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Métodos Numéricos - MCC613

Cap9: Métodos adaptativosCap9: Métodos adaptativosy sistemas rígidosy sistemas rígidos

Prof: J. Solano

Universidad Nacional de IngenieríaFacultad de Ciencias

Maestría en Ciencia de la Computación

Métodos NuméricosMCC613


Métodos RK adaptativosMétodos RK adaptativos

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Pasos de tamaño constante pueden ser un problema.

En este caso lo mejor es un paso de tamaño variable, adaptable al problema.

Algoritmos que se "adaptan" a la trayectoria de la solución, se dice que tienen un control adaptable de tamaño de paso.

La implementación de tales enfoques requiere que se obtenga una estimación del error de truncamiento local en cada paso.

Esta estimación de error puede servir como base para acortar o alargar el tamaño del paso.


Métodos adaptativos y de paso múltipleMétodos adaptativos y de paso múltiple

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Propósito:

Usar un paso de integración pequeño en regiones de alto gradiente (cambio abrupto)

Ajuste automática del cambio de paso


Métodos RK adaptativosMétodos RK adaptativos

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Implementación de tales enfoques requiere estimación del error de truncamiento local en cada paso. Esta estimación de error puede servir como base para acortar o alargar el tamaño del paso.

Antes de continuar, debemos mencionar que, aparte de resolver EDO, estos métodos se pueden usar para evaluar integrales definidas. La evaluación de la integral definida

que es equivalente a resolver la ecuación diferencial

para y(b) dado y(a)=0.

Dos enfoques:

Step halving (Reducir a la mitad)

Métodos RK embebidos


Métodos Step halvingMétodos Step halving

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Estimar el error local usando dos pasos diferentes

Resolver dos veces cada paso:

una vez con un paso completo

y luego dos con ½ pasos

Ej: calcular la solución dos veces usando el método RK de 4to orden

x1 estimación con un paso completo

x2 estimación con dos medios pasos

Corrección del error estimado de 5to orden


Métodos RK4 adaptivoMétodos RK4 adaptivo

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Asumiendo que x(t) es la solución exacta, con un paso completo h

Con dos pasos de h/2



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Para RK4 el error por truncado es del orden h5, entonces

Con dos pasos de h/2



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Métodos RK embebidosMétodos RK embebidos

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Métodos RK embebidos (algoritmo BS23)Métodos RK embebidos (algoritmo BS23)

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Métodos RK FehlbergMétodos RK Fehlberg

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AlgoritmoAlgoritmo

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Control del tamaño del pasoControl del tamaño del paso

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Ajuste del tamaño del pasoAjuste del tamaño del paso

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EjemploEjemplo

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Métodos multipasoMétodos multipaso

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Caso: polinomio de orden 1Caso: polinomio de orden 1

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Método de Adams-BashforthMétodo de Adams-Bashforth

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Funciones en MatlabFunciones en Matlab

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