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1
Soluciones a los ejercicios propuestos
Unidad 3. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales
2
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 4. Resuelve e interpreta gráficamente las soluciones de las ecuaciones:
a) 036279 2 xx b) 08/34/2 xx
SOLUCIÓN: a) Sacando factor común 9:
2
53
2
16930430)43(9036279 222
xxxxxxx , luego las
soluciones son .4,1 21 xx
Interpretación gráfica:
Si representamos la parábola 36279 2 xxy
Como 09a entonces es una parábola abierta hacia abajo.
Vértice: 2
3
18
27
vx ; 25,56
4
225vy
Cortes con el eje X: resolviendo la ecuación 036279 2 xx obtenemos que las abscisas de corte son 4,1 21 xx , luego la parábola corta al eje X por (–1,0), (4,0).
Corte con el eje Y: (0,36).
La gráfica correspondiente es:
b) 16
102
16
9642032808/34/ 22
xxxxx . Luego las soluciones
son .4
3,
2
121 xx
Interpretación gráfica:
Si representamos la parábola 8
3
4
2 x
xy :
01a luego es una parábola abierta hacia arriba
Vértice: 8
1
2
4/1
vx , .
64
25
8
3
4
8/1
8
12
vy
3
Los cortes con el eje X se obtienen resolviendo la ecuación inicial, por tanto son
.0,4
3,0,
2
1
Corte con el eje Y .8
3,0
La representación es:
5. Escribe dos ecuaciones de segundo grado tales que la suma de sus soluciones sea 5 y su producto, –24.
SOLUCIÓN:
Sean 21, xx las soluciones de la ecuación 02 cbxax . Aplicando las fórmulas de Cardano-Vieta tenemos:
a
cxx
a
bxx
21
21
Por tanto, si 1a , se verificará que
24
55
21
21
cxx
bbxx
luego una ecuación es .02452 xx
Si 2a , se verificará que:
48242
1052
21
21
cc
xx
bb
xx
luego otra ecuación posible es .048102 2 xx
ECUACIONES POLINÓMICAS DE GRADO SUPERIOR A 2
8. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 036213 24 xx b) 0362 24 xx c) 01536 24 xx
4
SOLUCIÓN:
a) Sea el cambio tx 2
, entonces la ecuación se transforma en:
.3,42
484970127036213 21
22
ttttttt
Si .2,244 212 xxxt
Si .3,333 432 xxxt
b) Sea el cambio tx 2
, entonces la ecuación se transforma en:
.3714
2481
2
2481
2
248203622
ttt
Si .371,371371371 212 xxxt
Si 0371t no existen valores reales de x.
c) Consideramos el cambio tx 2
, entonces
.9
1,
4
1
72
14425501536 21
2
ttttt
Si 2
1,
2
1
4
1
4
121
2 xxxt .
Si 09
1t no existen valores reales de x.
9. Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas:
a) 0)4)(1)(5(2 2 xxx b) 0)4)(3)(2(6 3 xxxx
c) 015311532 234 xxxx d) 060746192 234 xxxx
SOLUCIÓN:
a) .1,504,01,050)4)(1)(5(2 2122 xxxxxxxx
b) .4,3,2,004,03,02,060)4)(3)(2(6 432133 xxxxxxxxxxxx
c) Utilizando la regla Ruffini para 1x obtenemos la descomposición:
)15162)(1(15311532 23234 xxxxxxxx
volviendo aplicar Ruffini para x=-1 nuevamente obtenemos:
)152()1()15162)(1( 2223 xxxxxxx
Tenemos por tanto que 1x es una raíz doble y por tanto solución de la ecuación. Finalmente
resolviendo la ecuación .2/5,30152 322 xxxx
d) Factorizando con Ruffini obtenemos 0)5)(4)(1)(32( xxxx luego las soluciones son .5,4,1,2/3 4321 xxxx
ECUACIONES CON RADICALES 11. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 125 xx b) 15 xx
c) 15 xx d) 1132 xx
SOLUCIÓN:
5
a) 0459653535125 2222
xxxxxxxxxxx , luego
.4;12
35
2
1625521
xxx
Comprobemos si estos valores son soluciones de la
ecuación inicial: 11022251:11 x
, por tanto es solución.
.143121254:42 x No es solución. Luego la única solución es .1x
b) 03 61 33 61 2)6(615 2222
xxxxxxxxxxx ,
luego 4;92
513
2
2513
2
1441691321
xxx . Comprobamos ahora si estos
valores son soluciones de la ecuación inicial: 1983595:91 x , luego es solución. 31472545:42 x
, luego no es solución. La única solución es .9x
c) 036133612)6(615 2222
xxxxxxxxxxx . Por tanto:
4;92
513
2
1441691321
xxx
. Comprobamos si estos valores son soluciones de la
ecuación inicial: 1432545:41 x luego es solución. 1923595:92 x no es solución.
La única solución es .4x
d) 11213211321132113222
xxxxxxxxx 032441212112112232 22
22 xxxxxxxxxxxx .
Por tanto, 1;32
42
2
124221
xxx . Comprobamos si son soluciones de la
ecuación inicial.
Para 1234913332:31 x , luego es solución, y para
110321)1(3)1(2:12 x ; también es solución.
Las soluciones son: .1,3 21 xx
ECUACIONES RACIONALES 13. Resuelve las siguientes ecuaciones racionales:
a) 2
1
)2(
212
2
xx
xx
xxx
x b) 1
1313
2
x
x
x
x
SOLUCIÓN:
a) Como )1)(2(22 xxxx y )1)(2()2),2(,.(.. 2 xxxxxxxxmcm entonces al multiplicar los
dos miembros de la ecuación por el ... mcm tenemos:
002222
22)2)(1()1()1(2)1)(2)(1(
223323223
2322
xxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
Sin embargo, este valor no es solución pues anula el denominador de las dos primeras fracciones algebraicas:
)20(0
2
0
10
¡No existe! Por tanto no existe solución.
6
b) Como )13)(13())13(),13((.. xxxxmcm Multiplicando los dos miembros de la fracción por dicho
valor obtenemos:
0120363193263)13)(13()13()13)(2( 22222 xxxxxxxxxxxxxxxx
luego 2121212
222
2
44221
xxx
ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
16. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 813 252
xx b) 26222 52 xxx c) 06
16 22
xx d) 0001,04 5 x
SOLUCIÓN:
a) 813 252
xx 06542533 224252
xxxxxx , cuyas soluciones son: 11 x y
62 x .
b) 26222 52 xxx 2622
222
52 x
x
x . Efectuando el cambio xt 2 obtenemos la ecuación
2632
4 tt
t . Al simplificar la expresión obtenemos ttt 26324 22 , luego 032265 2 tt ,
ecuación cuyas soluciones son 21 t y 5/162 t . Por tanto, si 122 1 xx y si
)5/16(log5/162 22 xx .
c) 126606606
16 212122 222
xxxxxxxx y obtenemos, por tanto, la ecuación
de segundo grado 0122 xx , cuya solución (doble) es 1x .
d) 0001,04 5 x . Tomando logaritmos decimales en ambos miembros, tenemos
6439,14log
45
4log
4544log)5(0001,0log4log 5
xxxx .
17. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas:
a) xxx log3log)log()14log( 2
b) 32 log)6log(log3)14log( xxxxx
c) 0log)43log()2log(4log xxx
SOLUCIÓN: a) Apliquemos propiedades de los logaritmos:
0)1(0343143
log14
loglog3log)log()14log( 222
22
2
xxxxxxx
xx
x
xx
xxxx
luego .1,0 21 xx Comprobamos si dichos valores son solución de la ecuación inicial:
)0log()1log(:01 x . No existen dichos valores, por tanto no es solución;
)1log()3log()1log()14log(:12 x por tanto sí es solución.
La única solución es .1x
b) Aplicando propiedades de los logaritmos:
0156
6146146
log14
loglog)6log(log3)14log(
2
2
3
2
33
2
3
32
xx
xxxx
xx
x
x
x
xx
x
xxxxxx
7
Por tanto, 6
1;1
12
75
12
2425521
xxx . Comprobemos si estos valores son
solución de la ecuación inicial:
31 1log)16log(1log35log)1log(3)14log(:1 x , luego es solución;
6
1log31
6
4log:
6
12x ; no existe logaritmo de números negativos, luego no es
solución. La única solución es .1x
c) Pasando al segundo miembro los dos últimos términos y aplicando propiedades de los logaritmos tenemos:
082386434)43)(2(443
2
4
43log
2
4loglog)43log()2log(4log0log)43log()2log(4log
22
xxxxxxxxxx
x
x
x
x
xxxxxxx
luego 2;3
4
6
8
6
102
6
964221
xxx . Comprobamos si estos dos valores son
soluciones de la ecuación inicial:
3
4log44log2
3
4log4log:
3
41x . No existen logaritmos de números
negativos, por lo que este valor no es solución.
02log2log4log4log2log)46log()22log(4log:22 x , luego sí es solución.
La única solución es .2x
8
SISTEMAS DE ECUACIONES. MÉTODO DE GAUSS 20. Resuelve y clasifica los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:
a)
1042
932
123
zyx
zx
zyx
b)
3045
1422
122
zyx
zy
zyx
c)
422
55
13
zyx
zyx
zyx
d)
142
452
2
zyx
zyx
zyx
e)
3
15523
12432
zyx
zyx
zyx
f)
3045
1422
122
zyx
zy
zyx
SOLUCIÓN:
a) Aplicamos el método de Gauss:
217
1
123
27328147
1
123
1233
32
1042
932
123
z
zy
zyx
EEzy
zy
zyx
EE
EE
zyx
zx
zyx
con el sistema triangular resultante obtenemos:
3217 zz ; sustituyendo en la segunda ecuación,
213 yy ; sustituyendo finalmente en la primera,
.0031343 xxx
Solución: 3,2,0 zyx , se trata de un sistema compatible determinado.
b) Aplicamos el método de Gauss:
00
1422
122
2334266
1422
122
133045
1422
122
zy
zyx
EEzy
zy
zyx
EEzyx
zy
zyx
, sistema triangular
equivalente. Si consideramos la segunda ecuación y despejamos y:
zy 7 , sea tytz 7 . Sustituyendo estos valores en la primera ecuación:
txttx 51227 . Se trata por tanto de un sistema compatible indeterminado, cuyas infinitas soluciones son de la forma:
R ttztytx ,,7,5 .
c)
00
104
13
23104
104
13
1233
312
422
55
13
zy
zyx
EEzy
zy
zyx
EE
EEE
zyx
zyx
zyx
,
sistema triangular equivalente. Despejando y en la segunda ecuación: zy 410 , luego si consideramos tytz 410 , sustituyendo estos valores en la
primera ecuación:
txtxttx 339314103 , luego se trata de un sistema compatible indeterminado cuyas infinitas soluciones son:
R ttztytx ,,410,3 .
9
d)
563
263
2
123
12
142
452
2
zy
zy
zyx
EE
EE
zyx
zyx
zyx
las dos últimas ecuaciones son
incompatibles, por lo que se trata de un sistema incompatible.
e)
625
12432
625
625
12432
132
1322
3
15523
12432
zy
zyx
zy
zy
zyx
EE
EE
zyx
zyx
zyx
Si consideramos el parámetro tz entonces tenemos: 5
26265
tyty
.
Sustituyendo en la primera ecuación:
tttxtt
xtt
x5
7
5
2162
5
3
5
9124
5
6182124
5
2632
Por tanto se trata de un sistema compatible indeterminado cuyas infinitas soluciones son:
5
21
5
7 tx , ty
5
2
5
6 , .tz
f)
3015
055
323
243564
055
323
21
122
3
62
323
z
zy
zyx
EEzy
zy
zyx
EE
EE
zyx
zyx
zyx
Resolviendo la última ecuación obtenemos 2z .
Sustituyendo este valor en la segunda ecuación tenemos la ecuación 25/100105 yy y sustituyendo ahora en la primera ecuación los valores
obtenidos para y, z resulta: 1346 xx .
Se trata de un sistema compatible determinado cuya única solución es 2,2,1 zyx
SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
25. Resuelve los sistemas de ecuaciones no lineales:
a)
1423
1052
yx
yxx b)
123
1 2
xy
xyx
SOLUCIÓN:
a) Utilizamos el método de sustitución; como y está despejada en la primera ecuación, sustituyendo en la segunda tenemos:
06721420102314)105(23 222 xxxxxxxx Resolviendo la ecuación de segundo grado obtenemos como soluciones 2/3,2 xx , por
tanto:
si 4102522 2 yx luego primer par de soluciones 4,2 yx
si 4
1910
2
35
2
32/3
2
yx luego segundo par de soluciones 4/19,2/3 yx
b) Usamos el método de igualación, para ello despejamos la incógnita y en ambas ecuaciones
y obtenemos
3
21
1 2
xy
xxy Igualando ahora los dos segundos miembros tenemos la
ecuación:
10
043213333
211 222
xxxxx
xxx
Resolviendo la ecuación de segundo grado resultante obtenemos como soluciones 1,3/4 xx
Luego si 11111 yx primera solución 1,1 yx .
Si 9
5
3
4
3
413/4
2
yx , luego la segunda solución es 9/5,3/4 yx
26. Resuelve e interpreta gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales:
a)
4
1272
yx
yxx b)
82
1892
yx
yxx
c)
10
1032
y
yxx d)
32
322
2
xxy
yxx
SOLUCIÓN:
a) Utilizamos el método de sustitución, como la incógnita y está despejada en la primera ecuación, sustituimos su valor en la segunda y obtenemos:
0864)127( 22 xxxxx
resolviendo la ecuación de segundo grado obtenemos como soluciones 4,2 xx .
Luego: si 2422 yyx y si 0444 yyx , por tanto tenemos dos pares de
soluciones 2,2 yx y 0,4 yx .
Si representamos las dos curvas, la parábola (primera ecuación) y la recta (segunda ecuación) obtenemos como puntos de intersección las soluciones del sistema, tal y como se muestra en la siguiente figura:
b) Utilizamos el método de sustitución, como la incógnita y está despejada en la primera
ecuación, sustituimos el valor de y en la segunda y obtenemos la ecuación:
0107818928)189(2 222 xxxxxxxx
11
Resolviendo la ecuación de segundo grado obtenemos como soluciones 2,5 xx , luego
si 28108105 yyyx y si 484842 yyyx .
Tenemos por tanto dos pares de soluciones 2,5 yx y 4,2 yx .
Si representamos la primera ecuación obtenemos una parábola, y representando la segunda una recta. Estas gráficas se cortan justamente en los puntos (5,2) y (2,-4) que son las soluciones del sistema tal y como se muestra en la siguiente figura:
c) Utilizando el valor de la incógnita y de la segunda ecuación, sustituyendo en la primera tenemos:
3,00)3(0310103 22 xxxxxxxx . Por tanto se obtienen dos pares de soluciones 10,0 yx y 10,3 yx .
Si despejamos en la primera ecuación la incógnita y tenemos la ecuación de una parábola, y la segunda ecuación es una recta horizontal. Ambas gráficas se cortan en los puntos
(0,-10), (-3,-10) que son las soluciones del sistema, tal y como se muestra en la siguiente figura:
12
d) Utilicemos el método de igualación, despejando la incógnita y en la segunda ecuación
obtenemos las ecuaciones:
yxx
yxx
32
322
2
. Igualando los primeros miembros de ambas
ecuaciones obtenemos la ecuación:
2,00)2(20423232 222 xxxxxxxxxx .
Por tanto, si 30 yx y si 32 yx , luego tenemos dos soluciones para el
sistema 3,0 yx y 3,2 yx
Las dos ecuaciones son parábolas que al representarlas observamos que se cortan en los puntos (0,-3) y (-2,3) tal y como se muestra en la siguiente figura:
INECUACIONES
28. Resuelve las siguientes inecuaciones lineales:
a) 582
27 xx
x b) 144
724
x
xx .
SOLUCIÓN:
a) 141016414582
27 xxxxxx
x 14x .
b) 33414167816144
724
xxxxxxx
xx .
c)
4030255213)86(5)5(5)7(33
86
3
5
5
7xxxxxx
xxx
22244 xx .
29. Resuelve las siguientes inecuaciones polinómicas:
a) 016208 23 xxx b) 09364 2345 xxxx
SOLUCIÓN:
13
a) 0)2)(4(016208 223 xxxxx . Considerando las raíces del polinomio (2 y 4),
dividimos la recta real en tres intervalos sobre los cuales analizamos el signo de cada factor:
)2,( )4,2( ),4(
4x – – + 2)2( x + + +
2)2)(4( xx – – +
Luego la solución es: 4, . Obsérvese que al tratarse de un entonces debemos incluir
los extremos si anulan el polinomio (4 en este caso).
b) 0)14)(3)(3(09364 22345 xxxxxxxx Consideremos los puntos que anulan el
polinomio: 0, 3, –3, 1/4. Con estos puntos dividimos la recta real en cinco intervalos y analizamos el signo de los factores en la siguiente tabla:
)3,( )0,3( )4/1,0( )3,4/1( ),3( 2x + + + + +
3x – – – – + 3x – + + + + 14 x – – – + +
)14)(3)(3(2 xxxx – + + – +
Luego la solución es: ).3,4/1()3,( 30. Resuelve las siguientes inecuaciones racionales:
a) 065
122
2
xx
xx b) 0
7
2092
x
xx c) 0
1610
52
xx
x
SOLUCIÓN:
a) 0)6)(1(
)3)(4(0
65
122
2
xx
xx
xx
xx . Considerando tanto las raíces del numerador como las del
denominador –4, 3, 1 y –6; y dividimos la recta real en cinco intervalos, sobre los cuales analizamos el signo de cada factor, del numerador y del denominador, en la siguiente tabla:
)6,( )4,6( )1,4( )3,1( ),3(
x3 + + + + – 4x – – + + +
Numerador – – + + –
1x – – – + + 6x – + + + +
Denominador + – – + +
)6)(1(
)3)(4(
xx
xx – + – + –
Tenemos que añadir los puntos que anulan el numerador, por lo que la solución es:
3,14,6 .
14
b) 07
)5)(4(0
7
2092
x
xx
x
xx. Consideramos los números que anulan numerador y
denominador (4, 5, –7), y dividimos la recta real en cuatro intervalos sobre los cuales analizamos el signo de numerador y denominador:
)7,( )4,7( )5,4( ),5(
4x – – + + 5x – – – +
Numerador + + – + 7x – + + +
Denominador – + + +
7
2092
x
xx
– + – +
Consideramos los puntos que anulan el numerador únicamente, ya que para los que anulan
el denominador la expresión no es un número real. La solución es: 5,4)7,( .
c) 0)2)(8(
50
1610
52
xx
x
xx
x.
Los valores de x que anulan numerador y denominador son –5, 8, 2. Con estos valores dividimos la recta real en cuatro intervalos, sobre los cuales analizamos en la siguiente tabla el signo de los factores, numerador y denominador (atención: el denominador lleva signo negativo):
)5,( )2,5( )8,2( ),8(
5x – + + +
Numerador – + + +
8x – – – + 2x – – + +
Denominador )2)(8( xx
– – + –
)2)(8(
5
xx
x + – + –
Luego la solución es: ).8,2()5,(
SISTEMAS DE INECUACIONES 35. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:
a)
0462
50632
2
2
xx
xxx
b)
02
21314
084192
2
x
xx
xx
c)
044
013
607
2
2
xx
x
xx
SOLUCIÓN:
a)
0)1)(42(
5
0)7)(9(
0462
50632
2
2
xx
x
xx
xx
xxx
Resolvemos la primera inecuación: Considerando los valores que anulan el polinomio, 9 y –7, dividimos la recta real en tres
intervalos sobre los cuales analizamos el signo de los factores y del producto final:
15
)7,( )9,7( ),9(
9x – – + 7x – + +
)7)(9( xx + – +
Solución de esta primera inecuación: ,97, .
Resolvemos la segunda inecuación: Consideramos los valores que anulan numerador y denominador: –5, 2 y 1, con los que
dividimos la recta real en cuatro intervalos, sobre los que analizamos los signos de numerador y denominador:
)5,( )1,5( )2,1( ),2(
5x – + + +
Numerador – + + + 2x – – – +
1x – – + +
Denominador + + – +
)1)(2(2
5
xx
x – + – +
Solución de la segunda inecuación: )2,1()5,( .
La solución del sistema de inecuaciones será:
{ ,97, } { )2,1()5,( }= ).5,(
b)
02
)34)(7(
0)7)(12(
02
21314
084192
2
x
xx
xx
x
xx
xx.
Analizamos las soluciones de cada una de las dos inecuaciones por separado. Resolución de la primera inecuación: Con las raíces del polinomio: 12 y 7, en la siguiente tabla dividimos la recta real en tres
intervalos en los que analizamos el signo de los dos factores:
)7,( )12,7( ),12(
12x – – + 7x – + +
)7)(12( xx + – +
Solución de la primera inecuación: 12,7 .
Resolución de la segunda inecuación: Con los valores que anulan numerador y denominador: 7, ¾ y 2, dividimos la recta real en
cuatro intervalos sobre los cuales analizamos en la siguiente tabla los signos:
)4/3,( )2,4/3( )7,2( ),7(
34 x – + + + 7x – – – +
Numerador + – – + 2x – – + +
Denominador – – + +
2
)7)(34(
x
xx – + – +
16
Solución de la segunda inecuación: ),7()2,4/3( .
La solución del sistema de inecuaciones se obtiene con la intersección de los intervalos solución de ambas inecuaciones:
{ 12,7 } { ),7()2,4/3( } 12,7 .
c)
0)2(
013
)12)(5(
044
013
607
22
2
xx
xx
xxx
xx
Resolvemos cada una de las dos inecuaciones. Resolución de la primera inecuación: Como 5, –12 y 1/3 son los valores que anulan numerador y denominador de la primera
inecuación, consideramos la siguiente tabla con la que obtenemos los signos que toma la fracción algebraica:
)12,( )3/1,12( )5,3/1( ),5(
5x – – – +
12x – + + +
Numerador + – – + 13 x – – + +
Denominador – – + +
13
)12)(5(
x
xx – + – +
Solución de la primera inecuación: )5,3/1()12,( .
Resolución de la segunda inecuación: Al tratarse del cuadrado de una expresión, que sólo se anula en x = –2, la solución de la
segunda inecuación es ).,2()2,(
Solución del sistema de
inecuaciones:{ )5,3/1()12,( } { ),2()2,( } )5,3/1()12,( .
36. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas:
a)
4
35
53
xy
yx
yx
b)
4
35
53
xy
yx
yx
c)
8
4
35
53
x
xy
yx
yx
d)
4
35
53
xy
yx
yx
SOLUCIÓN:
a)
4
35
53
xy
yx
yx
17
b)
4
35
53
xy
yx
yx
18
c)
8
4
35
53
x
xy
yx
yx
d)
4
35
53
xy
yx
yx