Yohana Bonilla G 2012

UNIVERSIDAD LIBRE TALLER DE INFERENCIA ESTADISTICA

ESTIMACIÓN PARA LA MEDIA Y LA PROPORCIÓN, CÁLCULO DEL TAMAÑO DE MUESTRA

Octubre 5 de 2012

Ejercicio 3. Se pretende estimar el número promedio de latidos del corazón por minuto para cierta población. Para ello se realizó un muestreo aleatorio simple en el que se encontró que el número promedio de latidos por minuto para 49 personas era de 90; considere que la desviación estándar poblacional es de 10. Construya el intervalo de confianza para el promedio de latidos del corazón con niveles de confianza del 90% y el 95% respectivamente. Solución: Definamos:

Número promedio de latidos del corazón/minuto de la población.

(Tamaño de la muestra).

(Número promedio de latidos/minuto de la muestra).

(Desviación estándar poblacional).

a) Para un nivel de confianza del 90% calculamos el intervalo de confianza :

De la tabla de Distribución normal para Z, para un nivel de confianza del 90%,

Reemplazando los datos conocidos:

De acuerdo al resultado obtenido, existe una probabilidad del 90% de que el intervalo

contenga el número promedio de latidos del corazón por minuto de la

población.

b) Análogamente, para un nivel de confianza del 95% calculamos el intervalo de

confianza :

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De la tabla de Distribución normal para Z, para un 95%,

Reemplazando los datos conocidos:

Entonces, a partir de una muestra de 49 personas y para un nivel de confianza del 95%, el

número promedio de latidos del corazón por minuto para la población estará entre 88 y

92 latidos/minuto.

Ejercicio 9. Sólo una parte de los pacientes que sufren un determinado síndrome

neurológico consiguen una curación completa; Si de 64 pacientes observados se han

curado 41, realizar la estimación puntual y por intervalos con una confiabilidad del 95%

para la proporción de los que sanan.

Solución:

a) Estimación puntual:

Vamos a calcular la proporción de personas de la muestra que sanan, y lo usaremos

como un estimador puntual de la proporción de personas de la población , que sanan.

Definimos:

(tamaño de la muestra)

Así

Por lo tanto podemos estimar puntualmente que la proporción de personas de la

población que se sanan es de 64%.

b) Estimación por intervalo:

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Para un nivel de confianza del 95% calculamos el intervalo de confianza a partir de la

proporción de personas sanas de la muestra :

De la tabla de Distribución normal para Z, para un 95%,

Con los datos que tenemos:

Entonces a partir de una muestra de 64 pacientes y con un nivel de confianza del 95%,

estimamos que la proporción de la población total de pacientes que sanan está entre 0.52

y 0.76.

Ejercicio 11. Para evaluar una vacuna para la gripe se selecciona un grupo de 200 individuos de riesgo. Se eligen aleatoriamente a 100 de ellos y se les suministra la vacuna; de ellos 10 presentan posteriormente la gripe. En los otros 100 pacientes sin vacunar se presentan 20 casos. Estimar la proporción de personas con gripe en ambos casos. ¿Hay evidencia de que la vacuna es eficaz?. Solución: Tabla 1. Proporción de personas que presentan la gripe.

Grupo 1: Vacunados Grupo 2: No vacunados

(tamaño de muestra) 100 100

# personas que presentan la gripe

10 20

proporción de personas que presentan la gripe

10/100=0.1 20/100=0.2

De la tabla se concluye que la proporción de personas que presentaron la gripe es menor en el grupo de las personas que recibieron la vacuna, siendo exactamente la mitad. Esto sería un buen indicador de la eficiencia de la vacuna.

Ejercicio 14. El director de la sección de control de la rabia del departamento de salud

pública, desea extraer una muestra de los registros de mordidas de perro reportadas

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durante el transcurso del año anterior para estimar la edad media de las personas

mordidas. Requiere de un intervalo de confianza de 95 por ciento, decide utilizar un error

en la estimación de 2.5 y, a partir de estudios anteriores, estima que s = 15 años. ¿Cuán

grande debe ser el tamaño de la muestra?.

Solución:

Para calcular el tamaño de la muestra requerimos los siguientes parámetros

estadísticos:

(Error de la estimación)

s = 15 años

Para un nivel de confianza del 95%:

El tamaño de la muestra requerido es:

Por lo tanto para estimar la edad media de las personas registradas por mordidas de

perro, se requiere un tamaño de muestra de 138, teniendo en cuenta una confianza del

95% y un error de estimación de 2.5,.

Ejercicio 17. Se quiere estimar la incidencia de la hipertensión arterial en el embarazo.

¿Cuántas embarazadas tenemos que observar para, con una confianza del 95%, estimar

dicha incidencia con un error del 2% en los siguientes casos?:

1. Sabiendo que un sondeo previo se ha observado un 9% de hipertensas.

2. Sin ninguna información previa.

Solución:

El número de embarazadas que tenemos que observar representa el tamaño de la

muestra .

1. Si tenemos información del nivel de confianza, el error de estimación y una

proporción de hipertensas, representativa:

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En el primer caso conocemos una proporción de hipertensas:

Y para un nivel de confianza del 95%, de la tabla de distribución normal estándar:

Reemplazando en :

En este caso para estimar la incidencia de la hipertensión arterial en el embarazo

con un error del 2% y un nivel de confianza del 95%, se deben observar 787

embarazadas, considerando el sondeo previo.

2. Si no tenemos información previa sobre la proporción de hipertensas , buscamos

la forma de obtener el tamaño de más grande.

Para esto, el numerador de (definida en el punto 1) debe ser el más grande

posible y esto se obtiene cuando

De esta forma

Así, bajo estos parámetros se deberían observar embarazadas para estimar

la incidencia de la hipertensión arterial en el embarazo.