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Soluciones a los problemas del tema 1

1) (2,2) = 18, (1,4) = 5. 2) La funcin (,). 4) (,) = 2 + 225 + 2 + 225. 5) (, ) = 28 . 7) a) [0, +) [0, +); b) {(,) 2 2 + 2 1};

c) {(,) 2 > > }; d) {(,) 2 0 0}; e) {(,) 2 || ||} {(,) 2 0}.

8) a) = 3; b) = 1+2 ; c) 2 + 2 = ; d) = 3 ; e) = .

10) () () = 16. 11) a) Parametrizaciones de los lados del tringulo son las funciones

1() = (4, 3) , 2() = (4, 3 3) y 3() = (4 4, 0) , todas ellas definidas en [0, 1]. b) () = (, 2), con [0, 2]. c) () = (3 cos , 3 sen ), con [0, 2]. d) No pasa por ninguno de los dos puntos.

12) |()| = 2 2 cos y |()| = 2; |()| = 1 = |()|. 13) S, pasa por el punto (2, 2) cuando = 1. Es horizontal en (0, 0) y en

43 23 , 43 43 . Es vertical en 43 43 , 43 23 .

14) La longitud es 410. En el punto 3 , 332 , 32 15) 10 unidades de longitud. 16) () = + 0 1 cos + , 0. 17) a)

= 43 82;

= 43 82.

b)

= 2 ;

= 2 . c)

= ( + ) + cos( + );

= cos( + ).

d) 1 = 11 + 212 ; 2 = 112 .

20) Debera gastar el dinero extra en publicidad en internet.

21) c)

(1,1) =

(1,1) = 1,

(05,1) = 225,

(05,1) = 125.

22) a) (,) = (2 sen(2 + ) , sen(2 + )); b) (,) = 22(2+2)2 , 2(2+2)2; c) (,, ) =

3 , 3 , 34 ; d) (,, , ) = ( , , , );

23) a) () = 445 ; b) () = 82 ; c) () = 0; d) () = 614.

24) Las respuestas son: (16,6), 273 1708 y 285.

25) a) 2 + 2 + 2 = 6, b) (2,4,2), c) 213. 26) En la direccin del vector (8,4). 28) a) = 5 + 10 14, b) = 8 2 13, c) = 4 5 + 2 29) a) Los puntos de tangencia sobre la superficie son (1,1,2) y

(1,1,0), y las ecuaciones de los respectivos planos son: 1 2 3 + = 3 y 2 2 3 + = 1. b) No hay c) El punto de tangencia en la superficie es (4,0,3) y la ecuacin del plano es 4 + 3 = 25.

30) a) 2'75. b) 0'0966. 31) (8 + , 1 + ) 4 + 12 2, y la aproximacin pedida es 395. 32) 33) a) Mnimo relativo en (1, 1).

b) Un punto silla en (0, 0) y un mximo relativo en 43 , 43. c) Un punto silla en (5, 3).

35) Son cerrados a), b) y c). Son acotados a), c) y d). 36) Mximo absoluto en (1, 0) y mnimos absolutos en (0, 0) y (1, 1). 37) Mnimo absoluto en (0,4) y mximos absolutos en 15, 1 y

15, 1.

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39) = 4, = 2. 41) y 42) La misma solucin en ambos casos: 10, 10 y 10. 43) Los nmeros son 40, 40 y 40. 44) Las dimensiones son 18 18 36. 45) 46) 0'1350'4239 m3/ao. 47) 0'5 cm2/s. 48) 31 106 A/s. 49) -118 km/h. 50) a) 32+223+1 b)sen cos 2 c) +2+2+(2+2) d) 222+2(2+2)2 51) = 45 ( 2).