taller iv de ecuaciones diferenciales.pdf

Universidad de CartagenaFacultad de Ciencias Exactas

Ecuaciones DiferencialesEcuaciones Diferenciales Exactas

Daniela Perez NovoaEiver Rodrıguez Perez

Jon Valiente IglesiasAlberto Rodrıguez Castilla

28 de agosto de 2015

Ecuaciones Diferenciales 5 Sem. 2015

Solucion a los ejercicios:

1. Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales:

a.) (x + y)(x − y) dx + x(x − 2y) dy = 0

Reescribamos la ecuacion como:

(x2 − y2) dx + (x2 − 2xy) dy = 0

Tomemos;M(x, y) = (x2 − y2)

N(x, y) = x2 − 2xy

Ası, la ecuacion diferencial toma la forma:

M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0

Luego; para que esta ecuacion diferencial sea exacta debe suceder que:

∂M

∂y=

∂N

∂x

Dado que;∂M

∂y= −2y 6= ∂N

∂x= 2x− 2y

La ecuacion diferencial no es exacta.

Veamos si es homogenea:

(x2 − y2) dx + (x2 − 2xy) dy = 0 ⇒ dy

dx= − x2 − y2

x2 − 2xy

⇒ y′ = − x2 − y2

x2 − 2xy

2


Sea f(x, y) = y′ =dy

dx= − x2 − y2

x2 − 2xy

Entonces;

f(tx, ty) = − (tx)2 − (yt)2

(tx)2 − 2(tx)(ty)

= − t2x2 − t2y2

t2x2 − 2t2xy

= − t2(x2 − y2)

t2(x2 − 2xy)

= t0(− x2 − y2

x2 − 2xy

)= t0f(x, y)

Asi; f(x, y) es una funcion homogenea de grado n = 0; luego la ecua-cion diferencial es homogenea. Podemos resolverla por este metodo:

dy

dx= − (x2 − y2)

(x2 − 2xy)

Dividamos arriba y abajo por x2 del lado derecho de la ecuacion:

dy

dx=

(yx

)2− 1

1− 2(yx

)Luego; Tomemos el cambio de variable v =

y

xo bien, y = xv.

Entonces;

dy

dx= v + x

dv

dx⇒ v + x

dv

dx=

v2 − 1

1− 2v

3


Ası;

xdv

dx=

v2 − 1

1− 2v− v

=v2 − 1− v + 2v2

1− 2v

=3v2 − v − 1

1− 2v

Luego:1− 2v

3v2 − v − 1dv =

dx

xIntegrando en ambos lados de la ecuacion tenemos que:∫

1− 2v

3v2 − v − 1dv =

∫dx

x

Resolvamos primero: ∫1− 2v

3v2 − v − 1dv

Completemos el cuadrado en el denominador:

3v2 − v − 1 = 3

(v2 − v

3− 1

3

)= 3

(v2 − 1

3v +

(1

6

)2

− 1

3−(

1

6

)2)

= 3

((v − 1

6

)2

− 13

36

)

De tal forma que nuestra integral queda ası:

∫(1− 2v)

3v2 − v − 1dv =

∫1− 2v

3

((v − 1

6

)2 − (√1336

)2) dv

4


∫(1− 2v)

3v2 − v − 1dv =

1

3

∫1− 2v(

v − 16

)2 − (√1336

)2 dv

=1

3

∫ dv(v − 1

6

)2 − (√1336

)2 − ∫ 2v dv(v − 1

6

)2 − (√1336

)2

Resolvamos primero:∫dv(

v − 16

)2 − (√1336

)2 = −∫

dv(√1336

)2−(v − 1

6

)2

Tomemos x = v − 1

6⇒ dx = dv y a =

√13

36, por lo tanto, utilizando

las tablas de integrales:

∫dv(

v − 16

)2 − (√1336

)2 = −∫

1

a2 − x2= − 1

2aln

∣∣∣∣x + a

x− a

∣∣∣∣+ c

= −3√

13

13ln

∣∣∣∣∣∣∣∣v +−1 +

√13

6

v − 1 +√

13

6

∣∣∣∣∣∣∣∣+ c

Resolvamos ahora

∫2v dv(

v − 16

)2 − (√1336

)2Tomemos u = v − 1

6, entonces du = dv y v = u +

1

6

Ası nuestra integral toma la forma:

5


∫2v dv(

v − 16

)2 − (√1336

)2 = 2

∫u + 1

6

u2 − 1336

du

= 2

∫ u

u2 − 1336

du +1

6

∫du

u2 −(√

1336

)2

Tomemos otro cambio de variable:

w = u2 − 13

36⇒ dw

2= u du y a =

√13

36, por tanto

∫2v dv(

v − 16

)2 − (√1336

)2 = 2

1

2

∫dw

w− 1

6

∫du(√

1336

)2− u2

= 2

1

2ln |w| − 1

6

1

2

√13

36

ln

∣∣∣∣u + a

u− a

∣∣∣∣+ c

= ln |u2 − 13

36| − 1

3

3√

13

13ln

∣∣∣∣∣∣∣v − 1

6 +√

1336

v − 16 −

√1336

∣∣∣∣∣∣∣+ c

= ln

∣∣∣∣(v − 1

6)2 +

13

36

∣∣∣∣− √13

13ln

∣∣∣∣∣v + −1+√13

6

v − 1+√13

6

∣∣∣∣∣+ c

Finalmente podemos concluir que:

6


∫(1− 2v)

3v2 − v − 1dv =

1

3

∫ dv(v − 1

6

)2 − (√1336

)2 − ∫ 2v dv(v − 1

6

)2 − (√1336

)2

=1

3

−3√

13

13ln

∣∣∣∣∣∣∣∣v +−1 +

√13

6

v − 1 +√

13

6

∣∣∣∣∣∣∣∣− ln∣∣(v − 1

6)2 − 1336

∣∣+

√13

13ln

∣∣∣∣∣∣∣∣v +−1 +

√13

6

v − 1 +√

13

6

∣∣∣∣∣∣∣∣

+ k

=1

3

−2√

13

13ln

∣∣∣∣∣∣∣∣v +−1 +

√13

6

v − 1 +√

13

6

∣∣∣∣∣∣∣∣− ln

∣∣∣∣(v − 1

6)2 − 13

36

∣∣∣∣+ k

Por tanto la solucion a la ecuacion diferencial es:

−2√

13

39ln

∣∣∣∣∣∣∣∣v +−1 +

√13

6

v − 1 +√

13

6

∣∣∣∣∣∣∣∣−1

3ln

∣∣∣∣(v − 1

6)2 − 13

36

∣∣∣∣ = lnx + C

−2√

13

39ln

∣∣∣∣∣∣∣∣y

x+−1 +

√13

6y

x− 1 +

√13

6

∣∣∣∣∣∣∣∣−1

3ln

∣∣∣∣∣(y

x− 1

6

)2

− 13

36

∣∣∣∣∣ = lnx + C

.

7


b.)(x3 + y3

)dx + 3xy2 dy = 0

Veamos si la ecuacion diferencial es exacta.

Tomemos;M(x, y) =

(x3 + y3

)N(x, y) = 3xy2


M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0


∂M

∂y=

∂N

∂x

En efecto;∂M

∂y= 3y2 =

∂N

∂x

Ahora busquemos una funcion g(x, y) tal que:

∂g

∂x= M(x, y) y

∂g

∂y= N(x, y)

La condicion∂g

∂x= M(x, y) implica que:

∂g

∂x= M(x, y) ⇒ ∂g = M(x, y) ∂x

⇒ g(x, y) =

∫M(x, y) dx =

∫ (x3 + y3

)dx

⇒ g(x, y) =x4

4+ xy3 + f(y)

La condicion∂g

∂y= N(x, y) implica que:

8


∂g

∂y= N(x, y) ⇒ ∂

∂y

(x4

4+ xy3 + f(y)

)= 3xy2

⇒ 3xy2 +∂f

∂y= 3xy2

⇒ ∂f

∂y= 0

⇒ f(y) = 0 = c

⇒ x4

4+ xy3 + c = q

Luego; la solucion general de la ecuacion diferencial(x3 + y3

)dx + 3xy2 dy = 0 es:

x4

4+ xy3 = t

donde t = q − c.

c.)(3x2y + ey

)dx +

(x3 + xey − 2y

)dy = 0

Tomemos;M(x, y) = 3x2y + ey

N(x, y) = x3 + xey − 2y


M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0


∂M

∂y=

∂N

∂x

En efecto;∂M

∂y= 3x2 + ey =

∂N

∂x

9


Ahora busquemos una funcion h(x, y) tal que:

∂h

∂x= M(x, y) y

∂h

∂y= N(x, y)

La condicion∂h

∂x= M(x, y) implica que:

dh

dx= M(x, y) ⇒ dh = M(x, y) dx

⇒ h(x, y) =

∫M(x, y) dx =

∫ (3x2y + ey

)dx

⇒ h(x, y) = x3y + xey + f(y)

La condicion∂h

∂y= N(x, y) implica que:

dh

dy= N(x, y) ⇒ ∂

∂y

(x3y + xey + f(y)

)= x3 + xey − 2y

⇒ x3 + xey +∂f

∂y= x3 + xey − 2y

⇒ ∂f

∂y= −2y

⇒ ∂f = −2y ∂y

⇒ f(y) =

∫(−2y) dy = −y2 + c1

Luego; la solucion general de la ecuacion diferencial(3x2y + ey

)dx +

(x3 + xey − 2y

)dy = 0

es f(x, y) = c2. Es decir; y2 = k;

y = ±√k

Donde k = −(c2 − c1) = c1 − c2 > 0

10


d.) (y ln y − exy) dx +

(1

y+ x ln y

)dy = 0

Veamos si la ecuacion diferencial es exacta.

Tomemos;M(x, y) = y ln y − exy

N(x, y) =1

y+ x ln y =

1 + xy ln y

y


M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0


∂M

∂y=

∂N

∂x

Como;

My =∂M

∂y= ln y + 1− xexy

Nx =∂N

∂x= ln y

Se tiene que:∂M

∂y6= ∂N

∂x

Ademas;My −Nx

N=

y − xyexy

1 + xy ln y

Nx −My

M=

xexy − 1

y ln y − exy

dependen de x e y. Por lo que dicha ecuacion diferencial no puedevolverse exacta por los medios conocidos hasta ahora.

11


Reescribamos la ecuacion como:

dy

dx=

yexy − y2 ln y

1 + xy ln y

Ası; la ecuacion diferencial no es separable.

Veamos si la ecuacion difrencial

(y ln y − exy) dx +

(1

y+ x ln y

)dy = 0

es homogenea.

Tomando; f(x, y) =dy

dx=

yexy − y2 ln y

1 + xy ln y

Entonces;

f(tx, ty) =tyetx(ty) − (ty)2 ln(ty)

1 + tx(ty) ln(ty)=

tyet2xy − t2y2 ln(ty)

1 + t2xy ln(ty)

Ası; f(x, y) =dy

dxno es una funcion homogenea. Por lo tanto dicha

ecuaion diferencial no es homogenea.

Ası; la ecuacion difrencial

(y ln y − exy) dx +

(1

y+ x ln y

)dy = 0

no es exacta, no es homogenea y no es separable.

Por lo tanto no puede resolverse con los metodos vistos hasta el mo-mento.

12


2. Determine el valor de k de modo que las siguientes ecuacionessean exactas:

a.)(y3 + kxy4 − 2x

)dx +

(3xy2 + 20x2y3

)dy = 0

Tomemos M(x, y) = y3 + kxy4 − 2x y N(x, y) = 3xy2 + 20x2y3.


M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0


dM

dy=

dN

dx

Como:dM

dy= 3y2 + 4kxy3 y

dN

dx= 3y2 + 40xy3

Entonces:3y2 + 4kxy3 = 3y2 + 40xy3

4kxy3 = 40xy3

4k = 40 ; x 6= 0; y 6= 0

k = 10

Asi para que la ecuacion diferencial(y3 + kxy4 − 2x

)dx +

(3xy2 + 20x2y3

)dy = 0

sea exacta debe suceder que k = 10.

13


b.)(2x − y sin(x) + ky4

)dx +

(20xy3 + x sin(xy)

)dy = 0

Tomemos:M(x, y) = 2x− y sin(x) + ky4 y N(x, y) = 20xy3 + x sin(xy).


M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0


∂M

∂y=

∂N

∂x

Como:∂M

∂y= − sinx + 4ky3

dN

dy= −20y3 − [xy cos(xy) + sin(xy)]

= −20y3 − xy cos(xy)− sin(xy)

Entonces:

− sinx + 4ky3 = −20y3 − xy cos(xy)− sin(xy)

4ky3 = −20y3 − xy cos(xy)− sin(xy) + sin x

k =−20y3 − xy cos(xy)− sin(xy) + sin x

4y3; y 6= 0

k =−20y3 − xy cos(xy)− sin(xy) + sin x

4y3

Asi para que la ecuacion diferencial(2x− y sin(x) + ky4

)dx +

(20xy3 + x sin(xy)

)dy = 0

sea exacta debe suceder que k =−20y3 − xy cos(xy)− sin(xy) + sin x

4y3.

14


c.)(6xy3 + cos y

)dx +

(kx2y2 − x sin y

)dy = 0

Tomemos M(x, y) = 6xy3 + cos y y N(x, y) = kx2y2 − x sin y.


M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0


∂M

∂y=

∂N

∂x

Como:∂M

∂y= 18xy2 − sin y y

∂N

∂x= 2kxy2 − sin y

Entonces:18xy2 − sin y = 2kxy2 − sin y

18xy2 = 2kxy2

18 = 2k ; x 6= 0; y 6= 0

k = 9

Asi para que la ecuacion diferencial(6xy3 + cos y

)dx +

(kx2y2 − x sin y

)dy = 0

sea exacta debe suceder que k = 9.

3. Determine una funcion M(x, y) de forma que la ecuacion dife-rencial sea exacta:

M(x, y) dx +

(xexy + 2xy +

1

x

)dy = 0

Sea M(x, y) dx + xexy + 2xy +1

xdy = 0 se debe cumplir que:

15


∂M

∂y=

∂N

∂x=

∂

∂x

(xexy + 2xy +

1

x

)= exy + xyexy + 2y − 1

x2

Integrando respecto a y donde x representa una constante tenemos:

M(x, y) =

∫ (exy + xyexy + 2y − 1

x2

)dy

=

∫exy dy + x

∫yexy dy +

∫2y dy − 1

x2

∫dy

=

∫exy dy + x

∫yexy dy + y − y

x2+ c1

Resolvamos

∫exy dy

Tomando el cambio de variable siguiente:

w = xy ⇒ dw

x= dy∫exy dy =

1

x

∫ew dw =

1

x(ew) + c2 =

exy

x+ c2

Ahora resolvamos

∫yexy dy

Utilizando el metodo de integracion por partes tomando:

u = y ⇒ du = dy; dv = exy dy ⇒ v =1

x(exy), ası;

∫yexy dy =

∫u dv = uv −

∫v du =

y

xexy − 1

x

∫exy dy

=yexy

x− 1

x2(exy) =

1

x

(yey − exy

x

)+ c3

Finalmente podemos concluir que:

16


M(x, y) =exy

x+ x

(1

x

(yey − exy

x

))− 1

x2(y) + g(x)

= yexy + y2 − y

x2+ g(x)

De modo que podemos verificar

∂M

∂y= exy + xyexy + 2y − 1

x2=

∂N

∂x

4. Determine una funcion N(x, y) de manera que la siguiente ecua-cion diferencial sea exacta:(√

y

x+

x

x2 + y

)dx + N(x, y) dy = 0

Sea

(√y

x+

x

x2 + y

)dx + N(x, y) dy = 0, se debe cumplir que:

∂N

∂x=

∂M

∂y=

∂

∂y

(x−

12y

12 +

x

x2 + y

)=

1

2√

x√y− x

(x2 + y)2

Integrando con respecto a x donde y representa una constante.

Esto tomando u = x2 + y ⇒ du

2= xdx tenemos:

N(x, y) =1

2√y

∫x−

12 dx− 1

2

∫du

u2

=1

2√y

(x

12

12

)− 1

2

(u−1

−1

)+ g(y) =

√x√y

+1

2(x2 + y)+ g(y)

=

√x√y

+1

2(x2 + y)+ g(y)

17


De modo que podemos verificar que:

∂M

∂y=

1

2√x√y

+1

2

(−2x

(x2 + y)2

)=

∂N

∂x

∂M

∂y=

1

2√x√y− x

(x2 + y)2=

∂N

∂x

18

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