UNIVERSIDAD FERMIN TORO

VICE RECTORADO ACADEMICO

FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

ESCUELA DE RELACIONES INDUSTRIALES

La programación lineal es un procedimiento o

algoritmo matemático mediante el cual se

resuelve un problema indeterminado,

formulado a través de un sistema de inecuaciones lineales, optimizando la función

objetivo, también lineal.

Consiste en optimizar (minimizar o maximizar)

una función lineal, denominada función objetivo, de tal forma que las variables de

dicha función estén sujetas a una serie de

restricciones que expresamos mediante un

sistema de inecuaciones lineales.

Entre sus aplicaciones la programación lineal

constituye un importante campo de la optimización por varias razones, muchos problemas prácticos de la investigación de

operaciones pueden plantearse como

problemas de programación lineal. Algunos

casos especiales de programación lineal, tales como los problemas de flujo de redes y

problemas de flujo de mercancías se

consideraron en el desarrollo de las

matemáticas lo suficientemente importantes como para generar por si mismos mucha

investigación sobre algoritmos especializados

en su solución. Una serie de algoritmos diseñados para resolver otros tipos de problemas de optimización constituyen casos

particulares de la más amplia técnica de la

programación lineal.

Históricamente, las ideas de programación lineal han inspirado muchos de los conceptos centrales de la teoría de optimización tales como la dualidad, la descomposición y la importancia de la convexidad y sus generalizaciones. Del mismo modo, la programación lineal es muy usada en la microeconomía y la administración de empresas, ya sea para aumentar al máximo los ingresos o reducir al mínimo los costos de un sistema de producción. Algunos ejemplos son la mezcla de alimentos, la gestión de inventarios, la cartera y la gestión de las finanzas, la asignación de recursos humanos y recursos de máquinas, la planificación de campañas de publicidad, entre otras.

Otros son:

Optimización de la combinación

de cifras comerciales en una red lineal de distribución de agua.

Aprovechamiento óptimo de los

recursos de una cuenca

hidrográfica, para un año con afluencias caracterizadas por

corresponder a una determinada

frecuencia.

Soporte para toma de decisión

en tiempo real, para operación de

un sistema de obras hidráulicas;

Solución de problemas de

transporte

Ejemplo

Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara L1 y L2. Para su fabricación se

necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L1 y de 30 minutos para el L2; y un

trabajo de máquina para L1 y de 10 minutos para L2. Se dispone para el trabajo manual de

100 horas al mes y para la máquina 80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad

es de 15 y 10 euros para L1 y L2, respectivamente, planif icar la producción para obtener el

máximo benef ic io.

Solución:

1. Elección de las incógnitas.

x = nº de lámparas L1

y = nº de lámparas L2

2. 2 Función objetivo: f (x, y) = 15x + 10y

3. 3 Restricciones

L1 L2 Tiempo

Manual 1/3 1/2 100

Máquina 1/3 1/6 80

1/3x + 1/2y ≤ 100 = x ≥ 0 1/3x + 1/6y ≤ 80 = y ≥ 0

4. Hallar el conjunto de soluciones factibles

5. Calcular las coordenadas de los vértices del re cinto de las soluciones

factibles.

6 6.Calcular el valor de la función objetivo

f (x, y) = 15x + 10y

f(0, 200) = 15·0 + 10·200 = 2 000 €

f(240, 0 ) = 15·240 + 10·0 = 3 600 €

f(210, 60) = 15·210 + 10·60 = 3 750 € Máximo

La solución óptima es fabricar 210 del modelo L 1 y 60 del modelo L 1 para obtener

un beneficio de 3 750 € .

Se refiere a un conjunto de métodos muy usados para resolver problemas de programación lineal, en los cuales se busca el máximo de una función lineal sob re un conjunto de variables que satisfaga un conjun to de inecuaciones lineales. El algoritmo simplex primal fue desarrollado por el matemático norteamericano George Dantzig en 1947, y procede examinando vértices adya centes del poliedro de soluciones. Un algoritmo sim plex es unalgoritmo de pivote.

Un método llamado de manera similar, pero no relaci onado al anterior, es el método Nelder-Mead (1965) o método de descenso (o ascenso) símplex; un método n uméricoque busca un mínimo (o máximo) local de una función cualquiera examinando en cada paso los vértices de un simplex.

Forma Estándar:

Es la igualación de las restricciones del modelo planteado, así como el aumento de variables de holgura, o bien la resta de variables de exceso.

Forma canónica

En el método Simplex es de bastante utilidad la

forma canónica, especialmente para explorar la

relación de dualidad.

Un problema de Programación Lineal se

encuentra en la forma canónica si se cumplen

las siguientes condiciones:

Para el caso de la forma canónica de

maximización:

La función objetivo debe ser de

maximización.

Las restricciones son del tipo ≤.

Las variables de decisión son

mayores o iguales a cero.

Para el caso de la forma canónica de

la dieta:

La función objetivo es minimizada.

Las restricciones son de tipo ≥.

Las variables de decisión son

mayores o iguales a cero.

Modelo Ampliado: Cuando se introduce en cada restricción una variable artificial que no contenga una variable de holgura.

Variables de entrada

Estas suelen encontrarse en un criterio que se conoce como “Condición de optimalidad”, en un modelo, ya sea de optimización o minimización, y se refiere a la variable no básica en el renglón “z” con el coeficiente más negativo, si se

trata de una maximización, o el coeficiente más positivo, si se trata de una minimización, la cual, en el la tabla de

solución anterior, a excepción de la primer tabla, esta variable era una variable básica.

'Variables de salida

Esta variable es un punto extremo que se encuentra en un criterio conocido como “Condición de factibilidad”, en un

modelo, ya sea de optimización o minimización, y se refiere a la variable básica asociada con la mínima razón no

negativa con el coeficiente más negativo, si se trata de una maximización, o el coeficiente más positivo, si se trata de una

minimización, la cual, en el la tabla de solución siguiente, pasará a ser variable no básica.

Variables básicas Variables no básicas Variable de entrada Variable de salida

A X3, X4, X5, X6 X1, X2 X1 X2

B X3, X4, X5, X1 X6, X2 X2 X3

C X2, X4, X5, X1 X6, X3 X6 X4

D X2, X6, X5, X1 X4, X3 X3 X1

E X2, X6, X5, X3 X4, X1 X4 X2

Variable degenerada

Una variable degenerada es una variable

básica que vale 0. Gráficamente esto

puede ocurrir cuando más de dos rectas se intersequen en el mismo punto.

Base

Conjunto de variables básicas. En el

ejemplo anterior, la base es {X3, X4, X5, X6}

Variable no restringida

Variable artificial

Se usa una variable artificial cuando las restricciones son = y ≥ y sucede cuando el origen no se encuentra dentro de la región factible, tratando de llevar el modelo a otra dimensión en la

cual el origen si exista en la región.

Es aquella que puede tomar toda clase de valores positivos,

cero y negativos puede escribirse como la diferencia de dos variables no-negativas.

Función objetivo:

Define la efectividad del modelo como función de las variables de

decisión.

Ejemplo

Considerando el problema de programación lineal:

Minimiza la siguiente función

Sujeta a

Se añaden las variables de holgura

donde las columnas 5 y 6 representan las variables básicas

es

Las columnas 2, 3 y 4 pueden ser seleccionadas como columnas pivotes, para este ejemplo se seleccionó la columna 4. Los valores de x resultantes de la

15/3 = 5 respectivamente. De estos el mínimo es 5, por lo que la fila 3 sería la fila pivote. Operando los pivotes

se produce

Ahora columnas 4 y 5 representan las variables básicas

Para el paso siguiente, no hay entradas positivas en la fila objetivo y de hecho

por lo que el valor mínimo de Z es

Considerando el problema de programación lineal:

Se añaden las variables de holgura s y t, que se representan en la tabla canónica

columnas 5 y 6 representan las variables básicas s y t y la correspondiente solución básica posible

Las columnas 2, 3 y 4 pueden ser seleccionadas como columnas pivotes, para este ejemplo se seleccionó la resultantes de la elección de las filas 2 y 3 como filas pivotes son 10/1

5 respectivamente. De estos el mínimo es 5, por lo que la fila 3 sería la fila pivote. Operando los pivotes

Ahora columnas 4 y 5 representan las variables básicas z y s y la solución óptima correspondiente es

Para el paso siguiente, no hay entradas positivas en la fila objetivo y de hecho

es −20.

y la correspondiente solución básica posible

Las columnas 2, 3 y 4 pueden ser seleccionadas como columnas pivotes, para este ejemplo se seleccionó la elección de las filas 2 y 3 como filas pivotes son 10/1 = 10 y

5 respectivamente. De estos el mínimo es 5, por lo que la fila 3 sería la fila pivote. Operando los pivotes

solución óptima correspondiente es

La teoría Bayesiana se encarga de estudiar y analizar al consumidor, se observan las características y los atributos que describen el comportamiento del potencial cliente. Consiste en aislar los atributos que la persona en cuestión le asigna al determinado producto, y una vez hecho esto aislarlo, y estudiarlo y analizarlo. Se dejan de lado todos los otros factores, como características del producto, del cliente, etc., y se centra simplemente en este atributo encontrado. La teoría Bayesiana les da la libertad a los investigadores de estudiar la complejidad del comportamiento humano de una forma mucho más realista, de lo que era previamente posible. Aunque ningún método es 100 % exacto ya que la psiquis humana es demasiado compleja como para simplificarla en una teoría.

El razonamiento bayesiano proporciona un enfoque probabilístico a la inferencia. Está basado en la suposición de que las cantidad de interés son gobernadas por distribuciones de probabilidad y que se pueden tomar decisiones óptimas razonando sobre estas probabilidades junto con los datos obtenidos. Este enfoque está siendo utilizado en multitud de campos de investigación, de los que cabe destacar la robótica móvil y la visión computacional, ambas relacionadas con el contenido de esta tesis. En este apéndice queremos definir dos de las herramientas utilizadas en el desarrollo de esta tesis: el teorema de Bayes y el principio de longitud de descripción mínima.

APLICACIÓN DEL MODELO BAYESIANO COMO TECNICA DE PRONÓSTICO PASO A PASO

PASO # 1: Se percibe y se evalúa una situación a la luz de las evidencias y acontecimientos observados

PASO # 2 : Se formulan los escenarios probables / hipótesis alternativas y se le asignan unas probabilidades subjetivas iniciales . Tales escenarios deben cumplir con la condición de EXAHUSTIVIDAD Y EXCLUSION MUTUA. PASO # 3: Se inicia el proceso de seguimiento y monitoreo de todos los eventos (acontecimientos), hechos que inciden en el direccionamiento de las tendencias. PASO # 4: Con base en el registro de eventos (EVIDENCIAS) se ajustan por el METODO DE BAYES las probabilidades de ocurrencia asignadas a cada escenario. PASO # 5: Una vez hecho los cálculos tomando como base los juicios de valor de los analistas y expertos se hacen los gráficos de tendencias.

PASO # 6: Visualizando los gráficos de tendencias en cuanto a las posibilidades de ocurrencia de cada escenario, se evalúa la necesidad de dar “ EL ALERTA”. PASO # 7: De ser requerido dar “EL ALERTA”; la misma tendrá que fundamentarse de manera lógica y convincente en las EVIDENCIAS obtenidas hasta el momento. Tal “ALERTA” deberá servir de base para una TOMA DE DECISIONES OPORTUNA ante la situación planteada.

La teoría de los juegos es una rama de la matemática con aplicaciones a la economía, sociología,

biología y psicología, que analiza las interacciones entre individuos que toman decisiones en una marco de

incentivos formalizados (juegos). En un juego, varios agentes buscan maximizar su utilidad eligiendo

determinados cursos de acción. La utilidad final obtenida por cada individuo depende de los cursos de acción

escogidos por el resto de los individuos.

La teoría de juegos es una herramienta que ayuda a analizar problemas de optimización interactiva.

La teoría de juegos tiene muchas aplicaciones en las ciencias sociales. La mayoría de las situaciones

estudiadas por la teoría de juegos implican conflictos de intereses, estrategias y trampas. De particular interés

son las situaciones en las que se puede obtener un resultado mejor cuando los agentes cooperan entre sí,

que cuando los agentes intentan maximizar sólo su utilidad.

La teoría de juegos fue ideada en primer lugar por John von Neumann. Luego, John Nash, A.W.

Tucker y otros hicieron grandes contribuciones a la teoría de juegos

Contribución de Nash

El equilibrio de Nash fue formulado por John Nash, que es un matemático norteamericano, en 1951.

Un par de estrategias es un equilibrio de Nash si la elección de A es óptima dada la de B y la de B es óptima,

dada la de A. El equilibrio de Nash se diferencia del equilibrio de las estrategias dominantes en que, en el

equilibrio de las estrategias dominantes, se exige que la estrategia de A sea óptima en el caso de todas las

elecciones óptimas de B, y viceversa. El equilibrio de Nash es menos restrictivo que el equilibrio de

estrategias óptimas.

Un juego puede tener más de un equilibrio de Nash. Existen juegos en los no existe un equilibrio de

Nash.

Ejemplo

Considera la siguiente historia. Dos sospechosos de un crimen son puestos en celdas separadas. Si

ambos confiesan, cada uno será sentenciado a tres años de prisión. Si sólo uno confiesa, el que confiese será

liberado y usado como testigo contra el otro, quien recibirá una pena de diez años. Si ninguno confiesa,

ambos serán condenados por un cargo menor y tendrán que cumplir una pena de sólo un año de prisión. Este

juego puede ser representado por una matriz 2x2:

Sospechoso B confiesa Sospechoso B no confiesa

Sospechoso A confiesa (3 , 3) (0 , 10)

Sospechoso A no confiesa (10 , 0) (1 , 1)

Veamos cuál es la estrategia óptima para cada sospechoso. Si B confiesa, A preferirá confesar, ya que si

confiesa obtendrá una pena de 3 años, y si no confiesa obtendrá una pena de 10 años. Si B no confiesa, A

preferirá confesar, ya que de este modo será liberado, y si no confesara obtendrá una pena de un año.

Entonces, A va a confesar, independientemente de lo que haga B. Análogamente, B también va a confesar

independientemente de lo que haga A. Es decir, ambos sospechosos van a confesar y obtener entonces una

pena de tres años de prisión cada uno. Este es el equilibrio del juego, que es ineficiente en el sentido de

Pareto, ya que se puede reducir la condena de ambos si ninguno confesara.

El Modelo de transporte es

una clase especial de problema de

Programación Lineal. Trata la

situación en la cual se envía un bien

de los puntos de origen (fábricas), a

los puntos de destino (almacenes,

bodegas, depósitos).

El objetivo es determinar las

cantidades a enviar desde cada

punto de origen hasta cada punto

de destino, que minimicen el costo

total de envío, al mismo tiempo que

satisfagan tanto los límites de la

oferta como los requerimientos

de la demanda. El modelo supone

que el costo de envío de una ruta

determinada es directamente

proporcional al número de unidades

enviadas en esa ruta.

Sin embargo, algunas de sus

aplicaciones importantes (como

la Programación de la Producción)

de hecho no tienen nada que

ver con el transporte.

El algoritmo de transporte sigue los

pasos exactos del método

simplex.

Pasos del método de transporte.

Paso 1: Determine el modelo

matemático con un enfoque de

programación lineal

Paso 2: Despliegue el modelo

matemático en una hoja de

cálculo.

Paso 3: Use EXCEL SOLVER para

resolver el modelo

matemático.

Se han desarrollado diferentes enfoques para resolver este problema de distribución, tales como: El método de la esquina noroeste, el método modificado de la esquina noroeste (celda mínima), método del trampolín (Cruce de arroyo, stepping stone), método de la distribución modificada (MODI), método de aproximación de Vogel y el método simplex.

Se cubrirán únicamente en estas notas los siguientes métodos:

a) Esquina Noroeste b) Modificado de la esquina Noroeste. c) Aproximación de Vogel. d) Del trampolín (Stepping stone)

Para que un problema pueda ser solucionado por el método de transporte, este debe reunir tres condiciones:

1) La función objetivo y las restricciones

deben de ser lineales. 2) Los artículos deben de ser uniformes e

intercambiables, los coeficientes de todas las variables en la ecuación deben de ser 0 o 1.

3) La suma de las capacidades de las fuentes debe ser igual a la suma de los requerimientos de los destinos, si alguna desigualdad existe una variable de holgura deberá ser añadida.

Ejemplo

Se trata de elegir la localización adecuada de un proyecto basados en los siguientes aspectos:

� Los costos totales son: 33.5$ para la localización A, 42.5$ para la B, 37.5$ para C y 40.5$ para D.

� Los factores incidentes son: Energía Eléctrica (F1), Agua(F2), Disponibilidad de Mano de Obra (F3). Se sabe además que F2 tiene el doble de importancia que

� Las calificaciones dadas sobre 10 de cada factor con respecto a las Localizaciones son:

Solución : CALIFICACION DE LOS FACTORES RESPECTO A CADA FACTOR (SOBRE 10)

Se trata de elegir la localización adecuada de un proyecto basados en los siguientes aspectos:

Los costos totales son: 33.5$ para la localización A, 42.5$ para la B, 37.5$ para C y 40.5$

Los factores incidentes son: Energía Eléctrica (F1), Agua(F2), Disponibilidad de Mano de Obra (F3). Se sabe además que F2 tiene el doble de importancia que Las calificaciones dadas sobre 10 de cada factor con respecto a las Localizaciones son:

CALIFICACION DE LOS FACTORES RESPECTO A CADA FACTOR (SOBRE 10)

Se trata de elegir la localización adecuada de un proyecto basados en los siguientes aspectos:

Los costos totales son: 33.5$ para la localización A, 42.5$ para la B, 37.5$ para C y 40.5$

Los factores incidentes son: Energía Eléctrica (F1), Agua(F2), Disponibilidad de Mano de F1 y F3.

Las calificaciones dadas sobre 10 de cada factor con respecto a las Localizaciones son:

CALIFICACION DE LOS FACTORES RESPECTO A CADA FACTOR (SOBRE 10)

FSA: 8.25 FSB: 5 FSC: 7.25 FSD: 8.5

A: 0.5 x 0.2849 + 0.5 x 8.25 = 4.2674

B: 0.5 x 0.2246 + 0.5 x 5 = 2.6123

C: 0.5 x 0.2545 + 0.5 x 7.25 = 3.7522

D: 0.5 x 0.2354 + 0.5 x 8.5 = 4.3677

El método Montecarlo es un

método numérico que permite

resolver problemas físicos y

matemáticos mediante la

simulación de variables aleatorias.

Lo vamos a considerar aquí desde

un punto de vista didáctico para

resolver un problema del que

conocemos tanto su solución

analítica como numérica. El

método Montecarlo fue bautizado

así por su clara analogía con los

juegos de ruleta de los casinos, el

más célebre de los cuales es el

de Montecarlo, casino cuya

construcción fue propuesta en

1856 por el príncipe Carlos III de

Mónaco, siendo inaugurado en

1861.

La importancia actual del

método Montecarlo se basa en la

existencia de problemas que

tienen difícil solución por métodos

exclusivamente analíticos o

numéricos, pero que dependen de

factores aleatorios o se pueden

asociar a un modelo probabilística

artificial (resolución de integrales

de muchas variables, minimización

de funciones, etc.).

Bibliografía

www.expasion.com

http://148.204.211.134/polilibros/portal/Polilibros/P_terminados.../Investigacion_de_Op

eraciones_Careaga/Common/IO-modulo4-transpsimple.htm

http://www.econlink.com.ar/definicion/teoriadejuegos.shtml

http://es.wikipedia.org/wiki/Programaci%C3%B3n_lineal

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Ej3.png