UNIVERSIDAD NACIONAL DE MISIONES FACULTAD DE HUMNIDADES Y CS. SOCIALES

TALLER DE MATEMÁTICA

BENEFICIARIOS: Estudiantes de Primer año de Técnico en Investigación

Socioeconómica (TISE)

RESPONSABLE: Lic. Sonia Beatriz Muñoz

2017

INTRODUCCION

Los contenidos aquí involucrados ya los has tratado, con mayor o menor, profundidad en tu

paso por la escuela media y han sido seleccionados por considerarse necesarios para cimentar la

formación superior.

La mayoría de las actividades seleccionadas han sido trabajadas y otras te requerirán el uso de

nuevas estrategias.

Los objetivos propuestos son:

Desarrollar la Matemática conceptual, junto con la habilidad en el cálculo.

Enseñar a descubrir en la Matemática un útil instrumento operacional para las ciencias

sociales.

Presentar la Metodología de la Matemática (esto incluye los procesos de simbolización,

interpretación, definición, demostración y análisis entre otros.)

La utilidad de la propuesta dependerá del empeño con que trabajes las situaciones

problemáticas presentadas en las jornadas de trabajo y el tiempo invertido en el análisis de los

resultados.

EL APORTE DE LOS DATOS NUMERICOS AL DEBATE SOCIAL

Los procesos migratorios y las reacciones de la sociedad receptora ante la llegada de los inmigrantes.

El recorrido propuesto a través de distintos textos y actividades tiene como objetivo mostrar

que para responder interrogantes surgidos en el campo de las ciencias sociales se utilizan modelos

matemáticos. Para realizar las actividades propuestas tendrán que recuperar conocimientos ya

abordados en el transcurso de la escuela media

ACTIVIDAD 2: Trabaja en los siguientes ejercicios y luego preséntalos para su corrección

1) Indicar cuáles de los siguientes números es racional y cuáles irracional (No te olvides que

siempre necesitamos saber justificar la respuesta)

3

5 0,141144111444111144… 4,75 2,555…

√146 0,1434343… 0 1 + √2

4

2) Responder:

a) ¿Es posible indicar cuántos números racionales existen entre 2

1 y 1?

b) ¿Es posible señalar cuántos números racionales existen entre –1 y - 2

1?

c) ¿Cuántos números irracionales podemos encontrar entre 2

1 y 1?

d) ¿Un números irracionales puede ser racional?

e) ¿Un número racional puede ser irracional?

3) Determina el resultado de las siguientes operaciones

(Trata de no usar la calculadora)

𝑎) (−3) ∙ (−7) =

𝑏) − 3 − (−7) =

𝑐) 3 ∙ (−7) =

𝑑) 3 − (3 − 4) =

𝑒) (−3)2 + (−7) =

𝑓) − 32 − (−7) =

𝑔) (−2)3 − (−2)4 − (−1)2 =

ℎ) − (3)3 − 42 =

4) Calcule el valor de cada una de las siguientes expresiones cuando x = 2, y =-3 y z = -4

𝑎) 6(𝑦 + 𝑥) − 2𝑥 + 3𝑧

𝑏) 2𝑥 − 3𝑦 − 5(𝑧 − 𝑦)

𝑐)3𝑥𝑦 + 5𝑥𝑧 − 9𝑦𝑧

5) La variación de la temperatura (∆𝑇) se define como la diferencia entre la temperatura final

alcanzada (𝑇𝑓) menos la temperatura inicial a la que se hace referencia (𝑇𝑖), es decir

∆𝑇 = 𝑇𝑓 − 𝑇𝑖. Calcule la variación de temperatura si:

a) La temperatura inicial es de 21°C y la temperatura final de 32°C.

b) La temperatura inicial es de 21°C y la temperatura final de 13°C.

c) La temperatura inicial es de -3°C y la temperatura final de -29°C.

d) La temperatura inicial es de -15°C y la temperatura final de -9°C.

6) Calcule:

a) La temperatura inicial si la variación de la temperatura es -30°C y la temperatura final -20°C.

b) La temperatura final si la temperatura inicial es de -10°C y la variación es 30°C.

c) La temperatura inicial si la temperatura final es -30°C y la variación es -29°C.

d) La temperatura final si la variación es 9°C y la temperatura inicial es -9°C.

POTENCIAS Y RAÍCES

Calcular:

1)

3

3

1

2)

3

3

1

3)

3

3

1

4)

3

3

1

5)

2

3

2

2

1

6)

2

35

23

7)

2

ac

ab

8)

9

34

5

5

9) 12 34

10) 2252

11) 31258

12) 3

4

5

2

12

2

1

13) 322 223

14) 22 3232

15)

1

321

12

3

Seguí calculando

a) 21

22 d)

23

9

4

b) 31

62 e) 2

162

c) 2

1

81

25

f) 3

165

En los siguientes ejercicios se pide simplificar las siguientes expresiones, teniendo en cuenta que

y ≥ 0 y x ≥ 0

a) 228 yx d) 36

81

a

b) baba e) 4 842 yx

c) 2423 yx f) 222 yxx

Indique cuales son los números que satisfacen las siguientes ecuaciones:

17 ) 81

36 ) 00490 ) 222 xcxb,xa

Algunos problemas

Problema de los dos pintores y una pieza En una casa hay una habitación grande que hay que pintar. Un pintor, llamémoslo A, tarda 4 horas

en pintarla solo. El otro, a quien llamaremos B, tarda 2 horas. ¿Cuánto tardarían si los dos se

pusieran a pintarla juntos? (Antes de avanzar la respuesta no es tres horas).

Un antiguo problema indio

Un antiguo problema indio refiere de qué manera, al morir un rico nabab, sus hijos se repartieron

la herencia, consistente en un cierto número de gemas iguales. El hijo mayor tomó una gema más

la séptima parte del resto, el segundo hijo dos piedras más la séptima parte del resto, y así

sucesivamente. Al terminar el reparto, todos los hijos habían recibido el mismo número de gemas.

¿Cuántas eran y cuántos hijos tenía el nabab?

Pitágoras

Se atribuye a Pitágoras la siguiente respuesta sobre el número de sus discípulos:

“Una mitad de ellos estudia matemáticas; una cuarta parte, física; una séptima parte guarda

silencio, y además hay tres mujeres”. ¿Cuántos discípulos tenía?

Problema del ladrillo

Un ladrillo pesa 1 kg más medio ladrillo. ¿Cuánto pesa el ladrillo?

Tablas, gráficos y ecuaciones

a) Clara hizo rápidamente el

siguiente gráfico; expliquen

cómo lo obtuvo.

b) Responder: ¿Corresponde

calcular algún valor para x = 0?

c) La profesora dijo que a la

altura de $2 trazaran una recta

horizontal, para ayudarse a

calcular la respuesta. Analicen

como se relaciona la sugerencia

que dio la profesora con la

respuesta buscada. Indicar cuál

es esa respuesta.

15 xy

23 xy

Fijemos ideas

Las ecuaciones en general, son igualdades entre expresiones algebraicas en las que intervienen

una o más variables.

Las ecuaciones constituyen una importante herramienta en el álgebra.

Adquirir habilidad para resolverlas resulta de suma importancia, por cuanto ello facilita la

solución a múltiples problemas que se presentan en las aplicaciones de matemática.

Resolución de ecuaciones en ℝ

Resolver una ecuación, significa determinar el/los valor/es de la incógnita que verifica/n la

igualdad y hacerlo en el conjunto numérico R implica que es posible usar todas las propiedades

de las operaciones de este conjunto.

Se denomina conjunto solución al conjunto formado por los valores de la incógnita que

satisfacen la igualdad.

Repasaremos:

ecuaciones lineales en una variable,

ecuaciones fraccionarias con una incógnita,

ecuaciones cuadráticas,

ecuaciones con modulo.

Inecuaciones con una incógnita,

inecuaciones cuadráticas,

inecuaciones fraccionarias e

inecuaciones con módulo.

Varias ya las trabajamos en las actividades anteriores

Primeros ejemplos

(1) 914 x (2) 1692 x

Estas igualdades se denominan ecuaciones. En la ecuación (1) aparece la incógnita x elevada

a la potencia 1; se la denomina entonces ecuación de primer grado o lineal, mientras que la

ecuación (2) se la denomina ecuación de segundo grado o cuadrática ya que x aparece elevada a

la potencia 2.

El desafío consiste en encontrar el o los números que, puestos en lugar de x, verifiquen la

igualdad.

Resolver las siguientes ecuaciones

522

1 ) xa

2

3

5

1 )

xb

xxc 253 )

218

) x

d

031

4 )

xe

33

) 38

x

f

x

xg

4

1

3

1

4 )

x

xh

2

21

3

2

11

)

xi

53

61

52 )

6,9

8

3 )

xj

xk

210

8

5 )

223

1 )

xl

21,01,0

1

2,01 )

xm

xxxn

3

5

9

2

6

5

2

3 )

66

23

33

15

22

23 )

2

2

x

xx

x

x

x

xo

Más ecuaciones

034 ) 2 xxa

072058 ) 2 xxb

14440- ) 2 xxc

02 ) 2 xxd

01 )2xe

062 ) 2 xf

xxg

925 )

1250 ) 2 x -,h

Resuelve las siguientes ecuaciones pero antes de hacerlo detente un momento a leerlas

0173-2x8 ) xa

xxb 1615 ) 2

216215 )2

xxc

23527524 ) xxd

036 ) 24 xxe

036 ) 24 xxf

Manipulación de fórmulas

Las fórmulas son expresiones algebraicas que representan reglas, leyes o principios de

distintas ciencias. Cada letra o símbolo representa una variable que es posible ‟despejar”. El

termino despejar es muy usual en nuestra etapa de estudiante, sin embargo presenta una dificultad

por lo que se sugiere repasar las reglas utilizadas para su realización

Por ejemplo, de la relación g

lT 2 se desea despejar g. Podemos hacerlo usando las

propiedades básicas de las igualdades:

g

lT

2

g

lT

2

2

2

2

T

lg

22

Tlg

1. Despeje 𝑺 de la fómula 𝑃 =𝐹

𝑆 (Presión)

2. Despeje 𝒑 de la fómula 𝑃 = 𝑝 ∙ 𝑔 ∙ ℎ (Presión hodroestática)

3. Despeje 𝑻 de la fómula 𝑃 ∙ 𝑉 = 𝑛 ∙ 𝑅 ∙ 𝑇 (𝐸𝑐. 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒

𝑙𝑜𝑠 𝑔𝑎𝑠𝑒𝑠 𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠)

4. Despeje 𝒓 de la fómula 𝐹 = 𝐺𝑀𝑚

𝑟2 (𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑖𝑡𝑎𝑐𝑖ó𝑛)

5. Despeje 𝒓 de la fómula 𝑣 = √𝐺𝑀

𝑟 (

𝑆𝑎𝑡é𝑙𝑖𝑡𝑒 𝑒𝑛 ó𝑟𝑏𝑖𝑡𝑎𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒

)

6. Despeje 𝒏 de la fómula 𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖𝑛) (𝑀𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑎

𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟é𝑠 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒)

7. Despeje 𝒊 de la fómula 𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)𝑛 (𝑀𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑎

𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟é𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜)

Inecuaciones

Hay enunciados que se traducen mediante desigualdades. Las relaciones que se expresan

mediante desigualdades se llaman inecuaciones y en ellas pueden aparecer una o más

incógnitas. Resolver la inecuación significa hallar el conjunto de valores que la hacen cierta. A

este conjunto se lo llama conjunto solución.

¿Cómo se resuelve una inecuación?

Para poder resolver una inecuación, debemos tener en cuenta algunas propiedades de las

desigualdades:

• Si a los dos miembros de una desigualdad se los multiplica o divide por un mismo

número positivo, la desigualdad no cambia de sentido.

• Si a los dos miembros de una desigualdad se los multiplica o divide por un mismo

número negativo, la desigualdad cambia de sentido.

Ejemplo

Para resolver una inecuación, se trabajo como en una ecuación, la única diferencia que se

debe tener en cuenta es que cuando se multiplica o divide ambos miembros por un número

negativo, el sentido de la desigualdad cambia.

Encuentra el conjunto solución de las siguientes inecuaciones

3 2 ) 5 73 ) xbxa

-85x-1 ) 587 ) dxc

1

2

1 ) 2

3

22 )

x

xfx

xe

3x-1 )

8

4x1

4

4-x )

xhg

i) Para ingresar a la universidad, el promedio mínimo exigido es de 80 puntos sobre 100.

Eduardo sacó 84 y 68 puntos en las dos primeras pruebas. ¿Cuántos puntos como mínimo

debe sacar en la última prueba para llegar a aquel promedio o superarlo?

Ecuaciones con módulo (ecuaciones con valor absoluto)

Ejemplos para la discusión:

1) │3x - 4│ = 5

3) │3x - 1│+ 2 = 5 Ejercicio: Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones

1) │3x - 4│= 23 2) │2x + 1│ + 3 = 8

Ejemplos para la discusión:

1) │x│< 3 2) │x + 5│ ≤ 10 3) │3x - 2│≤ 8 4) │2(x – 1) + 4│ < 8 Ejercicio: Resuelve cada una de las siguientes inecuaciones:

1) │x│≤ 5 2) │x - 6│ < 15 3) │2 + 3(x – 1)│< 20

Ejemplos para discusión:

1) │x│≥ 3 2) │x - 4│> 5 3) │2x - 3│> 5

512

1)2 x

243

2)3 x

Ejercicio: Resuelve cada una de las siguientes inecuaciones.

1) │x│> 5 2) │x + 6│> 2 3) │-5x - 2│>13 4) │-2x + 2│ ≤ 5 5) │-x/3 + 5 │≥ 5 6) │(3/2)x + 1│≤ 3

Inecuaciones cuadráticas

Ejemplos para discusión y para resolver

1) 7𝑥2 + 21𝑥 − 28 < 0

2) 𝑥2 + 4𝑥 − 32 ≥ 0

3) 4𝑥2 − 16 ≤ 0

4) 𝑥2 − 4𝑥 > 0

5) (𝑥 − 4)(𝑥 − 1) ≤ 0

Bibliografía

Ministerio de Educación (2001), Para seguir aprendiendo. Matemática. Polimodal Programa

de Acciones Compensatorias en Educación. PASE.

Argentina, Ministerio de Educación Ciencia y Tecnología (2005), Resolución de Problemas.

Entre la escuela media y los estudios superiores. Programa de Apoyo al último año del nivel

medio/polimodal para la articulación con el nivel superior.

53

23)4 x