REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION

INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO

“SANTIAGO MARIÑO”

EXTENSION MATURIN

ANÁLISIS DE LA RESPUESTA TRANSITORIA. SISTEMAS

DE SEGUNDO ORDEN

Autor: Andrea Rugama

Profesora:

Mariangela pollonais

Materia:

Teoría de control

Maturín, Febrero del 2017

1. Obtenga el tiempo de levantamiento, el tiempo pico, el sobrepaso máximo y el

tiempo de asentamiento. Se sabe que un sistema oscilatorio tiene la siguiente

función de transferencia:

Suponga que existe un registro de una oscilación amortiguada, tal como aparece en

la siguiente figura. Determine el factor de amortiguamiento relativo del sistema a

partir de la gráfica.

Oscilación amortiguada

Solucion:

Ya que se trata de una oscilación amortiguada, éstas solo tienen sentido para los sistemas

subamortiguados .

Sistema de segundo orden

Tomando en cuenta la función de transferencia

Se tomarán en cuenta las siguientes ecuaciones, para determinar los siguientes

parámetros de los ítems a hasta la d.

(1)

(2)

A. Determinar el tiempo de levantamiento tr

Considerando la ecuación (1) y suponiendo que , se tiene que:

Ya que , entonces:

Como y , se tiene que:

Donde, se define en la siguiente figura. Es evidente que para un valor pequeño ,

debe ser grande.

Definición del Angulo β

B. Determinar el tiempo pico tp:

Considerando la ecuación (1), se obtiene el tiempo pico derivando con respecto al

tiempo, entonces:

Teniendo en cuenta que:

Igualamos a cero y evaluamos la derivada en , entonces se tiene que:

Luego de esto, se obtiene que:

Como el tiempo pico corresponde al primer pico sobrepaso máximo

El tiempo pico corresponde a medio ciclo de la frecuencia de oscilación amortiguada

C. Determinar el sobrepeso máximo ts:

Ésta se presenta en el tiempo pico o en . Por lo tanto, teniendo en

cuenta la ecuación (1), se obtiene de la siguiente manera:

El porcentaje del sobrepaso máximo es: .

Si el valor final de la salida no es la unidad, entonces es necesario utilizar la siguiente

ecuación:

D. Determinar el tipo de asentamiento ts:

Para un sistema subamortiguado de segundo orden, la respuesta transitoria se obtiene a

partir de la ecuación (2):

t

Son las curvas envolventes de la respuesta transitoria para una entrada escalón

unitario. La curva de respuesta siempre permanece dentro de un par de curvas

envolventes, como se aprecia en la siguiente figura:

Par de curvas envolventes para la curva de respuesta a escalón unitario del sistema

de segundo orden

La constante de tiempo de estas curvas envolventes es:

El tiempo de asentamiento que corresponde a una banda de tolerancia de o

se mide en función de la constante de tiempo:

Por lo general, se define el tiempo de asentamiento como:

(criterio del 2%)

(criterio del 5%)

E. Determinar el factor amortiguado :

La razón de amplitud por un periodo de oscilación amortiguada es:

Es necesario escoger lo suficientemente grande para que la razón o bien no

sea cercano a la unidad. Entonces se tiene que:

Por lo tanto, se tiene que el logaritmo decremental es:

Se define como:

A continuación, elevando al cuadrado ambos miembros y despejando para obtener

el factor de amortiguamiento relativo se tiene que:

2. Considere el sistema de la Figura 5. Determine el valor de de modo que el factor de

amortiguamiento relativo sea . Después obtenga el tiempo de levantamiento , el

tiempo pico , el sobrepaso máximo , y el tiempo de asentamiento , en la

respuesta escalón unitario.

Diagrama de bloques de un sistema.

Solucion:

Se aplica retroalimentación negativa,y se tiene que:

A continuación se utiliza la combinación de bloques en cascada, y se obtiene:

Luego de esto, se aplica retroalimentación negativa y se obtiene:

Por lo tanto el resultado es:

De las características del polinomio, encontramos que:

Por el enunciado del ejercicio, sabemos que:

K=0.2

A. Determinar el tiempo de levantamiento tr:

Para obtener el tiempo de levantamiento tr se utiliza la siguiente fórmula:

Sabiendo que:

Por lo tanto:

B. Determinar el tiempo pico tp:

, se obtiene con la siguiente fórmula:

C. Determinar el sobrepaso máximo Mp:

Para obtener el sobrepaso máximo , se utiliza la siguiente fórmula:

Por lo tanto, el porcentaje del sobrepaso máximo es:

D. Determinar el tiempo de asentamieno ts:

El tiempo asentamiento , se obtiene por el siguiente criterio:

(Criterio del 2%)

(Criterio del 5%)

3. Obtenga analíticamente la frecuencia natural , factor de amortiguamiento ,

sobrepaso máximo , tiempo de asentamiento y tiempo de crecimiento del

siguiente sistema, suponga que . Posteriormente verifique los resultados

obtenidos con MATLAB.

Se utiliza combinación de bloques en cascada y se sustituye H=1, por lo tanto se

obtiene que:

Luego de esto, se aplica retroalimentación negativa, teniendo como resultado:

Por lo tanto:

Igualando los coeficientes entre esta ecuación y la general, se tiene que:

Donde k, es la ganancia estática del sistema

A. Determinar la frecuencia natural ωn:

B. Determinar el factor de amortiguamiento

Se obtiene con la siguiente formula a continuación:

Por lo tanto, es un sistema subamortiguado

C. Determinar el sobrepaso máximo Mp:

Se obtiene con la siguiente formula a continuación:

El porcentaje de sobrepaso máximo es:

D. Determinar el asentamiento ts:

Se obtiene con la siguiente fórmula:

Debido que

Entonces

E. Determinar el tiempo pico tp:

Se obtiene mediante la siguiente formula