Métodos Numéricos

Sergio Alejandro López Islas

A01270422

Dr. Ciro Flores

VECTORES, MATRICES Y ARREGLOS

En los ejercicios 1 a 3, resuelva el sistema triangular superior y halle el valor del determinante de la matriz de los coeficientes.

1.

2.

3.

4. (a) Consideremos las dos matrices triangulares superiores

3 x1−2 x2+x3−x4=8

4 x2−x3+2 x4=−3

2 x3+3 x4=11

5 x4=15

5 x1−3 x2−7x3+x4=−14

11 x2+9 x3+5 x4=22

3 x3−13 x4=−11

7 x4=14

x4=23x3−26=−11x3=511x2+45+10=22 x2=−35 x1+9−35+2=−14x1=2Determinante= (5) (11) (3) (7) = 1155

x4=32x3+9=11x3=14x2−1+6=−3 x2=−23 x1+4+1−3=8x1=2Determinante= (3) (4) (2) (5) = 120

4 x1−x2+2 x3+2 x4−x5=4

−2 x2+6 x3+2 x4+7 x5=0

x3−x4−2x5=3

−2 x4−x5=10

3 x5=6

x5=2-2x4-2=10x4=−6x3+6−4=3x3=1−2 x2+6−12+14=0 x2=44 x1−4+2−12−2=4x1=5Determinante= (4) (-2) (1) (-2) (3) = 48

A=[a11 a12 a130 a22 a230 0 a33 ] Y B=[b11 b12 b13

0 b22 b230 0 b33]

Pruebe que su producto C=AB es también triangular superior.

C=[ a11∗b11+0∗0+0∗0 a11∗b12+a12∗b22+a13∗0 a11∗b13+a12∗b23+a13∗b330∗b11+0∗a22+0∗a23 0∗b12+a22∗b22+a23∗0 0∗b13+a22∗b23+a23∗b330∗b11+0∗0+a33∗0 0∗b12+0∗b22+a33∗0 0∗b13+0∗b23+a33∗b33 ]

= [a11b11 a11b12+a12b22 a11b13+a12b23+a13 b330 a22b22 a22b23+a23 b330 0 a33b33 ]

Dando como resultado una matriz triangular superior

5. Resuelva el sistema triangular inferior AX=B siguiente y calcule det(A).

6. Resuelva el sistema triangular inferior AX=B siguiente y calcule det(A).

En los ejercicios 1 a 3, resolviendo con el programa backsub.m

1) 2)

2 x1=6

−x1+4 x2=5

3 x1−2x2−x3=4

x1−2 x2+6 x3+3 x4=2

x1=3−3+4 x2=5x2=29−4−x3=4x3=13−4+6+3 x4=2x4=−1Determinante= (2) (4) (-1) (3) =-24

5 x1=−10

x1+3x2=4

3 x1+4 x2+2 x3=2

−x1+3x2−6 x3−x4=5

x1=−2−2+3 x2=4x2=2−6+8+2x3=2x3=02+6−x4=5x4=3Determinante= (5) (3) (2) (-1) =-30

1. Use el programa 3.1 para resolver el sistema UX=B siendo

U =[uij ]10 x10 con uij={cos (ij )i≤ j ,0i> j

Y B=[b i1 ]10 x1 siendo b i1=tan ( i)

En los Ejercicios 1 a 4 pruebe que AX=B es equivalente al sistema triangular superior UX=Y que se da y hallé la solución.

1.

3)

2 x1+4 x2−6 x3=−4

x1+5x2+3 x3=10

x1+3 x2+2 x3=5

2 x1+4 x2−6 x3=−4

3 x2+6x3=12

3 x3=3

2.

3.

4.

2 x1−2x2+5 x3=6

2 x1+3 x2+ x3=13

−x1+4 x2−4 x3=3

2 x1−2x2+5 x3=6

5 x2−4 x3=7

.9 x3=12

−5 x1+2 x2−x3=−1

x1+0x2+3 x3=5

3 x1+x2+6 x3=17

−5 x1+2 x2−x3=−1

.4 x2+2.8 x3=4.8

−10 x3=−10

x1+ x2+6 x3=7

x1+5x2+3 x3=10

x1+3 x2+2 x3=5

x1+ x2+6 x3=7

3 x2+15 x3=9

12 x3=12

5. Halle la parábola y=A+Bx+C x2 que pasa por los puntos (1,4), (2,7) y (3,14)

6. Halle la parábola y=A+Bx+C x2 que pasa por los puntos (1,6), (2,5) y (3,2)

7. Halle la parábola y=A+Bx+C x2+ D x3 que pasa por los puntos (0,0), (1,1), (2,2) y (3,2).

En los Ejercicios 8 a 10 pruebe que AX=B es equivalente al sistema triangular superior UX=Y que se da y hallé la solución.

8.

9.

4 x1+8 x2+4 x3+0 x4=8

x1+5 x2+4 x3−3 x4=−4

x1+4 x2+7 x3+2 x4=10

x1+3x2+0 x3−2 x4=−4

4 x1+8 x2+4 x3+0 x4=8

3 x2+3 x3−3 x4=−6

4 x3+4 x4=12

x4=2

2 x1+4 x2−4 x3+0 x4=12

x1+5x2−5 x3−3 x4=18

2 x1+3 x2+ x3+3 x4=8

x1+4 x2−2 x3+2x4=8

2 x1+4 x2−4 x3+0 x4=12

3 x2−3 x3−3 x4=12

4 x3+2 x4=0

3 x4=−6

10.

11. Halle la solución del siguiente sistema lineal

x1+2 x2+0 x3−x4=9

2 x1+3 x2−x3+0 x4=9

0 x1+4 x2+2x3−5 x4=26

5 x1+5 x2+2x3−4 x4=32

x1+2x2+0 x3−x4=9

−x2−x3+2x4=−9

−2 x3+3 x4=−10

1.5 x4=−3

x1+2x2=7

2 x1+3 x2−x3=9

4 x2+2 x3+3x4=10

2 x3−4 x4=12

12. Halle la solución del siguiente sistema lineal

Ejercicios del 1 al 10 con el programa triareg.m

Problema 1

Problema 2

x1+ x2=5

2 x1−x2+5 x3=−9

3 x2−4 x3+2 x4=19

2 x3+6 x4=2

Problema 3

Problema 4

Problema 5

Problema 6

Problema 7

Problema 8

Problema 9

Problema 10

2. Use el Programa 3.2 para hallar el polinomio de grado seis y=a1+a2 x+a3 x2+a4 x3+a5 x4+a6 x5+a7 x6 que pasa por los puntos (0,1), (1,3), (2,2), (3,1), (4,3), (5,2) y (6,1). Use la instrucción plot para dibujar el polinomio obtenido y los puntos dados sobre la misma gráfica. Explique las discrepancias que puedan aparecer en su dibujo.

[1 0 01 1 11 2 4

0 0 0 01 1 1 18 16 32 64

1 3 91 4 1611562536

27 81 243 72964 256 1024 4096125216

6251296

3125 156257776 46656

] [1321321]

La gráfica construida con el resultado del programa triareg.m solo muestra que se intersecta con 2 puntos de los 6 dados originalmente. Tal vez solo muestre 2 intersecciones debido a la forma de la matriz resultante de la ecuación y los 6 puntos dados originalmente.

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Sergio Alejandro López Islas

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Dr. Ciro Flores

SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

2. Determine (analíticamente) los ceros de cada uno de los sistemas que se relacionan a continuación y evalúe la matriz jacobiana de cada sistema en el cero correspondiente.

(a) 0=f 1 ( x , y )=2x+ y−6

0=f 2 ( x , y )=x+2 y

x=−2 y

−4 y+ y=6

y=−2

x=4

F=[2 x+ y−6x+2 y ]

J=[2 11 2]

J ( x , y )=[2 11 2]

(b) 0=f 1 ( x , y )=3x2+2 y−4

0=f 2 ( x , y )=2x+2 y−3

y= 4−3x2

2

2 x+4−3 x2−3=0

−3 x2+2x+1=0

x , y=−13

; 116

x , y=1; 12

F=[3 x2+2 y−42 x+2 y−3 ]

J=[6 x 22 2]

J (−13

, 116

)=[−2 22 2]

J (1 , 12)=[6 22 2]

(c) 0=f 1 ( x , y )=2x−4cos ( y )

0=f 2 ( x , y )=4 xsen ( y )

x=2cos ( y )

8 sen ( y )cos ( y )=0 ; sen ( y )cos ( y )=0

x , y=0 ;πn−π2

x , y=2;2 πn

x , y=−2;2 πn+π

F=[2 x−4cos ( y)4 xsen ( y ) ]

J=[ 2 4 sen( y )4 sen( y) 4 xcos ( y )]

J (0 ; πn− π2)=[ 2 4 sen(πn−π

2)

4 sen(πn−π2) 0 ]

J (2 ;2πn)=[ 2 4 sen (2πn)4 sen(2πn) 8cos (2πn) ]

J (−2 ;2πn+π )=[ 2 4 sen (2πn+π )4 sen(2πn+π) −8cos (2πn+π )]

(d)0=f 1 ( x , y , z )=x2+ y2−z

0=f 2 ( x , y , z )=x2+ y2+z2−1

0=f 3 ( x , y , z )=x+ y

x=− y

z=2 x2;2 y2

4 x4+2x2−1=0 ;4 y4+2 y2−1=0

x , y , z=−12 √√5−1 ; 1

2 √√5−1 ; 12(√5−1)

x , y , z=12 √√5−1;−1

2 √√5−1 ; 12(√5−1)

F=[ x2+ y2−zx2+ y2+ z2−1

x+ y ]J=[2x 2 y −1

2x 2 y 2 z1 1 0 ]

J (x , y , z)=[−√√5−1 √√5−1 −1−√√5−1 √√5−1 (√5−1)

1 1 0 ]J (x , y , z)=[−√√5−1 √√5−1 −1

√√5−1 −√√5−1 (√5−1)1 1 0 ]

7. Consideremos el sistema de ecuaciones no lineal

0=f 1 ( x , y )= x2− y−0.2

0=f 2 ( x , y )= y2−x−0.3

Estas parábolas se cortan en dos puntos como se muestra en la Figura 3.9

(a) Empiece con ( p0 , q0 )=(1.2,1.2) las iteraciones del método de Newton Raphson y

calcule ( p1 , q1 ) y ( p2 , q2)

F⃗=[x2− y−0.2y2−x−0.3]

j⃗=[2x −1−1 2 y ]

k P⃗k JP⃗k ∆ P⃗=−F⃗ ¿ ∆ P⃗ P⃗k +1=P⃗k+∆ P⃗0 [1.21.2] [2.4 −1

−1 2.4] [∆ p∆ q ]=−[ .04−.06] [−.0075630.0218487 ] [1.1924371.221848]

1 [1.1924371.221848 ] [2.384873 −1−1 2.443674 ][∆ p

∆ q ]=−[ .00005719.000477367 ] [−.0001278−.0002476] [1.192309141.22160108 ]( p1 , q1 )= (1.192437,1.221848 )

( p2 , q2 )=(1.19230914,1.22160108 )

(b) Empiece con ( p0 , q0 )=(−0.2 ,−0.2) las iteraciones del método de Newton Raphson y

calcule ( p1 , q1 ) y ( p2 , q2)

k P⃗k JP⃗k ∆ P⃗=−F⃗ ¿ ∆ P⃗ P⃗k +1=P⃗k+∆ P⃗0 [−.2−.2] [−.4 −1

−1 −.4] [∆ p∆ q ]=−[ .04.06] [−.0904760.0761904] [−.29047619−.12380952]

1 [−.29047619−.12380952 ] [−.580952 −1−1 −.247619] [∆ p

∆ q ]=−[ .0081859.0058049] [ .004412.005622] [−.28606339−.11818720 ]( p1 , q1 )= (−2.29047619 ,−.12380952 )

( p2 , q2 )=(−.28606339 ,−.11818720 )

8. Consideremos el sistema no lineal cuya gráfica se muestra en la Figura 3.10

0=f 1 ( x , y )= x2+ y2−2

0=f 2 ( x , y )=xy−1

(a) Compruebe que las soluciones son (1,1) y (-1,-1)

F⃗=[x2+ y2−2xy−1 ]

j⃗=[2 x 2 yy x ]

(1,1)

x2+ y2−2=1++1−2=0

1∗1−1=0

(-1,-1)

x2+ y2−2=1++1−2=0

−1∗−1−1=0

(b) ¿Qué dificultades podrían aparecer si tratamos de aplicar el método de Newton-Raphson para hallar las soluciones?

Que no exista matriz inversa de la jacobiana, dando posibles errores

2. Use el Programa 3.7 para aproximar los puntos fijos de los Ejercicios 7 y 8 con una precisión de diez cifras decimales

x2− y−0.2=0

y2−x−0.3=0

y=x2−0.2→ { x=ty=t2−0.2

x= y2−0.3→ { y=tx=t2−0.3

EJERCICIO 7 EVALUADOCON EL PROGRAMA 3.7

F⃗=[x2− y−0.2y2−x−0.3]

j⃗=[2x −1−1 2 y ]

EJERCICIO 8 EVALUADOCON EL PROGRAMA 3.7

F⃗=[x2+ y2−2xy−1 ]

j⃗=[2 x 2 yy x ]

4. Use el Programa 3.7 para dar aproximaciones de los ceros de los siguientes sistemas con una precisión de diez cifras decimales.

(a)

0=x2−x+ y2+z2−5

0=x2+ y2− y+ z2−4

0=x2+ y2+z2+z−6

F⃗=[ x2−x+ y2+z2−5x2+ y2− y+z2−4x2+ y2+z2+z−6 ]

j⃗=[2 x−1 2 y 2 z2 x 2 y−1 2 z2 x 2 y 2 z+1]

(b)

0=x2−x+2 y2+ yz−10

0=5 x−6 y+z

0=z−x2− y2

F⃗=[x2−x+2 y2+ yz−105 x−6 y+ zz−x2− y2 ]

j⃗=[2 x−1 4 y+z y5 −6 1

−2x −2 y 1 ]

(c)

0=( x+1 )2+( y+1 )2−z

0=( x−1 )2+ y2−z

0=4 x2+2 y2+z2−16

F⃗=[( x+1 )2+( y+1 )2−z(x−1 )2+ y2−z4 x2+2 y2+z2−16 ]

j⃗=[2 x+2 2 y+2 −12 x−2 2 y −18 x 4 y 2 z ]

(d)

0=9 x2+36 y2+4 z2−36

0=x2−2 y2−20 z

0=16 x−x3−2 y2−16 z2

F⃗=[ 9 x2+36 y2+4 z2−36x2−2 y2−20 z

16 x−x3−2 y2−16 z2]j⃗=[ 18 x 72 y 8 z

2 x −4 y −2016−3 x2 −4 y −32 z ]

5. Queremos resolver el sistema no lineal

0=7 x3−10 x− y−1

0=8 y3−11 y+x−1

Use las instrucciones adecuadas del paquete de programas MATLAB para dibujar las gráficas de ambas curvas sobre un mismo sistema de coordenadas y compruebe que hay nueve puntos donde se cruzan ambas gráficas. Estime, a la vista del dibujo, cuáles son estos puntos. Utilice

luego estas estimaciones como puntos iniciales en el Programa 3.7 para aproximar los puntos de intersección de las curvas con una precisión de nueve cifras decimales.

y=7 x3−10 x−1→ { x=ty=7 t3−10 t−1

x=−8 y3+11 y+1→{ y= tx=−8 t 3+11 t+1

Intersección Inicio p0 Solución Programa Newdim.mp1 (-1.089,1.258) (-1.06043696,1.25694294)p2 (-.2061,1.224) (-.23114478,1.22500079)p3 (1.294,1.159) (1.29129333,1.15913205)p4 (-1.156,-.202) (-1.15311416,-0.20170599)p5 (-.07047,-0.098) (-0.09053305,-0.99863670)p6 (1.275,0.025) (1.24338575,0.02213386)p7 (-1.211,-1.055) (-1.19801038,-1.05582998)p8 (0.01563,-1.125) (0.01248515,-1.12483790)p9 (1.142,-1.179) (1.18607512,-1.18097210)

j⃗=[21 x2−10 −11 24 y2−11]