métodos numéricos de programación

UNIDAD 3

Métodos Matemáticos para la Programación de la Producción

Introducción file:///C:/Users/TS%20AIOPC20-DO10LA/Desktop/UCC/administracion-de-operaciones-y-produccion-12-ed-chase-aquilano-jacobs-11.pdf

Métodos matemáticos para la PDP

Introducción•La clave de las operaciones rentables consiste en aprovechar al máximo los recursos disponibles de mano de obra, materiales, planta equipo y capital.• El administrador tiene a su alcance una potente herramienta en los métodos matemáticos que ofrece la investigación de operaciones (IO).•Las compañías verdaderamente exitosas ofrecen una mezcla de productos que van desde los modelos estándar hasta los de lujo de las clases altas.


Introducción

•Todos ellos compiten por utilizar los recursos de producción (y otros) que por naturaleza son limitados.

• La empresa que mantiene la mezcla correcta de estos productos a lo largo del tiempo podrá elevar sustancialmente sus ganancias y el rendimientos de sus activos.


Introducción

Métodos matemáticos más utilizados:

• PROGRAMACIÓN LINEAL.

•MÉTODOS DE TRANSPORTE.

•MÉTODOS DE ASIGNACIÓN.

Programación lineal para la planificación de la producción

PROGRAMACIÓN LINEAL

Introducción

La programación lineal (o PL) se refiere a varias técnicas matemáticas utilizadas para asignar, en forma óptima, los recursos limitados a distintas demandas que compiten por ellos. La PL es el más popular de los enfoques que caben dentro del título general de técnicas matemáticas para la optimización y se ha aplicado a muchos problemas de la administración de operaciones

PROGRAMACIÓN LINEALAplicaciones

Planeación de operaciones y ventas agregadas: Encontrar el programa de producción que tenga el costo mínimo.

El problema radica en preparar un plan para un periodo de entre tres y seis meses que, dadas las limitantes de la capacidad de producción esperada y el tamaño de la fuerza de trabajo, satisfaga la demanda esperada.Los costos relevantes considerados en el problema incluyen los salarios para el trabajo regular y las horas extra, las contrataciones y los despidos, la subcontratación y el costo de manejo de inventarios.


Aplicaciones

Análisis de la productividad en la producción/servicios:

Considerar el grado de eficiencia con el cual los establecimientos de servicios y de manufactura están utilizando sus recursos en comparación con la unidad que tiene mejor desempeño. Para ello se utiliza un enfoque llamado análisis envolvente de datos.


Aplicaciones

Planeación de los productos:

Encontrar la mezcla óptima de productos, considerando que varios productos requieren diferentes recursos y tienen distintos costos. Algunos ejemplos son encontrar la mezcla óptima de elementos químicos para la gasolina, las pinturas, las dietas humanas y el alimento para animales.

PROAMACIÓN LINEAL

Aplicaciones

Rutas de los productos:

Encontrar el camino óptimo para fabricar un producto que debe ser procesado en secuencia, pasando por varios centros de maquinado, donde cada máquina del centro tiene sus propios costos y características de producción.

PROAMACIÓN LINEAL

Aplicaciones

Programación de vehículos/cuadrillas:

Encontrar la ruta óptima para utilizar recursos como aviones, autobuses o camiones y las cuadrillas que los tripulan para ofrecer servicios de transporte a clientes y llevar los materiales que se transportarán entre diferentes plazas.


Aplicaciones

Control de procesos:

Minimizar el volumen de desperdicio de material generado cuando se corta acero, cuero o tela de un rollo o de una lámina de material.


Aplicaciones

Control de inventarios:Encontrar la combinación óptima de productos que se tendrán en existencia dentro de una red de almacenes o centros de almacenamiento.Programación de la distribución: Encontrar el programa óptimo de embarques para distribuir los productos entre fábricas y almacenes o entre almacenes y detallistas.


Estudios para ubicar la planta: Encontrar la ubicación óptima para una nueva planta evaluando los costos de embarque entre plazas alternativas y las fuentes de suministro y de demanda.Manejo de materiales: Encontrar las rutas que impliquen el costo mínimo para el manejo de materiales y máquinas (como grúas) entre los departamentos de una planta o transportar materiales de un patio de almacén a los lugares de trabajo, por ejemplo, por medio de camiones. Cada camión podría tener diferente capacidad de carga y de desempeño.


La programación lineal está teniendo enorme aceptación en muchas industrias en razón de la disponibilidad de información detallada de las operaciones y el interés por optimizar los procesos para reducir los costos.Muchos proveedores de software ofrecen opciones de optimización que se usan con los sistemas de planeación de recursos de las empresas.Algunas compañías los llaman opción de planeación avanzada, planeación sincronizada y optimización de procesos.

PROGRAMACIÓN LINEAL5 Condiciones Básicas

Para que una situación plantee un problema de programación lineal debe cumplir con cinco condiciones básicas:En primer término: debe tener recursos limitados (como una cantidad limitada de trabajadores, equipamiento, dinero y materiales), porque de lo contrario no habría problema.


En segundo término: Debe tener un objetivo explícito (como maximizar la utilidad o minimizar el costo).En tercero: Debe existir linealidad (dos es el doble de uno; es decir, si se necesitan tres horas para hacer una pieza, entonces dos piezas tomarían seis horas y tres piezas, nueve).


En cuarto término: debe existir homogeneidad (los productos fabricados en una máquina son idénticos o todas las horas que trabaja un obrero son igual de productivas).En quinto: debe existir divisibilidad: la programación lineal normal presupone que los productos y los recursos se pueden subdividir en fracciones. Si la subdivisión no es posible (como un vuelo con medio avión o la contratación de un cuarto de persona) se puede utilizar una modificación de la programación lineal llamada programación entera.

PROGRAMACIÓN LINEALDistintos casos de PL

Cuando el objetivo único es maximizar (por ejemplo las utilidades) o minimizar (por ejemplo, los costos), se puede utilizar la programación lineal. Cuando existen varios objetivos, entonces se utiliza la programación por metas. Si un problema se resuelve mejor por etapas o plazos de tiempo, entonces se utiliza la programación dinámica. Otras restricciones debidas a la naturaleza del problema tal vez requieran que se resuelva utilizando otras variantes de la técnica, como la programación no lineal o la programación cuadrática.

PROGRAMACIÓN LINEALMetodología de la PL

En términos formales, el problema de la programación lineal entraña un proceso de optimización en el cual se eligen valores no negativos para una serie de variables de la decisión X1, X2,..., Xn de modo que se maximice (o minimice) una función objetivo con la ecuación:

Maximizar (minimizar) Z = C1X1 + C2X2 + … + CnXn

PROGRAMACIÓN LINEALMetodología de la PL

Sujeto a las restricciones de los recursos con las inecuaciones:

Donde Cn, Amn y Bm son constantes dadas. Dependiendo del problema, las restricciones se pueden expresar con signo de igualdad (=) o con signo de mayor o igual que (>).

PROGRAMACIÓN LINEALEjemplo Metodología PL

Se describen los pasos para la solución de un modelo simple de programación lineal en el contexto de un problema de muestra:

El caso de un fabricante de bastones de hockey y juegos de ajedrez.


Cada bastón de hockey produce una utilidad incremental de $2 y cada juego de ajedrez una de $4.La fabricación de un bastón requiere 4 horas de trabajo en el centro de maquinado A y 2 horas en el centro de maquinado B. La fabricación de un juego de ajedrez toma 6 horas en el centro de maquinado A, 6 horas en el centro de maquinado B y 1 hora en el centro de maquinado C.


El centro de maquinado A tiene un máximo de 120 horas de capacidad disponible por día, el centro de maquinado B tiene 72 horas y el centro de maquinado C tiene 10 horas. Si la compañía quiere maximizar la utilidad, ¿cuántos bastones de hockey y juegos de ajedrez debe producir por día?


Solución:Se debe plantear el problema en términos matemáticos:

Si H es el número de bastones de hockey y C es el número de juegos de ajedrez, para maximizar la utilidad la función objetivo se puede expresar como:

Maximizar Z = $2H + $4C


La maximización estará sujeta a las restricciones siguientes:


Este planteamiento cumple con los cinco requisitos de una PL estándar mencionados:

1. Los recursos son limitados (un número fi nito de horas disponibles en cada centro de maquinado).

2. Hay una función objetivo explícita (se conoce el valor de cada variable y la meta para resolver el problema).

3. Las ecuaciones son lineales (no hay exponentes ni productos cruzados)


4. Los recursos son homogéneos (todo se ajusta a una unidad de medida: las horas-máquina).

5. Las variables de la decisión son divisibles y no negativas (se puede fabricar una fracción de bastón de hockey o de juego de ajedrez, pero si se considerara que no es deseable, entonces se tendría que utilizar la programación entera).

PROGRAMACIÓN LINEALResolución por el Método Gráfico

Si bien la aplicación de la programación lineal gráfica se limita a problemas que incluyen dos variables en la decisión (o tres variables en el caso de gráficas tridimensionales), la programación lineal gráfica proporciona una visión inmediata de la índole de la programación lineal.Se describirán los pasos que implica el método gráfico. Los pasos que se presentan a continuación ilustran el enfoque gráfico:


1. Plantea el problema en términos matemáticos. Las ecuaciones para el problema presentadas antes.

2. Traza las ecuaciones de las restricciones. Las ecuaciones de las restricciones se pueden trazar fácilmente si se deja que una variable sea igual a cero y se resuelve la intersección del eje de la otra. (En este paso no se consideran las fracciones de desigualdad de las restricciones.)


En el caso de la ecuación de la restricción del centro de maquinado A, cuando H = 0, C = 20 y cuando C = 0, H = 30. En el caso de la ecuación de la restricción del centro de maquinado B, cuando H = 0, C = 12, y cuando C = 0, H = 36. En el caso de la ecuación de la restricción del centro de maquinado C, C = 10 para todos los valores de H. La ilustración siguiente presenta una gráfica con estas líneas.


3. Determine el área de factibilidad. La dirección de los signos de desigualdad de cada restricción determina el área donde se encuentra una solución factible. En este caso, todas las desigualdades son de tipo menor o igual que, lo que significa que no sería posible producir una combinación de productos que se ubicara a la derecha de alguna de las líneas de las restricciones de la gráfica.

PROAMACIÓN LINEALResolución por el Método Gráfico

La zona de las soluciones factibles está sombreada en la gráfica y forma un polígono convexo. Un polígono convexo se presenta cuando una línea trazada entre dos puntos cualesquiera del polígono permanece dentro de las fronteras del mismo. Si esta condición de convexidad no existe, entonces el problema está mal planteado o no es apto para la programación lineal.


4. Traza la función objetivo. La función objetivo se puede trazar suponiendo una cifra arbitraria para la utilidad total y, a continuación, resolviendo la ecuación con el fin de conocer las coordenadas del eje, como se hizo en el caso de las restricciones. Otros términos de la función objetivo cuando se usan en este contexto son la isoutilidad o línea de contribución igual, porque muestra todas las combinaciones posibles de la producción para una cifra de utilidad dada.


Por ejemplo, si se toma la línea punteada más próxima al origen de la gráfica, se pueden determinar todas las combinaciones posibles de bastones de hockey y de juegos de ajedrez que rinden 32 dólares eligiendo un punto en la línea y leyendo el número de cada producto que se puede fabricar en ese punto. Las combinaciones que producen 32 dólares en el punto a sería 10 bastones de hockey y 3 juegos de ajedrez. Se puede constatar lo anterior sustituyendo H = 10 y C = 3 en la función objetivo:


Por ejemplo, si se toma la línea punteada más próxima al origen de la gráfica, se pueden determinar todas las combinaciones posibles de bastones de hockey y de juegos de ajedrez que rinden 32 dólares eligiendo un punto en la línea y leyendo el número de cada producto que se puede fabricar en ese punto. Las combinaciones que producen 32 dólares en el punto a sería 10 bastones de hockey y 3 juegos de ajedrez. Se puede constatar lo anterior sustituyendo H = 10 y C = 3 en la función objetivo:

$2(10) + $4(3) = $20 + $12 = $32


5. Encuentra el punto óptimo. Se puede demostrar, en términos matemáticos, que la combinación óptima de las variables de decisión siempre está en el punto extremo (esquina) del polígono convexo.

En la ilustración hay cuatro puntos en las esquinas (excluyendo el origen) y se puede determinar cuál es el óptimo al tenor de los dos enfoques.


El primer enfoque busca encontrar los valores de las diversas soluciones de las esquinas en términos algebraicos. Esto implica resolver simultáneamente las ecuaciones de los distintos pares de líneas que se intersecan y sustituir las cantidades de las variables resultantes en la función objetivo.


Por ejemplo, el cálculo para la intersección de 2H + 6C = 72 y C = 10 son:

Al sustituir C = 10 en 2H + 6C = 72 se tendrá que 2H + 6(10) = 72, 2H = 12, o H = 6.

Si se sustituye H = 6 y C = 10 en la función objetivo se tendrá: Utilidad = $2H + $4C = $2(6) + $4(10) = $12 + $40 = $52


El segundo enfoque, generalmente preferido, entraña utilizar directamente la función objetivo, o línea de isoutilidad, para encontrar el punto óptimo.

El procedimiento implica simplemente trazar una línea recta paralela a una línea de isoutilidad, elegida de forma arbitraria, de modo que la línea de isoutilidad es la más alejada del origen de la gráfica. (En problemas de minimización de costos, el objetivo sería trazar la línea por el punto más cercano al origen.)


En la ilustración, la línea punteada marcada $2H + $4C = $64 interseca el punto más distante.Advierte que la línea de isoutilidad inicial escogida arbitrariamente es necesaria para presentar la pendiente de la función objetivo del problema particular.


Esto es importante porque una función objetivo diferente (pruebe utilidad = 3H + 3C) podría indicar que algún otro punto está más lejos del origen. Dado que $2H + $4C = $64 es óptimo, el monto de cada variable para producir se puede leer en la gráfica: 24 bastones de hockey y cuatro juegos de ajedrez. Ninguna otra combinación de productos produce una utilidad mayor.

PROGRAMACIÓN LINEALResolución con MS Excel

Los problemas de programación lineal se pueden resolver utilizando hojas de cálculo. Excel de Microsoft cuenta con un instrumento relacionado con la optimización que se llama Solver y cuyo uso se demostrará resolviendo el problema de los bastones de hockey y los juegos de ajedrez. Se llama a Solver en la Barra de datos. Un cuadro de diálogo solicita la información que requiere el programa. El ejemplo siguiente describe cómo resolver el problema de muestra utilizando Excel.


Si la opción Solver no aparece en tu Barra de datos, haz clic en Opciones de Excel → Agregar, seleccione Agregar Solver y haga clic en Aceptar. Solver quedará disponible directamente en la Barra de datos para uso futuro.


En el ejemplo siguiente se trabaja paso por paso, primero preparando una hoja de cálculo y después resolviendo el problema ya visto.La estrategia básica es:Primero definir el problema dentro de la hoja de cálculo.A continuación se llama a Solver y se le alimenta la información requerida.Por último, se ejecuta Solver y se interpretan los resultados de los informes que presenta el programa.


Paso 1: Define las celdas cambiantes:

Un punto conveniente para iniciar es identificar las celdas que se utilizarán para las variables de la decisión del problema. Se trata de H y C, el número de bastones de hockey y el número de juegos de ajedrez que se producirán.


En Solver, Excel se refiere a estas celdas como celdas cambiantes. Con relación a la pantalla de Excel (ver ilustración), se ha designado la B4 como la ubicación para el número de bastones de hockey y la C4 para el número de juegos de ajedrez que se producirán. Advierte que, inicialmente, estas celdas están marcadas igual a 2. Se podría colocar cualquier valor en estas celdas, pero es aconsejable usar uno que no sea cero para que ayude a comprobar que los cálculos están correctos.


Paso 2: Calcula la utilidad total (o el costo).

Ésta es la función objetivo y se calcula multiplicando la utilidad asociada a cada producto por el número de unidades producidas. Se han anotado las utilidades de las celdas B5 y C5 ($2 y $4) de modo que la utilidad se calcula con la ecuación siguiente: B4*B5 + C4*C5, la cual se calcula en la celda D5. Solver se refiere a ella como celda objetivo y corresponde a la función objetivo de un problema.


Paso 3: Establezca el uso de recursos:

Los recursos son los centros de maquinado A, B y C, como se definieron en el problema original. Se han establecido tres filas (9, 10 y 11) en la hoja de cálculo, una para cada restricción de los recursos. En el centro de maquinado A se emplean 4 horas de tiempo de procesamiento para producir cada bastón de hockey (celda B9) y 6 horas para cada juego de ajedrez (celda C9).


Para una solución particular, el total del recurso del centro de maquinado A utilizado se calcula en D9 (B9*B4 + C9*C4). En la celda E9 se ha indicado que se quiere que este valor sea menor a la capacidad de 120 horas del centro de maquinado A, que está asentado en F9. El uso de recursos de los centros de maquinado B y C se anota exactamente de la misma manera en las filas 10 y 11.


1.Celda objetivo: se selecciona la ubicación donde se calculará el valor que se desea optimizar. Ésta es la utilidad calculada en D5 en la hoja de cálculo.2.Valor de la celda objetivo: se selecciona Máximo porque el objetivo es maximizar la utilidad.3.Celdas cambiantes: son las celdas que Solver puede cambiar para maximizar la utilidad. En el problema, las celdas cambiantes van de la B4 a la C4.


4. Sujetas a las siguientes restricciones: Corresponde a la capacidad del centro de maquinado. Ahí se hace clic en Agregar y se indica que el total utilizado de un recurso es menor o igual a la capacidad disponible. A continuación se presenta un ejemplo para el centro de maquinado A. Haga clic en Aceptar después de especificar cada restricción.


5. Un clic en Opciones permite indicar a Solver qué tipo de problema se desea resolver y cómo se desea solucionar.Solver tiene muchas opciones, pero aquí sólo se usarán unas cuantas. A continuación se muestra la pantalla:


La mayor parte de las opciones se refieren a la manera en que Solver trata de solucionar problemas no lineales, los cuales pueden ser muy difíciles de resolver y las soluciones óptimas son difíciles de encontrar. Por fortuna el problema es lineal.


Haz clic en Adoptar modelo lineal para indicar a Solver que se desea utilizar la opción de la programación lineal para resolver el problema. Además, se sabe que las celdas cambiantes (variables de la decisión) deben ser números mayores o igual a cero. Se indica lo anterior seleccionando la opción de Asumir no negativos. Ahora ya se puede resolver el problema. Haga clic en Aceptar para volver al cuadro Parámetros de Solver.


Los informes más interesantes para el problema son el Informe de respuestas y el Informe de sensibilidad, como aparecen en la ilustración. El Informe de Respuestas muestra las respuestas finales relativas a la utilidad total (64 dólares) y las cantidades producidas (24 bastones de hockey y 4 juegos de ajedrez).


En la sección de las restricciones del Informe de respuestas aparece el estatus de cada recurso. Se utiliza el total del centro de maquinado A y del centro de maquinado B y hay seis unidades de margen para el centro de maquinado C. El Informe de sensibilidad está dividido en dos partes. La primera, titulada “Celdas cambiantes” corresponde a los coeficientes de la función objetivo.


La utilidad por unidad para los bastones de hockey puede ir hacia arriba o hacia abajo 0.67 dólares (entre 2.67 y 1.33 dólares) sin tener repercusiones en la solución.

Por otro lado, la utilidad de los juegos de ajedrez puede ser entre 6 y 3 dólares sin cambiar la solución. En el caso del centro de maquinado A, el lado derecho podría incrementar a 144 (120 + 24) o disminuir a 84 sin resultar en un incremento o decremento de $0.33 por unidad en la función objetivo.


El lado derecho del centro de maquinado B puede incrementar a 90 unidades o disminuir a 60 unidades. con el mismo cambio de 0.33 dólares para cada unidad de la función objetivo.

En el caso del centro de maquinado C, el lado derecho podría incrementar al infinito (1E+30 es una notación científica para una cifra muy alta) o disminuir a 4 unidades sin cambio alguno en la función objetivo.

Método de transporte para la planificación de la

producción

Método de Transporte Introducción

El problema de la ubicación de las instalaciones está presente tanto en las empresas nuevas como en las existentes, y su solución es crucial para el éxito eventual de una compañía.

Un elemento importante al diseñar la cadena de suministro de una compañía es la ubicación de sus instalaciones.


Las decisiones de ubicación de las compañías de servicio y manufactura están guiadas por una variedad de criterios definidos por los imperativos competitivos. Hay muchas técnicas para identificar los sitios potenciales para las plantas y otro tipo de instalaciones.El proceso requerido para centrar la decisión en un área en particular puede variar en gran medida dependiendo del tipo de negocio en el que está la empresa y las presiones competitivas a considerar.


Existen muchos criterios diferentes que es necesario tomar en cuenta al seleccionar de un grupo de sitios factibles.

El método de transportación de la programación lineal es una técnica muy poderosa para calcular el costo de usar una red de plantas y almacenes.

Método de Transporte Metodología

El método de transporte es un método de programación lineal especial.

Obtiene su nombre de su aplicación en problemas que comprenden la transportación de productos de varias fuentes a diversos destinos.

Los dos objetivos comunes de estos problemas son:

1) Minimizar el costo de enviar n unidades a m destinos 2) Maximizar la utilidad de enviar n unidades a m destinos.


Una Compañía tiene cuatro fábricas que surten los almacenes de cuatro clientes importantes y su gerencia quiere determinar el programa de envíos a un costo mínimo para su producción mensual relacionada con estos clientes.


Los costos de suministro a la fábrica, las demandas de almacenamiento y los costos de envío por caja de estos medicamentos se muestran en la siguiente ilustración.


La matriz de transportación para este ejemplo aparece en la siguiente ilustración, donde la disponibilidad de los suministros en cada fábrica se muestra en la columna de la extrema derecha y las demandas de almacenamiento aparecen en renglón inferior. Los costos de envío se muestran en los cuadros pequeños dentro de las celdas. Por ejemplo, el costo de envío de una unidad de la fábrica de Indianápolis a la bodega del cliente en Columbus es de 25 dólares.


Para la resolución de este tipo de problemas, puede acudirse a métodos manuales que inician con la búsqueda de la llamada “Solución Inicial Factible” , para luego optimizar la solución a través de un método de iteraciones sucesivas (Método del cruce del arroyo y Método de las Distribuciones Modificadas).

Los métodos más comunes de búsqueda de la solución inicial factible son: Método de la Esquina Noroeste, Método del Costo Mínimo, Método de Voguel y Método Rusell.


Es posible resolver este problema utilizando la función Solver de Excel® de Microsoft®.La ilustración siguiente muestra cómo establecer el problema en la hoja de cálculo.Las celdas B6 a E6 contienen los requisitos para cada almacén de cliente.Las celdas F2 a F5 contienen la cantidad que es posible suministrar de cada planta.


Las celdas B2 a E5 presentan el costo de enviar una unidad para cada combinación de planta y almacén potenciales.Las celdas para la solución del problema son B9 a E12. En un principio, es posible dejar estas celdas en blanco al crear la hoja de cálculo.


Las celdas en la columna F9 a F12 son la suma de cada renglón e indican cuánto se envía realmente de cada fábrica en la solución posible.De modo similar, las celdas en el renglón B13 a E13 presentan la suma de la cantidad enviada a cada cliente en la solución posible. La función Suma de Excel® se puede usar para calcular estos valores.


El costo de la solución posible se calcula en las celdas B16 a E19. Este cálculo se realiza multiplicando la cantidad enviada en la solución posible por el costo del envío por unidad por esa ruta en particular. Por ejemplo, al multiplicar B2 por B9 en la celda B16 se obtiene el costo de envío entre Indianápolis y Columbus para la solución posible. El costo total mostrado en la celda F20 es la suma de estos costos individuales.


Para solucionar el problema, es necesario entrar en la aplicación Solver de Excel®.Ahora es necesario establecer los parámetros de Solver. Primero, establezca la celda objetivo. Ésta es la celda en la que se calcula el costo total asociado con la solución. En el problema de ejemplo, se trata de la celda F20.


Luego, es necesario indicar que se minimiza esa celda, mediante la selección del botón “Mínimo”. La ubicación de la solución se indica con el cuadro de texto “Cambiando las celdas”. En el ejemplo, estas celdas son de la B9 a la E12. A continuación, es necesario indicar las restricciones para el problema. Para el problema del transporte, es preciso tener la seguridad de cubrir la demanda del cliente y que no se excede la capacidad de las plantas de manufactura.


Para garantizar el cumplimiento de la demanda, dé clic en “Agregar” y destaque el rango de las celdas en las que se calculó la cantidad total enviada a cada cliente. Este rango es de B13 a E13 en el ejemplo. Luego, seleccione “=” indicando que desea que la cantidad enviada sea igual a la demanda. Por último, del lado derecho, escriba el rango de celdas en el que se establece la demanda real del cliente en la hoja de cálculo.


En el ejemplo, este rango es de B6 a E6. El segundo grupo de restricciones que asegura que no se excede la capacidad de la planta de manufactura se captura de modo similar. El rango de celdas que indica la cantidad enviada de cada fábrica es F9 a F12. Estos valores deben ser menores o iguales a (<=) la capacidad de cada fábrica, que se encuentra en las celdas F2 a F5. Para programar Solver, es necesario ajustar algunas opciones. Dé clic en el botón “Opciones” y aparecerá la pantalla siguiente:


Es necesario ajustar dos opciones para solucionar los problemas de transporte. Primero, es necesario “Adoptar un modelo lineal”. Esto indica a Solver que no hay ningún cálculo nolineal en la hoja de cálculo. Esto es importante porque Solver puede usar un algoritmo muy efi ciente para calcular la solución óptima al problema, si existe esta condición. Después, es necesario marcar el cuadro “Asumir no negativo”.


Con esto, se le indica a Solver que los valores en la solución deben ser mayores o iguales a cero. En los problemas de transporte, el envío de cantidades negativas no tiene sentido. Dé clic en “Aceptar” para regresar a la ventana principal de Solver y luego en “Resolver” para realmente resolver el problema. Solver le notifi cará que encontró una solución. Indique que quiere guardar esa solución. Y, por último, dé clic en Aceptar para regresar a la hoja de cálculo principal. La solución debe estar en las celdas B9 a E12.


Es posible utilizar el método de transporte para solucionar varios tipos de problemas siempre y cuando se aplique de manera innovadora. Por ejemplo, se puede usar para probar el impacto del costo de distintas ubicaciones posibles en toda la red de producción-distribución. Para hacerlo, se podría agregar un nuevo renglón que contiene el costo de envío unitario desde una fábrica en una nueva ubicación, por decir, Dallas, al grupo de almacenes del cliente, además de la cantidad total del suministro.


Luego, es posible resolver esta matriz en particular para calcular el costo total mínimo. A continuación, se podría reemplazar la fábrica localizada en Dallas en el mismo renglón de la matriz con una fábrica en un lugar diferente, Houston, y solucionar el problema una vez más para obtener el costo total mínimo. Suponiendo que las fábricas en Dallas y Houston sean idénticas en otros aspectos importantes, se seleccionaría la ubicación resultante en el costo total más bajo para la red.

Variables de Holgura y

Excedentes

Variables de Holgura y ExcedenteMétodo Simplex

El método gráfico para resolver problemas de programación lineal tiene una particularidad, solo aplica para resolver problemas con dos variables de decisión.Sin embargo, los problemas cotidianos de programación lineal que se enfrentan regularmente los especialistas en IO, involucran un número mayor de variables y a veces compuestos de cientos de restricciones por lo que es necesario auxiliarse de programas computacionales, basados en el algoritmo Símplex, para la solución de los mismos.


Para la aplicación del algoritmo Simplex se transforma el modelo de programación original, formado por restricciones funcionales de desigualdad, en un modelo de forma estándar, integrado por restricciones de igualdad equivalentes. Esta conversión se logra con la introducción de variables de holguras y/o Excedente (o superávit)


Variables de holgura. Aplica para las restricciones del tipo (<=), donde el lado derecho de la desigualdad representa el limite sobre la disponibilidad de un recurso y el lado izquierdo representa la utilización de ese recurso limitado que hacen las variables del modelo. Esto quiere decir que una holgura representa la cantidad disponible del recurso que excede a la utilización que se le da. En la conversión de este tipo de desigualdad se añade una variable de ajuste (Xi o Hi) para convertirla en igualdad. Por ejemplo, tenemos la siguiente restricción: 3X1 + 2X2 <= 6, su equivalente seria, 3X1 + 2X2 + X3 = 6.


Variables de superávit. Aplica para las restricciones del tipo (>=), generalmente determinan los requerimientos mínimos de especificaciones. Es decir, un superávit representa el exceso mínimo del lado izquierdo sobre el requerimiento mínimo de la restricción. En la conversión de este tipo de desigualdad se resta una variable de ajuste (Xi o Si) para convertirla en igualdad. Por ejemplo, tenemos la siguiente restricción: X1 + 3X2 >= 5, su equivalente seria, X1 + 3X2 - X3 = 5.


La solución del algoritmo Símplex se puede realizar de forma algebraica o de forma tabular.Antes de iniciar, se deben plantear algunos conceptos importantes: variables básicas, variables no básicas, solución básica factible, variable de entrada, variable de salida, iteración, condición de optimalidad (criterio de entrada) y condición de factibilidad (criterio de salida).

Análisis de Sensibilidad

Análisis de SensibilidadConceptos Generales

El Análisis de Sensibilidad se relaciona con la cuantificación de los efectos en la soluci´on ´optima de cambios en los parámetros del modelo matemático. Cuando escribimos un modelo, damos por aceptado que los valores de los parámetros se conocen con certidumbre.


Pero en la realidad no siempre se cumple que los valores sean verídicos, ya que por ejemplo las variaciones en los costos de los materiales, en la mano de obra o en el precio de un producto, ocasionan cambios en los coeficientes de la función objetivo.

Así mismo las demoras en los envíos de los proveedores, las huelgas, los deterioros no previstos y otros factores imponderables generaran cambios en la disponibilidad de los recursos.


Los cambios en el modelo matemático, que pueden cuantificarse a veces sin necesidad de volver a resolver el modelo, se relacionan con:• Cambios en los coeficientes de las variables de decisión en la función objetivo (Ganancias por unidad de variable de decisión)•Cambios en los lados derechos de las restricciones que definen el modelo. (Cantidad de recursos disponibles)

Análisis de SensibilidadAplicación al Análisis de Proyectos

El análisis de la sensibilidad utiliza el modelo financiero para contestar preguntas del tipo “qué pasaría si...” mediante el cálculo del cambio del VPN correspondiente a un cambio en los factores incluidos en el modelo. Por ejemplo, considere la sensibilidad del VPN a los cambios en el costo de desarrollo. Si se aplican cambios incrementales al costo de desarrollo, manteniendo constantes otros factores, se podrá observar el efecto incremental en el VPN del proyecto.


Por ejemplo, ¿cuál será el cambio del VPN si el costo de desarrollo disminuye 20%? Un decremento de 20% reduciría el gasto total de desarrollo de 5 millones de dólares a 4 millones de dólares. Si el tiempo de desarrollo se limita a un año, entonces el gasto por trimestre disminuiría de 1.25 millones de dólares a 1 millón de dólares. Este cambio se asienta simplemente en el modelo y se calcula el VPN resultante.


Un decremento de 20% en el costo de desarrollo incrementará el VPN a 9 167 000 dólares. Esto representa un incremento de 964 000 dólares y un incremento de 11.8% en el VPN. El caso es extremadamente simple: se supone que se pueden alcanzar las mismas metas del proyecto si se gasta 1 millón de dólares menos en el desarrollo y, por lo tanto, se incrementa el valor presente del proyecto en 1 millón de dólares, en razón del ahorro generado a lo largo de un periodo de un año.


La ilustración siguiente presenta el análisis de la sensibilidad del costo de desarrollo de un proyecto.


Se pueden crear muchos otros escenarios del proyecto, entre ellos: 1. Tiempo de desarrollo del proyecto. Considere el efecto que un incremento de 25% tiene en el tiempo de desarrollo del proyecto. El mismo incrementaría el tiempo de desarrollo de cuatro trimestres a cinco y retrasaría el inicio de la producción de transición, las actividades de marketing y las ventas del producto.


2. Volumen de ventas. El incremento de las ventas es un camino muy sólido para incrementar la utilidad. Por supuesto que un decremento de las ventas resultaría en una pérdida sustantiva. Por ejemplo, considere el efecto que un incremento de 25% y un decremento de 25% tendrían en la rentabilidad del nuevo producto.


3. Costo del producto o precio de venta. Considere que un incremento de 1 dólar en el precio o un decremento de 1 dólar en el costo producen un incremento de 1 dólar en la utilidad. Por supuesto que el incremento de 1 dólar en el precio podría tener repercusiones para la demanda. Con frecuencia es muy útil estudiar los escenarios que se refi eren a estos parámetros.


4. Costo de desarrollo. Un dólar gastado o ahorrado en el costo de desarrollo tiene un valor equivalente al valor presente del dólar para el valor del proyecto.

Los modelos financieros y los análisis de la sensibilidad son potentes instrumentos para apoyar las decisiones relativas al desarrollo de productos, pero las técnicas tienen limitaciones importantes.


Muchas personas sostienen que los análisis financieros rigurosos son necesarios para que haya disciplina y control en el proceso de creación de un producto. Otras argumentan que el análisis financiero sólo aborda cantidades mensurables y que muchas veces resulta extremadamente difícil prever esos valores con exactitud.


El análisis dependerá de la calidad de los supuestos que se incluyan en el modelo, por lo cual es preciso considerar estas limitaciones. Las más importantes podrían ser las que argumentan que las actividades asociadas a los modelos económicos resultan sumamente caras y pueden disminuir en grado sustantivo la productividad asociada a las actividades reales de la creación del producto.


Su argumento es que el tiempo de desarrollo que podría ser productivo se dedica a preparar los análisis y las juntas y que el efecto acumulado de este tiempo dedicado a la planeación y la revisión incrementa sustantivamente los costos de desarrollo. Los equipos de desarrollo deben comprender las ventajas y las limitaciones de las técnicas y deben evitar la creación de una burocracia paralizante en torno a la realización de nuevos productos.


El desarrollo de nuevos productos debe ser un proceso que alimente la innovación y la creatividad. El objeto de los modelos económicos es tan sólo garantizar que el equipo esté tomando decisiones atinadas en términos económicos..

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