SOLUCIÓN AL TALLER DE MATEMATICAS APLICADAS PARA INGENIEROS QUIMICOS

1. Con los datos del diagrama siguiente (donde los porcentajes están dados en fracción másica), encuentre los posibles valores de las corrientes M1, M2, M3 y M4.

M1[0.83 Etanol (E )0.17 Agua(W ) ]

M4 [0.21Metanol (M )0.58 Etanol (E )0.21 Agua(W ) ]

M2 [0.61Metanol (M )0.39 Agua(W ) ]

M3 [0.24Metanol (M )0.55Etanol (E )0.21 Agua(W ) ]

De acuerdo al diagrama de flujo, la unidad de proceso corresponde a un mezclador o tanque de mezclado en donde las corrientes M1, M2 y M3 confluyen a la unidad para precisamente mezclarse y salir del proceso en un flujo unificado, llamado M4.

Así, los grados de libertad del proceso son los siguientes:

GL: 4 Incógnitas (M1, M2, M3 y M4) – 3 Balances (E, M, W) – 1 Base de cálculo = 0

De los grados de libertad concluimos que el sistema está completamente especificado y para poder resolverlo tomamos una base de cálculo, como las composiciones de los flujos están dadas en fracciones másicas, entonces dicha base de cálculo será 100 Kg/h y corresponderá a M4, que al realizar el balance total del proceso es la suma de las tres corrientes restantes. Los balances son los siguientes:

Balance de Etanol:(E): M4 (0.58) = M1 (0.83) + M2 (0) + M3 (0.55)Balance de Metanol:(M): M4 (0.21) = M1 (0) + M2 (0.61) + M3 (0.24)Balance de Agua:(W): M4 (0.21) = M1 (0.17) + M2 (0.39) + M3 (0.21)Balance Total:M4 = M1 + M2 + M3

MIXER

Así obtenemos un sistema de ecuaciones 3x3, ya que al hacer los cálculos del flujo M4, obtenemos dos matrices, una llamada I, la cual corresponde a las incógnitas (los flujos) y otra llamada M, que corresponde a la suma de las composiciones másicas de cada especie.

I=[0.83 0 0.550 0.61 0.240.17 0.39 0.21 ]M=[582121]

Para poder hallar las soluciones este sistema lineal de ecuaciones, procedemos a colocar estas matrices en la hoja de cálculo de Excel, y luego de eso seleccionamos un conjunto de celdas 1x3, y en fx escribimos el siguiente código:

fx = mmult (minversa (Matriz I); Matriz M)

Esta codificación nos permite hallar la inversa de la matriz I, y al tiempo multiplicarla con la matriz M, pero antes de hacer realizar ese calculo, una vez se termino de escribir el respectivo código, se presionan las teclas Control + Shift + Enter.

Así, como resultados, obtenemos como respuestas de M1, M2 y M3 de:

Flujo (Kg/h)M1 19,0140845M2 4,22535211M3 76,7605634

Estos flujos sumados corresponden al propuesto en nuestra base de cálculo que es de 100Kg/h.

2. Un granjero desea preparar una formula alimenticia para engordar ganado. Dispone de maíz, desperdicio, alfalfa y cebada; cada uno con ciertas unidades de ingredientes nutritivos. Determine de acuerdo con la tabla a continuación:

INGREDIENTES (Kg)

MAIZ DESPERDICIO ALFALFA CEBADA REQUERIMIENTO DIARIO (Kg/día)

Carbohidratos 80 15 35 60 230Proteínas 28 72 57 25 180Vitaminas 20 20 12 20 80Celulosa 50 10 20 60 160

Costos ($) 18 5 7 20 ----

a. Los kilogramos (Kg) necesarios de cada material para satisfacer un requerimiento diario.b. El costo de la mezcla.

En este problema podemos ver que inmediatamente esta planteado un sistema de ecuaciones lineales, el cual ordenaremos de la siguiente manera:

I=[80 15 3528 72 5720 20 1250 10 20

60252060

]R=[23018080160

]Donde I es la matriz que contiene las incógnitas que procederemos a hallar a continuación y R es la matriz que posee los valores totales y deseados del requerimiento diario (Kg/día) por cada ingrediente, es decir, las composiciones de dichos ingredientes por día.

Al igual que en el ejercicio 1, procedemos a seleccionar un conjunto de celdas, que serán la matriz solución, en este caso de 1x4 y escribimos en fx:

fx = mmult (minversa (Matriz I); Matriz R)

Así, al final de la codificación haciendo la combinación de teclado de Control + Shift + Enter, obtenemos los valores diarios necesarios para cumplir con el requerimiento diario de la granja:

Ingredientes Cantidad (Kg)Maíz 1,85246657

Desperdicios 1,03181189Alfalfa 0,61779622Cebada 0,7450438

Para realizar el cálculo de los costos totales, introducimos en la hoja de cálculo de Excel la siguiente codificación:

fx = (Maíz*18)+ (Desperdicios*5)+ (Alfalfa*7)+ (Cebada*20)

Obteniendo un costo total de $ 57,7289073 pesos, así resolviendo todas las incógnitas propuestas en el ejercicio.