solución de sistemas de ecuaciones lineales
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A S I G N A T U R A : A N A L I S I S N U M É R I C O
SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Universidad Fermín Toro
Vicerrectorado Académico
Escuela de Ingeniería Eléctrica
Cabudare, Lara
Participante:
Alcalá González, Armando Ricardo
C.I.V.- 17.574.754
SAIA B
MÉTODOS DE ELIMINACIÓN GAUSSIANA
Alcalá, Armando - CI 17.574.754
Consiste en realizar transformaciones
elementales en el sistema inicial,
destinadas a transformarlo en un sistema
triangular superior, que se resuelve por
remonte. La matriz de partida tiene el
mismo determinante que la
matriz de llegada, cuyo determinante es
el producto de los coeficientes
diagonales de la matriz. Este método
propone la eliminación progresiva
de variables en el
sistema de ecuaciones, hasta tener sólo
una ecuación con una incógnita. Una
vez resuelta esta, se procede por
sustitución regresiva hasta obtener los
valores de todas las variables.
Este método se aplica para resolver sistemas lineales de la forma: A.X=B
El método de eliminación Gaussiana (simple), consiste en escalonar la
matriz aumentada del sistema:
para obtener un sistema equivalente :
donde la notación a’ij se usa
simplemente para denotar que el
elemento aij cambió. Se despejan las
incógnitas comenzando con la última
ecuación y hacia arriba. Por esta
razón, muchas veces se dice que el
método de eliminación Gaussiana
consiste en la eliminación hacia
adelante y sustitución hacia atrás.
Alcalá, Armando - CI 17.574.754
MÉTODO DE GAUSS-JORDAN
Alcalá, Armando - CI 17.574.754
Consiste en realizar transformaciones
elementales en el sistema inicial,
destinadas a transformarlo en un
sistema diagonal. El número de
operaciones elementales de este
método, es superior al del método
de Gauss.
Es un método computacionalmente
bueno cuando hay que resolver
varios sistemas con la misma matriz
A y resolverlos simultáneamente,
utilizando este algoritmo. Solo se
hace un proceso de eliminación en
la matriz y la resolución de un
sistema con dicha matriz es fácil.
MÉTODO DE GAUSS-JORDAN
Alcalá, Armando - CI 17.574.754
ALGORITMO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS-JORDAN 1. Ir a la columna no cero extrema izquierda.
2. Si la primera fila tiene un cero en esta columna,
intercambiarlo con otra que no lo tenga.
3. Luego, obtener ceros debajo de este elemento
delantero, sumando múltiplos adecuados del
renglón superior a los renglones debajo de él.
4. Cubrir el renglón superior y repetir el proceso
anterior con la submatriz restante. Repetir con el
resto de los renglones.
5. Comenzando con el último renglón no cero,
avanzar hacia arriba: para cada renglón obtener
un 1 delantero e introducir ceros arriba de éste
sumando múltiplos correspondientes a los renglones
correspondientes.
Una variante consiste en ir obteniendo los 1 delanteros
durante los pasos uno al cuatro (llamados paso
directo) así para cuando estos finalicen ya se obtendrá
la matriz en forma escalonada reducida.
MÉTODO DE DESCOMPOSICIÓN LU
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Se basa en demostrar que una matriz A se puede factorizar como el
producto de una matriz triangular inferior L con una matriz triangular
superior U, donde en el paso de eliminación sólo se involucran
operaciones sobre los coeficientes de la matriz, permitiendo así evaluar
los términos independientes bi de manera eficiente.
Sea A una matriz no singular (si lo fuera, entonces la descomposición
podría no ser única) A= L U ; donde L y U son matrices inferiores y
superiores triangulares respectivamente. Para matrices 3 x 3 esto es:
FACTORIZACIÓN DE CHOLESKY
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Se basa en demostrar que si una matriz
A es simétrica y definida positiva en
lugar de factorizarse como LU, puede ser
factorizada como el producto de una
matriz triangular inferior y la traspuesta
de la matriz triangular inferior, es decir los
factores triangulares resultantes son la
traspuesta de cada uno. A = L . LT
Una matriz simétrica es aquella donde Aij
= Aji para toda i y j, En otras palabras, [A]
=[A] T. Computacionalmente sólo se
necesita la mitad de almacenamiento y,
en la mayoría de los casos, sólo se
requiere la mitad del tiempo de cálculo
para su solución. No requiere de pivoteo.
FACTORIZACIÓN DE QR, HOUSEHOLDER
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Se usa determinar valores propios de
una matriz, para resolver sistemas
lineales y para determinar
aproximaciones por mínimos
cuadrados.
En muchas aplicaciones el número de
filas (M) de una matriz de coeficientes
Amxn puede ser 3 al número de
columnas (N). La Factorización QR
consiste en descomponer la matriz
Amxn en el producto de dos matrices.
Las cuales se denominan matriz
Ortogonal y matriz Triangular Superior.
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES UTILIZANDO MÉTODOS ITERATIVOS
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Un método iterado de resolución del
sistema Ax = b es aquel que genera, a
partir de un vector inicial x0, una sucesión
de vectores x1, x2, . . . xn.. "Un método
iterado se dirá que es consistente con el
sistema Ax = b, si el límite x de la sucesión
(xn), en caso de existir, es solución del
sistema. Se dirá que el método es
convergente si la sucesión generada por
cualquier vector inicial x0 es convergente
a la solución del sistema“.
Tenemos:
• Método De Gauss Seidel.
• Método de Jacobi.
MÉTODO DE GAUSS SEIDEL
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Es un método iterativo utilizado para
resolver sistemas de ecuaciones lineales.
Puede aplicarse a cualquier sistema de
ecuaciones lineales que produzca una
matriz de coeficientes con los elementos
de su diagonal no-nulos, la convergencia
del método solo se garantiza si la matriz es
diagonalmente dominante o si es simétrica
y, a la vez, definida positiva.
Emplea valores iniciales y después itera
para obtener estimaciones refinadas de la
solución. La fórmula utilizada para hallar los
xi viene dada por el despeje de cada una
de las xi en cada una de las ecuaciones y
se les da un valor inicial a cada xi de cero.
MÉTODO DE GAUSS SEIDEL
Procedimiento: Buscamos la solución a un sistema de ecuaciones lineales,
en notación matricial: Ax = b, donde:
El método de iteración Gauss-Seidel se computa, para la iteración (k+1):
donde A=N-P, luego definimos M=N-1P y c=N-1b , donde
los coeficientes de la matriz N se definen como
Considerando el sistema Ax=b con la condición de que
Entonces podemos escribir la fórmula de iteración del método:
las mejoras a las aproximaciones no se utilizan hasta completar las iteraciones.
MÉTODO DE JACOBI
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Es un método iterativo, usado para resolver
sistemas de ecuaciones lineales del tipo
Ax=b. Este usa fórmulas como iteración
de punto fijo. Al aplicarlo se transforma una
matriz simétrica en una matriz diagonal al
eliminar de forma simétrica los elementos
que están fuera de la diagonal. Requiere
un número infinito de operaciones, ya que
la eliminación de cada elemento no 0 a
menudo crea un nuevo valor no 0 en el
elemento 0 anterior. La base de éste
consiste en construir una sucesión
convergente definida iterativamente.
El límite de esta sucesión es precisamente la solución del sistema. A
efectos prácticos si el algoritmo se detiene después de un número finito
de pasos se llega a una aproximación al valor de x de la
solución del sistema.