Solución de Sistemas de Ecuaciones

Lineales

Universidad Fermín Toro Vicerrectorado Académico

Facultad de Ingeniería

Rebeca Oropeza C.I 26261017Análisis Numérico SAIA.

Método de reducción

  Consiste en multiplicar

ecuaciones por números y sumarlas para reducir el número de incógnitas hasta llegar a ecuaciones con solo una incógnita.

 Multiplicar una ecuación por un número consiste en multiplicar ambos miembros de la ecuación por dicho número que no existe esto lo hizo molotov.

Ejemplo Multiplicando la primera ecuación por 3 y la

segunda por -5, se obtienen las ecuaciones 15x - 9y = 1 -15x + 20y = 5 Al sumar ambas ecuaciones nos da la ecuación  La elección de los factores 3 y -5 se ha hecho

precisamente para que la   desaparezca al sumar ambas ecuaciones. 

Sustituyendo   por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida, se obtiene

que es otra ecuación con una sola incógnita y cuya solución es x=1

Método de igualación

El método de igualación consiste en lo siguiente:

 Supongamos que tenemos dos ecuaciones:

donde  a, b , y c representan simplemente los miembros de estas ecuaciones ( son expresiones algebraicas ).

 De las dos igualdades anteriores se deduce que

Si resulta que una incognita del sistema de ecuaciones no aparece ni en  a ni en  b , entonces la ecuación

no contendría dicha incognita.

El sistema de ecuaciones: (ejemplo)

es equivalente a este otro

El segundo sistema lo he obtenido pasando los terminos en  Y del miembro de la izquierda al miembro de la derecha en cada una de las ecuaciones del primer sistema.  Del segundo sistema se deduce que

que es una ecuación con una sola incognita cuya solución es :   .

 Sustituyendo Y por 1 en la primera ecuación del sistema de partida se tiene que

que es una ecuación con una sola incognita y cuya solución es    .

El Método de Gauss – Jordan o también llamado eliminación de Gauss –

Jordan, es un método por el cual pueden resolverse sistemas de ecuaciones lineales con n números de variables, encontrar matrices y matrices inversas, en este caso desarrollaremos la primera aplicación mencionada.

Para resolver sistemas de ecuaciones lineales aplicando este método, se debe en primer lugar anotar los coeficientes de las variables del sistema de ecuaciones lineales en su notación matricial:

Entonces, anotando como matriz (también llamada matriz aumentada):

Método de Gauss – Jordan

Una vez hecho esto, a continuación

se procede a convertir dicha matriz en una matriz identidad, es decir una matriz equivalente a la original, la cual es de la forma:

Ejemplo: Sea el sistema de ecuaciones:

1. Procedemos al primer paso para encontrar su solución, anotarlo en su forma matricial:

Una vez hecho esto podemos empezar a operar con las distintas filas y columnas de la matriz para transformarla en su matriz identidad, teniendo siempre en cuenta la forma de la misma:

Lo primero que debemos hacer es transformar el 2 de la 1ª fila de la matriz original en el 1 de la 1ª fila de la matriz identidad; para hacer esto debemos multiplicar toda la 1ª fila por el inverso de 2, es decir ½.

Luego debemos obtener los dos ceros de la primera columna de la matriz identidad, para lograr esto, buscamos el opuesto de los números que se ubicaron por debajo del 1 de la primera columna, en este caso el opuesto de 3 que será -3 y el opuesto de 5 que será -5.

Una vez hecho esto, se procederá a multiplicar los opuestos de estos números por cada uno de los elemento de la 1ª fila y estos se sumaran a los números de su respectiva columna. Por ej.: en el caso de la 2º fila, se multiplicara a -3 (opuesto de 3) por cada uno de los elementos de la 1º fila y se sumara su resultado con el numero que le corresponda en columna de la segunda fila. En el caso de la 3ª fila se multiplicara a -5 (opuesto de 5) por cada uno de los elementos de la 1º fila y se sumara su resultado con el número que le corresponda en columna de la tercera fila.

Nuestro siguiente paso es obtener el 1 de la 2ª fila de la matriz identidad, y procedemos de igual forma que antes, es decir multiplicamos toda la fila por el inverso del numero que deseamos transformar en 1, en este caso -13/2, cuyo inverso es -2/13

Factorización LU

Suponga que la matriz A es una matriz m × n se puede escribir como el producto de dos matrices: A = L U

donde L es una matriz triangular inferior m × m y U es una matriz escalonada m × n.

Entonces para resolver el sistema: A x = b

, escribimos A x = (L U) x = L (U x). Una posible estrategia de solucion

consiste en tomar y = U x y resolver para y:

L y = b.

Como la matriz L es triangular superior este sistema puede resolverse mediante sustitución hacia abajo, lo cual se hace fácilmente en m2 FLOPS.

Una vez con los valores encontrados de Y, las incógnitas al sistema inicial se resuelve despejando x

de U x = y. Nuevamente, como U es escalonada,

este sistema puede resolverse en caso de tener solución mediante sustitución hacia atrás, lo cual es sencillo. Estas observaciones nos dan la pauta para ver la conveniencia de una factorización como la anterior, es decir factorizar A como el producto de una matriz L triangular superior, por otra U la cual es escalonada. Esta factorización se llama usualmente Descomposición LU.

EJEMPLO 1 DE DESCOMPOSICIÓN LU PROBLEMA: Encontrar los valores de x1, x2 y x3 para el siguiente

sistema de ecuaciones:

NOTA: Recuérdese que si la matriz es 2x2 se hará 1 iteración; si es 3x3, 2 iteraciones; si es 4x4, 3 iteraciones; y así sucesivamente.

Solución:

ITERACIÓN 1 factor 1 = (a21 / a11) = 5 / 4 = 1.25 factor 2 = (a31 / a11) = 1 / 4 = 0.25 Encontrando [U] fila 2 = - (factor 1) * (fila 1) + (fila 2) fila 3 = - (factor 2) * (fila 1) + (fila 3) a11 = a11 a12 = a12 a13 = a13

4 - 2 - 1 9[A] = 5 1 - 1 [B] = 7

1 2 - 4 12

a21 = - (1.25) * (4) + (5) = 0 a22 = - (1.25) * (- 2) + (1) = 3.5 a23 = - (1.25) + (- 1) + (- 1) = 0.25 a31 = - (0.25) * (4) + (1) = 0 a32 = - (0.25) * (- 2) + (2) = 2.5 a33 = - (0.25) * (- 1) + (- 1) = - 0.75

Encontrando [L]

ITERACIÓN 2 factor 3 = (u32 / u22) = 2.5 / 3.5 =

0.7142857143 Encontrando [U] fila 3 = - (factor 3) * (fila 2) + (fila 3) a31 = - (2.5 / 3.5) * (0) + (0) = 0 a32 = - (2.5 / 3.5) * (3.5) + (2.5) = 0 a33 = - (2.5 / 3.5) * (0.25) + (- 0.75) = -

0.9285714286

4 - 2 - 1[U] = 0 3.5 0.25

0 2.5 - 0.75

1 0 0[L] = 1.25 0 0

0.25 0 0

Encontramos [L]

Ahora ya se tiene la matriz [U] y la matriz [L]. El siguiente paso es resolver

Ly = b para encontrar la matriz y. En pocas palabras es como que se pidiera resolver el siguiente sistema de ecuaciones, encontrando los valores de y1, y2 y y3:

4 - 2 - 1[U] = 0 3.5 0.25

0 0

- 0.92857142

86

1 0 0[L] = 1.25 1 0

0.250.71428571

43 1

Al resolver el sistema anterior, se obtienen los siguientes valores para y1, y2 y y3:

El último paso es resolver Ux = y para encontrar la matriz x. En otras palabras es como que se pidiera resolver el siguiente sistema de ecuaciones, encontrando los valores de x1, x2 y x3:

La solución del sistema es:

El método de Gauss-Seidel es un método iterativo y por lo mismo resulta ser bastante eficiente. Se comienza planteando el sistema de ecuaciones con el que se va a trabajar:

De la ecuación 1 despejar x1, de la ecuación 2 despejar x2, …, de la ecuación n despejar xn. Esto da el siguiente conjunto de ecuaciones:

Este último conjunto de ecuaciones son las que forman las fórmulas iterativas con las que se va a estar trabajando. Para comenzar el proceso iterativo, se le da el valor de cero a las variables x2,…, xn; esto dará un primer valor para x1. Más precisamente, se tiene que:

MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL

Enseguida, se sustituye este valor de

x1 en la ecuación 2, y las variables x3,…, xn siguen teniendo el valor de cero. Esto da el siguiente valor para x2:

Estos últimos valores de x1 y x2, se sustituyen en la ecuación 3, mientras que x4,…, xn siguen teniendo el valor de cero; y así sucesivamente hasta llegar a la última ecuación. Todo este paso arrojará una lista de primeros valores para las incógnitas, la cual conforma el primer paso en el proceso iterativo. Para una mejor comprensión esto se simbolizará de esta forma:

Se vuelve a repetir el proceso, pero ahora sustituyendo estos últimos datos en vez de ceros como al inicio. Se obtendrá una segunda lista de valores para cada una de las incógnitas, lo cual se simbolizará así:

En este momento se pueden calcular los errores aproximados relativos, respecto a cada una de las incógnitas. La lista de errores se presenta a continuación:

El proceso se vuelve a repetir hasta que: