Universidad de CartagenaFacultad de Ciencias Exactas

Ecuaciones Diferenciales OrdinariasEcuacion diferencial de Benoulli

Vanessa Marrugo SantanderEiver Rodrıguez Perez

Jon Valiente Iglesias

17 de diciembre de 2015

Ecuaciones Diferenciales 5 Sem. 2015

Solucion a los ejercicios 5,8,14

1. Resolver en grupo de 3 personas 3 ejercicios que el docente leasigne y prepararse para sustentar en el tablero.

5). s′ + 7s = rs7

Seas′ + 7s = rs7

Multiplique toda la ecuacion diferencial por s−7, entonces

s−7s′ + 7s−6 = r

Tome el cambio de variable u = s−6,por lo que

du

dr= −6s−7s′,entonces −1

6

du

dr= s−7s′, luego

−1

6

du

dr+ 7u = r

Multiplique toda la ecuacion anterior por −6, obteniedose:

du

dr− 42u = −6r

Por simple inspecion, la ecuacion diferencial anterior es lineal de primerorden.

Sea q(r) = −6r y p(r) = −42, entonces el factor integrante viene dadopor

w(r) = e∫p(r) dr

w(r) = e−42∫dr

w(r) = e−42r

Y la solucion general viene dada por:

u =

∫w(r) q(r) dr

w(r)

2

Ecuaciones Diferenciales 5 Sem. 2015

u =

∫(e−42r)(−6r) dr

e−42r

Resolvamos la integral del numerador por partes, tome:

m = −6r; dm = −6dr y dv = e−42rdr v = − 1

42e−42r ası:

u =6re−42r

42 −∫

642e−42r dr

e−42r

u =r7e−42r + 1

294e−42r + c

e−42r

u =1

s6=

r

7+

1

294+ ce42r

1

s6=

294r + 7 + 2058ce42r

2058

s = 6

√2058

294r + 7 + 2058ce42r

8). x3y′ + x2y = x7y34

Seax3y′ + x2y = x7y

34

Multiplique toda la ecuacion diferencial por y−34 , luego

y−34y′ + x2y

14 = x7

Tome el cambio de variable u = y14 , entonces,

du

dx=

1

4y−

34y′, luego

4du

dx= y−

34y′

Por tanto,

4du

dx+ x2u = x7

du

dx+

1

4x2u =

1

4x7

3

Ecuaciones Diferenciales 5 Sem. 2015

Sea p(x) =x2

4, y q(x) =

x7

4, el factor integrante viene dado por:

w(x) = e∫p(x) dx = e

∫x2

4 dx = ex3

12

Por tanto la solucion general de la ecuacion diferencial viene dada por

u = y14 =

∫w(x)q(x) dx

w(x)=

∫e

x3

12

(x7

4

)dx

ex3

12

La integral del numerador la resolvemos usando las tablas:∫xneaxdx =

1

axneax − n

a

∫xn−1eaxdx

14). e−x(y′ − y) = y2

Seae−xy′ − ye−x = y2

Divida cada termino de la expresion anterior por e−x, entonces

y′ − y =y2

e−x

y′ − y = exy2

Multiplique la expresion anterior por y−2, luego

y−2y′ − 1

y= ex

Tome u =1

y, entonces,

du

dx= −y−2y′, o lo que es lo mismo −du

dx= y−2y′

ası:

−dudx− u = ex

du

dx+ u = −ex

4

Ecuaciones Diferenciales 5 Sem. 2015

Sea p(x) = 1 y q(x) = −ex luego el factor integrante viene dado por

E(x) = e∫p(x) dx = e

∫dx = ex

Y la solucion general viene dada por:

u =1

y=

∫E(x)q(x) dx

E(x)

u =1

y=−∫e2x dx

ex=−1

2e2x + c

ex

y =1

−12e

x + ce−x=

2

2ce−x − ex

y =2ex

2c− e2x

5