SUCESIONES INFINITAS Y NOTACIÓN DE SUMATORIA

Definición: Una sucesión infinita es una función cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos

Si f es una sucesión infinita, entonces a cada entero positivo n corresponde un número real f(n). A estos números en el contradominio de f se les puede representar escribiendo

f(1), f(2), f(3), . . . , f(n). . .

Al número f(1) se le conoce como el primer término de la sucesión, a f(2) como el segundo término y así sucesivamente (n – ésimo término). Es común utilizar notación de subíndice en vez de notación funcional y escribir estos números como

Ejemplo: enunciar los cuatro primeros términos y el décimo término de la sucesión cuyo n-ésimo término es como sigue:

a)

b)

c)

d)

Soluciones:

a) Primeros cuatro términos ; décimo término

b) ;

c) ;

d) ;

(Algunas secuencias infinitas se describen enunciando el primer término junto

con una regla que muestra cómo obtener cualquier término a partir del

término anterior , siempre que . A una descripción de este tipo se le

llama definición recursiva (o recurrente) y se dice que la secuencia está definida recursivamente.)

Ejemplo: hallar los cuatro primeros términos y el n – ésimo término de la sucesión infinita que se define como:

La definición de la sucesión es recursiva, ya que el primer término está dado, y

además, siempre que se conozca un término , se puede encontrar el siguiente

término

y , para

Ejemplo: encontrar el cuarto término de los siguientes números 3, 6, 9,

Si se conocen unos cuantos términos de una sucesión infinita, resulta imposible predecir otros términos. No es posible proceder sin información adicional. La información importante es conocer el n – ésimo término de la sucesión en este

caso sería

A veces es necesario determinar la suma de muchos términos de una sucesión infinita. Para mayor facilidad al expresar tales sumas se utiliza la notación de sumatoria (sigma) que se describe a continuación. Dada una sucesión infinita

la suma se representa de la siguiente forma:

K se le llama índice se la sumatoria o variable de sumatoria

Los números 1 y m indican los valores extremos de la citada variable de sumatoria

Ejemplo: evaluar la siguiente sumatoria

Solución: para indicar la suma indicada simplemente se sustituye, sucesivamente, los enteros k por 1, 2, 3, 4 y obtenemos los siguientes.

Si n es un entero positivo, la suma de los n primeros términos de una sucesión

infinita se denota con . Por ejemplo, dada

La forma general

Ejemplo: determinar los cuatro primeros términos y el n – ésimo término de la sucesión de sumas parciales asociadas a la

sucesión 1, 2,3,…, n de enteros positivos.

Solución: los cuatro primeros términos de la sucesión de sumas parciales son

Vemos que

Teoremas

1.

2.

3.

Sucesiones aritméticas

Definición: Una sucesión aritmética es una sucesión cuyos términos consecutivos difieren en el mismo número real.

es una sucesión aritmética si y sólo si existe un número

real d tal que para todo entero positivo k. Al número d se le

llama diferencia común asociada con la sucesión aritmética.

ejemplo: demostrar que la sucesión 1, 4, 7, 10, …, 3n -2, … es aritmética y

determinar la diferencia común

Solución: si entonces para todo entero positivo k

por definición, la sucesión es aritmética con diferencia común de 3

n- ésimo término de una sucesión aritmética es la siguiente

Ejemplo: hallar el decimoquinto término da la sucesión aritmética cuyos tres

primeros términos son 20, 16.5 y 13

Solución la diferencia común es -3.5. Al sustituir

en la fórmula resulta

Sucesiones geométricas

Una sucesión es una sucesión geométrica si y sólo si existe un

número real tal que para todo entero positivo k.

razón común es el número r asociada a la sucesión geométrica. Entonces

es geométrica (con razón común r) si y sólo si

n – ésimo término de una sucesión geométrica