solución: grado de un monomio ¿es x 3 solución de la ecuación propuesta? iv) ¿es x 1 solución...

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MATEMÁTICAS – EJERCICIOS DE APOYO Y REFUERZO. ÁLGEBRA 3º ESO

Temas 3 y 4 1

EJERCICIOS RESUELTOS

Ejercicio 1

a Define lo que es un monomio.

b ¿A qué llamamos grado de un monomio?

c En cada uno de los siguientes casos, indica si son monomios y di cuál es su grado:

2 4 2 33A 5 B 2 C D

5x y x x y z

Solución:

a Un monomio es el producto indicado de un número por una o varias letras.

b Se llama grado de un monomio al número de factores que forman su parte literal.

c A es un monomio de grado 3.

B es un monomio de grado 0.

C es un monomio de grado 4.

D es un monomio de grado 6. Ejercicio nº 2

a ¿Qué diferencia hay entre una identidad y una ecuación?

b Entre las siguientes igualdades, razona cuáles son identidades y cuáles son ecuaciones:

2

2

I) 3 II) 6

III) 7 2 7 IV) 2 2

x x x x x x

a a a x x x x

Solución:

a Una identidad es una igualdad algebraica que es cierta para valores cualesquiera de las letras que intervienen.

Una ecuación es una igualdad algebraica que solo es cierta para algún valor o algunos

valores de la incógnita.

b I, III y IV son identidades, el segundo miembro se obtiene operando el primero, las igualdades son ciertas para cualquier valor de x.

II es una ecuación; solo es cierta para x 2 y para x 3.




Temas 3 y 4 2

Ejercicio nº 3

Dados los polinomios A 3x2 2x 1 y B x

2 3x 1 calcula:

a 2A B b A · B Solución:

a 2A B 23x2 2x 1 x

2 3x 1

6x2 4x 2 x

2 3x 1 7x

2 x 3

b 3x2 2x 1

x2 3x 1

3x2 2x 1

9x3 6x

2 3x

3x4 2x

3 x

2

3x4 7x

3 2x

2 x 1

A · B 3x4 – 7x

3 + 2x

2 – x 1

Ejercicio nº 4 Efectúa y simplifica el resultado:

2a) 3 2 1 2 3x x x

3 1 1b) 2

4 2 2 3 2

x xx

Solución:

2 3 2 2

3 2

a) 3 2 1 2 3 6 9 4 6 2 3

6 13 8 3

x x x x x x x x

x x x

3 1 1 3 3 1b) 2

4 2 2 3 2 4 2 4 6 4

9 18 3 2 3 10 15 5 5

12 12 12 12 12 12 12 6 4

x x x x xx

x x x x x




Temas 3 y 4 3

Ejercicio 5 a) Extrae factor común en cada caso:

P 9x4 6x

3 3x

2

Q 3x2y

2 3x

2y 3xy

2

b) Efectúa y reduce:

2 21 11 2 3 2

2 3x x x x

Solución:

a) P 9x4 6x

3 3x

2 3x

2 3x

2 2x 1

Q 3x2y

2 3x

2y 3xy

2 3xy (xy x y)

22 2 2 2

2 2 2 2 22

2 2

1 1 1 1b) 1 2 3 2 6 2

2 3 2 2 3

1 3 3 2 2 12 122 2

2 2 3 3 6 6 6 6 6 6

7 2 15 7 5

6 6 6 6 3 2

xx x x x x x x

x x x x x x xx

x x x x

Ejercicio 6 a) Desarrolla:

P x2 2 x

2 2

Q 2x 12

b Reduce:

x 22 x 2 x 2 x x 2

Solución:

a P x2 2 x

2 2 x

4 4

Q 2x 12 4x

2 4x 1

b x 22 x 2 x 2 x x 2 x

2 4x 4 x

2 4 x

2 2x x

2 6x




Temas 3 y 4 4

Ejercicio 7 Aplica las identidades notables y reduce las siguientes expresiones:

2

a) 2 3 2 3 2 3 2x x x

22

b) 3 12

xx

Solución:

2 2 2

2 2 2

a) 2 3 2 3 2 3 2 2 9 12 4 9 4

18 24 8 9 4 27 24 4

x x x x x x

x x x x x

2 2

2 2

2 22

b) 3 1 3 9 2 12 4

33 9 2 1 8

4 4

x xx x x x

x xx x x x

Ejercicio 8 Traduce al lenguaje algebraico las siguientes expresiones:

a El triple del resultado de sumar un número con su inverso.

b El doble de la edad que tendré dentro de cinco años.

c El quíntuplo del área de un cuadrado de lado x.

d El área de un triángulo del que se sabe que su base es la mitad de su altura. Solución:

1 3a) 3 3x x

x x

b) 2 5 2 10x x

2c) 5x

2

2d)2 4

xx

x




Temas 3 y 4 5

Ejercicio 9 Expresa en lenguaje algebraico cada uno de los siguientes enunciados:

a El 30% de un número.

b El área de un rectángulo de base 3 cm y altura desconocida.

c El perímetro de un rectángulo de base 3 cm y altura desconocida.

d El doble del resultado de sumarle a un número entero su siguiente. Solución:

a 0,3x

b 3x

c 6 2x

d 2[x x 1] 22x 1 4x 2

Ejercicio 10

a ¿Qué es una ecuación?

b Dada la ecuación:

1 12 5 3 7

2 2

x xx x

responde razonadamente:

I ¿Qué valor obtienes si sustituyes x 3 en el primer miembro?

II ¿Qué obtienes si sustituyes x 3 en el segundo miembro?

III ¿Es x 3 solución de la ecuación propuesta?

IV) ¿Es x 1 solución de la ecuación? Solución:

a Una ecuación es una propuesta de igualdad en la que interviene una letra o más llamada

incógnita o incógnitas.

3 1b) I) 2 3 5 3 3 6 5 1 9 9

2

3 1 II) 7 2 7 9

2

III Sí, puesto que cumple la igualdad según acabamos de ver.

IV Sustituimos x 1 en la ecuación y vemos que no la cumple:

1 12 5 3 6

2

1 17 8

2

No coinciden.

Además, sabemos que una ecuación de primer grado solo tiene una solución. En este

caso era x 3.




Temas 3 y 4 6

Ejercicio 11 Resuelve las siguientes ecuaciones:

2 5 1 3a) 2

3 15 5

x x x

2 2 5b) 2 5 7 3

3x x x x x

Solución:

2 5 1 3a) 2

3 15 5

10 25 1 9 30

15 15 15 15

x x x

x x x

10x 25 x 1 9x 30

10x x 9x 30 25 1

18x 56

56 28 28

18 9 9x x

2 2

2 2 2

5b) 2 5 7 3

3

52 10 7 3

3

510 3 7

3

1613

3

16

39

x x x x x

x x x x x

x x

x

x




Temas 3 y 4 7

Ejercicio 12 Resuelve las ecuaciones siguientes:

2 3 1 3

a) 2 45 2 5

x xx x

5 1 3 1

b) 3 2 62 5 10

xx x

Solución:

2 3 1 3a) 2 4

5 2 5

2 3 1 32 8

5 2 5

4 6 5 5 6 20 80

10 10 10 10 10

x x xx

x x xx

x x x x

4x 6 5x 5 6x 20x 80

4x 5x 6x 20x 6 5 80

15x 69

69 23 23

15 5 5x x

5 1 3 1

b) 3 2 62 5 10

5 15 2 6 3 1

2 5 10

25 75 4 12 3 1

10 10 10

xx x

x x x

x x x

25x 75 4x 12 3x 1

25x 4x 3x 1 75 12

18x 88

88 44 44

18 9 9x x




Temas 3 y 4 8

Ejercicio 13

a Busca dos pares de valores que sean solución de la ecuación 5x 4y 1.

b Representa gráficamente la recta 5x 4y 1.

c ¿Qué relación hay entre los puntos de la recta y las soluciones de la ecuación? Solución:

5 1a) 5 4 1 5 1 4

4

xx y x y y

Le damos valores a x y obtenemos, por ejemplo, los puntos:

x 1 y 1 Punto 1, 1

x 3 y 4 Punto 3, 4

b Utilizamos los dos puntos obtenidos en a:

c Los puntos de la recta son las soluciones de la ecuación.




Temas 3 y 4 9

Ejercicio 14

a Representa en los mismos ejes el siguiente par de rectas e indica el punto en el que se cortan:

2 2

1

x y

x y

b ¿Cuántas soluciones tiene el sistema anterior? Solución:

a Representamos las dos rectas obteniendo dos puntos de cada una de ellas:

2 2 2 2 1 1

0 2 0 1

1 0 1 0

x y y x x y y x

x y x y

b Hay una solución: 1, 0, es decir, x 1 ; y 0.




Temas 3 y 4 10

Ejercicio 15

a Representa en los mismos ejes las rectas:

2 1

2 2

x y

x y

b ¿Qué dirías acerca de la solución del sistema anterior? Solución:

a Obtenemos dos puntos de cada una de las rectas para representarlas:

2 1 2 1 2 2 2 2

0 1 0 2

1 3 1 0

x y y x x y x y

x y x y

Son paralelas.

b El sistema no tiene solución, es incompatible.




Temas 3 y 4 11

Ejercicio 16

a Resuelve por sustitución:

3 5 15

2 3 9

x y

x y

b Resuelve por reducción:

4 6 2

6 5 1

x y

x y

Solución:

a) 3 5 15

2 3 9

x y

x y

15 5

3

15 52 3 9

3

yx

yy

30 103 9 30 10 9 27

3

5719 57 3 0

19

yy y y

y y x

Solución: x 0 ; y 3

b) 4 6 2

6 5 1

x y

x y

5

6

20 30 10

36 30 6

x y

x y

4 1Sumando : 16 4

16 4x x

3 1

4 6 2 1 6 2 6 36 2

x y y y y

1 1: ;

4 2Solución x y




Temas 3 y 4 12

Ejercicio 17

a Resuelve por igualación:

5 2 11

2 3 12

x y

x y

b Resuelve por reducción:

2 4 7

3 5 4

x y

x y

Solución:

a) 5 2 11

2 3 12

x y

x y

11 2

11 2 12 35

5 212 3

2

yx

y y

yx

3822 4 60 15 38 19 2 3

19y y y y x

Solución: x 3 ; y 2

b) 2 4 7

3 5 4

x y

x y

3

2

6 12 21

6 10 8

x y

x y

29

Sumando : 2 292

y y

51

2 4 7 2 58 7 2 512

x y x x x

51 29

: ;2 2

Solución x y




Temas 3 y 4 13

EJERCICIOS PARA RESOLVER Y ENTREGAR EL DÍA DEL EXAMEN

EXPRESIONES POLINÓMICAS

1º. Reduce.

a) 555 723 xxx b)

4545 23 xxxx c) 26 3xx d) )4()8( 32 xyyx

e) 325)2( x f) 3

7

5

30

x

x g) 223 9:)54( xyyx h)

22

34

54

81

yx

yx

2º. ¿Cuál es el polinomio de grado 2, con término independiente igual a -3 y con los coeficientes de grado

1 y 2 iguales a 7?

3º. Contesta:

a) ¿Qué grado tiene el polinomio 753)( 34 xxxxP ?

b) ¿De cuantos términos está compuesto? c) ¿Es completo? Justifícalo.

4º. Halla el valor numérico de:

a) 22 xx para x = 3.

b) r 2 para r = 2.

c) 3223 33 yxyyxx para x = 2 e y = -1

d) )32()3(

)75()3(2 xyx

yxyx

para x = -1 e y = -2

5º. Sean: 33)( 23 xxxP ; 754)( 23 xxxxQ . Calcula:

a) )()( xQxP .

b) )()( xPxQ .

c) ¿Qué relación existe entre los resultados?

6º. Sean: 15)( 5 xxxP ; 1)( 34 xxxxQ ; 372)( 2356 xxxxxxR . Calcula:

a) )()( xQxP

b) )()( xQxP

c) )(3)( xQxR

d) )()(3)( xRxQxP

7º. Calcula el resultado de las siguientes operaciones:

a) )753(2 342 xxxx

b) )25()12( xx

c) )5()13( 22 xxx

d) )52()23()7( 2 xxxx

8º. Saca factor común, factorizando los siguientes polinomios:

a) xx 39 2

b) 4981 2 x

c) 2356 64816 xxxx

d) 22 124 yxyx

e) 3223 1218 yxyx

f) 3224 3620 bacba




Temas 3 y 4 14

9º. Desarrolla, sin operar, las siguientes igualdades notables:

a) 2)2( yx

b) 2)23( x

c) )52()52( xx

d) 23 )73( x

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

1º. Clasifica las siguientes igualdades algebraicas en identidades o ecuaciones:

a) baba 55)(5 b) 352 x c) 428 aa

d) xxx )1(223 e) 322

64

x

x f) 8114)32( 22 xxx

2º. Une con flechas las ecuaciones que sean equivalentes entre sí:

a) 013 x 1) xx 2115

b) xx 293 2) 18592 xx

c) 18693 xx 3) 124 xx

3º. Halla la solución de las ecuaciones siguientes:

a) )312(4)213(7 xxx

b) )32(2)32(4)32(5 xxx

c) 6

2

3

4

5

3

2

1

xx

d) 2

1

4

21

6

3

3

xxx

e) 15

2

4

3

5

31

xxx

f) 43

1

2

3

xx

g) 5

)13(3

2

53

xx

h) xxx

x 378

)4(3

6

52

4º. ¿Tienen solución estas ecuaciones? Justifica tu respuesta:

a) xxx 62)8(3

b) 6

23

6

)1(2

3

xxx




Temas 3 y 4 15

SISTEMAS DE ECUACIONES

1º. Une con flechas cada pareja de números con el sistema del que es solución:

a) x = -8 e y = -5 1)

3

632

yx

yx

b) x = 3 e y = 0 2)

5156

053

yx

yx

c) x = 1/3 e y = 1/5 3)

73

153

yx

yx

2º. Halla 3 soluciones distintas de la ecuación de la ecuación de primer grado con 2 incógnitas:

053 yx

3º. Une con flechas aquellos sistemas de ecuaciones que sean equivalentes entre sí:

a)

352

53

yx

yx

1)

352

1864

yx

yx

b)

6153

1066

yx

yx

2)

152510

1062

yx

yx

c)

6104

932

yx

yx

3)

25

533

yx

yx

4º. Resuelve el siguiente sistema por el método de sustitución:

352

53

yx

yx

5º. Resuelve el siguiente sistema por el método de igualación:

35

53

yx

yx

6º. Resuelve el siguiente sistema por el método de reducción:

13

332

yx

yx

7º. Resuelve los sistemas siguientes por el método que quieras o consideres más adecuado.




Temas 3 y 4 16

a)

23

132

yx

yx

b)

13

32

yx

yx

c)

42)(3

12

xy

xyx

d)

32

51

52

13

3

2

yx

yx

solución: grado de un monomio ¿es x 3 solución de la ecuación propuesta? iv) ¿es x 1 solución...

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