FACULTAD DE INGENIERIA

DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

Indicaciones para Desarrollar Guıa de Ejercicios de SumatoriaPrimer Semestre Ano 2009

Profesores: Marıa Isabel Perez, Gonzalo Astorga T. y David Elal O.

NOMBRE:

1. Ejercicio 1a)15 b)72 c)144 d)141 e)56 f)275 g)14 h)1220 i)64 j)3 k)− 167

30

2. Ejercicio 2

a)

x1 + x2 + x3 + ... + x49 =49∑i=1

xi

b)

a35 + a36 + a37 + ... + a122 =122∑

j=35

aj

c)

72 + 82 + 92 + ... + 2342 =234∑h=7

h2

d)

2 + 4 + 6 + 8 + ... + 40 =20∑

j=1

2j

e)

1 + 3 + 5 + 7 + ... + 55 =28∑i=1

(2i− 1)

f )

−y1 + y2 − y3 + y4 − y5 + y6 − y7 =7∑

h=1

(−1)hyh

Algebra I Primer Ano Plan Comun de Ingenierıa 1

3. Ejercicio 3

a)10∑i=1

ai =10∑i=1

(i2 − 31i) = −1320

b)50∑

i=30

ai =50∑

i=30

(i2 − 31i) = 8330

c)3∑

i=−2

ai =3∑

i=−2

(i2 − 31i) = −74

d)50∑

i=30

(1

5ai − 70

)=

1

5

50∑i=30

ai − 21 ∗ 70 =1

58330− 1470 = 196

4. Ejercicio 4El termino generico es uk = 2k − 1 y

29∑k=7

(2k − 1) = 805

5. Ejercicio 5

a)n∑

k=1

1

(k + 1)(k + 2)=

n∑k=1

(1

k + 1− 1

k + 2

)=

1

2− 1

n + 2=

n

2(n + 2)

b)

36∑k=21

1

(k + 1)(k + 2)=

36∑k=1

1

(k + 1)(k + 2)−

20∑k=1

1

(k + 1)(k + 2)

=36

2(36 + 2)− 20

2(20 + 2)

=4

209

6. Ejercicio 6

a)6∑

i=1

xi − 5

3=

1

3

(6∑

i=1

xi − 30

)=

1

3((2 ∗ 62 + 3 ∗ 6)− 30) = 20

Algebra I Primer Ano Plan Comun de Ingenierıa 2

b)

x3 =3∑

i=1

xi −2∑

i=1

xi = (2 ∗ 32 + 3 ∗ 3)− (2 ∗ 22 + 3 ∗ 2) = 13

7. Ejercicio 715∑

h=5

h(h− 3) =15∑

h=5

h2 −15∑

h=5

3h = 880

8. Ejercicio 8

a)

n∑j=1

(2nj + j − 3j2) = (2n + 1)n∑

j=1

j − 3n∑

j=1

j2

= (2n + 1)n(n + 1)

2− 3

n(n + 1)(2n + 1)

6= 0

b)

n∑j=1

j(2n− 2j + 1) = 2nn∑

j=1

j +n∑

j=1

j − 2n∑

j=1

j2

= (2n + 1)n∑

j=1

j − 2n∑

j=1

j2

=n(n + 1)(2n + 1)

2− 2

n∑j=1

j2

= 3

(n(n + 1)(2n + 1)

6

)− 2

n∑j=1

j2

= 3n∑

j=1

j2 − 2n∑

j=1

j2

=n∑

j=1

j2

9. Ejercicio 92n+1∑j=n

c = (2n + 1− n + 1)c = (n + 2)c

Algebra I Primer Ano Plan Comun de Ingenierıa 3

10. Ejercicio 10

a)n∑

k=1

(k!− (k − 1)!) = n!− 0! = n!− 1

b)5∑

k=1

(k!− (k − 1)!) = 5!− 1 = 119

11. Ejercicio 11

10∑i=1

(i2 − 3i + 10c) =10∑i=1

i2 − 310∑i=1

i + 100c

=10 ∗ 11 ∗ 21

6− 3

10 ∗ 11

2+ 100c

= 200 + 100c

Por lo tanto

200 + 100c = 250

c =3

10

12. Ejercicio 12

a) Observe queak − ak−1 = k

Aplicando sumatoria a esta igualdad y recordando que a0 = 0, se tiene que:

j∑k=1

(ak − ak−1) =

j∑k=1

k

aj − a0 =j(j + 1)

2Luego

aj =j(j + 1)

2

b) Aplicando sumatoria a la igualdad aj = j(j+1)2

, se tiene que:

n∑j=1

aj =n∑

j=1

j(j + 1)

2

=1

2

n∑j=1

j2 +1

2

n∑j=1

j

=1

2

n(n + 1)(2n + 1)

6+

1

2

n(n + 1)

2

=n(n + 1)(n + 2)

6

Algebra I Primer Ano Plan Comun de Ingenierıa 4

c)

2n∑

j=1

aj −n∑

j=1

j = 2n∑

j=1

j(j + 1)

2−

n∑j=1

j

=n∑

j=1

j(j + 1)−n∑

j=1

j

=n∑

j=1

j2

13. Ejercicio 13, haciendo

uk =k

k + 1

y aplicando propiedad telescopica, se tiene que:

50∑k=1

(k

k + 1− k − 1

k) =

50∑k=1

(uk − uk−1) = u50 − u0 =50

50 + 1− 0 =

50

51

14. Ejercicio 14, haciendouk = (k + 1) log(k + 1)

y aplicando propiedad telescopica, se tiene que:

99∑k=1

((k+1) log(k+1)−k log k) =99∑

k=1

(uk−uk−1) = u99−u0 = 100 log(100)−1 log(1) = 200

15. Ejercicio 15En los ejercicios siguientes aplique propiedad telescopica una vez conocido el uk

a) Aplique propiedad de logaritmo de un cuociente

b) Haga

uk =1

(k + 1)!

c) Hagauk = (k − 1)k!

d) Haga

uk =k

(k + 1)!

e) fracciones parciales

f ) fracciones parciales

g) Haga

uk =1

k(k + 1)(k + 2)

Algebra I Primer Ano Plan Comun de Ingenierıa 5

h) Hagauk = k!

i) Haga

uk =1

k2

j ) Hagauk = 5k−1

k) Hagauk = k7k−1

l) Haga

uk =

(−1

3

)k−1

m) Hagauk = 4k−1

n) Hagauk = k4k−1

n) Haga

uk = k

(−1

3

)k−1

o) Haga

uk = k

(−1

3

)k−1

p) Haga

uk =1

k2k

q) Haga

uk =2k−1

k + 1

r) Haga

uk =1

(k + 1)2k

Asi

uk − uk+3 =7k + 31

(k + 1)(k + 4)2k+3

y considerando que:

uk − uk+3 = (uk − uk+1) + (uk+1 − uk+2) + (uk+2 − uk+3)

Se obtiene el resultado

Algebra I Primer Ano Plan Comun de Ingenierıa 6

s) Observando que

2k − 1

k(k + 1)(k + 2)= 2

(1

k + 1− 1

k + 2

)− 1

2

(1

k(k + 1)− 1

(k + 1)(k + 2)

)Se obtiene el resultado

t) Haciendo

uk =7k

k + 2

Se tiene que

uk+3 =7k+3

k + 5

y por lo tanto

uk − uk+3 = −3

((114k + 227)7k

(k + 2)(k + 5)

)luego

1

3(uk+3 − uk) =

(114k + 227)7k

(k + 2)(k + 5)

ahora, considerando que:

1

3((uk+3 − uk+2) + (uk+2 − uk+1) + (uk+1 − uk) =

1

3(uk+3 − uk) =

(114k + 227)7k

(k + 2)(k + 5)

Se obtiene el resultado

u) Haciendo

uk =73

(k + 2)7k

Se tiene que

uk+3 =73

(k + 5)7k+3=

1

(k + 5)7k

y por lo tanto

uk − uk+3 = 3

(114k + 571

(k + 2)(k + 5)7k

)luego

1

3(uk − uk+3) =

114k + 571

(k + 2)(k + 5)7k

ahora, considerando que:

1

3((uk − uk+1) + (uk+1 − uk+2) + (uk+2 − uk+3) =

1

3(uk − uk+3) =

114k + 571

(k + 2)(k + 5)7k

Se obtiene el resultado

Algebra I Primer Ano Plan Comun de Ingenierıa 7

v) Observe que √k + 1−

√k√

k2 + k=

1√k− 1√

k + 1

y ahora haciendo

uk =1√k

Se obtiene el resultado

w) Observe que

log

(1 +

1

k2 + k

)= 2 log(k + 1)− log k − log(k + 2)

= (log(k + 1)− log k)− (log(k + 2)− log(k + 1))

y de aquı se obtiene el resultado

x ) No es facil darse cuenta que:

k4 + k2 + 1

k4 + k=

k2 + k + 1

k2 + k

Buen desafıoPor otra parte, observando que:

k4 + k2 + 1

k4 + k=

k2 + k + 1

k2 + k= 1 +

(1

k− 1

k + 1

)se obtiene el resultado

y) Haga

uk =5k

2k + 1

16. Ejercicio 16, Este ejercicio pide resolver la ecuacion

x2

5∑i=1

(i2 − 2i + 11)− 1

10

4∑i=1

(i + i2) = 2x3∑

i=1

(i2 − 2i)

Observe que:

5∑i=1

(i2 − 2i + 11) = 80,1

10

4∑i=1

(i + i2) = 4 y 23∑

i=1

(i2 − 2i) = 4

Se tiene la ecuacion de segundo grado

20x2 − x− 1 = 0

que tiene como soluciones

x =1

4y x = −1

5

Algebra I Primer Ano Plan Comun de Ingenierıa 8

17. Ejercicio 175∑

i=1

(xi − 2)2 = −22

18. Ejercicio 18

a)7∑

j=3

5∑r=1

3(2r + j) = 825

b)7∑

j=2

5∑i=1

(i + j) = 225

c)5∑

i=0

3∑j=2

((−2)ij + j3) = 105

d)3∑

i=1

7∑j=3

(i + 1)(j − 1) = 180

e)5∑

i=1

6∑j=2

(i− 2)(j + 2) = 150

f )5∑

i=0

3∑j=2

(i + 2

j

)(2i− 3j) = −61

3

19. Ejercicio 19. Si se sabe que

6∑i=1

xi = 18 y

5∑j=1

yj = 22

de la ecuacion6∑

i=1

5∑j=1

(2xi − 3yj +1

10c) = 600

se obtiene quec = 272

DESAFIOS

Algebra I Primer Ano Plan Comun de Ingenierıa 9

1.6∑

i=1

ai(ai − 3) = 21

2. a)

n∑i=1

(xi −X) =n∑

i=1

xi −n∑

i=1

X

= nX − nX

= 0

b) Sea

1

n

n∑i=1

xi = X y1

n

n∑i=1

x2i = X2

Entoncesn∑

i=1

(xi −X)2 =n∑

i=1

(x2i − 2xiX + X

2

=n∑

i=1

x2i − 2X

n∑i=1

xi +n∑

i=1

X2

=n∑

i=1

x2i − 2XnX + nX

2

=n∑

i=1

x2i − nX

2

= n(X2 −X2)

3.

5∑h=3

h∑i=2

(−1)i

(h− i

h

)=

3∑i=2

(−1)i

(3− i

3

)+

4∑i=2

(−1)i

(4− i

4

)+

5∑i=2

(−1)i

(5− i

5

)=

1

3+

1

4+

2

5

=59

60

4.

5∑r=1

5∑m=1

(ar + bm) =5∑

r=1

(5∑

m=1

ar +5∑

m=1

bm

)

=5∑

r=1

(5ar + 15b)

= 75a + 75b

Algebra I Primer Ano Plan Comun de Ingenierıa 10

5.

p∑j=1

(2j − p

2

)=

p∑j=1

j −p∑

j=1

1

2p

=p(p + 1)

2− 1

2p2

=p

2

Luego

p

2= 8

p = 16

6.

n∑j=1

(j2 − (2n− 1)j

3

)=

n∑j=1

j2 − (2n− 1)

3

n∑j=1

j

=n(n + 1)(2n + 1)

6− (2n− 1)

3

n(n + 1)

2

=n(n + 1)

3

(2n + 1

2− 2n− 1

2)

)=

n(n + 1)

3

Luego

n(n + 1)

3= 4

n = 3

Algebra I Primer Ano Plan Comun de Ingenierıa 11