1

DEDUCCIÓN DE LAS TRANSFORMADAS DE LORENTZ Ecuaciones que relacionan las coordenadas de espacio tiempo medidas por el observador de un evento, con las coordenadas medidas por otro observador del mismo evento. Aplicamos los postulados fundamentales de la teoría de la relatividad y, además, supondremos que el espacio y el tiempo son homogéneos, además en el instante en que los orígenes O y O´ coinciden, hacemos que los relojes marquen t =0 y t´=0, respectivamente.

Los subíndices aij son constantes. Las relaciones deben ser lineales para no apartarnos de la suposición de la homogeneidad. Suponemos que no existe movimiento relativo en las direcciones y y z por lo que:

Entonces ya se eliminaron 8 coeficientes. Por razones de simetría, se supone que t´ no depende de y ni de z. En cuanto a la ecuación para x´ sabemos que un punto cuya x´ es igual a cero debe ser idéntica a la proposición x = vt de modo que:

Para determinar los últimos tres coeficientes consideramos el principio de constancia de velocidad de la luz, entonces, supongamos que en el tiempo t = 0 una onda electromagnética esférica sale del origen S, que en ese momento coincide con el origen de S´. La onda se propaga a una velocidad c en todas las direcciones, en cada uno de

tazayaxat

tazayaxaz

tazayaxay

tazayaxax

t

z

y

x

f

t

z

y

x

44434241

34333231

24232221

14131211

´

´

´

´

´

´

´

´

+++=+++=+++=

+++=

=

zz

yy

==

´

´

taxat

zz

yy

vtxax

4441

11

´

´

´

)(´

+===

−=

2211

2244

24441

2211

222241

2211

24441

2222211

2222222222

)()(2)(

;)()(

´´´´;

tavacxtaacvazyxaca

Ordenandotaxaczyvtxa

doSustituyentczyxtczyx

−=+−++−

+=++−

=++=++

2

los sistemas inerciales, entonces su marcha se describe mediante la ecuación de una esfera cuyo radio aumenta con el tiempo a la misma velocidad c, en los dos sistemas, entonces: Para que la ecuación concuerde con la ecuación de la onda electromagnética que supusimos en S:

Se resuelve el sistema:

Reemplazamos a11 en las ecuaciones y obtenemos:

Con lo que las transformaciones de Lorentz que buscábamos:

Tabla 3.1 Ecuaciones de Transformación de Lorentz

22 /1'

cv

vtxx

−

−= 22 /1

''

cv

vtxx

−

+=

yy =' 'yy =

zz =' 'zz =

( )22

2

/1

/'

cv

xcvtt

−

−= ( )

22

2

/1

'/'

cv

xcvtt

−

+=

2211

2244

24441

2211

241

2211 ;0;1 cavacaacvaaca =−=+=−

2

2112

2

211

2

22

211

22

22

112222

11

2211

2211

211

2

2211

2

2

21122

11

2

2211

22

442

2112

41

1

1;1

1;

1

;)(

01

01

;1

c

va

c

v

ac

vc

a

vc

caccva

vacava

c

vac

c

acva

c

vaca

c

aa

−=−=−=

−=−=−

=+−+

=

+−+

+=

−=

2

22

41

2

244

1

;

1

1

c

vc

va

c

va

−−=

−=

2

2

2

2

2

1

)/(´;´;´;

1

´

c

v

xcvttzzyy

c

v

vtxx

−

−===

−

−=

3

CONTRACCION DE LA LONGITUD Imaginaremos una varilla que está en reposo sobre el eje 'x del sistema 'S . Sus puntos extremos se miden

como 2'x y 1'x , de manera que su longitud en reposo es 12 '' xx − . Cuál es la longitud de la varilla según

la mide el observador del sistema S, para quien la varilla se mueve a una velocidad relativa vt . Por

convivencia haremos que β=cv / , como anteriormente. De la primera ecuación de Lorentz se tiene:

2

1112

222

1'

1'

ββ −

−=

−

−=

vtxx

vtxx

de manera que:

( ) ( )2

121212

1''

β−

−−−=−

ttvxxxx

Ahora bien, la longitud de la varilla en el sistema S es simplemente la distancia entre los puntos extremos,

2x y 1x , de la varilla en movimiento, medida en el mismo instante en ese sistema. Por lo tanto, si 12 tt = se obtiene:

( ) 21212 1'' β−−=− xxxx

de manera que la longitud medida de la varilla en movimiento, 12 xx − se contrae por el factor,

21 β− de su longitud en reposo, GRAFICO DL vs V

DILATACION DEL TIEMPO El observador del sistema S registra los tiempos en que ocurren estos eventos como: (en la misma x’)

( ) ( )2

'2

2'2

22

'1

2'1

11

/

1

/

ββ −

+=

−

+=

xcvtty

xcvtt

En tanto que 2'x y 1'x son iguales, de aquí resulta:

( ) ( )2

'2'

22

'2'

11

/

1

/

ββ −

+=

−

+=

xcvtty

xcvtt

El reloj de S hubiera registrado el intervalo correspondiente:

2

1212

1

''

β−−=− tt

tt (3-11)

Un intervalo de tiempo medido en el reloj de S' se registra como más largo en los relojes de S.

GRAFICO DT vs V Ejemplo 2. Por que el hecho de que la simultaneidad no es un concepto absoluto es un resultado imprevisto para la mentalidad clásica?. Pues, porque la velocidad de la luz tiene un valor enorme comparado con las velocidades ordinarias. Consideremos estos dos casos, simétricos por lo que se refiere a intercambio de las coordenadas de espacio y tiempo. Caso 1: S' observa que ocurren dos eventos en el mismo lugar. pero están separados en el tiempo; entonces, S declarará que los dos eventos acaecen en diferentes lugares. Caso 2: S' observa que ocurren dos eventos en el mismo instante, pero están separados en el espacio; entonces S, declarará que los dos eventos ocurren en tiempos diferentes. Por la experiencia diaria, el caso 1 se acepta fácilmente. Si un hombre (S') sobre un tren en movimiento enciende dos cigarrillos, uno diez minutos después del otro, estos eventos ocurren en el mismo lugar en su sistema de referencia (el tren). Sin embargo, un observador en tierra (S) afirmaría que estos mismos eventos ocurrieron en diferentes lugares en su sistema de referencia (la tierra). Aunque verdadero, el caso 2 no se puede sostener fácilmente atendiendo a la experiencia diaria. Supongamos que S', sentado en el centro de un vagón de tren en movimiento, observa que dos hombres, uno a cada extremo del vagón, encienden sendos cigarrillos simultáneamente. El observador en tierra S, al observar el paso del vagón afirmaría (si pudiera hacer mediciones lo bastante precisas) que el hombre en la parte trasera del vagón encendió el cigarrillo un poco antes que el de la parte delantera. El hecho de que la velocidad de la luz sea tan grande comparada con las velocidades de los objetos mayores conocidos hace que el caso 2 sea menos evidente que el caso 1, como se demuestra en seguida.

4

(a) En el caso 1, supongamos que la separación de tiempo en S' es de 10 minutos; ¿cuál es la separación de la distancia observada por S? (b) En el caso 2, supongamos que la separación de la distancia en S' es de 25 metros; ¿cuál es la separación de tiempo observada por S? Tomando v = 20.0 m/seg, que corresponde a 72 km/h ó

8106.6/ −== xcvβ

(a) De las ecuaciones 3-8 ( ) ( )

2

12

2

1212

1

''

1

''

ββ −

−+

−

−=−

ttvxxxx

Tenemos que 12 '' xx = y 10'' 12 =−tt minutos, de modo que:

( )( )( )

Kmmx

smxx 121200

106.61

min10/2028

12 ==−

=−−

éste resultado se acepta fácilmente. El denominador de la ecuación anterior es igual a la unidad para todo propósito clásico, por lo tanto, el resultado numérico todavía es el que esperaríamos de las ecuaciones galileanas. (b) De las ecuaciones 3-8

( )( )2

122

2

1212

1

''/

1

''

ββ −−+

−−=− xxcvtt

tt

Se nos da que 12 '' tt = y que mxx 25'' 12 =− , de modo que

( ) ( )[ ]( )( )

sxx

msmxsmtt 15

28

28

12 106.5106.61

25/103//20 −

−=

−=−

El resultado no es cero, valor que se hubiera esperado en física clásica, aunque el intervalo de tiempo es tan corto que sería muy difícil demostrar experimentalmente que este, en realidad, no fue cero.

Si se comparan las expresiones para las 12 xx − y para los 12 tt − anteriores, se ve que, mientras v aparece como

factor en el segundo término de la primera expresión 2/ cv aparece en la última. Así, el valor relativamente grande

de c pone al caso 1 dentro de los límites de la experiencia familiar, pero sitúa al caso 2 fuera de estos límites. Ejemplo 3. Entre las partículas de gran energía están los piones cargados, partículas de masa entre la del electrón y la del protón. y de carga electr6nica positiva o negativa. Estas partículas se producen en un acelerador, donde se somete un blanco adecuado a un bombardeo con protones de gran energía; así se obtienen piones que salen del blanco a velocidades próximas a la de la luz. Se sabe que los piones son radiactivos y que, en reposo, su vida media es de 1.77 x 10-8seg. Es decir, la mitad de los piones que haya en un momento se habrá desintegrado después de 1.77 x 10-8seg. Experimentalmente se encontró que si un haz colimado de piones sale del blanco del acelerador a una velocidad de 0.99c, entonces, al recorrer 39 metros, su intensidad decae a la mitad. (a)¿ Concuerda estos resultados? Si se considera que la vida media de los piones es de 1.77 X 10-8 seg. d y su velocidad de 2.97x108m/s (=0.99c), cuando hayan decaído la mitad de los piones de haz, la distancia recorrida será:

msxsmxvtd 3.51077.1*/1097.2 88 === −

Esto parece contradecir la medición directa de 39 metros. (b) Ahora se demostrara que la dilatación del tiempo explica las diferencias que hay entre las mediciones. Si no existieran los efectos relativistas, entonces la vida media sería igual para los piones en reposo como para piones en movimiento (suposición que e hizo en el inciso anterior). Sin embargo, en la relatividad las vidas medias impropias y propias están relacionadas por:

22 /1 cvt

−

∆=∆ τ

En este caso, el tiempo propio es 1.77 x 10-8seg, intervalo de tiempo medido con un reloj fijo con respecto al pión, es decir, en un lugar de1 sistema en que el pión está en reposo. En el sistema laboratorio, sin embargo, los piones se están moviendo a altas velocidades y el intervalo de tiempo allí (impropio) será mayor (los relojes en movimiento parece que se retrasan). Entonces la vida media impropia, medida mediante dos diferentes relojes en el sistema laboratorio, sería:

( )sx

sxt 7

2

8

103.199.01

1077.1 −−

=−

=∆

Esta es la vida media apropiada para el sistema de referencia del laboratorio. Los piones que vivan este tiempo, viajando a una velocidad de 0.99c, cubrían una distancia:

msxsmxtcd 39103.1*/1097.2*99.0 78 ==∆= −− Exactamente como se midió en el laboratorio.

5

CAPITULO 3

TRANSFORMACIONES DE COORDENADAS DE LORENTZ

3.9 De acuerdo con la perspectiva de O’, un rayo ca e en x’=60m, y’ = z’ = 0, t’ = 8x10 -8

s. O’ se desplaza a una velocidad de 0.6c a lo larg o del eje x de O. ¿Cuáles son las

coordenadas espacio-tiempo del rayo determinadas po r O?

Mediante las transformaciones de coordenadas de Lorentz, se tiene,

2

2v-1

vt' x' x

c

+= ; 2

-88

0.6-1

)10(81030.6 60 x

×××+= ; x = 93 m

2

2

2

v-1

x'c

v t'

t

c

+= ;

2

88-

0.6-1

)(60103

0.6 )10(8

t ×+×

= ; t = 2.5 x 10-7 s

Entonces, las coordenadas para O son: (93 m, 0, 0, 2.5 x 10-7 s)

3.10 El observador O´ tiene una velocidad de 0.8 c con respecto a O, ambos ajustan sus

relojes de manera que t = t´= 0 cuando x = x´=0. Si O determina que un flash se

dispara en x = 50 m, y t = 2 x 10 -7 s. ¿ Cual es e l tiempo de este evento

determinado por O´?

2

2

1

´

−

−=

c

v

xc

vt

t s

c

c

c

c

7

2

27

1011.18.0

1

508.0

102−

−

×=

−

−×=

3.11 Nuevamente en el problema 3.10, si un segundo flash se dispara en x’=10 m, y

t’=2.10-7 s, según cálculos de O’, ¿cuál es el inte rvalo de tiempo entre los dos

eventos medidos por O?

De acuerdo al problema 3.10, un flash es disparado en t = 2x10-7 s, y O’ se mueve a una

velocidad de 0.8c; en éste problema necesitamos el tiempo en que el segundo flash es

disparado pero en O. Por lo tanto se hace uso de una transformación inversa de Lorentz de

tiempo, lo que da:

6

[ ]sc

c

v

xc

vt

t 7

7

2

2

2

10777.364.01

10.8.0

102

1

−

−

×=−

+×=

−

′+′=

por ende ∆t = 3.778x10-7 – 2x10-7 = 1.778x10-7

3.12 Regrese al problema 3.11 ¿cuál es la separació n espacial de los dos eventos medida

por a) O’ y b) O?

a) [ ]mc

xx BA 67.633.3108.01

1028.05010''

2

7

=−=−

××−−=−−

b) [ ]mc

xx BA 7.46508.01

1028.0102

7

=−−

××+=−−

CAPITULO 4

CONTRACCIÓN RELATIVISTA DE LA LONGITUD

4.6. Un aeroplano se mueve con respecto a la tierr a a una velocidad de 600 m/s. Su

longitud propia es de 50m para un observador en la tierra ¿Cuánto parecerá

haberse contraído?

99999.49

10*4150

1

12

2

2

0

=

−=

−=

−

L

L

c

vLL

Por lo tanto la contracción es = 50 – 49.999999 = 1*10-10(m)

4.7 Calcule la contracción de la longitud de un tre n de ½ de milla cuando viaja a 100

mi/hr.

hmim

m

h

s

s

m/87.6

1609

1

1

360083 Ε=Ε

7

//10*58.5

10015.0

11

15

2

2

2

2

miLL

cLL

c

vLLL

o

o

oo

−=−

−=−

−−=−

4.8 ¿A qué velocidad se debe mover un observador má s allá de la Tierra, de manera que

esta parezca una elipse cuyo eje mayor es seis vec es su eje menor?

Debido a la contracción de la longitud, el eje x se constituye en el eje menor de la elipse y

sufrirá una contracción de acuerdo a la siguiente fórmula:

2

2

1'c

vll xx −=

Sabemos que:

cvc

v

c

v

ll xy

986.0

136

1

1729067290

6

2

2

2

2

=

−=

−∗=

=

4.9 Un observador O’ sostiene una regleta de un met ro en un angulo de 30 grados

respecto al eje x’ positivo. O’ se mueve en direcci on x - x’ positiva a una velocidad

de 0.8C respecto al observador O.¿Cuál es la longit ud y el angulo de la regleta

medidos por O?

msenLy 5.0)30(*1 ==

mLx 866.0)30cos(*1 ==

mLL yy 5.0'==

mLx 721.0)8.0(1866.0' 2 =−=

o9.43721.0

5.0tan 1 =

= −θ

4.10 Un área cuadrada de 100 cm2 está en reposo en el marco de referencia de O. El

observador O’ se mueve en relación con O a 0.8c y p aralelo a un lado del cuadrado.

Desde la perspectiva de O’, ¿Cuánto mide el área?

[ ]cmL

L

c

vLL

6'

8.0110'

1'

0

20

2

2

00

=−=

−=

[ ]20 60610' cmA =×=

8

4.11. Un área cuadrada está en reposo en el marco d e referencia de O. encuentre el área

medida por O’ si éste se moviera a una velocidad de 0,8 c a lo largo de la diagonal

del cuadrado.

Solución: cambiamos el eje O de tal manera que el área cuadrada tenga la forma de un rombo

cuya diagonal va en la dirección de x’, y el área a calcular no sea más que la de dos triángulos.

Longitud de la diagonal en O:

cm14,14x

1010 x

0

220

=+=

Por lo tanto la diagonal en O’:

cmx

xc

vxx

485,8'

)6,0)(14,14('

1'2

2

0

==

−=

El área del rombo =diagonal en x’ * la diagonal en y’/2,donde la diagonal en y’ es igual ala de y:

2602

)485,8)(14,14(2

'*

cmArea

Area

DyDxArea

=

=

=

4.12 Repita el problema 4.5 considerando ahora que O’ se mueve a la misma

velocidad, paralelo a una diagonal de una cara del cubo.

32

2

6006*10*106)8.0(110''10

)45(*14.1410)45cos(*14.1414.1410*2

cmLLLxLyLy

senLyLxLxLL

===−===

=====

CAPITULO 5

DILATACIÓN RELATIVISTA DEL TIEMPO

5.7. Un átomo se desintegra en 2 x 10-6 s. ¿Cuál es el tiempo de desintegración medido

por un observador en un laboratorio cuando el átomo se mueve a una velocidad de

0.8c?

DATOS:

?: =tS [ ]

=′=′

′−

0

102:

6

x

sxtS cv 8.0=

9

[ ] [ ] [ ]sxtsx

tscv

cvxtt 6

6

22

2

103.364.01

102

1

−−

=−

=−

′+′=

5.8 ¿Qué tan rapad tendría que viajar un cohete esp acial si un observador en él

envejeciera la mitad que uno sobre la Tierra?

cvcvct

tov 866.0

2

111

22

=

−=

∆∆−=

5.9. Un hombre con una expectativa de vida de 60 añ os quiere viajar a una galaxia

distante, la cual se encuentra a una distancia de 1 60 000 años luz. ¿Cuál deberá ser

su velocidad constante?

4

En el p rob lem a se hacen m edidas en dos observatorios:

O bservatorio S : determ ina la longitud a la galax ia

16 10

O bservatorio S : es el observatorio que acom paña al v iajero

con una velocidad po

x añosluz

v

∆ = ×′

r determ inar. En este observatorio

se da el tiem po propio:

60 .

C om o las m edidas tienen que hacerse en un so lo observatorio,

tenem os que transform ar alguna de ellas. Pero notam os, que

un dato del p r

t años′∆ =

2

2 2

4

ob lem a es:

0

Porque tenem os dos eventos: salida de la T ierra(S) y llegada

a la galax ia. Entonces, pasando a S :

60

1 1

6016 10

11

x

vt x añosct

v v

c c

x v t

caños añosañosluz v

añoluz v

c

′∆ =

′ ′∆ + ∆∆ = =

− −

∆ = ∆

× × =−

( )( ) ( )

2

4

2

24

2 210 10

6016 10

1

16 10 1 60

2.56 10 2.56 10 3600

0.9999998594

c vv

c

λ λ

λ λλ

× = −

× − =

× − × ==

10

CAPITULO 6

MEDICIONES RELATIVISTAS DE ESPACIO TIEMPO

6.24 Una partícula inestable con un promedio de vid a de 4 µs se forma en un acelerador

de alta energía y se proyecta a graves de un labora torio a una rapidez de o.6 c a)

¿Qué promedio de vida le atribuirá un observador ub icado en el laboratorio? ¡ b)

Cuál es la distancia promedio que la partícula viaj a en el laboratorio antes de

desintegrarse ? c) Si el observador se encuentra en reposo con respecto a la

partícula ¿Qué tan lejos podrá desplazarse él antes de que la partícula se

desintegre?

st µ4' =∆ v = 0.6c ?=∆t

a)

2

2

'2

'

1c

v

xc

vt

t

−

∆+∆=∆ Pero 0' =∆x

6

2

2

6

105)6.0(

1

)104( −−

×=

−

×=∆

c

ct [s] = 5 sµ

b) 900)105)(6.0( 6 =×=∆=∆ −ctvx m

c) 720)6.0)(104( 6'' =×=∆=∆ − cvtx m

6.26 Una regleta se mueve a lo largo del eje x a un a velocidad de 0.6c. El punto medio

de la regleta pasa a O en t = 0. En función de O, ¿ Dónde están los extremos de la

regleta en t = 0?

S: 2cv1

tvxx

)/('

−

∆−∆=∆

ya que el intervalo de tiempo es instantáneo tenemos

xxcv1 2 ∆=∆− ')/(

ya que la regleta mide 1 m

11

m80mcc6011x 2 .)/.( =−⋅=∆

entonces las coordenadas de x1 y x2 son

x1 = -40 cm, t = 0

x2 = 40 cm, t = 0

6.27 El observador O calcula el área de un círculo en reposo en su plano XY igual a 12

cm2 También la mide O` quién se mueve con respecto a O a 0.8c. ¿Qué medida

obtiene O` del área?

cmyx

yyyxxxyxrA

cmA

LL

LLLL

9544.1

;

12

12122

2

==→−=−=→==

=

ππ

'172.1)''(

8.01*9544.1)''(

1)()''(

12

212

2

2

1212

Lxxx

xx

c

vxxxx

==−−=−

−−=−

LL yy ='

//2.7

)9544.1)(172.1(

''

2cmA

A

yxA

rA

ll

=

===

πππ

6.28 El observador O percibe el destelo de una luz roja, y 10-6 s más tarde el de una luz

azul a una distancia de 600 m sobre el eje x. ¿Cuál es son la magnitud y dirección

de la velocidad de un segundo observador O’, si él estima que los destellos rojo y

azul ocurren simultáneamente?

Para O se tiene:

∆t = 10-6 s

∆x = 600 m

∆t’ = 0 (eventos simultáneos para O’)

∆x’ = ?

Entonces;

2

2

2

v-1

xc

v t

t'

c

∆−∆=∆

2

2

26-

v-1

(600)c

v )(10

0

c

−=

(600)c

v )(10 0

26- −=

12

5.0600

10 6

==−

cc

v → entonces: v = + 0.5

c

6.29 En el problema 6.28 ¿cuál es la separación esp acial de los destellos rojo y azul

determinados por O´?

v = 0.5 c

2

1

´

−

∆−∆=∆

c

v

tvxx

( )m

c6.519

5.01

105.06002

6

=−

×−=−

6.30 Un cohete espacial de 150 m de longitud viaja a una rapidez de 0.6c. Cuando la cola

del cohete pasa a una persona en la plataforma espa cial estacionaria, ésta hace

destellar una linterna en dirección de la nariz del cohete. a) ¿Qué tan lejos de la

plataforma se encuentra la nariz del cohete cuando la luz le llega?; b) Medido por el

observador en la plataforma espacial, ¿cuánto tiemp o transcurre entre la emisión y

la llegada de la señal luminosa?; c) ¿Cuál es el in tervalo entre la emisión y la

recepción de la señal determinado por un observador en la nariz del cohete?

a) Como c es la misma en los dos sistemas entonces en el cohete la luz recorre la longitud

propia del mismo, o sea:

t’= l0/c = 150/c, que es el tiempo que transcurre en S’ desde la emisión de la señal luminosa.

Entonces en la plataforma se tiene un tiempo:

[ ]sc

cc

c

v

xc

vt

t8.0

240

36.01

90150

12

2

2

=−

+=

−

′+′=

y la distancia de la plataforma a la nariz de la nave será:

d = c.t = 240/0.8 = 300 [m]

b) El tiempo que el observador en la plataforma percibe es el ya calculado en el literal anterior

con la transformación de Lorentz, o sea: t = 240/0.8c ó t = 10-6.

c) El tiempo que percibe un observador en la nariz del cohete fue también calculado ya en el

literal a y es t’ = 150/c ó t’ = 5x10-7 = 0.5x10-6.

13

6.31 Dos eventos ocurren en el mismo lugar y están separados por un intervalo de 4s,

según los cálculos del observador. Si de acuerdo co n un segundo observador tal

separación es de 5s, ¿en cuánto determina que es su separación espacial?

{

==

=

?'

5'.2

4.1

:

x

st

st

Datos

( )

cv

vc

cv

cv

cv

cv

tt

5

325

161

25

16)/(1

5

4)/(1

)/(1

45

)/(1'

2

22

2

2

2

=

=−

=−

=−

−=

−=

][109'

:

)103(3'

)5(5

3'

'

'

8

8

mxx

respuesta

xx

cx

t

xv

=

=

=

=

6.32 Un observador dispara dos flashes que están en su eje x. él registra que el primero

se dispara en su origen a la 1:00 , y que el segund o lo hace 20s más tarde en x = 9x

108 m. Un segundo observador se mueve a lo largo del eje común x-x’ a una

velocidad de -0.6c con respecto al primero. ¿Cuáles son las separaciones de

tiempo y espacio entre los dos flashes medidas por el segundo observador?

==

−=

=

?'

?'

6.0

.2;109

20.1

:

8

t

x

cv

mx

st

Datos

a)

mt

respuesta

xc

c

t

cv

xxc

vt

tAB

25.27'

:

)6.0(1

)109(6.0

20'

)/(1

)('

2

82

2

20

=∆

−

−−=∆

−

−−∆=∆

b)

mxx

respuesta

xxt

xv

cv

cv

cv

cv

tt

9

8

2

2

2

106.5'

:

)25.27)(103(68.0''

'

68.0

)25.27

20(1

25.27

20)/(1

)/(1'

=

=⇒=

=

−=

=−

−=

La suma relativista de velocidades

14

En física clásica, si un tren se mueve a una velocidad v con respecto a tierra y un pasajero en el tren se mueve a una velocidad u' con respecto al tren, la velocidad del pasajero con relación a tierra u es precisamente la suma vectorial de las dos velocidades, esto es:

u = u'+ v (3-15) Este es simplemente el teorema clásico de la adición de velocidades ¿Cómo se suman las velocidades en la teoría especial de la relatividad? Por el momento, consideremos el caso especial donde todas las velocidades están en la dirección común x-x' de dos sistemas inerciales S y S', Sea S el sistema tierra y S' el sistema del tren, cuya velocidad relativa a tierra es v (véase Fig. 3.7). La velocidad del pasajero en el sistema S' es u', y su posición en el tren mientras pasa el tiempo, puede describirse por ''' tux = . ¿Cuál es la velocidad del pasajero, observada desde tierra? Utilizando las ecuaciones de transformación de Lorentz (ecuaciones 3-6), se

tiene: ( )

22

2

22 /1

/'''

/1'

cv

xcvttytu

cv

vtxx

−

−==−

−=

Combinándolas se tiene:

−=− xc

vtuvtx

2'

que puede escribirse como: ( )

( )tcvu

vux

2/'1

'

++=

Si se llama u a la velocidad del pasajero con respecto a tierra, al pasar el tiempo, su posición en tierra está dada por x = ut. Comparando esto con la ecuación 3-16 se obtiene:

2/'1

'

cvu

vuu

++= (3-17)

Este es el teorema Relativista de Einstein de la suma de velocidades. Ejemplo 4. En el ejemplo 2 del capitulo uno, se vio que cuando dos electrones salen de una muestra radiactiva en direcciones opuestas, cada una a velocidad 0.67c con respecto a la muestra. la velocidad de un electr6n con respecto al otro es 1.34c. de acuerdo con la física clásica. ¿Cuál es el resultado relativista? Podemos considerar a uno de los electrones como el sistema S, la muestra como el sistema S' y el otro e1ectr6n como el objeto cuya velocidad buscamos en el sistema S. Entonces:

cvcu 67.067.0' ==

y ( )

( )cc

c

cvu

vuu 92.0

45.1

34.1

67.01

67.067.0

/'1

'22

==+

+=+

+=

La velocidad de un e1ectr6n con respecto al otro es menor que c. Ejemplo 5. Demostrar que el teorema de Einstein de la suma de velocidades conduce al coeficiente de arrastre observado por Fresnel.

En este casoωv es la velocidad del agua con respecto al aparato, y c/n es la velocidad de la luz relativa al agua. Esto

es, en la f6rmula tenemos:

ωvvyn

cu =='

Entonces, la velocidad de la luz con respecto al aparato es:

ncv

vncu

/1

/

ω

ω

++

=

Cuando la relación cv /ω es pequeña (en los experimentos cv /ω = 2.3 X 10-8) podemos despreciar términos de

segundo orden en cv /ω , de modo que, utilizando el desarrollo binomial, se tiene:

−+≅

−

+≅2

111

nv

n

c

nc

vv

n

cu ω

ωω

que es precisamente el efecto de primer orden observado. Debe notarse que no hay necesidad de suponer ningún mecanismo de “arrastre”, o de inventar teorías sobre la interacción entre la materia y el "éter". El resultado es una consecuencia inevitable del teorema de la suma de velocidades se ilustra la poderosa simplicidad de la relatividad.