solucionario actividad matemática unidad i

7/21/2019 Solucionario Actividad Matemática Unidad I

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ACTIVIDAD 1:

Señale la propiedad de los números reales que se está usando en cada caso.

1. 3(5 + 7) = (5 + 7)3

Propiedad conmutativa de la multiplicación.

2. (x + p)(x + q) = (x + p)x + (x + a)q

Propiedad distributiva por la izquierda.

. 5x (2+y) = (2+y) 5x

Propiedad conmutativa de la multiplicación

ACTIVIDAD 2:

esuel!a las ecuaciones.

1. x " 7 " #x = 3x " 3 " 7x

(x " #x) " 7 = (3x " 7x) " 3 Se a$rupan las !aria%les.

" &x " 7 = " 'x " 3 Simpliicando.

(" &x " 7) + 7 = (" 'x " 3) + 7 Se suma 7.

" &x = " 'x + ' Simpliicando.

" &x + 'x = (" 'x + ') + 'x Sumando 'x.

" 'x = ' Simpliicando.

! " # 1 i!idiendo ' * " '.

2. &x " (2x + ) = 3x " ,

&x " 2x " = 3x " , istri%uyendo si$no.

-x " = 3x " , Simpliicando.(-x " ) + = (3x " ,) + Se suma .

-x = 3x " # Simpliicando.

-x " 3x = (3x " #) " 3x estando 3x.

3x = " # Simpliicando.

! " # i!idiendo " # * 3.

. " '(3 " x) = " (x " 2) +5x

" 2 + 'x = "x + 2 + 5x istri%uyendo la multiplicacin.

" + 'x = 3 + 'x Simpliicando.

('x " ) " 'x = (3 + 'x) " 'x Sumando 'x.

" = 3 Simpliicando.

$a ecuación no tiene solución.

%.

x

3+ x

2+ x

4= x+3

( x3 + x

2+ x

4 )12=¿ (x + 3)2 /ultiplicando por 2.

'x + -x + 3x = 2x + 3- istri%uyendo y simpliicando.

3x = 2x + 3- Simpliicando.

3x " 2x = (2x + 3-) " 2x estando 2x.

! " & Simpliicando.

'.

x−3

2 +2− x3 =

4 x

5 −4



( x−3

2+2− x

3 )30=( 4 x5 −4)30 /ultiplicando 3,.

15 x−45+20−10 x=24 x−120 istri%uyendo y simpliicando.

5x " 25 = 2'x " 2, Simpliicando.

(5x " 25) + 25 = (2'x " 2,) + 25 Sumando 25.5x = 2'x " #5 Simpliicando.

5x " 2'x = (2'x " #5) " 2'x estando 2'x.

" #x = " #5 Simpliicando.

! " ' i!idiendo " #5 * " #.

ACTIVIDAD :

esuel!a las si$uientes ecuaciones por actori0acin.

1. x2 " 'x = ,

x(x " ') = , 1actori0ando.

x = , x " ' = ,˄ ropiedad del producto nulo.

! " ( ! " %˄ )olución.

2. x2 " 'x = 2

x2 " 'x " 2 = , estando 2.

(x " -)(x + 2) = , 1actori0ando.

x " - = , x + 2 = ,˄ ropiedad del producto nulo.

! " & ! " # 2˄ )olución.

. 2x2 " 7x + - = ,

(3x " 2)('x " 3) = , 1actori0ando.

3x " 2 = , 'x " 3 = ,˄ ropiedad del producto nulo.

! " (.& ! " (.*'˄ )olución.

%. x2 " x " 2, = ,(x " 5)(x + ') = , 1actori0ando.

x " 5 = , x + ' = ,˄ ropiedad del producto nulo.

! " ' ! " # %˄ )olución.

'. x2 " 'x + 5 = ,

+o tiene solución por ,actorización

ACTIVIDAD %:

esuel!a las ecuaciones cuadráticas usando la rmula cuadrática.

1. x2 + &x + - = ,

a = % = & c = - 4dentiicando !alores.

x=−8±√ 82−4.1.6

2.11rmula.

x= – 0.84 ˄x= – 7.16 )olución

2. #x2 + -x + = ,

a = # % = - c = 4dentiicando !alores.

x=−6±√ 62−4.9.1

2 .91rmula.

x=0. 3̂ ˄x=0. 3̂ )olución



. 5x2 " 'x + = ,

a = 5 % = " ' c = 4dentiicando !alores.

x=−( – 4)±√ ( – 4)

2−4.5.1

2 .51rmula.

x=0.4+0.2i ˄x=0.4−0.2 i )olución

%. x2 " 'x + 5 = ,

a = % = " ' c = 5 4dentiicando !alores.

x=−( – 4)±√ ( – 4)

2−4.1.5

2 .11rmula.

x=2+i˄ x=2 – i )olución

'. 2x2 + 'x + = ,

a = 2 % = ' c = 4dentiicando !alores.

x=−4 ±√ 42−4.2.1

2 .21rmula.

x= – 0.29˄ x= – 1.71 )olución

ACTIVIDAD ':

esuel!a los si$uientes pro%lemas de aplicacin.

1. l lado de un rectán$ulo mide & cm 6uánto mide el otro lado si al reducir am%os lados en 3 cm el área resultante es la mitad del

anterior8

)olución:

9si$namos la !aria%le :x; al otro lado

Siendo 9 el área del rectán$ulo ori$inal y 92 el área del rectán$ulo reducido las expresamos en uncin de la !aria%le.

A1 = &.x y A2 = 5(x " 3)

xpresamos mediante ecuacin las condiciones del pro%lema<

92 = 9 *2

5 ( x−3 )= 8 x

2

10 x−30=8 x /ultiplicando por 2 y simpliicando.

(10 x−30 )−10 x=8 x−10 x estando ,x

−30=−2 x Simpliicando.

15= x i!idiendo " 3, * " 2

-espuesta. l otro lado mide 1'cm.

2. (4n!ersiones) os miem%ros de una undacin desean in!ertir > & ,,, en dos tipos de se$uros que pa$an di!idendos anuales del # ?

y - ? respecti!amente. uánto de%erán in!ertir a cada tasa si el in$reso de%e ser equi!alente al que producirá al & ? la in!ersin

total8

)olución:9si$namos la !aria%le :x; al monto in!ertido al #? anual por lo que el monto in!ertido al -? será de (> & ,,, " x).



+∞

-3

-∞

2

-∞

-13

-∞

0

-∞

2

Siendo 4 e 42 los in$resos que se o%tendrán al #? y -? respecti!amente las expresamos en uncin de la !aria%le.

I1 = #?(x) e I2 = -?(&,,, " x)

xpresamos mediante ecuacin las condiciones del pro%lema<

42 + 4 = &? (&,,,)

9 x+6 ( 18000− x )=8 18000

9 x+6(18000− x)=8.18000 Simpliicando.

3 x+108000=144000 Simpliicando.

(3 x+108000 )−108000=144000−108000 estando ,&,,,.

3 x=36000 Simpliicando.

x=12000 i!idiendo 3-,,,*3.

-espuesta: )e deber/n invertir 0 12 ((( al 3 0 & ((( 40 15 ((( # 0 12 (((6 al &.

ACTIVIDAD &:

esuel!a las si$uientes desi$ualdades<

1. 3 x−5<5 x+1

(3 x−5 )+5<(5 x+1 )+5 Sumando 5.

3 x<5 x+6 Simpliicando.

3 x−5 x<(5 x+6 )−5 x estando 5x.

−2 x<6 Simpliicando.

2 x>−6 /ultiplicando por ".

x>−3 Dividiendo # & 7 2.

2. 3 x+1<1

(3 x+1 )−1<1−1 estando .

3 x<0 Simpliicando.

x<0 Dividiendo ( 7 .

. 3 x−5<7 x+15

(3 x−5 )+5<(7 x+15 )+5 Sumando 5.

3 x<7 x+20 Simpliicando.

3 x−7 x< (7 x+20 )−7 x estando 7x.

−4 x<20 Simpliicando.

4 x>−20 /ultiplicando por ".



-∞

-13

+∞

-5

-∞

2

x>−5 Dividiendo #2( 7 %

%.

x

3−2≥

5 x+9

2

( x3−2)6≥(

5 x+92 )6 /ultiplicando por -.

2 x−12≥15 x+27 Simpliicando.

(2 x−12 )+12 ≥ (15 x+27 )+12 Sumando 2.

2 x ≥15 x+39 Simpliicando.

2 x−15 x ≥ (15 x+39 )−15 x estando 5x.

−13 x ≥39 Simpliicando.

13 x≤−39 /ultiplicando por ".

x ≤−13 Dividiendo # 7

'. 2 x+

6−3 x

4<4

(2 x+6−3 x

4)4<4.4 /ultiplicando por '.

8 x+6−3 x<16 Simpliicando.

(5 x+6 )−6<16−6 estando -.

5 x<10 Simpliicando.

x<2 Dividiendo 1(7'.

ACTIVIDAD *:

esuel!a los si$uientes pro%lemas.

1. Costo de la renta de un automóvil. Una compañía que renta vehículos ofrece dos planes para rentar un

automóvl.!lan "# 30 dólares por día $ 10 centavos por mlla.!lan %# 50 dólares por día $ &rats mllas recorrdas lmtadas.'!ara qu( valor de mllas el !lan % le har) ahorrar dnero*)olución:

9si$namos la !aria%le :x; al número de millas.

Siendo 9 e @ los costos de los planes 9 y @ respecti!amente las expresamos en uncin de la !aria%le.

CA = 3,+,.,x y C8 = 5,

xpresamos mediante inecuacin las condiciones del pro%lema<

C B<C A

50<30+0.10 x



50−30< (30+0.10 x )−30 estando 3,.

20<0.10 x Simpliicando.

200< x i!idiendo 2, * ,.,.

-espuesta: l plan 8 le 9ar/ a9orrar dinero solo si recorre m/s de 2(( millas.

2. Costos de maneo de un automóvil . e estma que el costo anual de mane,ar un certo automóvl nuevo seotene medante la fórmula#

C =0.35m+2200

onde m representa la cantdad de mllas recorrdas al año $ / es el costo en dólares. rancsco compróuno de esos vehículos $ decde apartar para el año prómo entre 00 $ 4100 dólares para los costos demane,o. '/u)l es el ntervalo correspondente de mllas que puede recorrer con su nuevo automóvl*

)olución:

xpresamos mediante inecuacin las condiciones del pro%lema<

6400 ≤C ≤ 7100

6400≤0.35m+2200≤7100

6400−2200 ≤ (0.35 m+2200 )−2200 ≤7100−2200 estando 22,,.

4200≤0.35m≤4900 Simpliicando.

4200 /0.35≤0.35m /0.35≤4900 /0.35 i!idiendo entre ,.35.

12000≤m ≤14000

-espuesta: ;rancisco podr/ recorrer entre 12((( 3 1%((( millas.

ACTIVIDAD 5:

esuel!a las si$uientes desi$ualdades.

1. x2+2 x−15>0

( x+5)( x−3)>0 1actori0ando.

x+5=0ó x−3=0 4$ualamos a , cada actor.

x=−5ó x=3 Aallamos los puntos crBticos.

Se u%ican los puntos crBticos en la recta numCrica y se colocan los si$nos alternadamente.

l conDunto solucin estará ormado por los inter!alos donde

apare0ca el si$no (+)

espuesta< C . S . x∈⟨−∞ ;−5 ⟩∪⟨ 3 ;+∞ ⟩

2. 2 x2+9 x+4≤0

(2 x+1)( x+4)≤0 1actori0ando.

x+1=0ó x+4=0 4$ualamos a , cada actor.

x=−1ó x=−4 Aallamos los puntos crBticos.


(+) E5 3 (+)

E' (E) E



l conDunto solucin estará ormado por los inter!alos donde apare0ca el si$no (E)

espuesta< C . S . x∈[−4 ;−1 ]

. x ( x−2)( x+3)>0

x=0ó x−2=0ó x+3=0 4$ualamos a , cada actor.

x=0ó x=2ó x=−3 Aallamos los puntos crBticos.


l

conDunto

solucin

estará

ormado por los inter!alos donde apare0ca el si$no (+)

espuesta< C . S . x∈⟨−3 ; 0 ⟩∪⟨ 2 ;+∞ ⟩

%. 4 x2−20 x+25≥0

(2 x−5)(2 x−5)≥0 1actori0ando.

2 x−5=0ó 2 x−5=0 4$ualamos a , cada actor.

x=2.5ó x=2.5 Aallamos los puntos crBticos.


l conDunto solucin estará ormado por los inter!alos

donde apare0ca el si$no (+)

espuesta< C . S . x∈⟨−∞ ;+∞ ⟩

'. (3 x−1)(2 x+1)>0

3 x−1=0ó 2 x+1=0

4$ualamos a , cada actor.

x=0. 3̂ó x=−0.5 Aallamos los puntos crBticos.




espuesta< C . S . x ∈ ⟨−∞;−0.5⟩ ∈ ⟨0.3̂ ;+∞ ⟩

&. ( x+2)( x+3)( x+4)<0

x+2=0ó x+3=0ó x+4=0 4$ualamos a ,

cada actor.

x=−2ó x=−3ó x=−4

Aallamos los puntos crBticos.

E3 (+) , 2 (+)

(+) 2.5 (+)

(+) E,.5 ,.3 (+)




l

conDunto solucin estará ormado por los inter!alos donde apare0cael si$no (+)

espuesta< C . S . x∈⟨−∞ ;−4 ⟩∪⟨−3 ;−2 ⟩

*. x2<4

x2−4<4−4 estando '.

x2−4<0 Simpliicando.

( x+2)( x−2)<0 1actori0ando.

x+2=0ó x−2=0 4$ualamos a , cada actor.

x=−2ó x=2 Aallamos los puntos crBticos.



espuesta< C . S . x ∈ ⟨−2 ;2 ⟩

ACTIVIDAD :

esuel!a las si$uientes desi$ualdades usando las propiedades.

1.

2 x

x+1<0

2 x ( x+1 )<0 cuacón equvalente

2 x=0ó x+1=0 4$ualamos a , cada actor.

x=0ó x=−1 Aallamos los puntos crBticos.



espuesta< C . S . x ∈ ⟨−1 ;0 ⟩

2.

2 x−3

4 x+2 <0

(E) E' E3 (E) E2

E2 (E) 2

E (E) ,



(2 x−3)(4 x+2 )<0 cuacón equvalente

2 x−3=0ó 4 x+2=0 4$ualamos a , cada actor.

x=1.5ó x=−0.5 Aallamos los puntos crBticos.



espuesta< C . S . x∈⟨−0.5; 1.5 ⟩

.

−5 x−7

x+4+1>0

−5 x−7+ x+4

x+4>0 Simpliicando.

−4 x−3

x+4>0 Simpliicando.

(−4 x−3) ( x+4 )>0 cuacón equvalente

−4 x−3=0ó x+4=0 4$ualamos a , cada actor.

x=−0.75ó x=−4 Aallamos los puntos crBticos.




espuesta< C . S . x∈⟨−∞ ;−0.75 ⟩∪⟨−4 ;+∞ ⟩

%.

5 x+6− x−4

<0

(5 x+6) (− x−4 )<0 cuacón

equvalente

5 x+6=0ó− x−4=0 4$ualamos a , cada actor.

x=−1.2ó x=−4 Aallamos los puntos crBticos.



espuesta< C . S . x∈⟨−1.2 ;−4 ⟩

E,.5 (E)

.5

(+) E,.75 E' (+)

E.2 (E) E'



'.

8 x−7

− x+2≥0

(8 x−7) (− x+2 )≥0 cuacón equvalente

8 x−7=0ó− x+2=0 4$ualamos a , cada actor.

x=0.875ó x=2 Aallamos los puntos crBticos.




espuesta< C . S . x∈⟨−∞; 0.875 ]∪[2; +∞ ⟩

ACTIVIDAD 1(:

esuel!a las si$uientes ecuaciones usando las propiedades.

1. | x− x2|=0

| x− x2|=0❑⇔

x− x2=0"plcando drectamente el teorema.

❑⇒

x (1− x )=0mpl6cando $ factor7ando.

❑⇒

x=0 ó1− x=04$ualamos a , cada actor.

❑⇒

x=0 ó x=1

C . S . x= {0,1 }

2. |3 x−5|=0

|3 x−5|=0❑⇔

3 x−5=0"plcando drectamente el teorema.

❑⇒

3 x=5mpl6cando.

❑⇒

x=1. 6̂

C . S . x= {1. 6̂ }

3. | x2−3|=1

| x2−3|=1❑⇔

[1 ≥ 0 y ( x2−3=1 ó x2−3=−1 )] "plcando drectamente el teorema.

(+) ,.&75 2 (+)



❑⇒

x2−3=1ó x

2−3=−1mpl6cando.

❑⇒

x2=4ó x

2=28perando

❑⇒

x=±2ó x=±1.41

C . S . x= {−2,−1.41,1 .41,2 }

4. | x2−4|= x−2

| x2−4|=1❑⇔

[ x−2≥0 y ( x2−4= x−2ó x2−4=− x+2 ) ] "plcando drectamente el teorema.

❑⇒

x≥2 y ( x2− x−2=0ó x2+ x−6=0)

mpl6cando.

❑⇒

x≥2 y

[( x−2 ) ( x+1 )=0ó ( x+3 ) ( x−2 )=0

] actor7ando

❑⇒

x≥2 y [( x−2=0ó x+1=0 ) ó( x+3=0ó x−2=0)]9&ualamos a 0 cada factor

❑⇒

x ≥2 y ( x=2ó x=−1 ) ó ( x=−3ó x=2)

C . S . x= {2 }

5. | x2−3|=|2 x−4|

x2−3=2 x−4

¿( x2−3=−2 x+4ó(¿) ]| x2−3|=|2 x−4|❑

⇔

¿

"plcando drectamente el teorema.

❑⇒

x2−2 x+1=0ó x

2+2 x−7=0mpl6cando.

❑⇒

( x−1 )2=0ó x=−2±√ (22−4.1 .−7 )

2.1actor7ando $ aplcando formula

❑⇒

x=1ó ( x=1.828ó x=−3.828)

C . S . x= {−3.828,1,1.828 }

ACTIVIDAD 11:

esuel!a las si$uientes inecuaciones usando las propiedades.

1. | x−5|≤3

| x−5|≤3❑⇔

[3≥0 y (−3≤x−5≤3 ) ]"plcando drectamente el teorema.

❑⇒

3≥0 y (−3+5≤ ( x−5)+5≤3+5)umando 5.



❑⇒

3 ≥ 0 y (2≤ x ≤ 8)Simpliicando.

C . S . x∈[2 ;8 ]

2.

3

−|2 x+

4

|≤1

|2 x+4|≥2 espe,ando.

|2 x+4|≥2❑⇔

[2≥0 y (2 x+4≥2ó2 x+4≤−2 ) ]"plcando drectamente el teorema.

❑⇒

2≥0 y (2 x ≥−2ó 2 x ≤−6 )mpl6cando.

❑⇒

2≥0 y ( x≥−1ó x≤−3 )mpl6cando.

C . S . x∈⟨−∞ ;−3 ]∪[−1 ;+∞ ⟩

3.

1

2| x|≥1

| x|≥2 espe,ando.

| x|≥2❑⇔

[2≥0 y ( x ≥2ó x ≤−2 ) ]"plcando drectamente el teorema.

C . S . x∈⟨−∞ ;−2 ]∪[ 2 ;+∞ ⟩

4. | x+1

|≥1

| x+1|≥1❑⇔

[1≥0 y ( x+1≥1ó x+1≤−1 ) ]"plcando drectamente el teorema.

❑⇒

1≥0 y ( x≥0ó x ≤−2)mpl6cando.

C . S . x∈⟨−∞ ;−2 ]∪[ 0;+∞ ⟩

5. |3 x−2|<|6− x|

|3 x−2|<|6− x|❑⇔

(3 x−2)2<(6− x)2"plcando drectamente el teorema.

❑⇒

9 x2−12 x+4<36−12 x+ x2

mpl6cando.

❑⇒

8 x2−32<0

espe,ando.

❑⇒

x2−4<0

mpl6cando.

❑⇒

( x−2)( x+2)<0actor7ando.

❑⇒

x−2=0ó x+2=09&ualamos a 0 cada factor.



❑⇒

x=2ó x=−2Aallamos los puntos crBticos.



C . S . x∈⟨−2 ;2 ⟩

E2 (E) 2

solucionario actividad matemática unidad i

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