ordenada al origen pendiente error i-ésimo valor de la variable independiente x observación de la...
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Regresión Lineal Simple
Regresión lineal simple• Etapa exploratoria: gráficos de dispersión• Análisis de correlación
En algunos casos, de acuerdo a la naturaleza de las variables y la información disponible, puede suponerse una
relación funcional entre dos o más variables, que puede expresarse mediante una expresión matemática.
Considerando dos variables, si denominamos Y a la variable que se supone DEPENDIENTE, y X a la variable que se postula INDEPENDIENTE, resulta familiar utilizar el concepto de función:
“Y es función de X” indica que pueden predecirse los valores que tomará Y de acuerdo a los valores asignados a X. Dicho de otra manera, se puede conocer el comportamiento de Y a través de un modelo que relacione la variación de Y con la variación de X.
Regresión lineal simpleAnálisis de regresión: Objetivos
Identificar un modelo funcional que describa cómo se modifica la variable dependiente Y frente a cambios la variable independiente X
Estimar los parámetros del modelo (constantes) a partir de una muestra aleatoria de observaciones en Y y en X
Validar el modelo mediante contrastes de hipótesis que pongan a prueba la bondad de ajuste del mismo
Predecir el valor esperado de la variable dependiente Y cuando la variable independiente X toma un valor particular
• β0 es la ORDENADA AL ORIGEN; indica el valor de
Y cuando xi=0
• β1 es la PENDIENTE de la recta; indica cuánto cambia
Y por cada incremento unitario en X.̵�β1 ˃ 0 crecimiento de Y por cada incremento
unitario en X̵�β1 ˂ 0 disminución de Y por cada incremento
unitario en X
Regresión lineal simple
Ordenada al origenPendiente
ii10i xy Erroriii yy ˆ
i-ésimo valor de la variable independiente X
Observación de la variable dependiente Y bajo el i-ésimo valor de X
Análisis de regresión: Modelo
ii10i xy
1x 2xix 1nx nx
1y
2y
iy1ny
ny
ˆiy
yi
i
yVariabilidad
total Variabilidad explicada por el modelo
= Variabilidad no explicada
ORDENADA AL ORIGEN PENDIENTE
Erroriii yy ˆ
Regresión lineal simple
β1
β00
0
Ejemplo
Definición de variablesEn un cultivo de trigo se desea cuantificar la relación que
hay entre la disponibilidad de N (cantidad de nitrógeno en el suelo en ppm) y la cantidad de nitrógeno en la planta en ppm, relación que se supone lineal.
Biológicamente, se espera que la cantidad de N en las plantas sea explicada, al menos parcialmente, por la cantidad de N en suelo. Es por ello que se define como variable dependiente Y la cantidad de N en la planta y como variable independiente X el contenido de N del suelo.
Regresión lineal simple
X: Nitrógeno en el suelo (ppm)
4,2 4,5 5 5,5 6,8 6,9 7 7,3 8 9 9,2 9,4
Y: Nitrógeno por planta (ppm) 1,3 1,5 1,6 1,7 1,8 1,8 1,9 2 2 2,1 2,2 2,3
Los datos corresponden a 12 parcelas, en las que se registró el contenido de N en el suelo (X) y los valores promedio de N por planta (Y), este último calculado como promedio sobre todas las plantas de la parcela.
Gráfico de dispersión
Una vez identificadas la variable dependiente
Y: Nitrógeno por planta (ppm), y la variable independiente X: Nitrógeno en el suelo (ppm), se graficaron los datos obtenidos en un diagrama de dispersión.
Regresión lineal simple
3 4 5 6 7 8 9 100
0.5
1
1.5
2
2.5
Nitrógeno en el suelo (ppm)
Nit
róg
en
o p
or
pla
nta
(p
pm
)
Estimación de parámetros
Regresión lineal simple
Para todo conjunto de observaciones obtenidas sobre dos variables, existen potencialmente una infinidad de modelos que permitirían explicar la relación funcional entre ambas variables.
Como ya mencionamos, el análisis de regresión lineal simple permite identificar un modelo -una ecuación de la recta en este caso- que describe cómo varía la variable dependiente Y, frente a cambios en la variable independiente X.
Para la construcción de dicho modelo es necesaria la
estimación de sus parámetros β0 y β1, utilizando la
muestra aleatoria de datos disponibles.
ii10i xy ORDENADA AL ORIGEN PENDIENTE
Error
Estimación de parámetros
Regresión lineal simple
Se denominan coeficientes de regresión muestral a las estimaciones de β0 y β1, denotadas b0 y b1
respectivamente.Si no hubiese errores aleatorios, cualquier par de
puntos (x , y) podría usarse para encontrar los valores de b0 y b1 . De este modo todas las estimaciones serían
idénticas, independiente del par de valores utilizado.La presencia de errores hace necesaria la aplicación de
un método para la estimación, que permita combinar toda la información disponible en la muestra. El método de estimación que aplicaremos utiliza el término de error aleatorio presente en el modelo, y se denomina MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS.
Recordemos que el error aleatorio εi se define como
la distancia del valor observado respecto a la recta, medida sobre el eje de las ordenadas.
3 4 5 6 7 8 9 100
0.5
1
1.5
2
2.5
Nitrógeno en el suelo (ppm)
Nit
róg
en
o p
or
pla
nta
(p
pm
)
Error aleatorio εi : distancias de los valores observados respecto a la recta, medidas sobre el eje de las ordenadas
0n
1ii
Considerando que la sumatoria de los errores aleatorios asociados a los valores originales es cero, este método utiliza la sumatoria de dichos errores elevados al cuadrado.
La recta de «mejor ajuste» se define como
aquella que posibilita que la sumatoria de los cuadrados de los errores sea lo más pequeña posible.
mínn
1i
2i
Estimación de parámetros
Regresión lineal simple
b0 = y – b1. x b1= xS
yxCov2
),(
b0 = y – b1. x b1= xS
yxCov2
),(
Fórmulas para el cálculo de los coeficientes de regresión muestral
b0 = 0,76
b1 = 0,16
Coeficientes de regresión muestral calculados a partir del ejemplo
Contrastes de hipótesis sobre los parámetros
Regresión lineal simple
Se presenta aquí la ecuación de la recta construida con las estimaciones de los parámetros:
3 4 5 6 7 8 9 100
0.5
1
1.5
2
2.5
Nitrógeno en el suelo (ppm)
Nit
rógeno p
or
pla
nta
(ppm
)
Y = 0,76 + 0,16 XLos contrastes de hipótesis, tanto para β0
como para β1
se ponen a prueba
mediante un test T. A continuación se presentan las hipótesis nulas y alternativas, así como los estadísticos de las pruebas T, para cada uno de los parámetros estimados.
22
i2i
2
00
ˆn/xx
xn1
bT
Regresión lineal simpleContrastes de hipótesis sobre los parámetros
H0: β0 = 0
H1: β0 ≠ 0
H0: β1 = 0
H1: β1 ≠ 0
n/xx
ˆ
bT
2
i2i
2
11
H0: β1 = 0
H1: β1 ≠ 0
Regresión lineal simple
Tobs ˃ Ttabla → Rechazo H0 → β1 ≠ 0
Esto indica que el modelo explica una parte significativa de la variación en Y en función de las variaciones en X.
Tobs ˃ Ttabla → Rechazo H0 → β0 ≠ 0De acuerdo al contexto del problema, esta prueba de hipótesis podría carecer de sentido biológico. En este caso, el resultado podría interpretarse de la siguiente manera: aún cuando existan concentraciones prácticamente nulas de N en suelo, las plantas obtendrían nitrógeno proveniente de otras fuentes.
Los estadísticos aquí calculados se distribuyen como una T con n-2 grados de libertad. En ambos casos, los valores obtenidos para el estadístico T se comparan con el valor de tabla, en función de lo cual se determina el rechazo o no de la H0.
Contrastes de hipótesis sobre los parámetros
H0: β0 = 0
H1: β0 ≠ 0
Tobs=
9,35Ttabla=
1,81
Tobs=
13,94Ttabla=
1,81
Evaluación de la regresión
Para evaluar el valor predictivo del modelo se calcula el coeficiente de determinación, R2. Se analizarán también los residuos obtenidos durante el análisis con el objetivo de corroborar el cumplimiento de los supuestos del modelo.
El resultado del análisis de regresión puede expresarse mediante una tabla de ANAVA (Análisis de la Varianza). Se
observa que la variación total en Y (SCT) puede
descomponerse en la variación de los datos explicada por la
regresión (SCβ) más la variación no explicada o residual (SCR). Si la variación explicada es sustancialmente mayor que la variación no explicada, el modelo propuesto será bueno para fines predictivos.
Evaluación de la regresión
Fuente de Variación
Suma de Cuadrados
Grados de
Libertad
Cuadrado
MedioF
Debida a β (explicada) SCβ 1 CMβ
Residual (NO explicada) SCR n-2 CMR
Total SCT n-1
1x 2xix 1nx nx
1y
2y
iy1ny
ny
ˆiy
yi
i
yVariabilidad
total Variabilidad explicada por el modelo
= Variabilidad no explicada
Fuente de Variación
Suma de Cuadrados
Grados de
Libertad
Cuadrado Medio F
Debida a β(explicada)
SCβ 1 CMβ
Residual(NO explicada)
SCR n-2 CMR
Total SCT n-1
Coeficiente de determinación R2
Una medida de la capacidad predictiva del modelo es el
coeficiente de determinación R2, que relaciona la
variación explicada por el modelo (SCβ) con la variación total (SCT). Este coeficiente se calcula entonces como un cociente:
Este coeficiente es a su vez el estimador muestral del parámetro ρ2. El contraste de hipótesis para evaluar la bondad de ajuste del modelo se resuelve mediante un estadístico de distribución F, ya que se trata de un cociente entre dos varianzas (las que a su vez tienen distribución χ2).
Evaluación de la regresión
H0: ρ2 = 0
H1: ρ2 ˃ 0
SCβ: suma de cuadrados de la regresión, representa la variabilidad explicada por el modelo.SCT: suma de cuadrados total, representa la variabilidad total.
0,95
Fobs=
194,32Ftabla=
4,84
Fobs ˃ Ftabla → Rechazo H0 → ρ2 ˃
0Esto indica que una gran proporción (95%) de la variabilidad total es explicada por el modelo.
Evaluación de la regresiónAnálisis de los residuos
Es necesario tener en cuenta que las pruebas de bondad de ajuste sólo son válidas si se cumplen los supuestos del modelo de regresión:
• La esperanza de la distribución de los errores es cero• La varianza de la distribución de los errores es constante• Los errores son variables aleatorias normales e
independientes
Recordemos el modelo
Estos supuestos, referidos al término de error εi , pueden
resumirse de la siguiente forma:
Para comprobarlos es necesario estudiar los residuos obtenidos al realizar el análisis de regresión, una vez ajustada la recta a los datos observados.
) , 0 ( ID I N ~ 2 i
ii10i xy
Evaluación de la regresiónAnálisis de los residuosLos supuestos para los errores pueden evaluarse mediante interpretaciones gráficas.
Verificar la
homogeneidad de
varianzas: residuos vs.
predichos
Verificar la distribución
normal de los errores: Q-
Q plot
Verificar la independencia de los
errores: residuos vs. orden de
observación de los datos
Volvamos al ejemplo
Ejemplo de aplicaciónSe estudió la
relación que hay entre la cantidad de nitrógeno en el suelo (X) y la cantidad de nitrógeno en la planta (Y).
Se observa la tabla de datos originales, la recta ajustada en el gráfico de dispersión, el valor de R2 y la ecuación con los valores estimados para β0 y β1.
X: Nitrógeno en el suelo (ppm)
4,2 4,5 5 5,5 6,8 6,9 7 7,3 8 9 9,2 9,4
Y: Nitrógeno por planta (ppm) 1,3 1,5 1,6 1,7 1,8 1,8 1,9 2 2 2,1 2,2 2,3
3 4 5 6 7 8 9 100
0.5
1
1.5
2
2.5
f(x) = 0.158509454949944 x + 0.756284760845384R² = 0.951056729699666
Nitrógeno en el suelo (ppm)
Nit
rógeno p
or
pla
nta
(ppm
)
Se realizó el análisis de regresión lineal utilizando el software estadístico Infostat. Se observa a continuación el resultado arrojado por el software.
Ejemplo de aplicación
Ordenada al origen Pendient
e
p-valor para las pruebas de hipótesis de los parámetros del modelo
Estos valores de R2 indica que el modelo tiene gran valor predictivo: un 95% de variación en Y puede ser explicada por la variación en X.
Ejemplo de aplicación
ANÁLISIS DE LOS RESIDUOS
Para verificar la
distribución normal de
los errores se graficaron los residuos vs. los cuantiles de la distribución normal (gráfico Q-Q plot). Se observa que los puntos se alinean sobre la recta, esto indica que la distribución de los errores es normal.
p-valor para la prueba de hipótesis del parámetro ρ2
Para verificar la
independencia de los
errores se graficaron los
valores de residuos vs. el orden
de observación. También se
observa aleatoriedad en la
nube de puntos, lo que sugiere
ausencia de correlación en la
información suministrada.
Ejemplo de aplicaciónPara verificar la homogeneidad
de varianzas se graficaron los
valores de los residuos vs. los valores
predichos. Se comprueba el supuesto:
hay aleatoriedad en la distribución de
los puntos e igual cantidad de residuos
negativos y positivos.
Conclusiones
Se realizó un análisis de regresión lineal simple para detectar la relación existente entre la cantidad de N en el
suelo y la cantidad de N en plantas de trigo en ppm, en
parcelas de cultivo.
Se comprobó el cumplimiento de los supuestos relativos a
los errores del modelo, analizando los residuos obtenidos. El
valor de R2 obtenido indica que el modelo posee alto valor
predictivo, donde el 95% de la variación de Y = nitrógeno en
planta puede ser explicado por la variación en X = nitrógeno
en suelo. Finalmente, para realizar predicciones dentro del
sistema estudiado, puede utilizarse la ecuación de la recta
obtenida en el presente análisis, considerando que las
predicciones sólo serán válidas dentro del rango de valores en
estudio.
x16,076,0y
ii10i xy