Prueba 1 MAT 236

Problema 1. Determine si la funcin f definida para todo (x, y) 2 por

f(x, y) =

2 2

2 2

2( , ) (0,0)

( )

1 ( , ) (0,0)

x xysi x y

x y

si x y

es continua en (0, 0).

Problema 2. Calcule (x, )f

yx

para todo (x, y) 2 si

f(x, y) =

5

4 2( , ) (0,0)

0 ( ,y) (0,0)

xsi x y

x y

si x

.

Problema 3. Encuentre la direccin para la cual f(x, y, z) = x2 + yez crece con mayor

rapidez en el punto (1, 1, 0) y determine su razn mxima de crecimiento.

Problema 4. Sean f : 2 3 y g : 3 2 definidas por f(x, y) = (x2 + y2, xy, 2x + y)

y g(x, y, z) = (x2y2z2, sen(xz)), respectivamente. Calcule (g f)(0, 1).

Fecha : 8 de abril de 2015

Tiempo: 90 minutos

Puntaje: 15 puntos cada problema

Instituto de Matemtica

Solucin Prueba 1

Problema 1.

Se tiene que 2 2

2 20 0 0 0

2lim lim ( , ) lim lim 1

( )x y x yx xy

f x yx y

y (4 puntos)

2 2

2 20 0 0 0

2lim lim ( , ) lim lim 0

( )y x y xx xy

f x yx y

. (4 puntos)

Por lo tanto, ( , ) (0,0)lim ( , )

x yf x y

no existe. (3 puntos)

En consecuencia, f no es continua en (0, 0). (4 puntos)

Problema 2.

Si (x, y) (0, 0) entonces (x, )f

yx

=

4 4 2 3 5

4 2 2

5 ( ) 4

( )

x x y x x

x y

. (7 puntos)

Si (x, y) = (0, 0) entonces 0 0

( ,0) (0,0)(0, 0) lim lim 1

h h

f f h f h

x h h

. (8 puntos)

Problema 3.

Se tiene que ( , , ) (2 , , )z zf x y z x e ye , de donde (1,1,0) (2,1,1)f .(5 puntos)

Por lo tanto, la direccin para la cual f(x, y, z) = x2 + yez crece con mayor rapidez en

el punto (1, 1, 0) es (2, 1, 1). (5 puntos)

La razn mxima de crecimiento de f en el punto (1, 1, 0) es (1,1,0) 6f .

(5 puntos)

Problema 4.

En primer lugar, notemos que

(g f)(0, 1) = g(f(0, 1)) f (0, 1) = g(1, 0, 1) f (0, 1). (3 puntos)

Pero,

f (x, y) =

2 2

2 1

x y

y x

implica que f (0, 1) =

0 2

1 0

2 1

y (4 puntos)

g (x, y, z) = 2 2 2 2 2 22 2 2

cos( ) 0 cos( )

xy z x yz x y z

z xz x xz

implica que

g (1, 0, 1) = 0 0 0

cos(1) 0 cos(1)

. (4 puntos)

Se sigue que (g f)(0, 1) = 0 0 0

cos(1) 0 cos(1)

0 2

1 0

2 1

= 0 0

.2cos(1) 3cos(1)

(4 puntos)