Mecanica Analtica

Taller 1 cap 2

Bryan Andres Alfonso Soler 133895; Natalia Granados Hernandez 133837;Jeisson Alexander Vanegas Carranza 134004.

19 de Marzo de 2015

1. 2.2

Solucion:

J =

21

dx2 + dy21 + dy

22 =

x2x1

1 + (

dy1dx

)2 + (dy2dx

)2dx

obteniendo su funcion seriaf

yid( fyi )

dx= 0

f =

1 + y21 + y

22 y =

dyidx

ya definido f se obtiene minimisando el camido devido a la derivada :

f

yi= 0

f

yi=

y11 +

iy

2i

donded

dx(

y11 +

iy

2i

) = 0 y11 +

iy

2i

= Ci

obteniendo que

y21 =C2i

1i Ci

donde la unica soluciuon posible para este seria una recta igual a

yi = aix+ bi

2. 2.8

Solucion:

3. 2.10

Solucion: Si hay un Lagrangiano de la forma

L(qi, qi, qi, t)

aplicando al del principio de Hamilton

I =

21

L(qi, qi, qi, t)dt

1

yI

d =

21

i

(L

qi

qii

d+L

qi

qii

d+L

qi

qii

d)dt

y haciendo la analogia de las cantidades direfenciales de la ecuacion (2,12) del Goldstein

q =q

d

y absorbiendo las sumatorias queda

I =

21

(L

qq +

L

q

q

d+

L

q

q

d)dt

ahora utilizando la definicion de la integral por partes hechas en clase y observado en el libro la pagina 54 delGoldstein se obtiene

I =

21

(L

qq d

dt

L

qq +

L

q

q

d)dt

por lo que nos interesa el segundo termino, el acelerado en las coordenadas generalixadas, por lo que denuevose utiliza la definicion del q y de nuevo se hace la integral por partes quedando de la forma: 2

1

L

q

q

dt =

L

q[2q

t]2

L

q[2q

t]1

21

2q

t

d

dt

L

qdt

donde de manera analoga sale una integral por partes y su primer termino desaparece con el tercero obteniendoasi:

21

L

q

q

dt =

21

q

d2

dt2L

qdt

y obteniedno finalmente de la primera relacion:

I =

21

(L

qq d

dt

L

qq +

d2

dt2L

qq)dt

pero gregando la sumatoria para que se aplique el principio de Hamilton queda:

I =

21

i

(L

qi ddt

L

q+d2

dt2L

q)qdt = 0

ya es posible obtener la ecuacion devido a que las variaciones son independientes y aplicamos el calculo devariaciones Golsdtein Eq2,10

d2

dt2L

qi ddt

L

qi Lqi

= 0; i = 1, 2, .., n

ahora con el lagrangiano dado se obtiene:L

q=

1

2mq kq

ddt

L

q= 0

d2

dt2L

q= 1

2mq

obteniendo:

mq kq = 0

2

y verificando que tienen uan forma parecida a un oscilador armonico simple, ademas de tener su movimientocon respecto a la ley de Hook asi:

L = mqq2 kq

2

2

4. 2.14

Solucion:

se tiene:

L = et(mq2

2 hq

2

2)

L

q= etmq

d

dt

L

q= etmq + etmq

L

q= etkq

d

dt

L

q=L

q mq = mq + kq

b) ahora despejando S y obteniendo

q = et2 S q = e

t2 (S S

2)

L =m

2S2 m

2SS 1

2(k m

2

4)S2

d

dt

L

S= mS m

2S

2

L

S= mS

2 (k m

2

4)S

d

dt

L

S=L

S mS = (k m

2

4)S

y las cantidades conservadas serian la energia mecanica total

H = T + V H = m2S2 +

1

2(k m

2

4)S2

5. 2.15 Supongamos que el potencial depende de la velocidad; es decir; V = V (q, q), como queremos encontrar aque equivale el nuevo momento P. Para este fin veamos que

Pj =L

qj=T

qj Uqj

En el libro del Goldstein pagina 77, se encuentra ya la demostracion de que:

T

qj= n L = L

Para esta demostracion, veamos a que es igual la segunda expresion de la ecuacion :

3

i

U

qj=i

U

rk

rkqj

=i

U

ri

riqj

Teniendo en cuenta que;i

n ~ri (vU) =i

vU ~ri n i vU~riqi

=i

(p

U

~rpei)

i xierqi

=i

U

rk

rkqj

Esta ultima igualdad se debe principalmente a que

~riqj

= n ~ri

por lo tanto;

i

U

qj=i

n ~ri (vU)

y de esta manera

p = L i

n ~ri viU

Ahora veamos que pasa cuando nos encontramos con fuerzas ed caracter electromagnetico, tendriamos;

U = q qcA ~v

por lo tanto;

viU = q

civ(A ~v)

6. 2.20

Cinetica

T (x, y) =1

2m(x2 + y2)

Potencial:

V (r, l) =1

2k(r2 + l2)

en las coordenadas

x = (r0 + r) cost l sint

y = (r0 + r) sint+ l cost

y dejando las expresadas inversamente

r = x cost+ y sint r0

l = x sint+ y cos(t)

entonces su energia seria igual en coordenadas cartesianas a

E(x, y) =1

2m(x2 + y2) +

1

2k((x cost+ y sint r0)2 + (x sint+ y cost)2)

4

ahora esta es dependiente del tiempo pero no esta conservada luego se deja expresada en coordenadas r, l

x = (rr) sint+ r cost l cost l sint)

y = (rr) cost+ r sint l sint l cost)

aplicandolo en la formula de la energia cinetica y ademas ta reemplazando en la ecuacion de energia mecanica totas, se obtiene

E(r, l) =1

2m(2(r0 + r +

l

)2 + (r l)2) + 1

2k(r2 + l2)

ahora con la integral de jacobi

h =i

qiL

q L

entonces h es

h = xmx+ ymy 12m(x2 + y2) + V (x, y)

h =1

2m(x2 + y2) +

1

2k((x cost+ y sint r0)2 + (x sint+ y cost)2) = E(x, y)

ahora para r, l por las ecuaciones anteriores se obtiene

h(r, l) = rm(r l) + lm(r0 + r + l/ L(r, l))

y realizando los calculos necesarios se obtiene

h(r, l) =1

2m(r2 + l2) +

1

2k(l2 + r2) 1

2m(l2 + (r0 + r)

2)

donde se muestra vclaramente que se tiene encuenta la energia del momento de inercia, por lo que la energia si seconcerva con respecto a la de las coordenadas cartesianas

7. 2.22 Tenemos que se cumple que:

L =m

2x2 k

2x2

x =

j=0

ajcos(jt)

Ahora, derivando con respecto al tiempo la coordenada x dada por la ecuacion , tenemos que:

x = j=0

ajjsin(jt)

El lagrangiano puede entonces ser escrito como:

L =m

2

j=0

ajjsin(jt)

2 k2

j=0

ajcos(jt)

2

5

=mj=0 a

2j

2sin2(jt) 2mi=0

i