solucionesgeometricasdetriangulosgeogebra
DESCRIPTION
soluciones geometricas mediante geogebraTRANSCRIPT
-
Curso intermedio especializado para docentes: GeoGebra en la enseanza de las Matemticas
1
Contenido Introduccin ............................................................................................................................... 2
Objetivo ....................................................................................................................................... 2
Objetivo General ..................................................................................................................... 2
Objetivos Especficos ............................................................................................................. 2
Tema 1: Tringulos .................................................................................................................. 3
Construccin ........................................................................................................................... 3
Clasificacin. ......................................................................................................................... 11
rea y permetro ................................................................................................................... 14
Igualdad de tringulos ......................................................................................................... 16
Semejanza de tringulos ..................................................................................................... 17
Tema 2: Teoremas sobre ngulos ..................................................................................... 18
Teorema de ngulos internos ............................................................................................. 18
Teorema de Pitgoras ......................................................................................................... 20
Tema 3: Rectas notables de un tringulo ........................................................................ 21
Mediana. ................................................................................................................................ 21
Mediatriz................................................................................................................................. 22
Bisectriz.................................................................................................................................. 26
Altura. ..................................................................................................................................... 30
MDULO III
SOLUCIN DE TRINGULOS.
-
Curso intermedio especializado para docentes: GeoGebra en la enseanza de las Matemticas
2
Introduccin En el mdulo III SOLUCIN DE TRINGULOS se trabajar la construccin
de tringulos haciendo uso del compas y con las herramientas que cuenta el
software, describiendo los principales elementos y analizando algunos de los
teoremas importantes como teorema de ngulos internos, ngulos externos,
Pitgoras, igualdad y semejanza de tringulos.
Para realizar las actividades de este mdulo se pretende que el participante
revise el material del mdulo III: recursos multimedia, plan del mdulo, manual,
gua de ejercicios y material adicional que encontrar disponibles en el aula
virtual.
Objetivo
Objetivo General
Construir diferentes tipos de tringulos haciendo uso de los recursos
con que cuenta el software y describir sus principales caractersticas.
Objetivos Especficos
Construir distintos tipos de tringulos haciendo uso del comps.
Describir los principales elementos de los tringulos.
Ilustrar los principales teoremas sobre tringulos.
-
Curso intermedio especializado para docentes: GeoGebra en la enseanza de las Matemticas
3
Tema 1: Tringulos
Construccin
Un tringulo es la parte del plano limitada por tres rectas que se cortan dos a
dos y est formado por tres lados y tres ngulos.
Figura 1: tringulo
Para construir un tringulo hay que conocer tres de esos datos, siendo al
menos uno de ellos un lado.
El proceso de construccin depende de los elementos que se conozcan, tal
como se muestra en los casos siguientes:
-
Curso intermedio especializado para docentes: GeoGebra en la enseanza de las Matemticas
4
Construccin de un tringulo conociendo los tres lados.
Ejemplo: Construir un tringulo cuyos lados miden 10, 8 y 5 cm
respectivamente.
Desarrollo:
Trazar un segmento de medida igual al primer lado.
Figura 2: primer lado del tringulo
Tomando como centro los extremos del primer segmento trazar una
circunferencia de radio igual a la longitud del valor del segundo y tercer
lado.
-
Curso intermedio especializado para docentes: GeoGebra en la enseanza de las Matemticas
5
Figura 3: Circunferencias con radio igual a los lados restantes del tringulo
El tringulo tendrn como vrtices los extremos del primer segmento y
una de las intersecciones de las circunferencias.
Figura 4: Construccin de un Tringulo dados sus tres lados
-
Curso intermedio especializado para docentes: GeoGebra en la enseanza de las Matemticas
6
Observacin: para realizar la construccin la medida de cada lado debe ser
menor que la suma de los otros dos.
Construccin de un tringulo, conocidos dos lados y el ngulo
comprendido entre ellos.
Ejemplo: construir un tringulo con las siguientes caractersticas: lado A=
9cm, B=5cm y el ngulo entre ellos 50.
Desarrollo:
Trazar uno de los segmentos.
Figura 5: Primer lado del triangulo
Construir el ngulo que forman los lados.
Activar la opcin , de la Barra de herramientas, luego
seleccionar un punto del lado inicial y digitar la medida del ngulo
-
Curso intermedio especializado para docentes: GeoGebra en la enseanza de las Matemticas
7
Figura 6: Construccin del ngulo dado
Llevar el segundo lado conocido sobre el lado del ngulo.
Para trasladar el segmento se traza una circunferencia de radio igual
a la medida del otro lado del tringulo y centro el vrtice del ngulo
medido en el paso anterior
-
Curso intermedio especializado para docentes: GeoGebra en la enseanza de las Matemticas
8
Figura 7: Circunferencia de radio igual al segundo lado del tringulo
Luego se traza un radio de la circunferencia que coincida con el lado
terminal del ngulo medido.
Figura 8: Semirrecta que pasa por lado terminal del ngulo dado
-
Curso intermedio especializado para docentes: GeoGebra en la enseanza de las Matemticas
9
Finalmente se grafica el punto de interseccin de la circunferencia y
el radio trazado.
Figura 9: Identificacin del punto de interseccin de la circunferencia y la semirrecta
Unir los extremos de los dos lados para construir el tringulo.
Figura 10: Construccin del tringulo
-
Curso intermedio especializado para docentes: GeoGebra en la enseanza de las Matemticas
10
Construccin de un tringulo conocido un lado y dos ngulos contiguos.
Ejemplo: Construir un tringulo si uno de sus lados mide 4 cm y sus ngulos
contiguos 80 y 50 respectivamente.
Desarrollo:
Construir el lado conocido.
Figura 11: Primer lado del tringulo
Desde cada uno de los extremos del lado se trazar los ngulos dados.
Figura 12: primer ngulo Figura 13: segundo ngulo
La interseccin de los lados de los ngulos es el tercer vrtice del
tringulo.
-
Curso intermedio especializado para docentes: GeoGebra en la enseanza de las Matemticas
11
Figura 14: Tringulo dado un lado y ngulos adyacentes
Observaciones: La suma de los dos ngulos conocidos debe ser menor de
180.
Es importante destacar que siempre se necesitan tres
datos para poder construir un tringulo.
Clasificacin.
Como un tringulo es un polgono que tiene tres lados y tres ngulos, entonces
se obtienen diferentes tipos de tringulos dependiendo del valor de sus ngulos
y/o sus lados.
Segn la longitud de sus lados, un tringulo puede ser:
-
Curso intermedio especializado para docentes: GeoGebra en la enseanza de las Matemticas
12
Equiltero: si tiene los tres lados iguales
Figura 15: Tringulo equiltero
Issceles: si tiene dos lados iguales.
Figura 16: Triangulo issceles
Escaleno: si sus tres lados son diferentes.
-
Curso intermedio especializado para docentes: GeoGebra en la enseanza de las Matemticas
13
Figura 17: Tringulo escaleno
Segn la medida de sus ngulos un tringulo puede ser:
Acutngulo, tiene los tres ngulos agudos.
Figura 18: Tringulo acutngulo
-
Curso intermedio especializado para docentes: GeoGebra en la enseanza de las Matemticas
14
Rectngulo, tiene un ngulo recto y dos agudos
Figura 19: Tringulo rectngulo
Obtusngulo, tiene un ngulo obtuso y dos agudos.
Figura 20: Tringulo obtusngulo
rea y permetro
El rea de un tringulo es el semiproducto de uno de sus lados por la altura
que corresponde a ese lado; y el permetro es la suma de las medidas de sus
lados.
-
Curso intermedio especializado para docentes: GeoGebra en la enseanza de las Matemticas
15
El rea de un tringulo con GeoGebra, se calcula automticamente y
corresponde al valor que registra como polgono en la Vista Algebraica tal
como se muestra en la figura 21.
Figura 21: rea del tringulo
El permetro de un tringulo es la suma de las longitudes de sus lados, y para
calcularlo basta con digitar en la Barra de Entrada y presionar
la tecla enter (donde a, b y c corresponden a las longitudes de los lados del
tringulo).
Figura 22: permetro del triangulo
Una vez calculado el permetro e identificada el rea del tringulo se puede
mostrar el nombre de cada uno de sus lados dando clic derecho seleccionado
la opcin mostrar rtulo, tal como se muestra en la figura 23.
-
Curso intermedio especializado para docentes: GeoGebra en la enseanza de las Matemticas
16
Figura 23: rea y permetro del triangulo
Adems, para determinar la medida de sus ngulos de un tringulo cualquiera
basta activar la opcin de la Barra de Herramientas y dar clic sobre el
tringulo para que GeoGebra automticamente muestre la medida de los tres
ngulos del tringulo. Por tanto resolver un tringulo en GeoGebra resulta
prctico
Igualdad de tringulos
Dos tringulos son iguales si se pueden superponer uno sobre el otro y
coinciden en todos sus elementos. As por ejemplos los tringulos ABC y DEF,
son iguales, pues tienen sus tres lados y sus tres ngulos respectivamente
iguales.
-
Curso intermedio especializado para docentes: GeoGebra en la enseanza de las Matemticas
17
Figura 24: igualdad de tringulos
Semejanza de tringulos
Los tringulos son semejantes si tienen sus ngulos respectivamente
congruentes y sus lados homlogos proporcionales.
Por ejemplo el tringulo ABC es semejante al triangulo EDC dado que el
segmento AB es paralelo al segmento DE, los ngulos y
y el ngulo Ces comn a ambos tringulos.
-
Curso intermedio especializado para docentes: GeoGebra en la enseanza de las Matemticas
18
Figura 25: tringulos semejantes
Tema 2: Teoremas sobre ngulos
El valor de los lados y el de los ngulos, no puede ser cualquier nmero, pues
en todo tringulo se cumple el siguiente teorema
Teorema de ngulos internos
Ilustracin
Figura 26: ngulos internos de un tringulo acutngulo
-
Curso intermedio especializado para docentes: GeoGebra en la enseanza de las Matemticas
19
Figura 27: ngulos internos de un triangulo rectngulo
Figura 28: ngulos internos de un triangulo obtusngulo
La suma de los ngulos internos en un tringulo cualquiera es igual a 180 .
-
Curso intermedio especializado para docentes: GeoGebra en la enseanza de las Matemticas
20
Teorema de Pitgoras
El Teorema de Pitgoras es una relacin entre los lados de tringulos
rectngulos. Un tringulo rectngulo es el que tiene un ngulo recto, esto es,
un ngulo de 90. Y se enuncia de la siguiente manera:
En todo tringulo rectngulo la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de
los cuadrados de los catetos
Para el tringulo
Figura 29: teorema de Pitgoras
Figura 30: ilustracin del teorema de Pitgoras
-
Curso intermedio especializado para docentes: GeoGebra en la enseanza de las Matemticas
21
Interpretacin geomtrica del teorema de Pitgoras.
El teorema de Pitgoras expresa una relacin entre los cuadrados de las
medidas de los lados de un tringulo rectngulo.
Son las reas de cuadrados de lados respectivamente.
Por lo que se puede enunciar tambin as:
En un tringulo rectngulo, el rea del cuadrado construido sobre la
hipotenusa es igual a la suma de las reas de los cuadrados construidos sobre
los catetos.
Tema 3: Rectas notables de un tringulo
Mediana.
Se llama mediana de un tringulo al segmento que une un vrtice con el punto
medio del lado opuesto.
Las tres medianas de un tringulo se cortan en un punto que se llama
baricentro.
Para determinar el baricentro de un tringulo cualquiera haciendo uso de
GeoGebra se aplica el siguiente proceso:
Se construye el tringulo
Se identifican los puntos medios de cada uno de los lados del
tringulo.
Se une cada vrtice con el punto medio de su respectivo lado
opuesto; es decir se trazan las medianas.
Se identifica el punto de corte de las tres medianas.
-
Curso intermedio especializado para docentes: GeoGebra en la enseanza de las Matemticas
22
Figura 31: Baricentro
Mediatriz
Recuerda que la mediatriz de un segmento, es la recta perpendicular al
segmento en su punto medio.
Se llaman mediatrices del tringulo a las mediatrices de cada uno de sus lados.
Figura 32: Mediatrices
-
Curso intermedio especializado para docentes: GeoGebra en la enseanza de las Matemticas
23
Observa que las tres mediatrices se cortan en un punto, que se denomina
circuncentro
El circuncentro tiene una propiedad muy importante, si se traza una
circunferencia con centro en l, que pase por uno de los vrtices del tringulo,
tambin pasa por los otros dos vrtices. El circuncentro es el centro de la
circunferencia que pasa por los tres vrtices de un tringulo.
Figura 33: circuncentro
A esta circunferencia se le llama circunferencia circunscrita, de ah que a su
centro se le llame circuncentro.
El trazado de mediatrices, y en consecuencia el circuncentro resuelven dos
importantes problemas geomtricos.
1. Determinar el centro de una circunferencia. Imagina que encuentras una
circunferencia dibujada. Cmo calcular su centro?
-
Curso intermedio especializado para docentes: GeoGebra en la enseanza de las Matemticas
24
Figura 34: circunferencia dada
El proceso a seguir es:
Se representan tres puntos cualquiera en ella A, B, C. Construimos
dos segmentos, por ejemplo AB y BC.
Figura 35: identificacin de 3 untos Figura 36: Triangulo ABC
-
Curso intermedio especializado para docentes: GeoGebra en la enseanza de las Matemticas
25
Se trazan las mediatrices de los dos segmentos.
El punto en que se cortan las mediatrices es el centro de la
circunferencia.
Figura 37: centro de la circunferencia
-
Curso intermedio especializado para docentes: GeoGebra en la enseanza de las Matemticas
26
Bisectriz.
La bisectriz de un ngulo es la semirrecta que le divide en dos ngulos iguales.
En un tringulo podemos trazar tres bisectrices, estas se cortan en un punto
que se llama Incentro.
Figura 38: bisectrices de un tringulo
El incentro siempre es un punto situado en el interior del tringulo,
independientemente de la medida de sus lados o ngulos y tiene una
importante propiedad, y de ah su nombre, es el centro de la circunferencia
inscrita en el tringulo.
-
Curso intermedio especializado para docentes: GeoGebra en la enseanza de las Matemticas
27
Figura 39: tringulo rectngulo Figura 40: en un tringulo issceles
Figura 41: bisectrices de un tringulo equiltero Figura 42: bisectrices de un tringulo obtusngulo
Para construir la circunferencia inscrita se procede como se muestra en la
imagen.
Se construyen las bisectrices.
-
Curso intermedio especializado para docentes: GeoGebra en la enseanza de las Matemticas
28
Figura 43: bisectrices de un triangulo dado
La interseccin de las bisectrices es el incentro.
Figura 44: incentro del tringulo ABC
-
Curso intermedio especializado para docentes: GeoGebra en la enseanza de las Matemticas
29
Desde el incentro se traza una perpendicular a uno de los lados.
Figura 45: Perpendicular desde el centro hasta un lado
Se traza la circunferencia con centro el incentro y que pase por la
interseccin con la perpendicular al lado.
Figura 46: circunferencia inscrita
-
Curso intermedio especializado para docentes: GeoGebra en la enseanza de las Matemticas
30
La circunferencia inscrita es tangente los tres lados.
Altura.
Altura de un tringulo es el segmento que une un vrtice con el lado opuesto o su prolongacin formando ngulo recto. La figura muestra el procedimiento para trazar la altura sobre el lado BC.
Se traza la recta que contiene a BC.
Figura 47: recta que contiene al lado AB
Se traza la perpendicular a esa recta por el punto A.
Figura 48: altura sobre el lado BC
-
Curso intermedio especializado para docentes: GeoGebra en la enseanza de las Matemticas
31
Las tres alturas de un tringulo, o sus prolongaciones, se cortan en un punto que se llama ortocentro.
Figura 49: Ortocentro en un triangulo rectngulo
Figura 50: Ortocentro en un tringulo acutngulo
-
Curso intermedio especializado para docentes: GeoGebra en la enseanza de las Matemticas
32
Figura 51: Ortocentro en un tringulo obtusngulo