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tr-
$¡¿s dese ubridorestLobaehevsky y Bolyai
Qué frustración debe ser descubrir un nuevo rnundo y ve-
que nadie quiere creer tal descubrimiento, a pesar de realiza,enorrnes esfuerzos para cornunicarlo.
tr-as carreras de tr-obachevsky y Bolyai, pioneros en ias geo-rnetrías no euclídeas, constituyen la prueba de la dificultacque las nuevas ideas tienen para introducirse a través de i:inercia de la mente coiectiva del homb¡e. Con todo, es po.sible que si Lobachevsky y tsolyai hubieran surgido en ic,centros matemáticos del momento, en lugar de en rincone.como los de Kazan, en Rusia, y 1o que hoy es Rumania i'en aquel tiempo era F{ungría) tal vez el reconocimiento de
las nuevas ideas hubiese llegado mucho más rápidamente
Lobachevsk¡,
Nikolay Ivanovich Lobachevsky nació en Gorky, Rusia, en1792. Su padre era un modesto funciona¡io. A los 14 añosfue enviado a la Universidad de Kazan, donde habría depasar la mayor parte de su vida. A ios 19 años recibió eltítulo para enseñar. actividad que realizó allí misrno a partirde 1816, como asistente. y desde 1822 como profesor or-dinario. Debió poseer un extraordinario talento administra-tivo, pues desempeñó cargos importantes y llegó a ser rectorde la {Jniversidad desde 1827 a 1846.
Mención especial merecen sus profundos estudios sobre losfundamentos de la Geometría. En 1826 anunció ya, públi-camente, la posibilidad de construir una geometría no eu-clídea y en 1829 publicó su trabajo con detalle..., pero enruso: sus colegas msos no entendieron nada y sus colegaseuropeos no lo pudieron leer.
Pero Lobachevsky no se desanimó. Siguió anunciando lanueva geometía, en ruso (1835), en.francés (1837) y en
alemán (1840); y en 1855 escribió aún otra obra, a la vez
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Georfie$ias
fio eúolideas
Se¡ senf¡'do
El quinto postuladc de Euclides se puede proponer de unaforma más sencilla que la que usó é1 mismo:
Por un punto P exterior a una recte r del plano sólo sepueCe írazar una recta paralela a ella. Es decir, hay unaúnica recta que pase por P y que no corte a r. Tal vez,:n esta forma, el postulado hubiese llamado menos la aten-;rón -' enccntrado menos resistencia.
La: geometrías no euclídeas se pueden construir aceptando¡odas las otras convenciones de Euclides (los otros postu-iados) y negando éste, lo que se puede hacer de dos maneras:
(l) Por P no se puede ffazar recta {tlguna que no corteal.
(2) For P se pueden trazar infinitas rectas que no cartenar.
Construyendo sobre tales bases, se edifican las nuevas geo-metrías. que son tan consistentes como la euclídea, es decir,que podemos proceder con ellas con la misma confianza deque no aparecerá una contradicción, que con la geometríaeuclídea.
Esto significa que al tratar de matematizar el contenido in-iuitilo cie nuestra imaginagión espacial, lo podemos hacerde va¡ias maneras diferentes, tan válidas unas como otrasdescie el punto de vista lógico. Luego, al tratar de explorarmatemáticamente la realidad exterior, debemos escoger laforma cie geometría que mejor se adapte a eila.
{1 fin ¡r al cabo, la matemática es una producción del espírituhumano que intenta adaptarse, fundamental y directamente,a los contenidos de la propia conciencia más que a unarealiciad externa. De hecho, para el tratamiento matemáticode ciertos aspectos de la astronornía y' de la física teóriea,las geometrías no euclídeas juegan un papel importante.
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:n ruso y en francés. Gauss hizo un gran elogio del trabajo:e Lobachev$ky, pero nadie más se hizo eco de él y pasó:esapercibido.
-¿s nuevas geometrías hubieron de esperar hasta que Rie-,.:n (1866), Beltrami (1868) y Klein (1871) probaron queÉ:-:n exactamente el mismo derecho a la existencia que la: ---,Jea y expl,oraron su posible utilidad.
- - i:oria de János Bolyai está aún más llena de frustración.
.'r :".::e. que además de ser matemático y compañero de:1 rL:- - ! de Gauss, era poeta, dramaturgo y músico, le formó* r;-=:ráticas a fondo, alcanzando a los 13 años un dominio¡L¡,r:.: lel cálculo infinitesimal y la mecánica racional. Já-rr , :-t ul magnífico violinista y un experto en esgrima.i: n::.: , ':osnisría en Viena y trabajó como ingeniero duranteriLtirl-t,-: áos.
uu r¡¡r-:. a lo largo de su vida, había pensado mucho sobre:t ¡lr.r,nr-, srsrulado de Euclides. La sensación de que habíaumr:r.¿,. :-:hísimo tiempo en ellos le llevó a recomendar ailltrr ':1. I :-tr :o se metiese con tales problemas, lo cual, como$ r'ñrriii.r ::3 ocufTa, tuvo e1 efecto contrario.
- =- z -lbro lll. Euclides
ttii ,iuir : :1,-r. Janos estaba converrcido de que e/flfllilürillürsu! :' .e podía demostrar a partir de los otros,r!ilLu J,r¡r ri =--ía estado intentando hacer durante 20
',*r ::; -:' a su padre un trabajo: en él construía
l{"r1i:flrdÍ:-i :egando e1 quinto postulado. Su padre1lm'"o .- --nigo, y éste le contestó diciéndole
:",lrlm^,i :::t. p€ro que no lo podía alabar de-¡ur ¡-¿i que é1 había desarrollado para sí
,tutrmr.-
.¡im;r :s rorrible. Perdió todo el interés por; :r volvió a publicar nada. De todas
r¡¡: ¡':ii¡ado como apéndice en un libro*; - ,.i¡. al uso del tiempo en Hungría,
Los escarabaios amorosos
Sobre los vértices de una mesa cuadrada, ABCD, de 50 cmde lado, colocamos cuatro escarabajos, o mejor dicho, dosescarabajos, A y C, ydosescarabajas, B y D. Elescarabajo A está enamorado de la escarabaja B; ésta,
del escarabajo C; éste, de la escarabaja D ; y ésta, delescarabajo A. Todos quieren ir al encuentro de su amadoy comienzan a caminar en el mismo instante y a una misma
velocidad de l0 cm por minuto y siempre en la dirección en
que se encuentre su amado (o amada):
¿Qué curva te parecen que siguen? ¿Se encontrarán todos almismo tiempo? ¿Dónde? ¿Al cabo de cuánto tiempo?
Curvas de este tipo se llaman curvas de persecución. Elcálculo diferencial es el instrumento para hallarlas de formano muy complicada. En este caso es claro, por simetría, quetodos los escarabajos se encontrarán en el centro de la mesaal mismo tiempo.
También puede uno tazonar, de forma curiosa, para ver eltiempo que tardarán: suponemos que están todos en un papelsobre la mesa. Sometemos el papel a un movimiento tal queel escarabajo A, aunque camine sobre el papel, quede enel mismo sitio sobre la mesa. Es claro entonces que D, quesiempre se dirige, sobre el papel, hacia A, sigue, con res-pecto a la mesa, la línea recta AD. Como AD mide 50 cmy la velocidad de D es de 10 cm/min, resulta que encuentraa A al cabo de 5 minutos.
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trlLUGARES GEOMÉTNICOS
Resuelve a tu aire
Se quiere instalar un gran depósito de propano para abastecer auna factoría industrial y a dos urbanizaciones.
Han de cumplirse las siguientes condiciones: conviene que el de-pósito esté lo más cerca posible de la factoría, pero por razonesde seguridad, no puede estar a menos de 600 m de un horno quehay en ella. Por tanto habrá de estar, exactamente, a 600 m dehorno, H. Además, se desea que esté a la misma distancia de Aque de B.
Para resolverlo, pasa a tu cuaderno los puntos A, B y H, y localizaotro punto, e que cumpla las siguientes condiciones:
1." La distancia de P a H ha de ser 6 cm.
2.^ P ha de estar a la misma distancia de A que de 8.
A continuación te damos algunas orientaciones, pero es preferibleque no las leas hasta que te hayas esforzado en resolverlo por tucuenta.
tJna pista: lntenta localizar todos los puntos que cumplen la pri-mera condición. Es una curva muy conocida. Después, localizatodos los puntos que cumplen la segunda condición, que tambiénforman una línea muy común. Donde se corten las dos líneas, secumplirán ambas condicionés. Hay dos puntos de corte. ¿Con cuátnos quedamos?
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tr Lugar geométrico
.' .- : - -': aata lrazar un parterre^. , -:' - .,a,na estaca en el suelo,
jr : i : --. :rerdade 3 m delarga,
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. ."- - : - -: ':cc'r'e el otro extremo de
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, .='a ados están a 3 m de::'ran, por tanto, una cir- ':
: r: cenrro la estaca y radio
:: - ' - - =': nero se vale del siguien-| *:i: :: :!a'.tazil un parterre elíp-
:,!1 !::::::acasa 3m dedistanCia,ittir : i :: --a cuerdade 5m ypro-iHtrE : : -: =- el dibujO.
La circunferencia y la elipse aparecen como conjunto de puntosque cumplen una cierta propiedad. ¿Se podrán definir otras lí-neas conocidas también mediante propiedades comunes atodossus puntos?
Se llama lugar geométrico (L. G.) a un conjunto de puntos quecumplen una ciefta propiedad. Por ejemplo, la circunferenc¡a decentro O y radio r es el lugar geométrico (L.G.) de los puntos Pcuyadistanciaa O es r (OP:0.
Observa que para definir un lugar geométrico se requieren algunoselementos de partida que, en el caso de la circunferencia, han sidoel centro y el radio.
Vamos a definir varios lugares geométricos más. En todos ellos sete sugiere, en primer lugar, intentar definir por tu cuenta antes demirar la definición que aquídamos, pues probablemente la conoz-cas. Si no es así, lee atentamente la definición, señala unos cuantospuntos que la verifiquen y convéncete de que forman la línea quese te propone.
Mediatriz de un segmento
Dados dos puntos A y B, el L.G.de los puntos que equidistan deellos es una recta perpendicular alsegmento AB en su punto medio.
Los puntos, P, del lugar geomé-trico cumplen que PA : PB.
Bisectriz de un ángulo
Dadas dos rectas, r y s, el L.G.de los puntos que equidistan deellas está formado por dos -rectasperpendiculares entre sí, que sonlas bisectrices de los dos ángulosqueforman r y s.
dist (P, r) : dist (P, s)
Elipse
Dados dos puntos, F y F', llamados focos, y una cierta distanciafija, K, el L.G. de los puntos p, cuyasuma de distancias a F ya F' es igual a K, es una elipse:
PF+ PF' : K
Hipérbola
Dado_s dos puntos, F y^F,, focos, y una cierta distancia tija, K.
"] L,c de tos puntos, p, cuya difeiencia de distanciái á F'V,F' (o a F' y a F) es igual a K se ltama hipérbota:
ler- er'1 : ¡q
Parábola
Dados un punto f, foco, y una recta d, diectriz, el L.G. de lospuntos que equidistan de F y de d se llama parábola:
PF: dist (p, d)
Resolución del problema inicial (Besuetve a tu aire)
La primera condición da rugar a una circunferencia de centro H yradio 6 cm según ra escara (es decir, cada punto de esa circun-ferencia cumple ra primera condición). La segunda condición dalugar a una recta: la mediatriz del segmento AB.
Los puntos de intersección de ambas rineas son ros únicos quecumplen ambas condiciones. Hay, pues, dos posibles lug"res páiala localización der depósito oe própano, pero uno de eilos estánotablemente más cerca de ras urbanizaiiones. er"firerás éiu,aunque no se nos haya hablado de tal condición,
.:...:1' Dados dos puntos A y B, ¿cuár es er rugar geométrico de ros puntos p derplano tales que ra suma de ros cuadradós oé ras distancias a A y a B es
constante?
I Los puntos P del lugar geométrico deben cumprir: pA' + pBz = K.P
80
r Llamamos M al punto medio del segmenlo AB y o al ángulo e¡vtp
I En los triángulos APM y MPB aplicamos el teorema del coseno:
PA2 _ AM" + PM" _ 2 AM PM cosa
PBz : MB" + pMz + 2 MB pM coso
Al ser M el punto medio, AM: MB: d2'
¡ Sumamos los cuadrados de las distancias PA y pB:
pA2 + pB2 : ,(+)" r2pM2 = K
y por tanto
PM': 2K-d' : constante4
lo cual significa que la distancia desde cualquier punto, P, que cumple lacondición inicial, al punto M es siempre constante.
¿Qué figura geométrica conocida verifica esta condición?
El lugar geométrico es una cir-cunferencia de centro M, puntomedio de AB, y radio PM : r,
donde
^ 2K- d2
4
d:4:K--26-r=3lntenta resolver, sin fijarte en el ejemplo, el mismo problema para el casoparticular en el que AB : 4 y K: 26.
2. Dados dos puntos, Ay B, ¿cuál es el lugar geométrico de los puntos P delplano cuya diferencia de cuadrados de las distancias a Ay B es constante?
Comprueba que se trata de una recta perpendicular al segmenlo AB.
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1. Construye una elipse por el método del jardinero explicado en la pági-
na79, utilizando dos chinchetas y un hilo.
3. En la trama de circunferencias concéntricas están señalados ountos de
s.
Como ves, verifican que PF* PF' es constante. Construye una elipsecon PF + PF' : 19 cm y otra con PF + PF' : 23 cm.
.
Construye, con la trama anterior, la hipérbola formada por los puntos Pque ueri?ican: IPF ' PF'1 : 5. (Usando el valor absoluto dibujarás las
dos ramas de la hipérbola.)
Dibuja una trama de circunferencias concéntricas y rectas paralelas comola del dibujo. Construye sobre ella la parábola formada por los puntos
P,que equidistan del punto F y de la recta d.
¿Cnál es el lugar géométrico de los puntos del plano que equidistan de
dos rectas paralelas?
¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a
una recta r es constante?
Halla el lugar geométrico de los puntos de una esfera que equidistan de
dospuntosdiamétralmentéopues.tosde:talesfera'..,,,,' ,,
¿Cuál es el lugar geométrico de los püntos del espácio:que equidistande uno fijo, llamado centro?
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En,fa trama de circunferencias concéntricas están señalados puntos de
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irfliliri'lrr-: :. - -'ángu1o de 90".
-- rs segmentos--- a las dos cir-
- r-a es
Dos lugares geométricos importantes
Dado un segmento AB y un ángulo a, ¿cuál es el L.G. de lospuntos P tales que APB: a?
Dadas dos circunferencias, ¿cuál es el L.G. de los puntos Pdesde los cuales los segmentos tangentes a las circunferenciasson de la misma longitud?
Una importante propiedad
Se ha señalado un arco lB demedida angular o (se "ve"desde el centro de la circunfe-rencia bajo un ángulo o ).
El resto de la circunferencia for-ma otro arco que llamaremos
opuesto de AB. Pues bien,cualquiera que sea el punto Psituado sobre el arco opuesto de48, cumple que:
La demostración puedes buscarla en el libro del curso pasado, peropuedes hacerla tú mismo dando los siguientes pasos:
r Si el punto P está en la pro-longación de uno de los ra-dios, OA u OB, teniendo encuenta que el triángulo POBes^isósceles y que el ánguloPOB: 180" - o, se prueba
que
¡ Si P está en cualquier otrolugar de la óircunferencia, tra-zamos la recta PO.
Se tiene, por el caso anterior:
ApB:8,+F,:Q1 A2 Q1+02
T-222
^aAPB: -2
^oAPB: -.2
83
P.;
La propiedad anterior tiene la siguiente consecuencia inmediata:
P^-P,., '
BB
dado un segmento AB, el L.Gde los puntos desde los cualesse ve AB bajo un ángulo fijo,
F, se llama arco capaz. Estáformado por dos arcos de cir-cunferencia y normalmente bas-ta con dar uno de ellos.
p
P
Observa los pasos que hay que dar para construir el arco capaz,dados el segmento AB y el ángulo B:
se traza por A una recta r, queformeconABángulo 90' - B.Se traza la mediatriz, s, delsegmento AB. El punto O, donde se cofian r y s, es el centro del arco capaz.
¡i.i, :.,1 i..::;
...1-1 - .
12 . ._..-'..
Tenemos el punto P y la circunferencia, C.f razamos las rectasr., b y r", cada una de las cuales corta a la circunferencia en los
puntos, A.,8,, A", B, Y A",8". Observa los siguientes resultados(al medir tomamos como unidad 1 cm):
PA, : 9,2 , PB' : 4,9 ' PA1 ' Pq: 32'8
PAr: 9,1 i PB": 3,6 ; PA2' PB2: 32,76
PA": 6,2 , P4 : 5,3 ; PA3' PBs: 32'86
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B,f€ - :
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Ahora estás en condiciones de resol-
ver e1 prmer problema de la columna
inicra de este apartado Aplicalo a Ia
construcción de un tr ángulo del que
CO NOC ES
adoa:8cm
a,iura Sobre a h.: 6 Cm
ángu1o opuesto a lado a. I : OO'
84
,nlo AB, el L.Glesde los cualesr un ángulo fip,co capaz, Emcs arcos de cpormalmente bas"de ellos.
ir el arco
una recta rngulo 90' -ediatriz, s,
El punto O,
ys,eselpaz.
'-amos lasrnferencia€ntes
= 32.8
:32,76: 32.86
PA, PB,:'-eS.OUe
-: -' PA, PB,
:r¡ductos son suficientemente próximos como para suponeres Siferencias se deben a errores en la medida. Hacemos,
e hipótesis de que el producto PA,. PB, es constante,que sea la recta que pasa por P y corta a C. La de-del hecho puedes hacerla tú mismo dando los siguientes
'. y rz son dos rectas cualesquiera.
A. y A, son iguales. (¿Por qué?)
A,BzPy ArBrP son semejantes. (¿Por qué?)
rA-'Pq : PAz'PBz
= groducto PA. PB es el mismo para dos rectas cua-¡ Dor tanto, constante para cualquier recta. A ese pro-e_ ama potencia del punto P respecto de la circun-
3 es interior a la circunferencia, consideramos que los2A y PB tienen distinto signo y, por tanto, la potencia
ss -€gativa.
rore la circunferencia, una de las dos longitudes esW E:to. la potencia es nula.
siguientes son importantes y muy fáciles de
u¡tc dista d del centro de una circunferencia C de--; e sotencia de P a C es d' - r". (Observa que la
= ¡d - r).(d - r).)
ze P a C es igual al cuadrado de la tangente de
Potencia : PT'
¡-,e -el triángulo OIP es rectángulo y, por tanto, )- ".t
je radical
El L G de los puntos cuya diferenciade cuadrados de distancias a dospuntos f jos es constante. es rna recra
perpendicular al segmento determi-
nado por los dos puntos,
Dadas dos circunferencias, C, y Cr, el L.G. de los puntos qr:tienen igual potencia respecto a ambas es una recta llamada e¡€
radical de las dos circunferencias. Veámoslo:
Potencia de P a Cr : Potencia de P a C,
¿i-,?: ai-,?Por tanto
a| - ¿'r: rl - ri = constante
Vemos, pues, que el punto P está en un lugar para el cual la.diferencias de cuadrados de distancias a los centros de las circur-ferencias, A, y Or, es una cantidad constante K: \ - 12 y est:lugar ya sabemos que es una recta perpendicular al segment:O,O,
Se nos dice que PT, : PT, por tanto Pff : PTi. Es decir, e
potencia de P a ambas circunferencias coincide. Eso quiere dec'que los puntos P que cumplen esta condición están en el ejeradical de las dos circunferencias.
O d2
l. ¿Cómo lrazar el eje radical de dos circunferencias secantes?
2.
Los puntos P y Q, intersección de las dos circunferencias, pefienecen aleje radical, pues tienen potencia cero respecto a ambas circunferencias.
El eje radical es la recta PQ.
¿Cómo trazar el eje radical de dos circunferencias tangentes?
T a\o, o"
Ei eje radical es perpendicular a la recta que une los centros y pasa por elpunto f de tangencia (la potencia de f a ambas circunferencias es nula).
le los puntos cxrecta llamada ep
PaCz
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3. ¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos de igual potencia respecto a trescircunferencias con los centros no alineados?
Trazamos los ejes radicales de cada dos de ellas. Éstos se codan en unpunto C que es el único punto de igual potencia respecto a las tres circun-ferencias. Se llama centro radical.
¿Cómo lrazar el eje radical de dos circunferencias exteriores?
Paralrazarlo, dibujamos una circunferencia auxiliar que corte a las dos cir-cunferencias y señalamos el centro radical C de las tres circunferencias.
El eje radical buscado pasa por el centro radical y es ortogonal a la rectaque une los centros de las dos circunferencias dadas.
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3.o
Un ejemplo: mediatriz de un segmento
Vamos a obtener analíticamente el L.G. de los puntos que equi-distan de A(-2,5) y de B(6,1):
1.' Llamámos P(x, y) aun punto genérico del L.G. buscado.
2.o lmponemos a P la condición exigida:
PA: PB
lU+2)'+(y-5)':V (x-6)'+(y-1)'
Simplificamos la expresión anterior e intentamos reconocer laecuación de alguna línea conocida:
x'+4x+4+y'-10y+25::x2-12x+36+y'-2y+1
16x-8Y -8: O
2x- Y- 1 : 0
Se trata de una recta.
lntentemos relacionar la recta con los datos del problema:
el segmento inicial AB tiene pendiente
su punto medio ", (- I t s j+l) : (2.3)\221
La recta obtenida, 2x - y - 1 : 0, pasa por (2,3) y supendiente es 2, por lo que es perpendicular al segmento ABen su punto medio: se trata de su mediatriz.
Ejercicio: Obtén el lugar geométrico de los puntos que equidistande A(-3,-5) y de B(7,1) y comprueba que es una recta per-pendicular a AB en su punto medio.
-llLll
4,o
1-5 -4 1
6+2 I 2
¿Qué características debe tener una ecuación para representaruna circunferencia?
La obtención y caracterización de lugares geométricos por mé-todos analíticos, ¿es más o menos cómoda y eficaz que por
métodos de geometría sintética?
¡ cuales se
89
Antes de la teoría, practica conun caso concreto:Llama P(x y)a un punto genérico.
La condición-es:
distl(x,y), (3 -1)l = 4
Si suprimes la raí2, desarrollas, etc.,debes iiegar a la ecuación
x'+y'-6x-zy-6=0
Reflexionemos
A la vista de los resultados obtenidos hemos podido llegar a laconclusión de que el L.G. de.los puntos que equidistan de losextremos de un segmento, es la mediatriz del mismo, porque, pre-viamente, conocíamos lo suficiente sobre ecuaciones de rectascomo para caraclerizar completamente la ecuación obtenida.
Sin embargo, el problema del margen ha quedado incompleto por-que carecíamos de conocimientos sobre las peculiaridades anall-ticas de la circunferencia.
La geometría analítica nos va a permitir, en general, obtener corcomodidad la ecuación de lugares geométricos buscados. Lo difícserá reconocer qué tipo de línea representa esa ecuación.
Para estar preparados y poder resolver estas cuestiones, debemoshacer un estudio analítico profundo de algunas curvas. En lo quequeda de este apartado, lo haremos con la circunferencia y, en etema siguiente, estudiaremos las demás cónicas: elipse, hipérbolay parábola.
Estudio analítico de la circunferencia
Antes de comenzar a hacer un estudio general, intenta obtenerla ecuación de la circunferencia de centro (3,-1) y radio 4. Enel margen se te dan algunas orientaciones.
Para fijar la circunferencia, hemos de dar su centro O:(a, b) y s-radio r. Un punto genérico P(x, y) cumplirá la condición:
Es decir:
PO: r
\/Tx-df +Uq: r
Elevando al cuadrado, simplificando y ordenando términos, sellega a que
xl + y' - 2ax- 2by+ a' + b' * r' : O
es decir, una ecuación de segundo grado en x e y.
Cualquier ecuación de segundo grado en x e y, ¿representauna circunferencia? Observando la de arriba vemos que no: esuna ecuación con ciertas peculiaridades. Veámoslas.
l. El coeficiente de x' e y' es 1. (Si tuvieran ambos términos emismo coeficiente, podríamos dividir entre él y conseguir queambos tengan coeficiente 1.)
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lneral, obtener cc'-
buscados. Lo difici
a ecuación.
¡estiones, debernmi curvas. En lo c-m
;unferencia Y, en e
rs: elipse, hiPérbom
Ll. intenta obtene"
-1) y radio 4. E-
>enlro O:(a, b/ I uuuir
r la condiciÓn:
ando términos. s¡
-0ey.
e y, ¿represenffivemos que nc s
ámoslas.
'an ambos tér-
rro existe término en xy. Por ejemplo, las ecuaciones
x"+y'-2x:o3x'+3y'-6x+y-11:o
:*:,¡rían ser ecuaciones de circunferencias, pues cumplen las:cs condiciones anteriores, mientras que
x"-y' +6x-4y-11: O
2x"-3y' *x: o
x'+y'-3xy+2x-y-11 - 0
rr: :,-eden serlo: las dos primeras porque x' e y' no tienen{i - s?ro coeficiente; la tercera, porque tiene término en xy.
rer: 'ay una condición más: si la ecuación
x'+y'+Ax+By+C:o
ltitr¡i1.: -.a circunferencia, su centro y su radio serían:
2'
e.Trr a-::, ha de cumplirse que
a2*ó- c>0..r4
FUnto a una circunferencia
:e un punto P(a, H a una circunferencia que tiene+- 3 a, b,) y su radio es r, es:
::l*-:ra : d' - f' : PO' - r' :: (o- al"+ (B*b)'-r'
qÉ"-:aio desustituir x e y por o y B, respectivamente,:n :e la circunferencia.
Er"-3 a vrene dada por su ecuación
,rt - y'+ Ax+ By+ C :O
:e = =. B) a ella será, pues,
q'+B'+Aa+BB+C
(4J',. (+)',- "B\2)t r:
a.+).(,.+) =
=(L)' - (9'-.x'+ Ax+(|)'**tr- (+)' =
=er.(!J-,x'+ y'+ Ax+ By+ C = 0
'e él y consegJr"'
Centro de la circunferencia C,:
o. (a :¿l\2 2l
Centro de la circunferencia Cr:
o" t!- -8 )2 zlPendiente del segmento que uneloscentros O y O,
BB__+_2 2 B_B
{ A = a-a' = n__+_
22
Pendiente del eje radical:
1 A- A'm' B- B
Luego el eje radical es perpendicular ala lÍnea que une los centros
Eje radical rle ¡Jsr, $iirailnfereRc'as
Tenemos dos circunferencias de ecuaciones
C, : x, + y, + Ax+ By* C : 0
C, : x, + y, + A'x+ B,y* C,= O
Un punto P(x, y) del eje radicat cumple la condición:Potenciade P a e : potenciade p a C"
x'+ y'+ Ax+ By+ C: x, + y" + A,x+ B,y+ C,
Simplificando:
(A- A,)x + (B_ B,)y + C_ C, : o(Puedes comprobar que es perpendicular a la línea que unecentros de ambas circunferencias.)
si las dos circunferencias fuesen secantes y quisieras hailarpuntos de intersección, tendrías que resolver el sistema:C.,:x'+yr+Ax+By+C:0
IC, : x" + y, + A'x+ B,y+ C, = O i
lgualando ambas ecuaciones., obtendrías, precisamente, el ejedical; luego el eje radical es la ,".t" qr"'j"sa por tos dos pun
T
t:de intersección de las circunferencias
¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos p tales que la razón dedistanctasa dos puntos dados A(3,5) y A¡2i.,+¡ es constante (por ejempto, 2)?
El punto P debe verificar:
PA
E=2-'PA:2'PB\R:f +Trtry : 2 \,fx+zf + U4f(x-3)'+ (y-S)" : 4[(x+2), + (y-4),]3x'+3y'+22x-22y*46: o
El lugar geométrico es una circunferencia.
1A
frÉ'ttfl'
Los matemáticos antiguos, y en particular el geómetra griegoPappus, del siglo IV, exploraron y detectaron métodos de
pensamiento, caminos por los que el matemático puede acer-carse de modo sistemático a la resolución de los problemasque le atraen.
El método utilizado para calcular lugares geométricos, quehas visto en este bloque, es uno de los más interesantes ymás utilizados en geometría. La estrategia que se utiliza es
común también a la que se utiliza en la vida ordinaria: si enun regimiento se quiere elegir un soldado que mida más de
1,80 m, pese menos de 85 kg y no tenga gafas, se puedehacer una lista de los que midan más de 1,80 m, otra de losque pesen menos de 85 kg y otra de los que no tengrin gafas.Los que estén en las tres listas, son los posibles candidatos.
Los métodos de análisis y síntesis son generales, sirven paracualquier problema con que nos enfrentemos.
En e\ análisis, una afirmación A, que intentamos demos-trar, se reduce a otra equivalente B, probablemente tambiéndesconocida pero en la que aparecen datos más cercanos a
lo conocido; ésta última, se reduce a otra C, y así sucesi-vamente hasta que llegamos a una afirmación que sí es co-nocida.
La síntesis sigue el camino contrario. Deseamos demostraruna cierta afi¡mación, y pala ello, partimos de una ¡ropo-sición conocida que sospechamos que tiene que ver con ella.Vemos que es equivalente a oÍa más cercana a la deseada,
ésta a otra y así sucesivamente hasta que llegamos a la quedeseamos probar.
Un ejemplo de análisis
Deseamos demostrar la siguiente afirmación:
En un triángulo arbitrario ABC, las tres alturas se cortanen un punto,
96
'l lt - |
:-- :
l "-t:i _I
,hú¡cr
lürllll¡1 -::i-l
.it:ilflr - -::tLtfll|fl ¡e: :
Trazando las paralelas a cada lado por el vértice opuesto. .sencillo ver que las tres alturas son las tres mediatrices :=triángulo MNP.
\l
Pero es conocido que las tres mediatrices de un triángu,cofan en un punto. Así, las tres alturas se cortan erpunto.
Un ejemplo de síntesís
Queremos probar lo siguiente:
Dada una cuerda fija AB en una circunferencia C.trazan las rectas tangentes, r ) s, por A y B ¡¿t.rtivamente. Si se toma un punto M cualquiera de lccunferencia y se trazan las perpendiculares a AB, a :s, que pasen por M (MP, ME y MF, respectivamé--'entonces;
'llilltii: . ¿;,Ltutul - -'-
i/l/l/l/il ,"'
itf,
!I!I¡-/
MP' = ME'MF
- -i _
ilrü: - ..
i'tf;i-
"rntr J::.L,rstrarlo, pafimos de hechos conocidos:
PÉM es igual al ángulo EÁM. Los triángulostlPB son semeiantes y, por tanto, podemos es-
ME MP
' irr-x',:- :, ángulo PÁM es igual al Unp. *¡ los trián-
lnltuLu "t: r )' ilFB son sejemantes y se puede poner:
MF MP
MB MA
rillruLru rr,,-.:r,,. estas igualdades se obtiene (compruébelo)
ME'MF : MP',
- ;-' dad a la que pretendíamos llegar.
dhryúíón al absurdo
Llifllitrtrnr :urlrr- -r¡eresante es el de reducción al absurdo (tarn-
,L ¿; :-- ,a conversación ordinaria). Queremos probar
;u -i:--;::,¡n A no tiene validez. Si de A se deduce
uu j o =duce C y de C se deduce que lo blanco
.',-- :laro que A no puede ser cierta.
,: -..¿ Ltn sólo punto en común con una circun'::-:- si es tangente a ella), entonces el radio.'-. con el punto de contacto es perpendicular
"¡ Jf no es perpendicular a t. Trazamos
:"1-r ,-,5 r' a continuaciórt OT' , de forma que
rruun ., .'l ¡ SOT' son triángulos rectángulos igua-
r'F = ,-:. esdecir ¡ tienedospuntoscomunes:u¡¡nrru:::--;,.. lo cual está en contradicción con la
Empleo de Íiguras auxiliates
En geometría, como ya has visto en los ejemplos anteriores,
el trazado de un nuevo elemento que ayude a ligar más
cercanamente los datos del problema, es muchas veces el
camino de la solución. Aquí tienes otro ejemplo del mismo
tipo:
Si te dan las longitudes a, b, c y .d de los cuatro lados
de un cuadrilótero y el óngulo a que forman dos lados
opuestos a y c, ¿cóma consftuirías el cuadrilátero con
regla y compás?
El resolverlo no parece sencillo a primera vista, pero puede
serlo. Traza un segmento cualquiera de longitud c, DC. Por
el punto C dibuja una recta auxiliar que forme un ángulo
a con DC, y señala el punto M de forma que la longitud
de CM sea a. Coge ahora un compás: con centro en Dy radio d y con centro en M y radio b encontrarás un
punto A,' con centro en C y radio B encontrarás una
circunferencia que intersecte con una recta pualela a MCy que pasa por A. Ese punto de intersección es B.
Por construcción, AB y DC forman un ángulo a.
La cabra pac¡endo
Un silo (almacén de grano) de sección circular de 10 m de
radio está en el cent¡o de un campo de hierba. Una cabra
está atada a un punto del exterior del silo con una cuerda
que mide la mitad de la circunferencia del silo. ¿Podríasdecir cuál es el área del campo de hierba en el que la cabrapuede pacer?
(Recuerda: empieza haciéndolo más fácil e imagina un silo
de sección cuadrada, despues octogonal, etc.)
r e1 vértice opuesto. i'a: ftes mediatrices e
rrices de un triánsralturas se cortan ::
ma circunferenc.: Is,porAtM cualquiera:t "t
ndiculares a AB '.t MF, resPecr ;
MBMA
ís
tr--
:,MFilt * Ji :¿IliamOS.
97
CÓNrcASlTEMA
trs
A esta superficie, resultado de prolongar un cono indefinidamentepor ambos lados, se le llama superficie cónica.
lnvestiga cómo son las distintas líneas que pueden obtenerse alcortar una superficie cónica por un plano. Para ello, procede demanera sistemática: considera planos con más o menos inclinaciónrespecto al eje de la superficie y que pasen o no por el vértice deésta.
La actividad que ahora se te va a proponer puede llevarte algúntiempo, pero es sencilla y muy bonita: anímate a hacerla.
Dibuja una circunferencia y, en su interior, un punto P distinto delcentro. Dobla el papel de modo que se haga pasar la circunferenciapor el punto P. Vuelve a hacerlo por lo menos más de doce veces.Si, como en la ilustración, vas recorriendo todas las partes de lacircunferencia, verás que las líneas de los pliegues envuelven unahermosa elipse. ¿Cuáles crees que serán sus focos?'
Si repites la experiencia pintando el punto P exterior a la circun-ferencia, obtendrás una hipérbola.
Para conseguir una parábola por el mismo procedimiento, dibujasobre el papel un punto y una recta y hazlos coincidir mediantedobleces.
$
!t,ilr,
rliLr${ilffii,l.W¡iill¡,l¡
riiilfii$$x$x.il-,$iqt
r indefinidamer¡te
uedenrra ello, proc€Úi o menos I
I no por el
:- - z de luz que emite una lámpara
:: - :antalla circular es un cono cuyo
--- :3 está en el filamento de la bom- ,'
:.
,i u* ::'r ,+-:a este haz sobre la pared ri
Lilürr lrft ":: :¿:ión oscura, se aprecla-
fl. . c r --':rencia, una elipse, una
.llIlrftÉr : : --:'ama de hipérbola, se-
r,ll|rutil ¡ -: -i: Ón con que se haga Ia r'
lllturflurrl4u..t : - : ,3s. en def in¡tiva, lo que
tI.u|l]¡n|üL rü: :-:l es cortar un cono (el :'
- :€ r ámpara) Por un Plano ,,
!i*$\ffi{\t!\\S\ltSi$¡$\itl$i,Sni\S\i$Wl!ü1$ i+.üi\$iit$illc¡\üri!trls{':+il¡t}¡isuiilr:rrirlirii'sti
Secciones del Gono.4$$$S,\$tdiñ!ir\\\$.h\sN. \i$!.$$ ,u\jflN!. t\,iifÍt 1r$l¡'ü{r\!MÍIllr!11$i
La elipse que se obtiene cortando la superficie cónica por unplano, ¿es realmente el lugar geométrico de los puntos cuyasuma de distancias a los focos es constante?
Preguntas análogas cabría hacerse sobre la parábola y la hi-pérbola.
Cortamos una superficie cónica por un ptrano que no pase por su
vértice y llarnamos o al ángulo que forman las generatrices del
cono con el eje del mismo Y, P, al ángulo del plano con el eje del
cono.
puede llevarete a hacerla'
Según la relación que haYa entrea y p, la curua en que ambas su-perficies se cortan será:
- una circunferencia si P : 90'i
-unaelipsesi ocF<90';
- una Parábola si o : Fi
- las dos ramas de una hipérbolasi B<o.
I
Var.nos a probar que, realm'énte, estas líneas cumplen las condi-ciones de tugar geométrico mediante las cuales se definieron en
el tema anterior.
Elipse
Aparecen elipses al cortar lonchas de embutido o, en la superficielíquida, al inclinar un vaso con agua. Es decir, también la intersec-ción de un plano con una superficie cilíndrica es una elipse' De-
mostrémoslo:
n punto Pnsar las más de doce
todas las Pafffiieguesus focos?'
P exterior a a
lmportante:
Los segmentos tangentes desde unpunto P a una esfera son siempreiguales: PT = PT : PT".
El plano r y la superficie cilíndrica se cortan en la presunta elipse.en rojo. Las dos esferas son tangentes al cilindro en las c¡rcunfe-rencias C, y C", y al plano n en los puntos F y F'. Veamosque para un punto cualquiera P de la elipse se cumple que
PF + PF' es constante
es decir, que la suma de distancias no depende del punto escogido:es siempre la misma.
Los dos segmentos de las respectivas tangentes desde el puntoP a cada esfera son iguales:
PF: PA Y PF,= PB
PF+ PF' = PA* PB : AB
por tanto:
Y la distancia AB es constante, pues es el tramo de generatrizque hay entre las dos cücunferencias C, y C, que están en dosplanos paralelos.
Pues bien, idéntico razonamiento se haría para la sección de unasuperficie cónica por un plano que corte a todas las generatrices(es decir, para el cual o < P < 90' según la nomenclatura anterior).
Hipérbola
Cuando B < a (es decir, cuando el plano n forma con el eje dela superficie cónica un ángulo menor que el que forman con éstelas generatrices), la intersección consta de dos ramas, para cadauno de cuyos puntos se cumple:
PF,_PF:PB_PA:AB
-t
;unta elipse,as circunfe-;'. Veamosrle que
rto escogido:
sde el Punto
de generatriestán en dc:
secciÓn de l-aas generatr"leÉ
:latura anter'l-
na con el e1e m'orman con 35m
rnas, para ]3in
É -:-'F
* -.-€
,#tr€€
También en este caso la constante es el tramo de generatriz querav entre las dos circunferencias de tangencia C., y C".
- plano n forma con el eje el mismo ángulo que las generatrices,
:-e contiene a la circunferencia de tangencia, corta a n en una"=::.a d, la directriz de la parábola. Hemos de probar que
dist (P, F) = dist (P, d)' Es decir, PF : PD
mqr: DF = PA por ser dos tangentes desde P a la esfera y4 = ü1,N, por ser segmentos de paralelas entre planos paralelos.
i :i = MN, por ser dos trozos de generatriz entre las circunfe-MmrniiaÉ C V C'.
¡*m Ar:C, PF : PD.
4!" Cortamos un cono por un plano perpendicular a una generatriz. SegÚn
el ángulo o de abertura del cono, obtenemos una elipse, una hipérbolao una parábola. Dibújalo y di cuál es la sección si:
a) a<90' b) o - 90' c) o>90"
Si cortamos una superficie cónica por un plano que pase por el vértice,
¿qué obtenemos? Estudia los diferentes casos.
Calcula la ecuación de la elipse formada por los puntos cuya suma dedistancias a F, :(1,0) y Fr:(3,2) es igual a 12.
Calcula la ecuación de la hipérbola cuya diferencia de distancias a lospuntos F., : (-2, O) y F, : (3, 5) es igual a 5.
Calcula la ecuación de la parábola formada por los puntos que equidistande larecta 3x-4y* 1 : 0 ydelfoco F: (1, 4).
,É"
6.
S,
i;::#.;F,rtí# Estudio analítico de las cónicas
,,1. :: : ,:j
,Puesto que las cónicas son lugares, geométricos, se puede obtener su
ecuación imponiéndole a un punto ge-
nérico, P (x y) las condiciones re-,queridas. Así se pueden encontrar las
ecuaciones de aigunas de ellas. Por
ejemplo:
': . de focos
F(-3 5) y F (7. -1):,, y constante 26:
V(x+s)'+U-S)'+-ltr-7)'+(y+11'=26
,
r . de tocos
,: F(l -3) y F (7,5)
y constante 6:
Vix-1f + (y + 3f -,t'il- V(x-7)' + (y-5)' = 6
c de foco
F(-2,2)
ydirectriz 2x+ y- 4 = 0;
\(x-2)'+U-2f =
' _2x+y-4, tlt+t
, Sin embargo, si intentamos simpli-lrcar estas expres¡ones, la laÍea va
a resultar dificilísin a y el reslltaooserá poco simpllficado.
Para poder si¡o if car convenien-temente '? expresi6^ a^a tica deestas cónicas. habra o-e sit¡ar los
' ejes coordenados de forma venta-
losa.
¿Cómo situar los ejes coordenados para que la ecuación de unacónica sea sencilla? ¿Cómo de sencilla puede llegar a ser esaecuación?
Tenemos una elipse de focos F y F'. Trazamos una recta quepasa por ellos y corta a la elipse en A y A'. Trazamos la mediatrizdel segmenlo FF' que corta a la elipse en los puntos By B'.
Llamemos:
O al centro de la elipse;
A, A', B y B' a los vértices;
a : OA : OA' al semieje mayor;
b : OB : OB' al semieje menor;
c : OF : OF' a la semidistancia focal.
Se cumple que:
La constante de la elipse es 2a, pues
AF + AF' : AF'+ A'F' : A'A : 2a
Por otro lado, a2 : b' + c' pues BF + BF' : 2a y, portanto, BF : a pues el triángulo BOF es rectángulo.
Si tomamos el centro de la elipse como origen de coordenadas ylos ejes de la elipse como ejes coordenados, tendremos que lascoordenadas de los focos son
104
F(c, 0) y F'(-c, 0)
Jna recta quers la mediatrizos 8y 8'.
la
:2a y,prtángulo.
oordenadas r
Smos que ,as
"-2a"cx+c"x':'t-c'x'+a2y2:
-c').x'+a'y':b'x'+ a" y' :
a' .(x' - 2cx + c' + y"¡
ao - a'c"a" 'qa' * c'7
AD
= ecuación de la elipse
yT;-8¡7 +\/Tx+ c)'+ y'
:e :"ede, ahora, simplificar notablemente:
"",1x+ c)'+ y" :2a-
rx + c)2 * Y" : 4a'+ (x - c)" + Y' - 4a'\ld:$;Vles¿*ollando los cuadrados y simplificando, obtenemos
:2a
2 ,\'
Pasamos unaraíz al segundo miem-bro y elevamos ambos al cuadrado.
Dividimos entre 4 y elevamos al
cuadrado. Simplificamos y agru-pamos,
Sacamos factor común y tenemosen cuenta que a' - c' = b'
Dividimos enlre a' b'
1
I'l
I
{'l
x' v' _1
a'--F - I
kse :s ,a ecuación reducida de la elipse.
*:h.r :- a
-:iff't:l-':s la hipérbola de focos F y F'. Trazamos la recta queriw;r -l'ellos (eje) y que corta a la curva en A y A' que son loslrwf-r¡l3ps EI punto medio O de FF' es el centro.
*,ffina-:,s: c : OF a la semidistancia focal;
a : OA al semieje.
hm :;*: e que la constante de la hipérbola es 2a, pues
AF' _ AF: AF' _ A'F' : AA' : 2OA : 2A.
, ,2 2lx-c) +y
4a' - 4cx: +alx' - 2cx + c' + y'
(x+ c¡" + y'
Ecuación reducida
Si, como hicimos en la elipse, tomamos O como centro de coor-denadas y hacemos coincidir el eje X con el eje de la hipérbolalos focos tendrán de coordenadas F(c, 0) y F'(-c, O). La ecua-ción de la hipérbola será:
vT;-A;V | : 2a
en la que se puede quitar el valor absoluto del siguiente modo:
\,F¡e¡V \/v -A¡V : ! 2a
Procediendo de forma análoga a como hicimos en la elipse, se llegaa la misma igualdad que allí:
(a'- c')'x'+ a'y": a''(a'- c')La diferencia está en que, ahora, es a' < c'. Por tanto, cambia-remos el signo de los tres sumandos:
(c' - a') ' x' - a' f' : a' '(c" - a')
Ahora, los coeficientes son positivos y a la diferencia c' - a' lapodemos llamar b' (observa, al margen, la interpretación geo-métrica):
b'x"-a"y': a"b"
Al dividir entre a2 b2 se obtiene la ecuación buscada:
x' y'a'b2t
Asíntotas de la hipérbola
bbLas rectas Y: - x e y: son asíntotas, es decir,'a'acuando X ---> * oo la diferencia de ordenadas entre curva y rectatiende a cero, Demostrémoslo:
Vamos a despejar la y en la ecuación de la hipérbola:
v:(Nos hemos quedado sólo con la raíz positiva. Análogamente, seprocedería con la negativa.) Pues bien, el límite de la diferencia deordenadas de hipérbola y asíntota es:
^i . o ^' b\i - b'+taa
(multiplicando y dividiendo por el
conj ugado)
,2 ¿ ,rDX D-A --u -------T-----
'^aa,2 2. DX D-b'+ , +-x
+0,2 2
^ DX-F''L- 2
a
b+-xa
- ¡2
- b'+ --a
que es cero como puedes ver en el margen.
-:rg
:aÉfl
f,J
ü*r*
)ntro de coor-I la hipérbola0). La ecua-
2a
ente modo:
:2a
rlipse, se llega
)
anto, cambia-
')
,ac2-a2,erretación ge:-
ada:
rtas, es delr
curva y .3:E
>la:
lEamen:e trdiferenc': =
: , '¡ ¡Ola
-arer¡os la parábola de foco F y directriz d La distancia de F¡ : la llamamos p.
=:. encontrar la ecuación reducida, tomamos como origen dexcrjenadas el vértice A y como eje de abscisas el eje AF dea :arábola. En este caso las coordenadas del foco son
-: -\ p= -: 0f, y la ecuación de ladirectriz es x- - +-.zl 2
--: :c.ración de la parábola es (PF : dist (P, d)):
(,-*)"*r" D-x+'
2
tlulÉ as la ecuación simplificada de la parábola.
isla ¡¡rya no tiene asíntotas.
:
=:':
:-:
1. Encontremos los elementos principales de la elipse cuya ecuación es:
x'f--!2s9
/ - r-. (fr * y' : /* r,. (É)'
c=3--tb"=
La ecuación es:
Los vértices de la elipse son A = (5, 0); ¡'= (-5, 0); g : (0, 3) Yg': (0, _3).
Los focos de la elipse son: F (4, 0) y F' (-4, O), pues
c' = a" - b' : 25-g : 16 --, c :. !4.Elele mayor mide 10, el menor mide 6 y la distancla focal es 8.
Se llama excentrlcidad de la elipse al cociente e: !. En este caso vale
4e=-=:0,8<1.5
2. Halla la ecuación de la elipse de focos F: (3,0) y F' : (-3,0) cuya sumade distancias sea 10.
2a=10--+á:5a'- c' = 25 - 9 : 16 ---+ b = * 4
x' 'v"
-+ ' = 125 16
3. Encuentra los elementos principales de la hipérbola
Vértices: y: O - + : 1 -+ x2: 16 -+ A: (4,0) y A,: (-4, O).
Focos: c, : a2+b, ____ c2 :16+9 : 25--_ F: (5, O) y F,: (_5,0)
Asíntotas: y:!, 3 b 3- a ->Y:4'; Y:-;r'b:- or.Excentricidad: Es el cociente
x' y'
-:
I16 I ''
c5e:-:-=a4 1.25 > '1.
t5.
f6,
42tt.
Encuentra los etementos principales de ta elipse +. * : , ,'92sdibuja su gráfica. (observa que er eje mayor es verticar, ruego tendrálos focos en el eje de ordenadas.)
Halla los elementos principales de la elipse 3x, + 4y, : 12.
Encuentra los elementos básicos de ta hipérbota - +. I : , ,I 16dibuja su gráfica. (observa que tiene ros focos en er eje de ordenadas.)
Calcula los elementos principales de la hipérbola 3x" _ 4y, : 12.
Halla los elementos básicos de la parábola y2 : gx y dibuja su gráfica.
Escribe la ecuación reducida de la hipérbola en la que uno de los focoses F(13, 0) y uno de los vértices es V(12, O). .
Escribe la ecuación reducida de la elipse cuya distancia focal es 10 ycuyo semieje mayor tiene longitud 13.
Encuentra la ecuación reducida de la elipse cuyo semieje mayor tienelongitud 5 y que pasa por p(4, t).
Escribe la ecuación reducida de la hipérbora en la que una de las
asíntotas ", y: I " y que pasa por V(3, O).,3
3S"
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uja su gráfica
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r focal es 1[ I
je maYor lw
ue una de m
G Propiedades y Gur¡osidades sobre las Gonicas
:¡r quÉ ouurre asf?
--,', s Caroll, el matemático autor de
- - a en el Pais de las Maravillas. se
, : -. '-yó una mesa de billar de forma
a : :a
- - . . -na bola pasa por un foco,
. - -'- :asará necesariamente por
. , :: Cespués de rebotar. Y así,
: :-:.:e nl,rn:rr se pare
.r "::r" s0rprendenle
! 5::¡ :' el andén del metro, se
.i:- r- -: : : 3L;iente fenÓmeno:
r,r rÉ:--r:ye hablaraotra con ab-;r.,: - -::: pero no la encuentramllr',;. -:-lc a su alrededor, llega::" -:' - :-: lavoz procededeal-
rflilr irf : -i ..:: en el andén de enfren-, ::-: -:t andO más fuerte quefl, : -:::
¿A qué se deben los dos hechos que se describen en la columnaadjunta? ¿Hay alguna relación entre ellos?
¿Por qué los focos de los coches, los hornos solares, las antenaspara el seguimiento de satélites tienen sección parabólica?
Las cónicas aparecen espontáneamente en la naturalezay, por suspropiedades y su belleza, son utilizadas en la técnica y en el arte.Veamos algunos ejemplos en los que se ponen de manifiesto.
Órbitas de planetas y cometas
Cuando en el siglo lll antes de Cristo, Apolonio descubrió'las trescónicas fundamentales, estaba muy lejos de imaginarse que dichascurvas se ajustaban a los movimientos de los cuerpos celestes.Durante muchos siglos se consideró que las órbitas de los planetaseran circulares.
Fue a comienzos del siglo XVll cuando Kepler enunció sus impor-tantes leyes, que asignan órbitas elípticas a dichos cuerpos (sóloun siglo antes, Copérnico había dado al traste con la concepcióngeocéntrica del Universo, haciendo ver que era la Tierra la quegiraba alrededor del Sol).
Así pues, la órbita de la Tierra respecto al Sol (así como las delresto de los planetas), es una elipse;pero una elipse muy parecidaa una circunferencia, es decir, muy poco achatada.
Los cometas tienen órbitas elípticas más alargadas e, incluso, al-gunos de ellos, tienen órbitas hiperbólicas.
Excentricidad
La excentricidad de las elipses y las hipérbolas se obtiene divi-diendo la distancia focal, 2c, entre el eje mayor, 2a.
Excentricidad : 2cc-=-2aa
Aquí se te presenta una familia de cónicas con un foco común ytangentes en un extremo del eje mayor.
En la circunferencia, los focos coinciden con el centro, por tanto.su excentricidad es cero.
Las elipses son cada vez más excéntricas. Su excentricidad vaaumentando de 0 a 1.
La excentricidad de la parábola es 1 y la de las hipérbolas mayorque 1.
Observa las órbitas elípticas de los cuerpos celestes en torno alSol. Según las leyes de Kepler, el Sol estará en un foco y el planetase moverá, en cada órbita, tanto más deprisa cuanto más cercaesté del Sol.
Los cometas también tienen órbitas elípticas, pero su excentricidades mucho mayor. A veces, si un cometa pasa, por ejemplo, muycerca de Júpiter, éste, con su'gravitación, modifica su órbita. Así.puede captar un cometa de órbita parabólica o hiperbólica convir-tiéndola en elíptica o, por el contrario, hacer desaparecer el cometadel sistema solar, pues su órbita, antes elíptica, se transforma enparabólica o hiperbólica.
Tangente a una elipse
En el aparlado Resuelve a tu aire de este tema, doblábamos unacircunferencia haciendo coincidir un punto interior fijo p con lospuntos de la circunferencia. Los dobleces son tangentes a la elipsede focos P y C (centro de la circunferencia) y cuya suma dedistancias vale el radio de la circunferencia. R.
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Aparecen representadas:
- en negro, Ia circunferencia;
- en azul, las elipses:
- en gris, la parábola:
-en rojo, las hipérbolas,
El centro de la circunferencia coincidecon el foco de todas las demás cóni-cas.
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En la hipérbola, es c > a por tantoexc> 1
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,.' 3s un punto de la elipse, pues
MP: SM y MP+MC: SM*MC= R
I :,:: ez d es la recta tangente a la elipse en M. Además, comoe: 3MC: ntrrts y, porsimetría, AMS: AMP,luegolatangentem : ¡isectriz exterior del ángulo de vértice M y lados las rectas:*€ -.en M con los focos (radios vectores).
.,r*F- :,3 a lanzada en una mesa de billar elíptica, rebota como si ser-sii-.rerd la elipse por la recta tangente en ese punto. Si la lan-:fr*:s Jesde un foco, debido a esta propiedad, rebotaría en la recta Iim-:€-:e dejando ángulos iguales y dirigiéndose, luego, al otro toco. I
-;r"":-i8 a Una paráb0la
ñ i:i:'e un papel trazas una recta d y un punto ñ y doblas elrc* -aciendo coincidir el punto F con un punto de la recta, losMÍre:€s r son tangentes a una parábola de foco F y direclriz d:
ffi 'm.l- É: ' es la mediatriz del segmento NF, y si desde N tra-:mr¡as : :erpendicular a d que corta a r en M resulta que Mrffii ".rffT :--:o de parábola, pues MN: MF.
:cmo ves, DMS: NMT y, por simetría, NUf = TMF.
-n rayo de luz que llegue paralelo al eje de la parábola
-^ espejo parabólico, se reflejará pasando por el foco F.: za en los hornos solares.
En el fenómeno del andén del metro,
si la bóveda es elíptica, el sonido emi-
tido desde un foco rebota en ella, di-rigiéndose al otro foco.
Espeio parabólico
Faro de coche
Ii
's*: :rodo, si la bombilla del faro de un coche está en el |,** -¡ al reflejarse, tomará una dirección paralela al eje. 7
Tangente a una hipérbola
La tangente a una hipérbola, ¿tendrá una propiedad parecida a lasque hemos visto? ¿Será bisectriz de las líneas que unen el puntocon los focos?
Si dibujas una circunferencia y un punto P exterior a ella y hacesdobleces haciendo coincidir P con puntos de la circunferencia, losdobleces son tangentes a una hipérbola.
Al doblar por r, el punto P coincide con N. Al unir C con Ncortamos a r en M. Y M es un punto de la hipérbola, pues
MP: MN
MC= MN+ NC-+ MC-MP: MC-MN: NC:rBLa diferencia de distancias de M a los focos P y C es constantee igual al radio de la circunferencia.
Como ves, QMS : NMT y, por simetría, NMT: PMT; luego latangente es la bisectriz exterior de los radios vectores, es decir, delas rectas que unen el punto M con los focos P y C.
24.
25.
26,
Hqlla le ecqación de la,,regta,tangente ,a.la elipse : ,., ,,,, ,,, ,.
x, lf_J-:_:125 16
en el punto de abscisa 3. (Utiliza el hecho de que la tangente es labisectriz del ángulo que forman'lós 'radios vectores. De las dos bisec-trices, tendrás que elegir la adecuada.)
22xvHalla latangente a la hipérbola += - J=- : 1 en elpuntode abscisa' 16 96. (Utiliza el hecho de que la tangente es la bisectriz de los radiosvectores y elige la adecuadar) ,ii " ': r' ' r ,, il
.i,l
Halla la tangente a la par{bola y,2 =,1Qx en elpunto P(3, 6). (U,tilizael hecho de que la tangenie es la bisectriz del ángulo formado por e'radio vector PF y la recta perpendicular por P a la directriz.)
lA^É{l'"r)'
¿De dónde vienen?
Así como actualmente la ciencia tiene una fuerte y prepon-derante componente utilitaria, la curiosidad cientifica éntrelos griegos fue impulsada, fundamentalmente, por una in-fluencia contemplativa y estética.
Las cónicas fueron para ellos unjuego intelectual, un objetode contemplación, como una música del pensamiento que,con su variedad y armonía, absorbieron durante siglos sucapacidad de contemplación matemática. Este espíritu lesllevó a desvelar una gran cantidad de propiedades que en-traron en su matemática sin otra finalidad que la de satisfacersu sentido estético intelectual.
Este saber quedó almacenado durante más de quince siglos,pero, puesto que era una conocimiento tan fuertemente li-gado a objetos y fenómenos corrientes, era natural que, al
fin, cuando el hombre llegó a interesarse desde otros puntosde vista por tales fenómenos, encontrase multitud de apli_caciones.
Las cónicas, en efecto, derivan de modo espontáneo decírculo omnipresente en la naturaieza. Allí donde hay u:círculo, basta mirarlo oblicuamente para que aparezca .ielipse.
I-as cónicas reaparecieron de nuevo con fuerza en e
siglo XVII, cuando Kepler enunció sus tres leyes sobre s_
movimiento de los planetas y cuando Newton llegó a deduc,:tales leyes a partir de su ley de gravitación universal.
Con el correr de los siglos, al cambiar la geometía sus moci-.,de consideración, la teoría de las cónicas adquirió una nuer iunidad más profunda. Parula geometría analítica, cualqu:-cónica es representable mediante una ecuación de segunl.grado del tipo
Ax'+By'+Cry+Dx*Ey +F:0eligiendo adecuadamente los coeficientes.
Parala geometría proyectiva, cualquier Cónica se puede :r-tener a pafir de una circunferencia mediante una proyec.: :r,
desde un punto del espacio seguida por la sección pcr rplano.
Por tales consideraciones comenzó a desarrollarse la ::,,:-dema geometría algebraica, que tiene, en la actuali,-armultitud de ramificaciones en campos tan aparenterrF:ralejados como la teoría de números. Fue en paficulr :llamativo resultado siguiente uno de los estímulos irn:"-rtantes de desarrollo del tipo de geometría.
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-:,-::a:nos que tenemos dos circunferencias C, y C. en. r r-.r. una de ellas, Cr, en el interior de la otra, C,..:.::-,rnos, además, que están situadas de tal forma que
: -- :r,lígono ABCD de cuatro lados inscrito en una de
* ::cunscrito a la otra, como indica la figura:
Lrur. : -: 1¿\' un punto A tal que al trazar la tangenter* . : I r luego CD, resulta que la tangente desdeLul : : :rar por A.
i :i-:-, - : le ot¡o punto cualquiera A*? El cuadrilátero¡{llf' ''' ' --' :e cierra igualmente.
& anchuta constante
L. : ::,: I S üansportaban las enormes piedras para,,,. *,-r--,::s utilizando troncos circulares del mis-
*: -: -:: constante).
,r : i::': ::cima de los troncos y, empujándola,..:---- - :--: ellos alavez que giraban. Reponían:r, *:: :i-ante los que se quedaban atrás.
¿Qué hubiese ocurrido si en lugar de colocar troncos cir-culares hubiesen usado troncos con este perfil en el que laanchura también es constante?
ABC es un triángulo equilátero de lado /; el arco BC es
un arco de ci¡cunferencia de centro A y radio /; el arcoAC tiene centro B y radio / y el arco AB es de centroC y radio L
Curiosamente, estos troncos habrían hecho el mismo ser-vicio. La piedra hubiera ido tan suavemente en un caso comoen otro. El nuevo perfil es una curva de anchura constante/, como fácilmente puedes comprobar, igual que la circun-ferencia de diámetro / que es una curva de anchura cons-tante /.
¿Qué ventaja tiene entonces la circunferencia sobre este per-fil? Está claro que, para llevar las piedras, ninguna; pero sídebes saber que, para usarlos como rueda con ejes, una muyimportante. Piénsalo. ¿Qué pasaría si se utilizase una ruedacon el perfil indicado?
Curvas de anchura constante hay muchas. Aquí tienes otra,y puedes construir otras muchas con la misma idea:
A
El triángulo ABC es equilátero.
El arco DAE tiene centro en M, y el arco EF tiene sucentro en N, etc...
¿Por qué no hallas la anchura y el peímetro de las curvasde anchura constante que hemos dibujado? Observa la re-lación entre las medidas que has encontrado.
Todas las curvas convexas, es deci¡, sin entrantes, y deanchura constante tienen una curiosa propiedad, a la que se
llama teorema de Barbier: si la anchura es d, el perímetroes nd.
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