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Unidad 3. Progresiones

PÁGINA 73¿Sabes obtener el término general de una sucesión y utilizarlo para calcular un término concreto? ¿Puedes definir una sucesión mediante una ley de recurrencia?

1 Halla el término general de las siguientes sucesiones:

a) 12

, 23

, 34

, 45

, … b) 1 · 3, 2 · 4, 3 · 5, 4 · 6, …

a) an = nn + 1

b) an = n(n + 2)

2 Calcula el término 10 de las sucesiones siguientes:

an = 5 – 2n bn = 1 + (–1)n

2

a10 = 5 – 2 · 10 = –15; b10 = 1 + (–1)10

2 = 1 + 1

2 = 3

2

3 De� ne, por recurrencia, la sucesión 5, 11, 23, 47, …

a1 = 5; an = 2an – 1 + 1

¿Identificas progresiones aritméticas? ¿Escribes su término general y calculas la suma de n términos?

4 Escribe el término general y calcula la suma de los 20 primeros términos de la suce-sión 5, 7, 9, 11, …

Es una progresión aritmética: a1 = 5; d = 2

an = 5 + (n – 1)2 8 an = 3 + 2n

a20 = 3 + 2 · 20 = 43 8 S20 = 5 + 432

· 20 = 480

5 Halla la diferencia y el primer término de una progresión aritmética en la que a3 = 8 y a8 = 33.

a8 = a3 + 5d 8 33 = 8 + 5d 8 25 = 5d 8 d = 5

6 ¿Cuál de estas sucesiones es una progresión aritmética?

a) 10, 25, 35, 40, … b) 1, 3, 6, 10…

c) 5, 92

, 4, 72

, … d) –2, 4, –8, 16, …

La c), ya que es la única que cumple:

92

– 5 = – 12

; 4 – 92

= – 12

; 72

– 4 = – 12

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Unidad 3. Progresiones

¿Sabes obtener el término general de una progresión geométrica, la suma de n térmi-nos o, si fuese posible, la de sus infinitos términos?

7 Escribe el término general y calcula la suma de los ocho primeros términos de la suce-sión:

0,1; 0,2; 0,4; 0,8; 0,16; …

¿Se puede hallar la suma de sus in� nitos términos?

Es una progresión geométrica: a1 = 0,1; r = 2

an = 0,1 · 2n – 1 8 a8 = 0,1 · 27 = 12,8

S8 = a8r – a1

r – 1 = 12,8 · 2 – 0,1

2 – 1 = 25,5

No se puede hallar la suma de sus infi nitos términos, porque r > 1.

¿Sabes resolver problemas en los que tengas que reconocer un tipo u otro de progresión?

8 Una empresa ofrece a un empleado un sueldo de 1 000 € y una subida de 100 € al año. Otra le ofrece el mismo sueldo con una subida del 10% anual.

Razona cuál de las dos es mejor, comparando el sueldo dentro de 10 años.

En el primer caso tenemos una progresión aritmética.

a1 = 1 000; d = 100 8 a10 = 1 000 + 9 · 100 = 1 900 €

En el segundo caso es una progresión geométrica.

a1 = 1 000; r = 1,1 8 a10 = 1 000 · 1,19 = 2 357,9 €

Es mejor la segunda oferta.

9 Para rodar un anuncio se ha contratado a un gran número de personas, que deben colocarse en 51 � las. Cada � la tiene dos personas más que la anterior y en la � la 26 tiene que haber 57 personas.

Averigua cuántas personas hay en la primera � la, cuántas en la última y el número total de personas que intervienen en el anuncio.

Es una progresión aritmética de la que sabemos n = 51, d = 2 y a26 = 57.

a26 = a1 + 25d 8 57 = a1 + 25 · 2 8 a1 = 7

a51 = a1 + 50d 8 a51 = 7 + 50 · 2 = 107

S51 = 7 + 1072

· 51 = 2 907 personas en total.

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