QU?Determinar con claridad el contenido sobre el que va a tratar el audiovisual. Es preferible optar por un tema especfico (p.ej. el abuso en el consumo de agua) Para definir con claridad y precisin el contenido de un multimedia puede ser muy til el uso del mapa conceptual.A QUIN?Es muy importante describir a los posibles destinatarios o usuarios del material que vamos a elaborar. Hemos de hacerlo de un modo genrico, pero preciso (p.ej. edad, curso, motivaciones, intereses, necesidades educativas, estilos de aprendizaje, etc.)Para facilitar el proceso de enseanza y aprendizaje, se utilizan diferentes tipos de materiales que le proporcionan al alumno un cmulo de experiencias significativas, permitindole experimentar, investigar, construir y crear. Entre este tipo de materiales se encuentra los relacionados con la tecnologa informtica, especficamente los software educativos.La incorporacin de las tecnologas de la Informacin y de la Comunicacin en la educacin, pueden promover nuevas formas de procesar y presentar contenidos, basados en estrategias cognoscitivas de enseanza y aprendizaje (Alvarado, 2000).PARA QU?Para facilitar el proceso de enseanza y aprendizaje, se utilizan diferentes tipos de materiales que le proporcionan al alumno un cmulo de experiencias significativas, permitindole experimentar, investigar, construir y crear. Entre este tipo de materiales se encuentra los relacionados con la tecnologa informtica, especficamente los software educativos.
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ELABORACIN DE LOS MATERIALES EDUCATIVOS:El profesor o equipo de profesores puede elaborar los materiales educativos que necesita para el desarrollo de su actividad de aprendizaje. Generalmente no se requiere de tcnicas muy sofisticadas ni de procedimientos excesivamente costosos para preparar materiales que resulten eficaces en funcin de los objetivos que deben lograr los estudiantes.El proceso de elaboracin de materiales educativos comprende cuatro etapas: 1Etapa de planificacin o preparatoria:Se determina qu capacidades han de ser logradas, las caractersticas de los estudiantes, como: conocimientos previos, nivel de comprensin de lenguajes y cdigos, capacidades para fijar y mantener la atencin y seguir instrucciones verbales y no verbales, inters y dificultades en la materia del curso; entre otras. Se determina la estructura general y las caractersticas fsicas y didcticas que tendr el material, el nmero de ejemplares requerido y la forma y circunstancias en que ser utilizado durante el proceso de aprendizaje. Se establece la metodologa del trabajo, el cronograma y los recursos y facilidades necesarias para elaborar el material.
2.-Etapa de diseo del material.Es necesario planificar cuidadosamente su esquema Es preciso determinar su estructura, su organizacin interna y la secuencia y ubicacin de los contenidos. Por ejemplo, si se trata de un impreso: la organizacin de los temas en captulos, subcaptulos y subttulos, la secuencia en que se desarrollarn los contenidos de cada tema y las relaciones de los contenidos entre s. Al preparar el plano del texto se distribuyen y ubican las informaciones, ejemplos, ilustraciones, ejercicios u otras ayudas didcticas, los procedimientos de evaluacin, instrucciones, etc.3.- Producto: Diseo del material educativo: En ningn caso es conveniente proceder a desarrollar el material prescindiendo de esta etapa: trabajar ensayo y error resultan un procedimiento ms largo y costoso y con menor posibilidad de xito.4.-Etapa de desarrollo del material En esta etapa se ejecuta lo previsto en el diseo. Por ejemplo, en el caso del texto impreso se redacta los captulos y se prepara las ilustraciones. Los contenidos o mensajes se expresan por medio de lenguajes verbales y no verbales que deben ser comprensibles para los estudiantes. La palabra, la imagen y otros medios de expresin se emplean en forma directa y clara, concisa y gil. Se tendr especial cuidado en el uso correcto del lenguaje. el nivel del lenguaje escrito se adecue a los alumnos. La terminologa nueva ser explicada en el mismo texto o en un glosario, no se deben ser utilizados como adorno.Durante el desarrollo del material educativo se va realizando revisiones peridicas y los reajustes necesarios, de acuerdo a tcnicas de evaluacin procesal.Esta etapa culmina con la elaboracin del prototipo del material, listo para su reproduccin en el nmero de ejemplares previsto. El prototipo es el modelo del material, en el que estn totalmente definidos la forma y el contenido.4. FUNDAMENTACIN TERICA Tal y como sealan Chamoso, Duran, Garca, Martn y Rodrguez (2004). El juego es una actividad universal que no conoce fronteras. A lo largo del tiempo, todas las personas han practicado alguno de una forma seria. Como se puede describir a travs de las referencias que proporciona la literatura, el arte, la arqueologa o la antropologa, las culturas ms diversas los han utilizado en sus ritos religiosos, para adivinar el futuro, ejercitar la agilidad, la puntera, la perspicacia, o sencillamente para entretenerse. De hecho las comunidades humanas siempre han expresado con juegos su interpretacin de la vida y del mundo. Incluso es ms antigua que la misma cultura pues (Huizinga 1951; original de 1938, pp.84) La cultura en sus fases primitivas, tiene apariencia de juego y se TRABAJO FIN DE GRADO Juegos y Materiales para construir las matemticas en Educacin Primaria Paloma Alonso Muoz 14 desarrolla en un ambiente similar a un juego. Tambin ha estado presente de forma activa en el nacimiento de las importantes formas de expresin colectiva del hombre: religin, guerra, poesa, msicaTambin en la ciencia y, en concreto en las matemticas (Bell y Cornelius, 1990; Huizinga, 1951; original de 1938). El desarrollo de diversas disciplinas matemticas (Combinatoria, teora de juegos, Teora de nmeros) comenz como algo puramente recreativo. De hecho cada campo de la matemtica tiene aspectos recreativos (Gardner, 1998). As los problemas matemticos poseen dos posibles orgenes: por un lado estn los problemas surgidos de problemas tcnicos y que se plantean al matemtico; por otro lado tenemos los problemas de pura curiosidad, los acertijos. Guzmn (1989), relaciona al juego y a la enseanza de las matemticas ya que el juego y la belleza estn en el origen de una gran parte de la matemtica. Si los matemticos de todos los tiempos se lo han pasado tan bien jugando y han disfrutado tanto contemplando su juego y ciencia, por qu no tratar de aprender la matemtica a travs del juego y de la belleza? Todo esto nos hace pensar y reflexionar sobre la importancia de los juegos, las teoras matemticas han surgido teniendo en cuenta algn juego o pasatiempo, lo que nos lleva a pensar que el juego ayuda en el pensamiento intelectual fomentando la creatividad y el ingenio. La matemtica ha sido y es arte y juego y esta componente artstica y ldica es tan consubstancial a la actividad matemtica misma que cualquier campo del desarrollo matemtico que no alcanza un cierto nivel de satisfaccin esttica y ldica permanece inestable. (Guzmn, 1989, pp.61) Adems muchos de los grandes matemticos de todos los tiempos han sido agudos observadores de los juegos, participando muy activamente en ellos: - Las cavilaciones numricas de los pitagricos en torno a distintas configuraciones con piedras. - La matemtica numrica con sabor a juego de Fibonacc (1.170-1.250). - En la Edad Moderna Cardano (1.501-1.576) escribe un juego sobre juegos de azar, adelantndose al tratamiento matemtico de la probabilidad. - Los duelos intelectuales de Tartaglia y Ferrari consistentes en resolver ecuaciones cada vez ms difciles. - En 1.735 Euler resolvi el problema de los siete puentes de Knigsber dando TRABAJO FIN DE GRADO Juegos y Materiales para construir las matemticas en Educacin Primaria Paloma Alonso Muoz 15 comienzo a la teora de grafos y a la topologa general. - Gauss (1.777-1.855) anotaba las manos que reciba en las cartas para analizarlas despus estadsticamente. - Albert Einstein (1.879-1.955) tena toda una estantera de su biblioteca dedicada a libros sobre juegos matemticos. El juego tiene distintas acepciones, aqu presentamos algunas de ellas. Segn el Diccionario de la Real Academia se define juego como el ejercicio recreativo sometido a reglas, y en el que se gana o pierde. La Gran Enciclopedia Larousse define juego como la actividad de orden fsico o mental no impuesta que no busca ningn fin utilitario, y a la que uno se entrega para divertirse y obtener placer. Analizando ambas definiciones se observa que los elementos que caracterizan a un juego son: - Actividad recreativa que sirve para divertirse. - Puede ser una actividad tanto fsica como mental. - Existen unas reglas a las que atenerse. - No busca ningn fin utilitario. Ms completa es la definicin de Huizinga (1951; original de 1938), que considera que Es una accin u ocupacin voluntaria que se desarrolla dentro de unos lmites temporales y espaciales determinados, segn reglas absolutamente obligatorias aunque libremente aceptadas; es una accin que tienen un fin en s misma y est acompaada de un sentimiento de tensin y alegra. Y Bright, Harvey y Wheeler (1985) y Corbaln (1994), adems aaden otros aspectos importantes: - Son inciertos: Al empezar cualquier juego no se conoce ni su resultado ni la situacin en un momento determinado de su desarrollo. Esta caracterstica hace a estos ms atractivos pues libera la imaginacin de los jugadores y les invita a hacer predicciones. - Tienen un mnimo reconocimiento social: No se les suele dar importancia, a pesar del protagonismo que han alcanzado algunos deportes. TRABAJO FIN DE GRADO Juegos y Materiales para construir las matemticas en Educacin Primaria Paloma Alonso Muoz 16 En resumen podemos decir que el juego es una actividad humana ldica, el nio juega y con el juego se prepara para la vida, se caracteriza por ser una actividad libre, pero con una cierta funcin, reglada, limitada espacial y temporalmente, competitiva y de resultado incierto. En este sentido y coincidiendo con Gonzlez (2010) los recursos y materiales son una parte importante de los medios para el desarrollo de la Educacin Matemtica. Una parte importante del aprendizaje se produce a travs de experiencias personales, la participacin activa, la investigacin y la resolucin de problemas, lo que requiere un profesor animador, promotor de la investigacin y organizador del trabajo, ms que protagonista del saber y de la accin en el aula. 5. EL JUEGO: PROPUESTA DIDCTICA En este apartado se recogen una serie de principios que van a impregnar nuestra tarea educativa, dentro de un marco constructivista, en sentido amplio. Tambin trataremos las caractersticas que deben tener los juegos para que tengan xito en el aula as como los diversos tipos que nos podemos encontrar. En el siguiente punto trataremos las ventajas e inconvenientes que hay tener en cuenta, pues son importantes saberlas para nuestra labor docente y terminaremos con las fases y factores a tener en cuenta en la planificacin de los juegos. 5.1. PRINCIPIOS METODOLGICOS DEL JUEGO Es inherente al juego la utilizacin de una pedagoga activa, un trabajo en grupo, donde se fomentar el desarrollo de la expresin oral, la reflexin acerca del razonamiento seguido para llegar a una solucin, ya que al jugar los alumnos y alumnas deben hablar, discutir, debatir, compartir, para despus comprobar y explicar. La enseanza activa podemos considerarla, como aquella en la que el alumno no es un mero receptor de conocimientos, sino que es tambin un constructor de su propio pensamiento. Cuando el alumno se enfrenta a un problema y trabaja, manipula, conjetura, se equivoca, acierta, retrocede y avanza, investiga en suma, no est limitndose a adquirir unos conocimientos que podrn serle tiles en un futuro, sino que est adquiriendo unos TRABAJO FIN DE GRADO Juegos y Materiales para construir las matemticas en Educacin Primaria Paloma Alonso Muoz 17 hbitos mentales que le sern de utilidad sin ningn gnero de duda (Snchez y Casa, 1998) . Una de las consideraciones bsicas que ha de presidir la enseanza en general y, por supuesto, de las Matemticas en particular, es la necesidad de garantizar la funcionalidad de los aprendizajes, asegurar que puedan ser utilizados en las circunstancias reales en las circunstancias que el alumno necesite los aprendizajes. La funcionalidad del aprendizaje no es nicamente la construccin de conocimientos tiles y pertinentes, sino tambin el desarrollo de habilidades y estrategias de planificacin y regulacin de la propia actividad de aprendizaje, es decir, el aprender a aprender. Por lo tanto la actividad ldica es un recurso especialmente adecuado para la realizacin de los aprendizajes escolares, ya que adems de ofrecer un acceso agradable a los conocimientos, puede ayudar al alumno a modificar y reelaborar sus esquemas de conocimientos ayudndole a construir su propio aprendizaje. Estas situaciones y actividades deben potenciar la autonoma, deben permitir realizar tambin un tratamiento educativo a la diversidad. As mismo, deben favorecer y crear un clima de respeto, de aprendizaje entre iguales y de cooperacin. 5.2. CARACTERSTICAS DEL JUEGO Sera importante conocer las caractersticas por parte de los profesores que deben tener los juegos para llevarlos al aula. Cuando los juegos se incorporan a las aulas, se pretenden que no se desvirten, hay que cuidar las caractersticas que los definen (Chamoso et al, 2004): - Ldica e improductiva: En el momento de su presentacin, mientras los alumnos se familiarizan con ellos, tienen que considerarlos un divertimento y utilizarlos exclusivamente para jugar. - Libre: Si no se consigue despertar en los estudiantes el deseo de juego, ste perder su sentido y se convertir en un simple ejercicio rutinario. - Con reglas propias, limitados espaciales y temporalmente: Las sesiones de clase estn limitadas temporalmente por lo que, si queremos sacar provecho de un juego, conviene que ste sea de pocas reglas y de fcil comprensin. - De resultado incierto: Si son muy previsibles los estudiantes se cansarn TRABAJO FIN DE GRADO Juegos y Materiales para construir las matemticas en Educacin Primaria Paloma Alonso Muoz 18 enseguida. Por su parte Snchez y Casas (1998) cuatro son, las caractersticas que debe reunir un buen juego para ser empleados en clase de Matemticas: 1.- Tener reglas sencillas y desarrollo corto. 2.- Ser atractivos en su presentacin y desarrollo. 3.- No ser puramente de azar. 4.- A ser posible, juegos que el alumno conozca y practique fuera del ambiente escolar y que puedan ser matematizados. A las caractersticas de los juegos hemos de aadir otra ms: la de los materiales con los que se juega. No es esta una cuestin secundaria, pues la utilizacin de materiales es una de las cuestiones, junto con la de los juegos, algo postergada en Matemticas. Zabala (1990) define los materiales curriculares como: instrumentos y medios que proveen al educador de pautas y criterios para la toma de decisiones, tanto en la planificacin como en la intervencin directa en el proceso de enseanza. Por tanto para seleccionar adecuadamente los juegos es importante conocer las caractersticas de stos as como las necesidades e intereses de aquellos a los que vayan dirigidos las actividades .Los juegos son un recurso didctico ms y, como cualquier otro instrumento, debe incorporarse al aula de un modo meditado y planificado, con una programacin previa que tenga en cuenta todos los factores del proceso de enseanza- aprendizaje. No se trata slo de jugar, sino de aprovechar el juego como recurso didctico. La presentacin de los juegos en la clase de Matemticas, no puede ser hecha de forma anrquica y desordenada, hay que hacerlo atendiendo a unos fines que lleven el xito en la tarea. La aplicacin de los juegos en Matemticas debe hacerse siguiendo unas pautas, que favorezcan el xito de su aplicacin: Segn Snchez y Casas (1998). - No presentar el juego como un trabajo. - Elegir el juego y preparar las estrategias adecuadas para llevar a los escolares a adquirir aquellos conceptos que deseamos impartir. - Compensar de forma equilibrada el nivel del juego con el de los alumnos. - Ir graduando la dificultad de las normas segn el nivel de dominio alcanzado. - Adecuar el juego al conocimiento matemtico a asimilar. TRABAJO FIN DE GRADO Juegos y Materiales para construir las matemticas en Educacin Primaria Paloma Alonso Muoz 19 - Conocido el juego ensayar estrategias ganadoras. - Realizar sencillas investigaciones sobre el juego adecuadas al nivel de los alumnos.1. EL JUEGO DEL TANGRAM 1.1) Introduccin El tangram es un rompecabezas que consta de 7 piezas. Es un juego que requiere de ingenio, imaginacin y, sobre todo, paciencia. No se conoce con certeza su origen, pero hay quienes suponen que se invent en China a principios del siglo XIX, pues las primeras noticias escritas sobre el tangram datan de esa poca y lugar. En 1818 se publicaron libros de tangram en algunos pases de Europa y en Estados Unidos, lo que lo hizo un juego popular y de mucho auge. El origen de la palabra tangram es tan incierto como el juego mismo. Hay quienes sostienen que el nombre es un invento occidental y lo atribuyen a un estadounidense o aficionado a los rompecabezas, quien habra combinado la palabra cantonesa tang, que significa chino, con el sufijo ingls -gram (-grama), que significa escrito o grfico. El tangram es un gran estmulo para la creatividad y se lo puede aprovechar en la enseanza de la matemtica para introducir conceptos de geometra plana, y para promover el desarrollo de capacidades psicomotrices e intelectuales pues permite ligar de manera ldica la manipulacin concreta de materiales con la formacin de ideas abstractas. En la enseanza de la matemtica el tangram se puede utilizar como material didctico que favorecer el desarrollo de habilidades del pensamiento abstracto, de relaciones espaciales, lgica, imaginacin, estrategias para resolver problemas, entre muchas otras, as como un medio que permite introducir conceptos geomtricos. Adems EL TANGRAM se constituye en un material didctico ideal para desarrollar habilidades mentales, mejorar la ubicacin espacial, conceptualizar 4sobre las fracciones y las operaciones entre ellas, comprender y operar la notacin algebraica, deducir relaciones, frmulas para rea y permetro de figuras planas y un sin nmero de conceptos que abarcan desde el nivel preescolar, hasta la bsica y media e incluso la educacin superior. La configuracin geomtrica de sus piezas (cinco tringulos, un cuadrado y un paralelogramo), as como su versatilidad por las ms de mil composiciones posibles con slo siete figuras, hacen de l un juego matemtico. El tangram ms comn es el tangram chino, llamado tambin: "tabla de la sabidura" o "tabla de los siete elementos" porque se ha comprobado que su uso continuo motiva la reflexin y desarrolla la inteligencia la capacidad creadora, la fraternidad individual y colectiva y la introduccin a la geometra y a las matemticas. El principal reto de este juego consiste en formar figuras con todas las fichas sin superponerlas combinando sus unidades bsicas cada vez de forma distinta el tangram resulta de la descomposicin de un polgono regular con una intencin especifica y que permite la construccin de cientos de formas figurativas y abstractas al combinarlas adecuadamente partiendo de una figura esttica se pueden efectuar innumerables movimientos gracias al juego conjunto de sus elementos, que de este modo se liberan de la inmovilidad. Adems del tangram chino, existen otros tangrams que se utilizan para construir nuevos conceptos, o para superar algunas de las dificultades que se presentan al utilizar solamente el tangram chino, entre ellos se cuentan: el cardiotangrama, el ovotangram, el hexatangram (o simplemente Hexagram), el armonigrama o tangram pitagrico, el juego de los ocho elementos, tangram ruso de doce piezas, tangram de Fletcher, de los cuales presentaremos sus modelos. 51.2) Historia Del Tangram. El Tangram es un juego chino muy antiguo llamado "Chi Chiao Pan" que significa "juego de los siete elementos" o "tabla de la sabidura". Existen varias versiones sobre el origen de la palabra Tangram, una de las ms aceptadas cuenta que la palabra la invent un ingls uniendo el vocablo cantones "tang" que significa chino con el vocablo latino "gram" que significa escrito o grfico. Otra versin narra que el origen del juego se remonta a los aos 618 a 907 de nuestra era, poca en la que rein en China la dinasta Tang de donde se derivara su nombre. No se sabe con certeza quien invent el juego ni cuando, pues las primeras publicaciones chinas en las que aparece el juego datan del siglo XVIII, poca para la cual el juego era ya muy conocido en varios pases del mundo. En China, el Tangram era muy popular y era considerado un juego para mujeres y nios. A partir del siglo XVIII, se publicaron en Amrica y Europa varias traducciones de libros chinos en los que se explicaban las reglas del Tangram, el juego era llamado "el rompecabezas chino" y se volvi tan popular que lo jugaban nios y adultos, personas comunes y personalidades del mundo de las ciencias y las artes. Napolen Bonaparte se volvi un verdadero especialista en el Tangram desde que fue exiliado en la isla de Santa Elena. En cuanto al nmero de figuras que pueden realizarse con el Tangram, la mayor parte de los libros europeos copiaron las figuras chinas originales que eran tan slo unos cientos. Para 1900 se haban inventado nuevas figuras y formas geomtricas y se tenan aproximadamente 900. Actualmente se pueden realizar con el Tangram alrededor de 16,000 figuras distintas. Hoy en da el Tangram no se usa slo como un entretenimiento, se utiliza tambin en la psicologa, en diseo, en filosofa y particularmente en la pedagoga. En el rea de enseanza de las matemticas el Tangram se usa para introducir conceptos de geometra plana, y para promover el desarrollo de capacidades 6psicomotrices e intelectuales de los nios, pues permite ligar de manera ldica la manipulacin concreta de materiales con la formacin de ideas abstractas. 1.3) Definicin de Tangram y reglas del juego. El Tangram es un juego chino muy antiguo llamado Chi Chiao Pan que significa Juego de los siete elementos o tabla de la sabidura consiste en formar siluetas de figuras con la totalidad de una serie de piezas dadas. Las siete piezas llamadas Tans, que juntas forman un cuadrado, son las siguientes: cinco tringulos de diferentes tamaos, un cuadrado, y un paralelogramo. Sus reglas son muy simples: 1. Con dichos elementos, ni uno ms ni uno menos, se deben de construir figuras. Es decir, al momento de formar las distintas figuras no debe quedar ni una de las piezas sin utilizarse, adems que stas no deben superponerse. 2. El tangram es un juego planimtrico, es decir, todas las figuras deben estar contenidas en un mismo plano. 3. Aparte de esto, se tiene libertad total para elaborar las figuras. 1.4) Objetivos que se pueden alcanzar con el Tangram. 1. Planificar el trazado de figura sobre la base del anlisis de sus propiedades, utilizando instrumentos pertinentes. 2. Comprender los efectos que provocan en el permetro o en el rea de cuadrados y rectngulos la variacin de la medida de sus lados y recurrir a las razones para expresarlas 3. Desarrollar las capacidades de analizar temas relacionados con geometra a travs del juego. 7 84. Reproducir y crear figuras y representaciones planas de cuerpos geomtricos. 5. Combinar figuras para obtener otras previas establecidas. 6. Calcular permetro y reas de figuras compuestas por cuadrados, rectngulos y otros tipos de polgonos. 7. Descubrir formulas a partir de modelos dados. 8. Desarrollar el pensamiento reflexivo y metdico. 9. Desarrollar la creatividad y las capacidades del autoaprendizaje. 1.5) Valores y actitudes que se pueden desarrollar. Con el juego el tangram tambin podemos buscar que los alumnos asuman actitudes y practiquen valores, mencionaremos algunos, por ejemplo: Responsabilidad. Colaboracin. Atencin. Trabajo en equipo. Estimula la creatividad. Sentido del orden. Perseverancia. Esttica. Cortesa. Amor al trabajo. Respeto. Responsabilidad Fraternidad Compaerismo Relaciones interpersonales Participacin. Realizar bien las tareas. Paciencia. Comunicacin. Imaginacin. Pensamiento lgico. 1.6) Contenidos que se estudian con el uso del tangram. Figuras geomtricas planas. ngulos y su clasificacin. Congruencia de figuras. reas y permetro de figura. 1.7) Aprendizajes esperados. Utilizar las piezas del tangram como modelo geomtrico. Combinar las piezas del tangram para describir otras figuras. Medir, describir y clasificar ngulos. Reconocer figuras congruentes. Definir el concepto de congruencia. Medir reas de polgonos y figuras de distintos tipos. Medir permetros de polgonos y figuras. 1.8) Figuras humanas o de animales formadas con la sietes piezas del tangram. El TANGRAM o juego de formas chino es un juego individual que estimula la creatividad. Con l se pueden construir infinidad de figuras consta de siete piezas: un cuadrado un paralelogramo cinco tringulos (dos grandes, dos pequeos y uno mediano) Algunas de estas figuras las presentamos a continuacin 9 101.9) Construyamos nuestro propio juego del Tangram! Como hemos dicho, el juego del Tangram est dirigido, o bien a todo aquel que le interese aprender algunos conceptos matemticos y geomtricos; o bien a personas que desean pasar un rato ameno y a la vez echar a andar su imaginacin y creatividad. Por tanto, esta actividad est dirigida a todas estas personas, en particular a los estudiantes. El objetivo es que ellos construyan su propio juego de Tangram, lo graden y lo usen para practicar el clculo de reas y permetros. Con esta actividad se podrn reforzar, adems, conceptos de geometra como lneas paralelas, perpendiculares, punto medio de un segmento, y diagonales de un cuadrado, ya que a medida que vamos construyendo el juego utilizamos todos estos conceptos. Cmo construir un juego de tangram? Para empezar sugerimos que los alumnos trabajen en una hoja de cuadrcula chica (es decir cuadrculas o cuadrados de 0.5cm por lado), pues eso facilitar los clculos de las figuras. Si no se trabaja en este tipo de papel, entonces deber utilizarse una regla, con la cual realizar las respectivas medidas. Luego continuamos con los siguientes pasos. Empecemos! Paso 1: Dibuja un cuadrado de 10 cm por lado. (20 cuadritos de la hoja). 11Paso 2: Traza una de las diagonales del cuadrado y la recta que une los puntos medios de dos lados consecutivos del cuadrado; esta recta debe ser paralela a la diagonal. Paso 3: Dibuja la otra diagonal del cuadrado y llvala hasta la segunda lnea. 12Paso 4: La primera diagonal que trazaste debers partirla en cuatro partes iguales. (Cada pedacito medir 5 cuadritos). Paso 5: Traza la recta que se muestra en el dibujo siguiente (dibujo 5) La recta que debes trazar Paso 6: Por ltimo traza esta otra recta (la de la figura 6) Traza esta otra recta Paso 7 Ahora debers graduar el tangram haciendo marcas de 1cm (o de dos cuadritos) tal y como se muestra en el dibujo siguiente. Para marcar las diagonales necesariamente debers usar una regla 13 Paso 8: Por ltimo recortamos las piezas, de tal manera que obtengamos lo que se presenta en la siguiente figura. Listo! Ya tienes tu propio juego del Tangram. Hemos dado un ejemplo de cmo se construye el juego del tangram utilizando una hoja con cuadrculas, pero no es lo nico que se puede utilizar, ya que te puedes construir dicho juego con diferentes tipos de materiales: cartulina, papel, cartn, madera, plycem, fomi, plywood, etc. 14Una forma alternativa para la construccin del tangram chino es como sigue: 1. Hacemos un cuadrado de cartulina, lo doblamos por una de sus diagonales y recortamos por la lnea del doblez para obtener dos tringulos. 2. Tomamos uno de los dos tringulos obtenidos en el paso anterior y lo doblamos por el vrtice del ngulo recto, de tal manera que ste quede dividido en dos ngulos iguales, y que los lados de igual tamao del tringulo queden uno sobrepuesto al otro. Recortamos por el doblez y as obtenemos las primeras piezas de nuestro tangram: dos tringulos. 3. Con el otro tringulo que qued del cuadrado de cartulina hacemos lo siguiente: doblamos el vrtice del ngulo recto de tal manera que mire hacia el lado opuesto del tringulo, y que la lnea que resulte del doblado sea paralela a ese lado. Recortamos por el doblez para obtener un tringulo tercera pieza de nuestro tangram y un trapecio. 154. Tomamos el trapecio y lo doblamos por uno de los vrtices del lado menor, de tal manera que el doblez sea perpendicular tanto al lado menor como al lado mayor. Recortamos por el doblez para obtener otro tringulo cuarta pieza de nuestro tangram y un trapecio rectangular. 5. Doblamos el trapecio rectangular por el lado que tiene los ngulos rectos, de tal manera que el doblez sea perpendicular tanto al lado menor como al lado mayor, y dividimos en dos partes iguales el lado menor. Recortamos por el doblez y obtenemos un cuadrado quinta pieza de nuestro tangram y de nuevo un trapecio rectangular. 6. Tomamos el nuevo trapecio rectangular y doblamos de tal forma que el vrtice del ngulo recto del lado mayor coincida con el vrtice del ngulo obtuso del lado menor. Recortamos por el doblez y obtenemos un tringulo y un paralelogramo sexta y sptima piezas de nuestro trangram. 16Observa el resultado en la figura siguiente: 171.10) Otros modelos de tangram En la actualidad, existen multitud de juegos basados en los mismos principios pero con distintas piezas. A casi todos estos rompecabezas se les conoce con el nombre de tangram. En las figuras siguientes mostramos algunos de los ms populares. Tangram de ocho piezas Tangram de cinco piezas Tangram de Fletcher Tangram ruso de 12 piezas 18 Ovotangram Trangram Pitagrico Cardiotangram Armonigrama Hexagram Tangram Cuadrado 19El Armonigrama nos sirve para emprender caminos interesantes al rededor de las operaciones con expresiones algebraicas, trabajar reas, permetros, relaciones de orden entre fracciones y muchos conceptos ms. Con el CARDIOTANGRAMA podemos trabajar las nociones de radio, dimetro, cuerda, ngulos en el crculo, tangentes, secantes, segmentos circulares, relaciones de tamao cuadrado-crculo, razones trigonomtricas, rea de regiones sombreadas, y hasta hacer una muy buena introduccin al concepto de integral definida. EL OVOTANGRAM, es un curioso tangram que tiene forma de huevo y lo ms interesante es que con l slo es posible construir AVES... A nivel geomtrico este tangram se consigue tomando dos medias elipses en las cuales el eje menor de la ms grande es el eje mayor de la pequea, los cortes aparecen ilustrados en la figura y nos permiten hacer un trabajo bastante interesante al rededor de esta seccin cnica y sus propiedades. 1.11) Construccin del tangram en forma de Huevo. Observa el dibujo del huevo y construye uno igual siguiendo las siguientes instrucciones: 1). Dibuja un crculo de radio 6 cm. y marca el centro con una A. 2). Traza los dimetros BC y DE, de forma que determinen un ngulo recto. 3). Une B a E y E a C y luego alarga estas dos lneas 5 cm. por encima de E. 4). Utilizando B como centro y BC como radio, traza un arco que corte la prolongacin de la lnea BE en G. 5). Utilizando C como centro y CB como radio, traza un arco que corte la prolongacin de la lnea CE en F. 6). Con E como centro y EF como radio, traza un arco que una F y G. 7). Mide este mismo radio desde D a lo largo de la lnea DA para determinar el punto H. 208). Con ese mismo radio y H como centro, traza un arco que cruce la lnea BC en J y en K. 9). Alarga la lnea AE hasta que corte el arco FG en L. 10). Une H con J y despus H con K. A continuacin mostramos algunos ejemplos de figuras que se pueden formar con las piezas del tangram del huevo. 211.12) Disfrutemos de un cuento . En una bella viva un , con su , este nio era muy alegre y le gustaba mucho , pero cierto da su perro se perdi, y el nio estaba muy triste . Hizo dibujos de su perro y se los enseo a todos sus conocidos , alguien le dijo que haba visto a su cerca del muelle, el muchacho corri hasta el muelle , el al ver a su dueo corri hacia l , y los dos felices decidieron realizar una paseo en . 221.13) Actividades propuestas con el tangram chino y ms 1. Forma tringulos con las piezas del tangram. Utiliza primero una sola pieza, luego, dos, tres, hasta llegar a utilizar las siete piezas. a) Cuntos tringulos puedes formar en cada caso? Ests seguro que no existen ms? b) Clasifica los que encontraste en funcin: b.1) De la medida de sus ngulos. b.2) De la medida de sus lados. c) Cul es el tringulo de mayor permetro? Cul es el de mayor rea? 2. Forma rectngulos con las piezas del tangram. Utiliza diferente nmeros de piezas hasta llegar a utilizar las siete. a) Cuntos rectngulos puedes formar en cada caso? b) Cul es el de mayor permetro? Cul es el de mayor rea? 3. Utilizando algunas piezas del tangram, construye figuras semejantes. Dibjalas en papel cuadriculado y anota la relacin entre sus lados y sus reas. Utilizando las piezas 1, 2 y 5 construye dos cuadrados y encuentra su razn de semejanza. 4. Formar todos los cuadrados de distinto tamao posibles con distintas piezas del tangram. Determinar las respectivas reas. 5. Qu combinacin de piezas dan como resultado otra pieza del tangram? Encuentra todas las alternativas posibles. 6. Piense en alguna ancdota o algo que desea contar a sus amigos y nrrela haciendo uso de las piezas del tangram (debe usarlas todas en cada ocasin), de forma similar a nuestro cuento. 7. Utilizando cartulina o cualquier otro material disponible e instrumentos de dibujo construye el HEXAGRAM. Describe los pasos que seguiste.