tarea2_electromagnetismo1

7/24/2019 Tarea2_Electromagnetismo1

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Electromagnetismo I

Tarea 2: Campo y potencial elctricos

Diego Gomez

201318237

20 de agosto de 2015

En la totalidad del trabajo se referir a las cantidades escalares con letras estndar y a las vecto-riales con letras en negrilla.

Problema #1.

Se quiere hallar la energa almacenada en una distribucin de carga esfrica con densidad uniforme y radioa. Para esto, se sumar el aporte de energa de un cascarn esfrico tras otro.

dE= dqV(r) = 1

40dq

q(r)

r

E= a

0

1

40dqq(r)

r= 1

40 a

0

(4r2dr)43

r3

r

=42

30 a

0

r4dr=42a5

150

Problema #2.

Se tiene una esfera de radio a con una densidad de carga inicial . Despus se extrae de esta unasegunda esfera de radioa/2, de tal forma que un punto de su superficie daba con el centro de la esferaoriginal. Se quiere hallar el campo elctrico Een el centro de la esfera (la original) y en el punto de lasuperficie de la esfera (la original) que se encuentra en el mismo eje que los dos centros de la primeraesfera y el hueco dejado por la segunda (se supondr que es el eje z por facilidad de notacin).

Para el punto central (A) se tiene que el campo original era 0, debido a que por la simetra dela esfera todas las cargas diferenciales tenan una antpoda que generaba un campo de la mismamagnitud y en la direccin contraria. Sin embargo, al retirar la segunda esfera, el campo que estaaportaba dejo de afectar al punto A y de hecho, el campo resultante debe ser de la misma magnitud

que el que esta aportaba, pero en el sentido contrario (de lo contrario el original no sera 0).Recurdese la ley de Gauss:

SE dA=

V

0d (II.1)

En este caso es constante y es el mismo para las dos esferas, as como el campo es constante

1


2/5


3/5

|Ez| = 1

40 |Q

|2b |z

|3 2

0 d= |Q

|40 |z

|(b2 +z2)3/2d|Ez|

dz =

|Q|40

1

(b2 +z2)3/2 3z

2

(b2 +z2)5/2

= 0

b2 +z2 3z2 = 0 zex= 12

b

Ahora, para determinar si el z hallado es un extremo mnimo o mximo se halla la segundaderivada del campo con respecto a z , evaluado el punto de inters.

d2Ezdz2

z= 12 b

= |Q|40

3z

(b2 +z2)5/2 6z

(b2 +z2)5/2 15z

3

(b2 +z2)7/2

z= 12 b

= |Q|40

92b32

b25/2 + 1522b33

2b27/2

= |Q|40

16

9

3b4

< 0

Por el criterio de la segunda derivada se puede determinar que ambos puntos (zex = 12b) sonmximos de intensidad.

Problema #4.

Sea un potencial definido por partes, se quiere determinar el campo elctrico y la densidad decarga correspondientes.

=

x2 +y2 +z2 parax2 +y2 +z2 < a2

a2 + 2a3(x2+y2+z2)1/2

parax2 +y2 +z2 > a2

El valor dea debe ser positivo debido a la condicin de frontera para el potencial:

afuera adentro= 0 (IV.2)

Adems, para facilitar el procedimiento se trabajar con las coordenadas esfricas, de tal maneraque la nueva definicin de es:

= r2 parar < a

a2 + 2a

3

r para r > a

Recurdese entonces la definicin del gradiente y de la divergencia en el sistema de coordenadasesfricas

T= Tr

r +1

r

T

+

1

r sin

T

(IV.3)

v= 1r2

r(r2vr) +

1

r sin

(sin v) +

1

r sin

v

(IV.4)

3


4/5

Por la definicin de potencial elctrico

E= =

r r

=

2rr para r < a

2a3

r2 r parar > a

Finalmente, por la ley de Gauss en forma diferencial

= 0E= 0r2

r(r2Er) =

60 para r < a0 parar > a

Como se puede notar, el sistema de cargas est agrupado en una esfera con radio a y con cargatotal negativa (dentro de esta). Sin embargo, es necesario que exista una carga positiva sobre lasuperficie, puesto que el campo al interior es negativo y en el exterior es positivo. Para hallar este sedebe utilizar la condicin de frontera para el campo elctrico perpendicular a una superficie:

Eafuera Eadentro= 0

(IV.5)

De esta manera, tomando el lmite cuando r tiende a a

0=

2a3

a2 (2a) = 4a = 4a0 ( parar = a)

Problema #5.

Se tiene una varilla delgada sobre el eje z, que va desde dhastad y que cuenta con una densidadde carga lineal . Se quiere hallar el potencial elctrico en el punto (0, 0, 2d); as como se quiereencontrar el punto (x, 0, 0), tal que el potencial en este segundo punto sea el mismo que el delprimero.

Sea el vector distancia entre un punto de la varilla y el punto(0, 0, 2d).

V(0, 0, 2d) =

1

40 dd

dz =

1

40 dd

2d z dz =

40 ln|2d z||d

d=

40 ln(3)

Ahora, sea el vector distancia entre un punto de la varilla y el punto(x, 0, 0).

V(0, 0, x) = 1

40

dd

dz =

1

40

dd

(x2 +z2)1/2dz

z= |x| tan (sustitucin trigonomtrica)dz = |x| sec2 d

V(0, 0, x) = 1

40

21

|x| sec |x| sec2 d =

40

21

sec d

=

40

ln | sec + tan ||21 =

40

ln (x2 +z2)1/2

x +

z

x d

d

=

40ln

(x2+d2)1/2

x + dx

(x2+d2)1/2

x dx

= 40 ln(x2 +d2)1/2 +d(x2 +d2)1/2 d

Debido a que el potencial es el mismo en (x, 0, 0)que en (0, 0, 2d)(x2 +d2)1/2 +d(x2 +d2)1/2 d

= 3 (x2 +d2)1/2 +d= 3(x2 +d2)1/2 3d 2d= (x2 +d2)1/23d2 =x2 x=

3d

4


5/5

Problema #6.

Se tiene definido un potencial en el espacio y se quiere determinar el campo elctrico y la distri-bucin elctrica. Adicionalmente, se quiere hallar la carga total.

Sea el potencial

V(r) = Aer

r

dondeA y son constantes.Se realizar el mismo procedimiento que en el Problema # 4, haciendo uso de las frmulas IV.3

y IV.4 y teniendo en cuenta la propiedad distributiva de la divergencia.

E(r) = Vr

r= Ae

r

r e

r

r2

r= A

er

r r +A

er

r2 r

(r) = 0

E(r) = 0 Aer

r r + A

er

r2 r

Hay que tener en cuenta que la divergencia de una funcin vectorial de la forma f(r)rr2 es especial,

puesto que en el origen hay una discontinuidad. De esta manera, para el resto del espacio se puedehallar de manera normal, mientras que para calcularla en este punto es necesario utilizar el teoremade Gauss alrededor de una esfera imaginaria de radio R.

V

Aer

r2

d=

S

Aer rr2

dA= AeR

R2

S

dA= 4AeR R0

4A

donde se tuvo en cuenta que el radio es constante en la superficie esfrica. Debido a que esto debeser cierto para cualquier R, se puede escoger el lmite cuando R tiende a 0, de tal manera que todo el

aporte a la integral de volumen lo haga el origen. Esto quiere decir que la divergencia de esta funcines igual a4A veces el Delta de Dirac en tres dimensiones, cuando se evala en el origen.Adicionando el trmino hallado a la ecuacin de densidad (esto es vlido porque se anula en todo

punto que no sea el origen):

(r) = 0

1

r2

r

Aerr

r +

1

r2

r

Aer

r + 4A3(r)

=0

1

r2(A2err+Aer) + 1

r2(Aer) + 4A3(r)

=0A

43(r) 2 e

r

r

Finalmente, para hallar la carga total basta con integrar la funcin de densidad sobre el espacio

R3.

Qtotal =

V

(r)d= 4A0

1 2

0

errdr

= 4A0

1 2

re 1 r

0

+1

0

erdr

= 4A0

1 2

lm

rr

er 1

2er

0

= 4A0

1 2

lm

r1

2er +

1

2

= 0

5

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