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Middle School Algebra 1

Español

Review & Practice

© 2006, 2013, 2016 CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Algebra 2

Punto de comprobación 1 Problema 1-49

Resolución de ecuaciones lineales, parte 1 (coeficientes enteros)

Respuestas al problema 1-49: a: x = –2, b: x = 1 12 , c: x = 0, d: sin solución Las ecuaciones de una variable pueden resolverse de diversos modos. Comúnmente, el primer paso es simplificar combinando términos semejantes. Luego, hay que aislar la variable de un lado y las constantes del otro. Finalmente, hay que dividir para encontrar el valor de la variable. Nota: Cuando el proceso para resolver una ecuación termina con números distintos a ambos lados del signo igual (por ejemplo, 2 = 4), entonces es un problema sin solución. Cuando el resultado es la misma expresión o número a ambos lados de la ecuación (por ejemplo, x + 3 = x + 3) significa que todos los números reales son soluciones. Ejemplo: Resuelve 4x + 4x – 3 = 6x + 9 Solución: 4x + 4x – 3 = 6x + 9 problema 8x – 3 = 6x + 9 simplificar 2x = 12 sumar 3, restar 6x de cada lado x = 6 dividir Verifica: 4(6) + 4(6) – 3 = 6(6) + 9 24 + 24 – 3 = 36 + 9 48 – 3 = 45 45 = 45 Ahora podemos regresar y resolver los problemas originales.

a. 3x + 7 = −x −14x = −8x = −2

b. 1− 2x + 5 = 4x − 3−2x + 6 = 4x − 3

9 = 6x1 12 = x

c. 4x − 2 + x = −2 + 2x5x − 2 = 2x − 2

3x = 0x = 0

d. 3 4 1 2 5 53 3 3 5

3 53 5 sin solución

x x xx x

− + = − − +− = −− = −− ≠ − ⇒

✓

Puntos de comprobación © 2006, 2013, 2016 CPM Educational Program. All rights reserved. 3

Te damos algunos más para que practiques. Resuelve cada ecuación.

1. 2x − 3= −x + 3 2. 3x + 2 + x = x + 5

3. 6 − x − 3= 4x − 8 4. 4x − 2 − 2x = x − 5

5. −x − 3= 2x − 6 6. −x + 2 = x − 5 − 3x

7. 1+ 3x − x = x − 4 + 2x 8. 5x − 3+ 2x = x + 7 + 6x

9. 4y − 8 − 2y = 4 10. −x + 3= 6

11. 3y + 7 − y = 5 + 2y + 2 12. 4y + 7 = 2y + 7

13. −x − 3= 2x − 6 14. 10 = x + 5 + x

15. −4 + 3x −1= 2x +1+ 2x 16. 2x − 7 = −x −1 Respuestas

1. x = 2 2. x = 1

3. x = 2 15 4. x = –3

5. x = 1 6. x = –7

7. x = 5 8. sin solución

9. y = 6 10. x = –3

11. todos los números reales 12. y = 0

13. x = 1 14. x = 2 12

15 x = –6 16. x = 2



Evaluación de expresiones y el Orden de las operaciones

Respuestas al problema 2-92: a: –8, b: 1, c: –2, d: 17, e: –45, f: 125 En general, simplifica una expresión usando el Orden de las operaciones:

• Evalúa cada exponencial (por ejemplo, 52 = 5 ⋅ 5 = 25). • Multiplica y divide cada término de izquierda a derecha. • Agrupa los términos semejantes agregando o restando de izquierda a derecha.

En primer ligar simplificar las expresiones entre paréntesis u otras expresiones de números agrupados. Los números que se encuentran arriba o debajo de la “barra de fracción” se consideran agrupados. Una buena forma de recordarlo es encerrar los términos con un círculo como en el ejemplo a continuación. Recuerda que los términos están separados por los signos + y –. Ejemplo 1: Evaluar 2x2 – 3x + 2 para x = –5 Solución: 2(−5)2 − 3(−5)+ 2

2(25)− 3(−5)+ 250 − (−15)+ 250 +15 + 2 = 67

Ejemplo 2: Evaluar 5 x+2yx−y( ) para x = –3, y = 2 Solución: 5 −3+2⋅2

−3−2( )5 −3+4

−3−2( )5 1

−5( ) = −1

Ahora podemos volver y resolver los problemas originales.

a. 2x + 3y + z2(−2)+ 3(−3)+ 5−4 + −9 + 5 = −8

b.

x − y(−2)− (−3)−2 + 3 = 1

c. 2 x+yz( )

2 −2+−35( )

2 −55( ) = 2(−1) = −2

d.

3x2 − 2x +1

3(−2)2 − 2(−2)+13(4)− 2(−2)+112 − (−4)+1= 17

e. 3y(x + x2 − y)

3(−3)(−2 + (−2)2 − (−3))3(−3) −2 + 4 − (−3)( )3(−3)(5) = −45

f. −z2 (1−2x)y−x

−(5)2 (1−2(−2))(−3)−(−2)

−25(1−(−4))(−3)−(−2) = −25(5)

−1

= 125


Te damos algunas más para que practiques. Resuelve cada ecuación parax = 4, y = −2, z = −3 .

1. 2x − 3 2. z2 + 5

3. 3z − 2y 4. xy − 4z

5. y − 2 + x 6. z − 8 − y

7. x2 +10x − 20 8. 2 2+xy+1( )

9. y2 − 3y + 7 10. 2yz − x2

11. − x3y 12. (y + z) ⋅ 14 x

13. 2z(y + x2 − x) 14. 10+y3y(x+1)

15. 2 x+yy( ) 16. (2x + y2 )(3+ z)

17. y − 5 + 3z2 18. x2 +12z − 4y

19. 2y2x

x+2 20. x(3+ zy)− 2x2

21. z2 + 8zy − y2 22. x3 − 4y

23. 6z − y2 + x+2z 24. −y2(xz−5y)

3x−4y Respuestas

1. 5 2. 14

3. –5 4. 4 5. 0 6. –9

7. 36 8. –12

9. 17 10. –4

11. 23 12. –5

13. –60 14. − 415

15. –2 16. 0 17. 20 18. –12

19. 5 13 20. 4

21. 53 22. 72

23. –24 24. 25



Operaciones con números racionales

Respuestas al problema 3-110: a: − 1924 , b: 4 56 , c: 1 25 , d: −2 23 , e: −3 7

12 , f: 2 27 Utiliza los mismos procesos con números racionales (fracciones positivas y negativas) que con los enteros (números enteros positivos y negativos). Ejemplo 1: Calcula 13 + – 9

20( ) Solución: Para sumar un número positivo con un número negativo, se restan los valores y el número más alejado del cero es el que determina el signo. Ejemplo 2: Calcula −1 14 – –3 9

10( ) Solución: Cambia el problema de resta a “suma del opuesto” y luego sigue el proceso de suma. Ejemplo 3: Calcula –1 14 ÷ 7

12

Solución: Con la multiplicación o división, si los signos son los mismos, entonces la respuesta es positiva. Si los signos son distintos, entonces la respuesta es negativa. Ahora podemos regresar y resolver los problemas originales.

a. Ambos números son negativos; por lo tanto, debes sumar los valores y el signo es negativo. − 23 + − 1

8 = − 23 ⋅

88 + − 1

8 ⋅33 = − 16

24 + − 324 = − 19

24

b. Cambia la resta a una suma del opuesto. 3 12 − −1 13( ) = 3 12 +1 13 = 3 + 12 ⋅ 33 +1+ 1

3 ⋅22 = 3+

36 +1+

26 = 4

56

c. Los signos son los mismos; por lo tanto, el producto es positivo. Multiplica como de costumbre. −4 15 ⋅−

13 = − 21

5 ⋅−13 =

7⋅ 3 ⋅15⋅ 3 = 7

5 = 125

d. Los signos son distintos; por lo tanto, el cociente es negativo. Divide como de costumbre. − 23 ÷

14 = − 2

3 ⋅41 = − 2⋅4

3⋅1 = − 83 = −2 23

Las soluciones continúan en la página siguiente. →

13 + −

920 = 13 ⋅

2020 + − 9

20 ⋅ 33 = 2060 + − 2760 = − 760

−1 14 − −3 910( )⇒−1 14 + 3

910 = −1 5

20 + 3 1820 = 21320

−1 14 ÷ 712 = − 5

4 ÷152 = − 5

4 ⋅215 = − 5 ⋅2

2 ⋅2⋅3⋅5 = − 16


Continuación de las soluciones de la página anterior.

e. Al sumar un número positivo a un número negativo, debes restar los valores y el número más alejado del cero determina el signo. 1 34 + −5 13 =

74 + − 163 = 7

4 ⋅ 33 + − 163 ⋅44 =

2112 + − 64

12 = − 4312 = −3 7

12

f. Los signos son iguales; por lo tanto, el cociente es positivo. Divide como de costumbre. −2 23 ÷ −1 16 = − 8

3 ÷ − 76 = − 8

3 ⋅ − 67 =

8⋅ 3 ⋅23 ⋅7

= 167 = 2 27

Te damos algunas más para que practiques. Calcula cada uno de los siguientes problemas con números racionales.

1. − 25 +

12 2. 3

4 − − 512( ) 3. − 5

7 +45 4. −1 67 + − 3

4( )

5. 3 13( ) ⋅ − 25( ) 6. −2 14 ⋅

23 7. −2 7

12 ÷ − 16 8. 3 12 + −4 38( )

9. −1 14 − −3 16( ) 10. 2 59( ) ⋅ − 37( ) 11. −4 3

4 − − 57( ) 12. 2

3 ÷ −1 49

13. − 59 ⋅1

23 14. − 3

5 ÷ −1 110 15. −5 12 ÷ − 3

4 16. 10 58 + −2 12( )

17. 5 15 + −2 215( ) 18. 12 34 − −1 58( ) 19. −2 79 ⋅ 3

17 20. −1 15 ÷ − 1

10

21. 5 112 − −2 67( ) 22. −6 17 ⋅ −

45 23. −1 18 ÷ 2

34 24. −2 35 − 3

110

Respuestas

1. 110 2. 1 16 3. 3

35 4. −2 1728

5. −1 13 6. −1 12 7. 15 12 8. − 78

9. 1 1112 10. −1 221 11. −4 1

28 12. − 613

13. − 2527 14. 6

11 15. 7 13 16. 8 18

17. 3 115 18. 14 38 19. −8 4663 20. 12

21. 7 7984 22. 4 3235 23. − 922 24. −5 7

10



Resolución de ecuaciones lineales, parte 2 (coeficientes fraccionarios) Respuestas al problema 4-86: a: –12, b: –24, c: x = 16

5 Las ecuaciones en una variable con coeficientes fraccionarios pueden resolverse de diversas maneras. Normalmente, el primer paso es multiplicar todos los términos por un denominador común para eliminar las fracciones. Luego se resuelve como de costumbre: agrupando los términos semejantes, separando la variable de un lado y las constantes del otro, y, finalmente, dividiendo para hallar el valor de la variable. Ejemplo 1: Resuelve 12 x + x – 3= 1

3 x + 4

Solución: 12 x + x – 3= 1

3 x + 4 problema 6(12 x + x – 3)= 6(13 x + 4) multiplicar por el denominador común

3x + 6x – 18 = 2x + 24 simplificar 9x – 18 = 2x + 24 simplificar 7x = 42 sumar 18, restar 2x de cada lado x = 6 dividir Ejemplo 2: Resuelve para y: y2 +

y3 − 3= y

Solución: y2 +

y3 − 3= y problema

6( y2 )+ 6(y3)+ 6(–3) = 6(y) multiplicar por el denominador común

3y + 2y – 18 = 6y simplificar –18 = y restar 5y de cada lado

Ahora podemos regresar y resolver los problemas originales.

a. 16 m − 3= −5

6(16 m − 3) = 6(−5)m −18 = −30

m = −12

b. 23 x − 3=

12 x − 7

(6) 23 x − (6) ⋅3= (6)12 x − (6) ⋅7

4x −18 = 3x − 42x = −24

c. x + x2 − 4 =

x4

4(x + x2 − 4) = 4(

x4 )

4x + 2x −16 = x5x = 16x = 16

5


Te damos algunos más para que practiques. Resuelve cada ecuación.

1. 23 x − 7 =13 x + 3 2. 5

4 x − 7 = x − 5

3. 13 y =14 y + 7 4. 2

3 x + 7 = − 15 x + 3

5. x2 +

x3 = 1 6. 2x

3 + x4 = 3

7. x + 7 + 13 x =

32 x − 2 8. 1

4 x +23 − x =

35 x −

12

9. 13 y + 7 +16 y =

12 y −1 10. x

5 +2x3 + x = 2

11. 3x − x4 + 9 = 1−

x2 + 8 12. 1

3 y − 2 +12 y = 1+ y −

y6 − 3

Respuestas

1. x = 30 2. x = 8

3. y = 84 4. x = − 6013

5. x = 65 6. x = 3611

7. x = 54 8. x = 7081

9. sin solución 10. x = 1514

11. x = 0 12. todos los números reales


Punto de comprobación 5A Problema 5-55

Propiedades de la potencia y la notación científica

Respuestas al problema 5-55: a: 47 , b: 1, c: x−2 = 1x2

, d: y6

x3, e: 1.28 × 104, f: 8 × 10–3

Las propiedades de la potencia resumen varias reglas para la simplificación de expresiones con exponentes. Las reglas son verdaderas para cualquier base si x ≠ 0 .

xa ⋅ xb = x(a+b) (xa )b = xab xa

xb= x(a−b)

x0 = 1 x−a = 1xa

La notación científica es una forma de escribir un número como producto de dos factores separados por un signo de multiplicación. El primero factor debe ser menor de 10 y mayor o igual a 1. El segundo factor tiene base 10 y un exponente entero. Ejemplo 1: Simplifica 42 ⋅4−4 Solución: En un problema de multiplicación, si las bases son las mismas, suma los exponentes y mantén la base. Si la respuesta termina con un exponente negativo, toma el recíproco y cambia el exponente a positivo. 42 ⋅ 4−4 = 4−2 = 1

42= 116

Ejemplo 2: Simplifica (x2 )3⋅y4

x−2⋅y

Solución: Separa la fracción en dos fracciones con bases x e y. Para los exponentes sobre exponentes, multiplica los exponentes. Luego, para dividir expresiones con exponentes y la misma base, debes restar los exponentes.

(x2 )3⋅y4

x−2⋅y= (x2 )3

x−2⋅ y4y = x6

x−2⋅ y4

y1= x8 ⋅ y3 = x8y3

Ejemplo 3: Multiplica y escribe la respuesta en notación científica. (8 ×104 ) ⋅(4.5 ×10−2 ) Solución: Separa las partes de números y las partes de exponentes. Multiplica las partes de número en forma habitual y la parte de exponentes sumando los exponentes. Si esta respuesta no está en notación científica, modifícala según corresponda. (8 ×104 ) ⋅ (4.5 ×10−2 ) = (8 × 4.5) ⋅ (104 ×10−2 ) = 36 ×102 = (3.6 ×101) ×102 = 3.6 ×103



a. 42 ⋅ 45 = 4(2+5) = 47 b. (50)3 = 50⋅3 = 50 = 1

c. x–5 ⋅ x3 = x(–5+3) = x–2 = 1x2 d. (x–1 ⋅ y2)3 = (1x ⋅ y

2 )3 = ( y2

x )3 = y6

x3

e. (8 × 105) ⋅ (1.6 × 10–2) = 12.8 × 103 = (1.28 × 101) × 103 = 1.28 × 104

f. 4×1035×105

= 45 ×10

(3−5) = 0.8 ×10−2 = (8 ×10−1)×10−2 = 8 ×10−3 Te damos algunos más para que practiques. Simplifica cada expresión. Para los problemas 19 a 24 escribe la respuesta final usando una notación científica.

1. 54 ⋅ 5–1 2. 33 ⋅ 33 ⋅ 36 3. x2 ⋅ (x4)–2 4. y–2 ⋅ 1y2⋅ y3

5. 33 ⋅ 35 ⋅ 13( )2 6. (33 ⋅ 2–12)2(2 ⋅ 3)7 7. x–3 ⋅ x0 8. x1 ⋅ x

x3⋅ y

−2

y

9. 74 ⋅9293⋅72

10. 14314−2

⋅140 11. x2⋅y4

x3⋅y4⎛⎝

⎞⎠0

12. (y2 )3

y6⋅ y4

13. 5254( )−1 14. (72 ⋅ 73)4 15. y3⋅y2 ⋅y−3

y−4 ⋅y3 16. 1

x4( )−2 ⋅ x ⋅ x0

17. 247−3( ) 7−2

25( )−1 18. 93⋅9−590

19. (4.25 × 103) ⋅ (2 × 105)

20. (1.2 × 104) ⋅ (7.1 × 10–2) 21. (6.9 × 107) ⋅ (3 × 102)

22. (5.63 × 10–6) ⋅ (4 × 10–7) 23. (6 × 10–3)2

24. 2.7 × 104 ÷ 3.2 × 10–2

Respuestas 1. 53 2. 312 3. x–6 = 1

x6 4. y–1 = 1y

5. 36 6. 313 ⋅ 2–17 o 313217

7. x–3 = 1x3

8. x–1 ⋅ y–3 = 1xy3

9. 729 10. 145 11. 1 12. y4

13. 52 14. 720 15. y3 16. x9

17. 29 ⋅ 75 18. 9–2 o 192

= 181 19. 8.5 × 108 20. 8.52 × 102

21. 2.07 × 1010 22. 2.252 × 10–12 23. 3.6 × 10–5 24. 8.4375 × 105


Punto de comprobación 5B Problema 5-90

Cómo escribir la ecuación de una recta

Respuestas al problema 5-90: a: y = 2x − 3 , b: y = −3x −1 , c: y = 23 x − 2 , d: y ≈ 5

2 x + 9 Salvo las rectas verticales, cualquier recta puede escribirse en la forma y = mx + b donde “b” representa el punto de corte con el eje y de la recta y “m” representa la pendiente. (Las rectas verticales siempre tienen la forma x = k.) La pendiente es una razón que indica la inclinación y dirección de la recta. La pendiente se calcula por m = cambio vertical

cambio horizontal =ΔyΔx .

Ejemplo 1: Escribe la ecuación de la recta con una pendiente de − 1

2 que atraviesa el punto (6, 3). Solución: Escribe la ecuación general de una recta.

Sustituye los valores que conocemos por m, x, e y. Halla b.

Escribe la ecuación completa. Ejemplo 2: Escribe la ecuación de una recta que atraviesa dos puntos (8, 3) y (4, 6). Solución: Dibuja un triángulo de pendiente genérico. Calcula la pendiente usando los dos puntos dados. Escribe la ecuación general de una recta. y = mx + b

Sustituye m y uno de los puntos para x e y, en este caso (8, 3). 3 = − 3

4 (8) + b

Halla b. 3 = −6 + b9 = b

Escribe la ecuación completa. y = − 34 x + 9

(4, 6)

(8, 3)

4

–3

y = mx + b 3 = – (6) + b 3 = –3 + b 6 = b y = – x + 6



a. y = mx + b b. y = mx + b 17 = 2 ⋅ 10 + b m = –3; (x, y) = (–2, 5) 17 = 20 + b 5 = –3(–2) + b –3 = b 5 = 6 + b y = 2x – 3 –1 = b y = –3x – 1 c. Mirando la tabla, la entrada d. Mirando el gráfico, el punto de

(0, –2) dice que b = –2. Por corte con el eje y (b) es cada incremento de 2 en el aproximadamente 9. Si se valor de y, el valor de x estima otro punto en el gráfico aumenta en 3. Esto (2, 14) y se dibuja un triángulo significa que la pendiente es de pendiente, se obtiene 23 . Si m = 2

3 y b = –2 m = ΔyΔx =

52 . Usando

entonces la ecuación es y = mx + b, la ecuación es y = 23 x – 2 . y ≈ 5

2 x + 9 . Te damos algunos más para que practiques. Utiliza la información suministrada para hallar la ecuación de una recta.

1. pendiente = 5, atraviesa (3, 13) 2. atraviesa (1, 1), (0, 4)

3. pendiente = − 53 , atraviesa (3, –1) 4. atraviesa (1, 3), (–5, –15)

5. pendiente = –4, atraviesa (–2, 9) 6. atraviesa (2, –1), (3, –3)

7. pendiente = –2, atraviesa (–4, –2) 8. atraviesa (1, –4), (–2, 5)

9. pendiente = 13 , atraviesa (6, 9) 10. atraviesa (–4, 1), (5, –2)

11. pendiente = − 14 , atraviesa (–2, 6) 12. atraviesa (–3, –2), (5, –2)

13. pendiente indefinida que atraviesa (5, 2) 14. atraviesa (3, 6), (3, –1)

15. 16.

x –2 –1 0 1 2 y –3 –1 1 3 5

x

y

(–2, 5)

(1, –4)

–9

3

= –3


17. 19.

18.

20. 22.

21.

Respuestas

1. y = 5x − 2 2. y = −3x + 4

3. y = − 53 x + 4 4. y = 3x

5. y = −4x +1 6. y = −2x + 3

7. y = −2x −10 8. y = −3x −1

9. y = 13 x + 7 10. y = − 1

3 x −13

11. y = − 14 x + 5

12 12. y = −2

13. x = 5 14. x = 3

15. y = 2x +1 16. y ≈ 35 x + 50

17. y = 12 x + 3 18. y = 3x + 2

19. y ≈ − 76 x +150 20. y = −x + 2

21. y = −3x + 4 22. y ≈ 65 x − 4

x –4 –2 0 2 4 y 1 2 3 4 5

x 5 3 0 1 2 y 17 11 2 5 8

x –5 1 0 3 –2 y 7 2 4

x –1 4 2 –4 –2 y 7 –2 10

x

y

y

x



Reescritura de ecuaciones con más de una variable

Respuestas al problema 6-29: a: y = 3x−105 = 3

5 x − 2 , b: x = y−bm , c: r2 = A

π Es posible reescribir ecuaciones con más de una variable de varias formas, pero suelen seguirse los mismos pasos usados para resolver una ecuación con una sola variable. Generalmente, el primer paso es multiplicar todos los términos por un denominador común para eliminar las fracciones. Luego, resuelve en la forma usual. Agrupa términos semejantes. Aísla los términos con la variable especificada de un lado y todos los demás términos del otro. Finalmente, divide o deshace los exponentes para aislar la variable. La respuesta final será una ecuación que incluya variables y posiblemente números. Ejemplo 1: Calcula y: 2x + 3y – 9 = 0 Solución: 2x + 3y − 9 = 0 problema

3y = −2x + 9 resta 2x, suma 9 de ambos lados

y = −2x+93 divide por 3

y = − 23 x + 3 simplifica

Ejemplo 2: Calcula r: V = 4

3 π r3

Solución: V = 4

3 πr3 problema

3V = 4πr3 multiplica ambos lados por 33V4π = r3 divide por 4π

3V4π

3 = r raíz cúbica


a. −3x + 5y = −105y = 3x −10y = 3x−10

5

y = 35 x − 2

b. y = mx + by − b = mxy−bm = x

c. A = π r2Aπ = r2


A continuación se incluyen más ejemplos. Resuelve cada ecuación para calcular la variable especificada.

1. 2x – 3y = 9 (para x) 2. 2x – 3y = 9 (para y)

3. 5x + 3y = 15 (para y) 4. 4n = 3m – 1 (para m)

5. 2w + 2l = P (para w) 6. 2a + b = c (para a)

7. I = ER (para R) 8. y = 14 x +1 (para x)

9. c2 = a2 + b2 (para b2) 10. V = s3 (para s)

11. 2 24 (para )S r rπ= 12. m = a+b+c

3 (para a)

13. a3 + b = c2 (para a) 14. Fa = m (para a)

15. A = 12 h(b1 + b2 ) (para b1) 16. V = 13πr

2h (para h)

Respuestas

1. x = 3y+92 2. y = 2x−9

3

3. y = 15−5x3 4. m = 4n+1

3

5. w = P−2l2 6. a = c−b

2

7. R = EI 8. x = 4(y −1)

9. b2 = c2 − a2 10. s = V3

11. r2 = S4π 12. a = 3m − b − c

13. a = c2 − b3 14. a = Fm

15. b1 = 2Ah − b2 16. h = 3V

π r2



Multiplicación de polinomios y resolución de ecuaciones con paréntesis

Respuestas al problema 6-104: a: 2x2 + 6x , b: 3x2 − 7x − 6 , c: y = 3, d: x = 2 Los polinomios pueden ser multiplicados (convertidos de un área escrita como producto a un área escrita como suma) usando la Propiedad distributiva o rectángulos genéricos. Para resolver ecuaciones con paréntesis, primero multiplica para eliminar los paréntesis y luego resuelve de la forma usual. Ejemplo 1: Multiplica −5x(−2x + y) Solución: Usando la Propiedad distributiva −5x(−2x + y) = −5x ⋅−2x + −5x ⋅ y = 10x2 − 5xy área como producto área como suma Ejemplo 2: Multiplica (x − 3)(2x +1) Solución: si bien es posible usar la Propiedad distributiva, en este problema y otros más complicados, es bueno usar un rectángulo genérico para hallar todas las partes. ⇒ x − 3( ) 2x +1( ) = 2x2 − 5x − 3 área como producto área como suma Ejemplo 3: Resuelve x(2x – 4) = (2x + 1)(x + 5) Resuelve x(2x – 4) = (2x + 1)(x + 5) Reescribe usando la Propiedad distributiva y rectángulos genéricos. Resta 2x2 Resta 11x Divide por –15

2x2 − 4x = 2x2 +11x + 5

−4x = 11x + 5

−15x = 5

x = 5−15 = − 1

3

–3

x 2x +1

–3

x 2x +1

–3

x 2x2

–6x



a. Usando la Propiedad distributiva: 2x(x + 3) = 2x ⋅ x + 2x ⋅ 3 = 2x2 + 6x

b. Usando rectángulos genéricos:

c. d.

A continuación se incluyen más ejemplos. Multiplica en los problemas 1 a 15 y resuelve en los problemas 16 a 27.

1. 2x(x −1) 2. (3x + 2)(2x + 7) 3. (2x −1)(3x +1)

4. 2y(x −1) 5. (2y −1)(3y + 5) 6. (x + 3)(x − 3)

7. 3y(x − y) 8. (2x − 5)(x + 4) 9. (3x + 7)(3x − 7)

10. (4x + 3)2 11. (x + y)(x + 2) 12. (x −1)(x + y +1)

13. (2y − 3)2 14. (x + 2)(x + y − 2) 15. 2(x + 3)(3x − 4)

16. 3(c + 4) = 5c +14 17. x − 4 = 5(x + 2)

18. 7(x + 7) = 49 − x 19. 8(x − 2) = 2(2 − x)

20. 5x − 4(x − 3) = 8 21. 2x + 2(2x − 4) = 244

22. (x −1)(x + 7) = (x +1)(x − 3) 23. (x + 4)(x + 3) = (x + 2)(x +1)

24. 2x − 5(x + 4) = −2(x + 3) 25. (x + 2)(x + 3) = x2 + 5x + 6

26. (x − 3)(x + 5) = x2 − 7x −15 27. (x + 2)(x − 2) = (x + 3)(x − 3)

–3

x

3x +2

–3

x

3x +2

–6


Respuestas

1. 2x2 − 2x 2. 6x2 + 25x +14 3. 6x2 − x −1

4. 2xy − 2y 5. 6y2 + 7y − 5 6. x2 − 9

7. 3xy − 3y2 8. 2x2 + 3x − 20 9. 9x2 − 49

10. 16x2 + 24x + 9 11. x2 + xy + 2x + 2y 12. x2 + xy − y −1

13. 4y2 −12y + 9 14. x2 + xy + 2y − 4 15. 6x2 +10x − 24

16. –1 17. −3 12 18. 0

19. 2 20. –4 21. 42

22. 12 23. −2 12 24. –14

25. todos los números 26. 0 27. sin solución reales



Resolución de problemas por medio de ecuaciones Respuestas al problema 7-49: a: 13, 18, y 26 años, b: 14 meses, c: $4.80, d: 210 entradas para adultos y 240 entradas para alumnos. Las situaciones suelen ser representadas usando una ecuación o un sistema de ecuaciones. Al resolver un problema con una relación proporcional, el método más común es el uso de razones iguales. En cualquier caso, es importante que definas las variables. Ejemplo 1: Una bolsa de monedas contiene solo monedas de cinco y diez centavos. Si hay 33 monedas y suman $2.40, ¿cuántas monedas de cada valor hay en la bolsa? Solución 1: Usando solo una variable.

Si d = la cantidad de monedas de 10 centavos, 33 – d = la cantidad de monedas de 5 centavos. 10d = el valor de las monedas de 10 centavos, y 5(33 – d) = el valor de las monedas de 5 centavos. El valor total de las monedas es 240 centavos, así que:

10d + 5(33 – d) = 240

Al resolver se obtiene d = 15 (monedas de 10 centavos) y 33 – 15 = 18 (monedas de 5 centavos).

Solución 2: Usando dos variables.

Si d = la cantidad de monedas de 10 centavos y n = la cantidad de monedas de 5 centavos, debemos escribir dos ecuaciones. La primera relaciona la cantidad de monedas y la segunda relaciona el valor de las monedas.

d + n = 3310d + 5n = 240

Al resolver se obtiene nuevamente d = 15 (monedas de 10 centavos) y n = 18 (monedas de 5 centavos).

Ejemplo 2: Michael nada a una tasa de 450 pies en 4 minutos. A esa tasa, ¿cuánto nadará en 15 minutos? Solución: Ya que nada a una velocidad constante, esta es una situación proporcional.

Si d = la distancia viajada, escribe dos razones que comparen distancia y tiempo.

distancia 450tiempo 4 15

d= =

Al resolver se obtiene d = 1687.5 pies.



a. Si x = la edad del hijo menor, 2x = la edad del hijo mayor y x + 5 = la edad del hijo del medio, x + 2x + x + 5 = 57 ⇒ 4x = 52 ⇒ x = 13 El hijo menor tiene 13 años, el mayor 2x = 26 y el del medio x + 5 = 18.

b. Si w = pero en libras y m = cantidad de meses Katy: w = 105 + 2m James: w = 175 – 3m Ya que queremos saber cuándo pesarán lo mismo: 105 + 2m = 175 – 3m ⇒ 5m = 70 ⇒ m = 14 Pesarán lo mismo en 14 meses.

c. Si c = el costo de los tomates $8costo

peso 5 3 5 24 $4.80c c c= = ⇒ = ⇒ = . Los tomates costarán $4.80.

d. Si x = cantidad de entradas para adultos entonces x + 30 = cantidad de entradas para alumnos 5x + 3(x + 30) = 1770 Resolver arroja x = 210 (entradas para adultos) y x + 30 = 240 (entradas para alumnos).

A continuación se incluyen más ejemplos. Para cada problema, escribe y resuelve una o dos ecuaciones que representen la situación. Asegúrate de definir tus variables y responder claramente la pregunta.

1. Un rectángulo es tres veces más largo que ancho. Su perímetro es de 36 cm. Halla la longitud de cada lado.

2. La suma de dos números impares consecutivos es 76. Halla los números.

3. Nancy comenzó el año con $435 en el banco y ahorra $25 por semana. Shane comenzó con $875 y gasta $15 por semana. ¿Cuándo tendrán la misma cantidad de dinero en el banco?

4. Una motocicleta de $800 tiene un impuesto de $45. ¿Cuál sería el impuesto sobre una motocicleta de $1000?

5. Jorge tiene monedas de diez y veinticinco centavos. Tiene 10 monedas de diez centavos más que monedas de veinticinco centavos, y el valor total de las monedas es de $2.40. ¿Cuántas monedas de cada valor tiene Jorge?

6. Las entradas para adultos al musical de la escuela cuestan $5.00 y las entradas para alumnos $3.50. Si el valor total de las entradas vendidas es $2517.50 y la obra fue vista por 100 alumnos más que la cantidad total de adultos, ¿cuántos adultos y cuántos alumnos compraron entradas?


7. Si 50 latas de bebida soda vacías pesan 3 12 libras, ¿cuánto pesarían 70 latas de bebida soda vacías?

8. La Escuela Preparatoria Holmes tiene 125 alumnos más que la Escuela Preparatoria Harper. Las dos escuelas tienen un total de 809 alumnos. ¿Cuántos alumnos asisten actualmente a cada escuela?

9. Como tesorera del club 4H de su escuela, Carol quiere comprar regalos para los 18 miembros. Puede comprar camisetas por $9 y sudaderas por $15. El club tiene $180 y Carol quiere gastar todo el dinero. ¿Cuántos regalos de cada tipo debería comprar?

10. La Sra. Jeffers dividirá $775 entre sus tres hijos. Si el mayor obtendrá el doble que el menor y el del medio obtendrá $35 más que el menor, ¿cuánto dinero obtendrá cada hijo?

11. Evan tiene 356 animales de peluche y todos son monos o jirafas. Tiene 17 jirafas más que el doble de la cantidad de monos. ¿Cuántos monos tiene?

12. Oliver gana $50 al día más $7.50 por cada paquete que entregue. Si su pago por el primer día fue de $140, ¿cuántos paquetes entregó ese día?

13. Leticia gastó $11.19 en caramelos rojos y azules. La bolsa de caramelos pesaba 11 libras. Si los caramelos rojos cuestan $1.29 por libra y los caramelos azules $0.79, ¿cuántos caramelos de cada color compró Leticia?

14. En 35 minutos, el automóvil de Suki recorrió 25 millas. Si continúa a la misma velocidad, ¿cuánto tardará en recorrer 90 millas?

15. Fresh Pond tiene una población de 854 personas que aumenta a razón de 3 personas al año. Strawberry tiene una población de 427 personas que aumenta a razón de 10 personas al año. ¿En cuántos años ambos pueblos tendrán la misma cantidad de habitantes?

16. La feria del condado Marin cobra $4 para entrar y $3.50 por cada viaje en la montaña rusa. La feria del condado Sonoma cobra $7 para entrar pero solo $2 por cada viaje en la montaña rusa. ¿Cuántas veces debes subirte a la montaña rusa para gastar lo mismo en ambas ferias?

17. Halla tres números consecutivos cuya suma sea 219.

18. La tasa de germinación de las semillas de zinnia es del 78%. Esto significa que 78 de cada 100 semillas germinarán y crecerán. Si James quiere 60 plantas de zinnia para su jardín, ¿cuántas semillas debería plantar?


Respuestas (Nota: hay muchas posibles ecuaciones correctas)

1. 4.5 cm y 13.5 cm 2. 37 y 39

3. 11 semanas 4. $56.25

5. 4 monedas de 25 centavos, 6. 255 adultos, 355 alumnos 14 monedas de 10 centavos

7. 4.9 libras 8. Harper tiene 342, Holmes 467

9. 15 camisetas, 3 sudaderas 10. $185, $220, $370

11. 113 monos, 243 jirafas 12. 12 paquetes

13. 5 libras de caramelos rojos, 14. 126 minutos 6 libras de caramelos azules

15. 61 años 16. 2 veces

17. 72, 73, 74 18. 77 semillas



Resolución de sistemas de ecuaciones lineales Respuestas al problema 7-111: a: (–2, 5), b: (1, 5), c: (–12, 14), d: (2, 2) Cuando dos ecuaciones se hallan en forma y = mx + b, es conveniente usar el Método de igualación de sistemas de ecuaciones para hallar el punto de intersección. Iguala ambas ecuaciones entre sí para crear una ecuación con una variable y calcular x. Luego usa el valor de x en cualquiera de las ecuaciones para calcular y. Si una de las ecuaciones tiene una variable aislada de un lado, esa expresión puede reemplazar la variable en la segunda ecuación. Esto crea una ecuación con solo una variable. Esto recibe el nombre de Método de sustitución. Observa el Ejemplo 1 a continuación. Si ambas ecuaciones se hallan en forma estándar (ax + by = c), sumar o restar las ecuaciones puede eliminar una de las variables. A veces, es necesario multiplicar antes de sumar o restar para que los coeficientes sean iguales u opuestos. Esto recibe el nombre de Método de eliminación. Observa el Ejemplo 2 a continuación. Algunas ecuaciones hacen que no sea conveniente sustituir o eliminar. En ese caso, es necesario convertir una o ambas ecuaciones a una forma que permita utilizar los métodos antes mencionados. Ejemplo 1: Resuelve el siguiente sistema. 4x + y = 8

x = 5 − y

Solución: ya que x se encuentra aislada en la segunda ecuación, sustituye x por 5 – y en la primera ecuación y luego resuelve en la forma usual. Luego sustituye y por 4 en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar x. Usando la segunda ecuación, x = 1, así que la solución es (1, 4).


Ejemplo 2: Resuelve el siguiente sistema. –2x + y = –7 3x – 4y = 8

Solución: si sumamos o restamos las dos ecuaciones, no se elimina ninguna variable. Observa, sin embargo, que si multiplicas toda la ecuación superior por 4, sumar ambas ecuaciones elimina los términos y.

−2x + y = −73x − 4y = 8

⇒ 4(−2x + y = −7)3x − 4y = 8

⇒ −8x + 4y = −283x − 4y = 8−5x + 0 = −20

= 4

Sustituye x por 4 en la primera ecuación: –2(4) + y = –7 ⇒ –8 + y = –7 ⇒ y = 1. La solución es (4, 1). Ahora podemos regresar y resolver los problemas originales.

a. y = 3x + 11 b. y = 2x + 3 x + y = 3 x – y = –4 Usando la sustitución: Usando la sustitución:

x + (3x +11) = 34x +11= 3

4x = −8x = −2y = 3(−2)+11= 5

x − (2x + 3) = −4x − 2x − 3 = −4

−x − 3 = −4−x = −1x = 1y = 2(1)+ 3 = 5

La respuesta es (1, 5).

c. x + 2y = 16 d. 2x + 3y = 10 x + y = 2 3x – 4y = –2 Restar la segunda ecuación de

la primera elimina x.

x + 2y = 16−(x + y = 2)

y = 14x +14 = 2

x = −12

La respuesta es (–12, 14).

Multiplicar la ecuación superior por 4, la inferior por 3, y sumar las ecuaciones elimina y.

La respuesta es (2, 2).

La respuesta es (–2, 5).


A continuación se incluyen más ejemplos. Resuelve cada sistema de ecuaciones.

1. y = −3x4x + y = 2

2. y = 7x − 52x + y = 13

3. x = −5y − 4x − 4y = 23

4. x + y = −4−x + 2y = 13

5. 3x − y = 1−2x + y = 2

6. 2x + 5y = 12x − y = 19

7. x + y = 10y = x − 4

8. y = 5 − x4x + 2y = 10

9. 3x + 5y = 23y = x + 3

10. y − x = 42y + x = 8

11. 2x − y = 412 x + y = 1

12. −4x + 6y = −202x − 3y = 10

13. x = 12 y +

12

2x + y = −1 14. a = 2b + 4

b − 2a = 16 15. y = 3− 2x

4x + 2y = 5

16. 6x − 2y = −164x + y = 1

17. 4x − 4y = 142x − 4y = 8

18. 3x + 2y = 125x − 3y = −37

19. x + y = 52y − x = −2

20. 2y = 10 − x3x − 2y = −2

21. 2x − 3y = 507x + 8y = −10

22. 3x = y − 26x + 4 = 2y

23. y = − 23 x + 4

y = 13 x − 2

24. 5x + 2y = 92x + 3y = −3

Respuestas

1. (2, −6) 2. (2, 9) 3. (11, −3)

4. (−7, 3) 5. (3, 8) 6. (8, −3)

7. (7, 3) 8. (0, 5) 9. (1, 4)

10. (0, 4) 11. (2, 0) 12. infinitas soluciones

13. (0, −1) 14. (−12, −8) 15. sin solución

16. (−1, 5) 17. (3, − 12 ) 18. (−2, 9)

19. (4,1) 20. (2, 4) 21. (10, −10)

22. infinitas soluciones 23. (6, 0) 24. (3, −3)

school · 2020. 3. 27. · problema sin solución. cuando el resultado es la misma expresión o...

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