Diferenciación numérica

¿Qué es la diferenciación numérica?

• Cuando se va a aplicar la operación de derivada a una función tabulada, el camino a seguir es aproximar la tabla por alguna función y efectuar la operación en la función aproximada.

• Si la aproximación es polinomial, la diferenciación numérica consiste simplemente en diferenciar la fórmula del polinomio interpolante que se utilizó en general.

Polinomio de Newton (X0, X1, X2,…, Xna intervalos iguales h)

• Sea f(x)=Pn(x)

• La primera derivada queda:

• Si las abscisas dadas X0, X1, …, Xn están espaciadas por intervalos de longitud h, entonces el polinomio Pn(x) se puede expresar como el polinomio de Newton en dif finitas

1

POLINOMIO GRADO 1, LINEA RECTA

APROXIMACIÓN LINEAL DE LA PRIMERA DERIVADA

Donde ∆2𝑓 𝑥0 = [𝑓 𝑥2 − 𝑓(𝑥1)]- [f(x1)-f(x0)]

Donde Δ𝑓 𝑥0 = [𝑓 𝑥1 − 𝑓(𝑥0)]

De igual manera se obtienen las distintasderivadas para n>2

POLINOMIO SEGUNDO GRADO

EJEMPLO 1, polinomio de Newton con “h”

USANDO UN POLINOMIO DE GRADO 2

LA DERIVADA NUMÉRICA USANDO UN POLINOMIO DE GRADO 2, DA UN RESULTADO DE -0.00506

TAREA OPCIONAL PARA VACACIONESGENERAR UN CODIGO-PROGRAMA EN OCTAVE-MATLAB PARA RESOLVER UN SISTEMA DE “n” ECUACIONES LINEALES POR EL MÉTODO DE:

GAUSS JORDAN 10-11 am

GAUS SIEDEL 4 a 5 pm

CHOLESKY 5-6 pm

ENTREGAR EN UN CD PROGRAMA Y REPORTE. ENTREGAR IMPRESO EL REPORTE DEL PROGRAMA EN DONDE SE INCLUYA, EL CODIGO, LA EXPLICACIÓN DEL PROGRAMA LINEA A LINEA Y TAMBIEN EL DIAGRAMA DE DESICIONES (O DE FLUJO DEL MISMO).

Entregar el lunes 13 de abril

Polinomio de Newton (dif. Div.) y su derivada numérica para cuando los intervalos de x, no necesitan ser iguales

2

FORMA GENERAL POLINOMIO DE NEWTON DIFERENCIAS DIVIDIDAS

EJEMPLO 2. Polinomio de Newton Diferencias Divididas

Puede ser bien representado por un polinomio de grado 2

(x-x0)(x-x1)= 𝑥2 − 𝑥 ∗ 𝑥0 − 𝑥 ∗ 𝑥1 − 𝑥0 ∗ 𝑥1

Usando los puntos x0, x1 y x2, polinomiogrado 2

• LA DERIVACIÓN NUMÉRICA USANDO POLINOMIO DE NEWTON EN DIF. DIVIDIDAS TIENE UN PROBLEMA CUANDO ES EVALUADA EN UN PUNTO “X” QUE ES IGUAL A ALGUNO DE LOS PUNTOS TABULADOS. POR LO CUAL NO SE PUEDEN ENCONTRAR UNA BUENA APROX. A LA DERIVADA NUMÉRICA SI SE CUMPLE LA SITUACIÓN ANTERIOR.

• Entonces se tiene que usar el polinomio de Lagrange, para hacer la derivada numérica

DERIVADA NUMÉRICA USANDO EL POLINOMIO DE LAGRANGE

Para obtener la segunda derivada se deriva la expresión de la primera derivada

Primera derivada polinomio grado 2

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FORMULA GENERAL. Primera derivada para un polinomio de grado n

• La derivación numérica usando el polinomio de Lagrange, NO TIENE NINGUN PROBLEMA PARA EVALUARSE EN UN VALOR DE “X” QUE CORRESPONDA A ALGUNO DE LOS PUNTOS TABULADOS

Ejemplo 3. Polinomio Lagrange

TRABAJO Y/O TAREA

PROBLEMA 1F(X)x

RESULTADOSPROBLEMA 1

RESULTADOSPROBLEMA 1

PROBLEMA 2.USANDO UNA APROXIMACION POLINOMIAL SIMPLE DE GRADO 2, usando los puntos donde Вigual a 9, 10 y 11 por estar alrededor del valor máximo de la permeabilidad es cual el 1340

Resultado problema 2

Problema 3: obtenga la primera y segunda derivada evaluada en x igual a 3.7 para la función que se da enseguida, use los puntos 2, 3 y 4 con un polinomio de Newton de grado 2

Problema 4. En la tabla siguiente d es la distancia en metros que recorre una bala a lo largo de un cañon en t segundos. Encuentre la velocidad (PRIMERA DERIVADA) de la bala en t=0.05 seg. Use un polinomio de newton de grado 2, con los puntosmarcados

resultadosProblema 3) primera derivada 1.927419Segunda derivada 0.02503Problema 4) 97.09 m/s

d

El fin…