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Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico

Departamento de Ingeniería Electrónica

TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS

Detección y Estimación de Fallas en Sistemas Singulares LPV con Aplicación a una Columna de Destilación

presentada por

Marlem Flores Montiel Ing. en Electrónica por el I. T. de Cuautla

como requisito para la obtención del grado de: Maestría en Ciencias en Ingeniería Electrónica

Director de tesis: Dr. Carlos Manuel Astorga Zaragoza

Co-Director de tesis:

Dr. Enrique Quintero-Mármol Márquez Cuernavaca, Morelos, México. 17 de Enero de 2012

cenidet

Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico

Departamento de Ingeniería Electrónica

TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS

Detección y Estimación de Fallas en Sistemas Singulares LPV con Aplicación a una Columna de Destilación

presentada por

Marlem Flores Montiel Ing. en Electrónica por el I. T. de Cuautla

como requisito para la obtención del grado de:

Maestría en Ciencias en Ingeniería Electrónica

Director de tesis: Dr. Carlos Manuel Astorga Zaragoza

Co-Director de tesis:

Dr. Enrique Quintero-Mármol Márquez

Jurado: Dr. Víctor Manuel Alvarado Martínez – Presidente

Dr. Carlos Daniel García Beltrán – Secretario Dr. Carlos Manuel Astorga Zaragoza – Vocal

Dr. Enrique Quintero-Mármol Márquez – Vocal Suplente

Cuernavaca, Morelos, México. 17 de Enero de 2012

Resumen

Esta tesis presenta el diseño e implementación, de un sistema de diagnóstico de fallas para

una columna de destilación binaria.

En este trabajo, el sistema diagnóstico es empleado para para detectar fallas aditivas

en los actuadores de la planta de destilación. El sistema FDD emplea un banco de

observadores dedicado (DOS), el cual tiene como base observadores politópicos que estiman

las concentraciones de los platos de la columna.

Por lo anterior, el sistema desarrollado proporciona, además, información al usuario acerca

de las variables mencionadas para cada uno de los platos; la abilidad de esta información

permite emplearla en tareas de control si así se requiere.

El observador politópico utiliza un modelo matemático de forma singular LPV que

representa una columna de destilación, ajustado a las características físicas de la planta

piloto del CENIDET y a su vez, usa un modelo termodinámico que establece el equilibrio

líquido-vapor de los componentes de la mezcla etanol-agua.

La respuesta del modelo es validada con respecto a mediciones adquiridas de la planta

de datos experimentales reales. Dichas mediciones son las temperaturas dadas por los

sensores tipo RTD ubicados en el cuerpo de la columna de destilación. A partir del modelo

matemático formulado, se plantea una estructura para el diseño del observador.

Una de las principales ventajas de este observador que permite la estimación simultánea

de los estados y las entradas desconocidas.

Abstract

This thesis presents the design and implementation, of a fault diagnosis system for a binary

distillation column.

In this work, the diagnostic system is used to detect additive faults in the actuators of the

distillation plant. The FDD system uses a bank of dedicated observers (DOS), which are

based on polytopic models to estimate the concentrations of plates in the column.

Hence, the developed system also provides detailed information about these variables to

the user for each one of the dishes, the reliability of this information allows using it on

control tasks if required.

The polytopic observer uses a LPV mathematical model on a singular way which represents

a distillation column, specically adjusted to the physical features from CENIDET's pilot

plant and in turn, uses a thermodynamic model that sets the vapor-liquid balance of the

mixture components ethanol-water respectively.

The response of the model is validated against measurements acquired from the plant's

real experimental data. Such measurements are the temperatures given by the RTD type

sensors located in the body of the distillation column. From the mathematical model

developed, there is a structure that leads to the design of the observer.

One of the main advantages of this observer is to allows the simultaneous estimation of

states and unknown inputs.

Dedicatorias

A mi madre: gracias por ayudarme a levantarme en mis fracasos, y enseñarme a

aprender de ellos. Por apoyarme y creer siempre en mí.

A mis hermanos:

Juan Carlos: gracias por el apoyo incondicional que me brindaste todo este tiempo, por

tu compañía en los momentos más difíciles, tus consejos, y por los días que me

acompañaste en mis desvelos.

Francisco: Por tus consejos, por escucharme y preocuparte por mi.

Mi familia, los quiero mucho. Con cariño les dedico esta tesis.

Agradecimientos

A mi mamá María Inés y mis hermanos Juan Carlos y Francisco, gracias por su amor y

por ser fuente de mi fortaleza.

A mis asesores, Dr. Carlos M. Astorga Zaragoza y Dr. Enrique Quintero-Mármol Márquez,

gracias por sus enseñanzas, paciencia, su ayuda y por acompañarme en este trabajo.

A mis revisores, Dr. Carlos Daniel García Beltrán y Dr. Víctor Manuel Alvarado Martínez,

por sus valiosos consejos y por las observaciones realizadas a este trabajo de tesis.

A mis profesores: Dr. Gerardo Vicente Guerrero, Dr. Manuel Adam, Dr. Juan Reyes,

Dr. Alejandro Rodríguez, Dr. Luis Gerardo Vela, M. C. Guadalupe Madrigal, M. C. Pedro

Rafael Mendoza, M. C. José Martín Gómez gracias por todos sus conocimientos brindados.

A mis compañeros y amigos: Miriam, Rigo, Uba, Jesús, Gaby, Ricardo, Michel, Fernan-

do, Eunice, Gloria, Lino, Iván, con quienes compartí aulas, proyectos, tareas, desvelos, les

agradezco a todos ustedes el haberme permitido hacer equipo a su lado y por el camino

que recorrimos juntos, cuídense mucho.

A Adriana Téllez, gracias por su paciencia, su compañía, gracias por ser mi apoyo y mi

amiga.

A Adriana Aguilera, gracias por tu amistad, por el tiempo compartido, de ti he aprendido

mucho, te deseo lo mejor.

A Omar y Eli por brindarme su amistad y consejos en este tiempo. Por los partidos de

11

voleibol y todas las risas. Siempre contarán conmigo. Gracias.

A Juan Manuel Jiménez por estar a mi lado, me llevo los mejores recuerdos.

A todas las personas especiales que conocí a lo largo de este proyecto: Anita, Mayra,

Sra. Eli, Mario M., Lore, Héctor, David Chávez, Guadalupe G., Paty, Alfredo T. gracias

por su disponibilidad y ayuda, hacen más agradable la vida en este centro de investigación.

Al programa de becas de movilidad estudiantil de la DGEST, gracias por la ayuda econó-

mica.

Finalmente, agradezco al Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico y

al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACYT) por el apoyo brindado, que

permitió la realización de este trabajo.

Índice general

Índice general i

Índice de guras iv

Índice de tablas vi

Nomenclatura vii

1. Introducción 1

1.1. Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Objetivo general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1. Objetivos especícos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3. Hipótesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4. Metodología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5. Estado del arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.6. Organización del documento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2. Sistemas singulares LPV 16

2.1. Sistemas singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1.1. Discretización de sistemas singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2. Sistemas LPV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.1. Formulación politópica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.2. Formulación dependiente del parámetro . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2.3. Formulación por una Transformación Fraccional Lineal . . . . . . . 26

2.3. Observador de entradas desconocidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

i

ÍNDICE GENERAL

2.4. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3. Modelo singular LPV de una columna de destilación 33

3.1. Descripción general de la planta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2. Modelo de la columna de destilación binaria . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.2.1. Simplicaciones sobre el modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2.2. Modelo termodinámico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2.3. Estructura triangular del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.3. Modelo singular LPV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3.1. Obtención del modelo LPV de la columna . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3.2. Obtención del modelo singular de la columna . . . . . . . . . . . . 51

3.3.3. Obtención del modelo singular LPV . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.4. Validación del modelo propuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.5. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4. Esquema de diagnóstico de fallas 59

4.1. Observador para sistemas singulares LPV continuo . . . . . . . . . . . . . 59

4.1.1. Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.2. Observador politópico para sistemas singulares LPV discretos . . . . . . . 64

4.2.1. Diseño de la ganancia del observador basado en la colocación de polos 73

4.3. Aplicación a una columna de destilación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.3.1. Normalización de parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.4. Validación del observador propuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.4.1. Observador singular LPV continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.4.2. Observador singular LPV discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.5. Esquema de diagnóstico de fallas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.5.1. Caso falla. Resistencia calefactora (actuador 1) . . . . . . . . . . . . 85

4.5.2. Caso falla. Válvula de reujo (actuador 2) . . . . . . . . . . . . . . 88

4.6. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

ii

ÍNDICE GENERAL

5. Conclusiones y trabajos futuros 92

5.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.2. Trabajos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Bibliografía 96

A. Terminología empleada en FDD 103

B. Colocación de polos en regiones LMI 105

C. Representación no lineal del modelo de la columna de destilación 108

D. Condiciones de operación del proceso 111

E. Sistemas LTI asociados al modelo de la columna 113

E.1. Para el caso continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

E.2. Para el caso discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

iii

Índice de guras

1.5.1.Esquema FDD basado en modelos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5.2.Clasicación de métodos FDD basados en modelos (Zhang y Jiang, 2008). . 10

2.1.1.Un circuito eléctrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.1.Mapeo de una caja de parámetros a un polítopo. . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2.2.Diagrama representativo de la transformación LFT. . . . . . . . . . . . . . 26

2.2.3.Péndulo invertido de dos eslabones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3.1.Esquema general de un observador de estados. . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3.2.Estructura de un observador de entradas desconocidas de orden completo. . 30

3.1.1.Esquema general de una columna de destilación. . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.1.2.Condensador de la planta piloto de destilación. . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.1.3.Hervidor de la planta piloto de destilación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.1.4.Cuerpo de la columna de destilación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2.1.Diagrama de ujo para el cálculo del punto de burbuja (Aguilera, 2008). . 44

3.2.2.Retención de masa molar en un plato de la columna. . . . . . . . . . . . . 46

3.3.1.Caja de parámetros de la columna de destilación binaria. . . . . . . . . . . 49

3.3.2.Columna de destilación de 5 platos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.3.3.En (a) esquema de un modelo de 3 compartimentos, en (b) modelo obtenido. 54

3.4.1.En (a) la comparación del modelo no lineal y el modelo singular LPV

continuo, en (b) el IAE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57


4.3.1.Normalización de la caja de parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

iv

ÍNDICE DE FIGURAS


4.4.1.Comparación de los estados x1 y x2 con su observador y variación paramétrica. 79

4.4.2.En (a) la evolución de las funciones de ponderación en el tiempo. En (b) se

verica queM∑i=1

εi(ρ(t)) = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.4.3.En (a) el comportamiento dinámico de los estados y en (b) los polos del

observador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.4.4.En (a) la variación de la potencia calefactora y en (b) la variación de los

parámetros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.4.5.En (a) la evolución de las funciones de ponderación en el tiempo. En (b) se

verica queM∑i=1

εi(θ(t)) = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.4.6.Comportamiento dinámico de los estados en el sistema nominal. . . . . . . 83

4.4.7.Estimación de las fallas en el sistema nominal. . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.5.1.Esquema DOS para la columna de destilación. . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.5.2.Comportamiento dinámico de los estados ante una falla en la resistencia

calefactora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.5.3.Estimación de la falla en la resistencia calefactora. . . . . . . . . . . . . . 87

4.5.4.Comportamiento dinámico de los estados ante una falla en la válvula de

reujo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.5.5.Estimación de la falla en la válvula de reujo. . . . . . . . . . . . . . . . . 90

B.0.1.Polos a la izquierda del eje imaginario desplazado α. . . . . . . . . . . . . . 105

B.0.2.Región denida por un disco con centro en (−q, 0) y radio r. . . . . . . . 106

B.0.3.Región denida por un cono centrado en el origen, con ángulo θ. . . . . . . 107

v

Índice de tablas

3.2.1.Factor de calidad de la alimentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

D.0.1.Características de la planta de destilación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

D.0.2.Especicaciones termodinámicas de los componentes de la mezcla etanol-agua111

D.0.3.Parámetros iniciales de pruebas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

D.0.4.Entradas del proceso - Validación del modelo (Sim. 3.4.1) . . . . . . . . . . 112

D.0.5.Validación observador singular LPV continuo (Sim. 4.4.1) . . . . . . . . . . 112

D.0.6.Validación del observador singular LPV discreto (Sim. 4.4.2 ) . . . . . . . . 112

vi

Nomenclatura

Síglas

AFD Actuator Fault Detection

CFD Component Fault Detection

FDD Fault Detection and Diagnosis

FDI Fault Detection and Isolation

FTC Fault Tolerant Control

IFD Instrument Fault Detection

LPV Linear Parameter Variant

LTI Linear Time Invariant

UIO Unknown Input Observer

Símbolos Griegos

α Volatilidad relativa.

ε Escalar positivo pequeño.

γi Coeciente de actividad.

φi Coeciente de fugacidad.

Letras mayúsculas

M =m∑1

Mj Masa molar retenida total en un compartimento de m platos.

vii

Nomenclatura

M1 = M1 Masa molar retenida en el condensador.

Mjf =

js−1∑jr+1

Mj Masa molar retenida en el compartimento de alimentación.

Mj Masa molar retenida del plato j para el compartimento de m platos.

MN = MN Masa molar retenida en el hervidor.

Mr =

jr∑2

Mj Masa molar retenida en el compartimento de recticación.

Ms =n−1∑js

Mj Masa molar retenida en el compartimento de agotamiento.

B Producto de fondo.

D Producto de destilado.

F Flujo molar de la alimentación (moles/min).

H Entalpía de la fase vapor.

HvapEOH Entalpía de vaporización para el etanol (kJ/mol).

HvapH2O Entalpía de vaporización para el agua (kJ/mol).

Ki Constante de equilibrio.

L Flujo molar líquido (moles/min).

LR Flujo líquido en la sección de recticación (moles/min).

LS Flujo líquido en la sección de agotamiento (moles/min).

MN Masa molar retenida en cada plato (moles).

N Número total de platos.

P Presión total (kPa).

P sati Presión parcial (de saturación) del componente i (kPa).

Qb Potencia calefactora añadida al hervidor (Watts).

viii

Nomenclatura

R Reujo.

T Temperatura (°C).

Tb Temperatura de ebullción (°C).

Tf Temperatura de alimentación (°C).

V Flujo molar de vapor (moles/min).

VR Flujo vapor en la sección de recticación (moles/min).

VS Flujo de vapor en la sección de agotamiento (moles/min).

Wi Peso molecular.

Letras minúsculas

bv Válvula de fondo [0,1].

f Plato de alimentación.

fL Fugacidad del líquido en un estado de referencia.

h Entalpía de la fase líquida.

p Número de plato.

qF Calidad de alimentación (adimensional).

rv Válvula de reujo [0,1].

xp Concentraciones molares líquidas (mol).

yp Concentraciones molares vapor (mol).

zF Concentración líquida en la alimentación (mol).

Subíndices

1 Sección superior de la columna.

EOH Etanol.

H2O Agua.

ix

Nomenclatura

j Sección superior o inferior.

n Sección inferior de la columna.

p Numero de plato.

R Sección de recticación.

S Sección de agotamiento.

v Válvula.

x

Capítulo 1

Introducción

La destilación es un método para separar, mediante vaporización y condensación, los

diferentes componentes de una mezcla en estado líquido, aprovechando los diferentes

puntos de ebullición de cada una de las sustancias. En numerosas aplicaciones de control

para columnas de destilación, se requiere la información continua de las fracciones molares

de los componentes, es decir, la concentración de cada componente existente en una mezcla

dada; la medición fuera de línea de dichas fracciones molares puede hacerse a través de

un analizador directo, como puede ser un cromatógrafo de gases o un detector de índice

de refracción. Aunque actualmente hay un gran desarrollo en este tipo de tecnología, los

costos que generan son altos en cuanto a inversión, a la implementación de la técnica en

sí y al mantenimiento.

Una columna de destilación puede ser vista como una integración de platos en cascada;

esta integración eleva la complejidad, lo que hace difícil entender el sistema (columna)

basado en el conocimiento del comportamiento individual de las piezas que lo conforman

(platos) (Skogestad, 1997).

Al ser un sistema complejo, cuando ocurre una falla, resulta difícil localizar cuál de los

elementos del sistema es el que lo desvía de su comportamiento normal, por lo que es

necesario desarrollar e implementar un esquema de diagnóstico de fallas que permita

detectar y localizar fallas en los diferentes componentes del sistema.

El desarrollo de esquemas de diagnóstico y de control se realiza principalmente en el

dominio de los sistemas lineales, sin embargo, la mayoría de los procesos industriales son

de naturaleza no lineal. Algunos autores han resuelto el problema de diagnóstico de fallas

para sistemas no lineales, en los trabajos de Hammouri y Targui (2002); De Persis y

Isidori (2000) utilizan métodos geométricos para el desacoplamiento exacto de las fallas;

1

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

en cambio, en Alcorta y Frank (1997) usan métodos analíticos. Estos métodos se utilizan si

existe una descripción matemática exacta del sistema, desafortunadamente, esta condición

no se satisface fácilmente, debido a la complejidad de los sistemas no lineales.

La reducción de la complejidad de un sistema no lineal, representado en ecuaciones de

estado, consiste en la reducción del orden del sistema, lo que generalmente provoca pérdida

de información. Esta reducción se realiza de diferentes formas: la reducción de parámetros

del modelo matemático basada en un análisis de sensibilidad y una comparación con

el sistema inicial (Dolgin y Zeheb, 2005; Hetherington et al., 2006). Otra manera es

despreciar ciertos fenómenos (reacciones en el caso de mecanismos químicos complejos,

(Petzold y Zhu, 1999)), la eliminación de partes del modelo (parámetros y/o variables)

que se consideran no relevantes en la dinámica del sistema (Moore, 1981; Saysel y Barlas,

2006); y la simplicación por truncación y por aproximación de una perturbación singular

(Andersson et al., 1996; Steens et al., 1997).

Otra manera de tratar con modelos complejos es mediante el uso de transformaciones

analíticas para obtener representaciones particulares, que son más fáciles de estudiar que

una forma general no lineal. Si las representaciones no lineales son difíciles de obtener,

existe otro tipo de representación que consiste en denir diferentes puntos de operación y

considerar un modelo lineal alrededor de cada uno de esos puntos. El método concierne

al estudio de sistemas basados en el enfoque multi-modelos y constituye otra manera de

representar la dinámica de un sistema no lineal (Adam et al., 2005).

El enfoque multi-modelos aparece en los años noventas, principalmente en el dominio

de control basado en lógica difusa. Esto ha permitido realizar el control de sistemas no

lineales descritos por modelos lineales interpolados, a partir de algoritmos de partición,

que permiten determinar el campo de funcionamiento de los modelos locales, como el

Takagi-Sugeno (Takagi y Sugeno, 1985).

Existen diferentes técnicas para obtener un multi-modelo: la primera es la técnica basada

en la linealización de un modelo no lineal alrededor de uno o varios puntos de operación

(Adam et al., 2005); la segunda consiste en la identicación de un sistema usando datos

experimentales (Takagi y Sugeno, 1985); y la tercera consiste en la elección de diferentes

puntos de operación y la trayectoria de los parámetros (Angelis, 2001).

En una columna de destilación no es posible medir todas las variables que intervienen

en el proceso, cuando esto sucede, es conveniente recurrir a estimadores de estados, que

permiten la reconstrucción de los estados (x) a partir de mediciones de las salidas (y) y de

las entradas (u) del sistema. Por lo que diseñar un observador, es equivalente a diseñar un

2

1.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

sistema que se ve guiado solamente por algunas mediciones del sistema original y produce

una salida para realizar el seguimiento de los estados de dicho sistema original.

El objetivo de este trabajo es proponer un sistema de diagnóstico de fallas basado

en un observador de estados discreto para la columna de destilación, que estime las

concentraciones molares del componente ligero de la mezcla binaria etanol-agua, a partir

de las mediciones de las temperaturas diponibles en los platos del cuerpo de la columna.

Tal observador utiliza un modelo matemático de una columna de destilación para cinco

platos, ajustado a las características físicas de la planta piloto del CENIDET y además,

un modelo termodinámico que establece el equilibrio de fases de los componentes de la

mezcla.

En el presente trabajo para la aproximación al sistema no lineal de la columna de

destilación se obtiene una estructura multi-modelos, que utiliza una representación

politópica. Dicha representación requiere cierto número de modelos lineales, los cuales

describen localmente el funcionamiento del sistema y se combinan de manera adecuada,

de tal manera que los valores de los parámetros, pertenecen a diferentes modelos lineales.

El observador diseñado en este trabajo de tesis, corresponde a un observador politópico

para sistemas singulares LPV discreto propuesto en Astorga et al. (2011), donde se propone

un método de diagnóstico de fallas para sistemas singulares LPV en tiempo discreto, el

observador realiza la detección y estimación de fallas en todo el rango de operación del

sistema y puede estimar simultáneamente los estados y las fallas, que son consideradas

como entradas desconocidas.

Este esquema de diagnóstico, se considera de orden completo, ya que el observador estima

todos los estados, a partir de las mediciones de temperaturas correspondientes a los platos

localizados en el condensador (p = 1), plato de alimentación (p = 3) y hervidor (p = 5).

La evaluación del desempeño del esquema de diagnóstico de fallas usando el observador

propuesto se realiza en simulación, usando las características físico-químicas de la mezcla

binaria etanol-agua y teniendo en cuenta las características de la planta piloto de

CENIDET la cual es operada por lotes.

1.1. Planteamiento del problema

Las columnas de destilación son usadas en muchos procesos industriales que van desde

aplicaciones en la industria farmacéutica y de química na, hasta la industria del petróleo

y producción de alcohol y solventes a gran escala. Tener totalmente instrumentado dicho

3


equipo es muy costoso, por ello considerar la redundancia física en este tipo de plantas no

es factible; lo que trae como consecuencia que al presentarse alguna falla, el sistema deje

de operar, provocando pérdidas económicas y riesgos en las personas que laboran en la

planta; para ello es importante buscar alternativas para detectar fallas.

Los esquemas de FDD (Fault Detection and Diagnosis, por sus siglas en inglés)

tradicionalmente se desarrollan basados en el modelo y con aproximaciones que usan

modelos lineales (Gertler, 1998; Chen, 1999), pero esto restringe el desempeño del

diagnóstico alrededor del punto de operación y no permite la detección de fallas en toda

la región de operación del sistema. En cambio, los esquemas FDD basados en estrategias

no lineales que se han desarrollado en los últimos años son muy ecientes en cuanto a

detección, sin embargo, existen factores como: los requerimientos de modelos exactos, el

gasto computacional elevado, la necesidad de operación en tiempo real, la complejidad

en la implementación, entre otros, que conllevan a una limitación en el desempeño del

método.

Teniendo en cuenta lo anterior, la problemática consiste entonces en el diseño de un

esquema de diagnóstico de fallas basado en modelos, que permita la detección, localización

y estimación de fallas en tiempo real para un sistema altamente no lineal (columna

de destilación binaria). Dicho esquema debe tener como características principales:

simplicidad de los modelos, detección temprana y estimación adecuada de la falla, así

como la facilidad de implementación, entre otras.

1.2. Objetivo general

El objetivo de esta tesis es diseñar un esquema de diagnóstico de fallas basado en modelos,usando un observador de entradas desconocidas para detectar, localizar y estimar fallas enun actuador (resistencia calefactora) de la columna de destilación binaria, cuyo modeladose realiza en forma singular LPV.

1.2.1. Objetivos especícos

Formular un modelo singular LPV que describa el comportamiento de una columnade destilación para la mezcla binaria etanol-agua.

Validar el modelo matemático singular LPV utilizando datos experimentales de lacolumna de destilación binaria.

4

1.3. HIPÓTESIS

Diseñar un observador de entradas desconocidas con base en el modelo singular LPVpropuesto para una columna de destilación binaria.

Diseñar un sistema FDD para detectar, localizar y estimar de fallas en un actuador(resistencia calefactora) de la columna de destilación binaria.

Implementar el algoritmo FDD en simulación para la detección, localización yestimación de fallas en un actuador de la columna de destilación, utilizando datosexperimentales de la planta piloto.

1.3. Hipótesis

A través de un observador de entradas desconocidas es posible generar residuos para la

integración de un esquema FDD, el cual permite la detección de fallas en un actuador

de la columna de destilación es representada a través de un modelo singular LPV. La

simplicidad del modelo, permitirá que el esquema de diagnóstico sea implementado en

tiempo real.

1.4. Metodología

La metodología llevada a cabo para la realización de este trabajo se describe a continuación.

Para el desarrollo de un esquema de diagnóstico de fallas para sistemas singulares LPV,

es necesario contar con un modelo adecuado del sistema. La construcción del modelo se

realiza de acuerdo a Linhart y Skogestad (2009), donde utiliza el término compartimentos

para separar los platos conforme consideraciones de escala de tiempo, generando un modelo

de orden reducido que consiste en ecuaciones álgebro-diferenciales; conocido como sistema

singular.

Sin embargo, cuando el rango de operación del sistema es más amplio, el modelo linealizado

ya no es capaz de representar la dinámica del sistema. Una solución, es representar el

sistema mediante una interpolación de modelos locales, utilizando un enfoque de sistemas

LPV.

Para obtener el modelo de la columna de destilación, a una forma politópica, donde los

parámetros del sistema evolucionan en un conjunto convexo. Se consideran dos parámetros,

L y V , con sus combinaciones extremas se obtiene una caja de parámetros. La caja de

5


parámetros cuenta con 4 vértices, en los cuales se encuentran los submodelos y junto con

las funciones de ponderación se obtiene el modelo global del sistema. Las funciones de

ponderación se calculan de acuerdo a Hamdi et al. (2009).

El observador elegido es el que presenta Astorga et al. (2011), donde propone un método

de diagnóstico de fallas para sistemas singulares LPV en tiempo discreto, el observador

realiza la detección y estimación de fallas en todo el rango de operación del sistema y puede

estimar simultáneamente los estados y los vectores de magnitud de falla, considerados como

entradas desconocidas.

Dado que el observador es para sistemas discretos, se realiza la discretización del modelo de

la columna con la ayuda del software Mathematica de Wolfram de acuerdo a Karampetakis

(2004). Con la transformación a discreto, la variación paramétrica no se reeja en las

nuevas matrices obtenidas, por esta razón se normalizan los parámetros según Kajiwara

et al. (1999).

Las condiciones sucientes del observador se cumplen, lo cual asegura la existencia y

estabilidad de la función de Lyapunov basada en una formulación de LMI. El algoritmo

de minimización para la viabilidad de la LMI se desarrolla en Matlab, y su ejecución

dura aproximadamente 30 minutos, es de importancia señalar que es suciente correr el

algoritmo una sola vez, para obtener el cálculo de las ganancias del observador.

El esquema de diagnóstico de fallas construido de ésta manera es capaz de detectar, aislar

y estimar fallas lo cual representa una herramienta útil en la desición del operador.

1.5. Estado del arte

FDD (Fault detection and diagnosis)

En general, puede denirse a una falla como cualquier tipo de mal funcionamiento en

el sistema dinámico real, (la planta), que conduce hacia una anomalía inaceptable en el

comportamiento total del sistema (ver Apéndice A). Dichas anomalías pueden ocurrir en

diferentes elementos del sistema: sensores, actuadores o componentes.

En la literatura se consideran los objetivos del diagnóstico de fallas (Blanke et al., 2000):

Detección de la falla: decisión de si existe o no una falla, así como la determinación

de su instante de aparición.

6

1.5. ESTADO DEL ARTE

Localización de la falla: localización del componente en el cual se ha producido la

falla.

Identicación y estimación de la falla: identicación del tipo de falla y estimación

de su magnitud.

De igual manera, se encuentra que las fallas se clasican en tres clases (Isermann y Höing,

1996):

Fallas de medición aditivas: son discrepancias entre los valores reales y medidos de

las entradas y salidas de la planta. Dichas fallas describen bien las desviaciones en las

mediciones proporcionadas por los sensores, también pueden usarse para describir

un mal funcionamiento en los actuadores.

Fallas de proceso aditivas: son perturbaciones (entradas no medidas) actuando sobre

la planta, las cuales causan una desviación en las salidas independientes de las

entradas medidas.

Fallas de proceso multiplicativas: son cambios (abruptos o graduales) de los

parámetros de la planta. Tales fallas describen adecuadamente el deterioro del equipo

de la planta.

El uso de una técnica FDD para un proceso en particular, depende tanto de las

características de dicho proceso como de las preferencias o necesidades del usuario.

De acuerdo al tipo de fallas los esquemas de diagnóstico se clasican en:

Diagnóstico de falla en sensores (IFD por sus siglas en inglés: Instrument Fault

Detection).

Diagnóstico de falla en actuadores (AFD por sus siglas en inglés: Actuator Fault

Detection).

Diagnóstico de falla en componentes (CFD por sus siglas en inglés: Component Fault

Detection).

A grandes rasgos, los esquemas FDD pueden realizarse empleando ya sea redundancia

material o redundancia analítica estos conceptos se describen a continuación:

7


Redundancia material: el enfoque tradicional de diagnóstico de fallas, hablando en

un contexto amplio, se basa en métodos de redundancia física o de hardware, los

cuales emplean múltiples sensores, actuadores, componentes de medición y control

de una variable en particular. El mayor problema de este método es el costo de

mantenimiento y del equipo adicional, así como el espacio requerido para dichos

instrumentos (Isermann y Höing, 1996).

Redundancia analítica: este esquema se basa en la diferencia generada por la

comparación de valores disímiles medidos; esta diferencia se llama señal residual

o síntoma. La mayor ventaja de un enfoque basado en modelos es que no requiere

hardware adicional para realizar la detección de fallas y puede implementarse vía

software, en un proceso controlado por computadora (Chen, 1999).

De estas dos opciones, la redundancia analítica (basada en modelos) ha sido ampliamente

usada en aplicaciones de sistemas industriales, ya que representa, dada la complejidad de

los procesos analizados, un ahorro económico y de recursos durante el proceso de detección

de fallas (Chen, 1999; Simani et al., 2000).

La mayoría de los artículos de revisión bibliográca parecen centrarse en técnicas de

diagnóstico basadas en el modelo (ver Fig. 1.5.1), la tarea consiste en un proceso técnico

que incluye actuadores, componentes y sensores con base en la medición de las variables

de entrada y salida disponibles.

El procedimiento para evaluar la consistencia del sistema mediante modelos matemáticos

puede dividirse en los siguientes pasos (Isermann, 2004):

Generación de residuos: consiste en obtener señales que contienen información

únicamente de las fallas, dichas señales se llaman residuos. En el caso ideal, los

residuos son cero cuando no hay fallas y dieren de cero en presencia de fallas.

Se utilizan comúnmente dos enfoques para generar residuos: el primer enfoque

considera residuos de tipo direccional, ya que son denidos de tal manera, que toman

una dirección particular en el espacio de residuos, cuando ocurre una falla; el segundo

enfoque utiliza residuos estructurados, los cuales se generan de tal manera que sean

sensibles a ciertas fallas e insensibles a otro tipo de fallas de poco interés.

Evaluación de residuos: consiste en extraer la información contenida en los residuos

obteniendo síntomas. La evaluación proporciona información especíca de la falla

(tiempo de ocurrencia y elemento afectado).

8


Figura 1.5.1 Esquema FDD basado en modelos.

Decisión: con base en los síntomas obtenidos (que forman la rma de coherencia) se

reliza una comparación con un patrón conocido (rma de referencia) para determinar

si la falla existe o no y sus características.

Las técnicas de generación de residuos basados en modelos son:

Estimación de estados, (Alcorta y Frank, 1997).

Estimación de parámetros (Isermann y Höing, 1996; Isermann, 1997).

Estimación conjunta de estados y de parámetros (Zhang y Jiang, 2008).

Ecuaciones de paridad (Gertler, 1998).

Una clasicación de estas técnicas se presenta a continuación.

Las técnicas de detección y localización de fallas en actuadores basadas en observadores,

bajo el contexto de observadores de entradas desconocidas (del inglés: Unknown Input

9


Figura 1.5.2 Clasicación de métodos FDD basados en modelos (Zhang y Jiang,

2008).

Observers, UIO) (Chen, 1999; Moreno y Dochain, 2008), presentan un enfoque favorable

para la aplicación de técnicas FDD, ya que las fallas del sistema pueden ser consideradas

como entradas desconocidas. La mayoría de los trabajos que tratan sistemas de detección

y localización de fallas utilizando observadores con entradas desconocidas para sistemas

lineales, se encuentran enmarcados en el ámbito de los sistemas lineales invariables en el

tiempo (por sus siglas en inglés: Linear Time Invariant Systems, LTI).

Sistemas LPV

Al modelar procesos industriales, una suposición generalizada es la linealidad del sistema,

sin embargo esta hipótesis sólo es válida para un región restringida en torno a un punto

de operación; estos modelos son a menudo sencillos pero inexactos. Cuando el rango de

operación del proceso es linealizado, la dinámica del sistema no se presenta en forma

completa, una solución a este problema es a través del observadores no lineales bajo

enfoques analíticos como el trabajo presentado por Alcorta y Frank (1997), o bajo enfoques

geométricos como lo propuesto por De Persis y Isidori (2001), donde se requiere un perfecto

10


conocimiento del sistema no lineal. Este requerimiento fue resuelto en algunos casos usando

redes neuronales (Narendra y Balakrishnan, 1995) y lógica difusa (El-Koujok et al., 2008).

Considerar métodos no lineales resulta complejo, por lo que varios autores consideraron

dividir el fenómeno en diferentes regiones de operación, manteniendo el compromiso entre

la precisión en la representación de las características del sistema y la versatilidad de su

implementación (Adam et al., 2003; Bhagwat et al., 2003; Niemann et al., 2007; Chetouani,

2008; Orjuela et al., 2009).

Por otra parte, recientemente, se ha demostrado que una forma de abordar el problema de

las no linealidades de un sistema, es utilizar un enfoque de sistemas lineales de parámetros

variables (por sus siglas en inglés de Linear Parameter Variant, LPV). Esta aproximación

trata de representar el sistema mediante una interpolación de modelos locales que permiten

representar una amplia clase de sistemas cuyo comportamiento es no lineal por naturaleza,

con la ventaja de que se pueden extender las técnicas para sistemas lineales hacia algunas

clases de sistemas no lineales. Así, ciertos problemas de diagnóstico de fallas originalmente

propuestos en el contexto lineal, pueden ser reformulados en términos de sistemas LPV.

La idea de esta aproximación es representar el sistema como una interpolación de simples

modelos locales; para los sistemas LPV, dichas técnicas presentan una buena aproximación

para obtener una estructura politópica, donde el espacio de los parámetros forma un

polítopo que depende de las combinaciones extremas de dichos parámetros. Esta estructura

es un conjunto de modelos lineales programados por una función convexa. Utilizando esta

representación politópica, se han desarrollado diferentes métodos de diagnóstico basados en

observadores politópicos de entradas desconocidas (Akhenak, 2004; Rodrigues y Theillol,

2005; Theillol, 2008).

Sistemas singulares

Una gran cantidad procesos se modelan naturalmente usando sistemas de ecuaciones

diferenciales y algebraicas no lineales, donde las ecuaciones diferenciales explícitas surgen

de la dinámica proveniente de los balances de energía y masa, mientras que las ecuaciones

algebraicas consisten en correlaciones empíricas. Los sistemas singulares (en inglés: singular

systems o descriptor systems) han sido estudiados y aplicados a numerosos casos de

estudio como: la forma general de las ecuaciones resultantes del modelado de sistemas

de larga escala (Luenberger, 1977), controlabilidad, observabilidad, colocación de polos

11


por retroalimentación de estos sistemas (Cobb, 1981, 1983, 1984) y observadores para

sistemas singulares discretos (Dai, 1988).

Sin embargo, en estos trabajos algunos incovenientes no son tratados, especialmente el

problema de diagnóstico de sistemas singulares en presencia de retardos, de entradas

desconocidas y/o incertidumbres.

Existen sistemas industriales que son muy sensibles a pequeños cambios en las entradas y a

la presencia de perturbaciones o entradas desconocidas imposibles de medir, características

que son perjudiciales y difíciles de tratar para el diseño de los observadores, y los

sistemas singulares son una buena herramienta para representarlos, además este hecho

justica la importancia del diseño de observadores para sistemas en presencia de entradas

desconocidas. Muchos sistemas en la práctica pueden ser descritos por modelos singulares,

y estrategias de diagnóstico de fallas en estos pueden basarse en el diseño de observadores

de entradas desconocidas.

Tres enfoques se pueden distinguir para el diseño de observadores no lineales aplicados a

procesos físicos: el primero se basa en una transformación no lineal utilizando el álgebra

de Lie; el segundo se basa en un modelo linealizado, y a pesar de la convergencia local,

este método es ampliamente utilizado en la práctica, en general, da mejores resultados en

condiciones menos restrictivas que el primer enfoque; el tercero trata el problema de diseño

de observadores para una clase de sistemas no lineales que se componen de una parte lineal

y un vector de funciones no lineales, en este enfoque, las condiciones sucientes para la

estabilidad global del observador se establecieron por algunos autores, (Koenig y Mammar,

2001, 2002; Koenig, 2006; Koenig et al., 2008).

La posibilidad de representar el comportamiento de un sistema singular, requiere de ciertas

propiedades de controlabilidad y observabilidad (Campbell et al., 1991); si un sistema

de este tipo puede describir un comportamiento diferente, deben considerarse también

diferentes versiones de controlabilidad y observabilidad. Sin embargo, la descomposición

dinámica/algebraica indica precisamente que la controlabilidad y la observabilidad de cada

una de estas partes se puede tratar por separado. Una de las herramientas para comprobar

la controlabilidad de los sistemas singulares, es la teoría de Lyapunov; la estabilidad de

los puntos de equilibrio en el sentido de Lyapunov en sistemas autónomos singulares, es

equivalente al estudio de la estabilidad de los sistemas clásicos (Rehm, 2004).

En la literatura se han propuesto diferentes tipos de estimadores para sistemas singulares,

a continuación se describen algunos: en el trabajo de Darouach y Boutayeb (1995), se

presenta una metodología para el diseño de observadores de orden completo y de orden

12


reducido para sistemas singulares lineales en tiempo continuo, el algoritmo se valida

mediante datos numéricos.

Darouach et al. (1996) presentan un método para diseñar observadores de orden reducido

para sistemas singulares en tiempo continuo, sujetos a entradas desconocidas y a

perturbaciones; se considera en forma general, algunas condiciones menos restrictivas.

En la publicación de Koenig y Mammar (2002) se presenta una metodología de diseño de

observadores proporcionales-integrales (PI) de orden reducido y de orden completo, para

sistemas singulares con entradas desconocidas, sujetos a variaciones en los parámetros.

Se demuestra la existencia de condiciones de estabilidad generalizadas para este tipo de

observadores, y además, es posible mantener cierta robustez de las estimaciones de las

entradas desconocidas frente a las variaciones de los parámetros y las no linealidades del

sistema, que pueden ser abordadas mediante el establecimiento de valores propios más

grandes; esto no puede lograrse con un observador puramente proporcional.

En el trabajo de Koenig (2006), se presentan dos algoritmos de estimación que son robustos

tanto a los ruidos que pueden presentarse en el proceso como a los ruidos de sensores;

para llevar a cabo este diseño, el primer algoritmo consiste en un observador de entradas

desconocidas que proporciona la estimación de la entrada desconocida como un estado

desacoplado, mientras que el segundo algoritmo es un observador PI que atenúa el impacto

de las perturbaciones. Estos dos observadores tienen en cuenta una distribución normal

de la dinámica del actuador y los ruidos del sensor, esta característica permite que dichos

observadores puedan ser utilizados en tareas de diagnóstico de fallas, ya que proporcionan

información de la dimensión y la dinámica de la entrada desconocida.

Marx y Koenig (2007) proponen un observador de entradas desconocidas para un sistema

Takagi-Sugeno singular, en el cual la determinación de los parámetos del observador se

basa en la solución de desigualdades matriciales lineales (por sus siglas en inglés: Linear

Matrix Inequality, LMI). Los observadores propuestos se diseñan para los casos continuo

y discreto en el tiempo y se usan para desarrollar un sistema de diagnóstico, a través de

un banco de observadores, donde cada uno de ellos considera una falla como una entrada

desconocida.

Sistemas singulares LPV

A pesar de que la idea de unir los sistemas singulares y los sistemas LPV no es nueva,

existen pocos trabajos que tratan de observadores, síntesis de control, estabilización,

13


diagnóstico de fallas y otros temas de control automático para este tipo de sistemas.

Basado en los sistemas singulares LPV, (Rodrigues y Theillol, 2005) presentan un

diagnóstico de fallas para sistemas no lineales a través de multi-modelos, mediante un

observador politópico de entradas desconocidas. El observador politópico realiza una

optimización de las matrices de distribución de los errores de modelado y permite

desarrollar una estrategia de diagnóstico de fallas de un sistema nolineal en un amplio

rango de operación. La estabilidad del observador politópico se garantiza por medio de

asignación de polos, la cual se determina a través de LMI's.

Un método de diagnóstico de fallas para sensores se presenta en Astorga et al. (2009), en

el cual se diseña un observador basado en modelos singulares LPV en tiempo continuo, el

cual realiza la tarea de detección de fallas en todo el rango de operación del sistema. Las

condiciones que garantizan la convergencia y estabilidad del observador se demuestran a

través de un análisis de Lyapunov basado en la formulación de LMI's.

Hamdi et al. (2009) presentan un observador politópico de entradas desconocidas

para sistemas singulares LPV, mediante una representación afín, donde los parámetros

evolucionan en un hipercubo. El observador de entradas desconocidas estima los estados

del sistema aún en la presencia de entradas desconocidas, y se utiliza para la detección,

localización y estimación de fallas en actuadores. La estabilidad del observador politópico

se garantiza por medio de asignación de polos, la cual se determina por LMI's.

En Astorga et al. (2011) se presenta un método de estimación de fallas basado en el

modelo para sistemas singulares LPV discretos, el observador utiliza estados adicionales

que permiten detectar, localizar y estimar la falla de una forma adecuada. Para probar

la estabilidad del observador se realiza una combinación del análisis de Lyapunov con la

estrategia LMI; el esquema de estimación de fallas se realiza a través de datos numéricos.

En la literatura muy pocos resultados se reportan para sistemas singulares LPV con

entradas desconocidas, y en la mayoría de los casos, son sólo para sistemas continuos,

además, en todos los casos no se reportan aplicaciones a sistemas reales, es decir, los

esquemas propuestos son validados únicamente en simulación y propuestos para ejercicios

de tipo académico.

1.6. Organización del documento

El contenido de este documento está dividido en cinco capítulos que se describen a

continuación.

14

1.6. ORGANIZACIÓN DEL DOCUMENTO

En el Capítulo 2 se presentan las generalidades de este trabajo de tesis, algunos conceptos

básicos de los sistemas singulares, los sistemas LPV, además se explica brevemente el

diseño de observadores lineales.

En el Capítulo 3 se presenta una descripción general de las columnas de destilación. Así

mismo se presentan las características físico-químicas y termodinámicas que intervienen en

el proceso de destilación de la mezcla binaria etanol-agua, y se proveen las características

físicas de la planta piloto de destilación. Se propone en este capítulo un modelo singular

LPV para la columna de destilación binaria, utilizando la mezcla etanol-agua; se presenta

también la validación del modelo propuesto vía simulación.

En el Capítulo 4 se presenta primero: con base en el modelo singular LPV propuesto en el

capítulo anterior, se diseña un observador politópico de entradas desconocidas que permite

la estimación simultánea de los estados y las entradas desconocidas.

Posteriormente, usando el observador diseñado se desarrolla un esquema de diagnóstico de

fallas para detectar, localizar y estimar fallas en un actuador, de la columna de destilación.

Luego se presenta la validación del esquema de diagnóstico en simulación con datos reales

de la columna de destilación binaria del CENIDET.

En el Capítulo 5 se presentan las conclusiones obtenidas, de igual manera, se propone un

panorama para trabajos futuros basados en los resultados obtenidos en esta tesis.

Para la mejor comprensión y complementación del trabajo se presenta un apartado de

anexos.

15

Capítulo 2

Sistemas singulares LPV

El objetivo de este capítulo es presentar de manera general la teoría de los sistemas

singulares y sistemas LPV, con base a su análisis, posteriormente se desarrolla un modelo

para una columna de destilación binaria, que integra estos dos tipos de sistemas.

También se establece la teoría de los observadores, en especial los observadores de entradas

desconocidas; con base en su estudio, posteriormente en este trabajo de tesis, se diseña

un estimador de estados para el modelo de la columna de destilación representado de una

forma singular LPV.

2.1. Sistemas singulares

Los sistemas algebro-diferenciales o sistemas singulares se pueden considerar como

una generalización de los sistemas dinámicos lineales. Mientras que en los sistemas

convencionales aparecen sólo relaciones dinámicas, en los sistemas singulares se incluyen

relaciones algebráicas, esto permite la integración de las relaciones estáticas en el modelo.

El modelado de un proceso físico complejo por lo general comienza con la elección de las

variables que permiten describir el sistema, y la elección de las variables que actúan sobre

su evolución. Estas variables, llamadas variables de estado y de control, respectivamente,

se eligen en medida de lo posible para tener un signicado físico (posición, velocidad,

aceleración, temperatura, presión, etc.). Una vez seleccionadas, se unen a través de leyes

que describen el comportamiento del sistema mediante relaciones matemáticas. Estas

relaciones pueden ser de dos tipos: dinámicas (es decir, los cambios relativos a las variables

en el tiempo) o estáticas bajo esta representación se genera un sistema de ecuaciones de

16

2.1. SISTEMAS SINGULARES

la siguiente forma:

0 = f(x(t), x(t), u(t), y(t))

0 = g(x(t), u(t), y(t))(2.1.1)

donde x(t) ∈ Rn es el vector de estados, x(t) es su derivada respecto al tiempo, u(t) ∈ Rm

el vector de control y y(t) ∈ Rp es el vector de la salida medida, f(·) y g(·) son funciones

no lineales continuas e innitamente diferenciables (en inglés conocidas como smooth

functions). Luego de la linealización alrededor de un punto de operación se obtiene:

Ex(t) = Ax(t) +Bu(t)

y(t) = Cx(t)(2.1.2)

Las matrices E, A, B y C son constantes y de dimensiones apropiadas. Las variables de

estado pueden estar asociadas a una relación algebraica, por lo que la matriz E no es

necesariamente diagonal, pero en este trabajo se considera E como una matriz singular.

Ejemplo: circuito eléctrico

El circuito RLC mostrado en la Fig. 2.1.1, es alimentado por el voltaje v(t), tiene 2 mallas,

donde circulan las corrientes i1 e i2 a través de dos resistencias R1 y R2. La carga en el

capacitor C se denota por q(t) y L es una inductancia.

Figura 2.1.1 Un circuito eléctrico.

Se eligen como variables de estado q(t), i1(t) e i2(t). Se obtiene la representación en espacio

de estados, donde la última línea reeja la relación algebraica:

17

CAPÍTULO 2. SISTEMAS SINGULARES LPV

1 0 0

0 L 0

0 0 0

q(t)

i2(t)

i3(t)

=

0 0 11C−R2 0

1C

R1 R1

q(t)

i2(t)

i3(t)

+

0

0

−1

v(t)

y(t) =

[0 1 1

0 1 0

] q(t)

i2(t)

i3(t)

(2.1.3)

Este sistema es singular ya que una matriz no invertible multiplica el vector de estados.

Esa matriz se obtiene al modelar naturalmente el sistema y reeja limitaciones físicas que

son ignoradas en los sistemas normales, lo que podría causar un mal acondicionamiento

de E−1.

2.1.1. Discretización de sistemas singulares

En la literatura existen dos trabajos que presentan métodos para la discretización de

sistemas singulares. En el primer trabajo se resuelve el problema de la discretización

de un sistema singular lineal continuo, considerando la parte nilpotente de la forma de

Kronecker asociada a cierto sistema singular continuo (Rachid, 1995) y se demuestra que

esa discretización es la solución exacta que se obtiene a través de la aproximación de Euler.

El sistema singular discreto se obtiene entonces al realizar una aproximación de primer

orden para las derivadas de dicho sistema.

Se considera un sistema singular continuo descrito por:

Ex = Ax+Bu (2.1.4)

donde x denota la variable del estado y u es la señal de entrada; la matriz E es singular.

El sistema puede ser representado en la forma de Kronecker usando una transformación

adecuada descrita en Dai (1989):

x1 = A1x1 +B1u

Nx2 = x2 +B2u(2.1.5)

donde N es la matriz nilpotente1 con el índice de nilpotencia igual a v. La primera parte

de esta forma de Kronecker, es la dinámica de x1, la cual representa la parte regular del

1Si A es una matriz nilpotente de orden K, AK = 0 por lo tanto det(A)K = 0. En términos generales,cualquier matriz triangular con ceros a lo largo de la diagonal principal es una matriz nilpotente.

18


sistema singular dado (un sistema es regular si det [sE − A] 6= 0). La segunda ecuación

descrita por x2 representa la parte nilpotente del sistema singular. Para resolver la segunda

parte se puede tomar dos direcciones:

1. Aproximar las derivadas de x como:

x =xk+1 − xk

T

donde T es el periodo de muestreo. En este caso, se tiene

Ndxk+1 = xk +Bduk (2.1.6)

donde

Nd = (N + TI)−1N (2.1.7)

Bd = T (N + TI)−1B (2.1.8)

la solución de la discretización esta dada por:

xk = −Bduk −NdBduk+1 − ...−N v−1d Bduk+v−1 (2.1.9)

2. Discretizar la solución continua de la ecuación Nx = x+Bu obteniendo:

x(t) = −Bu(t)−NBu′(t)− ...−N v−1Bu(v−1)(t) (2.1.10)

Al utilizar aproximaciones de primer orden de las derivadas de u, (con t = kT ) es posible

obtener las siguientes expresiones:

u′(t) ' 1

T(uk+1 − uk)

u′′(t) ' 1

T 2(uk+2 − 2uk+1 + uk)

lo que de forma general puede expresarse como:

19


u(n) =1

T 2

uk+n −

(n

1

)uk+n−1 +

(n

2

)uk+n−2 − ...+ (−1)nuk

(2.1.11)

=1

T n

n∑`=0

(−1)`

(n

`

)uk+n−` (2.1.12)

En el segundo trabajo, de acuerdo a Karampetakis (2004), para la discretización de un

sistema singular, es necesario presentar la solución del sistema singular en términos de

la expansión de Laurent de (sE − A)−1. La metodología utilizada es la discretización de

retenedor de orden cero para la entrada del sistema u(t) y una aproximación de primer

orden para las derivadas de u(t).

Para mostrar el método descrito, se considera el siguiente sistema singular:

Ex(t) = Ax(t) +Bu(t) (2.1.13)

donde E es una matriz singular, A ∈ Rn×n, B ∈ Rm×n son matrices conocidas. Se asume

que el sistema es regular, es decir, det[sE −A] 6= 0. Entonces, la matriz solución se puede

expresar mediante una expansión de s como una serie de potencias de la forma:

Φ(s) = (sE − A)−1 = Φ−µsµ−1 + · · ·+ Φ−1s

0 + Φ0s−1 + · · ·+ Φks

k−1 + · · ·

=∞∑

k=−µ

Φk(E,A)s−k−1 (2.1.14)

donde µ es el índice de nilpotencia del haz de matrices (matrix pencil) (sE − A). Las

matrices Φi(E,A) se denen por las relaciones:

EΦk = AΦk−1, k = −µ, . . . ,−2,−1 con Φ−µ−1 = 0 (2.1.15)

EΦ0 − AΦ−1 = In (2.1.16)

Φk = (Φ0A)kΦ0 = Φk−1AΦ0 (k = 1, 2, . . .) (2.1.17)

20


Φ−k = −Φ−k+1EΦ−1 = (−Φ−1E)k−1Φ−1 (k = 2, 3, . . . , µ) (2.1.18)

El sistema de la Ec. (2.1.13) se puede reescribir como:[%In − Φ0A 0

0 In + %Φ−1E

][x1(t)

x2(t)

]=

[Φ0B

Φ−1B

]u(t) (2.1.19)

donde %x(t) = dx(t)/dt.

Al usar la discretización de retenedor de orden cero para la entrada del sistema u(t) y una

aproximación de primer orden para las derivadas de u(t), el sistema singular de tiempo

continuo de la Ec. (2.1.13) se discretiza para obtener el sistema singular en espacio de

estados como sigue:

x1((k + 1)T ) = Ax1(kT ) + B1u(kT )

E1x2((k + 1)T ) = x2(kT ) + B2u(kT )(2.1.20)

x(kT ) =[In In

] [ x1(kT )

x2(kT )

]donde

A = eΦ0AT ; B1 =´ T

0eΦ0Aτdτ(Φ0B)

E1 = (Φ−1E − T × In)−1Φ−1E ; B2 = T (Φ−1E − T × In)−1Φ−1B

Demostración:

Si se aplica la discretización de retenedor de orden cero para el primer subsistema de la

Ec. (2.1.19).

x(t) = [Φ0A]x1(t) + [Φ0B]u(t) (2.1.21)

se obtiene

x1((k + 1)T ) = Ax1(kT ) + B1u(kT ) (2.1.22)

A = eΦ0AT ; B1 =´ T

0eΦ0Aτdτ(Φ0B)

Ahora considerando el segundo subsistema de la Ec. (2.1.19)

21


[Φ−1E]x2(t) = −x2(t) + [Φ−1B]u(t) (2.1.23)

su solución es:

x2(t) = Φ−1u(t) + Φ−2u(1)(t) + · · ·+ Φ−µu

(µ−1)(t) (2.1.24)

utilizando aproximaciones de primer orden se obtienen las derivadas de la entrada u(t):

u(1)(kT ) ' 1T

(u((k + 1)T )− u(kT ))

u(2)(kT ) ' 1T 2 (u((k + 2)T )− 2u((k + 1)T ) + u(kT ))

· · ·

u(i)(kT ) = 1T i

i∑`=0

(−1)`

(i

`

)u((k + 1)T )

(2.1.25)

Sin embargo, de acuerdo a (Rachid, 1995), esta discretización lleva al mismo sistema

discreto que se obtiene al aplicar la conocida aproximación de Euler:

x2(t) =x2((k + 1)T )− x2(kT )

T(2.1.26)

lo que da lugar al sistema discreto:

E1x2((k + 1)T ) = x2(kT ) + B2u(kT ) (2.1.27)

E1 = (Φ−1E − T × In)−1Φ−1E ; B2 = T (Φ−1E − T × In)−1Φ−1B (2.1.28)

Finalmente, la solución del sistema descrito por la Ec. (2.1.13) está dado por la solución

de los dos subsistemas, x1 y x2.

x(kT ) =[In In

] [ x1(kT )

x2(kT )

](2.1.29)

22

2.2. SISTEMAS LPV

2.2. Sistemas LPV

Los sistemas lineales de parámetros variables (LPV) pertenecen a una clase general de

sistemas lineales variables en el tiempo Briat (2008). La principal diferencia entre ellos

es que la dependencia en el tiempo se encuentra oculta en los parámetros. Así como

la evolución de los coecientes variables en el tiempo se conocen a priori (por ejemplo:

sen(t)), la evolución en el tiempo de los parámetros puede ser desconocida. A continuación

se muestra la expresión generalizada de un sistema LPV:

x(t) = A(ρ(t))x(t) +B(ρ(t))u(t) + E(ρ(t))w(t)

z(t) = C(ρ(t))x(t) +D(ρ(t))u(t) + F (ρ(t))w(t)

y(t) = Cy(ρ(t))x(t) + Fy(ρ(t))w(t)

(2.2.1)

donde x ∈ X ⊂ Rn×n, u ∈ U ⊂ Rm, w ∈ W ⊂ Rp, z ∈ Z ⊂ Rq y y ∈ Y ⊂ Rt

son respectivamente los estados del sistema, la entrada de control, la entrada exógena, la

salida de control y la salida medida; (ρ) representan los parámetros del sistema variable

en el tiempo y A, B, C, D, E y F son matrices conocidas de dimensiones apropiadas.

Se asume que los parámetros ρ(t) pertenecen al conjunto compacto Ω expresado de la

siguiente manera :

Ω =ρ(t) : ρi ≤ ρi(t) ≤ ρi ∀i = 1, 2, ..., l

⊂ Rl (2.2.2)

El modelo descrito por la Ec. (2.2.1) evoluciona en función de una trayectoria paramétrica

admisible, por lo cual, cada uno de los puntos pertenece en todo instante de tiempo al

conjunto compacto Ω ⊂ Rl, es decir, el vector de parámetros satisface en todo momento

la siguiente condición:

ρ(t) ∈ Ω =ρ(t) : ρi ≤ ρi(t) ≤ ρi ∀i = 1, 2, ..., l

⊂ Rl (2.2.3)

donde ρi y ρi son las cotas inferior y superior, respectivamente, del parámetro ρi(t).

En los sistemas LPV se asume que:

Los parámetros ρ(t) son medibles ∀t ≥ 0,

Cada parámetro ρi(t) varía en un rango con valores extremos conocidos.

El gran interés de los sistemas LPV, es que con ellos se puede modelar una amplia variedad,

de sistemas no lineales a sistemas LPV.

23


Representación de los sistemas LPV

Entre la gran variedad de sistemas LPV, es posible determinar tres tipos principales de

sistemas LPV basado en la dependencia de sus parámetros:

Sistemas anes y multi-anes

Sistemas polinomiales

Sistemas racionales

2.2.1. Formulación politópica

De acuerdo a Briat (2008) un sistema LPV politópico es descrito por la siguiente expresión:

x = A(ρ(t))x(t) + E(ρ(t))w(t)

z(t) = C(ρ(t))x(t) + F (ρ(t))w(t)(2.2.4)

donde

[A(ρ) E(ρ)

C(ρ) F (ρ)

]=

M∑i=1

εi(t)

[Ai Ei

Ci Fi

](2.2.5)

donde x ∈ X ⊂ Rn× n,w ∈ W ⊂ Rp, z ∈ Z ⊂ Rq y son respectivamente los estados

del sistema, la entrada exógena y la salida de control; donde A(·), ..., E(·) son matrices

conocidas relacionadas con vector de parámetros.

Donde εi representa las funciones de ponderación que dependen de la trayectoria del

parámetro en el polítopo. Dichas funciones εi deben cumplir con las siguientes condiciones:

M∑i=1

εi(ρ(t)) = 1, εi(ρ(t)) ≥ 0 (2.2.6)

Suponiendo que la variación de los rangos de cada parámetro ρi se encuentran en el

intervalo [ρi, ρi] ∈ Ω, el vector de parámetros ρ(t) = [ρ1(t), ..., ρN(t)] varía en una caja de

parámetros con 2N vértices, donde (µ1, ..., µM) son las esquinas de la caja de parámetros,

como se representa en la Fig. 2.2.1.

El término politópico proviene del hecho de que el sistema de matrices S(ρ) evoluciona

sobre un conjunto convexo:

24

2.2. SISTEMAS LPV

Figura 2.2.1 Mapeo de una caja de parámetros a un polítopo.

S(ρ) ∈ Co S1, ..., SM :=

M∑i=1

εiSi :M∑i=1

εi(ρ(t)) = 1 , εi(ρ(t)) ≥ 0

donde S1, ..., SM son los vértices del polítopo.

La estabilidad de los sistemas politópicos se puede caracterizar en términos de la

estabilidad de los sistemas que se encuentran en los vértices del polítopo. También es

de importancia notar que los sistemas anes y multi-anes se pueden representar a través

de esta formulación politópica.

2.2.2. Formulación dependiente del parámetro

Esta formulación es adecuada para sistemas polinomiales pero se puede usar para cualquier

tipo de sistemas LPV (Briat, 2008).

x = A(ρ)x(t) (2.2.7)

donde

A(ρ) = A0 +∑i

Aiραi

con αi =[α1i · · ·αNi

]y ραi = ρ

α1i

1 ρα2i

2 · · · ραNiN , en este tipo de sistemas se presenta una

dependencia polinomial de los parámetros.

25


2.2.3. Formulación por una Transformación Fraccional Lineal

Figure 2.2.2 Diagrama representativo de la transformación LFT.

La última formulación para sistemas LPV se denomina LFT (por sus siglas en inglés:

Linear Fractional Transformation). La idea de esta representación es dividir el sistema en

dos partes como se ilustra en la Fig. 2.2.2, de un lado se tienen los parametros variables

y por otro lado, las constantes, los cuales se analizan por separado, donde la función que

depende el parámetro variable se encuentra localizada en el sistema superior.

Por ejemplo, considere el siguiente sistema LPV descrito por la Ec. (2.2.7) el cual se puede

reescribir como una interconección de dos sistemas de la forma:

x(t) = Ax(t) +Bw(t)

z(t) = Cx(t) +Dw(t)

w(t) = Θ(ρ)z(t)

(2.2.8)

donde las matrices A, B, C, D son constantes de dimensiones adecuadas.

De la Ec. (2.2.8) se tiene que:

w(t) = Θ(ρ)z(t)

= Θ(ρ)(Cx(t) +Dw(t))(2.2.9)

si se asume que Θ(ρ)TΘ(t) ≤ I signica que los parametros ρ pertenecen al hipercubo

[−1, 1]p donde p es el número de parámetros. Entonces, es posible obtener la siguiente

relación:

26

2.2. SISTEMAS LPV

(I −Θ(ρ)D)w(t) = Θ(ρ)Cx(t) (2.2.10)

Entonces si la matriz (I −Θ(ρ)D) es no singular para todo ρ ∈ [−1, 1]p, se obtiene

w(t) = (I −Θ(ρ)D)−1Θ(ρ)Cx(t) (2.2.11)

y

x(t) = A+B(I −Θ(ρ)D)−1Θ(ρ)C (2.2.12)

entonces

A(ρ) = A+B(I −Θ(ρ)D)−1Θ(ρ)C

= A+BΘ(ρ)(I −DΘ(ρ))−1C(2.2.13)

Ejemplo 2. Péndulo invertido

Figura 2.2.3 Péndulo invertido de dos eslabones.

Esta aplicación fue desarrollada por Kajiwara et al. (1999), donde el modelo es dado en

forma LPV usando el método de transformación de variables. El péndulo está constituido

por dos brazos que realizan un movimiento en el plano vértical como se describe en la Fig.

2.2.3. El modelo LPV está descrito por el siguiente sistema de ecuaciones:

27


d

dt

z

z

rx

φ1

= A(ρ)

z

z

rx

φ1

+

0

0

0Ka

Ta

u (2.2.14)

con

A(ρ) =

0 1 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 − 1Ta

+3

4`2

g

0

1

0

0

[

1 0 −1 0]

+ ρ

0

0

1

0

[

0 0 0 1]

donde φ1 es el ángulo del primer brazo, φ2+φ1 es el ángulo del segundo brazo (con respecto

al piso), ry = 2`1sin(φ1), rx = 2`1cos(φ1), `1 es la mitad de la longitud del primer brazo, `2

es la mitad de la longitud del segundo brazo , g es la aceleración gravitacional, el parámetro

ρ = ry, Ka, Ta son parámetros constantes del actuador y z := rx43`2φ2 representa el cambio

de variable usado para formular el modelo como un sistema LPV. Es un sistema politópico

ya que el parámetro ry varía en un hipercubo, donde los vértices son las longitudes máxima

y mínima que puede alcanzar el brazo.

2.3. Observador de entradas desconocidas

Denición:

Un observador de estados: es un dispositivo (o un programa de computador) que es capaz

de reconstruir o estimar los estados y variables de interés de un proceso, a partir de las

mediciones físicas de las entradas y salidas de este mismo, en la Fig. 2.3.1 se presenta una

representación general.

Entonces, si el observador de estado recibe todas las variables de estado del sistema, sin

importar si algunas estás disponibles para una medición directa, se denomina observador

de orden completo.

Un observador que estima menos de n (donde n es la dimensión del vector de estados)

variables de estado se denomina observador de estado de orden reducido. Si dicho

observador tiene el orden mínimo posible, se denomina observador de orden mínimo.

28

2.3. OBSERVADOR DE ENTRADAS DESCONOCIDAS

Figura 2.3.1 Esquema general de un observador de estados.

La ecuación dinámica que describe un sistema en el cual se añade una perturbación

desconocida aditiva se presenta como:

x(t) = Ax(t) +Bu(t) + Ed(t)

y = Cx(t)(2.3.1)

donde x(t) ∈ Rn es el vector de estados, y(t) ∈ Rm es el vector de salida, u(t) ∈ Rr es

un vector de la entrada conocida y d(t) ∈ Rq es el vector de la entrada desconocida (o

perturbación). Las matrices A, B, C y E son matrices de dimensiones apropiadas (Chen,

1999).

Denición:

Un observador de entradas desconocidas (en inglés: Unknown Input Observer, UIO), es

denido como un observador para el sistema denotado en la Ec. (2.3.1), si el vector de error

de la estimación de estados e(t) = x − x tiende a cero asintóticamente, aún en presencia

de una entrada desconocida (perturbación) en el sistema.

La estructura de un observador de orden completo es:

z(t) = Fz(t) + TBu(t) +Ky(t)

x(t) = z(t) +Hy(t)(2.3.2)

donde x ∈ Rn es el vector de estados estimado y z ∈ Rn es el estado de este observador,

y F , T , K, H son matrices las cuales se diseñan para desacoplar la entrada desconocida y

otros requerimentos de diseño.

El observador descrito por la Ec. (2.3.2) se ilustra en el esquema de la Fig. 2.3.2.

29


Figura 2.3.2 Estructura de un observador de entradas desconocidas de orden completo.

Cuando el observador de la Ec. (2.3.2) se aplica al sistema de la Ec. (2.3.1), la estimación

del error (e(t) = x(t)− x(t)) se presenta a continuación:

e(t) = (A−HCA−K1C) e(t) + [F − (A−HCA−K1C)] z(t)

+ [K2 − (A−HCA−K1C)H] y(t)

+ [T − (I −HC)]Bu(t) + (HC − I)Ed(t)

(2.3.3)

donde

K = K1 +K2 (2.3.4)

si se logra que las siguientes condiciones se cumplan:

(HC − I)E = 0 (2.3.5)

T = I −HC (2.3.6)

F = A−HCA−K1C (2.3.7)

K2 = FH (2.3.8)

entonces la ecuación dinámica del error es:

30

2.4. CONCLUSIONES

e(t) = Fe(t) (2.3.9)

Si todos los eigenvalores de F son estables, e(t) se aproximará a cero asintóticamente.

Las condiciones necesarias y sucientes para que el sistema en Ec. (2.3.2) sea un UIO para

el sistema denido en Ec. (2.3.1) son:

1. rank(CE) = rank(E)

2. (C,A1) es un par detectable, donde

A1 = A− E[(CE)TCE

]−1(CE)TCA (2.3.10)

Se debe notar que el número de las independientes en la matriz C no debe ser menor al

número independiente de columnas en E para satisfacer la condición 1, esto signica, que

el número máximo de perturbaciones que podrán ser desacopladas no puede ser mayor que

el número independiente de las medidas disponibles del sistema. También es interesante

notar que el observador en la Ec. (2.3.2) es un simple observador Luenberger si se considera

T = I y H = 0, cuando E = 0 (es decir, cuando no existen entradas desconocidas en el

sistema).

2.4. Conclusiones

Una gran cantidad de procesos se modela naturalmente usando sistemas de ecuaciones

diferenciales y algebraicas; las diferenciales surgen de manera explícita de la dinámica

proveniente de los balances de masa y energía, entre otros, mientras que las ecuaciones

algebraicas provienen de correlaciones empíricas del sistema.

A diferencia de los sistemas lineales continuos, la discretización de los sistemas singulares,

se realiza con una metodología, que utiliza algunas transformaciones para encontrar el

modelo discreto del sistema singular.

Existen diferentes formulaciones para modelar un sistema LPV. Los cuales permiten

representar una amplia clase de sistemas cuyo comportamiento es no lineal por naturaleza.

Una ventaja que presentan los observadores de entradas desconocidas, es que pueden

desacoplar la estimación de los estados de las entradas desconocidas, generando así residuos

robustos que pueden ser aplicados en esquemas de diagnóstico de fallas. Una de las

31


desventajas que presentan este tipo de observadores es que las matrices involucradas deben

ser conocidas de manera precisa.

En este capítulo se presentaron los conceptos básicos de los sistemas singulares, los sistemas

LPV y también la estructura de un observador de entradas desconocidas.

32

Capítulo 3

Modelo singular LPV de una columna

de destilación

El objetivo de este capítulo es presentar la teoría referente a las columnas de destilación

binarias, las características físico-químicas que intervienen en el proceso; también se

proveen las características físicas de la planta piloto de destilación.

Con el análisis de la teoría del modelado de columnas de destilación, se desarrolla un

modelo singular LPV. Así mismo, se realiza su validación en simulación de datos reales de

la planta piloto de destilación.

A pesar de que las columnas de destilación se han empleado durante siglos en procesos

industriales, en la actualidad se continuan efectuando diversas investigaciones que tienen

como nalidad la comprensión de su dinámica y los factores que afectan su operación, lo

cual reeja la complejidad del sistema.

Existen varias aproximaciones referentes a modelos de columnas de destilación en trabajos

como los de Lévine y Rouchon (1991); Skogestad (1997); Linhart y Skogestad (2009).

Dejando de lado las características especícas de cada columna, los modelos pueden

establecerse en dos grupos:

Modelos simplicados: consideran al condensador y/o hervidor como platos del

cuerpo de la columna.

Modelos completos: consideran al condensador y/o hervidor con comportamientos

especícos y por lo tanto diferentes a los platos del cuerpo de la columna.

Un modelo simplicado proporciona información menos dedigna del comportamiento real

33

CAPÍTULO 3. MODELO SINGULAR LPV DE UNA COLUMNA DE DESTILACIÓN

de la columna de destilación, por lo cual es conveniente considerar un modelo completo

que reeje la dinámica del sistema de manera más adecuada.

Para el desarrollo de este trabajo es indispensable contar con un análisis adecuado de

la dinámica del proceso para obtener un modelo matemático que permita representar

adecuadamente la operación de la columna de destilación binaria.

3.1. Descripción general de la planta

Una columna de destilación consta de N − 2 platos, un condensador y un hervidor (ver

Fig. 3.1.1). Se etiqueta al condensador con el número 1, al hervidor con el número N , y

los platos intermedios son numerados ascendentemente del condensador al hervidor. La

alimentación es depositada en el plato número f , conocido como plato de alimentación

(Luyben, 1996).

Figura 3.1.1 Esquema general de una columna de destilación.

La energía para que la columna funcione es proporcionada a través de una resistencia

calefactora que se ubica en el hervidor, lo que causa la evaporación de parte del líquido

34

3.1. DESCRIPCIÓN GENERAL DE LA PLANTA

que se encuentra en él. La corriente de vapor, conforme asciende por la torre, se enriquece

en el componente más volátil; esta corriente de vapor se condensa en la parte superior de

la columna y, una parte de ese líquido condensado se regresa (por acción del reujo) y otra

parte se extrae del acumulador como producto destilado.

La corriente del líquido que ingresa por el reujo desciende por gravedad y se va

enriqueciendo con el componente más pesado (que asciende en forma de vapor). Este

proceso de enriquecimiento y empobrecimiento se lleva acabo en las etapas sucesivas de la

columna.

Durante el proceso de destilación se ponen en contacto el vapor y el líquido. El vapor es

generado al calentar el residuo o fondo,B, que se encuentra en el tanque del hervidor y el

líquido se genera con el retorno a la columna de parte del producto destilado, D, éstas son

las mezclas más pobres y más ricas, respectivamente, del componente más volátil.

A la zona superior al plato de alimentación se le conoce como zona de enriquecimiento o

recticación; en dicha zona, la pureza de la fracción molar líquida del componente ligero

se incrementa. La zona de empobrecimiento o agotamiento se encuentra debajo del plato

de alimentación, y es donde se realiza la transferencia a un gas (componente ligero) de los

componentes volátiles de una mezcla líquida (etanol-agua).

A cada etapa de la columna le corresponde un grado de pureza de los elementos y la

variable que mide esta propiedad física se le conoce como fracción molar. Las expresiones

matemáticas que describen los procesos de destilación son derivados de balances de materia

y de energía.

El condensador esta localizado en la parte superior de la columna de destilación, su función

es enfriar el vapor que llega del cuerpo de la columna, condensándolo hasta llegar a su

fase líquida. En esta parte de la columna se establece el reujo, donde todo o parte del

líquido condensado se regresa al cuerpo de la columna para permitir el equilibrio de fases

(Ver Fig. 3.1.2).

El hervidor, está localizado en la parte inferior de la columna, y para la planta piloto de

destilación se puede ver como dos tanques interconectados entre sí. En el tanque pequeño

se calienta la mezcla mediante una resistencia calefactora, mientras que en el tanque grande

se mantiene la mezcla a destilar. Al nalizar la destilación, el producto de fondo puede

extraerse manipulando una válvula manual ubicada en la parte inferior del tanque (Ver

Fig. 3.1.3).

El cuerpo de la columna de destilación está compuesto por diez platos perforados (Ver Fig.

3.1.4), donde es posible el paso de los ujos de líquido y vapor en cada uno de ellos. Para

35


Figura 3.1.2 Condensador de la planta piloto de destilación.

Figura 3.1.3 Hervidor de la planta piloto de destilación.

alimentar la columna se puede elegir entre los platos 7 y 9 que cuentan con un arreglo de

válvulas de entrada, que permiten el ingreso de la mezcla de alimentación.

3.2. Modelo de la columna de destilación binaria

Los observadores se basan en modelos matemáticos del sistema, por lo anterior, es

imprescindible contar con un modelo adecuado para la planta piloto de destilación binaria.

El modelo no lineal elegido es, por sus características, el que presentan en los trabajos de

Aguilera (2008); Téllez (2010).

El modelo matemático debe representar el comportamiento dinámico del proceso real,

36

3.2. MODELO DE LA COLUMNA DE DESTILACIÓN BINARIA

Figura 3.1.4 Cuerpo de la columna de destilación.

debe llegarse a un compromiso entre la exactitud en el planteamiento del modelo y la

simplicidad de su implementación para tareas de estimación de variables no medibles.

Este modelo se basa en la existencia de ujos molares de líquido y vapor, internos y

externos, que varían en cada plato. Las composiciones del producto de fondo y del producto

destilado se estiman usando el modelo dinámico basado en los balances de materia y

componente. El modelo corresponde a una columna de destilación continua alimentada con

una mezcla binaria de etanol-agua y describe los fenómenos físico-químicos que involucra

un proceso de destilación en una columna de platos perforados. El modelo termodinámico

del proceso de destilación por lo general se especica en términos de ecuaciones que

denen el equilibrio líquido-vapor de los componentes de la mezcla; entonces, es posible

establecer un modelo matemático en términos del balance global de materia y del balance

de componente para un determinado conjunto de variables de estado.

Para llevar a cabo la operación de destilación, es necesario disponer de datos del equilibrio

líquido-vapor o de correlaciones para poder estimarlos adecuadamente, en la mayoría de

los casos estas relaciones son funciones no lineales de la temperatura, la presión y la

composición.

3.2.1. Simplicaciones sobre el modelo

Para el desarrollo del modelo termodinámico se establecen las siguientes simplicaciones

en las diferentes etapas de la columna:

37


Condensador

Se considera el condensador total.

Cuerpo de la columna

No hay pérdidas de calor, la columna es adiabática.

La fase líquida y vapor que abandonan el plato se encuentran en equilibrio

termodinámico.

El cambio de presión en la columna es despreciable.

No se considera acumulación de vapor a lo largo del sistema.

La volatilidad relativa (α) depende de la temperatura. Entonces la constante

de equilibrio Ki de un componente dentro de la mezcla, varía de acuerdo a la

composición.

La alimentación de la mezcla se realiza en un único plato.

En la alimentación, se considera total pureza de los componentes (etanol y agua).

La alimentación ingresa como líquido saturado, es decir (qF = 1), se contempla la

posibilidad de una vaporización parcial o total de ésta.

La alimentación tiene la temperatura del plato en el cual se introduce.

Hervidor

No hay pérdidas de calor al ambiente.

La ebullición ocurre en un solo tanque.

Se considera que en todo momento el hervidor es capaz de suministrar el calor

requerido para la destilación.

Es importante mencionar que un modelo más completo comprende ecuaciones más

complejas, complicando el diseño de un observador o de un controlador basado en el

modelo, perdiendo así simplicidad y ganando un poco en cuanto estimación y control de

38


las variables (Luyben, 1996; Skogestad, 1997); sin embargo, considerar las simplicaciones

anteriores permite llegar a un modelo que representa adecuadamente el sistema, y es ideal

para el desarrollo de estimadores basados en el modelo.

El modelo de la columna se subdivide en tres modelos básicos, que representan: un plato

cualquiera, el condensador y el hervidor. Aplicando el concepto de estado en equilibrio y

el principio de conservación de la materia, se realiza el balance de materia.

También es aplicado el balance del componente, que debe cumplir que la rápidez a la que se

forman los moles de un componente, es igual a la cantidad de moles de dicho componente

que entran al sistema, menos la cantidad de moles que salen, más la cantidad de moles

producidos por reacciones químicas dentro del proceso.

Modelo del condensador (plato 1)

Balance global de materia

dM1

dt= V2 − L1 −D (3.2.1)

Balance global del componente

dM1(x1)

dt= V2y2 − L1x1 −Dx1 (3.2.2)

Balance global de energía

dM1(h1)

dt= V2H2 − L1h1 −Dh1 (3.2.3)

Donde h y H son las entalpías de las fases líquida y de vapor, respectivamente.

Modelo de un plato cualquiera (p)


dMp

dt= Vp+1 − Vp + Lp−1 − Lp + δ(p)F (3.2.4)


dMp(xp)

dt= Vp+1yp+1 − Vpyp − Lpxp + Lp−1xp−1 + δ(p)FxF (3.2.5)

39


Balance de energía

dMp(hp)

dt= Vp+1Hp+1 − VpHp − Lphp + Lp−1hp−1 + δ(p)FhF (3.2.6)

donde

δ(p) =

0 cuando p 6= f

1 cuando p = f

Modelo del hervidor (n)


dMn

dt= Ln−1 − Vn −B (3.2.7)


dMn(xn)

dt= Vn(xn − yn)− Ln−1(xn−1 − xn)−Bxn (3.2.8)

Balance global de energía

dMn(hn)

dt= VnHn − Ln−1hn−1 −Bhn (3.2.9)

3.2.2. Modelo termodinámico

Equilibrio líquido-vapor

Si un vapor y un líquido están en íntimo contacto por un largo periodo de tiempo, se

alcanza el equilibrio entre las dos fases. Esto signica que no existe ningún ujo de calor,

ni de masa ni de momentum entre las dos fases.

El equilibrio líquido-vapor es clave en la etapa de la construcción del modelo de la columna

de destilación, además es una importante herramienta para la correlación y predicción de

las propiedades termodinámicas y del comportamiento de fases de la mezcla. A través de

la información experimental de dicho comportamiento es posible seleccionar y validar el

método de predicción de las propiedades termodinámicas, que posteriormente se utilizarán

en la construcción de los mapas de curvas de equilibrio.

40


La ventaja de la puricación de las sustancias por destilación depende de una medida

numérica que es conocida como el factor de separación entre los componentes de una

mezcla, también llamada volatilidad relativa, por lo cual, las mezclas con puntos de

ebullición próximos son más difíciles de separar por destilación. Por lo tanto, es preciso

conocer las propiedades termodinámicas de la mezcla para calcular la constante de

equilibrio. Las mezclas se clasican de acuerdo a sus propiedades termodinámicas, en

ideales y no ideales. Una mezcla es ideal cuando cumple con las siguientes leyes:

Ley de Raoult: establece que la presión de vapor de un componente de una mezcla es

proporcional a la fracción molar líquida de dicho componente y a la presión de vapor del

componente puro.

P sati = PTxi (3.2.10)

Ley de Dalton: establece que la presión parcial de un componente en una mezcla de gases

es proporcional a la fracción molar de dicho componente y a la presión total del sistema.

P sati = PTyi (3.2.11)

Para la mezcla etanol-agua, la fase líquida es no ideal, es decir, los dos materiales forman

una mezcla que hierve constante y se recogen a veces juntos aunque tengan diferentes

puntos de ebullición, debido a que los componentes de la mezcla considerada forman un

azeótropo.

Un azeótropo es una mezcla líquida cuyo vapor tiene exactamente la misma composición

que el líquido, y que hierve por eso a una temperatura y presión constantes. La mezcla

azeotrópica formada por el etanol y el agua tiene un punto de ebullición de 78.2°C, inferior

al punto de ebullición del agua (100°C) y la del alcohol (78.3°C), de ahí que se llame mezcla

de punto de ebullición mínimo.

Para efectos de las no linealidades de sistemas químicos a baja presión y a través de la ley

de Raoult para la fase líquida ideal, la ecuación que representa la composición molar de

vapor en función del componente ligero es:

ypPT = P sati xpγi (3.2.12)

41


Presiones y temperaturas

La presión de vapor de cada uno de los componentes (i = 1 para etanol e i = 2 para

el agua), que está en función de la temperatura es modelada por la ecuación de Antoine

(Perry, 1999):

In(P sati ) = Ai +

(Bi

T + Ci

)donde Ai, Bi y Ci son los coecientes de Antoine dados para cada componente en las

temperaturas de operación de 20 a 93°C en el etanol y de 1 a 100°C en el agua.

La relación de equilibrio entre las fases líquida y de vapor es representada por una constante

Ki, conocida como constante de equilibrio que se dene como:

Ki =yixi

=γi f

L

φiPT(3.2.13)

El coeciente de actividad γi es un factor de corrección altamente dependiente de la

concentración. Uno de los métodos para determinar este coeciente en cada uno de los

componentes de la mezcla, es con el uso de la ecuación de Van Laar:

Inγ1 = A12

(A21x2

A12x1 + A21x2

)2

Inγ2 = A21

(A12x1

A12x1 + A21x2

)2

donde A12 y A21 son parámetros de interacción constantes establecidos para mezclas

binarias. El valor de estas constantes para la mezcla en estudio se encuentran en Perry

(1999).

Las constantes de Van Laar de interación binaria de la mezcla etanol-agua son A12 = 1,6798

y A21 = 0,9227.

En este modelo se supone al vapor ideal pero al líquido no, con esta información es posible

encontrar la relación líquido-vapor de la mezcla etanol-agua.

La temperatura en cada plato se calcula a partir del punto de burbuja. La temperatura

de burbuja es aquella temperatura que está en equilibrio con una composición del líquido

conocida a una determinada presión también conocida.

Por lo anterior, en cada plato, el algoritmo de cálculo itera sobre la temperatura hasta

42


que la suma de las composiciones de la fase vapor de un plato p cualquiera, sea igual a la

unidad:

∑Kixi = 1

Calidad de la alimentación

La calidad del ujo de alimentación qF , también llamada grado de vaporización, indica en

qué fase se encuentra un componente en la etapa de alimentación:

qF = 1 +[(zFCp1) + ((1− zF )Cp2)] (Tb − Tf )

HvapEtOHzF +Hvap

H2O(1− zF )

Se considera que la alimentación ingresa a una temperatura Tb, la cual es la temperatura

a la cual se encuentra en el plato de alimentación en el instante en que la mezcla ingresa

en él, es decir, cuando el sistema ya se encuentra en estado estable. Esta temperatura es

hallada a partir del cálculo de temperaturas en el punto de burbuja.

El cálculo del punto de burbuja es un algoritmo que determina el equilibrio líquido-

vapor de las N etapas de la columna de destilación (platos), utilizando las fracciones

molares de vapor y la temperatura respectiva de cada componente a una presión constante

(760mmHg). Dicho algoritmo que itera sobre la temperatura hasta que la suma de las

fracciones molares de vapor calculadas, sea igual a la unidad. En la Fig. 3.2.1 se muestra

el diagrama de ujo de este algoritmo.

En relación a las condiciones térmicas de la alimentación, el grado de vaporización puede

asumir los valores mostrados en la Tabla 3.2.1.

Tabla 3.2.1 Factor de calidad de la alimentación

Valor Grado de vaporización

qF < 0 Vapor sobrecalentadoqF = 0 Alimentación en el punto de ebullición

0 < qF < 1 Alimentación de líquido y vaporqF = 1 Alimentación en el punto de rocíoqF > 1 Alimentación subenfriada

43


Figura 3.2.1 Diagrama de ujo para el cálculo del punto de burbuja (Aguilera, 2008).

Tasas de ujos molares

En la columna de destilación uyen principalmente seis tasas molares de líquido y vapor

(VS, VR, LS, LR, B y D), internas y externas, las cuales varían en cada estado. Los

subíndices S y R corresponden a las etapas de agotamiento y recticación, respectivamente.

El ujo de vapor es dividido en dos, VS y VR, dependiendo de la etapa a la que corresponda:

VS =60 ∗QB

HvapEOHxB +Hvap

H2O(1− xB)

VR = VS + (1− qF )F

Las tasas de ujo molar líquido se calculan de igual forma:

LR = (1−R)VR

44


LS = LR + qFF

La tasa de ujo del destilado D es calculada a partir del balance de materia en el

condensador y la tasa de ujo del producto de fondo B se calcula a partir del balance

de materia en el hervidor:

D = VR − LRB = (F −D)

Reujo

El reujo R, se considera como un porcentaje variable, que reeja la cantidad volumétrica

de producto destilado que sale de la columna y, por ende, del reujo que regresa al cuerpo

de ésta. Esta cantidad se obtiene de la relación entre el tiempo en que la válvula de reujo

está abierta y el que permanece cerrada (una modulación de la señal del reujo en función

del tiempo) (Téllez, 2010).

Retención de masas molares

La retención de masa en el hervidor, en cada plato y el condensador para este modelo no

es considerada constante, debido a que en la base de la columna llega el líquido procedente

del plato superior y el vapor de agua del plato inferior (Ver Fig. 3.2.2). Esta retención es

determinada a partir del análisis del principio de conservación de la masa dado el balance

global de materia (Aguilera, 2008).

Se deben considerar unas condiciones iniciales de masa en cada etapa y se calculan como

sigue:

La masa molar retenida en el hervidor, MB es calculada a partir del volumen de mezcla

que se encuentra en el tanque del hervidor, (3.6 L) una vez alcanzado el estado estable, y

del peso molecular del componente pesado (se asume agua pura en el hervidor). Entonces

la retención está determinada por la siguiente ecuación Murray (2003):

MB = 3,6L

(1000cm3

1L

)(1g

cm3

)(0,95mol

18,016g

)= 189,83moles (3.2.14)

Para el cálculo de la masa retenida en los platos, es necesario considerar la geometría de

los mismos. La retención en cada uno de ellos se calcula apartir del volumen de mezcla

45


Figura 3.2.2 Retención de masa molar en un plato de la columna.

que permanece en ellos (16.5 ml aprox.), cuando el sistema alcanza su estado de operación

estable. Se asume que se mantiene constante un porcentaje de etanol en cada plato (22%)1.

Estos valores se consideran aproximados ya que no es posible medirlos en la práctica.

Mp = 0,0165L

(1000cm3

1L

)(0,81g

cm3

)[0,78

(1mol

18,016g

)+ 0,22

(1mol

46,07g

)](3.2.15)

Mp = 0,64moles

La masa molar retenida en el condensador, MD también es calculada a partir del

volumen de líquido que permanece en él. Sin embargo, este volumen no puede ser medido

experimentalmente en la columna de destilación del CENIDET por lo que se asume es de

10 ml. También se asume hay etanol puro en el condensador:

MD = 0,01L×(

1000cm3

1L

)×(

0,78g

cm3

)[0,85×

(1mol

46,07g

)]= 0,135moles (3.2.16)

3.2.3. Estructura triangular del modelo

El modelo de la columna de destilación binaria que se considera es el modelo clásico

LV (líquido-vapor) descrito por diferentes autores como Cingara y Jovanovic (1990)

1Valores aproximados, los datos de referencia son tomados de Murray (2003).

46

3.3. MODELO SINGULAR LPV

y Skogestad (1997). Teniendo en cuenta las ecuaciones que describen el balance por

componente en cada una de las etapas de la columna y que fueron descritas an la sección

3.2.1, el modelo LV queda descrito por el siguiente conjunto de ecuaciones:

d(M1x1)dt

= V (y2 − x1)d(Mpxp)

dt= V (yp+1 − yp) + L(xp−1 − xp) (p = 2, ..., f − 1)

d(Mfxf )

dt= V (yf+1 − yf ) + L(xf−1 − xf ) + F (zF − xf ) (p = f)

d(Mpxp)

dt= (F + L)(xp−1 − xp) + V (yp+1 − yp) (p = f + 1, ..., N − 1)

d(MNxN )dt

= (F + L)(xN−1 − xN)− V yN −BxN(3.2.17)

x1 = f1(u, x1, x2)

x2 = f2(u, x1, x2, x3)...

xp−1 = fp−1(u, x1, ..., xp)

xp = fp(u, x1, ..., xp)

y = x1

(3.2.18)

Como se aprecia en la Ec. (3.2.18), la estructura triangular se forma de la dependencia

de un estado, con respecto a los estados anteriores. Este modelo planteado por Hammouri

y Targui (2002) es muy útil en el proceso de la columna de destilación binaria ya que

es factible considerar las no linealidades del sistema a través de una transformación de

coordenadas que permite llevarlo a una forma canónica observable.

3.3. Modelo singular LPV

3.3.1. Obtención del modelo LPV de la columna

El procedimiento para obtener el modelo LPV de un sistema se basa en la siguiente

metodología:

1. Denir un modelo no lineal, que represente la dinámica del sistema.

2. Denir los parámetros variables del sistema.

47


3. Elección de la estructura del modelo LPV de acuerdo a la dependencia de los

parámetros. Se decide la formulación que se ocupa para la obtención del modelo

LPV.

4. Según su formulación, se dene un conjunto de modelos candidatos, los cuales

actuarán como fronteras del modelo LPV.

5. Linealizar el sistema mediante la expansión de Taylor truncada a primer orden del

modelo no lineal. Para el caso de sistemas multivariables, obtener el jacobiano del

sistema.

6. Evaluar los modelos candidatos en las trayectorias deseadas de los parámetros.

Los pasos siguientes varían de acuerdo a la formulación elegida.

La metodología descrita anteriormente se aplica para la obtención del modelo LPV de la

columna de destilación.

1. Denir un modelo no lineal, que represente la dinámica del sistema. El modelo no lineal

elegido para la columna de destilación es un modelo reducido del sistema descrito en la

Ec. (3.2.17) que se presenta en la sección 3.2 de este trabajo.

2. Denir los parámetros variables del sistema.

Los parámetros variables son L y V obtenidos como:

V = QB

HvapEOHx5+Hvap

H2O(1−x5)

, L = (1−R)V (3.3.1)

La condición necesaria para los sistemas LPV es que los parámetros ρ(t) sean medibles

∀t ≥ 0. En el caso de la columna de destilación de CENIDET no es posible medir los

parámetros físicamente, pero los observadores implementados en la estación de monitoreo,

permiten obtener la estimación de V y L en tiempo real.

3. Elección de la estructura del modelo LPV de acuerdo a la dependencia de los parámetros.

Se decide la formulación que se ocupa para la obtención del modelo LPV.

Se elige la formulación politópica, ya que la dependencia de los parámetros es lineal.

4. Según su formulación, se dene un conjunto de modelos candidatos, los cuales actuarán

como fronteras del modelo LPV.

Para determinar los modelos candidatos que actuarán como vértices del polítopo, es

necesario, conocer el sistema no lineal en todo su rango de operación, para denir una

región en la cual el sistema LPV será válido.

48


En el caso de la columna de destilación, se encuentra congurada en LV, esta conguración

implica que los ujos externos L y V son las variables de control, sus variaciones dependen

de la potencia calefactora añadida al hervidor (Qb) y a la apertura de la válvula de reujo

por la cual se obtiene el destilado (D). El rango de operación de la columna de destilación

en este trabajo es del 10%-100% . El 10% es el punto de operación mínimo de la columna

y se presenta cuando el valor de la potencia calefactora es del 10%, es decir, 250 Watts;

y la apertura de la válvula de reujo es 1. El punto de operación máximo del 100%, se

presenta cuando el valor de la potencia calefactora es 100%, es decir, 2500 Watts; y la

apertura de la válvula de reujo es 0, conocido como reujo total.

Se considera como mínimo de 10% por que el calor proporcionado por la resistencia

calefactora, es apenas, el suciente para comenzar a calentar la mezcla. Si se considera

comenzar desde el 0%, no se podría comprobar la estabilidad del modelo candidato para

ese punto de operación.

Considerando que el rango de operación de la columna de 10% al 100%, entonces el vector

de parámetros ρ(t) varía de acuerdo a L = ρ1(t) ∈[0, 1.5524] y V = ρ2(t) ∈[0.15524,1.5524].

Los modelos candidatos elegidos se ilustran en la Fig. 3.3.1. Son cuatro, los cuales se

determinan a través de las combinaciones extremas de los parámetros.

Figura 3.3.1 Caja de parámetros de la columna de destilación binaria.

5. Linealizar el sistema mediante la expansión de Taylor truncada a primer orden del

modelo no lineal. Para el caso de sistemas multivariables, obtener el jacobiano del sistema.

49


La columna de destilación es un sistema multivariable, por lo cual es necesario obtener su

jacobiano. El cual se obtiene de la siguiente forma:

Partiendo de las ecuaciones no lineales de la columna de destilación descritas en la Ec.

(3.2.17) se asume un control de nivel para el producto destilado y del producto de fondo; a

este tipo de condiciones se le denomina conguración Líquido-Vapor (LV). De esta manera,

sólo es necesario el balance global de componente para el cálculo de las fracciones molares

del componente ligero para cada plato de la columna. Suponiendo las masas molares

líquidas constantes es decir, dMi

dt= Mi se obtiene el siguiente sistema:

M1x1 = V (y2 − x1)

Mpxp = V (yp+1 − yp) + L(xp−1 − xp) (p = 2, ..., f − 1)

Mf xf = V (yf+1 − yf ) + L(xf−1 − xf ) + F (zF − xf ) (p = f)

Mpxp = (F + L)(xp−1 − xp) + V (yp+1 − yp) (p = f + 1, ..., N − 1)

MN xN = (F + L)(xN−1 − xN)− V yN −BxN(3.3.2)

x1 = f1(u, x1, x2)

x2 = f2(u, x1, x2, x3)...

xp−1 = fp−1(u, x1, ..., xp)

˙xN = fN(u, x1, ..., xN)

donde las matrices del jacobiano se obtienen de acuerdo a:

A(t) =

∂f1∂x1

∂f1∂x2

. . . ∂f1∂xN

∂f2∂x1

∂f2∂x2

· · · ∂f2∂xN

......

......

∂fN∂x1

∂fN∂x2

· · · ∂fN∂xN

B =

∂f1∂u1

∂f1∂u2

∂f2∂u1

∂f2∂u2

......

∂fN∂u1

∂fN∂u2

(3.3.3)

Se obtiene el modelo lineal de la forma:

Midx

dt= Ax+Bu

6. Evaluar el modelo linealizado en los vértices del polítopo. Las matrices asociadas de la

evaluación del modelo lineal se presentan en el apéndice E.

50


Para el caso de los sistemas politópicos es necesario funciones de ponderación, las cuales

ponderan a los modelos vértice y determinan el aporte de cada uno de ellos para generar

el modelo global.

Las funciones de ponderación para el modelo LPV del caso de estudio se determinan de

acuerdo a Hamdi et al. (2009) :

ε1(ρ) =

(ρ1 − ρ1

ρ1 − ρ1

)(ρ2 − ρ2

ρ2 − ρ2

)(3.3.4)

ε2(ρ) =

(ρ1 − ρ1

ρ1 − ρ1

)(ρ2 − ρ2

ρ2 − ρ2

)

ε3(ρ) =

(ρ1 − ρ1

ρ1 − ρ1

)(ρ2 − ρ2

ρ2 − ρ2

)

ε4(ρ) =

(ρ1 − ρ1

ρ1 − ρ1

)(ρ2 − ρ2

ρ2 − ρ2

)donde

L = ρ1 ∈[ρ1, ρ1

]:= [0, 1,5524] (3.3.5)

V = ρ2 ∈[ρ2, ρ2

]:= [0,15524, 1,5524] (3.3.6)

3.3.2. Obtención del modelo singular de la columna

En esta sección se construye un modelo simplicado de la columna de destilación, para el

desarrollo de este modelo de orden reducido, se elige, el que presenta Linhart y Skogestad

(2009).

Por razones físicas, el comportamiento de cada plato es similar al de cualquier otro,

el tiempo de residencia en un plato intermedio es mucho más corto que el tiempo de

residencia en un conjunto de platos (Lévine y Rouchon, 1991). Esto permite que se pueda

fraccionar la columna en un determinado número de secciones de platos consecutivos

(llamados compartimentos), lo que da un modelo alternativo a los modelos presentados

por Skogestad (1997); Cingara y Jovanovic (1990).

Sin embargo, según (Linhart y Skogestad, 2009) esta reducción se puede obtener sin la

noción de los compartimentos. Para la aplicación del método a un modelo completo, es

51


suciente con seleccionar algunos platos como secciones de agregación, y asignarles los

valores de las masas retenidas, mientras que todos los demás platos se modelan como

platos en estado estable al colocar en su lado izquierdo cero, es decir, son modelados

usando ecuaciones algebraicas. De esta manera, el método original propuesto por Lévine y

Rouchon (1991) ahora se puede generalizar a modelos más complejos que incluyen balances

de masa y energía.

La separación de la escala de tiempo, permite que la dinámica del compartimento se

aproxime a las ecuaciones diferenciales de un plato representativo, cuya masa retenida es

igual a la masa retenida total en todo el compartimento (Bian, 2005).

El modelo de orden reducido que se obtiene, es un sistema algebro-diferencial, de la forma:

M1x1 = V k(x2)− V x1

0 = Lxj−1 + V k(xj+1)− Lxj − V k(xj) j = 2, ..., r − 1

Mrxr = Lxr−1 + V k(xr+1)− Lxr − V k(xr)0 = Lxj−1 + V k(xj+1)− Lxj − V k(xj) j = r + 1, ..., jf − 1

Mjf xjf = Lxjf−1 + V k(xjf+1)− (L+ F )xjf − V k(xjf ) + Fzf0 = (L+ F )xj−1 + V k(xj+1)− (L+ F )xj − V k(xj) j = jf + 1, ..., s− 1

Msxs = (L+ F )xs−1 + V k(xs+1)− (L+ F )xs − V k(xs)0 = (L+ F )xj−1 + V k(xj+1)− (L+ F )xj − V k(xj) j = s+ 1, ..., N − 1

MN xN = (L+ F )xN−1 − (L+ F − V )xN − V k(xN)

donde

M1 = M1 Mr =

jr∑2

Mj Mjf =

js−1∑jr+1

Mj

Ms =N−1∑js

Mj MN = MN

Se asume un control de nivel para el producto destilado y del producto de fondo; a este

tipo de condiciones se le denomina conguración Líquido-Vapor (LV). De esta manera,

sólo es necesario el balance global de componente para el cálculo de las fracciones molares

del componente ligero para cada plato de la columna.

Por razones de simplicidad el modelo propuesto para este trabajo corresponde a una

columna de destilación de 5 platos alimentada con una mezcla binaria de etanol-agua

(ver. Fig. 3.3.2).

52


Figura 3.3.2 Columna de destilación de 5 platos.

Para el caso de una columna de destilación de 5 platos, se considera un modelo agregado de

3 compartimentos como se muestra en la Fig. 3.3.3 (a), los platos externos 1 y 5 permanecen

sin cambios; los otros platos se agregan en un plato representativo. El plato de agregación

se le asigna el valor total de la suma de las masas retenidas de todo el compartimento. De

esta manera, se consideran 3 ecuaciones diferenciales correspondientes: al condensador, el

plato de alimentación y al hervidor; y 2 ecuaciones algebraicas para los platos restantes

que fueron modelados como platos en estado estable al colocar en su lado izquierdo cero.

Así se construye un modelo combinado de orden reducido.

Éste sistema de 3 compartimentos puede representarse como:

Ex(t) = Ax(t) +Bu(t) +Gd(t) (3.3.7)

donde

x =

x1

x2

x3

x4

x5

u =

(L

V

)d =

(F

zF

)(3.3.8)

53


(a) (b)

Figura 3.3.3 En (a) esquema de un modelo de 3 compartimentos, en (b) modelo

obtenido.

A =

−V V K

′2 0 0 0

L −L− V K ′2 V K′3 0 0

0 L −(L+ F )− V K ′3 V K′4 0

0 0 (L+ F ) −(L+ F )− V K ′4 V K′5

0 0 0 (L+ F ) −(L+ F − V )− V K ′5

(3.3.9)

B =

0 0

x1 − x2 y3 − y2

x2 − x3 y4 − y3

x3 − x4 y5 − y4

x4 − x5 x5 − y5

G =

0 0

0 0

zF − x3 F

x3 − x4 0

x4 − x5 0

E =

M1 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 M2 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 M3

M1 = M1, M2 =N−1∑

2

Mj, M3 = MN j = 2, ..., N − 1

(3.3.10)

Esta representación del sistema, se conoce como un sistema singular (Dai, 1989).

54


3.3.3. Obtención del modelo singular LPV

Un sistema LPV depende explícitamente de un vector de parámetros variable en el tiempo

ρ(t) que puede medirse en tiempo real (Teppa, 2008). El mismo es descrito para todo t ≥ 0

por la ecuación:

x(t) = A(ρ(t))x(t) +B(ρ(t))u(t) (3.3.11)

Tal modelo permite tomar en cuenta las variaciones paramétricas de un sistema dinámico.

El modelo de la columna de destilación se puede representar como se muestra a

continuación :

Edx

dt= A∆x+B∆u

Edx

dt=

−V V K

′2 0 0 0

L −L− V K ′2 V K′3 0 0

0 L −L− V K ′3 V K′4 0

0 0 L −L− V K ′4 V K′5

0 0 0 L −L− V − V K ′5

x1

x2

x3

x4

x5

+

0 0

x1 − x2 y3 − y2

x2 − x3 y4 − y3

x3 − x4 y5 − y4

x4 − x5 x5 − y5

(L

V

)

(3.3.12)

con

K′i = α

(1+(α−1)xi)2, V = QB

HvapEOHx5+Hvap

H2O(1−x5)

, yi = K′ixi L = (1−R)V

Donde la matriz E fue dada en la Ec. (3.3.10). L = ρ1(t) y V = ρ2(t), son los parámetros

de la matriz A, sin embargo estos parámetros son funciones de los estados y la señal de

entrada. Es cuando surge el término quasi-LPV. En la forma clásica LPV (Ec. 3.3.11),

el vector de parámetros ρ depende explícitamente de la variable de tiempo solamente.

55


Entonces, la representación quasi-LPV de un sistema es diferente de la forma clásica LPV

ya que los parámetros ρ ahora son funciones de los estados y la entrada (Anca et al., 2010).

La representación quasi-LPV de un sistema es:

x = A(x, u)x+B(x, u)u (3.3.13)

Así que el modelo de la columna de destilación descrito en la Ec. (3.3.12) se puede

representar en forma singular quasi-LPV:

Ex(t) = A(ρ(x(t), u(t)))x(t) +B(x(t))u(t) (3.3.14)

Este sistema se puede representar de forma politópica:

Ex(t) =M∑i=1

εi(ρ(t))(Aix(t) +Biu(t)) (3.3.15)

Este polítopo tiene 4 vértices correspondientes a los valores extremos de los parámetros.

3.4. Validación del modelo propuesto

Para validar el modelo, se emplea el modelo singular LPV obtenido de la columna de

destilación descrito por la Ec. (3.3.15).

El objetivo de esta simulación es validar el modelo singular LPV politópico de la columna

de destilación mediante el cálculo de las composiciones líquidas del componente ligero de

una mezcla binaria (etanol-agua), a partir de las temperaturas disponibles en el cuerpo de

la columna.

La metodología de la simulación consiste en: especicar las características de la planta

piloto de destilación, las características de la mezcla a emplear y las entradas que se usan

en la simulación y, nalmente, obtener datos de concentración calculados por el modelo

para tales especicaciones.

Desarrollo de la simulación

Características de la planta. El modelo de la planta consta de 5 etapas (un condensador,

tres platos y un hervidor). Se consideran dos mediciones de temperatura disponibles

56

3.4. VALIDACIÓN DEL MODELO PROPUESTO

ubicados en los platos: 2 y 4.

Características de la mezcla y entradas utilizadas. La mezcla empleada es etanol-

agua, considerada no ideal (azeotrópica). Las características de estos componentes, los

parámetros iniciales y las entradas del proceso empleadas en la simulación se presentan en

el Anexo D.

Cálculo de los datos de concentración. La validación del modelo se efectúa usando datos

experimentales de la plata piloto de destilación, para ello se consideran la especicaciones

de mezcla, las características físicas de la planta y entradas denidas anteriormente.

El modelo utiliza las mediciones de temperatura para calcular las composiciones líquidas

del componente ligero mediante la relación de equilibrio líquido-vapor en que se basa. La

validación del modelo dado por la Ec. (3.3.15) se realiza empleando Matlab.

Resultados obtenidos

La Fig. 3.4.1(a) muestra los resultados obtenidos en los platos 1, 3 y 5, se eligen éstos

platos ya que son los más representativos de cada sección (condensador, alimentación y

hervidor). Se observa que tiene una diferencia al inicio, hasta llegar al estado estable. Para

validar el desempeño del modelo ante la presencia de cambio de entradas, se aplica la

apertura de la válvula de reujo a los 170 minutos durante 10 minutos, lo que provoca

una disminución en la concentración en todos los platos. La Fig. 3.4.1(b) muestra el IAE

para los tres platos considerados.

Figura 3.4.1 En (a) la comparación del modelo no lineal y el modelo singular LPV

continuo, en (b) el IAE.

57


Conclusiones de la simulación. Los resultados obtenidos permiten concluir que el modelo

propuesto presenta una respuesta que cumple satisfactoriamente con las condiciones

necesarias para ser utilizado en el diseño de observadores.

3.5. Conclusiones

En este capítulo se describieron las características físicas de una planta de destilación y

se estudió el comportamiento del sistema; a partir de esta información se establecieron

simplicaciones generales en cada una de las etapas que conforman la columna.

Se incluye el modelo matemático que contiene un conjunto de ecuaciones diferenciales que

establecen el balance global de materia y el balance de componente en cada etapa de la

columna. Por la dinámica propia del sistema, el modelo se presenta en una estructura

triangular, lo que facilita su uso en tareas de estimación de variables.

Se presenta el desarrollo para la obtención del modelo singular LPV de la columna de

destilación binaria, así como su validación mediante simulación de datos reales obtenidos

de la columna de destilación del CENIDET.

58

Capítulo 4

Esquema de diagnóstico de fallas

El objetivo de este capítulo es presentar la formulación de los observadores politópicos

de sistemas singulares LPV para la detección, localización y estimación de fallas en un

actuador de la columna de destilación binaria.

Se presenta el diseño de un esquema de diagnóstico de fallas basado en un observador

politópico de entradas desconocidas discreto especializado para detectar, localizar y

estimar las fallas en uno de los actuadores de la columna, el cual reconstruye las

concentraciones a partir de temperaturas medidas de los sensores que recorren el cuerpo

de la columna de destilación y, además reconstruye simultáneamente el vector de falla. Se

presenta su validación en simulación con datos reales de la columna de destilación binaria

del CENIDET.

4.1. Observador para sistemas singulares LPV continuo

En general, un observador estima los estados de un sistema a partir de mediciones reales

de algunas de sus variables físicas. En diagnóstico de fallas un observador puede funcionar

como un modelo paralelo al sistema real, produciéndose desviaciones en las señales de

error cuando existe una falla en el sistema real. Un observador continuo para sistemas

singulares LPV se presenta en Darouach y Boutayeb (1995); Astorga et al. (2009). El cual

considera un sistema singular LPV de la forma:

Ex(t) = A(ρ(t))x(t) +B(ρ(t))u(t) (4.1.1)

59

CAPÍTULO 4. ESQUEMA DE DIAGNÓSTICO DE FALLAS

y(t) = Cx(t)

En este caso el sistema (4.1.1), puede ser escrito como:

Ex(t) =M∑i=1

εi(ρ(t))(Aix(t) +Biu(t)) (4.1.2)

y(t) = Cx(t)

con,

M∑i=1

εi(ρ(t)) = 1 , εi(ρ(t)) ≥ 0 (4.1.3)

donde x(t) ∈ Rn, u(t) ∈ Rm, y(t) ∈ Rw son los vectores de estado, la entrada y la salida,

respectivamente. E ∈ Rq×n, Ai ∈ Rq×n, Bi ∈ Rn×m, C ∈ Rw×n son matrices constantes

con i = 1, ..., M , donde M es el número de funciones de ponderación εi(ρ(t)).

Suponiendo que la variación de los rangos de cada parámetro ρi se encuentran en el

intervalo [ρi, ρi] el vector de parámetros ρ(t) = [ρ1(t), ..., ρN(t)] varía en una caja de

parámetros con 2N vértices donde (µ1, ..., µM) son las esquinas de la caja de parámetros

como se muestra en la Fig. 4.1.1.


El término politópico proviene del hecho de que el sistema de matrices S(ρ) evoluciona

sobre un conjunto convexo denido por:

60

4.1. OBSERVADOR PARA SISTEMAS SINGULARES LPV CONTINUO

S(ρ) ∈ Co S1, ..., SM :=

M∑i=1

εiSi :M∑i=1

εi(ρ(t)) = 1 , εi(ρ(t)) ≥ 0

donde S1, ..., SM son los vértices del polítopo.

Estas funciones de ponderación se calculan de acuerdo a (Hamdi et al., 2009):

ε1(ρ) =

(ρ1 − ρ1

ρ1 − ρ1

)(ρ2 − ρ2

ρ2 − ρ2

)(4.1.4)

ε2(ρ) =

(ρ1 − ρ1

ρ1 − ρ1

)(ρ2 − ρ2

ρ2 − ρ2

)

ε3(ρ) =

(ρ1 − ρ1

ρ1 − ρ1

)(ρ2 − ρ2

ρ2 − ρ2

)

ε4(ρ) =

(ρ1 − ρ1

ρ1 − ρ1

)(ρ2 − ρ2

ρ2 − ρ2

)Las condiciones sucientes para la existencia de un observador para el sistema (4.1.2) son:

C1. rankE = r < n.

C2. rank

(E

C

)= n

Considerando la condición C2, existe una matriz no singular ∆ denida como:

∆ =

(α β

γ ξ

)

tal que,

αE + βC = In (4.1.5)

γE + ξC = 0 (4.1.6)

donde α, β, γ, y ξ son matrices constantes de dimensión apropiada que se obtienen por

la descomposición de valores singulares del conjunto

(E

C

). De acuerdo a Darouach y

Boutayeb (1995), un observador para el sistema de la Ec. (4.1.2) tiene la siguiente forma:

61


z(t) =M∑i=1

εi(ρ(t)) [Niz(t) + L1iy(t) +Giu(t) + L2iy(t)] (4.1.7)

x(t) = z(t) + βy(t) +M∑i=1

εi(ρ(t))Kiξy(t)

Donde z(t) ∈ Rn son los estados del observador. Las entradas del observador son: las

salidas medidas del proceso y(t) y la señal de entrada u(t). Las matrices Ni, L1i, L2i, Gi y

Ki, donde i = 1, ...,M , se deben de determinar, tales que el vector de estados estimados

x(t) ∈ Rn converja asintóticamente a x(t).

El sistema de la Ec. (4.1.7) es un observador para (4.1.2) si se satisfacen las siguientes

condiciones:

Condición suciente: la matriz N(ρ) es estable para todo valor de ρ dentro del

polítopo.

e(t) = N(ρ)e(t) (4.1.8)

Condiciones necesarias: dadas las matrices Ki y L2i, tales que cumplan la condición

suciente, se pueden deducir las matrices N(ρ), G(ρ) y L1(ρ) como:

N(ρ) = K(ρ)γA(ρ) + αA(ρ)− L2(ρ)C

G(ρ) = (α +K(ρ)γ)B(ρ)

L1(ρ) = N(ρ)(β +K(ρ)ξ)

4.1.1. Estabilidad

De acuerdo a Astorga et al. (2009) para garantizar la estabilidad de la Ec. (4.1.8), se

procede como sigue:

Considere la función candidata de Lyapunov V (e(t)) = eT (t)Pe(t) con P = P T > 0. La

derivada con respecto al tiempo de la función de Lyapunov a lo largo de las trayectorias

del sistema es:

62

4.1. OBSERVADOR PARA SISTEMAS SINGULARES LPV CONTINUO

V (e(t)) = eT (t)Pe(t) + eT (t)P eT (4.1.9)

= eT (t)(NT (ρ)P + PN(ρ))e(t)

= eT (t)M∑i=1

εi(ρ(t))(NTi P + PNi)e(t)

Entonces la estabilidad cuadrática del punto de equilibrio del sistema de la Ec. (4.1.8) se

garantiza si

NTi P + PNi < 0 (4.1.10)

Si existe una matriz P simétrica, con la que se cumpla (NTi P + PNi) < 0, ∀ i =

1, ...,M , entonces la desigualdad de la Ec. (4.1.10) existe para cualquier εi(ρ(t)). Como

consecuencia, la desigualdad de la ecuación (4.1.10) se transforma en conjunto de M

desigualdades:

NTi P + PNi < 0 ∀ i = 1, ...,M (4.1.11)

Ni se dene como:

Ni = KiγM∑j=1

εj(ρ(t))Aj + αAi − L2iC ∀ j = 1, ..., M (4.1.12)

Reemplazando Ni de la Ec. (4.1.12) en (4.1.10), se obtiene la siguiente desigualdad

matricial bilineal (del inglés: Bilinear Matrix Inequality, BMI):

ATi αTP +

M∑j=1

εj(ρ(t))ATj γTKT

i P − CTLT2iP + PαAi + PKiγ

M∑j=1

εj(ρ(t))Aj − PL2iC < 0

(4.1.13)

Las condiciones de la BMI de (4.1.13) se pueden transformar en LMI (del inglés: Linear

Matrix Inequality) si se considera Qj = PKj y Ri = PL2i. De esta manera:

63


ATi αTP +

M∑j=1

εj(ρ(t))ATj γTQT

i −CTRTi + PαAi +Qiγ

M∑j=1

εj(ρ(t))Aj −RiC < 0 (4.1.14)

Al multiplicar cada LMI de la Ec. (4.1.14) porM∑i=1

εi(ρ(t)) y sumarlas, se obtiene la

desigualdad:

M∑i=1

εi(ρ(t))M∑j=1

εj(ρ(t))(ATi αTP +ATj γ

TQTi −CTRT

i +PαAi+QiγAj−RiC) < 0 (4.1.15)

Finalmente, si existen matrices P , Qi y Ri apropiadas, entonces la desigualdad de la

Ec.(4.1.15) se cumple y en consecuencia el sistema (4.1.8) es estable.

4.2. Observador politópico para sistemas singulares

LPV discretos

En esta sección se realiza el diseño de un observador de entradas desconocidas (del inglés:

Unknown Input Observer, UIO) para sistemas singulares LPV discretos. Este observador

permite la detección, localización y estimación de fallas en actuadores.

El observador elegido es el que presenta Astorga et al. (2011), donde los autores proponen

un método de diagnóstico de fallas para sistemas singulares LPV en tiempo discreto; el

observador realiza la detección y estimación de fallas en todo el rango de operación del

sistema y puede estimar simultáneamente los estados y los vectores de magnitud de falla,

considerados como entradas desconocidas.

Considerando el siguiente sistema singular LPV politópico discreto, donde los términos k

y k+ 1 se utilizan para simplicar la escritura de kTs y kTs+Ts respectivamente, donde

Ts es el tiempo de muestreo:

Ex(k + 1) =M∑i=1

εi(ρ(k))(Aix(k) +Biu(k)) + Fv(k) (4.2.1)

64

4.2. OBSERVADOR POLITÓPICO PARA SISTEMAS SINGULARES LPVDISCRETOS

y(k) = Cx(k)

donde x(k) ∈ Rn, u(k) ∈ Rq, y(k) ∈ Rp, v(k) ∈ Rd, son el vector de estados, la entrada

medida, la salida medida y el vector de entradas desconocidas el cual puede ser considerado

como un vector de fallas, respectivamente, E ∈ Rm×n, Ai ∈ Rm×n, Bi ∈ Rn×q, C ∈ Rp×n,

F ∈ Rn×d, son matrices constantes, ρ(k) es el parámetro acotado variable en el tiempo, el

cual se asume que es medido en línea y M es el número total de funciones de ponderación

εi(ρ(k)) denidas en la Ec. 4.1.4 y que deben cumplir que:

M∑i=1

εi(ρ(k)) = 1, εi(ρ(k)) ≥ 0 (4.2.2)

Las condiciones sucientes para la existencia de un observador para el sistema de la Ec.

(4.2.1), según Darouach y Boutayeb (1995) son:

(S1) rankE = r < n.

(S2) rank

(E

C

)= n.

La suposición S1, implica que E es una matriz singular. La suposición S2, garantiza la

existencia de una matriz no singular Γ dada por:

Γ =

(α β

γ ξ

)

tal que

αE + βC = In (4.2.3)

γE + ξC = 0 (4.2.4)

donde α, β, γ y ξ son matrices constantes de dimensiones apropiadas tales que pueden ser

obtenidas por la descomposición de valores singulares de

(E

C

).

El siguiente paso consiste en sintetizar un observador discreto para el sistema (4.2.1) tal

que la estimación del error e(k) = x(k)− ˆx(k) converja a cero cuando k →∞. El sistema

(4.2.1) se puede reescribir de la forma:

65


Ex(k + 1) =M∑i=1

εi(ρ(k))(Aix(k) +Biu(k)) (4.2.5)

y(k) = Cx(k)

donde las matrices E, A, B y C están dadas por:

E =

(E −F

0d×n Id

), Ai =

(Ai 0m×d

0d×n Id

), Bi =

(Bi

0d×q

), C =

(C 0p×d

)(4.2.6)

El vector de estados aumentado se forma por las variables de estado y las fallas en el

instante de tiempo precedente

x(k) =

(x(k)

v(k − 1)

)∈ R(m+d)x(n+d) (4.2.7)

es decir,

(E −F

0d×n Id

)(x(k + 1)

v(k)

)=

M∑i=1

εi(ρ(k))

(Ai 0m×d

0d×n Id

)(x(k)

v(k − 1)

)+

(Bi

0d×q

)u(k)

(4.2.8)

De esta manera, las fallas se pueden estimar simultáneamente con las variables de estado;

ahora, el problema consiste en diseñar un observador adecuado para el sistema singular

LPV de la Ec. (4.2.8), para ello, la suposición S2 se convierte en:

(S3) rank

(E

C

)= n+ d.

Considerando S3, entonces existe una matriz no singular Γ:

Γ =

(α β

γ ξ

)(4.2.9)

tal que

66


αE + βC = In+d (4.2.10)

γE + ξC = 0 (4.2.11)

donde ahora, In+d representa la matriz identidad de tamaño (n+ d) donde n es el tamaño

del vector de estados y d es el tamaño del vector de entradas desconocidas. Se considera

entonces, una suposición adicional:

(S4) El par

(αAi,

(γAi

C

))es detectable.

Si se cumplen las suposiciones S3 y S4, según Darouach y Boutayeb (1995), un observador

para el sistema (4.2.1) tiene la siguiente forma:

z(k + 1) =M∑i=1

εi(ρ(k))[Niz(k) + L1iy(k) +Giu(k) + L2iy(k)] (4.2.12)

x(k) = z(k) + βy(k) +Kξy(k)

donde z(k) ∈ Rn+d es el vector de estados del observador. Ni, L1i, L2i, Gi y K, i = 1, ...,M

son matrices constantes de dimensiones apropiadas.

El sistema de la ecuación (4.2.12) se escribe en forma simplicada:

z(k + 1) = N(ρk)z(k) + L1(ρk)y(k) +G(ρk)u(k) + L2(ρk)y(k) (4.2.13)


El error del observador e(k) ∈ Rn+d se dene como:

e(k) = x(k)− x(k) (4.2.14)

e(k) = x(k)− [z(k) + βy(k) +Kξy(k)] = x(k)− z(k)− βy(k)−Kξy(k)

Utilizando las ecuaciones (4.2.10) y (4.2.11)

e(k) = x(k)−z(k)−(In−αE)x(k)−K(−γE)x(k) = x(k)−z(k)−x(k)+αEx(k)+KγEx(k)

67


e(k) = αEx(k) +KγEx(k)− z(k) = (α +Kγ)Ex(k)− z(k)

Obteniendo la derivada del error

e(k + 1) = (α +Kγ)Ex(k + 1)− z(k + 1)

Luego de algunas manipulaciones algebraicas, se obtiene la siguiente ecuación de la

derivada del error:

e(k + 1) = [(α +Kγ)A(ρk)−N(ρk)(α +Kγ)E − L1(ρk)C − L2(ρk)C]x(k)] (4.2.15)

+[(α +Kγ)B(ρk)−G(ρk)]u(k)−N(ρk)[(α +Kγ)Ex(k)− z(k)]

Se puede apreciar en la Ec. (4.2.15) que si se cumplen las siguientes condiciones

G(ρk) = (α +Kγ)B(ρk) (4.2.16)

L1(ρk) = N(ρk)(β +Kξ) (4.2.17)

N(ρk) = KγA(ρk) + αA(ρk)− L2(ρk)C (4.2.18)

entonces (4.2.15) se reduce a

e(k + 1) = N(ρk)e(k) (4.2.19)

Sustituyendo N(ρk) en (4.2.19)

e(k + 1) =M∑i=1

εi(ρ(k))[KγAi + αAi − L2iC]e(k)

=M∑i=1

εi(ρ(k))[αAi + (K − L2i)

(γAi

C

)]e(k)

La ecuación (4.2.19) se reescribe como:

68


e(k + 1) =M∑i=1

εi(ρ(k))(Ai + KiCi)e(k) (4.2.20)

donde Ai = αAi, Ki = (K − L2i) y Ci =

(γAi

C

).

A continuación se demuestra la estabilidad y convergencia de la dinámica del error dado

en la ecuación (4.2.20), de acuerdo a Astorga et al. (2011).

Teorema. Considerando las suposiciones S3-S4, el sistema (4.2.13) es un observador

estable para el sistema (4.2.5) si existen matrices simétricas denidas positivasHi, matrices

no singulares Ji, y matrices L2i, i = 1, ...,M y K tales que:

JTi + Ji NTi JTi

Ni Hj 0

Ji 0 H−1i

> 0 (4.2.21)

∀i = 1, ...,M, j = 1, ...,M donde Ni = KγAiGi + αAiGi − L2iCGi.

La demostración de este teorema se describe a continuación.

Demostración:

Considere la siguiente función de Lyapunov dependiente del parámetro (del inglés:

Parameter Dependent Lyapunov Function, PDLF)

V (e(k), ε(ρ(k))) = eT (k)P (ρk)e(k) (4.2.22)

donde

P (ρk) =M∑i=1

εi(ρ(k))Pi (4.2.23)

Pi son matrices simétricas constantes denidas positivas. De acuerdo al teorema de

estabilidad de Lyapunov, esta PDLF debe satisfacer:

4V (k) = V (k + 1)− V (k) (4.2.24)

= eT (k)[NT (ρk)P (ρk+1)N(ρk)− P (ρk)]e(k) ≤ 0

Se observa que la función 4V (k) es denida negativa si

69


NT (ρk)P (ρk+1)N(ρk)− P (ρk) < 0 (4.2.25)

Utilizando la siguiente notación para P (ρk+1):

P (ρk+1) =M∑i=1

εi(ρ(k + 1))Pi =M∑j=1

εj(ρ(k))Pj (4.2.26)

Al sustituir (4.2.23) y (4.2.26) en (4.2.25), se garantiza que (4.2.25) es denida negativa

si (Daafouz y Bernussou, 2001):

NTi PjNi − Pi < 0, ∀i = 1, ...,M, j = 1, ...,M. (4.2.27)

Los autores en Daafouz y Bernussou (2001) han demostrado que la estabilidad poli-

cuadrática del sistema e(k+1) = N(ρk)e(k) (lo cual asegura la estabilidad del observador)

se garantiza sí y sólo sí existen matrices simétricas denidas positivas Hi, y matrices

Ψi, i = 1, ...,M , de dimensiones apropiadas, tales que

(Ψi + ΨT

i −Hi ΨTi N

Ti

NiΨi Hj

)> 0 (4.2.28)

∀i = 1, ...,M, j = 1, ...,M , con

P (ρk) =M∑i=1

εi(ρ(k))H−1i (4.2.29)

Es importante notar de las ecuaciones (4.2.23), (4.2.26) y (4.2.29) que Hi = P−1i y

Hj = P−1j . De esta manera, es viable solucionar la desigualdad en (4.2.27) al solucionar la

desigualdad en (4.2.28). En este caso, la Ec. (4.2.24) es una secuencia denida negativa y

decreciente.

Reemplazando Ni de la ecuación (4.2.18) en (4.2.28):

(Ψi + ΨT

i −Hi (KγAiΨi + αAiΨi − L2iCΨi)T

KγAiΨi + αAiΨi − L2iCΨi Hj

)> 0 (4.2.30)

∀i = 1, ...,M, j = 1, ...,M . Se aprecia que el problema principal para resolver la

desigualdad en (4.2.30) es el término bilineal KγAiΨi, donde K y Ψi son matrices

70


desconocidas. Suponiendo que Ψi es no singular, la ecuación denida positiva en (4.2.28)

es equivalente a la siguiente matriz congruente1 denida positiva (Daafouz y Bernussou,

2001):

((Ψ−1

i )T 0

0 I

)(Ψi + ΨT

i −Hi ΨTi N

Ti

NiΨi Hj

)(Ψ−1i 0

0 I

)> 0 (4.2.31)

Reduciendo términos

((Ψ−1

i )T 0

0 I

)(Ψ−1i (Ψi + ΨT

i −Hi) ΨTi N

Ti

Ψ−1i NiΨi Hj

)> 0

((Ψ−1

i )T (Ψi + ΨTi −Hi)Ψ

−1i (Ψ−1

i )TNTi ΨT

i

Ψ−1i NiΨi Hj

)> 0

con (ΨTi )−1 = (Ψ−1

i )T y (Ψ−1i )TΨT

i = I, se tiene que:

((Ψ−1

i )T + Ψ−1i − (Ψ−1

i )THiΨ−1i NT

i

Ni Hj

)> 0 (4.2.32)

De acuerdo a Gill et al. (1987), la ecuación (4.1.15) es el complemento de Schur de la

siguiente matriz denida positiva:

JTi + Ji NTi JTi

Ni Hj 0

Ji 0 H−1i

> 0 (4.2.33)

con Ji = Ψ−1i .

La desigualdad en (4.2.21), implica que HjH−1i = I cuando i = j, o simplemente HiPi = I,

donde Pi = H−1j . Así, la desigualdad (4.2.21) se escribe como:

1Dos matrices reales A y B se llaman congruentes si hay una matriz regular real P tal que:

PTAP = B

71


JTi + Ji NTi JTi

Ni Hj 0

Ji 0 Pi

> 0, HiPi = I (4.2.34)

La viabilidad de la LMI(Hi I

I Pi

)≥ 0, Hi > 0; Pi > 0 i = 1, ...,M

implica que Tr(HiPi) ≥ n, donde la igualdad Tr(HiPi) = n se cumple sí y sólo sí HiPi = I

, donde Tr es la traza. En Gao et al. (2005), se introducen las siguientes matrices

H = diag (H1, ..., HM) (4.2.35)

P =diag (P1, ..., PM) (4.2.36)

(H I

I P

)≥ 0, H > 0; P > 0

implica que la Tr(HP) ≥ nM , donde la igualdad Tr(HP) = nM se cumple si y solo si

HP = I. De esta manera, el problema para una solución a la Ec. (4.2.34) es equivalente a

resolver el siguiente problema de minimización:

min Tr(HP) sujeto a

JTi + Ji NTi JTi

Ni Hj 0

Ji 0 Pi

> 0

(H I

I P

)> 0

H > 0

P > 0

(4.2.37)

∀i = 1, ...,M, j = 1, ...,M . Antes de continuar, se presenta la siguiente notación: H [k] se

utiliza para denotar el k-ésimo elemento de la secuencia de matrices H [0], H [1],..., H [kopt].

Se propone utilizar el algoritmo del cono complementario para transformar el problema

de la bilinealidad dada en la Ec. (4.2.37) por un problema lineal de la forma (Gao et al.,

2005):

72


min Tr(H[k−1]P[k] + P[k−1]H[k]) sujeto a

(J[k]i )T + J

[k]i (N

[k]i )T (J

[k]i )T

N[k]i H

[k]j 0

J[k]i 0 P

[k]i

> 0

(H[k] I

I P[k]

)> 0

H[k] > 0

P[k] > 0

(4.2.38)

para k = 1, ..., kopt, y para encontrar los valores recursivos de H = H[kopt], P = P[kopt],

Ji = J[kopt]i , Ni = N

[kopt]i , donde kopt representa el número de la iteración donde la secuencia

converge a Tr(H[k−1]P[k] + P[k−1]H[k] = 2nM o equivalente min Tr(HP) = nM , en otras

palabras Tr(H[k−1]i P

[k]i + P

[k−1]i H

[k]i ) = 2n o equivalente a min Tr(HiPi) = n.

Se considera un valor lo bastante pequeño para detener el criterio ε > 0, con el propósito

de reducir el tiempo de convergencia del algoritmo, por ejemplo, una vez que el valor de

Tr(H[k]P[k]) < nM + ε, se detiene el algoritmo.

Las matrices iniciales H[0] y P[0], se obtienen al realizar el cálculo en un punto inicial viable

para la solución de las LMI's

(J[0]i )T + J

[0]i (N

[0]i )T (J

[0]i )T

N[0]i H

[0]j 0

J[0]i 0 P

[0]i

> 0

(H[0] I

I P[0]

)> 0

H[0] > 0

P[0] > 0

(4.2.39)

4.2.1. Diseño de la ganancia del observador basado en la

colocación de polos

El observador debe generar una estimación adecuada de los estados y de las entradas

desconocidas. Como se propone en Kim et al. (1996), para asegurar la adecuada colocación

73


de polos de las matrices Ni, i = 1, ..., n, se toma en cuenta la siguiente desigualdad en

lugar de la que se muestra en la Ec. (4.2.27):

(Ni − λiI)TPj(Ni − λiI)− δ2i Pi < 0, ∀i = 1, ...,M, j = 1, ...,M (4.2.40)

Al hacer esto, los polos de la matriz Ni se asignan en un disco D(λi, δi) denido por el

radio δi > 0 y el número real λi ∈ R tal que δi ≤ 1 − |λi|, ∀i = 1, ...,M . Los parámetros

asociados a la región del disco se eligen del comportamiento dinámico del sistema nominal

para estabilizar y garantizar la estimación eciente de los estados (Ver apéndice B).

De esta manera la Ec. (4.2.33) se reescribe como:

JTi + Ji (Ni − λiI)T JTi

(Ni − λiI) Hj 0

Ji 0 δ2iH−1i

> 0 (4.2.41)

∀i = 1, ...,M, j = 1, ...,M , donde Ni = KγAi + αAi − L2iC.

Finalmente, el algoritmo del cono complementario transforma el problema de la viabilidad

de la solución de la LMI que se muestra en (4.2.41) al siguiente problema de minimización:

min Tr(H[k−1]P[k]+P[k−1]H[k])sujeto a

(J[k]i )T + J

[k]i (N

[k]i − λiI)T (J

[k]i )T

(N[k]i − λiI) H

[k]j 0

J[k]i 0 δ2

i P[k]i

> 0

(H[k] I

I P[k]

)> 0

H[k] > 0

P[k] > 0

(4.2.42)

4.3. Aplicación a una columna de destilación

Los observadores politópicos para sistemas singulares LPV estudiados en la literatura

(Rodrigues y Theillol, 2005; Astorga et al., 2009; Hamdi et al., 2009), asumen un tiempo

de observación continuo, sin embargo en la práctica esto no siempre es posible, es

entonces cuando los autores en Astorga et al. (2011) proponen un algoritmo de diseño

de observadores para el caso discreto.

74

4.3. APLICACIÓN A UNA COLUMNA DE DESTILACIÓN

Para realizar la extensión de este observador y aplicarlo a la columna de destilación, es

necesario en primer lugar, obtener un modelo matemático de forma singular LPV discreta,

para poder utilizar el modelo singular LPV propuesto en el capítulo 3 de la presente tesis,

es necesario llevarlo a su forma discreta.

Pero a diferencia de los sistemas lineales continuos, la discretización de los sistemas

singulares LPV, se realiza con una metodología, que utiliza algunas transformaciones como

se describe en el trabajo de Karampetakis (2004).

De acuerdo a Karampetakis (2004) para realizar la discretización de un sistema singular

es necesario expresarlo en términos de la expansión de Laurent de (sE − A)−1 y realizar

la discretización de retenedor de orden cero para la entrada del sistema u(t) y una

aproximación de primer orden para las derivadas de u(t). (En el capítulo 2, se muestra

con más detalle la metodología empleada en el trabajo de Karampetakis (2004)).

El modelo discreto obtenido, que es la solución de los dos subsistemas mostrados en la Ec.

(4.3.1), está dado a continuación:

x1((k + 1)T ) = Ax1(kT ) + B1u(kT )

E1x2((k + 1)T ) = x2(kT ) + B2u(kT )(4.3.1)

x(kT ) =[In In

] [ x1(kT )

x2(kT )

]donde

A = eΦ0AT ; B1 =´ T

0eΦ0Aτdτ(Φ0B)

E1 = (Φ−1E − T × In)−1Φ−1E ; B2 = T (Φ−1E − T × In)−1Φ−1B(4.3.2)

Para el cálculo de las matrices involucradas en la obtención del modelo discreto de la

columna de destilación, representadas por la Ec. (4.3.2), fue necesario realizar un programa

en el software Mathematica de Wolfram, ya que en éste se podía calcular la expansión de

Laurent del término (sE − A)−1. El valor de las matrices asociadas al modelo singular

LPV discreto se muestra en el apéndice E.

Dado que la variación de los parámetros no se reejaban en el modelo discreto obtenido,

se realiza la normalización de los parámetros.

75


4.3.1. Normalización de parámetros

Para obtener el modelo singular LPV discreto en base a los parámetros en tiempo continuo,

la caja de parámetros en tiempo continuo se normaliza, como se observa en la Fig. (4.3.1).

Figura 4.3.1 Normalización de la caja de parámetros

Los valores de los parámetros se encuentran en el rango de:

L = ρ1 ∈[ρ1, ρ1

]:= [0, 1,5524] (4.3.3)

V = ρ2 ∈[ρ2, ρ2

]:= [0,15524, 1,5524] (4.3.4)

De las ecuaciones (4.3.3), (4.3.4) y de acuerdo a Kajiwara et al. (1999) los parámetros se

normalizan como:

θL := 2

(ρ1 − ρ1

ρ1 − ρ1

)−(ρ1 − ρ1

ρ1 − ρ1

)∈ [−1, 1]

θV := 2

(ρ2 − ρ2

ρ2 − ρ2

)−(ρ2 − ρ2

ρ2 − ρ2

)∈ [−1, 1]

Con esta normalización, ahora las funciones de ponderacion para el modelo discreto se

calculan como (Hamdi et al., 2009):

ε1(θ) =

(θL − θLθL − θL

)(θV − θVθV − θV

)

76

4.3. APLICACIÓN A UNA COLUMNA DE DESTILACIÓN

ε2(θ) =



)

ε3(θ) =



)

ε4(θ) =



)

De esta manera los 4 modelos LTI discretos ahora se localizan en los vértices del polítopo

como se ilustra en la Fig. (4.3.2):


Para realizar la extensión del observador discreto propuesto, se supone que las

observaciones son hechas en el tiempo k∆t, donde k corresponde al instante de tiempo en

el que se realiza el muestreo discreto y ∆t corresponde al instante en el que se realizan

las mediciones; para el caso de la columna de destilación, representa el instante en que se

toman datos de los sensores de temperatura (esto sucede cada 3 segundos).

El observador politópico singular LPV para la columna de destilación queda de la forma:

z(k + 1) =M∑i=1

εi(ρ(k))[Niz(k) + L1iy(k) +Giu(k) + L2iy(k)] (4.3.5)

77



donde z(k) ∈ Rn+d es el vector de estados: Ni, L1i, L2i, Gi y K, i = 1, ...,M son matrices

constantes de dimensiones apropiadas. β y ξ están dados como en la Ec. (4.2.9).

4.4. Validación del observador propuesto

4.4.1. Observador singular LPV continuo

El objetivo de esta simulación es validar, en simulación, el desempeño del observador para

sistemas singulares LPV continuo descrito por la Ec. (4.3.5).

La metodología de la simulación consiste en: especicar las características de la columna,

especicar las características de la mezcla a emplear y las entradas que se usan para nal-

mente, utilizar el observador para estimar concentraciones.


Características de la planta. El observador se valida empleando una columna de cinco

platos basada en las características de la planta piloto del CENIDET. Las mediciones de

temperatura disponibles son dos, obtenidas de los platos 2 y 4.

Características de la mezcla y entradas utilizadas. La mezcla empleada es etanol-agua. Las

características de estos componentes, los parámetros iniciales y las entradas del poceso

empleadas en la simulación se presentan en el Apéndice D.

Estimación de concentraciones. El observador estima las concentraciones, para los cinco

platos, con base en dos temperaturas medidas, de los platos 2 y 4. El algoritmo del obser-

vador se desarrolla en Matlab.


La Fig. 4.4.1 ilustra la convergencia asintótica de los estados estimados hacia los estados

reales, para este caso se considera una variación en la entrada a los 0 y 25 minutos, además

la variación paramétrica donde ρ1(t) ∈[0, 1.5524] y ρ2(t) ∈[0.15524, 1.5524].

78

4.4. VALIDACIÓN DEL OBSERVADOR PROPUESTO

Figura 4.4.1 Comparación de los estados x1 y x2 con su observador y variación

paramétrica.

(a) (b)

Figura 4.4.2 En (a) la evolución de las funciones de ponderación en el tiempo. En (b)

se verica que

M∑i=1

εi(ρ(t)) = 1 .

4.4.2. Observador singular LPV discreto

Se reportan tres de las simulaciones realizadas con la nalidad de validar el observador

de entradas desconocidas para sistemas singulares LPV. Las simulaciones se presentan a

continuación.

79


El objetivo de esta simulación es validar, en simulación, el desempeño del observador

politópico de entradas desconocidas para sistemas singulares LPV discretos, mediante la

estimación de las composiciones líquidas del componente ligero de una mezcla binaria.

La metodología de la simulación consiste en: especicar las características de la colum-

na, especicar las características de la mezcla a emplear y las entradas que se usan en la

simulación y nalmente, utilizar el observador para estimar concentraciones de la columna.


Características de la planta. El observador se valida para una columna de cinco platos

basada en las características de la planta piloto de CENIDET. Las mediciones de

temperatura son dos, localizadas en los platos 2 y 4.


características de estos componentes, los parámetros iniciales y las entradas del proceso

empleadas en la simulación se presentan en el Anexo D.

Estimación de concentraciones. El observador politópico de entradas desconocidas discreto

estima las concentraciones para los cinco platos, con base en dos temperaturas medidas,

correspondientes a los platos 2 y 4.

Previamente a la simulación del observador es necesario utilizar el algoritmo de

minimización para solucionar la viabilidad de la LMI de la Ec. (4.2.42), desarrollado en

Matlab, y su ejecución dura aproximadamente 30 minutos. Este procedimiento se realiza

únicamente una vez para realizar la calibración del observador y el cálculo de las ganancias

del mismo, una vez se obtiene tal información el algoritmo está listo para operar en línea

con la planta.


El observador politópico de entradas desconocidas descrito por la Ec. (4.2.12), se

obtiene por la interpolación de los observadores de cada uno de los vértices al usar las

mismas funciones válidas que el sistema singular LPV. En la Fig. 4.4.3(a) se observa el

comportamiento dinámico de los estados en el sistema no lineal, se aplica la apertura de la

válvula de reujo a los 170 minutos con una duración de 10 minutos, como un cambio en

el punto de operación de la planta. Es de importancia señalar que el cambio de los estados

debido a la apertura de la válvula de reujo, no es una perturbación sino un cambio en el

punto de operación.

80


(a) (b)

Figura 4.4.3 En (a) el comportamiento dinámico de los estados y en (b) los polos del

observador.

(a) (b)

Figura 4.4.4 En (a) la variación de la potencia calefactora y en (b) la variación de los

parámetros.

La Fig. 4.4.3(b) ilustra los polos del observador politópico de entradas desconocidas

obtenidos por el algoritmo. Para la colocación de polos se asignan en el disco D(λi, δi)

denido por el radio δi > 0,1 y el número real λi = 0,95. Los parámetros asociados

a la región del disco se eligen del comportamiento dinámico del sistema nominal para

estabilizar y garantizar la estimación eciente de los estados. El número total de polos

81


para este sistema es de (n + d)M = (5 + 2)4 = 28, los polos se encuentran en el disco

asignado anteriormente con excepción de 6 polos que se encuentran en 1, esto se debe a

que los estados tomados como algebraicos no se les puede aplicar la misma metodología

de colocación de polos para determinar su estabilidad.

(a) (b)

Figura 4.4.5 En (a) la evolución de las funciones de ponderación en el tiempo. En (b)

se verica que

M∑i=1

εi(θ(t)) = 1 .

En la Fig. 4.4.4(a) se muestra la variación de la potencia calefectora, esta potencia es

proporcionada por la resistencia calefactora localizada en el plato del hervidor. Para este

trabajo se considera que la variación es del rango de 10% al 100% de la potencia total

(2500Watts). Y la resistencia calefactora, es el actuador al cual se realizará el sistema de

diagnóstico de fallas. En esta simulación Qb inicia con un valor de 2000Watts, al minuto

50 se reduce a 1250Watts y nalmente en el minuto 100, aumenta hasta 1875Watts. Los

cambios aplicados a la potencia calefactora se ven reejados directamente en los parámetros

L y V .

La Fig. 4.4.4 (b) ilustra la variación de los parámetros, la energía para que la columna

funcione es proporcionada por el calor que se aplica en el hervidor, lo que causa la

evaporación de parte del líquido que se encuentra en él. La corriente de vapor, conforme

asciende por la torre, se enriquece con el componente más volátil, esta corriente de vapor

se condensa, una parte de ese líquido condensado se regresa a la columna (por acción del

reujo) y otra parte se extrae del acumulador como producto destilado. Cuando no se

82


aplica reujo, los parámetros L y V son iguales, como se aprecia en la Fig. 4.4.4 (b) en

los minutos 0 a 170. Pero ante la acción del reujo, de los minutos 170 a 180, el valor de

L es menor ya que la otra parte se extrae como destilado. Los cambios aplicados a los

parámetros se ven reejados directamente en las funciones de ponderación como se ilustra

en la Fig. 4.4.5.

Figura 4.4.6 Comportamiento dinámico de los estados en el sistema nominal.

En los cambios de punto de operación es donde existe mayor variación entre los estados

y sus estimados (ver Fig. 4.4.6). Los estados x2 y x4 no presentan este problema ya que

son los estados medidos y los que fueron considerados como algebraicos. En los estados x1

y x3, ofrecen mayor visión al realizarse el cambio de punto de operación cuando se aplica

variación de la potencia en la resistencia calefactora. Mientras que en x5, reeja el cambio

realizado en la válvula de reujo, donde se extrae parte del líquido y por tanto disminuye

la concentración.

La estimación de las entradas desconocidas se muestra en la Fig. 4.4.7, debido a que es el

sistema nominal estas permanecen en cero, los picos que se presentan en los minutos 50 y

100, se deben al cambio de punto de operación por acción de la potencia calefactora. En

esta simulación Qb inicia con un valor de 2000Watts, al minuto 50 se reduce a 1250Watts

y nalmente en el minuto 100, aumenta hasta 1875 Watts. Los picos presentes en los

minutos 170 y 180 se deben a la acción de la apertura de la válvula de reujo.

83


Figura 4.4.7 Estimación de las fallas en el sistema nominal.

Conclusiones de la simulación. Los resultados obtenidos demuestran que el observador

estima adecuadamente los estados, aún cuando se presentan cambios en el punto de

operación.

4.5. Esquema de diagnóstico de fallas

El observador politópico para sistemas LPV discretos presentado en la sección 4.2, es la

base para desarrollar un esquema FDD para el proceso no lineal, en particular, para una

columna de destilación trabajando con una mezcla binaria y azeotrópica (no ideal).

Este observador permite la detección, localización y estimación de fallas en actuadores.

Como actividad extra, se realizó la detección, localización y estimación de fallas en el

segundo actuador de la columna, la válvula de reujo.

El esquema FDD tiene como objetivo detectar fallas aditivas en los actuadores de la

columna, la resistencia calefactora y la válvula de reujo. La detección se lleva a cabo

mediante un banco de observadores de entradas desconocidas.

84

4.5. ESQUEMA DE DIAGNÓSTICO DE FALLAS

El banco de observadores empleado tiene un Esquema de Observadores Dedicados (del

inglés: Dedicated Observer Scheme, DOS) (Chen, 1999), donde cada observador utiliza

una entrada y todas las salidas. Permite la localización de fallas múltiples, su diagrama se

muestra en la Fig. 4.5.1.

Figura 4.5.1 Esquema DOS para la columna de destilación.

Se elige la conguración (DOS) por la factibilidad de detectar fallas simultáneas en el

sistema y determinar su localización mediante un procedimiento relativamente sencillo.

Como puede observarse en la Fig. 4.5.1, cada observador del banco estima las

concentraciones 5 platos de la columna, empleando para ello las entradas manipulables

del sistema (potencia caloríca, reujo), además simultáneamente estima la falla.

Debido a las características del observador propuesto para el esquema de diagnóstico, no es

necesario la generación de residuos y las rmas de coherencia ya que el observador estima

directamente la falla.

4.5.1. Caso falla. Resistencia calefactora (actuador 1)

El objetivo de esta simulación es validar, el desempeño del observador de entradas

desconocidas para sistemas singulares LPV discretos desarrollado para detectar fallas en

la resistencia calefactora de la columna de destilación.


especicar las características de la mezcla a emplear y las entradas que se usan en la simu-

lación y nalmente, utilizar el observador para estimar concentraciones de la columna y los

85


vectores de magnitud de falla, considerados como entradas desconocidas, para conrmar

que el sistema FDD detecta falla en la resistencia calefactora de la columna.




temperatura son dos, localizadas en los platos 2 y 4. Como falla, se considera un incremento

en el valor de la resistencia calefactora lo que produce un aumento del vapor producido

en la base de la columna, cuya magnitud es de 0.01.







Previamente a la simulación del observador es necesario utilizar el algoritmo de minimi-

zación para solucionar la viabilidad de la LMI de la Ec. (4.2.42), desarrollado en Matlab,

y su ejecución dura aproximadamente 30 minutos.


La Fig. 4.5.2 presenta la concentración estimada por el observador politópico para los cinco

platos de la columna, se aprecia que sigue el comportamiento dinámico del sistema a pesar

de la falla en la resistencia calefactora y solo se producen pequeñas variaciones cuando

ocurre el cambio de punto de operación. Los estados 2 y 4 no dieren de sus estimaciones

ya que son los estados medidos.

En la Fig. 4.5.3 se aprecia la estimación de fallas para los actuadores de la columna.

La falla se presenta en los minutos 75 y 130, con una magnitud de 0.01. Los picos que se

presentan en los minutos 50 y 100, se deben al cambio de punto de operación por acción de

la potencia calefactora. En esta simulación Qb inicia con un valor de 2000Watts, al minuto

50 se reduce a 1250Watts y nalmente en el minuto 100, aumenta hasta 1875Watts. Los

picos presentes en los minutos 170 y 180 se deben a la acción de la apertura de la válvula

de reujo. En la estimación de la falla de la resistencia se aprecia que el observador realiza

86


Figura 4.5.2 Comportamiento dinámico de los estados ante una falla en la resistencia

calefactora.

la estimación de la falla incluso ante el cambio de punto de operación presente en el minuto

100. Se detecta casi de inmediato que el sistema se desvia de su comportamiento nominal,

al presentarse una falla en la resistencia calefactora.

Figura 4.5.3 Estimación de la falla en la resistencia calefactora.

Conclusiones de la simulación. Los resultados obtenidos demuestran que el observador de

87


entradas desconocidas para sistemas singulares LPV estima, adecuadamente, que uno de

los actuadores del sistema presenta una desviación de su comportamiento nominal.

4.5.2. Caso falla. Válvula de reujo (actuador 2)

El objetivo de esta simulación es validar, el desempeño del observador de entradas

desconocidas para sistemas singulares LPV discretos desarrollado para detectar fallas en

la válvula de reujo de la columna de destilación.


especicar las características de la mezcla a emplear y las entradas que se usan en la simu-

lación y nalmente, utilizar el observador para estimar concentraciones de la columna y los

vectores de magnitud de falla, considerados como entradas desconocidas, para conrmar

que el sistema FDD detecta falla en la válvula de reujo de la columna.




temperatura son dos, localizadas en los platos 2 y 4. Como falla, se considera un incremento

en la apertura de la válvula de reujo lo que produce un aumento del producto de destilado

en la parte superior de la columna, se considera una magnitud de 0.01.







Previamente a la simulación del observador es necesario utilizar el algoritmo de

minimización para solucionar la viabilidad de la LMI de la Ec. (4.2.42), desarrollado en

Matlab, y su ejecución dura aproximadamente 30 minutos.


La Fig. 4.5.4 presenta la concentración estimada por el observador politópico para los

cinco platos de la columna, se aprecia que sigue el comportamiento dinámico del sistema

a pesar de la falla en la válvula de reujo y solo se producen pequeñas variaciones cuando

88


ocurre el cambio de punto de operación. Los estados 2 y 4 no dieren de sus estimaciones

ya que son los estados medidos.

Figura 4.5.4 Comportamiento dinámico de los estados ante una falla en la válvula de

reujo.

Los picos que se presentan en los minutos 50 y 100 de la Fig. 4.5.5, se deben al cambio

de punto de operación por acción de la potencia calefactora. Se considera la presencia de

una falla en los minutos 100 y 180 en la válvula de reujo, con una magnitud de 0.01. Los

picos presentes en los minutos 170 y 180 se deben a la acción de la apertura de la válvula

de reujo. En la estimación de la falla de la válvula de reujo se aprecia que el observador

realiza la estimación de la falla justo ante cambios de punto de operación presentes en los

minutos 100 y 180. Los picos que se muestran en la estimación de la resistencia calefactora

presentes en los tiempos 100 y 180 se deben a que la falla se presenta justo en el cambio

de punto de operación, obteniendo así una mayor magnitud.

El tiempo para detectar la falla en la válvula de reujo es mayor que en la resistencia

calefactora, pasan mas de 2 minutos para seguir la desviación provocada por la falla.

Conclusiones de la simulación. Los resultados obtenidos demuestran que el observador de

entradas desconocidas para sistemas singulares LPV estima, adecuadamente, que uno de

los actuadores del sistema presenta una desviación de su comportamiento nominal.

89


Figura 4.5.5 Estimación de la falla en la válvula de reujo.

4.6. Conclusiones

En este capítulo se presenta el diseño de dos observadores para sistemas singulares, un

continuo y otro discreto. Para el continuo se asume un tiempo de observación continuo, sin

embargo en la práctica esto no siempre es posible. En el caso de la columna de destilación,

las muestras se podrían realizar a través de un cromatógrafo, por lo cual se considera que

son discretas. Los autores en Astorga et al. (2011) proponen un algoritmo de diseño de

observadores para el caso discreto.

Para realizar la extensión de este observador y aplicarlo a la columna de destilación, fue

necesario en primer lugar, obtener un modelo matemático de forma singular LPV discreta,

para poder utilizar el modelo singular LPV propuesto, es necesario llevarlo a su forma

discreta.

El desarrollo de un esquema de diagnóstico de fallas basado en un observador politópico

discreto, el cual realiza la detección y estimación de fallas en todo el rango de operación

del sistema y puede estimar simultáneamente los estados y los vectores de magnitud de

falla, considerados como entradas desconocidas.

El esquema FDD tiene como objetivo detectar fallas aditivas en los actuadores de la

columna (la resistencia calefactora y la válvula de reujo). La detección se lleva a cabo

90

4.6. CONCLUSIONES

mediante un banco de observadores de entradas desconocidas.

El banco de observadores empleado tiene un esquema DOS, donde cada observador utiliza

una entrada y todas las salidas, permitiendo la localización de fallas múltiples. La detección

se realiza aproximadamente en 1 minuto, se considero así ya que en los cambios de modelo

provocaban falsas detecciones.

Se presentó su validación en simulación con datos reales de la columna de destilación

binaria del CENIDET.

91

Capítulo 5

Conclusiones y trabajos futuros

5.1. Conclusiones

Una gran cantidad de procesos se modela naturalmente usando sistemas de ecuaciones

diferenciales y algebraicas; las diferenciales surgen de manera explícita de la dinámica

proveniente de los balances de masa y energía, entre otros, mientras que las ecuaciones

algebraicas provienen de correlaciones empíricas del sistema.

A diferencia de los sistemas lineales continuos, la discretización de los sistemas singulares,

se realiza con una metodología, que utiliza algunas transformaciones para encontrar el

modelo discreto del sistema singular.

Existen diferentes formulaciones para modelar un sistema LPV. Los cuales permiten

representar una amplia clase de sistemas cuyo comportamiento es no lineal por naturaleza.

Una ventaja que presentan los observadores de entradas desconocidas, es que pueden

desacoplar la estimación de los estados de las entradas desconocidas, generando así residuos

robustos que pueden ser aplicados en esquemas de diagnóstico de fallas. Una de las

desventajas que presentan este tipo de observadores es que las matrices involucradas deben

ser conocidas de manera precisa.

Se desarrolló un modelo matemático que contiene un conjunto de ecuaciones diferenciales

que establecen el balance global de componente en cada etapa de la columna. Por la

dinámica propia del sistema, el modelo se presenta en una estructura triangular, lo que

facilita su uso en tareas de estimación de variables.

Se presentó el desarrollo para la obtención del modelo singular LPV de la columna de

destilación binaria, así como su validación mediante simulación de datos reales obtenidos

92

5.1. CONCLUSIONES

de la columna de destilación del CENIDET.

En el caso de la columna de destilación, las muestras se podrían realizar a través de un

cromatógrafo, es decir, las mediciones bajo esta técnica se hacen fuera de línea, por lo

cual se considera que son discretas. Los autores en Astorga et al. (2011) proponen un

algoritmo de diseño de observadores para el caso discreto. Para realizar la extensión de

este observador y aplicarlo a la columna de destilación, fue necesario discretizar el modelo

matemático singular LPV propuesto.

El observador, diseñado, es un observador de entradas desconocidas cuya principal

característica es que puede estimar simultáneamente los estados y los vectores de magnitud

de falla, los cuales son considerados como entradas desconocidas.

Los observadores politópicos sirven como base para el desarrollo del esquema FDD, el cual

tiene como objetivo detectar fallas aditivas en los actuadores de la columna (la resistencia

calefactora y la válvula de reujo). Debido a las características de la planta de destilación,

la detección de fallas se lleva a cabo mediante un banco de observadores de entradas

desconocidas a través de un esquema DOS (Dedicated observer scheme, por sus suglas

en inglés), donde cada observador utiliza una entrada y todas las salidas, permitiendo la

localización de fallas múltiples.

En las pruebas realizadas, la detección se obtuvo aproximadamente en 2 minutos después

de ocurrida la falla, esta consideración se tuvo en cuenta ya que en los cambios de punto

de operación, se presentaban picos, lo que se podría mal interpretar como una falla.

Se presentó su validación en simulación con datos reales de la columna de destilación

binaria del CENIDET.

Dentro de los aportes principales de este trabajo de tesis, esta en primer lugar, el desarrollo

de un modelo singular LPV que permite representar el comportamiento dinámico de la

columna de destilación en un amplio rango de operación, y que a la vez es más simple que

el modelo no lineal utilizado en trabajos previos.

En segundo lugar, es la aplicación a un sistema no lineal. El buen acercamiento entre

los estados estimados y los valores proporcionados por el modelo, y la estimación de

fallas en los actuadores, permite concluir que el esquema de diagnóstico presentado

puede ser utilizado para futuros trabajos sobre estrategias de control avanzadas para su

implementación en línea.

93

CAPÍTULO 5. CONCLUSIONES Y TRABAJOS FUTUROS

5.2. Trabajos futuros

Diferentes temáticas pueden seguirse investigando a partir de este trabajo, principalmente

se consideran las siguientes:

Para la obtención de un modelo singular LPV, es un campo abierto, ya que se podría

considerar su desarrollo bajo otra formulación para la parte LPV. Este tipo de modelado

se podría extender a otras plantas y sería de gran ventaja ya que el modelo tendría validez

en un amplio rango de operación.

El esquema de diagnóstico podría usarse para esquemas de control avanzado como el

control tolerante a fallas, el cual estaría basado en ganancias programadas, así como

también su aplicación para sistemas de supervision.

La problemática de los picos presentes al realizar la estimacion de fallas en los actuadores

de la columna, se podría solucionar mediante otros métodos de integración es decir,

considerarse otros métodos como de Runge-Kutta. Por otra parte en la etapa de evaluación

de las fallas, sería conveniente la utilización de ventanas adaptables que cambien de acuerdo

a los puntos de operación, evitando así falsas detecciones.

Dado que en simulación el observador y el esquema de diagnóstico resultaron efectivos,

sería interesante probar su desempeño implementándolos en línea.

94

5.2. TRABAJOS FUTUROS

95

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102

Apéndice A

Terminología empleada en FDD

Modelos

Cualitativo. Emplea las relaciones dinámicas y estáticas entre variables y parámetros

del sistema para describir el comportamiento de un sistema en términos cualitativos,

tales como causalidades o reglas ( si... entonces ...).

Cuantitativo. Emplea las relaciones dinámicas y estáticas entre las variables y

parámetros del sistema para describir su comportamiento en términos matemáticos

cuantitativos.

Modos de operación de un sistema

Modo normal. Cuando la función del sistema es totalmente cumplida, considera un

modo nominal correspondiente a una calidad perfecta de la función.

Modo evolutivo. Cuando el sistema cambia de un modo de operación a otro.

Considera transitorios.

Modo anormal. Cuando la función es parcialmente o totalmente no cumplida, incluye

los modos con falla.

Características de un sistema FDD

Aislamiento. Habilidad de un proceso para distinguir (aislar) ciertas fallas especícas,

considerando que su tamaño es sucientemente grande.

103

APÉNDICE A. TERMINOLOGÍA EMPLEADA EN FDD

Robustez. Habilidad de un procedimiento de aislar fallas en la presencia de errores

de modelado, perturbaciones o entradas desconocidas.

Estados y señales

Avería. Interrupción permanente de una habilidad del sistema para desempeñar una

función requerida bajo condiciones de operación especícas.

Disturbio. Entrada desconocida (y no controlada) actuando en el sistema.

Error. Desviación entre un valor medido o calculado (de una variable de salida) y el

valor real, especicado o teóricamente correcto.

Falla. Desviación no permitida de al menos una de las propiedades o parámetros

característicos de una condición aceptable.

Malfunción. Irregularidad intermitente en el cumplimiento de la función deseada del

sistema.

Perturbación. Entrada actuando en el sistema, con efectos temporales en la salida

del sistema actual.

Residuo. Indicador de falla, basado en desviaciones entre mediciones y cálculos

basados en ecuaciones del modelo.

Síntoma. Cambio de una cantidad observable de un comportamiento normal.

104

Apéndice B

Colocación de polos en regiones LMI

Las denominadas regiones LMI se presentan en Chilali y Gahinet (1996). Incluyen regiones

tales como sectores, discos, conos, tiras, etc., así como las intersecciones de éstas. A

continuación se mencionan tres regiones LMI elementarias: una región α-estabilidad, un

disco y un sector cónico S(α, r, θ) .

Semiplano a la izquierda de α

Esta región garantiza que el sistema presenta un tiempo de respuesta máximo determinado,

que está asociado al valor de la parte real de los polos nominantes.

En la Fig. B.0.1 se observa la región donde se desea que los polos se encuentren, el área a

la izquierda del eje dibujado en α.

Figura B.0.1 Polos a la izquierda del eje imaginario desplazado α.

Para el caso del sistema lineal autónomo dado por la expresión x = Ax, se puede

105

APÉNDICE B. COLOCACIÓN DE POLOS EN REGIONES LMI

asegurar que los autovalores de A pertenecen a la región mostrada si se cumple la siguiente

condición:

AX +XAT + 2αX < 0

Disco con centro en (−q, 0) y radio r

Figura B.0.2 Región denida por un disco con centro en (−q, 0) y radio r.

Los autovalores de la matriz A pertenecen a dicho disco si existe una matriz X > 0, tal

que la siguiente expresión sea factible:

(−rX qX + AX

qX +XAT −rX

)< 0

Cono centrado en el origen, con ángulo θ

Esta región garantiza el amortiguamiento del sistema, debido a la restricción de la parte

imaginaria de los polos del sistema. En la Fig. B.0.3 se presenta esta región.

106

Figura B.0.3 Región denida por un cono centrado en el origen, con ángulo θ.

Dado el sistema x = Ax, se asegura que los autovalores de la matriz A pertenecen a dicho

cono si existe una matriz X > 0, tal que la siguiente expresión sea factible:

(sinθ(AX +XAT ) cosθ(AX −XAT )

cosθ(XAT − AX) sinθ(AX +XAT )

)< 0

107

Apéndice C

Representación no lineal del modelo de

la columna de destilación

Una representación no lineal del modelo de la columna presentado en el Capítulo 3,

considera el cálculo de y en función de x, a partir de sus relación con la presión del

componente P1, la presión atmosférica P y la temperatura del plato T , A12 y A21 son

parámetros de interacción constantes establecidos para mezclas binarias, A, B y C son los

coecientes de Antoine, donde:

P1 = 10A−B

T+C

G = eA12

A21(1−xi)

(A12xi+A21(1−xi))2

K =P1

P

yi = KxiG

Por tanto

yi =10A−

BT+C

Pxie

A12A21(1−xi)

(A12xi+A21(1−xi))2

y dado que las concentraciones están en función de la temperatura:

108

T = f(xi)

entonces

yi =10

A− Bf(xi)+C

Pxie

A12A21(1−xi)

(A12xi+A21(1−xi))2

De donde se obtiene nalmente una clara representación no lineal del modelo de la columna:

Para i = 1 (Condensador)

x1 =

VR

[(10

A− Bf(xi)+C

Pxie

A12A21(1−xi)

(A12xi+A21(1−xi))2

)− x1

]M1

Para i = 2, ..., f − 1 (sección de recticación)

xi =

VR

10A− B

f(xi)+C

Pxi+1e

A12A21(1−xi)

(A12xi+A21(1−xi))2

M1

−VR−

10A− B

f(xi)+C

Pxie

A12A21(1−xi)

(A12xi+A21(1−xi))2

Mi

+LR(xi−1−x1)Mi

Para i = f (plato de alimentación)

˙

xi =

Vs

10A− B

f(xi)+C

Pxf+1e

A12A21(1−xi)

(A12xi+A21(1−xi))2

Mf

−VR−

10A− B

f(xi)+C

Pxie

A12A21(1−xi)

(A12xi+A21(1−xi))2

Mf

−LRxf−1−LSxf+FxfMf

Para i = f + 1, ..., n− 1 (sección de empobrecimiento)

˙

xi =

VR−

10A− B

f(xi)+C

Pxi+1e

A12A21(1−xi)

(A12xi+A21(1−xi))2

Mi

−VR−

10A− B

f(xi)+C

Pxie

A12A21(1−xi)

(A12xi+A21(1−xi))2

Mi

+LS(xi−1−xi)Mi

109

APÉNDICE C. REPRESENTACIÓN NO LINEAL DEL MODELO DE LACOLUMNA DE DESTILACIÓN

Para i = n (hervidor)

xn =

LS(xn−1 − xn)− VS(

10A− B

f(xi)+C

Pxne

A12A21(1−xi)

(A12xi+A21(1−xi))2

)Mn

110

Apéndice D

Condiciones de operación del proceso

En este apéndice se muestran los parámetros utilizados en las simulaciones realizadas para

la validación de este trabajo.

Tabla D.0.1 Características de la planta de destilación

Descripción Valor UnidadesEtapas (N) 5

Platos perforados 3 Plato de alimentación (f) 3 Diámetro de los platos 10 cmAltura de los platos 10 cm

Diámetro del vertedero 0.5 cmCapacidad del hervidor 6 L

Capacidad del tanque recolector de destilado 1 LPotencia de calentamiento 0-2500 Watts

Tabla D.0.2 Especicaciones termodinámicas de los componentes de la mezcla etanol-

agua

Parámetro Etanol Agua UnidadesDensidad (ρi) 0.789 1 g/cm3

Peso molecular (Wi) 46.069 18.01528 gTemperatura de ebullición (Tbi) 78.4 100 °C

Calor especíco (Cpj) 0.1124 0.192 kJ/mol°CConstante Antoine Ai 8.1120 8.07131 Constante Antoine Bi 1592.864 1730.630 Constante Antoine Ci 226.184 233.426

111

APÉNDICE D. CONDICIONES DE OPERACIÓN DEL PROCESO

Tabla D.0.3 Parámetros iniciales de pruebas

Parámetro Valor UnidadesVolumen de EOH en el hervidor 2000 mlVolumen de H2O en el hervidor 2000 ml

Presión total del proceso 662 mmHg

Tabla D.0.4 Entradas del proceso - Validación del modelo (Sim. 3.4.1)

Entrada Señal Tiempo de inicioQb Escalón 0 - 2000 Watts 0 minR Total 0 minR Pulso (ton = toff = 6s) 170 minR Total 180 min

Tabla D.0.5 Validación observador singular LPV continuo (Sim. 4.4.1)

Entrada Señal Tiempo de inicio

Qb Escalón 0 - 2000 Watts 0 minR Total 0 minQb Escalón 2000 - 2500 Watts 25 min

Tabla D.0.6 Validación del observador singular LPV discreto (Sim. 4.4.2 )

Entrada Señal Tiempo de inicio

Qb Escalón 0 - 2000 Watts 0 minR Total 0 minQb Escalón 2000 - 1250 Watts 50 minQb Escalón 1250 - 1875 Watts 100 minR Pulso (ton = toff = 6s) 170 minR Total 180 min

112

Apéndice E

Sistemas LTI asociados al modelo de la

columna

E.1. Para el caso continuo

Ai =

A1 =

−1,5418 14,9061 0 0 00,0000 −14,9061 14,9151 0 0

0 0 −14,9151 14,9239 00 0 0 −14,9240 14,93280 0 0 0 −14,9328

,

A2 =

−0,1542 0,9863 0 0 0−0,0000 −0,9863 1,0031 0 0

0 −0,0000 −1,0031 1,0059 00 0 −0,0000 −1,0059 1,00860 0 0 −0,0000 −1,0086

,

A3 =

−1,5418 0,1543 0 0 01,5418 −1,6961 0,1544 0 0

0 1,5418 −1,6962 0,1562 00 0 1,5418 −1,6980 0,42090 0 0 1,5418 −0,4209

,

A4 =

−1,5418 1,6691 0 0 01,5418 −3,2109 1,7958 0 0

0 1,5418 −3,3376 2,7292 00 0 1,5418 −4,2710 9,55300 0 0 1,5418 −9,5530

,

113

APÉNDICE E. SISTEMAS LTI ASOCIADOS AL MODELO DE LA COLUMNA

Bi =

B1 =

0 0

0,1105 −0,00040,0000 −0,00040,0000 −0,00040,0000 −0,1091

B2 =

0 0

0,2825 −0,00600,0017 −0,00100,0003 −0,00100,0003 −0,2685

B3 =

0 0

0,0003 −0,00190,0025 −0,02450,0340 −0,33800,6530 −0,3257

B4 =

0 0

0,0572 −0,05720,0979 −0,09790,2586 −0,25860,2816 −0,2816

114

E.2. PARA EL CASO DISCRETO

E.2. Para el caso discreto

Estas matrices se obtienen al discretizar el sistema singular, mediante la obtención

de la expansión de Laurent del término de (sE − A)−1. La metodología utilizada es

la discretización de retenedor de orden cero para la entrada del sistema u(t) y una

aproximación de primer orden para las derivadas de u(t). La solución del sistema singular

esta dado por la solución de dos subsistemas, uno representa la parte dinámica y otro la

estática.

Ai =

A1 =

0,9258 0 0,5035 0,0000 0,1671

0 1,0000 −0,5259 0,0000 0,35420 0 0,4744 0,0000 0,35400 0 0 1,0000 −0,52640 0 0 0 0,4740

,

A2 =

0,9923 0 0,0487 0 0,0012

0 1,0000 −0,0498 0 0,04880 0 0,9511 0 0,04800 0 0 1,0000 −0,04930 0 0 0 0,9508

,

A3 =

0,9323 0,0000 0,0007 0,0000 0,0000−0,0556 1,0000 −0,0056 0,0000 0,00020,0653 0,0000 0,9318 0,0000 0,00190,0599 0,0000 −0,0452 1,0000 0,00120,0023 0,0000 0,0675 0,0000 0,9981

,

A4 =

0,9645 0,0000 0,0442 0,0000 0,00620,0026 1,0000 −0,0164 0,0000 0,14470,0351 0,0000 0,9327 0,0000 0,25340,0137 0,0000 0,0274 1,0000 −0,48930,0004 0,0000 0,0231 0,0000 0,7403

,

115

APÉNDICE E. SISTEMAS LTI ASOCIADOS AL MODELO DE LA COLUMNA

Bi1, Bi2 =

B11 =

0,0053 −0,0004

0 −0,00130 −0,00130 −0,00380 −0,0038

, B12 =

0 0

0,0074 00 00 00 0

B21 =

0,0141 −0,00030,0001 −0,00040,0001 −0,0004

0 −0,01310 −0,0131

, B22 ==

0 0

0,2864 −0,00610 0

0,0003 −0,00100 0

B31 =

−0,0000 −0,0000−0,0001 −0,0002−0,0006 −0,0019−0,0004 −0,00120,0006 0,0019

, B32 =

0 0

0,0002 −0,00110 0

0,0200 −0,19910 0

B41 =

0,1355 −0,1355−0,3390 0,33900,1226 −0,1226−0,1706 0,17060,0260 −0,0260

, B42 =

0 0

0,0178 −0,01780 0

0,0605 −0,06050 0

116

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