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Carta de SmithOBJETIVOConocer y entender la carta de Smith, así como sus aplicaciones en el análisis
de líneas de transmisión.
INTRODUCCIÓN
La carta de Smith fue desarrollada en 1939 por Phillip Hagar Smith en loslaboratorios del teléfono de Bell. Debido a que Smith tenía el problema deemparejar la línea de la transmisión a la antena; una componente, que élconsideraba, emparejó la línea al espacio. En vista de la frecuencia y de lopesado que era debido al tamaño y resultante de la antena, las medidas noeran simples. Por lo que decidio crear un aparato capaz de realizar todo esto,de manera de ahorrar tiempo y darle simplicidad a los calculos.
En su trabajo, Phill realizo el diagrama desarrollando una serie de pasos.Primero fue la creación de la carta rectangular pero esta fue limitada por lagama de datos que podría acomodar. En 1936 fue cuando él desarrolló unnuevo diagrama que eliminó la mayoría de las dificultades. La nueva carta erauna forma coordinada polar especial en la cual todos los valores de loscomponentes de la impedancia podrían ser acomodados.
DEFINICIONDiagrama polar especial que contiene círculos de resistencia, círculos dereactancia constante, círculos de razón de onda estacionaria constante ycurvas radiales que representan los lugares geométricos de desfase en una
línea de valor constante; se utiliza en la resolución de problemas de guías deondas y líneas de transmisiónDESARROLLOLa carta de Smith es una herramienta gráfica usada para relacionar uncoeficiente de reflexión complejo con una impedancia compleja. La carta deSmith se puede utilizar para una variedad de propósitos incluyendo ladeterminación de la impedancia, emparejar de la impedancia, optimizacióndel ruido, la estabilidad etc. La carta de Smith es una ingeniosa técnicagráfica que virtualmente evita todas las tediosas operaciones con númeroscomplejos. Por ejemplo, se puede determinar la impedancia de entrada a unalínea de transmisión dando su longitud eléctrica y su impedancia de carga.
CARTA DE SMITH
La carta de Smith es un tipo de nomograma, usado en ingeniería eléctrica,
que muestra cómo varía la impedancia compleja de una línea de transmisión
a lo largo de su longitud. Se usa frecuentemente para simplificar la
adaptación de la impedancia de una línea de transmisión con su carga.
La carta de Smith es un diagrama polar especial que contiene círculos de
resistencia constante, círculos de reactancia constante, círculos de relación
de onda estacionaria constante y curvas radiales que representan los lugares
geométricos de desfase en una línea de valor constante; se utiliza en laresolución de problemas de guías de ondas y líneas de transmisión.
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Fue inventada por Phillip Smith en 1939 mientras trabajaba para RCA. El
motivo que tenía Smith para hacer este diagrama era representar
gráficamente las relaciones matemáticas que se podían obtener con una
regla de cálculo.
La carta de Smith fue desarrollada en los Laboratorios Bell. Debido a losproblemas que tenía para calcular la adaptación de las antenas a causa de sugran tamaño, Smith decidió crear una carta para simplificar el trabajo.
Phillip persistió en su trabajo y el diagrama fue desarrollado gradualmentecon una serie de pasos. La primera carta rectangular fue limitada por la gamade datos que podría acomodar. En 1936 desarrolló un nuevo diagrama queeliminó la mayoría de las dificultades. La nueva carta era una formacoordinada polar especial en la cual todos los valores de los componentes dela impedancia podrían ser acomodados.
Las curvas del cociente constante de la onda de la situación, de la atenuaciónconstante y del coeficiente de reflexión constante eran todos los círculoscoaxiales con el centro del diagrama. Las escalas para estos valores no eranlineales, pero eran satisfactorias. Con el tiempo la gente que trabaja en este
ámbito propuso las cartas para solucionar problemas de las líneas detransmisión.
MANEJO DE LA CARTA DE SMITH
La carta de Smith es una herramienta gráfica usada para relacionar uncoeficiente de reflexión complejo con una impedancia compleja. Se puedeutilizar para una variedad de propósitos, incluyendo la determinación de laimpedancia, la adaptación de la impedancia, la optimización del ruido, laestabilidad y otros. La carta de Smith es una ingeniosa técnica gráfica quevirtualmente evita todas las operaciones con números complejos. Por
ejemplo, se puede determinar la impedancia de entrada a una línea detransmisión dando su longitud eléctrica y su impedancia de carga.
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El resultado importante es el hecho de que el coeficiente de reflexión detensión y la impedancia de entrada a la línea normalizada en el mismo puntode la línea, están relacionados por la carta de Smith. En la parte exterior de lacarta hay varias escalas. En la parte exterior de la carta está una escalallamada "ángulo del coeficiente de reflexión en grados", a partir de ésta sepuede obtener directamente el valor del argumento del coeficiente dereflexión.
Un par de escalas de suma importancia son las que relacionan la longitud dela línea de transmisión desde el inicio con el coeficiente de reflexión. Una deestas dos escalas está en el lado izquierdo de la carta de Smith y la otra correen el sentido de las manecillas del reloj, ésta se denomina wavelengthstoward generator (longitudes de onda hacia el generador), lo cual indica quesi se utiliza esta escala se estará avanzando hacia el generador, hacia laentrada de la línea. La otra escala corre en sentido contrario de las manecillasdel reloj y se denomina wavelenghts toward load (longitudes de onda hacia lacarga); esto indica que, si se utiliza esta escala, se estará avanzando hacia la
carga o final de la línea.
En el fondo de la carta hay un conjunto de varias escalas, una de las cuales sedenomina Reflection coeff. Vol (Coeficiente de reflexión del voltaje). Si semide la longitud del vector, trazado siempre desde el origen, se puede utilizaresta escala para conocer la magnitud del coeficiente de reflexión del voltaje.
TEORÍA BÁSICA PARA LA CONSTRUCCIÓN DE LA CARTA DE SMITH
Recordemos la expresión del coeficiente de reflexión en la carga, L, enfunción de ésta, ZL, y de la impedancia característica de la línea, Z0:
(1)
Que se puede expresar en forma de módulo y fase |L|, L, o como parte reale imaginaria r,i.La impedancia de carga ZL, normalizada con respecto a la impedanciacaracterística de la línea Z0, también puede escribirse en sus partes real e
imaginaria como:
(2)
Donde r y x son la resistencia y la reactancia normalizadas, respectivamente.A partir de (1) y (2) se pueden obtener las partes real e imaginaria de L:
(3)
Tomando las dos ecuaciones contenidas en (3) para las partes real eimaginaria y por eliminación de r o x, pueden obtenerse las siguientesecuaciones:
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(4)
(5)Si representamos la ecuación (4) sobre el plano (r,i) para valores de r
constante, las gráficas obtenidas son círculos de radio 1/(1 + r) centrados enel eje real en los puntos: r=r/(1+r), i=0. Los distintos valores de r dan
lugar a círculos de radio diferente con centro en distintas posiciones del ejereal. La figura 1 muestra, en línea continua, los casos r=0, 0.5, 1, 2. Todos los
círculos pasan por el punto (1,0). La ecuación (5), para valores de xconstante, también describe círculos de radio 1/|x| , centrados en r=1,
i=1/x. En la figura 1 se muestra, en línea discontinua, los casos x=0, ±0.5,±1, ±2. Nuevamente, todos los círculos pasan por el punto(1,0)
Representación de impedancias normalizadas
La intersección de un círculo r y un círculo x define un punto que representauna impedancia normalizada: r+jx. Por ejemplo, el punto P de la figura 1 representa la impedancia normalizada 0.5+j, un cortocircuito L=-1 serepresenta en el punto (-1,0) y un circuito abierto L=1 en el punto (1,0).
Representación de impedancias normalizadas
Si pensamos en la carta de Smith como una representación en polares, ladistancia de un punto al origen de coordenadas se corresponde con el módulodel coeficiente de reflexión y el ángulo con respecto al eje real positivo secorresponde con su fase:
(6)
(7)
La carta de Smith proporciona ambas escalas, tanto para la lectura del
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módulo (en la parte inferior) como para la lectura de la fase (sobre el círculor=1).
Todas las impedancias que presenten el mismo módulo del coeficiente dereflexión se situarán sobre un círculo centrado en el origen. Por ejemplo, elpunto P (0.5,1) se corresponde con un coeficiente de reflexión 0.62 83º y en la figura 1 se observa el círculo que representa | |=0.62.
Obtención de la ROE
Si recordamos la expresión que relaciona la ROE con el coeficiente dereflexión:
(8)
Y la comparamos con la ecuación (2) vemos que la ROE coincide con el valorde la impedancia normalizada cuando la fase del coeficiente de reflexión escero, es decir, la intersección del círculo | |=cte con el eje real positivo.
Situación de los puntos Vmax y Vmin
Partiendo de la expresión de la onda de tensión en la línea en función delcoeficiente de reflexión:
(9)
Es fácil comprobar que los máximos se producirán cuando la fase delcoeficiente de reflexión sea cero y los mínimos cuando dicha fase sea .
Transformación de impedancias
Si nos desplazamos desde la carga hacia el generador, el coeficiente dereflexión en cualquier punto z de la línea viene dado, en función delcoeficiente de reflexión en la carga, por la expresión:
(10)
Un caso particular es el de las líneas sin pérdidas, donde la ecuación (10) sereduce a:
(11)
Por lo tanto, en una línea sin pérdidas, un desplazamiento z se traduce en uncambio de fase del coeficiente de reflexión, pero el módulo se mantieneconstante. Por ejemplo, un desplazamiento de z= /8 supone un incremento de fase de + /2 sobre el círculo de módulo constante. Esto nos lleva a la obtención de un nuevo punto en la carta de Smith, que se corresponde con laimpedancia vista desde ese punto.De esta forma, la transformación de impedancias producida a lo largo de la
línea puede deducirse observando los valores de r y x que se leen aldesplazarse sobre círculos centrados en la carta (espirales si hay pérdidas).La carta de Smith proporciona dos escalas adicionales sobre su perímetro en
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z/ (en longitudes de onda), una para los movimientos hacia el generador y otra para los movimientos hacia la carga.
Obtención de admitancias
Partiendo de la ecuación de la impedancia vista desde un punto z hacia lacarga ZL, en una línea sin pérdidas:
(12)
Si normalizamos y vemos el caso particular de z= /4:
(13)
Obtenemos la admitancia de carga normalizada. Vemos pues como el
transformador /4 actúa como un inversor de impedancias. Un
desplazamiento de un cuarto de longitud de onda equivale a un cambio de
fase de radianes en el coeficiente de reflexión, por lo tanto el punto de la
admitancia está diametralmente opuesto al de la impedancia
correspondiente. También es posible emplear la carta de Smith como
diagrama de admitancias, muy útil para resolver problemas de conexiones de
líneas en paralelo (donde las admitancias se suman). Si se trabaja con
admitancias normalizadas las posiciones de cortocircuitos y circuitos abiertosestán invertidos respecto de la carta de impedancias y también se invierte la
posición de los lados capacitivo e inductivo.
PROBLEMAS SOBRE LA CARTA DE SMITH (LIMITACIONES)
Existen muchas características atractivas asociadas al uso de la carta deSmith. Entre ellas está su simplicidad, su facilidad de uso debido a queconvierte problemas matemáticos en un problema gráfico y la posibilidad deque todas las impedancias con parte real positiva se puedan representar enun solo trozo de papel. Sin embargo, existe una limitación importante de la
carta de Smith convencional, relacionada con la forma en la que se maneja lamitad real negativa del dominio de impedancias. En el proceso de conversiónde coordenadas que posiciona todo el dominio de resistencias positivas en uncírculo manejable (la carta de Smith), la parte real negativa se expande. Estohace que dibujar impedancias con una parte real negativa sea problemático.Adicionalmente, el punto de -50Ω se convierte en un círculo con radio igual ainfinito. Por lo tanto, el uso de impedancias negativas en la carta de Smithpuede resultar incómodo. Un ejemplo de esto ocurre cuando se investigancírculos de estabilidad para el diseño y estabilización de una etapaamplificadora de RF. El centro y el radio de estos círculos de estabilidadpueden llegar a hacer que los círculos sean extremadamente grandescomparados con el tamaño de la carta. Un ejemplo de esto se puede ver en lafigura.
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Ejemplo de círculo de estabilidad grande.Los programas de diseño asistido por ordenador que automáticamenteescalan el tamaño de la carta reducirían el rango del dominio de parte realpositiva a sólo unos pocos píxeles. Alternativamente, el centro del círculo deestabilidad y su circunferencia se dibujarían fuera de la parte visible de lacarta de Smith. Otras áreas del diseño de RF/microondas requieren el manejode resistencias negativas, como es el caso del diseño de osciladores, así como el diseño de filtros activos de microondas. En el diseño de osciladores,un dispositivo activo es intencionadamente inestabilizado mediante el uso dealgún tipo de realimentación serie o paralelo. La resistencia negativaresultante se conecta a un circuito tanque o a un circuito resonante. En eldiseño de filtros activos, se crea una resistencia negativa para tratar decompensar las resistencias parásitas de los componentes L y C. En amboscasos, una comprensión gráfica de cómo las transformaciones de impedancia
y la carga afectarían a las impedancias negativas vistas podría resultar muyútil. He descubierto que visualizar la carta de Smith como una esfera 3-D enlugar de un círculo en dos dimensiones me ha permitido una mejorpercepción de los problemas de adaptación siempre que intervienenimpedancias negativas. En la siguiente sección se presenta un método para,convenientemente, incorporar la mitad correspondiente a la parte realnegativa del dominio de impedancias en un formato de carta de Smithextendida.Debe notarse que, a lo largo de este artículo, se considera una carta de Smithde impedancia 50Ω. Aunque no va a mostrarse, es también posible produciruna carta de Smith esférica de admitancias o una carta híbridaimpedancia/admitancia para cualquier valor de impedancia característica.
Ejemplo de la Carta de Smith
Ejemplo: Se desea acoplar una línea de transmisión con 2 stubs en paralelo,
tal como se muestra en la gráfica. Determinar las longitudes l1 , l2 .
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Para que exista acoplamiento en b-b’ se necesita 1' __
=− bbY . Empezamos
desde la derecha y averiguamos '
__
aaY − , que para lograr el acoplamientodebe ser del tipo
1
__ __ __
) _ ('' STUBY stub sinaaY aaY +=− para que luego
11) _ ('' 2
__ __ __
=−+=+= jB jBY stub sinbbY bbY STUB
Ubicamos en la carta de Smith 1.16.0
__
jY L −= (punto A), con el mismogiramos hacia el generador la distancia 0.096 y encontramos
286.027.0) _ (' __
j stub sinaaY −=− (punto B). Como1
__
STUBY es imaginario puro,
estamos seguros que2
__
27.0' jBaaY ±=− , es decir, tenemos libertad de
recorrer el circulo 27.0 __
=Gcon libertad (el punto B puede ser movido en ese
circulo).
Por otra parte, para poder acoplar la línea de transmisión necesitamos que
2
__
1) _ (' jB stub sinbbY += de tal forma que
2
__ __ __
) _ ('1' STUBY stub sinbbY bbY +==
Para conseguir que2
__
1) _ (' jB stub sinbbY += , es necesario mover el círculo
1 __
=G una distancia de /8 que es la separación entre ambos Stubs.
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En la carta movemos el círculo 1 __
=G hacia la carga (90o). Una vez hecho esto,
desde el punto B giramos hacia el generador hasta interceptar con el circulo
1 __
=G trasladado 90o.
Encontramos 2 puntos C’ y C. Cualquiera de ellos satisface nuestras
necesidades. Escogemos el más cercano C, por lo que el punto encontrado es
318.027.0)1 _ ('' 1
__ __ __
jY stub sinaaY aaY STUB +=+=
Lo que implica que
)1 _ ('' __ __
1
__
stub sinaaY aaY Y STUB −=
= 0.27 + j0.318 - (0.27 - j0.286)
604.01
__
jY STUB =
Marcando esa porción se obtiene l1 = 0.336
Para obtener2
__ __ __
)2 _ ('' STUBY stub sinbbY bbY += .
2) _ (' __
stub sinbbY se obtiene rotando el punto C con el nuevo aa’ una
distancia de /8 hacia el generador (punto D) (Notamos que aa’ = L ) .
Obviamente al rotar el punto D hacia el generador, nos encontraremos sobre
el círculo 1 __
=G , lo cual era nuestro deseo (punto D).
5.11)2 _ (' __
j stub sinbbY += (Punto D) lo que obliga a que 5.12
__
jY STUB −= para
acoplamiento.
Con esta porción se obtiene:
l2 = (0.334 – 0.25)
l2 = 0.094
Software referente a la solución de los problemas de la carta deSmith
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Smith Chart 0.10: Este programa permite encontrar el nivel óptimoentre la impedancia de la antena y la admitancia, para mostrar su
interacción entre ellas en forma de carta Smith, donde se nosmostrará el nodo radiante y la pérdida en estacionarias. El programa
permite guardar la carta creada y copiarla en el portapapeles de
Windows.
DISEÑOS DE ACOPLADORES DE IMPEDANCIA CON EL USO DE LACARTA DE SMITH
Acoplador direccional
Divisores de potencia y acopladores direccionales
Divisores de potencia y acopladores direccionales son dispositivos pasivosusados en el campo de la radio tecnología. Estos dispositivos acoplan partede la potencia transmitida a través de una línea de transmisión hacia otropuerto, a menudo usando dos líneas de transmisión dispuestas losuficientemente cerca para que la energía que circula por una de las líneas seacople a la otra.
Líneas de transmisión del acoplador
Como se muestra en la figura, un acoplador tiene 4 puertos: entrada, salida,acoplado y aislado. El término “línea principal” se refiere a la línea entre lospuertos 1 y 2. En algunos acopladores direccionales, la línea principal estádiseñada para operar en alta potencia (grandes conectores), mientras que elpuerto acoplado puede usar un conector pequeño SMA. A menudo el puertoaislado está conectado a una carga adaptada, interna o externa(normalmente 50 ohms). Debería tenerse en cuenta que el acopladordireccional, al ser un dispositivo linear, la notación de la Figura es arbitraria.Cualquier puerto puede ser la entrada, de este modo la salida sería el puertoal que está conectada directamente la entrada, el puerto acoplado seria el
puerto adyacente al de entrada, y el aislado seria el puerto en diagonal.
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El puerto acoplado es usado para obtener la información (por ejemplofrecuencia y nivel de potencia) de la señal sin interrumpir el flujo de principalen el sistema (a excepción de la reducción de potencia – ver Figura 2).Cuando la potencia del puerto 3 es la mitad de la de entrada (por ejemplo 3dB inferior a la entrada), la potencia en la línea de transmisión principal estátambién 3 dB por debajo de la de entrada y es igual a la potencia acoplada.Este tipo de acopladores son los llamados híbridos de 90 grados, híbridos oacopladores 3 dB.
Las propiedades comunes deseadas para todos los acopladores direccionalesson un ancho de banda amplio, alta directividad y una buena impedancia deadaptación en todos los puertos cuando los otros puertos están conectados acargas adaptadas. Estas características de los acopladores direccionaleshíbridos y no híbridos se explican por sí mismas. Otras característicasgenerales serán discutidas a continuación.
CONCLUSIÓN
Se puede decir que la carta de Smith es una relación gráfica entre laimpedancia de entrada normalizada y el coeficiente de reflexión del voltaje enel mismo punto de la línea, y que utilizando la carta se evitan los laboriososcálculos con números complejos para conocer la impedancia de entrada a lalínea o el coeficiente de reflexión, por lo que son de mucha utilidad en elacoplamiento de las líneas de transmisión y en el cálculo del inverso de un
número complejo.
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Hoy en día, cuando los métodos numéricos de cálculo son de uso común, lacarta de Smith ha pasado de ser un método de cálculo a representar gráfica eintuitivamente la curva de impedancia de los dispositivos en función de la
frecuencia. De un vistazo se puede apreciar la cercanía al origen de dichacurva. Tanto los programas de simulación como los instrumentos de medidapueden presentar los resultados en la carta de Smith.
Para finalizar podemos concluir que esta carta es una representación gráficadirecta, en el plano complejo, del coeficiente de reflexión complejo. Es unasuperficie de Riemann, en que el coeficiente de reflexión es cíclico,repitiéndose cada media longitud de onda a lo largo de la línea. El número demedias longitudes de onda se puede representar por un valor de reactancia.Puede ser utilizado como calculadora de la impedancia o de la admitancia,
simplemente dándo la vuelta 180 grados (simetría con el origen).
El interior del círculo unidad representa el caso de reflexión de un circuito pasivo (en el origen no hay reflexión y en el borde, =1, la reflexión esρ completa), por lo que es la región de interés más habitual. El movimiento a lolargo de la línea de transmisión sin pérdidas da lugar a un cambio del ángulo,y no del módulo o del radio de gamma. Así, los diagramas se pueden hacerfácil y rápidamente.
Muchas de las características más avanzadas de los circuitos de microondas se pueden representar sobre la carta de Smith como círculos, por ejemplo, lasregiones de la figura de ruido y de estabilidad de los amplificadores. El "puntoen el infinito" representa el límite del aumento muy grande de la reflexión y,por lo tanto, nunca necesita ser considerado para los circuitos prácticos. Unaproyección simple del lugar geométrico de la impedancia (o admitancia) en eldiagrama sobre el eje real da una lectura directa del coeficiente de onda estacionaria (ROE o VSWR) a través de la escala inferior correspondiente.