Oscialaciones mecanicas

Carlos L. Beltran Ros

15 de febrero de 2013

1. Una partcula que cuelga de un resorte oscila con unafrecuencia angular de 2.0 rad/s. El sistema resorte-partcula esta suspendido del techo de la caja de unelevador y cuelga sin moverse ( respecto de la caja delelevador ) conforme la caja desciende a una rapidezconstante de 1.5 m/s. La caja se detiene repentinamen-te. A) Con que amplitud oscila la partcula? b) Cuales la ecuacion de movimiento para la partcula? (Elijala direccion hacia arriba como positiva).

2. Una partcula con movimiento armonico simple des-plazandose a lo largo del eje x parte de la posicion deequilibrio, el origen, en t=0 y se mueve a la derecha. Laamplitud de su movimiento es de 2.0 cm y la frecuen-cia de 1.5 Hz. A) Muestre que el desplazamiento de lapartcula esta dada por x(t) = 2,0 sen(3t). Determineb) la maxima rapidez y el tiempo previo (t0), al cual lapartcula tiene dicha rapidez, c) la maxima aceleraciony el tiempo previo (t0) al cual la partcula tiene dichaaceleracion, y d) la distancia total viajada entre t=0 yt= 1s.

3. Se cuelga de un resorte un objeto de masa 1 g y se dejaoscilar. En t = 0, el desplazamiento era de 43,785cm yla aceleracion de 1,7514cm/s2. Cual es la constantedel muelle?

4. Una bola que se deja caer desde una altura de h, mu-cho menor que el radio de la Tierra, efectua un choqueperfectamente elastico contra el suelo. Suponiendo queno se pierde energa debido a la resistencia del aire, a)demuestre que el movimiento es periodico, y b) deter-mine el perodo del movimiento. c) El movimiento esarmonico simple? Explique.

5. Una partcula de masa m se desliza en el interior de untazon esferico de radio R. Demuestre que para pequenosdesplazamientos a partir de la posicion de equilibrio, lapartcula efectua un movimiento armonico simple conuna frecuencia angular igual a la de un pendulo simplede longitud R.

6. Una plataforma esta realizando un movimiento armoni-co simple en direccion vertical con una amplitud de 5cmy una frecuencia f = 10/ vibraciones por segundo. Enel punto mas bajo se coloca un objeto sobre la plata-forma. Determine:

a) En que punto se separa el cuerpo de la platafor-ma?

b) Que altura alcanzara el cuerpo por encima delpunto mas alto alcanzado por la plataforma?

7. Un cilindro de diametro d flota manteniendo una partede longitud l sumergida. La altura total del cilindro esL.En el instante t = 0, admitiendo que no hay amorti-guamiento, se empuja el cilindro hacia abajo una dis-tancia A y se suelta. Muestre que el centro de masadel cilindro realiza un movimiento armonico simple ydetermine la frecuencia de oscilacion del sistema.

8. Un aro circular de diametro d, sin espesor, se cuelga deun clavo. Cual es el periodo de oscilacion de su centrode masa para pequenas oscilaciones?

9. Un aro de radio interno R1 y externo R2 posee una pe-quena muesca en su parte interna de tal modo que sucentro de masa no se ve afectado. Se cuelga el aro de lamuesca utilizando un clavo y se deja oscilar libremente.Muestre que el centro de masa realiza un movimientoarmonico simple y determine la frecuencia de las pe-quenas oscilaciones?

10. Una placa circular de radio R y momento de inercia Iesta suspendida de una varilla de torsion cuya constantede deformacion es . El borde de la placa esta conec-tado a un soporte fijo mediante un resorte ideal cuyaconstante de deformacion es k, como se observa en lafigura, determina la frecuencia angular de las pequenasvibraciones del sistema

R

k

11. Se superponen dos oscilaciones armonicas perpendicula-res de tal manera que la oscilacion horizontal tiene unafrecuencia doble que la vertical. Cual de las siguientesgraficas corresponde a esta situacion?

1

-1 0 1-1

0

1

-1 0 1-1

0

1

-1 0 1-1

0

1

-1 0 1-1

0

1

12. Se cuelga una esfera solida uniforme de radio R del ex-tremo de un hilo. La distancia del pivote al centro dela esfera es L. Determine el periodo para las pequenasoscilaciones.

13. Dos partculas de igual masa m estan unidas por unresorte de constante elastica k. Una de las partculasesta unida al techo por otro resorte identico, tambiende constante elastica k, y la otra partcula cuelga libre-mente. Considere movimiento vertical solamente.

a) Escriba las ecuaciones de movimiento para este sis-tema.

b) Calcule las frecuencias propias del sistema.

c) Determine los modos normales del sistema ydescrbalos cualitativamente.

14. Un anillo de radio R tiene una carga uniformementedistribuida Q. Si una carga -q se coloca a una distanciax, desde el centro del anillo, a lo largo de su eje muestreque el movimiento de la carga -q, cuandox

19. Una partcula esta sometida simultaneamente a tresmovimientos armonicos simples de la misma frecuen-cia y en la misma direccion. Si las amplitudes son de0.25, 0.20 y 0.15, en milmetros, respectivamente, y ladiferencia de fase entre el primero el segundo es de /4,y entre el segundo y el tercero es de /6, Determine siel movimiento resultante es armonico y cual es la am-plitud resultante.

20. Dos vibraciones en la misma direccion estan descritaspor

y1(t) = A cos(10y), y

y2(t) = A cos(12t).

Determine si se observa un fenomeno de pulsacion (ba-tido), y cuales son las frecuencias promedio y de pulsa-cion.

21. Para el sistema mostrado en la figura determine la fre-cuencia de las oscilaciones armonicas si la masa se des-liza sobre una superficie sin friccion.

M

k1 k2

22. Una plataforma horizontal esta pivotada en uno de susextremos, su masa esm = 2,0kg y su longitud es de L =1,0m, un resorte de constante elastica k = 1000N/m es-ta sujeto del otro extremo, como se observa en la figura.Muestre que el tablon realiza un movimiento armonicosimple y determine la frecuencia de las pequenas osci-laciones.

23. Para un pendulo simple determinar la posicion angularpara la cual su energa cinetica es igual a su energapotencial.

24. Una pelota de masa m esta conectada a dos bandasde caucho de longitud L, cada una de las bandas estasometida a una tension T . La pelota se desplaza unapequena distancia y 0,K2x, si x < 0

Una masa M se une al resorte y se estira una distanciaA > 0 y posteriormente se libera. Determine:

a) El maximo desplazamiento negativo de la masa.

b) Es el movimiento resultante periodico, si su res-puesta es afirmativa, cual es el periodo del mo-vimiento?, Es armonico simple el movimiento re-sultante?

c) Considere los dos puntos anteriores en el casoK2 = 2K1

28. Encontrar la trayectoria del movimiento resultante dela combinacion de dos movimientos armonicos simples,perpendiculares, cuyas ecuaciones son: x(t) = 4 sin(t)y y(t) = 3 sin(t + ), cuando = 0, pi

2, . Construya

un grafico para la trayectoria en cada caso. Si algunade las trayectorias es elptica que angulo se encuentrarotada dicha elipse respecto al eje x.

29. En un circuito LC, en un instante determinado la cargaen el condensador es q0/3. Para este mismo instante cual es la energa almacenada en el inductor? La capa-citancia es C

30. Una masam esta unida al extremo de una barra unifor-me de masa M y longitud l, la barra puede girar en suparte superior. Determinar para pequenas oscilacionesel perodo del movimiento para los casos: a) con la masam unida a la barra, b) sin la masa, c) si la masa unida ala barra es igual a la masa de la barra, d) despreciandola masa de la barra M .

3

31. La fase inicial de una vibracion armonica es igual a cero.Cuando la elongacion del punto es x1 su velocidad esigual a v1 y cuando le elongacion es x2 su velocidad esv2. Encontrar le ecuacion que determina el movimiento,x(t).

32. Una masa unida a un resorte oscila con amplitud A.

Cuando el desplazamiento respecto del equilibrio esA3

que fraccion de la energa total es cinetica y que frac-cion es energa potencial?

33. Un oscilador armonico tiene un periodo de 4s. Si ent = 0, su posicion y velocidad son 4/

3 cm y 2 cm/s,

respectivamente, cuanto demora el oscilador en alcan-zar por primera vez:

a) La amplitud maxima

b) La rapidez maxima

34. Un resorte de masa despreciable y constante de fuerzaK esta unido a un cilindro de masa M y radio R de talforma que puede rodar sin deslizar sobre una superficiehorizontal sin friccion. Si el sistema se suelta desde elreposo en una posicion en la que el resorte esta estirado,muestre que el centro de masa del cilindro realiza unmovimiento armonico simple. Cual es la frecuencia dedicho movimiento?

35. Se perfora un tunel pequeno a traves de la Tierra, mues-tre que una partcula de masa m situada en el tunelrealiza un movimiento armonico simple, cual es el pe-riodo del movimiento?

x

r

RTMT

36. Considere un circuito RLC, determinar la ecuacion di-ferencial que rige el comportamiento de la carga en elcircuito.

37. Considere un sistema masa-resorte en el cual la masa esde 16 g y su constante elastica es de K = 7,5N/m. Elsistema se pone a oscilar en un medio en el cual experi-menta una fuerza disipadora dada por ~f = 0,26 vi. Elsistema inicialmente se estira una longitud de 0,01m.Determinar:

a) La ecuacion de movimiento

b) El decrecimiento logartmico de la amplitud

38. De un muelle colgado verticalmente se suspende un pe-so que produce un estiramiento de 9,8 cm. Despues se lehace oscilar desplazando el peso hacia abajo y soltando-lo. Cuanto valdra el coeficiente de amortiguamientopara que:

a) Las oscilaciones cesen practicamente al cabo de10 s *.

b) El peso vuelva a su posicion original sin oscilarperiodicamente.

c) El decrecimiento logartmico sea igual a 6.

39. Un pendulo con longitud de 1m se suelta desde unangulo inicial de 15o. Despues de 1000 s, por efectos dela friccion, su amplitud se a reducido a 5.5. Determine:

a) Cual es el valor del factor y la frecuencia delas oscilaciones amortiguadas.

b) Cuanta energa perdio en la primera oscilacion?

c) Cuanta energa perdio al cabo de los 1000

40. Un oscilador armonico amortiguado, cuya frecuencia esf = 7,5

pis1 y cuyo parametro de amortiguamiento es

= 9 s1, se halla inicialmente en reposo en la posicionde equilibrio. En el instante t = 0 recibe un impulsoque lo pone en movimiento con una rapidez de 60 cm/s.Determine:

a) El maximo desplazamiento a partir de la posicionde equilibrio.

b) El tiempo que transcurre para que las oscilacionesamortiguadas hayan reducido su amplitud al 0,1%de su valor inicial.

41. Un oscilador amortiguado tiene una frecuencia de osci-lacion que es tan solo el 85% de su frecuencia natural(sin amortiguamiento). En que factor se disminuye suamplitud y su energa en cada oscilacion?

42. Un cuerpo de 2 kg oscila con una amplitud inicial de3 cm esta acoplado a un muelle de constante K =400N/m. Si su energa disminuye en 1% en cada perio-do, hallar la constante de amortiguamiento b y el factorde calidad Q.

43. Una maquina posee una parte rotatoria (motor electri-co), el cual se puede esquematizar como se aprecia en lafigura, seaM la masa total de la maquina, y m una ma-sa equivalente excentrica (incluida en la masa total M)

*En la practica se puede considerar que las oscilaciones cesan cuan-

do la amplitud se han reducido al 1% de su amplitud inicial

4

situada a una distancia R del eje de rotacion, de modoque la maquina se pone en funcionamiento se produ-cen vibraciones cuya frecuencias son iguales a las de larotacion del motor. Determine:

a) Una expresion para la amplitud de las vibracionesverticales de la maquina en funcion de la rapidezde rotacion de la maquina, , y de las constantesk y b.

b) La amplitud de las vibraciones en resonancia.

c) La fuerza transmitida al piso.

M R

K

m

44. Que tiempo debe transcurrir para que la energa delas oscilaciones amortiguadas de un pendulo de longitudL = 24,7 cm se reduzca 9,4 veces?. Resuelva este pro-blema para el caso en el que el decremento logartmicopor periodo se igual a ln(A1/A2) = 0,01, suponga que b

2m

45. Suponga que la amplitud de un oscilador amortigua-do disminuye en un factor R en cada ciclo. Es decir, siA1 es la amplitud al final del primer ciclo, A2 = RA1es la amplitud al final del segundo ciclo. A dicho os-cilador se le aplica una fuerza externa de la formaF (t) = F0 cos(et), siendo F0 = KB, con K una cons-tante elastica y B una constante. Muestre que en reso-nancia la amplitud de las oscilaciones esta dada por

A = B

ln( 1R)

46. Un punto realiza oscilaciones amortiguadas con una fre-cuencia angular a = 25 rad/s. Obtener una expresionpara , sabiendo que en el instante t = 0, la velocidades nula y el desplazamiento de la partcula a partir dela posicion de equilibrio es = 1,020 veces menor quela amplitud, A del movimiento.

47. Calcular el factor de calidad de un oscilador en el quela amplitud del desplazamiento disminuye veces cadan periodos de oscilaciones. Aplicarlo para el caso =2n = 110

48. Determine la expresion para la amplitud de un osciladorarmonico forzado cuando se haya en resonancia en suamplitud.

49. De un muelle de constante elastica K = 8N/m se sus-pende, verticalmente, una masa M . El sistema esta in-merso en un medio que le proporciona una fuerza disi-padora de la forma ~f = bvj. El periodo de las osci-laciones amortiguadas es T = pi

2. El sistema se somete

a una fuerza externa oscilatoria cuya magnitud es F0.Cuando la frecuencia de la fuerza externa coincide conla des la oscilaciones libres, e = 0, se observa unaamplitud de oscilacion de 5 cm; y se observa una ampli-tud de 12 cm cuando la frecuencia de la fuerza externacoincide con la frecuencia de resonancia en amplitud.Determine:

a) La frecuencia 0.

b) La constante de disipacion b.

c) La magnitud de la fuerza F0 para que la amplitudmaxima en resonancia sea 10 cm.

d) Para las oscilaciones amortiguadas determinar elnumero de oscilaciones para las cuales la amplitudse ha reducido de 10 cm a 5 cm

50. Para un circuito RLC determine el numero de oscilacio-nes para la cual la corriente se ha reducido a la mitadde su valor inicial.

51. Para el sistema mostrado en la figura determine la fre-cuencia de oscilacion de la masama, si la fuerza externaes Fext(t) = F0 sin(et)

M

K1 K1m

K2

Fext

5