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TCNICAS DE CONTEO CLCULO COMBINATORIOProf. Robinson ArcosOBJETIVOS: Presentar algunas tcnicas basadas en frmulas para determinar, sin enumeracin directa, el nmero de colecciones o arreglos de elementos de un conjunto finito dado que satisfacen una determinada caracterstica o condicin. Hacer uso del Teclado Virtual mth y la Aplicacin Principal de la calculadora ClassPad 300 PLUS para activar comandos que permiten el clculo de variaciones, permutaciones y combinaciones de elementos de un conjunto finito dado.

INTRODUCCIN: Normalmente se nos presentan interrogantes que llevan implcito el problema de establecer cuntos elementos de un conjunto dado satisfacen una determinada caracterstica. Por ejemplo: en Venezuela, las nuevas placas para la circulacin de automviles en el territorio nacional, presentan un cdigo como el mostrado en la Figura 1, este arreglo alfanumrico consiste en dos letras, seguidas de tres dgitos, que a su vez estn seguidos de otras dos letras. Surge la siguiente interrogante: cuntas placas pueden grabarse? Las tcnicas de conteo nos permiten, sin enumeracin directa, determinar cuntas colecciones o arreglos, con ciertas caractersticas o condiciones predeterminadas, pueden formarse con los elementos de un conjunto finito dado. En este material encontrar ejemplos, problemas y ejercicios que permitirn al lector ejercitarse en el manejo de las distintas frmulas que permiten un conteo rpido y por otro lado, algo esencial en estos problemas, el desarrollo de la habilidad para caracterizar correctamente los arreglos de elementos que se desean contar y no incurrir en el error tpico de considerar como arreglos distintos, a dos que son iguales de acuerdo a la caracterstica que satisfacen o de incluir en el conteo otros que no la satisfacen.

Figura 1

En qu consiste el conteo rpido? El producto de nmeros enteros positivos nos provee una manera rpida e intuitiva de contar. Por ejemplo, si tenemos una cuadrcula de 15 por 7 cuadrados, digamos que contamos a lo largo de la cuadrcula 15 cuadrados y 7 cuadrados a lo ancho, el nmero total de cuadrados en la cuadrcula ser 15 7 = 105 . Esto es, por cada cuadrado que seleccionemos a lo largo, encontraremos 7 distribuidos a lo ancho. En consecuencia, por los 15 cuadrados que hay a lo largo, encontraremos distribuidos 15 7 = 105 a lo ancho.

Figura 2

En el caso del problema de las placas de los vehculos, podemos formular una solucin anloga. Supongamos que el nmero de letras del alfabeto que se utilizan en la codificacin es 26 (sin la letra ) y para la parte numrica los 10 dgitos decimales. Supongamos adems que, tanto las letras como los nmeros, pueden repetirse. Para calcular en nmero de placas que pueden grabarse, procedemos de la siguiente manera: En la codificacin (ver Figura 1), para colocar la primera letra tenemos 26 opciones de eleccin (las 26 letras del alfabeto), al igual que para la segunda. Por cada letra elegida para la primera, podemos elegir 26 para la segunda, de manera que el nmero de maneras como se puede formar el primer grupo de dos letras es 26 26 . Por otra parte, 1

para colocar el primer nmero de la codificacin, se puede elegir uno de los 10 dgitos, por cada dgito elegido para el primero se puede elegir 10 para el segundo; por lo tanto, el nmero de parejas de dgitos que se pueden formar es 10 10 . Pero por cada pareja formada hasta el momento, se tienen 10 maneras de elegir el tercer nmero, luego, por las 10 10 parejas formadas tendremos 10 10 10 ternas que conforman la parte numrica de la placa. Finalmente, siguiendo el mismo proceso, el nmero de parejas que conforman el segundo grupo de parejas de letras en la codificacin es tambin 26 26 . El conteo final del nmero de placas se calcula de la siguiente manera: por cada pareja elegida para el primer grupo de letras en la codificacin, podemos elegir 10 10 10 ternas de nmeros que conforman la parte numrica de la placa, luego el nmero de parejas y ternas totales que podemos formar para los primeros cinco elementos alfanumricos de las placas ser 26 26 10 10 10 . Pero por cada uno de los primeros cinco elementos alfanumricos elegidos en la codificacin, tenemos 26 26 parejas que podemos elegir para conformar el segundo grupo de letras, de manera que el numero total de codificaciones de los siete elementos alfanumricos, de los que consta una placa ser 26 26 10 10 10 26 26 = 26 2 10 3 26 2 = 456.976.000 , lo que nos da el total de placas que pueden grabarse bajo el supuesto de que, tanto las letras como los nmeros, pueden repetirse en la codificacin.

PRINCIPIO DE CONTEO:El mtodo de solucin del problema anterior es una aplicacin de la multiplicacin en problemas de conteo conocido como Principio de Conteo y que podemos enunciar de la siguiente manera:

Si un evento puede realizarse de n1 maneras diferentes, y si, continuando el procedimiento, un segundo evento puede realizarse de n2 maneras diferentes, y si, despus de efectuados, un tercer evento puede realizarse de n3 maneras diferentes, y as sucesivamente hasta culminar en un m-simo evento que se puede realizar de nm maneras diferentes, entonces el nmero de maneras diferentes en que los m eventos pueden realizarse en el orden indicado es el producton1 n2 n3 L nm .Para ilustrar nuevamente el conteo usando este principio intuitivo, supongamos que en el problema de las placas, estamos interesados en establecer el nmero de placas que verifican la condicin de que en la codificacin las letras de cada grupo de dos no deben repetirse, ni tampoco los dgitos de la parte numrica. Para realizar el clculo procedemos de la siguiente manera: la primera letra debe colocarse de 26 maneras diferentes (supuesto el alfabeto de 26 letras), la segunda letra de 25 maneras (puesto que la letra grabada de primera no puede elegirse como segunda), para el primer dgito hay 10 maneras de ser elegido, 9 para el segundo y 8 para el tercero (los tres dgitos no deben repetirse en la codificacin) y finalmente, la primera letra del segundo grupo de letras puede elegirse de 26 maneras diferentes y la segunda de 25. Por lo tanto, el nmero de placas que verifican la condicin es:

26 25 10 9 8 26 25 = 304.200.000 1. Puede usted determinar cuntas placas tienen al menos una letra o un dgito repetido.

VARIACIONES, PERMUTACIONES Y COMBINACIONES:Suponga que C = { a 1, a 2 , a 3 ,L , a n } es un conjunto de n elementos (u objetos). Una coleccin de un nmero r de dichos elementos, r n , se llama variacin de los n elementos tomados de r en r. Las variaciones pueden construirse con repeticin o sin repeticin de los elementos de C. Para fijar ideas, supongamos que C tiene tres elementos, digamos C = { a, b, c} , entonces las variaciones de estos 3 elementos tomados de 2 en 2 (con repeticin) son: aa; ab; ac; ba; bb; bc; ca; cb; cc En este caso, por el principio de conteo, el nmero total de variaciones con repeticin de los 3 elementos tomados de 2 en 2 es:3 3 = 32 = 9

Si C es un conjunto de n elementos, el nmero de variaciones con repeticin de estos n elementos tomados de r en r, viene dado por la frmula:

n 4 244 = nr n 1n n L3 4r factores

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En el ejemplo precedente, observe que para el clculo del nmero de placas que deben grabarse con repeticin de letras y nmeros constituye el producto de tres variaciones con repeticin:26 26 10 10 10 26 26 = 26 2 10 3 26 2 = 456.976.000

En la mayora de los problemas de conteo interesan las variaciones sin repeticin de elementos y los dos casos particulares de las mismas que son: las permutaciones y las combinaciones. Para el conjunto C = { a, b, c} las variaciones sin repeticin de los 3 elementos de C tomados de 2 en 2 son:

ab; ac; ba; bc; ca; cb Por el principio de conteo, el nmero total de variaciones sin repeticin, de los 3 elementos tomados de 2 en 2es:V3,2 = 3 2 = 6

Si C es un conjunto de n elementos, el nmero de variaciones sin repeticin de estos n elementos tomados de r en r viene dado por la frmula:Vn,r = n 444 (n 42)444444 ) 1 1 (n 1) 44 2 L (n r +3r factores

En la segunda parte del problema de las placas, observe que para el clculo del nmero de placas que deben grabarse sin repeticin de letras y nmeros constituye el producto de tres variaciones sin repeticin:

26 25 10 9 8 26 25 = 304.200.000Permutaciones y la notacin factorial:Supongamos que se desea calcular el nmero de variaciones sin repeticin de los 3 elementos de C tomados todos a la vez. Una variacin sin repeticin de un conjunto de n elementos tomados de n en n (todos a la vez) se llama una permutacin de los n elementos del conjunto. Todas las permutaciones de los 3 elementos de C = { a, b, c} son las siguientes:

abc; acb; bac; bca; cab; cba En este caso el nmero total de elementos es:P3 = V3,3 = 3 2 1 = 3 ! = 6

OBSERVACIN: El producto de los enteros consecutivos desde 1 hasta n inclusive, se emplea con frecuencia en matemtica y se denota por el smbolo especial n! (que se lee n factorial) y se define por: n! = 1 2 3 L nConviene definir 0 ! = 1 , adems el factorial de un nmero entero no negativo satisface la propiedad inductiva n ! = n (n 1) ! . De manera que: 2 ! = 2 1 = 2 ; 3 ! = 3 2 ! = 6 ; 4 ! = 4 3 ! = 24 ; 5 ! = 1 2 3 4 5 = 4 ! 5 = 24 5 = 120 Con esta notacin podemos concluir:

El nmero de permutaciones de un conjunto de n elementos es Pn = n ! = 1 2 3 L n . El nmero de variaciones de n elementos u objetos tomados de r en r viene dado por la frmula:

Vn,r = n 444 (n 42)444444) = 1 1 (n 1) 44 2 L (n r +3r factores

n (n 1) (n 2) L (n r + 1) (n r ) ! n! = (n r ) ! (n r ) !

Combinaciones y nmeros combinatorios binomiales:Tenga presente que en los problemas de conteo, en los que intervienen variaciones sin repeticin, dos de ellas son distintas cuando difieren al menos en un elemento o de tener los mismos eleme