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SUCESIONES Y SERIES
Una sucesión es una función, cuyo dominio es un conjunto de enteros positivos consecutivos. El dominio de una sucesión infinita son los enteros positivos y el codominio o rango es el conjunto de los números reales.
Con frecuencia representamos a las sucesiones mediante letras minúsculas, como a y los valores del rango mediante an, que
también se llaman los términos de la sucesión. Muchas veces las sucesiones se especifican enunciando su término general o enésimo término. Así, el término general de las
Sucesión, que antes era Y=X2 , se vuelve an=n2. Las Sucesiones es una función de los números Naturales con respecto a los números reales. F(x) : N R
an={f(n)} n=1,2,3,4……regla que define la sucesión. Para determinar una sucesión infinita se puede presentar dos formas:
1. Encontrar los términos a partir de la fórmula del n-ésimo término. 2. Definir la sucesión enunciando la fórmula n-ésimo término.
Ej) ¿Sea la sucesión 52nan, hallar los 5 primeros términos?
751*21a , 952*22a , 1153*23a , 1354*24a 1555*25a , 15,13,11,9,7na
Ej) ¿Sea la sucesión 2
1
n
nan
, hallar los 4 primeros términos?
01
1121a ,
4
1
2
1222a ,
9
2
3
1323a ,
16
3
4
1424a ,
16
3,
9
2,
4
1,0na
Ej) ¿Sea la sucesión n
nan
3
1, hallar los 5 primeros términos?
3
2
1*3
111a ,
2
1
6
3
2*3
122a ,
9
4
3*3
133a ,
12
5
4*3
144a ,
15
6
5*3
155a ,
15
6,
12
5,
9
4,
2
1,
3
2na
Ej): Encuentre la fórmula general, es decir el n-ésimo término de la sucesión 3, 6, 9, 12…….?
12,9,6,3na , 3*131a , 3*262a , 3*393a , 3*4124a Entonces la fórmula general es: nan 3
Ej): Encuentre la fórmula general, es decir el n-ésimo término de la sucesión 1, 3, 7, 15,….?
15,7,3,1na 11a , 12143 2
2a 12187 3
3a 1211615 4
4a Entonces la fórmula general es: 12n
na
Ej): Encuentre la fórmula general, es decir el n-ésimo término de la sucesión 2, 4, 8, 16, 32….?
32,16,8,4,2na 1
1 22a , 2
2 24a , 3
3 28a 4
4 216a , 5
5 232a
Entonces la fórmula general es: n
na 2
Ej): Encuentre la fórmula general, es decir el n-ésimo término de la sucesión 1, 3, 5, 7, 9….?
9,7,5,3,1na 11*211a , 12*232a 13*253a , 14*274a 15*295a
Entonces la fórmula general es: 12nan
Ej): Encuentre la fórmula general, es decir el n-ésimo
término de la sucesión ......5
4,
4
3,
3
2,
2
1 ?
5
4,
4
3,
3
2,
2
1na ,
11
1
2
11a ,
12
2
3
22a ,
13
3
4
33a ,
14
4
5
41a
Entonces la fórmula general es: 1n
nan
Ej): Encuentre la fórmula general, es decir el n-ésimo término de la sucesión ......9
16,
7
9,
5
4,
3
1 ?
9
16,
7
9,
5
4,
3
1na
12
1
3
11a ,
12*2
2
5
4 2
2a , 13*2
3
7
9 2
3a , 14*2
4
9
16 2
4a
Entonces la fórmula general es: 12
2
n
nan
Ej): Encuentre la fórmula general, es decir el n-ésimo término de la sucesión ......5
1,
4
1,
3
1,
2
1 ?
5
1,
4
1,
3
1,
2
1na
11
1
2
11a ,
12
1
3
12a ,
13
1
4
13a ,
14
1
5
14a
Entonces la fórmula general es: 1
1
nan
Ej): Encuentre la fórmula general, es decir el n-ésimo término de la sucesión ......2
1,
5
2,
4
1,0,
2
1 ?
2
1,
5
2,
4
1,0,
2
1na
11
21
2
11a ,
12
2202a ,
13
23
4
13a
14
24
5
24a ,
2
1
6
3
15
25
2
15a
Entonces la fórmula general es: 1
2
n
nan
Ej): Encuentre la fórmula general, es decir el n-ésimo término de la sucesión ......8
7,
6
5,
4
3,
2
1?
8
7,
6
5,
4
3,
2
1na
1*2
11*2
2
11a
2*2
12*2
4
32a
3*2
13*2
6
53a
4*2
14*2
8
74a
Entonces la fórmula general es: n
nan
2
12
EJERCICIOS DE SUCESIONES Ej) ¿Halle los 5 primeros términos de cada sucesión?
( a)1
23n
nan , (b)
n
nan
23
( c )13* n
n na , (d)1
1
nan
( e)1n
nan , ( f)
3
11
na
n
n
( g ) 1
11
nnan ( h)
2
42
n
nan
( i )21 nn
nan , (j ) nn
na
2
SUMATORIA DE UNA SUCESION
Que sucede si nos piden averiguar la adición de muchos términos de una sucesión infinita, tendríamos que efectuar una adición de muchos sumandos y además diferentes, para tal caso vamos a introducir un nuevo concepto llamado sumatoria.
Los n primeros términos de la sucesión es:
n
n
nn aaaaaaaa1
654321 ....
Ej): Hallar la suma de los 5 primeros términos de la sucesión 24nan
25*424*423*422*421*45
1n
na
50181410625
1n
na
Ej): Hallar la suma de los 6 primeros términos de la sucesión n
nan
2
12
6*2
16*2
5*2
15*2
4*2
14*2
3*2
13*2
2*2
12*2
1*2
11*26
1n
na
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
16
1n
na
40
191
120
573
120
11010810510090606
1n
na
Ej): Hallar la suma de los 6 primeros términos de la sucesión n
a
n
n
11
6
1
5
1
4
1
3
1
2
1
1
1 6543216
1n
na
6
1
5
1
4
1
3
1
2
11
6
1n
na
60
37
60
101215203060
6
1
5
1
4
1
3
1
2
11
6
1n
na
Ej): Evalúa las sumatoria: 10
5n
na sí:
n
nan
23
10
210*3
9
29*3
8
28*3
7
27*3
6
26*3
5
25*310
5n
na
10
32
9
29
8
26
7
23
6
20
5
1710
5n
na
5
16
9
29
4
13
7
23
3
10
5
1710
5n
na
7,191260
24811
1260
40324060409541404200428410
5n
na
Ej): Evalúa las sumatoria:
5
2n
na sí:
2*3 1n
na
2*32*32*32*3 151413125
2n
na
240162541865
2n
na
Ej): Evalúa las sumatoria:
3
1n
na sí: 1
23n
nan
13
3*2
12
2*2
11
1*2333
3
1n
na
126
209
252
418
252
54112252
28
6
9
41
3
1n
na
PROGRESION ARITMETICA
La progresión aritmética es una Sucesión en la cual todo término después del primero se obtiene sumando una constante al término anterior. En la progresión aritmética cada uno de sus componentes es un término y la diferencia constante entre sus términos es la razón: En la sucesión ascendente 3, 6, 9, 12, 15, 18 a=1 término = 3 r=razón =3 L=último término =18 N=número de términos =6 FORMULAS PROGRESION ARITMETICA
rnaL *1 rnLa *1 1n
aLr 1
r
aLn
La suma de los términos de una Sucesión se llama serie y cuando la sucesión es una progresión aritmética se denomina serie aritmética y está definida por la formula:
2
*nLaS
EJER CICIOS DE PR OGR ESION ES
AR ITM ETICAS
1) Ej: ¿hallar el octavo término de la siguiente progresión aritmética? 5, 10 ,15 ,20 ,25
rnaL *1 5*185L 40355L
2) Ej: ¿hallar el noveno término de la siguiente progresión aritmética? -3, -6, -9, -12, -15
rnaL *1 3193L 27243L
3)Ej: ¿hallar el primer término sabiendo que el quinto es 17 y la razón es 4 de la progresión aritmética?
rnLa *1 4*1517a 11617a
4) Ej: ¿hallar el primer término sabiendo que el octavo es 48 y la razón es 6 de la progresión aritmética?
rnLa *1 6*1848a
64248a 5) Ej: ¿Cuál será la razón de una progresión aritmética si el primer término es 6 y el quinto es 30?
1n
aLr
15
630r
64
24r
6) Ej: ¿insertar 10 términos entre los extremos de la progresión aritmética 12 y 45?
1n
aLr
112
1245r 3
11
33r
La serie es: 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30 ,33, 36, 39, 42, 45 7) Ej: ¿cuántos términos tendrá una progresión aritmética, si el primero es 3, la razón es 7 y el último término es 45?
1r
aLn 1
7
345n 71
7
42n
8) Ej: ¿cuántos términos tendrá una progresión aritmética, si el primero es 4, la razón es 4 y el último término es 32?
1r
aLn 1
4
432n 81
4
28n
9) Ej: ¿cuál será la suma de la progresión aritmética: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63?
2
*nLaS
2
9*637S 315
2
630S
10) Ej: ¿Entre los extremos 25 y 60, insertar 6 términos, realizar la suma y escribir la progresión aritmética?
1n
aLr
18
2560r 5
7
35r
2
*nLaS
2
8*6025S 340
2
680S
2 5, 30, 35 , 40 , 4 5, 5 0, 55, 60
11) Ej: Se recibe un préstamo Bancario de $120.000, el cual se acuerda pagar mediante 12 pagos mensuales de $10.000 más interés sobre saldos, a razón del 5% mensual ¿qué cantidad de interés se paga en total?
CiI *1 000.6$000.120*05.01I
CiI *2 500.5$000.110*05.02I
CiI *3
000.5$000.100*05.03I
CiI *4 500.4$000.90*05.04I
El 1 pago= $10.000 + $6.000 = $16.000 El 2 pago= $10.000 + $5.500 = $15.500 El 3 pago= $10.000 + $5.000 = $15.000 El 4 pago= $10.000 + $4.500 = $14.500
rnaL *1 500112000.6L
500.50.5000.6L
2
*nLaS
2
12*500000.6S
000.39$2
000.78S
Deberá pagar $39.000 de intereses. 12) Ej: La Empresa de Pedro Márquez recibe un préstamo Bancario de $300.000, el cual se acuerda pagar mediante 10 pagos semestrales de $30.000 más interés sobre saldos, a razón del 10% semestral ¿qué cantidad de interés se paga en total?
CiI *1 000.30$000.300*1.01I
CiI *2 000.27$000.270*1.02I
CiI *3
000.24$000.240*1.03I
CiI *4 000.21$000.210*1.04I
El 1 pago= $30.000 + $30.000 = $60.000 El 2 pago= $30.000 + $27.000 = $57.000 El 3 pago= $30.000 + $24.000 = $54.000 El 4 pago= $30.000 + $21.000 = $51.000
rnaL *1 000.3110000.30L
000.3000.27000.30L
2
*nLaS
2
10*000.3000.30S 000.165$
2
000.330S
Deberá pagar $165.000 de intereses. 13) Ej: ¿cuántos términos tiene una progresión aritmética cuyo quinto término es -9, su diferencia común es -3 y su suma es-81? Primero se halla el primer término conociéndose el quinto término -9 y por lógica se sobre entiende que hay 5 términos y su diferencia -3
rnLa *1 3*159a 3129a Se combinan estas dos fórmulas para obtener una sola que me permita hallar en número de términos con respecto a la suma total de los términos que es -81
2
*nLaS rnaL *1
2
**1 nrnaaS
2
**12 nrnaS rna
nS *12
2 rnra
nS 2
2
Se ubican los valores en la fórmula final:
rnran
S 22
33322
81 nn
3362
81 nn
nn 39162 239162 nn 016293 2 nn
Se factoriza la ecuación cuadrática:
016293 2 nn 01839 nn 0183,09 nn Como la progresión no puede tener números negativos, la solución es la positiva? 3n + 18 =0 donde n=-6 n – 9 = 0 donde n=9 Entonces el número de términos de la progresión aritmética descrita es 9
14) Ej: ¿cuántos términos tiene una progresión aritmética cuyo sexto término es -3, su diferencia común es 0.2 y su suma es-33? Primero se halla el primer término conociéndose el sexto término -3 y por lógica se sobre entiende que hay6 términos y su diferencia 0.2
rnLa *1 2.0*163a 413a
Se ubican los valores en la fórmula:
rnran
S 22
2.02.0422
33 nn
2.02.082
33 nn
nn 2.02.866 22.02.866 nn 0662.82.0 2 nn
Se factoriza la ecuación cuadrática:
0662.82.0 2 nn 02.22.030 nn 02.22.0,030 nn
Como la progresión no puede tener números negativos, la solución es la positiva? 0.2n + 2.2= 0 donde n=-11 n -30 =0 donde n=30 Entonces el número de términos de la progresión aritmética descrita es 30
15) Ej: ¿cuántos términos tiene una progresión aritmética cuyo tercer término es 8, su diferencia común es 3 y su suma es 155? Primero se halla el primer término conociéndose el tercer término 8 y por lógica se sobre entiende que hay 3 términos y su diferencia 3
rnLa *1 3*138a 268a Se ubican los valores en la fórmula:
rnran
S 22
33222
155 nn
3342
155 nn
nn 31310 23310 nn 03103 2 nn
Se factoriza la ecuación cuadrática:
03103 2 nn 031310 nn 0313,010 nn Como la progresión no puede tener números negativos, la solución es la positiva? 3n + 31= 0 donde n = -31/3 n -10 =0 donde n = 10 Entonces el número de términos de la progresión aritmética descrita es 10
16) Ej: ¿cuántos términos tiene una progresión aritmética cuyo primer término es -2, su diferencia común es ¼ y la suma de sus términos es 21?
Se ubican los valores en la fórmula:
rnran
S 22
4/14/1222
21 nn
4/14/42
21 nn
4/4/1742 nn 4/4/1742 2nn 217168 nn 0168172 nn
Se factoriza la ecuación cuadrática:
0168172 nn 0724 nn 07,024 nn Como la progresión no puede tener números negativos, la solución es la positiva?
n - 24= 0 donde n = 24 n + 7 =0 donde n = -7 Entonces el número de términos de la progresión aritmética descrita es 24 17) Ej: ¿Un montón de troncos tiene 24 de ellos en la primera capa, 23 en la segunda, 22 en la tercera y así sucesivamente, ¿si la última capa contiene 10 troncos, ¿cuántos troncos hay en total?
1r
aLn 1
1
2410n
15114n
2
*nLaS
2
15*1024S
cos2552
15*34tronS
18) Ej: ¿Un niño decide hacer una pirámide con los cubos que tiene de tal forma que cada etapa tiene un cubo menos que el anterior, ¿cuántos cubos forman la pirámide si en la base hay 6 cubos?
1r
aLn 1
1
61n
615n
2
*nLaS
2
6*16S
cubosS 212
6*7
18) Ej: ¿Un niño decide hacer una pirámide con los cubos que tiene de tal forma que cada etapa tiene un cubo menos que el anterior, ¿cuántos cubos forman la pirámide si en la base hay 6 cubos?
1r
aLn 1
1
61n 615n
2
*nLaS
2
6*16S cubosS 21
2
6*7
19) Ej: ¿Cuánto ganó un profesor de matemáticas en 8 años si su sueldo inicial fue de $800.000 y recibió aumentos anules de $230.000?
rnaL *1 000.230*18000.800L 000.410.2000.610.1000.800L
2
*nLaS
2
8*000.410.2000.800S 000.840.12$
2
8*000.210.3S
20) Ej: ¿En un teatro hay en la primera fila 20 asientos y tres asientos mas en cada una de las filas restantes, ¿cuántos asientos hay en las primeras 9 filas?
rnaL *1 3*1920L 442420L
2
*nLaS
2
9*4420S as ien tosS 288
2
8*64
21) Ej: ¿La tarifa de un taxi es de $2.000 por km y $1.200 por cada km adicional , ¿Cuánto se paga por un recorrido de 15 kms?
rnaL *1 200.1*115000.2L 800.18800.16000.2L
2
*nLaS
2
15*800.18000.2S 000.156
2
15*800.20S
22) Ej: Daniel ahorró $20.000 el primer mes. Si en los siguientes meses incrementa su ahorro en $5.000 mensuales, ¿qué cantidad tiene ahorrada al cabo del 5 mes?
rnaL *1 000.5*15000.20L 000.40000.20000.20L
2
*nLaS
2
5*000.40000.20S
000.150$2
5*000.60S
23) Ej: La calificación de Carlos Alberto fue de 3.1 en el primer de siete exámenes de matemáticas. Si en cada examen siguiente obtuvo 0.5 más que en examen anterior, ¿cuánto obtuvo en el último examen?.
rnaL *1 5.0*171.3L 1.60.31.3L
INTERES SIMPLE
CONCEPTOS FUNDAMENTALES Es importante estudiar la terminología, los conceptos y símbolos fundamentales en los cuales están basadas las matemáticas financieras. Las matemáticas financieras son una Herramienta que facilita la toma de decisiones económico-financieras. EQUIVALENCIA Este concepto es generado tanto por el valor del dinero a través del tiempo, como por la tasa de interés aplicada. El principio de equivalencia establece: una o varias sumas de dinero, pueden transformarse en otra u otras equivalentes, ubicadas en fechas distintas, siempre y cuando la tasa de interés utilizada para efectuar las transformaciones, satisfaga a ambas partes de la negociación. Equivalencia del dinero en años diferentes
tasa anual
Índice equivalencia 2009 2010 2011
8% 1.08 $ 439.814,80 $ 475.000 $ 513.000
12% 1.12 $ 513.392,85 $ 575.000 $ 6.44.000
15% 1.15 $ 765.217,40 $ 880.000 $ 1.012.000
20%
1.20
$ 1.000.000
$ 1.200.000
$ 1.440.000
SIMBOLOS Durante el desarrollo de los temas se utilizaran los siguientes símbolos, cada texto cambia la totalidad o alguno de estos símbolos según los convencionalismos usados: P: valor presente de una suma de dinero C: cantidad de dinero depositado M: es el capital inicial más los intereses F: valor futuro de una suma de dinero A: serie de cantidades periódicas e iguales de dinero n: número de periodos: años, meses, trimestres, bimestres, días, ects… i: tasa de interés aplicado para el periodo acordado y se expresa como la relación que existe entre el número porcentual y 100. FLUJO DE CAJA Es el resultado de comparar ingresos y egresos de dinero: este puede ser positivo o negativo Flujo de caja= Ingreso – Egreso Tabulación flujo de caja: Es la presentación esquemática del flujo de caja. FLUJO DE CAJA
Año Ingreso Egreso saldo flujo de caja
2007 $ 5.000.000 $ 4.000.000 $ 1.000.000
2008 $ 8.000.000 $ 5.000.000 $ 3.000.000
2009 $ 10.000.000 $ 8.000.000 $ 2.000.000
2010 $ 9.500.000 $ 12.500.000 -$ 3.000.000
Diagrama de flujo de caja Es la presentación gráfica de los flujos de caja. Las flechas hacia arriba indican entrada de dinero y hacia abajo salidas. Cada número indica el periodo de capitalización.
Una progresión es una serie que se rige por leyes fijas y el interés simple es la aplicación de la progresión aritmética que se define como una serie en la cual cada término se forma al sumar al anterior una cantidad fija llamada razón. El interés (I) es el dinero pagado por recibir o depositar una suma de dinero llamada capital (Ċ) durante un tiempo (n) dado, una tasa de interés (i) pagada o cobrada. La tasa de interés (i) es el resultado de dividir el interés ganado o pagado entre la suma depositada o recibida.
%C
Ii
INTERES SIMPLE: (I) Es cuando el capital recibido o invertido permanece fijo durante el tiempo que dure la transacción, es decir, que al final de la operación financiera se hace efectivo y por consiguiente no se acumula al capital. El interés simple se caracteriza por: La tasa de interés se aplica únicamente sobre el capital
inicial que se invierte u otorga en préstamo.
El capital inicial permanece invariable en el tiempo que dura la operación
El interés es igual para cada uno de los periodos del plazo de la operación
CinI ICM
.....CinCinCinCM inPF 1
Por ser el interés simple una progresión aritmética, su grafica es una línea recta, es decir cada año el interés es constante. INTERESES ANTICIPADOS: Son los que se pagan en el momento de la inversión.
INTERESES VENCIDOS: Son los que se acuerdan que el rendimiento de la inversión se cancele al cumplir el Plazo pactado. CAPITAL o VALOR PRESENTE: (C) o (P) Es la cantidad de dinero base de la operación del préstamo. TIEMPO: (n) Es el tiempo que dura la operación de imposición del capital y que se puede especificar en años, meses, días etcs…. TASA o TANTO POR CIENTO: (i) se expresa como la relación que existe entre el número porcentual y 100 y cuando al tanto se le especifica un tiempo o periodo determinado recibe el nombre de tasa; ese periodo puede ser anual, semestral, bimestral, mensual etcs….. MONTO o VALOR FUTURO: (M) o (F) Es la cantidad de dinero que resulta al sumar el capital Inicial más los intereses.
Las formulas quedan: CinI ICM CinCM inPF 1 Ej: Se depositan $1.000.000 a una tasa del 10% anual simple durante 4 años, cual será el interés producido y el monto?
000.1001*10.0*000.000.1I , 000.2002*10.0*000.000.1I , 000.3003*10.0*000.000.1I
000.4004*10.0*000.000.1I
i=10% 1 año 2 año 3 año 4 año
Ċ $ 1.000.000 $ 1.000.000 $ 1.000.000 $ 1.000.000
I $ 100.000 $ 200.000 $ 300.000 $ 400.000
M $ 1.100.000 $ 1.200.000 $ 1.300.000 $ 1.400.000
INTERES
$ 500.000
$ 400.000
$ 300.000
$ 200.000
$ 100.000
1 2 3 4 5
AÑOS
Interés Simple Acumulado
n= años Interés anual Interés acumulado
1 $ 100.000 $ 100.000
2 $ 100.000 $ 200.000
3 $ 100.000 $ 300.000
4 $ 100.000 $ 400.000
CALCULO DEL INTERES SIMPLE
1)EJ: Encontrar el interés producido por un capital de $ 1.500.000 depositado por el señor Pedro Díaz, durante un periodo de 4 años a una tasa del 12.5% anual? I=? Ċ= $1.500.000 n=4 años i= 12.5% anual
000.7504*125.0*000.500.1I
2)EJ: Que interés produce un capital de $2.200.000 al 6.6% semestral durante un periodo de 3 años y 10 meses? I=? Ċ=$2.200.000 n= 3 años y 10 meses = 46 meses
i=6.6 % semestral = 1.1% mensual CinI
200.113.146*011.0*000.200.2$I 3)Jaime hace u deposito de $1.000.000 por un año, en una Entidad Financiera, que le reconoce una tasa del 7.5% trimestral, el interés es cancelado al final del año, ¿Qué suma recibe? I=?
Ċ=$1.000.000 n= 1 año = 4 trimestres
i=7.5% trimestral CinI
000.3004*075.0*000.000.1$I
4) Carlos hace un depósito de $50.000 por 6 meses, en el Banco de Colombia que le reconoce una tasa de interés del 4% trimestral, ¿Qué interés recibe Carlos? I=? Ċ=$50.000 n= 6 meses = 2 trimestres
i=4% trimestral CinI
000.42*04.0*000.50$I
5) El señor Jairo Bermúdez obtiene un préstamo de $5.000.000 y acepta liquidarlo dentro de de año y medio y acuerda pagar unos intereses del 2.5% mensual ¿Cuánto deberá pagar de interés al mes y al año y medio? I=? Ċ=$5.000.000 n= 1 año y medio =18 meses
i=2.5% trimestral CinI
000.1251*025.0*000.000.5$I 000.250.218*025.0*000.000.5$I
6) EJ: Que interés produce un capital de $1.200.000 al 3 % Bimestral durante un periodo de 1 años y 3 meses y 15 días? I=? Ċ= $1.200.000 n=1 año, 3 meses y 15 días = 465 días
i= 3% bimestral = 0.05% diario CinI
000.279465*0005.0*000.200.1I 7) EJ: Cual es el capital que impuesto a la tasa del 14.5% anual ha producido $3.000.000 en 4 años? C=? I= $3.000.000 n=4 años
i= 14.5% anual in
IC
79,413.172.5
4*145.0
000.000.3C
8) EJ: La sección de ahorros del banco popular liquida el interés a sus clientes, sobre saldos en trimestre calendario y reconoce una tasa de interés del 4.25%; si Luz Miriam recibió $ 60.000 de interés cada trimestre, ¿Qué suma deposito? C=? I= $60.000 n=1 trimestre
i= 4.25% trimestral in
IC
71,764.411.11*0425.0
000.60C
9) EJ: los Intereses producidos en 3 años y 6 meses alcanzan la cifra de $1.500.000 a una tasa del 7.5% semestral, se desea conocer el capital base de dicha operación? C=? I= $1.500.000 n= 3 años y 6 meses = 7 semestres
i= 7.5% semestral in
IC
86,142.857.27*075.0
000.500.1C
10) EJ: Un capital de $1.000.000 ha producido intereses por la cantidad de $ 80.000 en 350 días, a que tasa anual fue colocado? i=? I= $80.000 Ċ= $1.000.000
n=350 días Cn
Ii
360
0823.0350*000.000.1
000.80*360i
anuali %23.8 11) EJ: Doris Navarro compra un radio por $150.000, paga unos intereses de $30.000 en 6 meses, ¿Qué tasa de interés pago? i=? I= $30.000 Ċ= $150.000
n=6 meses Cn
Ii
03333.0
6*000.150
000.30i
mensuali %33.3 12) EJ: Si por un deposito $2.000.000 realizado a un año por Juan Navarro en una cuenta de ahorros pagan $200.000 por concepto de intereses, ¿ Que tasa de interés trimestral reconoce la Entidad bancaria? i=? I= $200.000 Ċ= $2.000.000
n=12 meses = 4 trimestres Cn
Ii
025.0
4*000.000.2
000.200i
trimestrali %5.2 13) EJ: Por un depósito de 5.000.000 la Corporación Financiera liquida $100.000 de interés mensual, ¿Qué tasa de interés se reconoce? i=? I= $100.000 Ċ= $5.000.000
n=1 mes Cn
Ii
02.0
1*000.000.5
000.100i
mensuali %2 14) EJ: Mario Castañeda desea saber cuánto tiempo en años, meses y días debe tener invertidos $800.000 para que produzca una ganancia de $ 120.000 a una tasa del 6.75% semestral? n= ¿ Ċ= $800.000 I= $120.000
i=6.75% semestral Ci
In
180
400
0675.0*000.800
000.120*180n
díasn 400
añosn 11.1360
400
mesesn 32.112*11.0 díasn 1030*32.0
diasmesañon 10,1,1
15) EJ: José Bautista desea saber cuánto tiempo en años, meses y días debe tener invertidos un capital $ 1.000.000 para que le reditúen un interés de $ 250.000 a una tasa del 4.5% trimestral? n= ¿ Ċ=$1.000.000 I= $250.000
I= 4.5% trimestral = 0.05% diario Ci
In
5000005.0*000.000.1
000.250n
díasn 500
añosn 3888888889.1360
500
mesesn 666666667.412*388888888.0 díasn 2030*66666666.0
diasmesesañon 20,4,1
16) EJ: hace un deposito Juan Carlos por $1.500.000 en una Institución Financiera, que paga el 2.5% mensual,¿ cuánto tiempo debe dejarse el depósito para obtener por concepto de intereses la suma de $450.000? n= ¿ Ċ=$1.500.000 I= $450.000
I= 2.5% mensual Ci
In
12025.0*000.500.1
000.450n
mesesn 12 17) EJ: La empresa Noel emitió bonos en el 2000 con una tasa de interés del 23% anual, si María Cristina compro un bono de $50.000 y obtuvo $57.500 por concepto de interés en todo el plazo, ¿cuál es el periodo en años en que estuvo el bono en liquidación? n= ¿
Ċ=$50.000 I= $57.500
I= 23% anual Ci
In
5
23.0*000.50
500.57n
añosn 5
VALOR FUTURO Y VALOR PRESENTE EN INTERES SIMPLE P: valor presente de una suma de dinero C: cantidad de dinero depositado M: es el capital inicial más los intereses F: valor futuro de una suma de dinero A: Serie de cantidades periódicas e iguales de dinero (Anualidad) n: Número de periodos: años, meses, trimestres, bimestres, días, ects… i: tasa de interés aplicado para el periodo acordado y se expresa como la relación que existe entre el número porcentual y 100.
FORMULAS
P
Ii
PFI
CinI
ICM CinCM inCM 1
inPF 1 in
FP
1
11
P
F
in
Pi
PFn
11
P
F
ni Pn
PFi
EJERCICIOS INTERES SIMPLE, VALOR PRESENTE Y VALOR FUTURO
1) EJ: ¿Que cantidad de dinero debe depositar ahora Pedro Medina a interés simple en una cuenta que paga el 12% anual si se desea retirar al final del tercer periodo $ 1.000.000? P=? F=$1.000.000 n= 3 años
i= 12% anual in
FP
1
294.735)3*12.0(1
000.000.1P
2) EJ: Juan Pablo participa en un sorteo y le tocó el decimo octavo mes para cobrar y recibe $3.200.000, ¿cuánto debe depositar inicialmente para participar, sabiendo que reconocen una tasa del 1% mensual? P=? F=$3.200.000 n= 18 meses
i= 1% mensual in
FP
1
41,864.711.2)18*01.0(1
000.200.3P
3) EJ: ¿Luis Castro presta hoy $4.200.000 a un interés del 6% Bimestral, ¿ al final de los 18 meses que valor debe recibir? F=? C=$4.200.000 n= 18 meses = 9 bimestres
i= 6% bimestral inPF 1 000.468.6)9*06.01(000.200.4F
4) EJ: Que tasa anual se está aplicando, si por $500.000 que coloca Juan Ramírez durante 4 años recibe al final del periodo $ 800.000?
11
P
F
ni
15.01
000.500
000.800
4
1i
anuali %15
Pn
PFi
15.0
4*000.500
000.500000.800i
anuali %15
5) EJ: Cuanto tiempo debe esperar Luis Cárdenas para que un capital de $4.000.000 se convierta en $5.600.000 a un interés de 2% mensual simple?.
11
P
F
in
1
000.000.4
000.600.5
02.0
1n
14.150n
mesesn 204.050
Pi
PFn
mesesn 20
02.0*000.000.4
000.000.4000.600.5
6) Ej: Juan Caicedo tiene un capital de $10.000.000 y lo invierte a una tasa del 12% anual, ¿ cuál es el valor de los Intereses producidos en 18 meses? I=? Ċ=$10.000.000 n= 18 meses i=12% anual = 1% mensual
CinI
000.800.118*01.0*000.000.10$I
7) Ej: Cuál será el capital que coloca Ana Becerra al 8% anual, el cual produce en 2 años unos interés de $720.000? Ċ=? I= $720.000 n= 8 años i=8% anual
in
IC
000.500.4
2*08.0
000.720C
8) Ej: Cuál será la tasa de interés anual a la que fue colocado un capital de $4.000.000 por Carmen Botello, para que en 42 meses produjera unos intereses de $800.000? i=? Ċ=$4.000.000 I= $800.000 n=42 meses 3.5 años
Cn
Ii
05714.0
5.3*000.000.4
000.800i
anuali %71.5
9) Ej: Durante cuánto tiempo en días debe imponerse un capital de $7.200.000 para que al 18% anual produzca unos interés de$1.800.000? n=? Ċ=$7.200.000 I=$1.800.000 i=18% anual = 0.05% diario
Ci
In
díasn 500
0005.0*000.200.7
000.800.1
10) Ej: Si Pedro Rojas deposita $3.500.000 y al cabo de cinco meses gana $70.000 de intereses, cuál es la tasa de interés mensual de la transacción? i=? I= $70.000 P=$3.500.000
P
Ii
02.0
000.500.3
000.70i
mensuali %2
11) Ej: Antonio Castro presta hoy $20.000.000 a un interés del 1.5% mensual, ¿Cuánto es lo que recibe al final de los 24 meses?
F=? P= $20.000.000 i=1.5 % mensual n= 24 meses
inPF 1 000.200.27)24*015.01(000.00.20F
12) Ej: ¿Cuál será el valor acumulado de un capital de $1.548.000, que se prestó durante 300 días a una tasa del 18% anual? F=? P= $1.548.000 i=18% anual 1.5% mensual n=300 días = 10 meses
inPF 1 200.780.110*015.01000.548.1F
13) Ej: ¿Que capital fue prestado por Martha Díaz a la tasa del 15% anual, si al vencimiento de los 360 días se recibió el pago de $7.500.000? P=? F= $7.500.000 i=15% anual n=360 días = 1 año
in
FP
1 13,739.521.6
1*15.01
000.500.7P
14) Ej: El valor Final que ha recibido Betty Díaz como pago de un préstamo es de $12.250.000, el tiempo que estuvo vigente el préstamo es de 1 año y 6 meses a la tasa del 18% anual. Qué capital se prestó? P=? F= $12.500.000 i=18% anual 1.5% mensual n= 1 año,6meses = 18 meses
in
FP
1 3,669.645.9
18*015.01
000.250.12P
15) Ej: La señora Carmen Bautista debe cancelar dentro de 20 meses la suma de $ 14.200.000 a un interés del 2.5 mensual. ¿Cuál era el valor inicial de la obligación?
P=? F= $14.200.000 i=2.5% mensual n=20 meses
in
FP
1
67.666.466.920*025.01
000.200.14P
16) EJ: ¿Que tasa mensual se está aplicando, si por $2.000.000 que coloca Juan Díaz a interés simple durante 40 meses se recibe al final $ 4.000.000? i=? F= $4.000.000 P=$2.000.000 n=40 meses
n
P
F
i
1
025.040
1000.000.2
000.000.4
i
mensuali 5.2
Pn
PFi
025.0
40*000.000.2
000.000.2000.000.4i
mensuali 5.2
17) EJ: ¿Que tasa semestral se está aplicando, si por $1.500.000 que coloca Pedro Bautista a interés simple durante 4 años se recibe al final $ 3.000.000? i=?
F= $3.000.000 P=$1.500.000 n=4 años = 8 semestres
n
P
F
i
1
125.0
8
1000.500.1
000.000.3
i
semestrali 5.12
Pn
PFi
125.0
8*000.500.1
000.500.1000.000.3i
semestrali 5.12
18) EJ: Jairo Rojas compra una automóvil el 1 de Enero de 2009 en $10.000.000 y lo vendió 16 meses después en $16.000.000, ¿que tasa de interés mensual le rindió su inversión? i=? F= $16.000.000 P=$10.000.000 n= 16 meses
n
P
F
i
1
03 75.0
16
1000.000.10
000.000.16
i
mensuali 75.3
Pn
PFi
0375.0
16*000.000.10
000.000.10000.000.16i
mensuali 75.3
19) EJ: ¿Cuánto tiempo debe esperar Luis Jácome para que un capital de $2.500.000 se convierta en $5.000.000 a un interés de 2.5% mensual simple?. n=? F= $5.000.000 P=$2.500.000 i=2.5% mensual
i
P
F
n
1
mese sn 40
025.0
1000.500.2
000.000.5
Pi
PFn
mesesn 40025.0*000.500.2
000.500.2000.000.5
20) EJ: ¿Cuánto tiempo meses debe esperar Sergio Santos para que un capital de $2.500.000 se convierta en $4.000.000 a un interés de 4% semestral simple?. n=? F= $4.000.000 P=$2.500.000 i= 4% semestral
i
P
F
n
1
s eme s t r e sn 1504.0
1000.500.2
000.000.4
mesesn 906*15
Pi
PFn
semestresn 1504.0*000.500.2
000.500.2000.000.4
mesesn 906*15
21) EJ: ¿ En cuánto tiempo en años, meses y días Luis Pérez triplica un capital, si se paga a una tasa de interés del 16% anual? n=? F= $3 P=$1 i= 16% anual
i
P
F
n
1
a ño sn 5.12
16.0
11
3
mesesañosn 6,12
TALLER GRUPAL DE INTERES SIMPLE, VALOR PRESENTE Y VALOR FUTURO
CinI in
IC
Cn
Ii
Ci
In
inPF 1 in
FP
1 n
P
F
i
1
i
P
F
n
1
1)Ej: Juan Caicedo tiene un capital de $10.000.000 y lo invierte a una tasa del 12% anual, ¿ cuál es el valor de los Intereses producidos en 18 meses? 2)Ej: Cuál será el capital que coloca Ana Becerra al 8% anual, el cual produce en 2 años unos interés de $720.000?
3)Ej: Cuál será la tasa de interés anual a la que fue colocado un capital de $4.000.000 por Carmen Botello, para que en 42 meses produjera unos intereses de $800.000? 4)Ej: Durante cuánto tiempo en días debe imponerse un capital de $7.200.000 para que al 18% anual produzca unos interés de$1.800.000?
5)Ej: Si Pedro Rojas deposita $3.500.000 y al cabo de cinco meses gana $70.000 de intereses, cuál es la tasa de interés mensual de la transacción?
6)Ej: Antonio Castro presta hoy $20.000.000 a un interés del 1.5% mensual, ¿Cuánto es lo que recibe al final de los 24 meses? 7)Ej: Cuál será el valor acumulado de un capital de $1.548.000, que se prestó durante 300 días a una tasa del 18% anual?
8)Ej: Que capital fue prestado por Martha Díaz a la tasa del 15% anual, si al vencimiento de los 360 días se recibió el pago de $7.500.000?
9)Ej: El valor Final que ha recibido Betty Díaz como pago de un préstamo es de $12.250.000, el tiempo que estuvo vigente el préstamo es de 1 año y 6 meses a la tasa del 18% anual. Qué capital se prestó?
10)Ej: La señora Carmen Bautista debe cancelar dentro de 20 meses la suma de $ 14.200.000 a un interés del 2.5 mensual. ¿Cuál era el valor inicial de la obligación?
11)EJ: ¿Que tasa mensual se está aplicando, si por $2.000.000 que coloca Juan Díaz a interés simple durante 40 meses se recibe al final $ 4.000.000?
12)EJ: ¿Que tasa semestral se está aplicando, si por $1.500.000 que coloca Pedro Bautista a interés simple durante 4 años se recibe al final $ 3.000.000?
13)EJ: ¿Jairo Rojas compra una automóvil el 1 de Enero de 2009 en $10.000.000 y lo vendió 18 meses después en $16.000.000, ¿qué tasa de interés mensual le rindió su inversión?
14)EJ: ¿Cuánto tiempo debe esperar Luis Jácome para que un capital de $2.500.000 se convierta en $5.000.000 a un interés de 2.5% mensual simple?.
15)EJ: ¿Cuánto tiempo en meses debe esperar Sergio Santos para que un capital de $2.500.000 se convierta en $4.000.000 a un interés de 4% semestral simple?. 16)EJ: ¿ En cuánto tiempo en años, meses y días Luis Pérez triplica un capital, si se paga a una tasa de interés del 16% anual?