soluciones ii caracterÍsticas de las …...(valores de x en los que g y h están definidas a la vez...

1º Bachillerato CCSS CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES

1. Completa los siguientes pares: (3, ) ( ,7− ) (2, ) (0, ) y ( ,0) de modo que pertenezcan al

grafo de la función 63

1)( +−= xxf .

� )5,3(5633

1)3(3 ⇒=+⋅−=⇒= fx

� )7,39(393

1136

3

177 −⇒=⇒⋅−=−⇒+⋅−=−⇒−= xxxy

�

⇒=+−=+⋅−=⇒=

3

16,2

3

166

3

262

3

1)2(2 fx

� )6,0(6603

1)0(0 ⇒=+⋅−=⇒= fx

� )0,18(1863

16

3

100 ⇒=⇒=⋅⇒+⋅−=⇒= xxxy

2. Si xxxf −= 2)( comprueba que )()1( xfxf −=+ .

xxxxxxxxf +=−−++=+−+=+ 222 112)1()1()1(

xxxxxf +=−−−=− 22 )()()(

3. Halla el dominio de definición de las siguientes funciones:

a) 12)( += xxf función polinómica ℜ=→ )( fDom

b) 2

1)(

−=

xxf función racional }2{}02/{)( −ℜ==−−ℜ=→ xxfDom

c) 3)1()( −= xxf función polinómica ℜ=→ )( fDom

d) 1

1)(

2 −=

xxf función racional }1,1{}01/{)( 2 −−ℜ==−−ℜ=→ xxfDom

1 ò 11101 22 =−=⇔±=⇔=⇔=− xxxxx

e) 3

1)(

xxf = función racional }0{}0/{)( 3 −ℜ==−ℜ=→ xxfDom

000 33 =⇔=⇔= xxx

f) 1)( 2 ++= xxxf función polinómica ℜ=→ )( fDom


g) 25

7)(

2 −=


5 ò 52525025 22 =−=⇔±=⇔=⇔=− xxxxx

h) 1

1)(

4 −=


1 ò 11101 444 =−=⇔±=⇔=⇔=− xxxxx

i) 62)( 5 +−= xxxf función polinómica ℜ=→ )( fDom

j) 43

2)(

2

7

+−−=xx

xxf función racional ℜ==+−−ℜ=→ }043/{)( 2 xxxfDom

realsolución existe no2

16930432 =−±=⇔=+− xxx

k) 2)1(

2)(

+−=

x

xxf función racional }1{}0)1/({)( 2 −−ℜ==+−ℜ=→ xxfDom

10)1( 2 −=⇔=+ xx

l) 96)( 49 +−= xxxf función polinómica ℜ=→ )( fDom

m) xxxxf 65)( 23 +−= función polinómica ℜ=→ )( fDom

n) 42)( −= xxf función radical con índice par ),2[}042/{)( +∞=≥−ℜ∈=→ xxfDom

),2[242042 +∞∈⇔≥⇔≥⇔≥− xxxx

o) x

xf−

=1

3)( función racional }1{}01/{)( −ℜ==−−ℜ=→ xxfDom

p) 3 2)( −= xxf función radical con índice impar ℜ=−==→ )2()( xyDomfDom

q) 2)( −= xxf función radical con índice par ),2[}02/{)( +∞=≥−ℜ∈=→ xxfDom

r) 2

1)(

−=

xxf función radical con índice par ),2(}02/{)( +∞=>−ℜ∈=→ xxfDom


Nota: El radical aparece en el denominador por eso el radicando ha de ser estrictamente mayor que 0.

s) 3 2

1)(

−=

xxf función radical con índice impar }2{)( −ℜ=→ fDom

Nota: El denominador no puede ser 0

202023 ≠⇔≠−⇔≠−⇒ xxx

t) 4

1)(

2 −−=

x


2 ò 24404 22 =−=⇔±=⇔=⇔=− xxxxx

u) 16

4)(

2

2

+−=

x

xxxf función racional ℜ==+−ℜ=→ }016/{)( 2xxfDom

realsolución tieneno 16016 22 ⇒−=⇔=+ xx

v) 4 216)( xxf −= función radical con índice par ]4,4[}016/{)( 2 −=≥−ℜ∈=→ xxfDom

016 :inecuación laresolver que Tenemos 2 ≥− x

Ceros

4 ò 41616016 22 =−=⇔±=⇔=⇔=− xxxxx

w) 3 216)( xxf −= función radical con índice impar ℜ=−==→ )16()( 2xyDomfDom

x) x

xxf

1)(

−= función radical con índice par

≥−ℜ∈=→ 0

1/)(

x

xxfDom

01

:inecuación laresolver que Tenemos ≥−x

x

Ceros Polos

101 =⇔=− xx 0=x

),1[)0,()( Por tanto, +∞∪−∞=fDom

y) 31

)(x

xxf

−= función radical con índice impar }0{1

)( −ℜ=

−==→x

xyDomfDom


z) 642

53)(

2 −−+=

xx

xxf función racional }3,1{}0642/{)( 2 −−ℜ==−−−ℜ=→ xxxfDom

−=−=

=+=

=±=+±=⇔=−−⇔=−−

12

42

32

42

2

162

2

12420320642 2

)2(:

2

x

x

xxxxx


a) 5 2 1

1)(

−=

xxf función radical con índice impar }1,1{}01/{)( 2 −−ℜ==−−ℜ=→ xxfDom

Nota: El radical aparece en el denominador por eso no puede ser 0

1110101 225 2 ±≠⇔±≠⇔≠⇔≠−⇔≠− xxxxx

b) 4 29

1)(

xxf

−= función radical con índice par }09/{)( 2 >−=→ xxfDom

(Nota: El radical aparece en el denominador por eso el radicando ha der ser estrictamente mayor que 0)

09 :inecuación laresolver que Tenemos 2 >− x

Ceros

3 ò 39909 22 =−=⇔±=⇔=⇔=− xxxxx

)3,3()( Por tanto, −=fDom

c) 826)( +−= xxxf ),0[)()( +∞===→ xyDomfDom

d) 73

232)(

2 +−+=

xx

xxf función racional ℜ==+−−ℜ=→ }073/{)( 2 xxxfDom

realsolución existe no6

8411073 2 =−±=⇔=+− xxx

e) 2

3)(

−+=

x

xxf función radical con índice par

≥

−+ℜ∈=→ 0

2

3/)(

x

xxfDom

02

3 :inecuación laresolver que Tenemos ≥

−+

x

x

Ceros Polos


303 −=⇔=+ xx 202 =⇔=− xx

),2(]3,()( Por tanto, +∞∪−−∞=fDom

f) 4

1)(

−+=

x

xxf

{)]()([)()(

)()( Como ∈−∩=⇒= DomxhDomgDomfDom

xh

xgxf

(Valores de x en los que g y h están definidas a la vez

excepto aquellos en los que h se anula)

� ),1[}01/{Dominio1 +∞−=≥+ℜ∈=→+= xxxy

� ℜ=→−= Dominio4xy

� 404 ≠⇔≠− xx

),4()4,1[)( Por tanto, +∞∪−=fDom

g) 3

2

6

4)(

−−=

x

xxf

{)]()([)()(

)()( Como ∈−∩=⇒= DomxhDomgDomfDom

xh

xgxf

(Valores de x en los que g y h están definidas a la vez excepto aquellos en los que h se anula)

� ),2[]2,(}04/{Dominio4 22 +∞∪−−∞=≥−ℜ∈=→−= xxxy

04 :inecuación laresolver que Tenemos 2 ≥−x

Ceros

2 ò 24404 22 =−=⇔±=⇔=⇔=− xxxxx

� ℜ=→−= Dominio63 xy

� 6063 ≠⇔≠− xx

),6()6,2[]2,()( Por tanto, +∞∪∪−−∞=fDom


h) 1

65)(

4

2

−+−=

x

xxxf

}0)(/)({)]()([)()(

)()( Como =∈−∩=⇒= xhhDomxhDomgDomfDom

xh

xgxf

(Valores de x en los que g

y h están definidas a la vez excepto aquellos en los que h se anula)

� ℜ=→+−= Dominio652 xxy

� ),1()1,(}01/{Dominio1 44 +∞∪−−∞=>−ℜ∈=→−= xxxy (La desigualdad es estricta porque el

denominador no puede ser 0)

Ceros

1 ò 11101 444 =−=⇔±=⇔=⇔=− xxxxx

),1()1,()( Por tanto, +∞∪−−∞=fDom

i) 32

6

44

15)(

+−+−=

xx

xxxf función radical con índice impar =

+−+−==→

44

15)(

2

6

xx

xxyDomfDom

}2{}044/{ 2 −ℜ==+−−ℜ= xxx

=−

=+

=±=−±=⇔=+−

22

04

22

04

2

04

2

161640442 xxx

j) 42 65

)7()(

+++=xx

xxxf función radical con índice par

≥

+++ℜ∈=→ 0

65

)7(/)(

2 xx

xxxfDom

)(2(

)7(0

65

)7( :inecuación laresolver que Tenemos

2 +++⇔≥

+++

xx

xx

xx

xx

Ceros Polos

7 o 00)7( −==⇔=+ xxxx 2 o 30652 −=−=⇔=++ xxxx


),0[)2,3(]7,()( Por tanto, +∞∪−−∪−−∞=fDom

k) 81721)( 3 −−= xxxf función polinómica

ℜ=→ )( fDom

l) 79

97)(

4 ++=

x

xxf función racional ℜ==+−ℜ=→ }079/{)( 4xxfDom

realsolución tieneno 9

7079 44 ⇒−=⇔=+ xx

m) 3 9

72)(

x

xxf

−+=

}0)(/)({)]()([)()(


xh

xgxf

(Valores de x en los que g

y h están definidas a la vez excepto aquellos en los que h se anula)

� ℜ=→+= Dominio72xy


n) 99

846)(

23

23

+−−++−=

xxx

xxxxf función racional }099/{)( 23 =+−−−ℜ=→ xxxxfDom

09923 =+−− xxx

9 9 1 1 −−

9 0 1 −+ 0 9 0 1 −

±=⇒=−

=⇒=−⇔=−⋅−⇔=+−−

309

101

0)9()1(0992

223

xx

xx

xxxxx

}3,1,3{)( Por tanto, −−ℜ=fDom

rdenominado al anula porque dominio elen está no 9 luego 9093 →≠⇔≠− xx

}9{)( Por tanto, −ℜ=fDom

1


o) 62

34)(

2

++−=

x

xxxf (similar al ejercicio 9.n))

}0)(/)({)]()([)()(


xh

xgxf

(Valores de x en los

que g y h están definidas a la vez excepto aquellos en los que h se anula)

p) 2

2)(

−=

xxf }2{

2

2)( −ℜ=

−==→

xyDomfDom


a) )23ln()( 2 +−= xxxf ),2()1,(}023/{Dominio 2 +∞∪−∞=>+−ℜ∈=→ xxx

023 :inecuación laresolver que Tenemos 2 >+− xx

Ceros

1

2

213

2893

0232

=

=±=−±=⇔=+−

x

x

xxx

),2()1,()( Por tanto +∞∪−∞=fDom

b) 1ln)( −= xxf

),[}1ln/{}01ln/{Dominio +∞=≥ℜ∈=≥−ℜ∈=→ exxxx

),[1ln 1ln +∞∈⇔≥⇔≥⇔≥ exexeex x


EL SIGUIENTE APARTADO ES ALGO MÁS COMPLICADO QUE EL RESTO, REVISARLO Y SINO YA LO MIRAREMOS CON DETALLE EN CLASE

c)

+−=

1

3ln)(

2

x

xxxf

≥

+−

+−=∈=→ 0

1

3ln/

1

3lnDominio

22

x

xx

x

xxyDomx

+−

1

3ln de dominio el lugar,primer en ,determinar que Tenemos )1º

2

x

xx

>+−ℜ∈=

+−= 0

13

/1

3lnDominio

22

x

xxx

x

xxy

01

3 :inecuación la Resolvemos

2

>+−

x

xx

Ceros Polos

3 o 003 2 ==⇔=− xxxx 101 −=⇔=+ xx

)3,0()1,(01

3/

1

3lnDominio ,Por tanto

22

∪−−∞=

>+−ℜ∈=

+−=

x

xxx

x

xxy

01

3ln dominiosu de valoresqué para determinar que tenemosAhora )2º

2

≥

+−

x

xx

01

120

1

1301

1

31

1

30

1

3ln

2222

)(

2

≥+

−+−⇔≥+

−−−⇔≥−+−⇔≥

+−⇔≥

+−

∗ x

xx

x

xxx

x

xx

x

xx

x

xx

10ln que Recuerda )( ≥⇔≥∗ aa


01

12 inecuación laresolver que tenemosdecir, Es

2

≥+

−+−x

xx

Ceros Polos

10122 =⇔=−+− xxx 101 −=⇔=+ xx

)1,()( Por tanto −−∞=fDom

d) 3

ln)(

−=

x

xxf

� ),0(Dominioln +∞=→= xy

� ),3(}03/{Dominio3 +∞=>−ℜ∈=→−= xxxy (La desigualdad es estricta porque como el

radical está en el denominador no puede ser 0)

El dominio de la función es la intersección de los dos intervalos anteriores,

Por tanto, ),3()( +∞=fDom

e) )1ln(

)(−

=x

xxf


� ℜ=→= Dominioxy

� ),1(}1/{}01/{Dominio)1ln( +∞=>ℜ∈=>−ℜ∈=→−= xxxxxy

� 2110)1ln( ≠⇔≠−⇔≠− xxx

),2()2,1()( Por tanto, +∞∪=fDom

f) 29log)( xxf −= )3,3(}09/}{09/{Dominio 22 −=>−ℜ∈>−ℜ∈=→ xxxx

09 :inecuación laresolver que Tenemos 2 >− x

Ceros

3 ò 316909 22 =−=⇔±=⇔=⇔=− xxxxx

g) )3log()( 2 −= xxf ),3()3,(}03/{Dominio 2 +∞∪−−∞=>−ℜ∈=→ xx

03 :inecuación laresolver que Tenemos 2 >−x (No lo desarrollo con detalle porque ya hemos resuelto muchas inecuaciones de este tipo)

h)

i) 1ln)( −= xxf }1{}01/{Dominio −ℜ=>−ℜ∈=→ xx

j) 1ln

1)(

−=

xxf }2,0,1{}01ln/{}01/{Dominio −ℜ==−−>−ℜ∈=→ xxxx

}1{01 −ℜ∈⇔>− xx

0 o 21101ln ==⇔=−⇔=− xxxx

k) xxxf −−+= 32)(

� ),2[}02/{Dominio2 +∞−=≥+=→+= xxxy

� ]3,(}03/{Dominio3 −∞=≥−=→−= xxxy Por tanto, ]3,2[]3,(),2[)( −=−∞∩+∞−=fDom xsenxxf cos)( −= ℜ=→ Dominio


l)

m) 2cos

)(−

=x

senxxf ℜ==−−ℜ=→ }02cos/{)( xxfDom

n) 1

)(−

=senx

xxf

Ζ∈+−ℜ==−−ℜ=→ kksenxxfDom con 2

2}01/{)( ππ

Ζ∈+=⇔=⇔=− kkxsenxsenx con 22

101 ππ

o)

−=

xx

xxf

3cos)( }1,0,1{}0/{Dominio 3

3−−ℜ==−−ℜ=

−==→ xxx

xx

xyDom

1 o 0 0)1(0 23 ±==⇒=−⇔=− xxxxxx xxxx ∀≤≤−→=⇔=− 1cos1 que yasolución tieneno 2cos02cos

p) )7()( += xsenxf ℜ=+==→ )7(Dominio xyDom

q)

−=

2

2cos)(

2xxf }2{

2

2Dominio

2±−ℜ=

−==→

xyDom

2202 22 ±=⇔=⇔=− xxx

r) Ζ∈= k

kxsenxf con

)(

1)(

}{}0)(/{)( π−ℜ==ℜ∈=→ kxsenxfDom

ππ =⇔Ζ∈=⇔= xkkkxkxsen con 0)(


a) 25)( −= xxf ℜ=−==→ )2(Dominio xyDom

b) 42

2)(

−=

x

x

xf

�� ℜ=→= Dominio2xy

�� ℜ=→−= Dominio42xy

�� 242042 ≠⇔≠⇔≠− xxx

Por tanto, }2{)( −ℜ=fDom

c) xxxf 32)( −= ]0,(}032/{)( −∞=≥−−ℜ=→ xxxfDom

)0 cuando azul la de encimapor está roja gráfica (la 032032 ≤≤⇔≥⇔≥− xxxxxx


7.

d)

1)(

+=

x

x

e

exf

� ℜ=→= Dominioxey

� ℜ=→+= Dominio1xey

� ) devalor cualquier para 0(solución tieneno101 xeee xxx >⇒−=⇒=+ Por tanto, ℜ=)( fDom

e) 132

2

1)(

+−

=xx

xf ℜ=+−==→ )13(Dominio 2 xxyDom

f) xxxf −−= 9)52()(

�

+∞∈→>− ,2

5052 xx


+∞=ℜ∩

+∞= ,2

5,

2

5)( Por tanto, fDom

g) 24)53()( xxxf −−=

�

+∞∈→>− ,3

5053 xx

� ]2,2[}04/{Dominio4 22 −=≥−ℜ∈=→−= xxxy

04 :inecuación laresolver que Tenemos 2 ≥− x

Ceros

2 ò 24404 22 =−=⇔±=⇔=⇔=− xxxxx


=−∩

+∞= 2,3

5]2,2[,

3

5)( Por tanto, fDom

h) 23 2

55

38)(

−

−−=

x

x

xxf

�

∈→>−

−3

8,10

55

38x

x

x

Ceros Polo

3

8038 =⇒=− xx 1055 =⇒=− xx

� ℜ=→−= Dominio23 2xy

=ℜ∩

=3

8,1

3

8,1)( Por tanto, fDom

i) x

x

xxxf

1log

2

63

5)(

−−=

063

5 es "" de valoresqué para determinar que moslugar teneprimer En )1º

2

>−−

x

xxx

� ),5[]0,(Dominio52 +∞∪−∞=→−= xxy

� }2{63 −ℜ→−= xy

� 2063 ≠⇔≠− xx

� Por tanto, ),5[]0,(63

5Dominio

2

+∞∪−∞=

−−=

x

xxy

Ahora, del conjunto anterior ),5[]0,( +∞∪−∞ determinamos los valores para los que 063

52

>−−

x

xx


),5(063

5 ,Por tanto

2

+∞∈⇔>−−

xx

xx

),0(01

/Dominio1

log de dominio el osdeterminamón continuaciA )2º +∞=

>=→=

xx

xy

),5(),0(),5()( ,Finalmente )3º +∞=+∞∩+∞=fDom

j) 26

94

45)( −+

= x

x

xf

−+==→

26

94Dominio

x

xyDom

� ℜ=→+= Dominio94 xy

�

+∞=>ℜ∈=>−ℜ∈→−= ,3

1}26/{}026/{26 xxxxxy (la desigualdad es estricta porque el

denominador no puede anularse)

El dominio de )(xf es la intersección de los dos conjuntos anteriores, por tanto,

+∞=

+∞∩ℜ= ,3

1,

3

1)( fDom


SE ESTUDIAN LAS FUNCIONES PARCIALES EN CADA UNO DE LOS SUBINTERVALOS EN LOS

QUE ESTÁN DEFINIDAS.

a)

≤+

>−=

0 2

1

0 1)(

xsix

xsixxf

Primero estudiamos el dominio de cada una de las funciones parciales

� )(),0( Dominio1 fDomxy ∈+∞⇒ℜ=→−=

� )(]0,2()2,( }2{Dominio2

1fDom

xy ∈−∪−−∞⇒−−ℜ=→

+=


}2{)( Por tanto, −−ℜ=fDom

b)

≥−<<−

≤=

−

5 1

41 3

1 2

)(

xsi

xsix

xsi

xf

x


� )(]1,( Dominio2 fDomy x ∈−∞⇒ℜ=→= −

� )()4,1( Dominio3 fDomxy ∈⇒ℜ=→−=

� )(),5[ Dominio 1 fDomxy ∈+∞⇒ℜ=→−=

),5[)4,()( Por tanto, +∞∪−∞=fDom

c)

≥−<≤

<+=

3 2

30 2

0 2

)(

xsix

xsi

xsix

xf


� )()0,( Dominio2 fDomxy ∈−∞⇒ℜ=→+=

� )()3,0[ Dominio2 fDomy ∈⇒ℜ=→=


ℜ=)( que, tenenemosanteriores lossubinterva los Uniendo fDom

d)

≥−<<

<

=1 2

10 ln

0 1

)(

xsix

xsix

xsix

xf


� )()0,( }0{Dominio1

fDomx

y ∈−∞⇒−ℜ=→=


� ),0(Dominio)ln( +∞=→= xy )()1,0( fDom∈⇒


}0{)( que, tenenemosanteriores lossubinterva los Uniendo −ℜ=fDom

e)

>−

≤<

≤<−

=

5 10

53 1

22 1

)(

xsix

xsi

xsix

xf


� )(]2,0()0,2( }0{Dominio1

fDomx

y ∈∪−⇒=−ℜ=→=

� ℜ=→= Dominio1y )(]5,3( fDom∈⇒

� )(]10,5( ]10,(Dominio 10 fDomxy ∈⇒−∞=→−=

]10,3(]2,0()0,2()( que, tenenemosanteriores lossubinterva los Uniendo ∪∪−=fDom

f)

≥

<<≤+

=

5 1

51 ln

1 1

)(

2

xsix

xsix

xsix

xf


� )(]1,( Dominio12 fDomxy ∈−∞⇒ℜ=→+=

� ),0(Dominio)ln( +∞=→= xy )()5,1( fDom∈⇒

� )(),5[ }0{Dominio 1

fDomx

y ∈+∞⇒−ℜ=→=

ℜ=)( que, tenenemosanteriores lossubinterva los Uniendo fDom

g)

≤−

>−=

0 2

1

0 1)(

xsix

xsixxf


� )(),0( ),0[Dominio1 fDomxy ∈+∞⇒+∞=→−=

� )(]0,( }2{Dominio2

1fDom

xy ∈−∞⇒−ℜ=→

−=


ℜ=)( Por tanto, fDom

8. Halla la expresión analítica de las siguientes funciones:

A)

≤≤≤≤−

≤<−

<≤<

=

122

15 ò 20 si

2

1

52 si 12

156 ò 0 si 1

)(

xx

x

xx

xf

Todas las funciones parciales son funciones constantes y, por tanto, de la forma ℜ∈= kky con

B)

� Tramo I) 2 constantefunción =→ y � Tramo II) nmxy +=→ linealfunción

• Ordenada en el origen 2)2,0( punto elen ordenadas de eje el corta recta la =→→ n

• Pendiente m →

11)2(0

02

xdeVariación

y deVariación (0,2)P

(-2,0)P puntos lospor pasa recta La

01

01

1

0 =⇒=−−

−=−−==⇒

mxx

yym

Por, tanto 2+= xy � Tramo III) nmxy +=→ linealfunción

• Ordenada en el origen 2)2,0( punto elen ordenadas de eje el corta recta la =→→ n


• Pendiente m →

110

20

xdeVariación

y deVariación (2,0)P

(0,2)P puntos lospor pasa recta La

01

01

1

0 −=⇒−=−=−−==⇒

mxx

yym

Por, tanto 2+−= xy

� Tramo IV) 2 constantefunción =→ y

POR TANTO,

>≤≤+−

<≤−+−<

=

2 si 2

20 si 2

02 si 2

2 si 2

)(

x

xx

xx

x

xf

C)

� Tramo I) nmxy +=→ linealfunción

• 22)3(2

20

xdeVariación

y deVariación 2,0)(P

3,2)(P puntos lospor pasa recta La

01

01

1

0 −=⇒−=−−−

−=−−==⇒

−−

mxx

yym

• 462)3(22 recta) laen punto el os(sustituim )2,3(P punto elpor Pasa

22

1

−=⇒+=⇒+−⋅−=⇒

−+−=⇒−=

nnnnxym

Por, tanto 42 −−= xy

� Tramo II) nmxy +=→ linealfunción

• Ordenada en el origen 4)4,0( punto elen ordenadas de eje el corta recta la −=→−→ n

• 44)2(0

44 xdeVariación y deVariación

)4,0(P

2,4)(P puntos lospor pasa recta La

01

01

1

0 =⇒=−−−−=

−−==⇒

−−

mxx

yym

Por, tanto 44 −−= xy

� Tramo III) nmxy +=→ linealfunción

• Ordenada en el origen 4)4,0( punto elen ordenadas de eje el corta recta la −=→−→ n

• Pendiente m →

4402

)4(4 xdeVariación y deVariación

(2,4)P

)4,0(P puntos lospor pasa recta La

01

01

1

0 =⇒=−−−=

−−==⇒

−

mxx

yym

Por, tanto 44 −= xy � Tramo IV) nmxy +=→ linealfunción


• 2203

)4(2 xdeVariación y deVariación

)2,3(P

4)(0,P puntos lospor pasa recta La

01

01

1

0 =⇒=−−−=

−−==⇒

−

mxx

yym

• 462)3(22 ecuación) laen punto el os(sustituim)2,3(P punto elpor Pasa

22

1

−=⇒+=⇒+⋅=⇒+=⇒=

nnnnxym

Por, tanto 42 −= xy

POR TANTO,

>−≤≤−

<≤−−−−<−−

=

2 si 42

20 si 44

02 si 44

2 si 42

)(

xx

xx

xx

xx

xf

9. Halla el dominio, los puntos de corte con los ejes, el signo y la simetría de las siguientes funciones:

a) 22)( 23 +−−= xxxxf

� Función polinómica ℜ=→ )( fDom

� Puntos de corte con el eje OX

=+−−=

0

22 23

y

xxxy (Utilizamos el método de igualación) 022 23 =+−−⇒ xxx

2 1 2 1 +−−

2 1 1 −−+

0 2 1 1 −−

=−=⇒=−−

=⇒=−⇔=−−⋅−⇔=+−−

2 o 102

101

0)2()1(0222

223

xxxx

xx

xxxxxx

Luego, los puntos de corte con el eje OX son )0,1(− )0,1( y )0,2(

� Puntos de corte con el eje OY

=+−−=

0

22 23

x

xxxy(Utilizamos el método de sustitución) ⇒ 220020 23 =+−⋅−=y ⇒ 2=y

Luego, el punto de corte con el eje OY es )2,0( .

� Signo de la función

• ℜ=)( fDom

• 2 ò 1 10220)( 23 ==−=⇔=+−−⇔= xxxxxxxf

)2)(1)(1(22 23 −−+=+−− xxxxxx

1


�∞ �1 1 2 �∞

Por tanto,

)2,1()1,( si 0)( ∪−−∞∈< xxf

),2()1,1( si 0)( +∞∪−∈> xxf

� Simetría de la función

conocidas simetríashay No

)(

)(

222)()(2)()( 2323 ⇒

−≠++−−=+−−−−−=−

xf

xf

xxxxxxxf

b) 44)( 24 ++= xxxf

� Función polinómica ℜ=→ )( fDom


=++=

0

44 24

y

xxy (Utilizamos el método de igualación) 044 24 =++⇒ xx

044 variablede cambio el Hacemos

044 bicuadradaEcuación 22

24

=++⇒=•

=++•

tttx

xx

realsolución existe no2 variablede cambio el Deshacemos

2

2

2

04

2

16164 grado 2º deecuación la Resolvemos

2 ⇒−=⇒•

−

−=±−=−±−=•

x

t

SIGNO DE f(x) − + − +


�∞ �∞

Por tanto no hay puntos de corte con el eje de abscisas.


=++=

0

44 24

x

xxy (Utilizamos el método de sustitución) ⇒ 44040 24 =+⋅+=y ⇒ 4=y

Luego, el punto de corte con el eje OY es )4,0( .


• ℜ=)( fDom

• realsolución tieneno 0440)( 24 ⇔=++⇔= xxxf

Por tanto,

ℜ∈∀> xxf 0)(


⇒=+=+−+−=− )(444)(4)()( 2424 xfxxxxxf )(xf es PAR (gráfica simétrica respecto al eje OY)

c) 23

)(2

2

+−=

xx

xxf

� Función racional }2,1{}023/{)( 2 −ℜ==+−−ℜ=→ xxxfDom


SIGNO DE f(x) +


2 �∞ �∞ 1 0

=+−

=

0232

2

yxx

xy

(Utilizamos el método de igualación) 00023

22

2

=⇒=⇒=+−

⇒ xxxx

x

Luego, el punto de corte con el eje OX es )0,0(


=+−

=

0232

2

xxx

xy

(Utilizamos el método de sustitución) 002030

02

2

=⇒=+⋅−

=⇒ yy

Luego, el punto de corte con el eje OY es )0,0(


• }2,1{)( −ℜ=fDom

• 0023

0)(2

2

=⇔=+−

⇔= xxx

xxf

Por tanto,

),2()1,0()0,( si 0)( +∞∪∪−∞∈> xxf



)(

)(

232)(3)(

)()(

2

2

2

2

⇒

−≠

++=

+−−−−=−

xf

xf

xx

x

xx

xxf

SIGNO DE f(x) + + − +

)2,1( si 0)( ∈< xxf


1 �∞ �∞ -1

d) 1

1)(

2

4

−+=

x

xxf

� Función racional }1,1{}01/{)( 2 −−ℜ==−−ℜ=→ xxfDom


=−+=

01

12

4

yx

xy

(Utilizamos el método de igualación) realsolución existe no0101

1 42

4

⇒=+⇒=−+

⇒ xx

x



=−+=

01

12

4

xx

xy


102

4

−=⇒−=−+=⇒ yy

Luego, el punto de corte con el eje OY es )1,0( −


• }1,1{)( −−ℜ=fDom

• realsolución hay no0 101

10)( 4

2

4

⇒=+⇔=−+⇔= x

x

xxf


Por tanto,

)1,1( si 0)( −∈< xxf

),1()1,( si 0)( +∞∪−∞∈> xxf


⇒=−+=

−−−=− )(

1

1

1)(

)()(

2

4

2

4

xfx

x

x

xxf )(xf es PAR (gráfica simétrica respecto al eje OY)

e) x

xxf

−=

1)(

3

� Función racional }1(}01/{)( −ℜ==−−ℜ=→ xxfDom


=−

=

01

3

yx

xy

(Utilizamos el método de igualación) 0001

33

=⇒=⇒=−

⇒ xxx

x



=−

=

01

3

xx

xy


03

=⇒=−

=⇒ yx

y



SIGNO DE f(x) + − +


1 �∞ �∞ 0

• }1{)( −ℜ=fDom

• 00 01

0)( 33

=⇒=⇔=−

⇔= xxx

xxf

Por tanto,

),1()0,( si 0)( +∞∪−∞∈< xxf

)1,0( si 0)( ∈> xxf



)(

)(

1)(1

)()(

33

⇒

−≠

+−=

−−−=−

xf

xf

x

x

x

xxf

f) 13)( +−= xxf

� Función radical ),3[}03/{)( +∞=≥−−ℜ=→ xxfDom


=+−=

0

13

y

xy (Utilizamos el método de igualación) ⇒−=−⇒=+−⇒ 13013 xx

negativo) númeroun ser puede no 3 de resultado (el realsolución tieneNo −⇒ x

SIGNO DE f(x) − + −




=+−=

0

13

x

xyOY eje elcon corte de puntohay No)(0 ⇒∉ fDom


)( 0)()( 013),3[ 03 fDomxxffDomxxxx ∈∀>⇒∈∀>+−⇒+∞∈∀≥−



)(

)(

13)( ⇒

−≠+−−=−

xf

xf

xxf

Observa que ),3[)( +∞=fDom , por tanto, la función no puede ser simétrica ni respecto al eje OY ni

respecto al origen de coordenadas. Es decir, no puede ser par ni impar.

Observa también que 13)( +−= xxf es la función xy = trasladada verticalmente 1 unidad hacia

arriba y 3 unidades a la derecha.

g) x

xxf

2)( =

� }0{)( −ℜ=fDom



�∞ �∞ 0

=

=

02

yx

xy

(Utilizamos el método de igualación) ⇒=⇒=⇒=⇒ 0002

xxx

xNo hay puntos de corte

con el eje OX pues )(0 fDom∉


=

=

02

xx

xy

OY eje elcon corte de puntohay No)(0 ⇒∉ fDom


• }0{)( −ℜ=fDom

• solución tieneNo 0)( ⇔=xf

Por tanto,

)0,( si 0)( −∞∈< xxf

),0( si 0)( +∞∈> xxf


s)coordenada deorigen al respecto (simétrica IMPAR es )( )(22)(2

)( xfxfx

x

x

x

x

xxf ⇒−=−=

−=

−−

=−

Observa que la función se puede expresar como una “función definida a trozos”.

>=

<−=−

==0 si

2

1

2

0 si 2

1

22

)(

xx

x

xx

x

x

xxf

SIGNO DE f(x) − +


�∞ 3 -1

h) 12)( +−= xxf

� Función radical ),1[}01/{)( +∞−=≥+−ℜ=→ xxfDom


=+−=

0

12

y

xy (Utilizamos el método de igualación) ⇒=+⇒=+−⇒ 21012 xx

3412)1( 22 =⇒=+⇒=+⇒ xxx



=+−=

0

12

x

xy(Utilizamos el método de sustitución) 11102 =⇒=+−=⇒ yy



)0,1[)( −=fDom

0)( =xf ⇒=+⇒=+−⇒ 21012 xx 3412)1( 22 =⇒=+⇒=+ xxx

Por tanto,

),3( si 0)( +∞∈< xxf

)3,1[ si 0)( −∈> xxf


SIGNO DE f(x) + −



)(

)(

12)( ⇒

−≠+−−=−

xf

xf

xxf

Observa que ),1[)( +∞−=fDom , por tanto, la función no puede ser simétrica ni respecto al eje OY ni

respecto al origen de coordenadas. Es decir, no puede ser par ni impar.

Observa también que 12)( +−= xxf es la función xy −= trasladada verticalmente 2 unidades

hacia arriba y 1 unidades a la izquierda.

i) x

xxf

3 2 5)(

−=

� Dominio

⇒=)(

)()(

xh

xgxf

(Valores de x en los que g y h están definidas a la vez excepto aquellos en los que h se

anula)

ℜ=−=→−= )5(Dominio5 23 2 xDomxy

}0{−ℜ→= xy Eliminamos el 0 porque el denominador no puede anularse

}0{)( Por tanto, −ℜ=fDom


=

−=

0

53 2

yx

xy (Utilizamos el método de igualación) 05050

5 23 23 2

=−⇒=−⇒=−⇒ xx

x

x

552 ±=⇒=⇒ xx


5 �∞ �∞ 0 5− 0

Luego, los puntos de corte con el eje OX son )0,5(− y )0,5(


=

−=

0

53 2

xx

xy OY eje elcon corte de puntohay No)(0 ⇒∉ fDom


• }0{)( −ℜ=fDom

• 50)( ±=⇔= xxf

Por tanto,

)5,0()5,( si 0)( ∪−−∞∈< xxf

),5()0,5( si 0)( +∞∪−∈> xxf


⇒−=−−=−

−−=− )(

55)()(

3 23 2

xfx

x

x

xxf La función es IMPAR (su gráfica es simétrica respecto al

origen de coordenadas)

SIGNO DE f(x) − + − +


j) 1

)(2

24

+−=

x

xxxf

� Dominio

Función radical con índice par

≥+

−ℜ∈=→ 01

/)(2

24

x

xxxfDom

01

)1)(1(0

1 :inecuación laresolver que Tenemos 2

2

2

24

≥+

+−⇔≥+−

x

xxx

x

xx

Ceros

1 o 00)1(0 2224 −±==⇔=−⇔=− xxxxxx

Polos

realsolución tieneno 101 22 ⇒−=⇔=+ xx

),1[}0{]1,()( Por tanto, +∞∪∪−−∞=fDom


=+

−=

012

24

yx

xxy

01

01 2

24

2

24

=+

−⇒=

+−

⇒x

xx

x

xx1 o 00)1(0 2224 −±==⇒=−⇒=−⇒ xxxxxx

Luego, los puntos de corte con el eje OX son )0,0( )0,1(− y )0,1(


=+

−=

012

24

xx

xxy

0010

002

22

=⇒=+

−=⇒ yy



• ),1[}0{]1,()( +∞∪∪−−∞=fDom

1º Bachillerato CCSS FUNCIONES I

0 ∞− 1 1− ∞+

• 1 o 00)( −±==⇔= xxxf

Por tanto,

)( 0)( fDomxxf ∈∀≥


⇒=+

−=+−−−−=− )(

11)()()(

)(2

24

2

24

xfx

xx

x

xxxf La función es PAR (su gráfica es simétrica respecto al

eje OY)

k) 182)( 3 −−= xxf

� ℜ=)( fDom


=−−=

0

1823

y

xy (Utilizamos el método de igualación) ⇒=−⇒=−−⇒ 1820182 33 xx

29

921821)82( 333 =⇒=⇒=−⇒=−⇒ xxxx

Luego, el punto de corte con el eje OX es

0,2

9


=−−=

0

1823

x

xy (Utilizamos el método de sustitución) 331218023 −=⇒−=−−=−−⋅=⇒ yy

Luego, el punto de corte con el eje OY es )3,0( −


SIGNO DE f(x) + +


�∞ ∞− 2

9

ℜ=)( fDom

0)( =xf29=⇔ x

Por tanto,

∞−∈<2

9. si 0)( xxf

+∞∈> ,2

9 si 0)( xxf



)(

)(

182)( 3 ⇒

−≠−−−=−

xf

xf

xxf

l) 23)( 12 2

+= +xxf

� ℜ=)( fDom


=+= +

0

23 12 2

y

y x

23023 1212 22

−=⇒=+⇒ ++ xx )( 0)( 0 Pero, fDomxxfba b ∈∀>⇒ℜ∈∀>

Luego, no hay puntos de corte con el eje OX


=+= +

0

23 12 2

x

y x

552323 102 2

=⇒=+=+=⇒ +⋅ yy

SIGNO DE f(x) − +




)( 0)( 023 03 0 1212 22

fDomxxfxxba xxb ∈∀>⇒∀>+⇒∀>⇒ℜ∈∀> ++


⇒==+=− ++− )(2323)( 121)(2 22

xfxf xx La función es PAR (su gráfica es simétrica respecto al eje

OY)

m) xxxf −=3

5)(

� ℜ=−== )()( 3 xxyDomfDom


== −

0

53

y

y xx

053

=⇒ −xx xa x 0 puessolución tieneNo ∀>⇒



== −

0

53

x

y xx

1150 =⇒==⇒ yy



ℜ∈∀>⇒ℜ∈∀> xxfba b 0)( 0




)(

)(

55)(33 )()( ⇒

−≠==− +−−−−

xf

xf

xf xxxx

n) )4log()( 2 −= xxf

� ),2()2,(}04/{)( 2 +∞∪−−∞=>−−ℜ= xxfDom


=−=

0

)4log( 2

y

xy (Utilizamos el método de igualación) ⇒=−⇒=−⇒ 140)4log( 22 xx

552 ±=⇒=⇒ xx

Luego, los puntos de corte con el eje OX son )0,5(− y )0,5(


=−=

0

)4log( 2

x



• ),2()2,()( +∞∪−−∞=fDom

• 0)( =xf ⇒=−⇒=−⇒ 140)4log( 22 xx 552 ±=⇒= xx


5 �∞ �∞ 0 5− -2 2

Por tanto,

)5,2()2,5( si 0)( ∪−−∈< xxf

),5()5,( si 0)( +∞∪−∞∈> xxf


OY) eje al respecto simétrica es gráfica(su PAR es )( )()4log()4)log(()( 22 xfxfxxxf ⇒=−=−−=−

o) 1)7log()( −+= xxf

� ),7(}07/{)( +∞−=>+−ℜ= xxfDom


=−+=

0

1)7log(

y

xy (Utilizamos el método de igualación) ⇒=+⇒=−+⇒ 1)7log(01)7log( xx

3107 =⇒=+⇒ xx


SIGNO DE f(x) + − − +


�∞ 3 -7


=−+=

0

1)7log(

x

xy1)7log(01)70log( −=⇒=−+=⇒ yy

Luego, el punto de corte con el eje OY es )1)7log(,0( −


• ),7()( +∞−=fDom

• 0)( =xf 3=⇒ x

•

Por tanto,

)3,7( si 0)( −∈< xxf

),3( si 0)( +∞∈> xxf


),7()( +∞−=fDom , por tanto, la función no puede ser simétrica ni respecto al eje OY ni respecto al

origen de coordenadas. Es decir, no puede ser par ni impar.

Observa que )(xf es la función xy log= trasladada verticalmente 1 unidad hacia abajo y horizontalmente

7 unidades a la izquierda.

p) 6log)( 2 −= xxf

SIGNO DE f(x) − +


�∞ 7 6

� ),6(}06/{)( +∞=>−−ℜ= xxfDom


=−=

0

6log2

y

xy (Utilizamos el método de igualación) ⇒=−⇒=−⇒ 1606log2 xx 7=x



=−=

0

6log2

x



• ),6()( +∞=fDom

• 0)( =xf 7=⇒ x

•

Por tanto,

)7,6( si 0)( ∈< xxf

),7( si 0)( +∞∈> xxf


),6()( +∞=fDom , por tanto, la función no puede ser simétrica ni respecto al eje OY ni respecto al

origen de coordenas. Es decir, no puede ser par ni impar.

SIGNO DE f(x) − +


10. Obtener toda la información posible de las siguientes funciones:

1) }2{)( −−ℜ=fDom

2) ℜ=)(Re fc

3) }2{dcontinuida de Dominio −−ℜ=

2−=x discontinuidad asintótica o de salto infinito

4) Puntos de corte con el eje OX: )0,0( y )0,5(

Puntos de corte con el eje OY: )0,0(

5) Signo de )(xf

)5,0()0,2( si 0)( ∪−∈< xxf

),5()2,( si 0)( +∞∪−−∞∈> xxf

6) No es simétrica

7) No es periódica

8) Asíntota vertical: 2−=x

9) )3,0()4,( si decrece )( ∪−−∞∈xxf

),3()0,2()2,4( si crece )( +∞∪−∪−−∈xxf

10) Mínimos relativos: )1,4(− y )2,3( −

Máximos relativos: )0,0(

No tiene extremos absolutos

11) No está acotada (recuerda que ℜ=)(Re fc )


1) }3{)( −ℜ=fDom

2) }0{)(Re −ℜ=fc

3) }3{dcontinuida de Dominio −ℜ=

3=x discontinuidad asintótica o de salto infinito

4) Puntos de corte con el eje OX: No hay


5) Signo de )(xf

),3( si 0)( +∞∈< xxf

)3,( si 0)( −∞∈> xxf

6) No es simétrica

7) No es periódica

8) Asíntota vertical 3=x

Asíntota horizontal: 0=y

9) dominiosu en todo crece )(xf

10) No tiene ni extremos relativos ni extremos absolutos

11) No está acotada (recuerda que }0{)(Re −ℜ=fc )


1) }2,2{)( −−ℜ=fDom

2) ),1[)0,()(Re +∞∪−∞=fc

3) }2,2{dcontinuida de Dominio −−ℜ=



4) Puntos de corte con el eje OX: No hay


5) Signo de )(xf

),2()2,( si 0)( +∞∪−−∞∈< xxf

)2,2( si 0)( −∈> xxf

6) Es Par (simétrica respecto al eje OY)

7) No es periódica

8) Asíntotas verticales: 2y 2 =−= xx


9) )0,2()2,( si decrece )( −∪−−∞∈xxf

),2()2,0( si crece )( +∞∪∈xxf

10) Mínimos relativos: )1,0(

Máximos relativos: No hay

No tiene extremos absolutos

11) No está acotada.


1) }1,3{)( −−ℜ=fDom

2) ℜ=)(Re fc

3) }1,3{dcontinuida de Dominio −−ℜ=



4) Puntos de corte con el eje OX: )0,1(−

Puntos de corte con el eje OY: )1,0( −

5) Signo de )(xf

)1,1()3,( si 0)( −∪−−∞∈< xxf

),1()1,3( si 0)( +∞∪−−∈> xxf

6) No es simétrica

7) No es periódica

8) Asíntotas verticales: 1y 3 =−= xx


9) dominiosu en todo decrece )(xf

10) No tiene ni extremos relativos ni extremos absolutos

11) No está acotada.


1) ℜ=)( fDom

2) ),4[)(Re +∞−=fc

3) )(xf es continua en todo su dominio

4) Puntos de corte con el eje OX: )0,0( )0,5(


5) Signo de )(xf

)5,0( si 0)( ∈< xxf

),5()0,( si 0)( +∞∪−∞∈> xxf

6) No es simétrica

7) No es periódica

8) No tiene asíntotas

9) )2,( si decrece )( −∞∈xxf

),2( si crece )( +∞∈xxf

10) Mínimo relativo y absoluto: )4,2( −

No tiene máximos relativos y absolutos.

11) No está acotada superiormente.

Está acotada inferiormente

4 Ínfimo −=

4 absoluto Mínimo −=


1) ),2()2,1()0,()( +∞∪∪−∞=fDom

2) ),2[)(Re +∞−=fc

3) ),2()2,1()0,2()2,(dcontinuida de Dominio +∞∪∪−∪−−∞=

2−=x discontinuidad de salto finito

0=x discontinuidad asintótica o de salto infinito (por la izquierda)

1=x discontinuidad asintótica o de salto infinito (por la derecha)

2=x discontinuidad evitable

4) Puntos de corte con el eje OX: )0,4(− )0,1(− )0,4(

Puntos de corte con el eje OY: No hay

5) Signo de )(xf

)4,2()1,2[)4,( si 0)( ∪−−∪−−∞∈< xxf

),4()2,1()0,1()2,4( si 0)( +∞∪∪−∪−−∈> xxf

6) No es simétrica

7) No es periódica

8) 0=x asíntota vertical por la izquierda ))(lim(0

+∞=−→

xfx

1=x asíntota vertical por la derecha ))(lim(1

+∞=+→

xfx

2−=y asíntota horizontal por la izquierda )2)(lim( −=−∞→

xfx

3=y asíntota horizontal por la derecha )3)(lim( =+∞→

xfx

9) )3,2()2,1()2,3( si decrece )( ∪∪−−∈xxf

),3()0,2()3,( si crece )( +∞∪−∪−−∞∈xxf

10) Mínimo relativo y absoluto: )2,3( −

Máximo relativo )4,3(− No tiene máximo absoluto.

11) No está acotada superiormente.

Está acotada inferiormente. 2 Ínfimo −= . 2 absoluto Mínimo −=


11. Dadas las siguientes funciones efectúa las operaciones que se indican, calculando en cada caso el

dominio de la función resultante:

4

1)(

2 −=

xxf }2,2{)( −−−ℜ=→ fDom

6)( 2 −= xxg ℜ=→ )( fDom

4

6)( 2 −

=x

xxh }2,2{)( −−ℜ=→ fDom

1)( += xxp ),1[}01/{)( +∞−=≥+ℜ∈=→ xxfDom

1

1)(

+−=

x

xxj }1{)( −−ℜ=→ fDom

1

2)(

2 −+=

x

xxk }1,1{)( −−ℜ=→ fDom

34)( 2 +−= xxxl ),3[]1,(}034/{)( 2 +∞∪−∞=≥+−ℜ∈=→ xxxfDom

034 :inecuación laresolver que Tenemos 2 ≥+− xx

Ceros

3 ò 10342 ==⇔=+− xxxx

4)( −= xxm ℜ=→ )( fDom

1

3)(

−−=

x

xxs }1{)( −ℜ=→ fDom

3

12)(

+−=

x

xxr }3{)( −−ℜ=→ fDom

ℜ=→ )( fDom

}2{)( −ℜ=→ fDom

a) 4

2510

4

24461

4

)6)(4(1)6(

4

1)()())((

2

24

2

224

2

222

2 −+−=

−+−−+=

−−−+=−+

−=+=+

x

xx

x

xxx

x

xxx

xxgxfxgf

• Por tanto, 4

2510))((

2

24

−+−=+

x

xxxgf

• }2,2{})2,2{()()()( −−ℜ=ℜ∩−−ℜ=∩=+ gDomfDomgfDom

b) =−

+++−=+=+

12

11

)()())(( 2x

x

x

xxkxjxkj =

−+++−=

+−++−=

+−++

+−

1212

)1)(1(2)1(

)1)(1(2

11

2

22

x

xxx

xx

xx

xx

x

x

x

1

32

2

−+−=

x

xx

• Por tanto, 1

3))(( 2

2

−+−=+

x

xxxkj

• }1,1{})1,1{(})1{()()()( −−ℜ=−−ℜ∩−−ℜ=∩=+ kDomjDomkjDom


c) 341)()())(( 2 +−++=+=+ xxxxlxpxlp

• Por tanto, 341))(( 2 +−++=+ xxxxlp

• ),3[]1,1[)),3[]1,((),1[)()()( +∞∪−=+∞∪−∞∩+∞−=∩=+ lDompDomlpDom

d) =++

+−+−−−+=++

−+−+−=+−−

+−=−=−

)3)(1(12233

)3)(1()12)(1()3)(1(

312

11

)()())((22

xx

xxxxxx

xx

xxxx

x

x

x

xxrxjxrj

342

)3)(1(2

2

22

++−+−=

++−+−=

xx

xx

xx

xx

• Por tanto, 34

2))(( 2

2

++−+−=−

xx

xxxrj

• }1,3{})3{(})1{()()()( −−−ℜ=−−ℜ∩−−ℜ=∩=− rDomjDomrjDom

e) 22

6

)1)(2(

6

)1()2()2(

)2(6

1

2

4

6)()())((

232222 +−−=

−−=

−⋅−⋅++⋅=

−+⋅

−=⋅=⋅

xxx

x

xx

x

xxx

xx

x

x

x

xxkxhxkh

• Por tanto, 22

6))(( 23 +−−

=⋅xxx

xxkh

• }2,1,1,2{)1,1{(})2,2{()()()( −−−ℜ=−−ℜ∩−−ℜ=∩=⋅ kDomhDomkhDom

f) 4

34)()(

))((2

−+−==

x

xx

xm

xlxml

• Por tanto, 4

34))(/(

2

−+−=

x

xxxml

• ),4()4,3[]1,(}4{]),3[]1,[(}0)(/{)]()([)/( +∞∪∪−∞=−ℜ∩+∞∪−∞==−∩= xmxmDomlDommlDom

),3[]1,()( +∞∪−∞=lDom

ℜ=)(mDom

4040)( =⇔=−⇔= xxxm

g) 32

2

33

2

)3)(1(

2

)3)(1)(1(

)1)(2(

1

3:

1

2

)(

)())((

222 ++−+=

−+−+=

−++=

−+−−+=

−−

−+==

xx

x

xxx

x

xx

x

xxx

xx

x

x

x

x

xs

xkxsk

• Por tanto, 32

2))(/( 2 ++−

+=xx

xxsk

• }3,1,1{}3{}]1{}1,1{[}0)(/{)]()([)/( −−ℜ=−−ℜ∩−−ℜ==−∩= xsxsDomkDomskDom


}1,1{)( −−ℜ=kDom

}1{)( −ℜ=sDom

301

30)( =⇔=

−−⇔= x

x

xxs

h) 1

6)()(

))((2

−−==

x

x

xp

xgxpg

• Por tanto, 1

6))(/(

2

−−=

x

xxpg

• ),1(}1{)],1[[}0)(/{)]()([)/( +∞=−+∞∩ℜ==−∩= xpxpDomgDompgDom

ℜ=)(gDom

),1[)( +∞=pDom

1010)( =⇔=−⇔= xxxp

i) 128

1

4)4(

1]4[)]([))((

22 +−=

−−=−==

xxxxfxmfxmf o

}6,2{}}2,2{4/{)}()(/)({)( −ℜ=−−ℜ∈−ℜ∈=∈∈= xxfDomxmmDomxmfDom o

224 ≠⇔−≠− xx 624 ≠⇔≠− xx

j) 153

1441

411

11

)]([))((+−−=

+−−−=−

+−=

+−==

x

x

x

xx

x

x

x

xmxjmxjmo

}1{}11

/}1{{)}()(/)({)( −−ℜ=ℜ∈+−−−ℜ∈=∈∈=

x

xxmDomxjjDomxjmDom o

k) 3

23

3

3121

3

12

3

12)]([))((

++=

+++−=+

+−=

+−==

x

x

x

xx

x

x

x

xpxrpxrp o

+∞−∪−−∞=+∞−∈+−−−ℜ∈=∈∈= ,

32

)3,()},1[312

/}3{{)}()(/)({)(x

xxpDomxrrDomxrpDom o

0323

01312

1312 ≥

++⇔≥+

+−⇔−≥

+−

x

x

x

x

x

x

Ceros Polos

32

023 −=⇔=+ xx 303 −=⇔=+ xx


l) 11

13]1[)]([))((

−++−=+==

x

xxsxpsxps o

),0()0,1[}}1{1/),1[{)}()(/)({)( +∞∪−=−ℜ∈++∞−∈=∈∈= xxsDomxppDomxpsDom o

01111 ≠⇔≠+⇔≠+ xxx

m) x

x

x

xx

xx

x

xxx

x

x

xx

x

x

xrxsrxsr

2

73

1

21

126

1

333

11

26

31

3

11

32

1

3)]([))((

+−=

−

−+−−

=

−−+−

−−

−

=+

−−

−

−−

=

−−==o

}0,1{}}3{1

3/}1{{)}()(/)({)( −−ℜ=−−ℜ∈

−−−ℜ∈=∈∈=

x

xxrDomxssDomxsrDom o

002333)1(3331

3 ≠⇔≠⇔+−≠−⇔−⋅−≠−⇔−≠−−

xxxxxxx

x

n) 1−m

� Primero comprobaremos si 4)( −= xxm es inyectiva, es decir, ])()( si[ babmam =⇒=

bababmam =⇒−=−⇒= 44)()(

Por tanto, )(xm es inyectiva y existe )(1 xm−

� Ahora calculamos )(1 xm−

1) 44)( −=⇒−= xyxxm

2) 4−= yx

3) 4+= xy

4) 4)(1 +=− xxm

� COMPROBACIÓN

xxxmmxmm =−+== −− 4)4()]([))(( 11o

xxxmmxmm =+−== −− 4)4()]([))(( 11o

Las gráficas de una función y su inversa son simétricas respecto a la recta xy = (bisectriz del primer y

tercer cuadrantes)


ℜ=)(mDom ℜ=)(Re mc

ℜ=− )( 1mDom ℜ=− )(Re 1mc

o) 1−j

� Primero comprobaremos si 1

1)(

+−=

x

xxj es inyectiva, es decir, ])()( si[ babjaj =⇒=

⇒−+−⋅=−−+⋅⇒−⋅+=+⋅−⇒+−=

+−

⇒= 11)1()1()1()1(11

11

)()( babababababab

b

a

abjaj

baba =⇒=⇒ 22

Por tanto, )(xj es inyectiva y existe )(1 xj−

� Ahora calculamos )(1 xj−

1) 11

11

)(+−=⇒

+−=

x

xy

x

xxj

2) 1

1

+−=

y

yx

3) x

xyxyxxyyxyxxyyyx

−+=⇒−⋅=+⇒−=+⇒−=+⇒−=+⋅

11

)1(1111)1(

4) x

xxj

−+=−

11

)(1

� COMPROBACIÓN

xx

x

xxx

xx

x

xx

x

x

xjxjjxjj ==

−−++

−+−+

=+

−+

−−+

=

−+== −−

2

2

1

111

11

11

1

11

1

1

1)]([))(( 11

o


xx

x

xxx

xx

x

xx

x

x

xjxjjxjj ==

++−+

+++−

=

+−−

++−

=

+−== −−−

2

2

1

111

11

1

11

11

1

1

1)]([))(( 111

o


tercer cuadrantes)

}1{)( −−ℜ=jDom }1{)(Re −ℜ=jc

}1{)( 1 −ℜ=−jDom }1{)(Re 1 −−ℜ=−jc

p) 1−p

� Primero comprobaremos que 1)( += xxp es inyectiva, es decir, ])()( si[ babpap =⇒=

babababpap =⇒+=+⇒+=+⇒= 1111)()(

Por tanto, )(xp es inyectiva y existe )(1 xp−

� Ahora calculamos )(1 xp−

1) 11)( +=⇒+= xyxxp

2) 11 2 +=⇒+= yxyx

3) 12 += xy

4) 1)( 21 −=− xxp con ),0[ +∞∈x

� COMPROBACIÓN

xxxppxpp =+−== −− 11)]([))(( 211o

xxxppxpp =−+== −− 1)1()]([))(( 211o



tercer cuadrantes)

),1[)( +∞−=pDom ),0[)(Re +∞=pc

),0[)( 1 +∞=−pDom ),1[)(Re 1 +∞−=−pc

q) 1−g

� Primero comprobaremos si 6)( 2 −= xxg es inyectiva, es decir, ])()( si[ babgag =⇒=

babababgag ±=⇒=⇒−=−⇒= 2222 66)()(

Por tanto, )(xg NO es inyectiva

En consecuencia no existe la función )(1 xg − (aunque existe la correspondencia inversa )(1 xg − no es una función).

� Lo que haremos será restringuir el dominio de )(xg a un conjunto en el que sí sea una función

inyectiva y, por tanto, sí exista la función )(1 xg − .

6)( 2 −= xxg 1) ∪⇒>= 01a 2) Vértice )6,0( − 3) Tabla de valores

x 3− 2− 1− 0 1 2 3 y 3 2− 5− 6− 5− 2− 3


Restringuimos 6)( 2 −= xxg al conjunto ),0[ +∞

� Ahora calculamos )(1 xg −

1) 66)( 22 −=⇒−= xyxxg

2) 66 22 +=⇒−= xyyx

3) 6+= xy

4) 6)(1 +=− xxg con ),6[ +∞−∈x

� COMPROBACIÓN

xxxggxgg =−+== −− 6)6()]([))(( 211o

xxxggxgg =+−== −− 66)]([))(( 211o

Las gráficas de una función y su inversa son simétricas respecto a la recta xy = (bisectriz del primer y tercer

cuadrantes)


),0[)( +∞=gDom ),6[)(Re +∞−=gc

),6[)( 1 +∞−=−gDom ),0[)(Re 1 +∞=−gc

soluciones ii caracterÍsticas de las …...(valores de x en los que g y h están definidas a la vez...

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