Tema 1. Introducción

1. Acciones estáticas y dinámicas.

2. Sistemas continuos y sistemas discretos.

3. Métodos de resolución de las ED del movimiento.

4. Vibraciones libres, forzadas, amortiguadas o no.

5. Tipos de acciones dinámicas.

1. Acciones estáticas y dinámicas

( , ) ( , ) ( , )u x t u x t u x t

Fuerzas de inercia:

Fuerzas de amortiguamiento: ( ) ( , )c x u x t

( ) ( , )m x u x t

Todas las estructuras se comportan en la realidad física dinámicamente cuando sufren

la acción de cargas externas o desplazamientos impuestos.

Tipos de fuerzas: elásticas, de inercia y de amortiguamiento:

Fuerzas elásticas: k· u(x,t)

Si las cargas o desplazamientos se aplican de forma lenta, las fuerzas de inercia y de

amortiguamiento son despreciables frente a las elásticas y el análisis estático está justificado.

Si las fuerzas o desplazamientos no son lentos el análisis dinámico es necesario, y se plantea

como una extensión del análisis estático mediante la aplicación de equilibrios de fuerzas.

Mecánica análisis estático y dinámico del sólido rígido.

Estructuras I, II… análisis estático del sólido deformable.

Cálculo dinámico de estructuras análisis dinámico de sólidos deformables.

1. Acciones estáticas y dinámicas

Acciones estáticas o cuasi-estáticas:

3

3A A

E IF u k u

L

3

48A A

E IF u k u

L

Acciones dinámicas: ( , ) ( , ) ( , )u x t u x t u x t

Fuerzas de inercia.

Fuerzas de

amortiguamiento.

( ) ( , )c x u x t

( ) ( , )m x u x t

1. Acciones estáticas y dinámicas

Equilibrio dinámico:

( ) ( ) ( ) ( )I A et t t t F F F F

( )I tF Vector de fuerzas de inercia.

( )A tF Vector de fuerzas de amortiguamiento.

( )e tF Vector de fuerzas elásticas o internas.

( )tF Vector de fuerzas externas.

La ecuación anterior es válida para sistemas lineales y no lineales.

A partir de la ecuación anterior es posible obtener sistemas de ecuaciones diferenciales lineales

o no lineales, de segundo orden, con la forma:

( ) ( ) ( ) ( )t t t t M u C u K u F

1. Acciones estáticas y dinámicas

( )o r

r

o r

tp t t

tp t

p t t

Tn parámetro dependiente de la rigidez

y masa de la estructura.

c = 0 Amortiguamiento nulo.

(ust)o Respuesta estática instantánea.

Respuesta dinámica:

1. Acciones estáticas y dinámicas

Respuesta dinámica amortiguada:

Vibración libre por excitación de la base.

Pórtico de aluminio.

Pórtico de plexiglás.

Las propiedades elásticas, de masa y las cargas estáticas de las estructuras pueden estimarse con

precisión.

Las propiedades de amortiguamiento (disipación de energía), cargas dinámicas y las condiciones de

contorno son difíciles de estimar los análisis dinámicos de una estructura son múltiples.

2. Sistemas continuos y discretos

Sistemas continuos:

Propiedades distribuidas

( ) /

( ) /

m x m L

c x c L

i

a

F m dx u

F c dx u

Equilibrio diferencial 0V

p m u c ux

2

2

Como

MV

x

uM E I

x

4 2

4 2

( , ) ( , ) ( , )( , )

u x t u x t u x tE I m c p x t

x t t

Ecuaciones en derivadas parciales.

Suponiendo propiedades constantes:

Las EDP resultantes sólo tienen solución analítica en los casos básicos de barras y en ciertos

casos particulares de láminas y placas.

2. Sistemas continuos y discretos

Sistemas discretos:

Propiedades concentradas Ecuaciones diferenciales ordinarias.

( ) ( ) ( ) ( )m u t c u t k u t f t 1 GDL

2 GDL N GDL

Los sistemas de EDO resultantes en el caso de N GDL están acoplados.

tM u C u K u F

N GDL

2. Sistemas continuos y discretos

Sistemas discretos:

GDL estático GDL dinámico

Los grados de libertad dinámicos están asociados a las masas de la estructura y suelen ser un

subconjunto de los grados de libertad estáticos.

Las masas de la estructura se concentran en los nudos, normalmente sólo en algunos.

Es habitual no considerar las fuerzas de inercia asociadas a las rotaciones, realizándose otras

simplificaciones en función de la tipología estructural considerada.

El problema dinámico se resuelve al obtener u(t) o en su caso u(t) tras haber condensado el

sistema de ecuaciones general a los grados de libertad dinámicos.

( )

( ) ( )

( )

t

u t t

M t

Fuerza estática equivalente: ( ) ( )estf t k u t

3. Métodos de obtención de la solución

Sistemas lineales:

• Convencionales.

• Superposición de respuestas ya calculadas.

• Métodos de transformación al dominio de la frecuencia: Fourier y Laplace.

• Integral de convolución o de Duhamel.

• Métodos numéricos: Interpolación de la solución, diferencias finitas, Newmark, Wilson.

Sistemas no lineales Numéricos:

• Métodos explícitos: diferencias centrales.

• Métodos implícitos: Método de Newmark.

Métodos de solución de las EDO: ( ) ( ) ( ) ( )m u t c u t k u t f t

tM u C u K u F

En el caso de sistemas de N GDL lineales las soluciones se obtienen mediante el

método de superposición modal, a partir de las soluciones de los sistemas básicos

de 1 GDL en cada modo de vibración.

4. Vibración libre

Vibración libre (1 GDL):

0m u k u

0m u c u k u

No amortiguada:

Amortiguada:

(0)

( ) (0) cos sen con2

n

n n

nn

n

kfrecuencia natural

u mu t u t t

T periodo natural

21 .

(0) (0) 2( ) (0) cos sen con

2

n

A n

t nA A A

A A

cr

frec natural amortiguada

u uu t e u t t T

c cfactor de amortiguamiento

c k m

En las estructuras: 0.02 0.20

T2. Vibración libre 1 GDL 2.2 Vibración libre no amortiguada

( / )

(0) 2( ) (0) cos sen ( )

1( )

n

n n n

n n

n

n

kfrecuencia natural rad s

m

uu t u t t con T periodo natural s

f frecuencia natural HzT

, , f ( , )n n nT f m k

T1E = 0.15 s, T1E-S = 0.5 s. T1EM = 0.26 s, T1ELL = 0.30 s.

T1EM = 0.29 s, T1ELL = 0.31 s.

T2. Vibración libre 1 GDL 2.2 Vibración libre no amortiguada

Modelos numéricos:

4. Ejemplo

4. Ejemplo

Natural frequencies of modes considered (Hz):

Mo

de

Shell

model

Beam

model

1 0.35 0.35

2 0.44 0.44

3 0.57 0.67

4 1.27 1.21

5 1.66 1.70

6 2.12 2.02

7 2.67 2.96

8 3.73 3.77

9 4.33 4.49

10 4.74 5.14

11 4.79 5.43

12 5.47 5.97

5. Tipos de acciones dinámicas

Fuerzas con variación temporal:

• Viento.

• Oleaje.

• Explosiones.

• Maquinaría.

( )F F t

( ), ( ), ( )g g gu t u t u t Movimientos bruscos del terreno: sismos

Tipo de variación: armónica, periódica, impulsiva, aleatoria.

( ) ( )

0

luego ( ) ( )

t g t g

t

g eff

u t u u u t u u

m u c u k u

m u c u k u m u t f t

5. Tipos de acciones dinámicas

Viento Aeroelasticidad.

5. Tipos de acciones dinámicas

Cargas móviles: • Puentes de carretera y ferrocarril.

Control de vibraciones.

( , )F F x t

5. Tipos de acciones dinámicas

( , )F F x tCargas móviles:

• Pasarela peatonal (Ingeciber S.A, ANSYS+CIVILFEM).

5. Tipos de acciones dinámicas

( , )F F x t Cargas móviles: Pasarela peatonal.

5. Tipos de acciones dinámicas

Cargas móviles: Puente ferrocarril alta velocidad.

Aceleración vertical máxima del tablero. Nodo 53. Tren de cargas circulando a 340 km/h

-0,170

-0,135

-0,101

-0,066

-0,032

0,003

0,037

0,072

0,106

0,141

0,176

0,50 75,45 150,40 225,35 300,30 375,25 450,20 525,15 600,10 675,05 750,00

Tiempo (s)

Acele

ració

n v

ert

ical

(m/s

^2)

5. Tipos de acciones dinámicas

Ingeniería mecánica Análisis dinámico de mecanismos flexibles.

• Péndulo doble:

• Biela-Manivela.

5. Acciones sísmicas

Sismología:

Conceptos:

- Magnitud (escala Ritcher).

- Intensidad (escala MMI).

- Sismicidad.

MMI - Clasificación de daños: ligeros, moderados, graves, destrucción y colapso.

5. Acciones sísmicas