Soluciones de los problemas del taller especial

Este taller fue preparado para satisfacer la inquietud de los docentes que solicitaron

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Olimpiada Akâ Porâ Olimpiada Nacional de Matemáticas de Educación de Jóvenes y Adultos

Autoría y Recopilación de materiales: Rodolfo Berganza Meilicke Soluciones de los problemas: Rodolfo Berganza - Ingrid Wagener

Problema 1 Calcular la suma de todos los múltiplos de 7 que existen entre 1 000 y 4 000. Solución Comenzamos por calcular el primer número de la lista y el último. Dividimos 1 000 entre 7:

1 000 ÷ 7 = 142,857 Entonces, el primer múltiplo de 7 que tendremos en la lista es:

143 × 7 = 1 001 Los siguientes serán: 1 001 + 7 = 1 008 ; 1 008 + 7 = 1 015 Calculamos ahora el último múltiplo de 7 de la lista:

4 000 ÷ 7 = 571,429 ⇒ 571 × 7 = 3 997 Y los anteriores: 3 997 – 7 = 3 990 ; 3 990 – 7 = 3 983 La lista es:

1 001 , 1 008 , 1 015 , . . . . . . . . . . . . , 3 983 , 3 990 , 3 997 Calculamos ahora la cantidad de números que hay en la lista:

3 997 – 994 = 3 003 ; 3 003 ÷ 7 = 429 Como vamos a aplicar el método de Gauss, es mejor si consideramos una cantidad par de números, para poder formar las parejas. Dejamos entonces de lado el primero y consideramos:

1 008 + 1 015 + 1 022 + . . . . . . . . . + 3 983 + 3 990 + 3 997

1 008 + 3 997 = 5 005 ; 1 015 + 3 990 = 5 005 1 022 + 3 983 = 5 005

Entonces, hay 214 parejas que suman 5 005: 5 005 × 214 = 1 071 070 Y la suma buscada es: 1 071 070 + 1 001 = 1 072 071

Problema 2 Se escriben en orden 46 números enteros consecutivos y luego se suman los 46 números, obteniéndose 1 725. Calcular la suma de los dos números ubicados en la parte media de la lista. Solución En primer lugar, sabemos que en el medio de la lista hay dos números porque la lista tiene una cantidad par de números. Si la cantidad fuese impar, en el medio habría un solo número, pero el procedimiento de resolución sería muy parecido al que vamos a ver. Los números enteros forman una serie de números en donde la diferencia que hay entre un número y el que le antecede, o entre el que está después, es la misma. En esta situación se puede aplicar el método de Gauss. Fijémonos en la siguiente suma:

2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 Vemos que: 2 + 12 = 14 ; 4 + 10 = 14 ; 6 + 8 = 14. Hay tres pares que suman 14, luego, la suma será 14 × 3 = 42. En el problema tenemos 46 números enteros consecutivos, luego hay 23 pares que suman lo mismo. Esa suma es:

1 725 ÷ 23 =75 Entonces, la suma del par que está en el medio es: 75 Problema 3 Un prisma recto tiene 27 aristas. ¿Cuántos lados tiene la base? Solución

Podemos ver en estos ejemplos la relación entre la cantidad de lados de la base y la cantidad de aristas de un prisma: Prisma triangular: 3 lados , 9 aristas Prisma cuadrangular: 4 lados , 12 aristas Prisma pentagonal: 5 lados , 15 aristas

Generalizamos: Prisma de n lados → 3 n aristas Entonces, si el prisma tiene 27 aristas, la cantidad de lados de la base es:

3 n = 27 ⇒ n = 9

Problema 4 Desde uno de los vértices de un polígono se pueden trazar 8 diagonales. ¿Cuántos lados tiene el polígono? Solución

Como se puede ver en los ejemplos, la cantidad de diagonales que se puede trazar desde uno de los vértices es:

Triángulo: 0 ; cuadrilátero: 1 ; pentágono: 2.

Podemos concluir que se puede trazar diagonales a los vértices que no sean consecutivos al vértice elegido (por eso el triángulo no tiene diagonales). Sea “n” la cantidad de lados de un polígono. La cantidad de diagonales será (n – 3). Entonces: n – 3 = 8 ⇒ n = 11 Problema 5 En un polígono convexo, el número total de diagonales es 90. Determinar la cantidad de lados del polígono. Solución La cantidad de diagonales que se puede trazar desde uno de los vértices de un polígono de “n” lados es: n – 3. Entonces, si el polígono tiene n lados, también tiene n vértices. Luego, la cantidad de diagonales que podemos dibujar es: n (n – 3). Pero si hacemos el dibujo correspondiente, vamos a darnos cuenta que cada diagonal se ha “dibujado” dos veces al considerar cada uno de los dos vértices que son sus extremos (para entender mejor, hacer un dibujo), luego, el total de diagonales que tiene un

polígono es: ( )2

3nn − . Por lo tanto:

( ) 902

3nn=

− ⇒ n2 – 3 n = 180 ⇒ (n – 15) (n + 12) = 180

n = 15 Observación: en la solución de este problema no hemos aplicado precisamente la inducción, al contrario, hemos partido de un caso general y luego lo hemos aplicado a un caso particular. Este procedimiento implica el método deductivo. El método Heurístico tiene dos caminos, el deductivo y el inductivo. Por el camino DEDUCTIVO, el alumno percibe relaciones y modelos en construcciones especiales que le permite generalizar y proveer las partes faltantes de una construcción; en cambio, por el camino INDUCTIVO el alumno descubre simples sistemas de ideas sin la ayuda directa del docente, utilizando para ello la creatividad. Esto se llama también descubrimiento guiado.

Problema 6 Con los dígitos 2 , 3 , 5 , 6 , 7 se escriben números de dos cifras distintas. Hallar la cantidad de esos números que son múltiplos de 6. Solución Para que un número sea múltiplo de 6 debe ser divisible por 2 y por 3. Esto quiere decir que debe ser un número par y que la suma de las cifras debe ser múltiplo de 3. Los números pares de dos cifras que se puede formar con los dígitos dados son:

32 , 36 , 52 , 56 , 72 , 76 De esos números, los que además son múltiplos de 3 son:

72 ; 36 Problema 7 Lisa armó con un método secreto la siguiente serie de números:

3 , 5 , 8 , 12 , a , b , 30 , 38 Determinar la suma (a + b). Solución Analizamos la serie y vemos que:

3 + 2 = 5 ; 5 + 3 = 8 ; 8 + 4 = 12 Lisa, primero sumó 2, luego 3 y después 4. Entonces, irá sumando: 5 , 6 , 7 , . . . Entonces: a = 12 + 5 = 17 ; b = 17 + 6 = 23 Verificamos si la serie sigue bien: 23 + 7 = 30 ; 30 + 8 = 38 Luego: a + b = 17 + 23 = 40 Problema 8 Se suman dos números enteros diferentes y se obtiene 30. Ambos números son menores que 19 pero mayores que 11. ¿Cuántos pares diferentes se pueden armar? Solución Como los números son mayores que 11, tenemos:

12 + 18 = 30 ; 13 + 17 = 30 ; 14 + 16 = 30 La cantidad de pares diferentes que se pueden armar es:

3

Problema 9 Un polígono regular de n lados, tiene como medida de cada lado un número entero. El perímetro del polígono es 40. Luisa elige distintas medidas para el lado. ¿Cuántas posibilidades de elección tiene? Solución Sea “a” la medida de uno de los lados del polígono. Entonces:

a · n = 40 Debemos buscar dos factores enteros cuyo producto sea 40:

1 × 40 ; 2 × 20 ; 4 × 10 ; 5 × 8 Los valores posibles de a son: 1 , 2 , 4 , 5 , 8 , 10. Los valores 20 y 40 no serían posibles, ya que la cantidad de lados del polígono serían 2 y 1. Las posibilidades de elección son:

6 Problema 10 Rafael construye rectángulos cuyos lados tienen como medida números enteros y cuyo perímetro es 22. ¿Cuántos rectángulos diferentes puede obtener? Solución La suma del largo del rectángulo con su ancho es: 22 ÷ 2 = 11. Buscamos ahora cuantos pares podemos utilizar:

1 + 10 ; 2 + 9 ; 3 + 8 ; 4 + 7 ; 5 + 6 Vemos que la cantidad de rectángulos diferentes es:

5 Problema 11 Se suma varias veces un mismo número primo, obteniéndose 78. ¿Cuáles son los números primos que cumplen esta condición? Solución Descomponemos 78 en sus factores primos:

78 = 2 × 3 × 13 Estos son los números primos que buscamos: 2 , 3 , 13

Problema 12 Con tres números enteros consecutivos se escribe un número de tres cifras, sin repetir ningún dígito y con los dígitos ordenados en orden creciente o decreciente. El mismo número que se escribe se suma con el número que resulta al invertir el orden de las cifras y se obtiene 888. Calcular la suma de los dígitos del número. Solución El número es de la forma abc , donde b puede ser (a + 1) y c puede ser (a + 2). Entonces: abc = 100 a + 10 b + c Según las condiciones del problema:

888cbaabc =+ ⇒ 100 a + 10 b + c + 100 c + 10 b + a = 888

101 a + 20 b + 101 c = 888 ⇒ 101 a + 20 (a + 1) + 101 (a + 2) = 888

101 a + 20 a + 20 + 101 a + 202 = 888 ⇒ 222 a + 222 = 888

222 a = 666 ⇒ a = 3 ; b = 4 ; c = 5 Y la suma buscada es: 3 + 4 +5 = 12 Problema 13 El promedio de 5 números impares consecutivos es 15. Determinar el promedio del mayor y del menor de los números. Solución Llamamos S a la suma de los cinco números, entonces:

5S15 = ⇒ S = 75

Sea “a” el menor de los cinco números. Entonces:

75 = a + (a + 2) + (a + 4) + (a + 6) + (a + 8) = 5 a + 20

55 = 5 a ⇒ a = 11 Los números son: 11 , 13 , 15 , 17 , 19 y el promedio buscado es:

21911+ = 15

Problema 14

En la sustracción, los dígitos a y b son mayores que 2. Dar todos los valores posibles de a y b.

Solución Atendiendo lo que ocurre en las unidades de mil, concluimos que a > b. Entonces, en las decenas tenemos:

10 + b – a = 7 ⇒ a = b + 3 Como b es mayor que 2, los valores posibles son:

b = 3 , a = 6 ; b = 4 , a = 7 ; b = 5 , a = 8 ; b = 6 , a = 9 Problema 15 Si a y b son números enteros positivos y a2 = 60 b, calcular la suma de los dos menores valores de b. Solución Como 60 b es igual que a2, 60 b es un cuadrado perfecto. Debemos hallar los valores de b que completen el producto para que tal cosa ocurra. Descomponemos 60 en sus factores primos:

60 = 22 × 3 × 5 Vemos que los valores de b pueden ser:

15 (3 × 5) ; 60 (22 × 3 × 5) ; 240 (24 × 3 × 5) ; . . . . . . . . La suma de los menores valores de b es: 15 + 60 = 75 Problema 16 En la proporción:

60c

36b

48a

== , el valor de (a + b + c) es 108. Calcular el valor de

(a + b). Solución

3648ba

603648cba

60c

36b

48a

++

=++++

=== ⇒ 84

ba144108 +

=

Entonces: a + b = 63 Problema 17 En la siguiente división: (35 x2 + 32 x + A) ÷ (7 x – 9), el residuo es 69. Hallar el valor de A.

Solución

Al efectuar la división queda como residuo A + 99. Entonces: A + 99 = 69 A = -30

Problema 18 Se escriben números de tres cifras distintas. ¿En cuántos de ellos la suma de los cifras es mayor que 20? Solución Los números son de la forma: abc . La condición es que a + b + c > 20. Las ternas (a , b , c) posibles, son:

9 , 8 , 4 ; 9 , 8 , 5 ; 9 , 8 , 6 ; 9 , 8 , 7

9 , 7 , 5 ; 9 , 7 ,6 ; 8 , 7 , 6 Hay 7 ternas y con cada una de ellas se puede escribir 6 números, entonces:

7 × 6 = 42 Problema 19 Si M es un número entero y 9

24M8 <

−< , hallar el valor de M.

Solución Multiplicamos por 2 la desigualdad y tenemos:

16 < M – 4 < 18 Sumamos 4 a todos los miembros de la desigualdad:

20 < M < 22 ⇒ M = 21 Problema 20 En un exágono regular ABCDEF, el área es 60. Calcular el área del triángulo ADE. Solución

Las diagonales AD , BE y CF se cortan en el punto O, centro del exágono y lo dividen en 6 triángulos equiláteros iguales. Entonces:

(DEO) = 60 ÷ 6 = 10 (AFEO) = 2 × 10 = 20

El cuadrilátero AFEO es un rombo y la diagonal AE lo divide en dos triángulos isósceles iguales. Luego: (AEF) = 20 ÷ 2 = 10 Por lo tanto: (AED) = (AEO) + (DEO) = 10 + 10 = 20 Problema 21 La medida de cada lado de un triángulo equilátero es un número entero. El perímetro del triángulo es mayor que 50 pero menor que 59. Determinar la cantidad de valores posibles para cada uno de los lados. Solución Sea “a” la medida de uno de los lados, entonces: 50 < 3 a < 59. Dividiendo entre 3 la desigualdad tenemos:

16,666. . . . < a < 19,666 . . . ⇒ a = 17 , 18 , 19 La cantidad de valores posibles es: 3 Problema 22

El cuadrado de la figura tiene lados iguales a 10. Hallar el área de la superficie pintada.

Solución El área del sector circular es: 2

2

r41

º360º90r

⋅π=⋅⋅π

Pero el radio es el lado del cuadrado. Entonces, el área buscada es:

22 104110 ⋅π− = 100 – 25 π = 25 (4 – π)

Problema 23

En el cuadrado ABCD, los lados miden 12 y BE = 2 AE. Calcular el área de la parte pintada.

Solución Como AE + BE = 12 y BE = 2 AE, resulta: AE = 4 , BE = 8. El área buscada es:

( ) ( ) ( )212812BCEABCDADCE 2 ⋅

−=−= = 144 – 48 = 96

Problema 24 En un triángulo ABC se trazan las mediatrices PD y PE. P es el punto de intersección de las mediatrices. D pertenece al lado BC y E pertenece al lado AC. El ángulo B mide 80º. Hallar la medida de

∠APC .

Solución Como el ángulo B mide 80º, tenemos:

b + c = 80º

El punto P es la intersección de las mediatrices. Recordemos que ese punto es el circuncentro, o sea, el centro de la circunferencia que pasa por los puntos A , B y C.

Entonces, PA = PB = PC por ser radios. Por lo tanto, los triángulos ABP , ACP y BCP son isósceles. Por otro lado:

2 a + 2 b + 2 c = 180º ⇒ a + b + c = 90º ⇒ a = 10º Entonces, el ángulo buscado es:

∠APC = 180º - 2 a = 180º - 20º = 160º

Problema 25 El valor numérico del polinomio (5 a – 3 b + 2) es 13. Si a y b son números naturales de un solo dígito, determinar los pares (a , b) que cumplen la condición del problema. Solución Consideramos el valor numérico del polinomio:

5 a – 3 b + 2 = 13 ⇒ 5 a = 3 b + 11 ⇒ 5

11b3a +=

Para que a sea un número natural (3 b + 11) debe ser un múltiplo de 5 mayor que 11. Además, ese múltiplo de 5 menos 11 debe ser múltiplo de 3. Analizamos las posibilidades: Para a = 3 → 15 – 11 = 4 (no) Para a = 4 → 20 – 11 = 9 ⇒ 3 b = 9 ⇒ b = 3 , a = 4 Para a = 5 → 25 – 11 = 14 (no) Para a = 6 → 30 – 11 = 19 (no)

Para a = 7 → 35 – 11 = 24 ⇒ 3 b = 24 ⇒ b = 8 , a = 7 Para a = 8 → 40 – 11 = 29 (no) Para a = 9 → 45 – 11 = 34 (no) La respuesta es: (4 , 3) , (7 , 8) Problema 26 En la proporción

4b

a24

= , a y b son números enteros. Si a > 7, determinar todos los

posibles valores de a. Solución Multiplicamos los extremos y los medios de la proporción y obtenemos:

a · b = 24 · 4 = 96 ⇒ a

96b =

Por otro lado: 96 = 25 · 3 Como b es entero, a tiene que dividir a 96. Entonces, los posibles valores de a son:

8 , 12 , 16 , 24 , 32 , 48 , 96 Problema 27 Sea N un cuadrado perfecto tal que: N = a · b (a ≠ b ; a y b naturales). Si N es mayor que 20 pero menor que 40, determinar los posibles valores de a. Solución Como: 20 < N < 40, los posibles valores de N son 25 y 36. El valor de a tiene que ser tal que multiplicado por un número natural (b), determine esos valores de N. Entonces, los posibles valores de a son:

1 , 2 , 3 , 4 , 9 , 12 , 18 , 25 , 36 Problema 28 En un triángulo ABC, AB = AC. El área del triángulo ABC es 60. El lado BC mide 10. La altura AH y la mediana BM se cortan en E. Hallar la distancia del punto E al lado AB.

Solución

Como el triángulo es isósceles con AB = AC, la altura AH es al mismo tiempo mediana, mediatriz y bisectriz. Siendo E el punto de intersección de dos medianas, resulta: AE = 2 EH ⇒ AH = 3 EH Entonces: (ABH) = 3 (BEH)

Como AH es mediana, tenemos:

(ABH) = (ACH) = 30 ⇒ (BEH) = 10

Por otro lado: ( )2

10AHABC ⋅= ⇒

210AH60 ⋅

= ⇒ AH = 12

Luego: 22 512AB += ⇒ AB = 13 El área del triángulo ABE es: (ABE) = (ABH) – (BEH) = 30 – 10 = 20

( )2

d13ABE ⋅= ⇒

2d1320 ⋅

=

El valor de d es: 1340

Problema 29

En el rectángulo ABCD, F es punto medio de BC y EB = 2 AE. El área del rectángulo es 120. Hallar el área de la superficie pintada.

Solución Tenemos: (ABCD) = 120 = AB · BC Consideramos las superficies de los triángulos ADE , BEF y CDF:

( ) ( )ABCD61

2

AB31BC

2AEADADE =

⋅=

⋅= = 20

( ) ( )ABCD61

2

BC21AB

32

2BFBEBEF =

⋅=

⋅= = 20

( ) ( )ABCD41

2

BC21AB

2CFCDCDF =

⋅=

⋅= = 30

Luego: (DEF) = (ABCD) – (ADE) – (CDF) – (BEF) = 120 – 20 – 30 – 20 = 50 Problema 30 Dada la igualdad:

2xB

3xA

6xx2x5

2 −+

+=

−++ , hallar el valor de (A + B).

Solución

2xB

3xA

6xx2x5

2 −+

+=

−++ ⇒ ( )( ) 2x

B3x

A2x3x

2x5−

++

=−+

+

5 x + 2 = A (x – 2) + B (x +3) ⇒ 5 x + 2 = A x – 2 A + B x + 3 B

5 x + 2 = (A + B) x + (- 2 A + 3 B) ⇒ (A + B) = 5 Problema 31 Un triángulo ABC está inscripto en una circunferencia. Por A y C se trazan las tangentes que se cortan en P. Si, º40CPA =

∠calcular el valor de

∠CAP .

Solución

Recordamos que los segmentos de tangente entre los puntos de tangencia y la intersección de las tangentes son iguales: AP = PC

Entonces, el triángulo ACP es isósceles y tenemos:

∠∠

= CAPACP

En el triángulo ACP: º180º40CAPACP =++∠∠

⇒ º140CAP2 =∠

Luego: ∠

CAP = 70º Problema 32 El promedio de cuatro números naturales diferentes es 40,5. El promedio de los dos mayores es 51. Calcular el promedio de los dos números menores. Solución Llamamos S a la suma de los cuatro números, S1 a la suma de los dos mayores y S2 a la suma de los dos menores. Entonces:

5,404S= ⇒ S = 162 ; 51

2S1 = ⇒ S1 = 102

S2 = 162 – 102 = 60 ⇒ 2

602

S2 = = 30

Problema 33 En un triángulo rectángulo ABC, los catetos son AB y BC. D es el punto medio de AC. Desde D se trazan DE ⊥AB y DF ⊥ BC. El punto E está sobre AB y el punto F está sobre BC. Determinar la relación entre el área (EBFD) y el área (ABC). Solución

Como DE ⊥ AB y DF ⊥BC, resulta DE║ BC y DF║ AB. Entonces, E es punto medio de AB y F es punto medio de BC. Así tenemos:

(EBFD) = DE · DF = 21 BC ·

21 AB = ( )ABC

21

2ABBC

21

=⋅

⋅ = 21 (ABC)

Problema 34 Los números 82 , 68 y 61 se dividen por un mismo número primo y en todos los casos se obtiene como residuo 5. Determinar el divisor y todos los cocientes. Solución Llamamos p al número primo que es el divisor y a , b y c los cocientes. Así tenemos:

82 = p · a + 5 ⇒ p · a = 77 = 7 · 11

68 = p · b + 5 ⇒ p · b = 63 = 7 · 9

61 = p · c + 5 ⇒ p · c = 56 = 7 · 8 Podemos ver que el divisor es 7 y los cocientes son 11 , 9 y 8.

Divisor: 7 ; Cocientes: 11 , 9 , 8 Problema 35 El promedio de 8 números naturales es 10,75. El promedio de 16 números naturales es 6,875. Determinar el promedio de esos 24 números. Solución Llamamos S8 a la suma de los 8 primeros números y S16 a la suma de los 16 números. Entonces:

8S

75,10 8= ⇒ S8 = 86 ; 16S

875,6 16= ⇒ S16 = 110

2411086

24SS 168 +

=+ = 8,1666 . . .

Problema 36 Con los dígitos 1 , 2 , 4 , 6 , 7 , 9 se escriben capicúas de 3 cifras. Hallar la suma de todos los números capicúas que se puede escribir. Solución Los capicúas son de la forma aba . La cantidad de capicúas que se puede escribir es:

6 × 6 = 36 El dígito 1 aparece 6 veces en las centenas, acompañando a cada valor de b. Lo mismo ocurre con los otros dígitos. El dígito 1 aparece 6 veces en las decenas, acompañando a cada valor de a. También eso ocurre con los otros dígitos. Calculamos la suma: 1 + 2 + 4 + 6 + 7 + 9 = 29 Como aba = 100 a + 10 b + a = 101 a + 10 b, la suma de todos los capicúas es:

101 × 6 × 29 + 10 × 6 × 29 = 19 314