑠(∝ +𝛽𝛽)]

Relaciones de suma de ángulos

𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛(∝ ±𝛽𝛽) = 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛 ∝ 𝑐𝑐𝑙𝑙𝑠𝑠𝛽𝛽 ± 𝑐𝑐𝑙𝑙𝑠𝑠 ∝ 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛𝛽𝛽; 𝑐𝑐𝑙𝑙𝑠𝑠(∝ ±𝛽𝛽) = 𝑐𝑐𝑙𝑙𝑠𝑠 ∝ 𝑐𝑐𝑙𝑙𝑠𝑠𝛽𝛽 ± 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛 ∝ 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛𝛽𝛽

𝑝𝑝𝑎𝑎𝑛𝑛(∝ ±𝛽𝛽) = 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑛𝑛 ∝±𝑝𝑝𝑎𝑎𝑛𝑛𝛽𝛽1±𝑝𝑝𝑎𝑎𝑛𝑛 ∝𝑝𝑝𝑎𝑎𝑛𝑛𝛽𝛽

; 𝑐𝑐𝑙𝑙𝑝𝑝(∝ ±𝛽𝛽) = 𝑐𝑐𝑙𝑙𝑝𝑝 ∝𝑐𝑐𝑙𝑙𝑝𝑝𝛽𝛽 ±1𝑐𝑐𝑙𝑙𝑝𝑝𝛽𝛽 ±𝑐𝑐𝑙𝑙𝑝𝑝 ∝

A.2.4. Geometría analítica

LA RECTA

𝑑𝑑 = �(𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1)2 + (𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦1)2 Distancia entre dos puntos

𝑚𝑚 = 𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦1

𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1 Pendiente de un segmento de recta que

pasa por dos puntos 𝑦𝑦 = 𝑚𝑚𝑥𝑥 + 𝑏𝑏 Ecuación normal de la recta

𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦1 = 𝑚𝑚(𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1) Ecuación de la recta con pendiente m que pasa por un punto (𝑥𝑥1,𝑦𝑦1)

𝐴𝐴𝑥𝑥 + 𝐵𝐵𝑦𝑦 + 𝐶𝐶 = 0 Ecuación general de la recta La circunferencia

(𝑥𝑥 − ℎ)2 + (𝑦𝑦 − 𝑘𝑘)2 = 𝜋𝜋2 Ecuaciones cartesianas de la circunferencia de radio r, con centro en (ℎ ,𝑘𝑘)

𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 + 𝐷𝐷𝑥𝑥 + 𝐸𝐸𝑦𝑦 + 𝐹𝐹 = 0 Ecuación general de la circunferencia Secciones cónicas La parábola

Excentricidad 𝑒𝑒 = 1

(𝑥𝑥 − ℎ)2 = 4𝑝𝑝(𝑦𝑦 − 𝑘𝑘) Parábola vertical con vértice en (h,k) y ramas hacia arriba

(𝑥𝑥 − ℎ)2 = −4𝑝𝑝(𝑦𝑦 − 𝑘𝑘) Parábola vertical con vértice en (h, k) y ramas hacia abajo

APÉNDICE II: EL USO DEL SOFTWARE

DERIVE.

APENDICE II: SOFTWARE DERIVE

APENDICE II

El uso del programa derive

DERIVE es un programa de computación matemática, el cual permite el procesamiento de variables algebraicas, expresiones, ecuaciones, funciones, vectores y matrices. DERIVE puede trabajar en forma numérica y en forma simbólica. Puede realizar factorizaciones, límites, derivadas, sumatorias, integrales, etc... DERIVE cuenta con la posibilidad de efectuar infinidad de gráficos en 2 y 3 dimensiones.

DERIVE es el software asistente de matemáticas en el cual se apoyan estudiantes, educadores, ingenieros y científicos alrededor del mundo. Los usuarios y evaluadores lo califican como el sistema simbólico de matemáticas mas fácil de usar. Existen otros programas que realizan funciones similares (y hasta más); algunos de estos son: MATLAB, MATHEMATICA, MAPLE, SCILAB.

¿Por qué DERIVE en un curso de Cálculo?

En problemas de Ingeniería, de Física, y en muchas otras ramas de la ciencia surgen gran cantidad de problemas matemáticos muy difíciles, prácticamente imposibles de realizar sino se cuenta con una herramienta computacional o tecnológica, como muchos suelen llamarla.

¿Para qué un curso de Cálculo si tenemos programas como DERIVE?

En el momento es prácticamente imposible hacer que un computador piense y razone como lo hace el ser humano, existen muchos errores que cometen los programas que a simple vista no es posible observar, errores que aparentemente no existen y que una persona con escaso conocimiento de las matemáticas no podría detectar. Son estos casos en los cuales debemos tener más cuidado y "Siempre desconfiar" de los resultados que arrojan programas como estos.

¿Por qué DERIVE y no uno de los otros programas?

Primordialmente se ha elegido trabajar con DERIVE por la sencillez de este programa, pues aunque no es el más "Poderoso" de los programas para el trabajo con matemáticas, es uno de los más "amigables" para estudiantes de primeros niveles de universidad y para estudiantes de últimos niveles de bachillerat


II. AMBIENTE DE TRABAJO DE DERIVE

En la figura 1 se describe brevemente el entorno de este software y las principales partes que lo conforman

Figura 1: Ventana de inicio de Derive 5.


¿Como ingresar una expresión en Derive? Las expresiones se ingresan, haciendo “click” con el mouse en la LÍNEA DE ENTRADA DE EXPRESIONES y escribiendo allí la expresión deseada. Luego se puede hacer algunas de las combinaciones siguientes, según lo que desee:

1. ó ENTER: Introduce la expresión escrita.

2. ó Ctrl + ENTER: Introduce y simplifica la expresión escrita.

3. ó Shift + ENTER: Introduce y aproxima la expresión escrita.

Ejercicios:

Introduzca 3/7 en la línea de entrada de expresiones, a continuación utilice las tres combinaciones. Observe la diferencia en los resultados

Haga lo mismo con las expresiones:

a). Ln(2/3)

b). 2^3

c). sin(1.5)

d). x^2 – 9

¿Cómo seleccionar, editar, eliminar una expresión?

1.-Usted puede seleccionar una expresión o parte de ésta haciendo “click” sobre la expresión.

2.- Para editar una expresión, seleccione la expresión a editar y haga “click” derecho sobre la misma, luego elija la opción editar y cuando termine presione ENTER. Otra forma de entrar a editar la expresión es haciendo doble “click” en frente de la expresión.1

3.-Para eliminar una expresión, selecciónela y luego presiones el botón de la barra de herramientas o la tecla Delete (o Suprimir) del teclado.

[1]


4.-Si desea bajar una expresión de la ventana de Álgebra a la línea de entrada de expresiones, seleccione la expresión deseada y presione F3

[1] Los estudiantes suelen dar doble “click” sin darse cuenta, deshabilitando con esto los botones de la barra de tareas. Lo anterior se soluciona haciendo “click” sobre la línea de entrada de expresiones y presionando la tecla Esc

¿Qué hacer si se olvida cómo introducir alguna expresión?

En el menú de opciones aparece el botón “Ayuda” o “Help”. Con éste, en Contenido o en Índice es posible encontrar cómo se escribe la expresión olvidada. Allí también se encuentran respuestas a las preguntas más frecuentes

¿Qué diferencia hay entre = y entre :=?

x = k significa : x es una constante de valor k.

Ejemplos de cómo ingresar algunas expresiones en Derive:

Expresión a ingresar Forma de ingresarlo a Derive

(x^2+3*y)/5

(10*x*(x-1)^4)/((x-2)^(3*x^2)*(x+1)^2)

sin(x)+cos(x)-tan(x)+3 asin(x)

acos(x) abs(x+1)+ln(x)+500

( (2/5*x+3)+exp(2*x))/(exp(-2*a+b))

log(x+1,2)+sin(100*pi*x)

((1+x)^(1/7))^(-inf)


Ejemplo:

#1: x = 36

#2: x+1

#3 x+1

x := k define x como una variable y le asigna el valor k, desde ese momento en adelante, el computador piensa que x es siempre k .

Ejemplo:

#1: x := 36

#2: x+1

#3 37

F(x, y, ...) := u define a F como una función de x, y, ... como u(x, y, ...). Permite evaluar la función F para cualquier valor que se les a x, y, ...

Ejemplos:

#1: f(x):=2x+4

#2: f(1)

#3 6

#1: H(x,y):=3x+5y

#2: H(5,10)

#3: 65

Ejercicios: Evalúe:

f(-5)

f(2)+f(-3)

H(-100,2)

H(3,-3/8) – (H(5,10)+H(2,1))^(1/2)


¿Cómo hacer gráficas de dos dimensiones (2D) utilizando Derive?

Para esto, utilizamos el botón de la barra de herramientas. Lo que debemos hacer es ingresar la expresión a graficar, seleccionarla2[1] y luego presionar con lo cual se abre una nueva ventana (ventana para ver las graficas en 2D), para graficar en definitiva la expresión que queremos graficar presionamos nuevamente.3

Ejemplos:

[2]

1. Graficar x2

Solución:

.

Ingrese en Derive x

Haga “click” sobre .

2

Nuevamente hacemos “click” sobre .

La gráfica deseada aparecerá.

2. Hacer la grafica de

Solución:

Haga el procedimiento anterior y obtendrá:

Figura 2: Gráfica de ejemplo 1.

2[1] Si se selecciona una parte de la expresión, solo se graficará la parte seleccionada.

2[2] En esta ocasión este botón se encuentra en esta misma ventana.


3. Hacer la grafica de la familia de curvas f(x) = a*x^2-x, a = -1,0,1,…10.

Solución:

Ingrese en Derive: vector(a*x^2-x,a,-1,10,1)

Repitiendo el procedimiento del Ejemplo 1 obtendrá

Figura 3: Gráfica de ejemplo 2.

Haga la gráfica de la tabla que construyó anteriormente con

(1+1/n)n

2..- Haga la gráfica de x^1/3?

n = 3,6,9,…100

Con la gráfica anterior, a veces se tiene problema, pues Derive sólo grafica un pedazo de la gráfica. Esto se corrige entrando a DECLARE, Simplifications Settings y seleccionando la rama (Branch) real.

¿Para qué sirven cada uno de los botones de la ventana de gráfica 2D?

Figura 4: Botones para graficas en 2D


¿Cómo encontrar gráficamente la solución a f(x)=0 en los reales?ç Para resolver x2

–5 = 0, graficamos primero la curva, como hemos explicado anteriormente, y usando el botón que sirve para seleccionar el rango, nos vamos acercando a la parte de la curva que corta el eje x.

1. Se hace click sobre el botón

2. Luego se hace click sostenido en un punto cerca de la región a la que desea acercarse.

3. Arrastre el “mouse” (con click sostenido) hasta una esquina opuesta al punto en el numeral anterior y suelte el botón del “mouse”.

4. De OK4

5. Repita este procedimiento, tantas veces quiera con el fin de garantizar precisión en algunas cifras decimales. Esto se obtiene cuando las cifras decimales son las mismas en los números que aparecen en el eje x antes y después del punto al cual nos estamos acercando.

[1] como respuesta a la ventana que le sale.

Ejercicios:

Resuelva en los reales:

a) ,

b) x5

c) 3x

-3x+1 = 0

3+3x2

-12x+2 = 0

Cálculo de límites: Luego de ingresar la expresión, presionamos sobre el botón y se despliega un cuadro que nos pregunta cual es la variable con respecto a la cual deseamos calcular el límite, el valor al cual deseamos acercarnos y la dirección por la cual deseamos hacerlo (Izquierda, Derecha o ambos lados). Por último presionamos Simplificar.


Cálculo de derivadas: Luego de ingresar la expresión, presionamos sobre el botón y se despliega un cuadro que nos pregunta cuál es la variable con respecto a la cual deseamos calcular la derivada y el orden de la derivada que deseamos calcular. Por último presionamos Simplificar.


Para encontrar la segunda derivada, seleccionamos de nuevo la expresión f(x) y en lugar de colocar 1 en el Orden de la derivada colocamos 2, el resultado es:

Ejercicio:

Para la función g(x):= (x^2-9)/(x-4) calcular los límites al infinito y cuando se acerca a 4 por ambos lados (Izquierda, Derecha), calcular además la primera derivada y la segunda derivada

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