TCNICAS DE CONTEOLas tcnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difciles de cuantificar.Se les denomina tcnicas de conteo a: las combinaciones, permutaciones y diagrama de rbol, las que a continuacin se explicarn y hay que destacar que stas nos proporcionan la informacin de todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinado.Las bases para entender el uso de las tcnicas de conteo son el principio multiplicativo y el aditivo, los que a continuacin se definen y se hace uso de ellos.PRINCIPIO MULTIPLICATIVO.Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar puede ser llevado a cabo de N1 maneras o formas, el segundo paso de N2 maneras o formas y el r-simo paso de Nr maneras o formas, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de;N1 x N2 x ..........x Nr maneras o formasEl principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro.Ejemplos:1) Una persona desea construir su casa, para lo cul considera que puede construir los cimientos de su casa de cualquiera de dos maneras (concreto o block de cemento), mientras que las paredes las puede hacer de adobe, adobn o ladrillo, el techo puede ser de concreto o lmina galvanizada y por ltimo los acabados los puede realizar de una sola manera cuntas maneras tiene esta persona de construir su casa?2) 2) Cuntas placas para automvil pueden ser diseadas si deben constar de tres letras seguidas de cuatro nmeros, si las letras deben ser tomadas del abecedario y los nmeros de entre los dgitos del 0 al 9?, a. Si es posible repetir letras y nmeros, b. No es posible repetir letras y nmeros, c. Cuntas de las placas diseadas en el inciso b empiezan por la letra D y empiezan por el cero, d. Cuantas de las placas diseadas en el inciso b empiezan por la letra D seguida de la G.3) 3) Cuntos nmeros telefnicos es posible disear, los que deben constar de seis dgitos tomados del 0 al 9?, a. Considere que el cero no puede ir al inicio de los nmeros y es posible repetir dgitos, b. El cero no debe ir en la primera posicin y no es posible repetir dgitos, c. Cuntos de los nmeros telefnicos del inciso b empiezan por el nmero siete?C) PRINCIPIO ADITIVO.Si se desea llevar a efecto una actividad, la cul tiene formas alternativas para ser realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas ..... y la ltima de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de, M + N + .........+ W maneras o formasEjemplos:1) Una persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cul ha pensado que puede seleccionar de entre las marcas Whirpool, Easy y General Electric, cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en cuatro colores diferentes y puede ser automtica o semiautomtica, mientras que la lavadora de la marca E, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores diferentes y puede ser automtica o semiautomtica y la lavadora de la marca GE, se presenta en solo un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y solo hay semiautomtica. Cuntas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora?2 ) Rafael Luna desea ir a las Vegas o a Disneylandia en las prximas vacaciones de verano, para ir a las Vegas l tiene tres medios de transporte para ir de Chihuahua al Paso Texas y dos medios de transporte para ir del Paso a las Vegas, mientras que para ir del paso a Disneylandia l tiene cuatro diferentes medios de transporte, a) Cuntas maneras diferentes tiene Rafael de ir a las Vegas o a Disneylandia?, b) Cuntas maneras tiene Rafael de ir a las Vegas o a Disneylandia en un viaje redondo, si no se regresa en el mismo medio de transporte en que se fue?.COMBINACIN Y PERMUTACION.COMBINACIN:Es todo arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posicin que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.PERMUTACIN:Es todo arreglo de elementos en donde nos interesa el lugar o posicin que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.Suponga que un saln de clase est constituido por 35 alumnos. a) El maestro desea que tres de los alumnos lo ayuden en actividades tales como mantener el aula limpia o entregar material a los alumnos cuando as sea necesario.El maestro desea ahora que se nombre a los representantes del saln (Presidente, Secretario y Tesorero).la frmula de permutaciones de r objetos tomados de entre n objetos es: Esta frmula nos permitir obtener todos aquellos arreglos en donde el orden es importante y solo se usen parte (r) de los n objetos con que se cuenta, adems hay que hacer notar que no se pueden repetir objetos dentro del arreglo, esto es, los n objetos son todos diferentes.Ejemplos:1) Cuantas representaciones diferentes sern posibles formar, si se desea que consten de Presidente, Secretario, Tesorero, Primer Vocal y Segundo Vocal?, s esta representacin puede ser formada de entre 25 miembros del sindicato de una pequea empresa.2) a. Cuntas maneras diferentes hay de asignar las posiciones de salida de 8 autos que participan en una carrera de frmula uno? (Considere que las posiciones de salida de los autos participantes en la carrera son dadas totalmente al azar) b. Cuntas maneras diferentes hay de asignar los primeros tres premios de esta carrera de frmula uno?3) Cuntos puntos de tres coordenadas ( x, y, z ), ser posible generar con los dgitos 0, 1, 2, 4, 6 y 9?, Si, a. No es posible repetir dgitos, b. Es posible repetir dgitos.4) a. Cuntas maneras hay de asignar las 5 posiciones de juego de un equipo de bsquetbol, si el equipo consta de 12 integrantes?, b. Cuntas maneras hay de asignar las posiciones de juego si una de ellas solo puede ser ocupada por Uriel Jos Esparza?, c. Cuntas maneras hay de que se ocupen las posiciones de juego si es necesario que en una de ellas este Uriel Jos Esparza y en otra Omar Luna?5) Cuntas claves de acceso a una computadora ser posible disear, si debe constar de dos letras, seguidas de cinco dgitos, las letras sern tomadas del abecedario y los nmeros de entre los dgitos del 0 al 9. a. Considere que se pueden repetir letras y nmeros, b. Considere que no se pueden repetir letras y nmeros, c. Cuntas de las claves del inciso b empiezan por la letra A y terminan por el nmero 6? COMBINACIONES.Como ya se mencion anteriormente, una combinacin, es un arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posicin que ocupan los mismos dentro del arreglo. En una combinacin nos interesa formar grupos y el contenido de los mismos.La frmula para determinar el nmero de combinaciones es: nCr = Combinaciones de r objetos tomados de entre n objetosDonde se observa que,Ejemplos:1) a. Si se cuenta con 14 alumnos que desean colaborar en una campaa pro limpieza del Tec, cuantos grupos de limpieza podrn formarse si se desea que consten de 5 alumnos cada uno de ellos, b.si entre los 14 alumnos hay 8 mujeres, cuantos de los grupos de limpieza tendrn a 3 mujeres?, c.cuntos de los grupos de limpieza contarn con 4 hombres por lo menos?2) Para contestar un examen un alumno debe contestar 9 de 12 preguntas, a.Cuntas maneras tiene el alumno de seleccionar las 9 preguntas?, b.Cuntas maneras tiene si forzosamente debe contestar las 2 primeras preguntas?, c.Cuntas maneras tiene si debe contestar una de las 3 primeras preguntas?, d.Cuntas maneras tiene si debe contestar como mximo una de las 3 primeras preguntas?3) Una seora desea invitar a cenar a 5 de 11 amigos que tiene, a. Cuntas maneras tiene de invitarlos?, b. cuntas maneras tiene si entre ellos est una pareja de recin casados y no asisten el uno sin el otro, c. Cuntas maneras tiene de invitarlos si Rafael y Arturo no se llevan bien y no van juntos?PROBLEMAS PROPUESTOS1. Si una prueba se compone de 12 preguntas de verdadero-falso, a. de cuantas maneras diferentes un estudiante puede dar una respuesta para cada pregunta?, b. S de antemano el maestro le dice que la primera pregunta es verdadera, cuntas maneras tiene de contestar esta prueba?. a. r=4,096 maneras b. r=2,048 maneras2. Un fabricante tiene dificultades para obtener registros consistentes de resistencias a la tensin entre tres mquinas localizadas en la planta de produccin, el laboratorio de investigacin y el laboratorio de control de calidad , respectivamente, al mismo tiempo hay cuatro posibles tcnicos Toms, Enrique, Rafael y Javier- quienes operan al menos una de las mquinas a prueba regularmente, a. cuntos pares operador-mquina deben incluirse en un experimento planeado en el que cada operador maneje todas las mquinas?, b. Si se requiere que cada par operador-mquina pruebe ocho especimenes, cuntos especimenes de prueba se necesitan para el procedimiento ntegro? Nota: un espcimen se destruye cuando se mide su resistencia a la tensin.a. r=12 pares b. r=96 especimenes3. Un inspector de construcciones tiene que revisar el cableado de un nuevo de departamentos, ya sea el lunes, el martes, mircoles o jueves, a las 8 A. M., a las 10 A. M. o a las 2 P. M. , a. cuntas maneras tiene este inspector de hacer las revisiones del cableado?, b. Obtenga las maneras en que el inspector puede realizar las revisiones del cableado, haciendo uso ahora de un diagrama de rbol. a y b. r=12 maneras4. Si los cinco finalistas de un torneo internacional de golf son Espaa, Estados Unidos, Portugal, Uruguay y Japn, a. Diga de cuantas maneras es posible que se otorgue un primero, segundo lugar y tercer lugar, b. Considerando que el primer lugar lo gana Portugal y el segundo lo gana Estados Unidos, cuantas maneras hay de que se otorguen los lugares antes mencionados?. a. r=60 maneras, b. r=3 maneras5. Una computadora de propsito especial contiene tres conmutadores, cada uno de los cules puede instalarse de tres maneras diferentes. De cuantas maneras diferentes puede instalarse el banco de conmutadores de la computadora? r= 27 maneras6. De cuantas maneras ordenadas puede programar un director de televisin seis comerciales en los seis intermedios para comerciales durante la transmisin televisiva del primer tiempo de un partido de hockey?, si, a. los comerciales son todos diferentes, b. dos de los comerciales son iguales, c. Si hay cuatro comerciales diferentes, uno de los cuales debe aparecer tres veces, mientras que cada uno de los otros debe aparecer una sola vez. a. r=720 maneras b. r=360 maneras c. r=120 maneras7. Determine el nmero de maneras en las que un fabricante puede seleccionar dos de las quince ubicaciones para un almacn. r=105 maneras8. Una caja de 12 bateras recargables, contiene una defectuosa, de cuantas maneras un inspector puede seleccionar tres de las bateras y, a. obtener la defectuosa, b. no obtener la defectuosa. a. r=55 maneras, b. r=165 maneras9. El departamento de suministros tiene ocho diferentes motores elctricos y cinco diferentes interruptores de arranque. De cuantas maneras pueden seleccionarse dos motores y dos conmutadores para un experimento de una antena de rastreo?, r=280 maneras10. A los participantes de una convencin se les ofrecen 6 recorridos por da para visitar lugares de inters durante los tres das de duracin del evento. En cuantas formas puede una persona acomodarse para hacer alguno de ellos? r=18 formas11. Un determinado zapato se fabrica en 5 estilos diferentes y en 4 colores distintos para cada uno. Si la zapatera desea mostrar a su clientela pares de zapatos en todos los estilos y colores, cuntos pares distintos debern colocar en el aparador? r=2012. Un estudiante de primer ao debe tomar un de ciencia, uno de humanidades y otro de matemticas. Si puede escoger entre cualquiera de 6 cursos de ciencias, 4 de humanidades y 4 de matemticas, cuntas maneras tiene de seleccionar las materias? r=96 maneras13. Un urbanista de una nueva subdivisin ofrece a los clientes prospectos para la compra de una casa, la posibilidad de seleccionar cualquiera de 4 diseos diferentes, tres sistemas de calefaccin, cochera con puertas o sin ellas, y patio o prtico, cuntos planes distintos estn disponibles para el comprador? r= 48 planes14. Si una prueba de seleccin mltiple consta de 5 preguntas, cada una con 4 posibles respuestas, de las cuales solo una es correcta, a. en cuantas formas diferentes puede un estudiante escoger una respuesta para cada pregunta?, b. en cuantas formas puede un estudiante escoger una alternativa para cada pregunta y tener todas las respuestas incorrectas? a. r= 1024 b. r=24315. Un testigo de un accidente de trnsito en el que el causante huy, le indica al polica que el nmero de matrcula del automvil tena las letras DUH seguidas por tres dgitos, el primero de los cuales era un cinco. S el testigo no puede recordar los otros dos dgitos, pero est seguro de que los tres eran diferentes, encuentre el nmero mximo de registros de automvil que debe verificar la polica. r=72 registros16. a) De cuantas maneras pueden formarse 6 personas para subir a un autobs?, b.si tres de ellas insisten en seguirse una a la otra, en cuantas formas es esto posible?,c.Si dos personas se rehsan a seguirse una a la otra? a. r=720 b. r=144 c. r=480 maneras17. a) cuntos nmeros de tres dgitos pueden formarse con los dgitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, y 6, si cada uno solo puede usarse solo una vez?, b) cuntos de estos nmeros son nones?, c) cuntos son mayores que 330? a. r=180 b. r=75 c. r=105 nmeros18. En cuantas formas pueden sentarse en una lnea 4 nios y 5 nias, si deben colocarse alternadamente? r=2880 formas19. Cuatro matrimonios compraron 8 lugares para un concierto. En cuantas formas diferentes pueden sentarse a. sin restricciones?, b. si se sientan por parejas?, c. si todos los hombres se sientan juntos a la izquierda de todas las mujeres? a. r=40,320 b. r=384 c. r=57620. Cuntos mens que consisten de sopa, emparedado, postre y un refresco se puede ofrecer si se puede seleccionar entre 4 sopas diferentes, 3 clases de emparedados, 5 postres y 4 refrescos? r=240 mens21. En cuantas formas pueden llenarse las 5 posiciones iniciales de un equipo de baloncesto con 8 jugadores que pueden ocupar cualquiera de ellas? r=6720 formas5928022. Se sacan tres boletos de la lotera, de un grupo de 40, para el primero, segundo y tercer premios. Encuentre el nmero de puntos muestrales en para otorgarlos si cada concursante conserva solo un boleto. r=59,280 puntos23. En cuantas formas pueden plantarse, a lo largo de la lnea divisoria de una propiedad, 3 robles, 4 pinos y 2 arces, si no se distingue entre los rboles de la misma clase? r=1,260 formas24. Nueve personas salen de viaje para esquiar en tres vehculos cuyas capacidades son de 2, 4 y 5 pasajeros, respectivamente. En cuntas formas es posible transportar a las 9 personas hasta el albergue con todos los vehculos? r=4,410 formas25. Cuntas formas hay de seleccionar a 3 candidatos de un total de 8 recin graduados y con las mismas capacidades para ocupar vacantes en una firma contable? R=56,,21,,10 formas26. En un estudio que realizaron en california, el decano Lester Breslow y el doctor James Enstrom de la School of Public Health de la University of California en los Angeles, se concluy que al seguir 7 sencillas reglas de salud, la vida de un hombre puede alargarse, en promedio 11 aos, y la de las mujeres siete. Estas 7 reglas son: no fumar, hacer ejercicio regularmente, tomar alcohol solo en forma moderada, dormir siete u ocho horas, conservar un peso apropiado, desayunar y no comer entre alimentos. En cuantas formas puede una persona adoptar cinco de estas reglas, a. si actualmente las viola todas?, b. si nunca toma bebidas alcohlicas y siempre desayuna? a. r=21 formas b.r=10 formas27. Un dispositivo Biomecnico para emergencias mdicas puede operar 0, 1 o 2 veces por noche. Trace un diagrama de rbol para demostrar que existen 10 maneras diferentes en las que puede operar para un total de 6 veces en cuatro noches.