SUCESIONES

INECUACIONES Durante el desarrollo de este tema, nos daremos cuenta de los diferentes   métodos existentes para solucionar problemas de inecuaciones según estén en una variable o con valor absoluto. 

Inecuaciones en una variable Cualquier desigualdad que contenga una o más variables toma el carácter de inecuación.Resolverla consiste en encontrar los valores de la incógnita o de las incógnitas que satisfagan dicha inecuación.

 

 

 fíjese que los puntos para los cuales la expresión se hace igual a cero, separan a los números reales en tres subintervalos, el signo de cada factor en los subintervalos se mantiene constante y determina el signo del producto, como se puede apreciar en el siguiente cuadro: 

Entonces, el conjunto solución es:

Inecuación con valor absoluto Para resolver inecuaciones con valor absoluto es necesario aplicar las normas fundamentales que las rige:

 

 

SUCESIONES 

Sucesión 

 

Dada las sucesiones infinitas, averiguar las fórmulas del n-ésimo término: 

Sucesión 3, 6, 9, 12……          Por la definición de sucesión se tiene que:

           

  

Sucesiones creciente, constante y decreciente    Sean las sucesiones:

Observa, que en la primera sucesión a medida que aumenta el valor de n, aumenta el correspondiente término de la sucesión, a diferencia de la segunda sucesión, que a medida que aumenta el valor de n, disminuye el correspondiente término de la sucesión.Para el primer caso se tiene una función creciente, y para el segundo, función decreciente.

Ahora si por ejemplo, comparamos el término de la sucesión  con el término siguiente en la sucesión  , sabiendo que  . Si se calculan varios términos de la sucesión, se tiene que:

 En forma general cada término es igual al término siguiente, es decir, el valor es constante e igual a dos, por esto a,  , se le da el nombre de sucesión constante.Como norma general para los tres casos: 

 Comparemos ahora el término  , con el término siguiente: si se tiene que  =(- 1)n ·1/n. Para realizar la comparación, encontremos algunos términos de la sucesión:

= {- 1, ½, -1/3, ¼, -1/5,………}. En esta sucesión se da que a2 a3, a3 a4, es decir, que los valores de a son mayores o menores que el siguiente término en forma alternada según el signo. 

En general, se puede decir que cada término puede ser mayor o menor que el siguiente; este valor del sentido de la desigualdad es de comportamiento oscilante.En forma genérica se tiene que una sucesión   se puede decir que es oscilante si para todo n que pertenezca a los números naturales, se tiene que:

 Sucesiones acotadas

 Una sucesión de la forma  , se puede decir que es acotada superiormente si existe una constante N, de tal manera que  menor o igual a N, para todo n que pertenezca a los números Z+. 

Se nota que todos los términos van intercalados -, +, -, +, y el número 1 es mayor o igual que cualquier elemento de la sucesión, es decir, uno es una cota superior para la sucesión  . Veamos ahora la sucesión:

y hallemos algunos términos de la sucesión:

 Se nota que todos los términos son positivos, por consiguiente, el número cero es menor que cualquiera de los elementos de la sucesión, lo que significa que cero es una cota inferior para la sucesión  . De lo anterior se puede concluir que, una sucesión de la forma  , se puede decir que es acotada inferiormente si existe una constante N, de tal manera que   mayor o igual a N, para todo n que pertenezca a los números Z+. Una sucesión es simple acotada si l sn l menor o igual a N, para todo n en los números Z+. 1.4 LÍMITE DE SUCESIONES Si   es una sucesión constante y toma el valor real de k para todo n, se puede afirmar que el límite de la sucesión  , es igual al valor de k, y se puede escribir de la siguiente forma:

 Al representar gráficamente la sucesión  = 3 y evaluar el comportamiento de la gráfica cuando n adquiere valores cada vez mayores: 

 

Se ha representado en el plano cartesiano las parejas (1, 3), (2, 3)…….(n, 3), (n,  ) y se puede observar que   es una sucesión constante ya que se puede observar que para cualquier valor de n,  siempre es igual a 3. 

 

 Ahora representemos en el plano la sucesión

con las parejas ordenadas:

Los términos de  cada vez toman sucesivamente valores que se aproximan a cero, lo que quiere decir que para valores grandes de n y  , se aproximan cada vez más a cero, y se puede escribir que:

 

 Límite de sucesiones algebraicas o que se pueden simplificar

 Se debe tener presente las siguientes condiciones: 

 

 

 Del anterior ejemplo se cumple que:

para k racional positivo, se lleva el términogenérico a esta forma dividiendo tanto el numerador como el denominador entre  , teniendo en cuenta que k sea la mayor potencia del denominador y que no haya en el numerador una potencia mayor.  

Analizando que los términos de la expresión   se pueden hacer muy grandes en la medida de que n tome valores muy grandes, haciéndose esta cantidad un número no finito, es decir tiende a infinito. Cuando se presenta este caso, la expresión

no existe. 

 

Convergencia de una sucesión Un término  , converge a L, que se denota:

Si para cada e positivo dado existe un índice N, de forma que los demás términos siguientes al n-ésimo se encuentran a una distancia de L menor que la cantidad e. 

Sucesiones convergentes y divergentes Si los términos an y bn son sucesiones que convergen a P y Q respectivamente se puede afirmar entonces que: 

 

 

              Entonces cn = 2 

 

Otras consideraciones a tener en cuenta son: