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TAREA 5: MÉTODOS CUANTITATIVOS 2 Cuenta:________________________ Nombre: ______________________ _______________________________ DADA LA ECUACIÓN RACIONAL (NIVEL 2):
( )( ) , ( ) 0
( )
p xy f x q x
q x
A continuación haremos ejemplos con puntos faltantes Dada la grafica
2
2
( 5 6)( )
( 3 10)
x xy f x
x x
Factorizamos por tanteo ( 3)( 2)
( )( 5)( 2)
x xy f x
x x
Como vemos existe un facto repetido que es (x+2) por lo cual lo podemos cancelar
( 3)( )
( 5)
xy f x
x
1) Determinamos los factores, y los clasificamos arriba y abajo.
Ubicación Factor Valor x Hace 0 el factor
Tipo
Arriba (x+3) X=1 Intercepto en x
(x+2) X=-2 Punto faltante
Abajo (x-5) X=5 Asíntota vertical
(x+2) X=-2 Punto faltante
2) Calculamos los valores prohibidos que serán candidatos para una asíntota vertical
Vemos que el polinomio (x-5) no puede ser
igual a cero porque se produciría un error
matemático.
Por lo cual el valor prohibido de x ocurre
cuando:
x-5=0
Despejando nos queda X=5
Formalmente
Asíntota Vertical (AV): x=5
En el caso del punto faltante también tenemos
un punto prohibido en el factor (x+2)
Que nos dice que x=-2 no se puede evaluar.
Sin embargo si factorizamos esa limitación es
removible y se le llama punto faltante.
Podemos calcular el valor de y sustituyendo en
( 2 3) 1( )
( 2 5) 7y f x
Por tanto el punto faltante es (-2, - 1/7)
3) Calculamos el intercepto en x, ocurre cuando y=0 o sea:
( 3)0
( 5)
x
x
Nos queda 0( 5) ( 3)x x
0 ( 3)x
Despejando nos queda x=-3
Formalmente Intercepto en x = Ix (-3, 0)
4) Calculamos el intercepto en y, que ocurre cuando x=0
Sustituimos ((0) 3) 3 3
(0) 0.60((0) 5) 5 5
y f
Formalmente Intercepto en y = Iy (0, -3/5)
5) Asíntota Horizontal 2
2: 1
xAH y
x
Verificación de cruce: Igualamos la ecuación a y=2
( 3)1( 5)
xy
x
Y despejamos 1( 3) ( 5)x x
3 5x x
56
3 5 es falso Por tanto no cruza la horizontal
6) Elaboramos ahora la tabla de valores
Tipo x y (x, y)
-00 -100 (( 100) 3)1.96
(( 100) 5)
(-100, 0.92)
Ix -3 (( 3) 3) 00
(( 3) 5) 8
(1,0)
Iy 0 ((0) 3) 30.60
((0) 5) 5
(0,-0.60)
AV-∆
5-0.01
((4.99) 3)799
((4.99) 5)
(4.99, -799)
AV 5 ((5) 3) 8
((5) 5) 0
No Def.
AV+∆
5+ 0.01
((5.01) 3)801
((5.01) 5)
(5.01, 801)
+00 +100 ((100) 3)1.08
((100) 5)
(100, 1.08)
7) Elaboramos la grafica Ubicamos las asíntotas. AV: X=5 AH: y=1
Segundo ubicamos las tendencias, intercepto
y punto faltante.
Tercero unimos por el camino más corto
Y finalmente tenemos la grafica
8) Determinamos el dominio El dominio lo podemos definir como todos los
números reales menos los valores prohibidos,
el valor prohibido en este caso es la asíntota
vertical.
Dominio = 2,5 ℝ
O Dominio = , 2,5
Dominio = , 2 2,5 5,
9) Determinamos el rango El rango lo podemos definir como todos los
reales menos la asíntota horizontal, a menos
que la función cruce la asíntota horizontal.
Rango = 1/ 7,1 ℝ
Rango = , 1/ 7,1
57
DADA LA ECUACIÓN DE RACIONAL (NIVEL 2):
1) 2
2
( 2)( 5 6)
( 2 8)
x xy
x x
1. Factorice y clasifique factores
2. Determine la asíntota vertical
3. Determine la asíntota horizontal
4. Verifique que no cruza la asíntota horizontal
5. Determinar Intercepto en Y
6. Determinar el intercepto en “x”
7. Determine el punto faltante
8. Tabla de Valores
9. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
10. Dominio y Rango
58
DADA LA ECUACIÓN DE RACIONAL (NIVEL 2):
2) 2
2
( 7)( 9 14)
( 4 21)
x xy
x x
1. Factorice y clasifique factores
2. Determine la asíntota vertical
3. Determine la asíntota horizontal
4. Verifique que no cruza la asíntota horizontal
5. Determinar Intercepto en Y
6. Determinar el intercepto en “x”
7. Determine el punto faltante
8. Tabla de Valores
9. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
10. Dominio y Rango
59
DADA LA ECUACIÓN DE RACIONAL (NIVEL 2):
3) 2
2
( 7 18)
( 11 18)
x xy
x x
1. Factorice y clasifique factores
2. Determine la asíntota vertical
3. Determine la asíntota horizontal
4. Verifique que no cruza la asíntota horizontal
5. Determinar Intercepto en Y
6. Determinar el intercepto en “x”
7. Determine el punto faltante
8. Tabla de Valores
9. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
10. Dominio y Rango
60
DADA LA ECUACIÓN DE RACIONAL (NIVEL 2):
4) 2
2
( 16 55)
( 8 33)
x xy
x x
1. Factorice y clasifique factores
2. Determine la asíntota vertical
3. Determine la asíntota horizontal
4. Verifique que no cruza la asíntota horizontal
5. Determinar Intercepto en Y
6. Determinar el intercepto en “x”
7. Determine el punto faltante
8. Tabla de Valores
9. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
10. Dominio y Rango
61
DADA LA ECUACIÓN DE RACIONAL (NIVEL 2):
5) 2
2
( 19 84)
( 10 24)
x xy
x x
1. Factorice y clasifique factores
2. Determine la asíntota vertical
3. Determine la asíntota horizontal
4. Verifique que no cruza la asíntota horizontal
5. Determinar Intercepto en Y
6. Determinar el intercepto en “x”
7. Determine el punto faltante
8. Tabla de Valores
9. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
10. Dominio y Rango
62
DADA LA ECUACIÓN RACIONAL (NIVEL 3): ( )
( ) , ( ) 0( )
p xy f x q x
q x
A continuación haremos ejemplos con dos asíntotas verticales, y asíntota horizontal Y=0 Dada la grafica
2
( 4)( )
( 56)
xy f x
x x
Factorizamos por tanteo ( 4)
( )( 8)( 7)
xy f x
x x
Como vemos el grado del polinomio de arriba es 1, y el de abajo es 2, y no hay factores repetidos para puntos faltantes
1) Determinamos los factores, y los clasificamos arriba y abajo.
Ubicación Factor Valor x Hace 0 el factor
Tipo
Arriba (x+4) X=-4 Intercepto en x
Abajo (x-8) X=8 Asíntota vertical
(x+7) X=-7 Asíntota vertical
2) Calculamos los valores prohibidos que serán candidatos para una asíntota vertical
En este casos los valores prohibidos son -7 y 8,
y constituyen las asíntotas verticales cuando
x-8=0
x+7=0
Despejando nos queda X=8
X=-7
Formalmente Asíntota Vertical (AV): x= 8
Asíntota Vertical (AV): x= -7
3) Calculamos el intercepto en x, ocurre cuando y=0 o sea:
( 4)0
( 8)( 7)
x
x x
Nos queda 0( 8)( 7) ( 4)x x x
0 ( 4)x
Despejando nos queda x=-4
Formalmente Intercepto en x = Ix (-4, 0)
4) Calculamos el intercepto en y, que
ocurre cuando x=0 Sustituimos
((0) 4) 4 4 1( )
((0) 8)((0) 7) ( 8)( 7) 56 14y f x
Formalmente Intercepto en y = Iy (0, -1/14)
5) Asíntota Horizontal Calculamos
2
1:
xAH y
x x
Nota: como no nos queda una constante
debemos evaluar que ocurre en – infinito y +
infinito
Usamos -1000 y nos queda 1/(-1000)=10.001
Usamos +1000 y nos queda 1/(+1000)=+0.001
Lo cual nos dice que tiene a la recta horizontal
y=0
REGLA GENERAL: cuando el grado del
polinomio del numerador sea menor que el del
denominador la asíntota horizontal siempre
será y=0 Verificación de cruce: Igualamos la ecuación a y=1
( 4)0
( 8)( 7)
x
x x
Y despejamos ( 8)( 7)0 ( 4)x x x
0 ( 4)x
X=-4, por lo tanto si cruza cuando x=-4
63
6) Elaboramos ahora la tabla de valores
Tipo x y (x, y)
-00 -100 ( 100 4)
( 100 8)( 100 7)
= -0.010
(-100, -0.010)
AV-∆ -7 -0.01
-20.053 (-7.01, -20.053)
AV -7 No definido No Definido
AV+∆ -7+ 0.01
19.947 (-6.99, 19.947)
Ix -4 0 (-4,0)
Iy 0 =-1/14= -0.071 (0, -0.071)
AV-∆ 8-0.01 -79.987 (7.99, -79.987)
AV 8 No definido No Definido
AV+∆ 8+ 0.01
80.013 (8.01, 80.013)
+00 +100 +0.011 (100, 0.011)
7) Elaboramos la grafica
Primero ubicamos las asíntotas
AV: X=-8, x=7 AH: y=0
Segundo ubicamos las tendencias, interceptoS
Tercero unimos por el camino más corto
Cuarto unimos y logramos la grafica
8) Dominio
Dominio = 8,7 ℝ
9) Rango
Rango = 0ℝ
64
DADA LA ECUACIÓN DE RACIONAL (NIVEL 3):
1) 2
( 3)
( 2 35)
xy
x x
1. Factorice y clasifique factores
2. Determine la asíntota vertical
3. Determine la asíntota horizontal
4. Verifique que no cruza la asíntota horizontal
5. Determinar Intercepto en Y
6. Determinar el intercepto en “x”
7. Tabla de Valores
8. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
9. Dominio y Rango
65
DADA LA ECUACIÓN DE RACIONAL (NIVEL 3):
2) 2
( 7)( 2)
( 2 8)
xy
x x
1. Factorice y clasifique factores
2. Determine la asíntota vertical
3. Determine la asíntota horizontal
4. Verifique que no cruza la asíntota horizontal
5. Determinar Intercepto en Y
6. Determinar el intercepto en “x”
7. Tabla de Valores
8. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
9. Dominio y Rango
66
DADA LA ECUACIÓN DE RACIONAL (NIVEL 3):
3) 2
( 3)
( 3 10)
xy
x x
1. Factorice y clasifique factores
2. Determine la asíntota vertical
3. Determine la asíntota horizontal
4. Verifique que no cruza la asíntota horizontal
5. Determinar Intercepto en Y
6. Determinar el intercepto en “x”
7. Tabla de Valores
8. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
9. Dominio y Rango
67
DADA LA ECUACIÓN DE RACIONAL (NIVEL 2):
4) 2
(2)
( 8 20)y
x x
1. Factorice y clasifique factores
2. Determine la asíntota vertical
3. Determine la asíntota horizontal
4. Verifique que no cruza la asíntota horizontal
5. Determinar Intercepto en Y
6. Determinar el intercepto en “x”
7. Tabla de Valores
8. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
9. Dominio y Rango
68
DADA LA ECUACIÓN DE RACIONAL (NIVEL 3):
5) 2
( 1)
( 3 15)
xy
x x
1. Factorice y clasifique factores
2. Determine la asíntota vertical
3. Determine la asíntota horizontal
4. Verifique que no cruza la asíntota horizontal
5. Determinar Intercepto en Y
6. Determinar el intercepto en “x”
7. Tabla de Valores
8. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)
9. Dominio y Rango