CAPÍTULO V 31 SEGMENTOS PROPORCIONALES

Conocimientos previos:

Suponemos conocido que:

a) Razón o relación de dos números: es su cociente (ba

)

b) Proporción es la igualdad de dos razones: ba

= dc

; a y c =

antecedentes; b y d = consecuentes; a y d = extremos; b y c = medios.

c) Razón de dos segmentos es la razón de sus longitudes, expresadas en la misma unidad.

d) La razón de 2 segmentos no varía, si se cambia la uni dad de medida (Por ejemplo, 2 segmentos expresados en metros o en centímetros: en el 2º caso, sus medidas son 100 veces mayores, pero el cociente no varía).

e) En una proporción:

1) La suma (diferencia) de antecedentes, dividida por la suma (diferencia) de consecuentes, es igual a una cualqui era de las razones:

ba

= dc

dbca

++

dbca

−−

= ba

= dc

2) c

dca

ba +=

+;

cdc

aba −

=−

b

ba + =

ddc +

;

bba −

= d

dc −

3) dcdc

baba

+−

=+−

(Exprésese en palabras y demuéstrense).

f) E n una proporción se pueden permu tar los medios y los extremos:

bb

ba

= ⇒ db

ca

= ⇒ ac

bd

=

g) En una proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios.

h) En una serie de razones iguales, la suma de antecedentes dividida por la suma de consecuentes es igual a una cualquiera de las razones:

hg

fe

dc

ba ===

ba

hfdbgeca =

++++++

32

Teorema V-1 (Teorema de Thales de Mileto)

Si un sistema de paralelas corta a 2 rectas r y r ', determina sobre ellas

segmentos homólogos (correspondientes) proporcionales.

Explicación:

'''''' CAAC

CBBC

BAAB

==

Segmentos homólogos o correspondientes: en este caso, los limitados por las mismas paralelas: Homólogo de AB, A'B', etc. Dem.: Paso 1); Si dos segmentos de r son iguales, los 2 homólogos de r' también lo

son (hay corresponden cia en la igualdad).

Sea MN = NP (hipótesis). Demostraremos que M ' N ' = N ’ P ' (tesis).

3 3

Trazando por M y N paralelas a r ' obtenemos los triángulos MNN" y NPP"

que son congruentes (MN = N P , α y β iguales a α ’ y β

’ por,

correspondientes). Luego MN" = NP"; luego M' N' = N' P'

Paso 2 ) Si un segmento de r es igual a la suma de otros dos de r, el homólogo del

primero en r' es igual a la suma de los homólogos de los 2

os (hay correspondencia en la suma).

Hipótesis: ST + TU = UV; Tesis S'T' + T'U' = U'V'. Trazando paralelas a r' por S y por U, son iguales

SU" y UV"; luego ST" + T"U" = UV" o sea S' T' + T'U' = U'V' Paso 3) Habiendo correspo ndencia en la igualdad y en la suma, se puede

demostrar con absoluta gene ralidad que los segmento homólogos son proporciona les.

Aquí nos limitaremos a demostrarlo para el caso parti cular (suficiente en la práctica técnica) de que los segmentos tengan medid as racionales (es decir, al ser

medidos arroj an números racionales, como nm

siendo m y n enteros).

Sean las medidas de:

=

=

2

2

1

1

n

mCD

n

mAB

Poniéndoles común denominador: med. AB =

21

21

nnnm

med. CD =12

12

nnnm

Ello quiere decir que dividiendo la unidad de medida en n1n2partes iguales,

caben exactamente m1n2en AB y m2n1en CD. Suponiendo dividido AB en m1n2 partes, se trazan paralelas del sistema por

los ex t remos de cada una (en e l dibujo se han trazado 3) las cuales determinarán m1n2 partes también iguales en A'B'; se hace lo propio con CD, obteniendo m 2n1

partes iguales en C'D' (e iguales a las de A'B'). Tomando cada una de estas partes como unidad de longitud sobre r', la

medida de A'B' será m1n2 y la de C'D' será m2n1: o sea:

12

21

''''

nmnm

DCBA = razón que se cumple para cualquier unidad de longitud.

Por otra parte: ''''

21

21

DCBA

mnnm

CDAB ==

permutando los medios: '''' DC

CDBA

AB=

como queríamos demostrar. Teorema V-2 Toda paralela a un lado de un triángulo divide a los otros 2 en segmentos proporcionales.

Dem.: Sea un triángulo ABC y trazamos una paralela al lado BC que corta a los otros dos lados en B' y C’:

Suponemos trazada la paralela a BC que pasa por A. Aplicando al sistema de

3 paralelas el Teorema de Thales:

ABCCBB

ACAB ==

''

''

como queríamos demostrar.AC

Teorema V-3 (recíproco del anterior) Si una recta corta a 2 lados de un triángulo (o a sus prolongaciones) determinando segmentos proporcionales a ellos (y situados ambos al mismo lado del vértice común), es paralela al 3er. lado.

Dem.: Sea un triángulo ABC y una recta r que corta a dos lados en A' y C' tales que

ACAC

ABAA ''

= o sea '' AC

ACAAAB

= (hipótesis)

Trazamos r’ paralela a BC por A’; corta a AC en C’’ . En virtud del teorema V-3:

CCAC

BBAB

''''

''= o sea

''' ACAC

AAAB

=

35

ABxACAA

AC'

' = ; ABxACAA

AC'

'' =

siendo AC' = AC", C' debe coincidir con C" y por tanto r debe coincidir con r" y ser paralela a BC.

Triángulos Semejantes

Dos triángulos son semejantes cuando tienen los ángulos respectivamente iguales, y los lados homólogos (opuestos a ángulos iguales) proporcionales.

son semejantes si .

A = A ’; B = B ’; C = C ’

==== kcc

bb

aa

''' razón de semejanza

Teorema V-4 (Teorema fundamental de los triángulos semejantes): Toda paralela a un lado de un triángulo for ma, con los otros dos l a d o s (o con sus prolongaciones ) otro triángulo semejante al pri mero.

Dem.: Sea un triángulo ABC; trazamos r paralela a BC; corta a los lados en B'

y C'.

Decimos que ABC y A B 'C' son semejantes; porque: A es

igual por común

B = B ' por correspondientes; C = C ' por lo mismo.

'' ACAC

ABAB

= por teorema V - 2

36

Trazamos por C', C'B" paralela a AB.

ACBC

ACBB

='''

por Teorema V-2; ''' BB

BCACAC

= , BB'' = B'C'

luego '''' CB

BCACAC

ABAB

== : los lados son proporcionales.

Siendo los ángulos respectivamente iguales y los lados homólogos proporcionales, los triángulos son semejantes.

Teorema V - 5 Todo triángulo A'B'C' semejante a otro ABC es congruente con un triángulo formado por 2 lados de ABC y una paralela al 3er. lado.

Dem.: Tomemos sobre AB el punto B" de modo que AB" = A'B' Tracemos B"C" paralela a BC. El triángulo AB"C" es semejante a ABC.

37

A = A ' B '' = B = B '

C '' = C = C '

'''''''' CBBC

ACAC

ABAB

== por ser semejantes ABC y AB"C"

'''''' CBBC

CAAC

BAAB

== por ser semejantes ABC y A'B'C'

Dividiendo ordenadamente los tre s miembros de las igualdades anteriores, se obtiene:

''''''' CBB'C'

CAA'C'

AA'B'

== y como AB" = A'B'

''''''

''''

1CBCB

ACCA

== o sea A' C' = AC'' ; B'C' = B''C''

o sea AB"C" y A'B'C' tienen lados y ángulos respectivamente iguales y son, por tanto, congruentes. Casos de Semejanza de Triángulos

De acuerd o con la definición de triángulos semejantes, pa ra saber si un triángulo ABC es semejante a otro A'B'C', habría que averiguar si:

A = A '; B = B ’; C = C '; ''' c

cbb

aa

==

Sin embargo, no es necesario comprobar todas estas condi ciones, pues no son independientes; basta que comprobemos que se cumplen alguna s, para poder asegurar que también se cumplen las demás.

Las condiciones mínimas se ex presan por medio de los siguientes casos:

Teorema V -6 Dos triángulos son semejantes en los casos siguientes:

Caso 1) Cuando tienen 2 ángulos respectivamente iguales. Caso 2) Cuando tienen un ángulo respectivamente igual y los lados que lo

forman son proporcionales.

38

B '''

39 Caso 3) Cuando tienen los 3 lados respectivamente pro porcionales. Dem.: Sean ABC y A'B'C' los triángulos Caso 1) Debiendo sumar 180º los 3 ángulos, el 3er. ángulo es también

igual.

Tomando sobre AB la distancia AB" = A'B' y tra zando B "C" paralela a BC obtenemos AB"C" semejante a ABC y congruente con A'B'C'.

Luego A'B'C' es semejante a ABC.

Caso 2) sea A = A ' y '''' CA

ACBA

AB=

Trazando AB"C" de la misma forma que en el ca so anterior, AB"C" resulta congruente con A'B'C' y semejante a ABC.

Caso 3) Obtenemos A''B"C" congruente con A'B'C' (lados i guales).

Semejanza directa e inversa

Supongamos un triángulo ABC en el piso (plano) y un ob servador situado dentro de é l (con los pi es dentro del triángulo). Si mira sucesivamente a los vértices A, B y C puede ser que tenga que girar en sentido contrario al de las agujas del reloj (sentido positivo) o en el mismo sentido (sen tido negativo). Sea el mism o observador en un triángulo se mejante A'B'C'. Si para m irar a A', B' y C' debe girar en el mismo sentido que antes, la semejanza se llama directa. En caso contrario, se llama inversa.

Teorema V-7 Si un haz de rectas corta a dos paralelas, determina sobre ellas segmentos homólogos proporcionales.

(Haz de rectas e s el conjunto de rectas que pasan por un punto V, llamado vértice del haz).

Dem:

Queremos demostrar que ...''

...'''''' =

====CA

ACDC

CDCB

BCBA

AB

Los triángulos VAB y VA'B' son semejantes:

''' BAAB

VBVB

=

También lo son los VBC y VB'C'

''' CBBC

VBVB

=

igualando las dos proporciones (tienen una razón común):

'''' CBBC

BAAB

=

lo mismo podríamos seguir haciendo, en forma consecutiva, con los restantes triángulos.

40

41 ALGUNAS APLICACIONES 1) Dividir un segmento en n partes iguales.

Dado un segmento AB, desde A trazamos una recta r y sobre ella colocamos n

partes iguales arbitrarias. Un imos el extremo de la última, E, con B; y por los extremos de las restantes, trazamos paralelas a EB.

Fig. V -12

2) Dividir un segmento en 2 partes proporcionales a otros dos segmentos m y n. Sea AB el segmento a dividir

Por A y B se trazan dos s emirrectas paralelas y en sent ido contrario; sobre ellas

se colocan m y n; se unen los extremos, obteniendo el punto P. Por semejanza de triángulos:

yx

nm = ; x + y = AB

42 3) En una recta que contenga 2 puntos A y B, hallar puntos X tales que sus

distancias a A y B sean proporcionales a m y n

Por A se traza una semirrecta y se toma sobre ella m; por B se traza una

paralela a ella y se toma n en los dos semiplanos. Se unen los 2 puntos MN' y MN obteniendo X 1 (interior a AB) y X2 (exterior a AB) que cumplen.

Puede demostrarse que ningún otro punto, interior ni exterior, puede cumplir la

condición propuesta:

111 ; AX

NMAB

nBX

mAX

+== = m ;

nmAB+

cualqu ier, otro punto interior que cumpliera X '1, daría que su distancia a A es:

AX' = m nm

AB+

igual; luego coincidiría con X1.

Demostración análoga se hace con X

2

Luego: los 2 puntos obtenidos son los únicos que cumplen. Nota: La solución X2 se pierde cuando m = n, pues en este caso MN es paralela a

AB. En lenguaje matemático, puede decirse que para este caso, "X 2 está en el infinito".

4) Algunos teoremas muy útiles son sencillas consecuencia de lo anterior. Por ejemplo:

Teorema V - 8 El segmento que une los puntos medios de los lados de un

triángulo, es paralelo al tercer lado e igual a su mitad. Dem : porque forma con la s mitades de dos lados un triángulo

semejante , de razón de semejanza igual a 1/2.

Teorema V-9 Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto llamado

baricentro (que significa centro de grave dad), situado en cada mediana a 31

de

distancia de la base (o lado) y a 32

del vértice.

Dem : en el triángulo ABC, las medianas de A y B se cortan en G.

Uniendo M B con MA, MAMB es paralelo a AB e igual a su mitad.

Los triángulos AGB y MAGMB son pues semejantes:

2===ABBA GM

GAGMGB

MMAB

o sea GB = 2 x GMB; GA = 2 x GM A se cortan (estas dos m edianas) en un punto a la 3a. parte de la base.

Como ese punto es único para AM A, al repetir el proceso anterior para la mediana de B y la de C, se encontrará igualmente que esta última pasa también por G y

que está a 31

de su propia base.

43

44 Teorema V - 10 En dos triángulos semejantes, la razón de semejanza de los lados es también la razón que tienen entre sí:

a) las alturas homólogas, b) las medianas homólogas, c) las bisectrices homólogas, d) lo s radios de las circunferencias inscrita y circunsc rita ' e) los perímetros. Dem: caso a)

Los triángulos AHC y A ' H ' C ' son semejantes, luego ah

habb

''=

De forma análoga se demuestran los casos b),c) y d) Caso b )

2p = a + b + c perímetros 2p' = a'+ b'+ c'

)('2

2''''

lqqdpp

cbacba

b c'b c

a'a =

++++== =

EJERCICIOS 45 CAPÍTULO V

Ejercicios resueltos

V -1. Construir un triángulo conociendo A = 60 º, a, cb

= 2.

Resolución: Podemos construir un triángulo semejante al buscado A'B'C'', que tenga c' = 1 y b' = 2; luego lo ampliamos o reducimos para que coincida el la do a con el dato:

para ampli arlo, tomamos B'c = a y por el extremo C trazamos CA paralela a C'A'. V-2. Demostrar que el producto de los dos segmentos en que cada altura queda dividida

por el ortocentro, es igual en las tres alturas.

46 Los triángulos HB

OA y HA OB son semejantes p or tener iguales los ángulos rectos

(en HA y HB), y los ángulos en O (opues tos por el vértice): Luego:

ABOA

OHOH

A

B = ; OB x OH B = OA x OH A lqqd.

Construir un triángulo conociendo a, mb y mc. Resolución: Suponiendo el problema resuelto:

Observamos que el triángulo GBC tiene lados conocidos (a, m32

b, y cm

32

)

y por tanto podemos construirlo. Después, prolongando CG y BG hasta completar las respectivas medianas, hallaremos N y P que unidos con B y C darán los restantes lados del triángulo. Aplicación: Datos:

Calculemos gráficamente los 2/3 de las medianas:

Construimos BCG y com pletamos el triángulo :

Ejercicios propuestos V-4 Construir un triángulo conociendo a, m a y mb. V - 5 Construir un triángulo conocie ndo a, y sabiendo que es semejante a un triángulo

dado.

4 7

48

V - 6. Construir un triángulo conociendo A ; B y a + b + c = 2p (perímetro).

(Sugerencia: construya un tri ángulo semejante al buscado, como triángulo auxiliar).

V - 7 Construir un triángulo conociendo A, B y a + b - c.

V - 8. Construir un triángulo conociendo h a, ma y b.

V - 9. Hallar gráficamente 2 segmentos x e y que cumplan:

x + y = AB (segmento dado).

35=

yx

V -10. Hallar gráficamente 2 segmentos x e y que cumplan:

x - y = AB (segmento dado)

35

=yx

(O sea, hallar 2 segmentos conociendo su diferencia y su razón).

V -11. En un triángulo ABC, los lados miden: Q = 21 cm; b = 28 cm y c = 3 5 cm. Se trazan las bisectrices interior y exterior de C, las cuales cortan al lado opuesto en D y D ' Hallar la distancia DD'.

(R: DD' = 120 cm)

V-12.Dado un cuadrilátero cualquiera ABCD, se toman los puntos medios de los lados y se unen consecutivamente. ¿Qué figura se obtiene y por qué?

(R.: un paralelogramo).