taller de calculo integral unad

7/23/2019 taller de calculo integral unad

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1¿∫0

1

ln ( x ) dx

Aplicamos integracion por partes

u=ln ( x ) , du=1

x , dv=1, v= x

¿ xln ( x )−∫1dx

¿ xln ( x )− x

ahora calculamos conlos limitesde integracion

empezemos conel limitecero (0 )

lim x→ 0

xln ( x )−lim x→ 0

x

¿

lim x →0

ln ( x )

1

x

−lim x →0

x

aplicamos reglade L' hopitalen el primer limite

¿

lim x →0

1

x

−1

x2

−lim x→ 0

x

¿ lim x→ 0

− x− lim x →0

x

¿−0−0=0

calculemosel limite en1

¿ lim x→ 1

xln ( x )− lim x→ 1

x

¿1 (0 )−1=0−1=−1



operandolos dos limites tenemos

¿−1−0

¿−1

2¿∫2

∞1

( x−1 )2

Aplicamos sustitucion u=( x−1 ) , du=dx

∫ 1

u2

du=∫ u−2

du=u−1

−1=−1

u

sustituimos

¿− 1

x−1

Resolvemos con los limitesde integracion

−1

x−1−¿ lim

x →∞

−1

x−1

¿ lim x→ 2 ¿

¿ 1

2−1−

1

∞−1

¿−1−0

¿−1

3¿∫−∞

∞

e−5 x

dx

Aplicamos sustitucion u=−5 x , du=−5dx,dx=−du

5



−∫ eu du

5

¿−1

5 e

u

¿−1

5 e−5 x

calculamos conlos limites de integracion

lim x → ∞

−1

5 e

−5 x− lim

x →−∞

−1

5 e

−5 x

¿0− (−∞ )=∞

4 ¿∫2

54+ x

√ x2−4dx

4

√ x2−4

dx+¿∫ x

√ x2−4

dx

¿∫¿

Resolvemos la primeraintegral∫ 4

√ x2

−4

dx

¿4∫ 1

√ x2−4dx

Para√ b x2−a sustituimos x=√ a

√ bsec (u ) , y aplicamosla sustitucion

¿>√ x2−4=¿ x=√ 4

√ 1sec ( u )=¿ x=2 sec (u ) , dx=

2

cos ( u ) tan (u )du

¿4∫

2

cos (u ) tan (u )du

√ (2 sec ( u ) )2−4



¿8∫

tan ( u )cos ( u )

√ 4 ( sec (u )2−1 )du

sabemos quesec (u )2

=1+ tan (u )2

¿4∫

tan ( u )cos ( u )

√ 1+ tan (u )2−1

du=4∫ tan (u )

cos (u )√ tan (u )2

du=4∫ tan (u )cos (u ) tan (u )

du

1

cos (u ) du=¿4∫ sec ( u ) du=4 ln ( tan (u )+sec (u ) )

¿4∫ ¿

sustituimos u=arcsec( 12 x)

¿4 ln( tan(arcsec (12 x))+sec(arcsec(12 x)))simplificando

¿4 ln(√1−

4

x2 x

2 +

x

2 ) Ahora procedemos conla segundaintegral∫ x

√ x2−4dx

Aplicamos sustitucion u= x2−4,du=2 xdx , xdx=

du

2

¿∫du2

√ u=

1

2∫ u

−1

2 du



¿1

2

u1

2

1

2

=u

1

2=√ x2−4

entonces el resultadode laintegral es

≔4 ln(√1− 4

x2 x

2 +

x

2)+√ x2

−4

ahora calculamos conlos limitesde integracions

¿

[4 ln

(√1−

4

5

2 5

2 + 52 )+√ 5

2−4

]−

[4 ln

( √1−

4

2

2 2

2 +22 )+√ 2

2−4

]¿[4 ln( √1− 4

255

2 +

5

2)+√ 25−4]−[ 4 ln( √1−4

4 2

2 +

2

2)+√ 4−4 ]

¿

[4 ln

(

5 √ 21

√ 25

2 +

5

2

)+√ 21

]−

[4 ln

(2√ 0

2 +

2

2

)+√ 0

]¿[4 ln(

5 √ 21

5

2 +

5

2)+√ 21]−4 ln (1 )=[4 ln(5+√ 21

2 )+√ 21]−4 (0 )

¿4 ln(5+√ 21

2 )+√ 21

5¿∫sec

2 (√ x )√ x

dx

aplicamos sustitucion u=√ x , du= 1

2√ xdx,dx=2udu



¿2∫sec

2 ( u )u

udu

¿2∫ sec2 (u )du=2tan (u )+ =2tan√ x+

6¿∫1

41

1+√ xdx

aplicamos sustitucion u=√ x , du= 1

2√ xdx,dx=2udu

1

1+u 2udu=¿∫ 2−

2

u+1du=∫2du−∫ 2

u+1 du

¿∫¿

Reolvemos la primera integral∫2du=2u

parala segundaintegral∫ 2

u+1du aplicamos sustitucion , v=u+1,dv=du

¿2∫ 1

v dv=2 ln ( v )=2 ln (u+1 )

!untamos losresultados de lasintegrales y tenemos

¿2u−2 ln (u+1 )+ =2√ x−2 ln (√ x+1 )+

calculamos con loslimites de integracion

¿ [2√ 4−2 ln (√ 4+1) ]−[2√ 1−2 ln (√ 1+1 ) ]=2 (2 )−2 ln (3 )−(2−2 ln (2 ) )

¿4−ln (9 )−2+ln (4 )

¿2+ln

(4

)−ln

(9

)

7¿∫0

"

2

sen2 ( x ) cos ( x ) dx

aplicamos sustitucion u=sen ( x ) , du=cos ( x ) dx



∫u2

du=u3

3 =

1

3 sen

3 ( x )

calculamos conlos limites de integracion

¿(1

3 sen

3( "

2 ))−(1

3 sen

3 (0 ))=1

3 (1 )−

1

3(0 )=

1

3

8¿∫ x e x

2−1dx

aplicamos sustitucion u= x2−1,du=2 xdx ,

du

2 = xdx

¿∫ eu

2

du=1

2

∫eu=

1

2

eu=

1

2

e x

2−1+

9¿∫ 1

x2+4 x+13

dx=∫ 1

( x+2 )2+9dx

aplicamos sustitucion u= x+2,du=dx

∫ 1

u2+9

du

parab x2+a se sustituye x=√ a

√ bu ,

aplicamos sustitucion u=√ 9

√ 1v=¿u=3v , d u=3dv

¿∫ 1

(3 v )2+9(3dv )=∫

1

3v2+3

dv=1

3∫

1

v2+1

dv

¿

1

3 arctan ( v )

sustitumos v=1

3 u ,u= x+2



¿1

3 arctan( 13 ( x+2 ))+

10¿∫ 1

4− x2 dx

parab x2

# a sustituye x=√ a

√ bu

aplicamos sustitucion x=√ 4

√ 1u=2u,dx=2du

¿∫ 1

4−(2u )2 2du=∫ 1

2−2u2 du=

1

2∫ 1

1−u2 du

usamos∫ 1

1−u2

du=arctanh (u )

¿1

2 arctanh (u )=

1

2arctanh(12 x)+

11¿∫ x√ x+1dx

Aplicamos sustitucion u= x+1,du=d x , x=u−1

u¿

(¿3

2¿−u

1

2)du=u

5

2

5

2

−u

3

2

3

2

+

¿¿∫ (u−1 ) √ u du=∫ ¿

¿

2

5 u

5

2

−

2

3 u

3

2

+ =

2

5 ( x+1 )

5

2

−

2

3 ( x+1 )

3

2

+

12¿∫ 2 x

x2−3 x−10

dx

tomamosla fraccion parcial



¿2∫ 2

7 ( x+2 )+

5

7 ( x−5 )dx=2[∫ 2

7 ( x+2 ) dx+∫ 5

7 ( x−5 ) dx ]

resolvemos la primera integral∫ 2

7 ( x+2 ) dx

aplicamos sustitucion u= x+2,du=dx

¿ 2

7∫ 1

u du=

2

7 ln ( u )

resolvemosla segundaintegral∫ 5

7 ( x−5 ) dx

aplicamos sustitucion u= x−5,du=dx

¿5

7∫ 1

u du=

5

7 ln ( u )

→2( 27 ln (u )+5

7 ln (u ))=2( 27 ln ( x+2 )+

5

7 ln ( x+2 ))+

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