PROBABILIDADES

1. TCNICAS DE CONTEO

1.1 DEFINICIN DE FACTORIAL

Al producto de los n primeros enteros positivos se denomina n factorial, que se denota por n!, y se lee n factorial. Es decir:

5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

Entones se tiene

5! = 5 x 4!

5! = 5 x 4 x 3!

Efectuando una generalizacin se tiene n! = n x (n-1)!

1.2. DEFINICIN DE COMBINACIN

Una combinacin es el nmero total de maneras distintas en que se puede seleccionar r elementos de un total n, cuando no interesa el orden en la seleccin. Se denota por:

; ; , Que se calcula de la siguiente manera:

Si

Para clarificar el proceso de clculo, observe los siguientes ejemplos que se encuentran desarrollados

Se tiene un portafolio en la cual se ofrecen acciones de 8 empresas diferentes, si se desea invertir la misma cantidad de dinero en tres empresas, de cuantas manera se puede hacer la seleccin de las entidades para efectuar la inversin.

= 56

Un grupo asignado a un proyecto est conformado por 2 ingenieros y 3 tcnicos y debe ser conformado a partir de una planta departamental que incluye a 5 ingenieros y 9 tcnicos. Cuantos grupos pueden formarse a partir de las personas disponibles?

Interesa que en el grupo haya dos ingenieros por lo tanto hay maneras de escogerlo.

Para que haya tres tcnicos, existen maneras de seleccionarlo. Bajo esta situacin el nmero total de maneras distintas en que se puede conformar el grupo de proyectos viene dado por:

Hay 12 maneras en las cuales un artculo manufacturado puede tener un pequeo defecto y 10 maneras en las cuales puede tener un defecto mayor. De cuantas maneras distintas pueden ocurrir dos defectos mayores y dos menores?

Los artculos pueden tener diferentes clases de daos, para los dos defectos menores que interesa encontrar, hay maneras de hacerlo. Para un defecto mayor existen maneras distintas de hacerlo.

Por lo tanto el nmero de manera distintas en que se puede encontrar dos defectos menores y dos mayores, est dado por.

= 2970

1.3 DEFINICIN DE PERMUTACIN

Una permutacin es el nmero total de maneras distintas en que se puede seleccionar r elementos de un total n, cuando interesa el orden en la seleccin. Se denota por y se calcula as:

Si

1.4 PERMUTACIN CON REPETICIN

El nmero total de arreglos diferentes que se pueden hacer con r elementos de un total n, viene dado por:

NrNo se pueden repetir los dgitos?

Si se pueden repetir los dgitos? Nr =9x9x9= 93 = 7291.5 PERMUTACIN CON OBJETOS INDISTIGUIBLES

El nmero total de arreglos diferentes que se puede hacer con n elementos, cuando hay N1 de una clase, N2 de otra clase y as sucesivamente hasta Nk, con N1+ N2++ Nk = N. Viene dado por:

Una flota de 8 taxis se destina al azar a tres aeropuertos A, B, C. Dos taxis van a A , 5 a B y 1 a C. De cuantas maneras posibles se puede hacer esta asignacin?

8!__ = 168

5! 2! 1!

Se divide por 5!, en razn al nmero de maneras en que los cnico taxis pueden ser asignados al Aeropuerto B, y se divide por no poderse diferenciar la asignacin que hay hacia el mismo lugar de los cinco taxis.

Cuntas maneras se pueden repartir 9 juguetes entre tres nios, si se desea que a un nio le toquen 4 juguetes, a otro 2 y a los otros 3 juguetes? 9!__ = 1260

4! 2! 3!

1.4 PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACIN

Si un suceso A1 Puede ocurrir de N1 maneras, un suceso A2 de N2 maneras , y as sucesivamente hasta un suceso AN que puede ocurrir de NK maneras; el nmero total de maneras distintas en que puede ocurrir A1 , A2 , . . . Ak , com N1 + N2 + ......... Nk = N. Est dado por:

N1 x N2 x ......... Nk.Hay 12 maneras en las cuales un artculo manufacturado puede tener un pequeo defecto y 10 maneras en las cuales puede tener un defecto mayor. De cuantas maneras puede ocurrir:

Un defecto menor y uno mayor? 12 x 10 = 120

Un producto se arma en 3 etapas. En la primera etapa hay 5 lneas de armado, en la segunda, 4 lneas de armado y en la tercera, 6 lneas de armado. De cuantas maneras puede moverse el producto en el proceso de armado?

5 x 4 x 6 = 120

1.5 EJERCICIOS1. Cuntas diagonales hay en un polgono de doce lados?

En un cuadrado hay dos diagonales

En un pentgono hay cinco diagonales

En un hexgono hay 9 diagonales

El nmero de diagonales viene dado por la expresin

Donde n es el nmero de lados. Por lo tanto el nmero de diagonales en un polgono de doce lados ser

2. Un lote consta de 10 artculos sin defecto, 4 con pequeos defectos y 2 con defectos graves. Se eligen dos artculos (sin sustitucin), de cuntas maneras se puede encontrar::

a) Ambos sean buenos Rta 45b) A lo menos uno sea bueno Rta 105c) Exactamente uno sea bueno Rta 60d) Ambos tengan defectos graves Rta 1e) A lo ms uno sea bueno Rta 75f) Ninguno tenga defectos graves Rta 91

g) Ninguno sea bueno. Rta 15

3. Un inspector visita 6 mquinas diferentes durante el da. A fin de impedir que los operadores sepan cundo inspeccionar, vara el orden de las visitas. de cuntas maneras puede hacerlo? Rta 720

4. Un mecanismo complejo puede fallar en 15 partes diferentes. Si falla en 3 partes de cuntas maneras puede suceder? Rta 455

5. De 6 nmeros positivos y 8 nmeros negativos se eligen 4 nmeros al azar (sin sustitucin) y se multiplican. De cuntas maneras distintas se puede obtener un nmero positivo? Rta5056. Si se cuenta con 14 alumnos que desean colaborar en una campaa pro limpieza. Cuntos grupos de limpieza se pueden formar si se desea que estn conformados por 5 alumnos. Rta 2002a) Si de entre los 14 alumnos hay 8 mujeres, cuntos de los grupos de limpieza tendrn a 3 mujeres? Rta 840

b) Cuntos de los grupos de limpieza contarn con 4 hombres por lo menos? Rta 1267. En un plano hay 10 puntos denominados A, B, C,..., etc., en una misma lnea no hay ms de dos puntos:

a. Cuntas lneas pueden ser trazadas a partir de los puntos? Rta 45b. Cuntas de las lneas no pasan por los puntos A o B? Rta 26c. Cuntos tringulos pueden ser trazados a partir de los puntos? Rta 120

d. Cuntos de los tringulos contienen el punto A? Rta 36e. Cuntos de los tringulos tienen el lado AB? Rta 8

8. Si hay dos formas para ir de A a B; 3 formas para ir de B a C y 4 Formas para ir de C a D. De cuntas formas diferentes se puede ir de A a D, pasando por B y C? Rta 249. De un grupo de personas conformado por 10 varones y 8 mujeres se desean seleccionar dos para llenar los cargos de presidente y vicepresidente.

a) De cuantas maneras se puede hacer la seleccin? Rta 306b) De cuntas maneras si los cargos deben ser ocupados por un hombre y una mujer? Rta 160c) De cuntas maneras si el presidente debe ser una mujer? Rta 136d) De cuntas maneras si debe haber en el comit por lo menos una mujer? Rta 10810. De cuntas maneras se pueden exhibir 4 neveras y tres estufas en una hilera de 7 vitrinas?, si las estufas y neveras son diferentes entre s? Rta 5040

11. Un vendedor debe visitar ocho clientes. De cuntas maneras distintas puede visitarlos, si visita cinco en un da y tres el siguiente da? Rta 5612. Una fbrica de autos produce cuatro modelos diferentes. Los modelos M1 y M2 pueden salir en cuatro estilos de carrocera: compacto, sedn, convertible y camioneta. Los modelos M3 y M4 pueden salir en dos estilos compactos y sedn. Cada auto puede tener cualquiera entre ocho colores de pintura diferentes. Cuntos tipos diferentes de autos puede producir la fbrica? RTA 9613. De cuntas maneras se pueden sentar siete personas en una mesa redonda si dos de ellas deben estar juntas?

14. Se tiene un chocolate, dos confites, tres refrescos y cuatro helados para repartir entre 10 nios. Si cada nio debe recibir alguna de estas golosinas, de cuntas maneras se puede hacer la distribucin?

15. En cierto da de operaciones burstiles se transfirieron 250 acciones en la Bolsa de valores de una ciudad. De estas acciones 145 aumentaron de precio respecto del da anterior, 95 disminuyeron y 10 no cambiaron. Establecer el nmero de maneras distintas en que pudo ocurrir esto.

16. Demuestre que nPn = n Pn-117. Un vendedor de autos nuevos quiere impresionar a sus clientes potenciales con la cantidad posible de diferentes combinaciones de que dispone. Un modelo presenta tres tipos de motores, dos transmisiones, cinco colores de carroceras y dos colores de interiores. Cuntas posibilidades de elecciones hay?

18. Las placas de matrcula de un automvil tienen tres letras seguidas de cuatro nmeros. S las letras y los nmeros se pueden repetir

a) Cuntas placas diferentes se pueden realizar?

b) Cuantas placas diferentes si no se puede emplear la O y el cero?

c) Si los carros diplomticos deben iniciar con las letras DIP. Cuntas placas diferentes para carros diplomticos de pueden realizar.

d) Cuntas placas terminan en nmero par?

e) Cuntas placas tienen un nmero mayor a 8569?

19. Cuantas palabras diferentes se pueden conformar con las letras de la palabra ABRACADABRA

20. El administrador de un restaurante revisa botellas de vino y acepta o rechaza cada botella. Si 10 botellas son sometidas a inspeccin, de cuntas maneras diferentes puede:

a) Aceptar una botella? b) Aceptar dos botellas? c) Aceptar tres botellas?

Nota: La nica caracterstica distinguible es la aceptacin o el rechazo?

21. Si en un torneo de basquetbol participan 36 equipos. Cuntos pueden ser los resultados para los tres primeros lugares? 22. Un consta de 20 preguntas, cada una de las cuales tiene cuatro posibles respuestas. De cuantas maneras puede ser contestado? Si cada pregunta tiene solamente una respuesta correcta. De cuntas maneras puede ser contestado para tener todas las preguntas mal respondidas? 23.Cuntos nmeros impares de 2 cifras se pueden formar con los dgitos 1, 3, 5,6 y 7? a) Si no se pueden repetir dgitos.

b) Cuntos si es posible repetir dgitos?

c) Cuntos tiene el nmero seis? 24. De cuntas formas se pueden ubicar en una fila de 7 asientos a 3 hombres y 4mujeres, si las mujeres deben estar juntas?

a) Si una pareja en particular debe estar junta?

b) Si la fila debe ser encabezada por una mujer?

25. De seis nmeros positivos y 5 nmeros negativos, se escogen 4 nmeros al azar y se multiplican. Calcular el nmero de formas que se pueden multiplicar, de tal manera que el producto sea positivo.

26. Un equipo de futbol esta integrados por 15 jugadores. Cuntas alineaciones se pueden realizar para dar inicio a un partido si?

a) Cualquier jugador puede jugar en cualquiera de las cinco posiciones? b) Si tres personas solamente juegan en la posicin dos?104

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