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FSICA

Silvia Sokolovsky Mecnica Mru Mruv: El movimiento es el cambio de la posicin en funcin del tiempo, y su explicacin (mediante ejemplos y un anexo aplicando integrales). El ms simple es el rectilneo . . . Movimiento en dos Dimensiones: Aproximndonos un poco ms a los movimientos reales : tiro oblicuo y movimiento circular. Dinmica: Hasta este momento hemos descrito al movimiento de una partcula sin preguntarnos que lo causa; para mantener un cuerpo en movimiento no hace falta una fuerza, entonces, qu se necesita?. La respuesta es: nada... Trabajo Mecnico: El trabajo mecnico es una magnitud escalar que depende del mdulo de una fuerza aplicada sobre un punto material y el desplazamiento que esta le produce . . . Ley de Gravitacin Universal: La fuerza de atraccin gravitacional es la fuerza con que la Tierra nos atrae hacia el suelo, es la culpable de que, al perder el equilibrio, nos vayamos de bruces al piso... Gases Ideales: Ley de Boyle - Mariotte, Ley de Gay-Lussac, Ley de Charles, ley universal de los gases, Teora Cintica de los Gases, densidad de un gas, Hiptesis de Avogadro, Ley de los Gases Generalizada. Termodinmica: calorimetra, calor especfico, conduccin, conveccin y radiacin del calor, equivalente mecnico del calor, relacin entre el calor y el trabajo mecnico, ciclos termodinmicos - Carnot, leyes de termodinmica, entropa. Ondas: ondas transversales, longitudinales, ecuacin onda, longitud de onda, frecuencia, ondas armnicas. Ondas Electromagnticas: Clasificacin segn longitud de onda, propiedades, ecuaciones de Maxwell, vector de Poynting, Interferencia, Interferencia de ondas electromagnticas. Luz: Marco histrico, Modelo ondulatorio, corpuscular, electromagntico, velocidad de la luz, longitud de onda, etc.

tomos: Historia de sus modelos: desde Demcrito hasta Schrdinger. Explicacin del modelo Onda partcula. Fsica Cuntica: desde el postulado de Plank hasta la teora de los Quarks pasando por las mquinas que han permitido el descubrimiento de las partculas elementales, los aceleradores.

Movimientos Rectilneos

MovimientoAutora: Silvia Sokolovsky

Introduccin:

" Imaginemos una novela de misterio perfecta. Este tipo de relato presenta todos los datos y pistas esenciales y nos impulsa a descifrar el misterio por nuestra cuenta", as comienza Albert Einstein su libro La evolucin de la fsica, y resulta vlido para introducirnos en el tema. Si bien tu inters se halla muy alejado del que impulsaba al genio del siglo XX, para poder resolver el misterio que se encierra dentro de los problemas tendrs que hacer de detective para encontrar los datos disponibles, hacerlos comprensibles y coherentes por medio del razonamiento. Lo cual a simple vista no resulta tan fcil.

Primeramente, nos introduciremos en el problema del movimiento, sus causas y efectos.

" Nuestro concepto intuitivo del movimiento lo vincula a los actos de empujar, levantar, arrastrar... ...Parece natural inferir (deducir) que, cuanto mayor sea la accin ejercida sobre un cuerpo, tanto mayor ser su velocidad ... (imagina empujar un auto, si lo empujan dos personas ir ms rpido que si la empuja una) ...El mtodo de razonar dictado por la intuicin result errneo y condujo a ideas falsas respecto al movimiento de los cuerpos ".

Supongamos que deseamos patinar sobre el piso, evidentemente recorreremos cierta distancia y despus nos detendremos. Si queremos ir ms lejos deberemos engrasar o aceitar los ejes de las ruedas de nuestros patines y alisar lo ms posible el camino. Qu estamos haciendo realmente? Estamos reduciendo el roce con el piso, la friccin.

Tericamente si imaginamos un camino perfectamente plano y unos patines con ruedas sin ningn roce, no existira causa alguna que se opusiera a nuestro movimiento, sera eterno.

Vemos claramente que si no se empuja o arrastra un cuerpo, o sea se le aplica una fuerza externa, este se mueve uniformemente, es decir, con velocidad constante y en lnea recta.

"A esta conclusin se ha llegado imaginando un experimento ideal que jams podr verificarse, ya que es imposible eliminar toda influencia externa" Einstein era principalmente un fsico terico, pues se imaginaba las experiencias y aplicando leyes fsicas conocidas y elementos matemticos intentaba resolver los problemas que l mismo se planteaba. En tu caso, los problemas sern propuestos por el profesor, pero si a Einstein le sirvi su "tcnica", Por qu no a ti ? ...

En palabras de Einstein: " Todos los movimientos que se observan en la naturaleza - por ejemplo, la cada de una piedra en el aire, un barco surcando el mar, un auto avanzando por la calle - son en realidad muy intrincados (difciles de comprender). Para entender estos fenmenos es prudente empezar con los ejemplos ms simples y pasar gradualmente a los casos ms complicados" . Hagmosle caso.

Movimiento :

Cmo nos damos cuenta que nos estamos moviendo?.

No toques el mouse (ratn) de tu computadora mientras observas el segundero de tu reloj. A medida que

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pasa el tiempo el mouse no cambia de posicin, pero el segundero si. El mouse est quieto y el segundero est en movimiento. Sencillamente, nos damos cuenta que "algo" se mueve al ver como cambia su posicin a medida que transcurre el tiempo.

El movimiento es el cambio de la posicin en funcin del tiempo.

Supongamos que tenemos un cronmetro para medir "ese tiempo", a cada instante podemos designarlo con una letra, usualmente suele utilizarse la letra t. El instante en que comenzamos a medir es el instante cero, as que podemos designarlo como t o (te sub-cero); y asimismo se puede indicar en el subndice el instante en el que mvil se encuentra. Por ejemplo: si transcurren 5 segundo podemos indicarlo como t5.

Si tomamos dos instantes cualesquiera, la diferencia entre ambos nos indicar el tiempo transcurrido entre ambos instantes: t = t ti (el subndice i indica que es el instante inicial del intervalo).

Este smbolo (diferencial) es un elemento matemtico que se utiliza para indicar la resta, "diferencia" entre dos valores de una variable.

Si el movimiento es horizontal podemos considerar al piso como si fuera el eje de las abscisas (eje x), de esa manera cada posicin se designar con la letra x. La posicin correspondiente al instante cero (to) se designa, entonces, como xo . La diferencia entre dos posiciones cualesquiera nos permite calcular el espacio existente entre ellas: x = x xi

Movimiento Rectilneo Uniforme (MRU)

El movimiento ms sencillo es el movimiento en lnea recta (lgicamente denominado rectilneo) Como todo movimiento puede describirse por el espacio que se recorre en unidad de tiempo, supongamos que recorremos siempre la misma cantidad de espacio por cada unidad de tiempo. Imaginemos que por cada segundo recorremos dos metros. En el primer segundo recorremos dos metros, al segundo habremos hecho cuatro, al tercero seis y as sucesivamente...

Para facilitar an ms nuestro estudio imaginemos que partimos de la posicin cero en el instante cero. Ubiquemos nuestra suposicin en una tabla:

Instante (t) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Posicin

(x) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

El espacio y el tiempo matemticamente son directamente proporcionales, eso implica que si dividimos cada posicin por el instante en que se encuentra nos dar un valor constante.

Fsicamente ese valor constante, la razn entre el espacio recorrido y el tiempo trascurrido, se denomina



velocidad.

As que la velocidad en este tipo de movimiento es constante, como se ve en el grfico de velocidad en funcin del tiempo (v(t)) donde est representada la velocidad. Si llevamos a un grfico la posicin a cada instante que est indicada en la tabla, veremos que encontramos una recta. Si observamos detenidamente el cuadro podemos darnos cuenta de que la posicin a cada instante se puede calcular multiplicando ese instante (t) por la velocidad (v), de esa manera tenemos que: x = v . t

No tiene por que partirse de cero, as que las distintas posiciones pueden determinarse sumando la posicin de donde partimos, posicin inicial (xo), y lo que se avanza (t.v ).

Supongamos que partimos de la posicin 2, la xo = 2 m, como la velocidad es 2m/seg. sumemos 2 m a la posicin anterior:

Instante (t) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Posicin

(x) 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

Es interesante destacar que obtenemos una recta cuya pendiente es la velocidad (2) y la ordenada al origen es la velocidad inicial (2): matemticamente la ecuacin obtenida es: x = 2t + 2. (utilizo las variables indicadas en el grfico).

De esa manera la ecuacin del espacio en funcin del tiempo que a partir de ahora la llamaremos ecuacin horaria, la escribiremos: x = xo + v . t

Magnitudes vectoriales y escalares: Los nmeros son entes abstractos que por s solos no representan nada. Esa es su mayor virtud, pues podemos asignarle el significado que queramos. Un simple tres, segn la ocasin, puede ser una cantidad de dinero, una mala nota, lo que sea ... Todo lo que podemos medir puede ser representado por un nmero. Todo lo medible se llamar, entonces, magnitud. Y las magnitudes pueden dividirse en dos subgrupos: escalares y vectoriales.



Supongamos que estamos mirando los coches que transitan por una avenida recta, todos los autos tendrn la misma direccin (la calle) pero no tienen que ir hacia un mismo lado, pueden poseer distinto sentido. Es importante en un movimiento indicar la direccin (recta a la que pertenece) y el sentido en que se mueve. En matemtica existe un elemento que indica sentido y direccin adems del mdulo (cantidad de velocidad) es el vector. A toda variable que puede ser representada por un vector la llamaremos "magnitud vectorial".

Lo que nos indica la lgica es utilizar el vector para indicar la velocidad de un auto. La velocidad es una magnitud vectorial y su mdulo seala su parte escalar, la cantidad que representa. Se indica encerrando al vector entre dos lneas: |v|. El mdulo siempre es un valor positivo.

Por supuesto que encontramos magnitudes que no pueden ser representadas por un vector, ejemplo: el tiempo. Las variables de las que slo podemos indicar su cantidad se denominan magnitudes escalares. Para entender mejor su diferencia expliquemos un ejemplo tpico:

Diferencia entre espacio recorrido y desplazamiento: Estuvimos hablando de posiciones (x), espacio (x) y, aunque no lo nombramos, de desplazamiento. Pero estas tres palabras tienen distinto significado en

fsica. Supongamos que te encuentras en una esquina, sa ser tu posicin inicial y para facilitar las cosas desde all empezaremos a contar por lo que xo = 0 m. Ahora caminas dos cuadras sobre la misma manzana. El espacio recorrido ser de 200 m, ya que cada cuadra tiene 100 m, pero el desplazamiento, la lnea recta que une ambas posiciones, si aplicamos Pitgoras (ver figura) ser de

141,42 m. Es ms, si das la vuelta manzana, el espacio recorrido ha de ser de 400 m. pero el desplazamiento nulo.

El desplazamiento es un vector, el espacio recorrido una magnitud escalar, slo un nmero.

Movimiento Rectilneo Uniformemente Variado (M.R.U.V)

Aproximndonos un poco ms al movimiento en el mundo real, vemos que la velocidad no es la misma durante todo el trayecto. Si bien su mdulo cambia, no vara de cualquier manera, sino que depende de una tercer variable, la aceleracin.

Aceleracin:

Imaginemos que estamos viajando con una velocidad v y la duplicamos.Su variacin ser : v = 2v v = v (1). Esta variacin nos lleva un determinado tiempo.Ahora bien, supongamos que triplicamos la velocidad, la variacin ser: v = 3v v = 2v (2)

Si comparamos (1) y (2) vemos que la variacin de velocidad se ha duplicado. Qu ha ocurrido con el intervalo de tiempo?. Evidentemente necesitamos mayor cantidad de tiempo, exactamente el doble.



Recapitulemos, la variacin de la velocidad aumenta al doble y el intervalo de tiempo requerido aumenta en la misma proporcin. La explicacin es que existe una relacin entre ambas variables, son directamente proporcionales. Por lo tanto si las dividimos obtendremos una constante, la razn de proporcionalidad entre ambas es la aceleracin.

Hay que remarcar que la relacin es entre la variacin de velocidad y el intervalo de tiempo NO se relaciona con la velocidad.

Siendo la velocidad una magnitud vectorial y el tiempo una magnitud escalar, cualquier operacin matemtica entre ellos dar como resultado un vector, por lo tanto podemos deducir que la aceleracin tambin es un vector

Unidades de la aceleracin: Aplicando la definicin de aceleracin, variacin de la velocidad en funcin del tiempo, analizaremos sus unidades.

Podemos medir a la velocidad en m/seg, as que tomaremos la unidad de tiempo en segundos para poder operar matemticamente sin problemas.

Tambin puede expresarse como .

Obtencin de la funcin Primitiva: Para hallar las ecuaciones de movimiento (funcin primitiva, matemticamente hablando) puede procederse mediante integrales u obtencin del rea bajo la curva. Como muchos de ustedes pueden desconocerlos mecanismos del anlisis matemtico, utilizaremos la segunda opcin.



En el M.R.U.V. la velocidad vara pero no de cualquier manera, depende de la aceleracin y esta es constante. Si miramos detenidamente la grfica de la aceleracin en funcin del tiempo (grfico de la aceleracin) podremos darnos cuenta que, no importa el instante elegido, "a" tendr siempre el mismo valor.

Supongamos que la aceleracin es de 2 m/s2 cuando partimos de la posicin 1 m. con una velocidad de 1 m/sRecordemos: xo = 1 m y vo = 1 m/s.Si observamos detenidamente la zona que queda determinada entre la grfica de aceleracin y el eje del tiempo, indicado por los sucesivos intervalos de tiempo desde cero (lneas punteadas), vemos tres figuras, es decir tres rectngulos.Primer Intervalo [0, 1]

Segundo Intervalo [1, 2]

Tercero Intervalo [2, 3]

rea = base. Altura

En un rectngulo, cualquier lado puede ser base o altura. Para facilitar clculos posteriores tomaremos al intervalo de tiempo (t) como altura base = a ;

altura = t rea = a. t

La aceleracin determina como vara la velocidad y el rea debajo de su grfica indica la velocidad al final de ese intervalo de tiempo: rea = v; de esta manera tenemos: v = a . t

No olvidemos que al comienzo de este movimiento la velocidad no era nula v = vo + a. t (Ecuacin 1) (Esta ecuacin nos permites calcular la velocidad a cada instante, o sea la velocidad instantnea.)

Completemos el siguiente cuadro en base a los datos siguiendo la ecuacin 1.

a t a t a t + vo v

2 0 2 . 0 = 0

2. 0 + 1 = 0 + 1 = 1 1

2 1 2 . 1 = 2

2 . 1 + 1 = 2 + 1 = 3

3

2 2 2 . 2 = 4

2. 2 + 1 = 4 + 1 = 5 5

2 3 2 . 3 = 6

2. 3 + 1 = 6 + 1 = 7 7



Tomemos los puntos cuyas coordenadas estn determinados por (t; vt) (columnas en color) y llevemos a cada uno a la grfica de la velocidad. Vemos que la velocidad al variar en funcin del tiempo nos da una recta.

Siempre que una variable dependa de una constante dar una recta en su grfica.

Una vez ms tomemos los intervalos de tiempo [0,1]; [0,2] y [0,3]. Debajo de la recta quedan determinados tres trapecios.

Nuevamente t ser la altura, las bases (el trapecio tiene dos) van a ser las velocidades. La vo (velocidad inicial) ser la base menor mientras que vt (velocidad instantnea) ser la base mayor.

Ya habamos visto que la velocidad seala cuanto espacio se recorre por unidad de tiempo, por lo tanto al variar la velocidad cambia la cantidad de espacio recorrido por cada intervalo de tiempo de igual duracin. as el rea debajo de la grfica de vt indica la posicin del cuerpo al final del intervalo horario. Teniendo en cuenta que partimos de la posicin 1 m. (xo = 1 m.) tenemos que:

v vo v + vo (v + vo):2

t [(v + vo) : 2] . t

[(v + vo) : 2] . t + xo

xt

1 1 1 + 1 = 2

2 : 2 = 1 0 1 . 0 = 0 0 + 1 = 1

3 1 1 + 3 = 4

4 : 2 = 2 1 2 . 1 = 2 2 + 1 = 3

5 1 1 + 5 = 6

6 : 2 = 3 2 3 . 2 = 6 6 + 1 = 7

7 1 1 + 7 = 8

8 : 2 = 4 3 4 . 3 = 12 12 + 1 = 13



Tomemos los puntos (t, x) (columnas en color). Llevndolas a la grfica del espacio en funcin del tiempo vemos que se obtiene una curva, una parbola.

Siempre que una variable dependa de otra variable obtendremos una curva como grfica.

(no es la ecuacin que comnmente se utiliza para hallar xt, reemplacemos vt por

la ecuacin 1), tendremos as:

(operando matemticamente)

Esta ecuacin, llamada ecuacin horaria, es la ms frecuentemente utilizada para hallar xt. De la ecuacin 1 y de la ecuacin 2, por operaciones matemticas que quedan por tu cuenta, obtenemos una tercera ecuacin que facilitar bastante la resolucin de problemas: 2. x. a = v 2 vo 2 (Ecuacin 3)

Utilizando las ecuaciones 1, 2 y 3 puedes resolver cualquier problema de M.R.U.V.

Cada Libre: Presumamos que estamos en lo alto de un puente a 30 metros de altura viendo el agua pasar. Por diversin dejamos caer una piedra y medimos el tiempo de cada con un cronmetro. Cada vez que la soltemos cada piedra trazar un camino recto desde nuestros dedos hasta el agua. No importa cuantas veces hagamos este simple experimento, siempre caer de la misma manera. Evidentemente la piedra en cada produce un movimiento rectilneo.

Ahora cabe preguntarnos lo que sucede con la velocidad. Como soltamos la piedra podemos suponer sin temor a equivocarnos que su velocidad inicial es nula. Cuando la velocidad inicial es cero se dice que el cuerpo parte del reposo. Indudablemente la velocidad de la piedra no se mantiene constante, de lo contrario debera flotar cuando la soltamos. As que queda descartado que el movimiento de cada sea uniforme (M.R.U.). La velocidad cambia, intuitivamente nos damos cuenta que acelera. Con todos estos datos podemos suponer que la cada de cualquier objeto es un movimiento rectilneo acelerado (M.R.U.V.).

Ya no utilizaremos la denominacin "x" para las distintas posiciones que tome el cuerpo a lo largo de su trayectoria, sino que al ser un movimiento vertical, utilizaremos a "y". La posicin inicial (la altura desde donde soltamos la piedra) ser designada yo, ya que en el instante inicial del movimiento nuestro cronmetro debe estar en cero. de esa manera el espacio recorrido por el cuerpo al caer (los 30 metros) sern designados como y (y = 30 m.).

Aceleracin de la gravedad: Es interesante destacar que cada vez que la piedra cae, tomando el tiempo con nuestro cronmetro, esta tarda 2,47 segundos en tocar la superficie del agua. Para verificar que lo observado no sea efecto del tipo de elemento que dejamos caer, tomemos un papel y hagamos con l un bollo (bien apretado) y dejmoslo caer. Asimismo su cada tardar 2,47 segundos. Cmo es posible?!. Sencillamente, como ya se dijo, la trayectoria de la cada libre es recta, movimiento rectilneo y la variacin de la velocidad que sufren ambos cuerpos es la misma. Tanto la piedra como el papel, arrojados



con la misma velocidad inicial y desde la misma altura, caen mediante un movimiento rectilneo acelerado.

Hagamos los clculos para determinar el valor de la aceleracin con que caen:

Reemplacemos por el valor de cada dato: vo = 0 m/seg.; t = 2,47 seg. y y = 30 m.

*

No importa la masa del cuerpo ni la altura desde donde caiga, todo objeto dejado en cada libre experimenta la misma aceleracin la que de ahora en adelante la llamaremos aceleracin de la gravedad y se la designa con la letra g.

La aceleracin de la gravedad, como toda aceleracin, es un vector. La direccin de este vector es vertical, y el hecho de que al caer un cuerpo, este se acelere, nos indica que el sentido del vector aceleracin de la gravedades hacia "abajo".

La aceleracin de la gravedad es la misma para cualquier cuerpo, no importa su masa, desde una misma altura y con una misma velocidad inicial, si dejamos caer una aguja, un balde lleno de arena o un avin, los tres caern al mismo tiempo y llegarn con la misma velocidad. Nada mejor que la propia experiencia para comprobar que la variacin de la velocidad y el tiempo de cada, no dependen del peso del cuerpo sino de la aceleracin de la gravedad (g). Cronometra el tiempo en que tardan en caer varios objetos (goma, lpiz, etc) y saca tus propias conclusiones ...

Tiro Vertical: Al tirar una piedra hacia arriba, tenemos dos posibilidades: que la trayectoria sea rectilnea o que no lo sea. Del segundo caso nos ocuparemos al llegar al movimiento en dos dimensiones, mientras tanto razonemos lo que ocurre al tirar "verticalmente" una piedra hacia arriba.

Primeramente analicemos si el tiro vertical es un movimiento acelerado o desacelerado.

La velocidad con que arrojamos verticalmente hacia arriba una piedra, velocidad inicial, tiene que ser distinta de cero, sino caera. El cuerpo va subiendo hasta que se detiene en una posicin a la que denominaremos altura mxima (ymax). En esta posicin, en la que se detuvo el objeto, la velocidad debe ser cero. Estamos frente a un movimiento desacelerado.

Por comodidad, coloquemos sobre el sentido de la velocidad inicial el signo positivo. Dicho de manera ms fcil, la velocidad inicial ser siempre positiva, por ende su sentido ser positivo. Todo vector que tenga su mismo sentido que la velocidad ser positivo y aquel que vaya en sentido contrario ser negativo.



Este movimiento es desacelerado, la velocidad y la aceleracin tienen distinto sentido, sus signos son opuestos, concluimos entonces que la gravedad tiene signo negativo. g = 9,8 m/seg2. *

Es importante destacar que cuando la piedra llegue a su altura mxima y comience a caer, el signo de su velocidad (durante la cada) ser tambin negativo.

As pues, para el tiro vertical y la cada libre puede utilizarse: como ecuacin

horaria.

* En los problemas, para que resulte ms fcil su resolucin, utilizaremos como valor de la gravedad " 10 m/seg2 ".

Cmo se resuelve un problema?

Para resolver un problema siempre hay que seguir tres pasos:

1. Buscar los datos del problema y distinguir los que sirven de los que no.

2. Buscar la incgnita, no podemos resolver ningn problema si no tenemos bien en claro lo que se busca.

3. Aplicar las leyes y ecuaciones que concuerden con los datos recogidos.

Ejemplo de cmo se resuelve un problema:

F Un chico deja caer piedritas desde el bacn de su casa. El portero, que esta en la vereda, observa que una de las piedritas tarda 0,2 seg. en pasar frente a la puerta de entrada, que tiene 2m de altura. Con esta informacin, hallar a que altura del piso parten las piedritas. (sugerencia: tome un sistema de referencia con el origen en el borde superior de la puerta).

El hecho que la puerta tenga 2 m (y), la aceleracin es la gravedad (que al caer la piedra al piso puede tomarse positiva ya que la velocidad del cuerpo y la gravedad tienen el mismo sentido), con un intervalo de tiempo de 0,2 seg. (t). Podemos aplicar la ecuacin horaria para calcular la velocidad que tiene al llegar al principio de la puerta (v1)

Para calcular la altura del edificio (desde la puerta hasta la terraza) utilizamos la velocidad inicial (como la deja caer, parte del reposo), la velocidad que acabamos de hallar y la gravedad.

2. g. y = v2 vo2 y = [(9 m/s)2 (0 m/s)2] : [2 . 10 m/s2] y = 4,05 m



Si sumamos la longitud de la puerta y la puerta 2 m + 4,05 m = 6,05 m

F El can de un fusil mide un metro de largo. Si se dispara el arma verticalmente hacia arriba, el proyectil llega a una altura mxima de 845 m desde la boca del fusil. Si se supone que el proyectil dentro del can se movi con M. R. U. V., la velocidad de salida del mismo fue (en m/seg.): a) 130 b) 845 c) 65 d) 65 e) 169 f) otro valor.

Solucin: lo fundamental es no dejarse confundir con los datos que estn de ms. Los datos concernientes al fusil no nos interesa, lo importante es que cuando la bala sale disparada en un tiro vertical.

Datos: y = 845 m, g (gravedad), vf = 0m/seg.Incgnita: vo

Recordemos que en todo problema de tiro vertical y cada libre cuando se llega a la altura mxima la velocidad, en ese punto, es cero. Nos conviene, entonces, resolver el problema tomando en cuenta slo el ascenso de la bala. La ecuacin que nos corresponde usar por los datos que tenemos es: 2 g y = v2 vo2.

Reemplacemos por los valores. 2 (-10) 845 = 0 vo2 vo = 130.

La opcin correcta es la a).

Anexo:

Obtencin de la ecuaciones mediante integrales:

La aceleracin es un vector que depende de la variacin de la velocidad en funcin del tiempo. Si el intervalo de tiempo tiende a cero podemos hallar a la aceleracin instantnea, para ello apliquemos el concepto de derivada.

Para hallar la ecuacin de la velocidad en funcin del tiempo debemos aplicar integrales definidas, el lmite de la integracin ser: t y to para el tiempo, v y vo para la velocidad.

v = a (t to) + vo (1)

La velocidad es otro vector que depende de la variacin del espacio en funcin del tiempo. Cuando el intervalo tiende a cero obtenemos la velocidad instantnea.



Para hallar la ecuacin del espacio en funcin del tiempo, llamada ecuacin horaria, debemos aplicar nuevamente integrales definidas. El lmite de la integracin ser: t y to para el tiempo, x y xo para las distintas posiciones.

Reemplacemos v por la ecuacin (1), donde para facilitar la operacin matemtica supondremos que to = 0.

(Ecuacin horaria)

Octubre 2002


Movimiento en Dos Dimensiones

Movimiento en dos dimensiones Autora: Silvia Sokolovsky

Aproximndonos un poco ms a los movimientos reales que ocurren cotidianamente, comenzaremos a estudiar los que no son rectilneos. En este caso no slo se debe tener en cuenta el desplazamiento horizontal (eje x) el vertical (eje y) sino ambos a la vez. Como ya se haba dicho, la velocidad es la mejor

representante del movimiento, por eso analizaremos que le sucede en este caso. Toda velocidad que se mueva horizontalmente recibir el nombre de vx

, mientras aquella que se mueva verticalmente ser llamada vy.

Recordando lo que aprendiste en la escuela, si tenemos dos vectores podemos sumarlos y hallar un tercero llamado resultante. Para ello utilizaremos el mtodo del paralelogramo, en el cual trazamos dos segmentos paralelos a la direccin de cada vector, por los extremos de los mismos. Uniendo la interseccin de los vectores y de los segmentos paralelos (puntos en color) obtendremos un vector velocidad (resultante) que indica la direccin y sentido del desplazamiento del objeto en dicho punto y en ese preciso instante.

Por supuesto que si cambia vx vy , la direccin, sentido y mdulo de V resultante no ser el mismo. Por lo tanto, todo movimiento en dos dimensiones donde una de las velocidades vare no podr ser rectilneo.

Tiro Oblicuo: Todo cuerpo que se halle suspendido en el aire, al soltarlo, caer libremente en lnea recta al suelo, pues sobre l acta la fuerza de gravedad acelerndolo. Si en ese preciso momento le pegamos con direccin horizontal (figura) este cuerpo no se mover ni horizontalmente ni verticalmente, sino que tomar una direccin intermedia que podemos hallar aplicando el mtodo del

paralelogramo por que los dos desplazamientos (horizontal y vertical) son vectores.

El cuerpo que se encuentra sometido a la accin de dos vectores cae al mismo tiempo que se desplaza horizontalmente. El problema es que a medida que cae su velocidad vertical aumenta a cada instante (M.R.U.

V.) pero su velocidad horizontal, al no verse afectada por ningn rozamiento, resistencia del aire, ni siquiera por la gravedad, no vara en magnitud (M.R.U.)

Si tomamos dos posiciones cualesquiera durante una cada (no vertical) podemos observar que la velocidad resultante en ambos casos presenta distinta magnitud y direccin. Deja caer el capuchn de tu birome o una goma y pgale horizontalmente para ver que la trayectoria no es recta, siempre describir la misma trayectoria curva, desacelerando cuando sube y acelerando al bajar.

Este tipo de tiro, llamado tiro oblicuo, es mucho ms complicado que los movimientos que vimos

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anteriormente, pero puede ser descompuesto en un movimiento vertical (acelerado o desacelerado) y un movimiento horizontal rectilneo uniforme (M.R.U.), lo que puede facilitarnos su estudio.

Velocidad Tangencial : En todo movimiento no rectilneo, la vm (velocidad media) puede interpretarse geomtricamente como la medida de inclinacin de la recta determinada por dos puntos cualesquiera de la

trayectoria. Su valor depende del intervalo de tiempo (t) escogido, de manera que cuanto mayor sea la inclinacin menor ser t. Observando la figura vemos dos intervalos de tiempo, uno menor que el otro. La velocidad media del ms chico est ms inclinada, su ngulo es mayor, por lo tanto su mdulo tambin es mayor.

La velocidad aumenta su inclinacin cuando t se hace cada vez ms chico (tiende a cero) pero la velocidad no puede dejar de tocar la curva, entonces, cuando t sea tan pequeo como para suponer que nos encontramos en un instante la velocidad ser tangente a la curva. Una recta tangente es aquella que corta en un solo punto a una curva. Esta velocidad, que no es otra que la velocidad instantnea, siempre ser tangente en un punto a la trayectoria, por eso suele llamrsela velocidad tangencial.

En el caso del movimiento rectilneo, la recta tangente a una recta posee su misma direccin; por eso las velocidades son colineales (nica direccin).

Vector Posicin : Cualquier objeto cuya posicin pueda describirse localizando un solo punto puede denominarse partcula; no interesa su tamao ni estructura interna. Esta partcula puede moverse dentro de nuestro universo fsico en una, dos o tres dimensiones si se desplaza sobre una recta, un plano o en el espacio. Podemos describir la posicin de una partcula confinada a un plano mediante sus coordenadas cartesianas (rx ; ry), o mediante un vector "r" cuyo origen est en el centro de coordenadas. Pero puede descomponerse (desdoblarse) en dos componentes, cada una sobre un eje.

Llamaremos a la componente sobre las abscisas y a la componente sobre las ordenadas. El vector posicin se relaciona con sus componentes a travs de las funciones trigonomtricas del ngulo.

De esa manera tenemos:

Si operamos matemticamente resolviendo estas cuentas veremos que el mdulo de cada componente es igual al valor de la coordenada correspondiente al eje donde se encuentra:



Un vector puede nombrarse indicando el mdulo de sus componentes sealando sobre que eje estas se hallan. Para eso se utiliza a los versores. El versor o vector unitario, es un vector cuyo mdulo siempre es uno. Sobre el eje x encontramos al versor "i" y sobre el eje y hallaremos al versor "j". Podemos describir al vector posicin as:

En la figura a se hallan marcadas dos posiciones (P1 y P2) de un objeto que cae en tiro oblicuo. Los vectores posicin de cada punto

tienen sus respectivas coordenadas cartesianas: ; .

r es el desplazamiento desde P1 hasta P2. Hallamos su mdulo simplemente restando los dos vectores:

Como ya determinamos el desplazamiento, calculemos la velocidad media:

(distribuimos t.)

Ecuacin de la Trayectoria : La trayectoria en este movimiento depende tanto del desplazamiento vertical como del horizontal. En un momento dado podemos encontrar un punto en el cual hayamos recorrido distancia x y hayamos alcanzado cierta altura y empleando, por supuesto, el mismo intervalo de tiempo t.

As que utilizamos la ecuacin " x = vx . t " despejamos t tendremos

Si reemplazamos en la ecuacin horaria:

operando matemticamente llegamos a:

Elementos para toma en cuenta al resolver un ejercicio:



Ya habamos aclarado que un cuerpo arrojado en tiro oblicuo presenta una trayectoria parablica. La parbola presenta un eje que divide a la grfica en dos partes iguales (figura). Fsicamente, esto implica que el tiempo empleado en el primer tramo (antes del eje) ser igual al segundo. Adems, dos posiciones distintas x1 y x2 pueden tener la misma altura.

Un cuerpo desplazndose en tiro oblicuo se mueve en dos dimensiones, una horizontal y otra vertical. Sobre el desplazamiento horizontal no

acta ninguna fuerza por cuanto este movimiento es uniforme.

As que x = vx . t

La cosa cambia cuando consideramos el desplazamiento vertical, aqu acta la fuerza de gravedad produciendo aceleracin (g), vector cuya direccin perpendicular al suelo siempre apunta hacia abajo. Si comparamos vemos que son colineales pero de sentidos opuestos. El destino de este cuerpo es detenerse, pero est en el aire, entonces cuando vy sea cero, l empezar a caer.

"En la altura mxima que un cuerpo puede alcanzar, en estas condiciones, la componente vertical de la velocidad, es nula".

Ejercicios Explicados:

F Un can dispara una bala con una velocidad de 500 m/s con un ngulo respecto al suelo de 30. Indica a que distancia puede hallarse el blanco si la bala impacta a una altura de 5 m.

Solucin: " Un can dispara ... ", la velocidad de 500 m/seg. corresponde a la velocidad inicial. Como el ngulo de disparo es de 30, suponemos (y con razn) que vo se halla inclinada 30. El disparo se realiza desde el suelo, por lo tanto la posicin inicial en ambos desplazamientos (horizontal y vertical) ser cero. La componente vertical de la velocidad tiene sentido opuesto al de la gravedad, entonces ser negativa.

Datos: vo = 500 m/s, = 30, y = 5 m, g

Incgnita: x = ?

En un tiro oblicuo puede hallarse al objeto ubicado a la misma altura en dos instantes diferentes, uno cuando sube otro cuando baja. Es lcito imaginar que las distancias recorridas en ambos intervalos no sern las mismas. Encontramos que a una misma altura el cuerpo se halla en dos posiciones horizontales diferentes x1 cuando sube y x2 cuando baja.

Nos conviene utilizar por lo tanto la ecuacin de la trayectoria:

Suplantamos los datos correspondientes y despejamos x (distancia, o sea el alcance).



Resolvemos e igualamos a cero: 2,7.10 5 x 2 + tg 30 x 5 = 0

Aplicamos ecuacin cuadrtica:

x1 = 8,66 m. y x2 = 21374,7 m = 21,64 Km.

F Jaimito dispara una piedra desde el nivel del piso, con su super honda, logrando que salga despedida con una velocidad 15 m/s i + 20 m/s j, de manera que hace impacto sobre un loro malhablado posado en la rama de un rbol que est a 45 m de distancia del punto de lanzamiento a) Calcular a que altura estaba posado el loro b) Determinar el vector velocidad de la piedra en el instante de pegarle al loro, y, sobre un esquema de la trayectoria, representar los vectores velocidad y aceleracin de la piedra en dicho instante.

Solucin: Como la velocidad inicial est expresada vectorialmente = 15 m/s i + 20 m/s j. podemos afirmar que: vx = 15 m/s y vy = 20 m/s. Hay que tener en cuenta que a vy tiene signo positivo, opuesto al de la gravedad.

a) Calculemos la altura en que se encuentra el loro. Para ello indiquemos los datos que nos da el problema: Datos: x = 45 m ; vx = 15 m/s ; vy = 20 m/s ; g = 10 m/s

2

En el problema x se relaciona con y , por lo tanto vamos a utilizar la ecuacin de la trayectoria.

Como no tenemos al ngulo , busqumoslo.

Ahora pongamos los datos en esta ecuacin.

b) Para poder determinar el vector velocidad de la piedra en el momento del impacto necesitamos hallar vx y vy en ese preciso instante. . vx no cambia pues horizontalmente tenemos un M.R.U.

. Ahora, vy est sometida a la accin de la gravedad, podemos calcular su mdulo:



Segn la piedra suba o baje tendremos un signo "+" o "" para. Como no sabemos si la piedra est subiendo o bajando hallemos las dos posiciones horizontales (x) para la altura que est el loro (15 m)

Como se encontraba a los 45 m, estaba bajando, .

Movimiento Circular Uniforme (MCU):

Hemos visto que la aceleracin se produce cuando se manifiesta un cambio de velocidad. En el tiro oblicuo la magnitud de la velocidad vara tanto en mdulo como en direccin a medida que el cuerpo avanza. En el movimiento circular uniforme la velocidad tambin cambia de direccin pero su mdulo permanece constante.

Observemos la trayectoria circular de la figura, tenemos posiciones con sus respectivos vectores en los instantes t1 y t2 (ambos distintos). Adems encontramos las correspondientes velocidades tangenciales a la circunferencia en dichos puntos a las que llamaremos v1 y v2. La variacin de la velocidad en el intervalo de tiempo es la diferencia entre los dos vectores velocidad. La variacin de velocidad respecto al tiempo sigue

dndonos valor de la aceleracin:

Si comparamos el tringulo formado por v1, v2 y v , y con el tringulo compuesto por r1, r2 y r, nos damos cuenta que son semejantes, ya que ambos

tringulos son issceles (radios y velocidades iguales; adems de tener el mismo ngulo). As que hallamos

una proporcionalidad entre los lados de estas dos figuras:

(por MRU reemplazo r por v . t)

La aceleracin es un vector que, cuando t 0, tiene una direccin perpendicular a la velocidad tangencial (la misma que la del radio) apuntando siempre al centro del crculo. Es por eso que se la llama aceleracin centrpeta.

Perodo y frecuencia : El sistema de medicin de ngulos que solemos utilizar es el sexagesimal, divide a esta figura en seis partes de 60 cada una, obteniendo un giro completo de 360. Cuando se quiso utilizar este



sistema para poder calcular el camino desarrollado por alguna partcula en trayectoria circular se encontraron que este sistema no los ayudaba pues, matemticamente, no est relacionado con el arco que describe el cuerpo al moverse. De esa manera se "invent" otro sistema angular, el sistema circular, donde la medida del ngulo se obtiene al dividir el arco y el radio de la circunferencia hecha por la trayectoria de la partcula.

En este sistema un ngulo llano (al dividir el arco por el radio) mide 3,14 (que es el valor aproximado de "pi"). De esa manera un giro completo (que es lo mismo que dos ngulos llanos) mide 2pi.

Este movimiento circular es peridico y constante, por lo tanto una partcula describe, en estas circunstancias, las mismas circunferencias en igual intervalo de tiempo. Este intervalo de tiempo recibe el nombre de perodo y se representa con la letra T.

Cuando una partcula gira en un mismo intervalo de tiempo, hace la misma cantidad de giros por cada unidad de tiempo. Estamos hablando de la frecuencia ( f ), de la cantidad de vueltas que da un objeto por cada segundo, cada minuto, cada hora, por cada unidad de tiempo.

La frecuencia y el perodo son inversamente proporcionales : T =

Si el perodo est medido en segundos, la unidad de medida de la frecuencia ser el Hertz (Hz) que es lo mismo que seg.-1 . Si el perodo est medido en minutos, la unidad de medida de la frecuencia ser r. p.m. (revoluciones por minuto)

Velocidad Angular : Si en vez de fijarnos en el punto que gira analizamos el vector posicin, observaremos que este "barre" un rea en funcin del tiempo. Ese rea barrida es un ngulo. As que podemos medir este movimiento mediante el ngulo que describen estos vectores durante el desplazamiento. Por lo tanto, existe una velocidad angular () que establece la variacin del ngulo (desde una posicin inicial) en funcin del tiempo.

= / t. Si medimos los ngulos en sistema circular (radianes) el ngulo que se forma al dar una vuelta

(un giro) es 2pi, as pues

Donde T es el perodo, tiempo que tarda en dar una vuelta.

Ejercicios Resueltos:

Despreciando cualquier influencia externa, si dejamos un globo suelto a 5000 m de altura Qu distancia recorrer en 5 hs.? Radio terrestre 6357 km.

Solucin: evidentemente si dejamos un globo suelto y lo libramos de toda influencia externa (incluso del viento y la atraccin terrestre) se quedar all sin moverse, pero la tierra (que sigue movindose) se desplazar en ese intervalo de tiempo. Lo que tenemos que saber es cuanto se "correr" esa posicin de nuestro planeta para que cualquier persona ubicada all perciba el movimiento aparente del globo. El perodo de rotacin terrestre es de 24 hs y el radio de 6357 km sumndole a altura su radio de giro es de 6362 Km., podemos calcular la velocidad tangencial con que rota el planeta.



El tiempo transcurrido es 5 hs. as que la distancia recorrida es:

x = 1665,57 km/h. 5h = 8327,84 km

F En un movimiento circular uniforme, con centro en el origen de coordenadas, se observa que para cierto instante la posicin es r = 8 m i + 6 m j mientras que la velocidad angular tiene un valor de 2 seg-1. Calcular y representar sobre un esquema de la trayectoria : a) el vector velocidad para ese instante, b) el vector aceleracin en el mismo instante.

Como el problema lo pide, dibujemos la situacin indicando con un color la velocidad (siempre tangente) y de otro la aceleracin centrpeta.

Datos: = 2 seg-1; r = 8 m i + 6 m j

Incgnita: v = ?; ac = ?

a) Para hallar el vector velocidad basta con utilizar: v = . r (reemplacemos por los datos)

v = 2 seg 1.( 8m i + 6m j ), distribuyamos la velocidad angular y al operar matemticamente tendremos: v = 16 m/s i + 12 m/s j

b) Para encontrar la aceleracin procedemos del mismo modo la ecuacin de la aceleracin, reemplazamos los datos y resolvemos: ac = 2.r = (2 seg 1)2. (8m i + 6m j) = 32 m/seg2 i + 24 m/seg2 j.

Octubre 2002


Apuntes de todo tipo: Dinmica

Dinmica Autora: Silvia Sokolovsky

Hasta este momento hemos descrito al movimiento de una partcula sin preguntarnos que lo causa. Este problema fue un tema central para la denominada Filosofa Natural que sostena la necesaria influencia externa (una fuerza) para mantener un cuerpo en movimiento. Cuando esta fuerza se acababa crean que el cuerpo se detena volviendo a lo que consideraban su estado natural. De esta suposicin se desprenda que un cuerpo ms pesado (mayor fuerza interior) deba caer ms de prisa que un cuerpo liviano. Fue Galileo Galilei (1564 1642) el primero en darse cuenta de lo falso de esta hiptesis. Desde lo alto de la Torre de Pisa dej caer, desde la misma altura, dos esferas de igual tamao pero de diferente peso, ambas cayeron el mismo tiempo. (Si no lo crees toma dos objetos de diferente peso y djalos caer desde una misma altura)

Galileo estudi las causas del movimiento pero fue Newton (1641 1727) quin les dio forma y las compil en tres principios a los que hoy llamamos principios de Newton.

Principios de Newton

Si para mantener un cuerpo en movimiento no hace falta una fuerza, entonces, qu se necesita?. La respuesta es: nada.

Si mueves el pi sobre el piso vas a sentir como "algo" se opone a ese deslizamiento. Si el piso est encerado ese "algo" disminuye en intensidad, hasta podramos imaginar una superficie tan encerada que esa resistencia desaparecera por completo. En esta situacin, luego de impulsarnos, nada nos detendra, seguiramos a velocidad constante y en lnea recta.

Hagamos un pequeo experimento.

Toma un papel, un lpiz y colcalos como muestra la figura. Tira fuerte del papel. Por qu no se mueve el lpiz del lugar?. Piensa que ests haciendo fuerza sobre el papel, al lpiz no lo tocas, Por qu debera moverse ?

Si no aplicamos una fuerza exterior a un cuerpo este permanece quieto o movindose a velocidad constante y en lnea recta. (M. R. U.)

Acabamos de enunciar el primer principio de Newton que se llama principio de inercia. Es a causa de este principio que al arrancar el colectivo sientes ese empujn hacia atrs.

Sigamos analizando el sistema papel - lpiz.

http://soko.com.ar/Fisica/Dinamica.htm (1 de 14)22/01/2005 12:12:51


Vuelve a armar el dispositivo. Mueve el papel lentamente; esta vez el lpiz se mueve tambin. A qu se debe este comportamiento?. Si tiras fuerte del papel el lpiz se queda en un mismo lugar, pero si tiras despacio el til de escritura acompaa al desplazamiento.

La clave de lo que sucede est en la fuerza que realizamos para sacar al papel. Tomemos un libro y coloqumoslo sobre el papel y repitamos la experiencia. Si tiramos con fuerza del papel el libro no se mueve, si tiramos despacio se mueve con l. Si colocamos varios libros sucesivamente sobre el papel llegar el momento en que, tirando suavemente de l, no podamos mover el sistema. Existe una interaccin entre la superficie de contacto del papel y la de los libros, existe una fuerza que se opone a este movimiento, esta fuerza se denomina friccin.

La friccin es la responsable que un cuerpo que est en movimiento sobre el suelo se detenga.

" Ya sea para arrancar, detener, acelerar o desacelerar una partcula siempre debemos aplicar una fuerza exterior a l ".

La fuerza y la aceleracin son dos magnitudes vectoriales directamente proporcionales, F ~ a. Matemticamente se necesita una magnitud constante para establecer una igualdad, fsicamente esa constante es la masa del cuerpo: F = m . a

Por supuesto que no siempre que apliquemos una fuerza podremos mover un cuerpo, si no trata de mover una pared . . .

Hagamos nuevamente un pequeo experimento.

Saluda a la persona que tengas al lado dndole la mano; el sistema mano mano no se mueve en direccin derecha o izquierda, por que en l intervienen dos fuerzas, una de cada mano. Estas fuerzas tienen la misma direccin, la misma intensidad (mdulo) pero sus sentidos son opuestos.

Tambin vemos este par de fuerzas (del mismo mdulo, igual direccin y sentidos opuestos) al aplaudir.

Nuestras manos se mueven en sentidos opuestos, chocan. En el momento del choque, cada mano hace fuerza sobre la otra. La superficie de la piel "reacciona" a esa fuerza con otra de igual intensidad, igual direccin y sentido opuesto. A una de ellas se la denomina accin a la otra reaccin.

Otro ejemplo, cuando estamos parados, a nuestro peso (accin) se opone la fuerza del piso que nos sostiene (reaccin), de otro modo se rompera y caeramos.



Resumiendo, siempre tenemos dos opciones: podemos o no aplicar una fuerza. Si no la aplicamos una fuerza exterior estamos frente al principio de inercia. Si la aplicamos una fuerza exterior, tambin tenemos dos posibilidades: el cuerpo puede moverse o quedarse quieto. Si se mueve, estamos frente al segundo principio de Newton, el principio de masa. En caso de que no se mueva estamos frente al tercer principio de Newton, el principio de accin y reaccin.

Al resolver un problema lo primero que debemos fijarnos es que principio se cumple.

Peso y masa: El peso de un cuerpo no es otra cosa que la fuerza de atraccin gravitacional ejercida por la Tierra; magnitud vectorial cuya direccin siempre es perpendicular al suelo y su sentido apunta hacia l. Si dejamos un cuerpo en el aire, el peso lo har caer y la aceleracin que experimenta es la gravedad, lo que implica que debemos aplicar el segundo principio de Newton para poder calcular su magnitud.

La fuerza ejercida es el peso ( P) que suplantar a F en la frmula, mientras que la aceleracin g har lo correspondiente con a.

Entonces en vez de F = m . a tendremos P = m . g

La masa se mide en kilogramos y la fuerza tambin, pero aunque la unidad de cada magnitud se escuche parecido resultan muy diferentes una de otra, no debemos confundirlas.

Un kilo de masa (1 Kg.) pesa en nuestro planeta un kilo, pero en el espacio su peso se reduce a medida que se aleja de la superficie de la Tierra. El peso de un cuerpo depende de la distancia que se encuentre de este planeta, de su masa y la masa terrestre, como lo expresa Newton con su famosa ley de atraccin gravitacional universal

En esta ecuacin m y m' representan a las masas de los cuerpos, d a la distancia en que se encuentran y F a la fuerza de atraccin (el peso en nuestro caso).

Si nuestro planeta variara en su cantidad de masa nosotros variaramos en nuestro peso, de igual manera al aumentar o disminuir nuestra masa corporal aumentamos o disminuimos de peso.

Para diferenciar el kilogramo masa del kilogramo fuerza se lleg a un acuerdo, se escribe Kg. cuando se habla de masa y Kgr. al referirnos al kilogramo fuerza.



Cunto pesa 1 Kg.?

Utilicemos el principio de masa con el valor de la aceleracin de la gravedad 10 m/seg.2

P = m . g = 1 Kg. 10 m/seg 2 = 10 Kg. m. seg.- 1 N (Newton) (es como se llama a esta unidad de fuerza.)

El sistema de medicin que utiliza al Newton como unidad de fuerza se denomina M.K.S. (metros, kilogramos, segundos)

De esa manera queda establecido que 1Kgr. = 10 N

Fuerza: Todos tenemos una nocin intuitiva de fuerza. Sabemos que para sostener un cuerpo debemos hacer un esfuerzo, al que llamamos "fuerza" y admitimos que esa fuerza tiene por objetivo equilibrar la que ejerce el cuerpo como consecuencia de su peso.

Ahora extiende tu brazo y presiona sobre la pared ms cercana; hacer fuerza con el brazo extendido nos permite ver los elementos que encontramos dentro de las fuerzas (por supuesto que estos atributos son imaginarios). Con un color sealamos la recta a la que pertenece la fuerza que hacen los brazos de este hombre (La recta es la direccin de la fuerza que ejerce el hombre), la flecha indica el sentido (hacia donde hace la fuerza). En el lenguaje cotidiano direccin y sentido son sinnimos pero la fsica tiene sus propios cdigos y aqu estos dos trminos son muy distintos.

Si pegamos a un objeto delicadamente hacemos menos fuerza que si le pegamos con rabia, la cantidad de una fuerza vara. El mdulo indica solamente la cantidad de fuerza que se hace sin importar el sentido que ella tenga.

Entonces, qu elementos encontramos en una fuerza?

"Direccin, sentido y mdulo."Casualmente hay un elemento matemtico que tiene esos mismos elementos, es el " vector ".Vemos la relacin existente entre la matemtica y la fsica.

Hablemos de las fuerzas colineales: llevan ese nombre las fuerzas que poseen igual direccin pero



no necesariamente el mismo sentido.

Deja en la mesa la birome y con el dedo ndice empjala desde un extremo, vas a ver que se mueve. Ahora si la empujas con el dedo ndice de cada mano sobre el mismo extremo. Cada dedos hace fuerza con igual direccin y igual sentido, resultando, de ambos, una fuerza mayor que antes. De esa manera podemos indicar que: "las fuerzas de igual sentido se suman"

Coloca los dos dedos ndices en cada extremo y haz fuerza. La fuerza resultante en este caso es menor que la hecha por cada dedo. Si comparemos la direccin de cada fuerza, siguen siendo la misma , pero sus sentidos son opuestos. De esa manera podemos indicar que: " las fuerzas de sentidos opuestos se restan "

Aqu necesitamos destacar un principio importantsimo en fsica "los signos indican sentidos" .

As que si dos fuerzas van a la izquierda podramos decir que son negativas y si van a la derecha, diremos que son positivas. (Atencin, la eleccin positiva o negativa de los sentidos es arbitraria)

En nuestra vida cotidiana las fuerzas pueden ser colineales, paralelas o secantes (las que se cortan en un punto). Como son fuerzas, pueden ser representadas por vectores.

Hay varias formas de hallar la resultante, veamos la forma grfica:

Mtodo del Paralelogramo: Qu caractersticas tiene un paralelogramo? Sus lados opuestos son paralelos y de igual longitud.

Para hallar la resultante sigue los pasos siguientes:

1.- Traza las rectas paralelas a cada fuerza, por sus extremos (con lneas punteadas )

2.- Une con una lnea el punto de interseccin de las paralelas y el punto de origen de las fuerzas. (Esa es la resultante, no olvidar que es una fuerza por consiguiente un vector)

3.- Calcula el valor de la resultante.

Mtodo Poligonal: Deriva del mtodo anterior, pero es ms fcil para trabajar con varias fuerzas.



Para hallar la resultante sigue los pasos siguientes:

1.- Traza la rectas paralelas a F 2 desde el extremo de F 1 (con lneas punteadas)

2.- Toma la medida de esa fuerza y desde su extremo (flecha del vector) traza la siguiente

3.- Un con una lnea el extremo de la ltima fuerza con el punto de origen de las fuerzas. (Esa es la resultante, no olvidar que es una fuerza por consiguiente un vector)

4.- Calcula el valor de la resultante.

Si hay ms de dos fuerzas se traza una fuerza detrs de la otra (ojo con la direccin de cada una); cuando se dibuj la ltima fuerza se traza la resultante desde el punto de origen de las fuerzas hasta el extremo de la ltima fuerza.

Mtodo Analtico: (sumatoria de fuerzas)

En este preciso instante existen fuerzas actuando sobre tu cuerpo y no te das cuenta. Si intentas saltar la fuerza de gravedad va obligar a volver al piso. No hay manera de escapar a su influencia, al menor en cualquier punto de la superficie de nuestro planeta. Toma una birome (cualquier objeto sirve), levntala con la mano. Si sueltas la birome caer sobre la mesa (o alguna superficie horizontal). El peso es el responsable de su cada pero por qu se detuvo? qu la detuvo?. Al analizar los principios de dinmica vimos que lo nico que puede acelerar o detener un cuerpo es una fuerza externa al sistema. Por lo que debemos suponer que la mesa "hizo fuerza" para detener la cada de la birome. Los slidos tienen la capacidad de "hacer fuerza"!.

Hagamos un simple experimento, para ello necesitamos tres monedas (pueden ser fichas). Pongamos un moneda sobre la mesa bajo nuestro dedo ndice,

asegurndonos que no se pueda mover. Coloquemos otra moneda a su lado de manera que estn en contacto. La tercera moneda sala para golpear, de costado, a la que est sujeta a tu dedo. Su compaera

saldr disparada alejndose de tu ndice. Si le pegas a la moneda que tienes en tu dedo, desde arriba, no sucede nada.

Por qu si pegas de costado la moneda se mueve y si pegas desde arriba no? ...



Siempre que intervengan fuerzas en un sistema (sobre un cuerpo o no) necesitaremos aplicar los principios de dinmica.

Si aplicamos una fuerza de costado (cuando la moneda choca la que tu sostienes), la moneda que est bajo tu dedo no se mover debido a la accin de fuerza de rozamiento que hay entre la moneda; tu dedo y la superficie de la mesa (hay una fuerza de rozamiento en cada cara de la moneda) este fenmeno es explicado por el principio de accin y reaccin. Pero la otra moneda, la que est libre puede moverse pues no hay fuerza que se oponga (el rozamiento entre la moneda y la superficie de la mesa no es suficiente).

Es importante destacar que por ms fuerte que apretemos el dedo contra la moneda, sta no se va a mover ( principio de accin y reaccin ); debe existir una fuerza de la misma direccin, mismo mdulo

que la suma de la fuerza de tu dedo y el peso de la moneda, pero sentido contrario. sta fuerza siempre tendr direccin perpendicular al suelo. Una recta perpendicular a otra se denomina "normal", es por eso que a esta fuerza se la denomina "fuerza normal".

Fuerza de rozamiento: La fuerza de rozamiento, tambin llamada friccin, surge de la relacin entre la naturaleza de la superficie (del piso para poner un ejemplo) y la reaccin de esa superficie al peso ( a la proyeccin del peso si es un plano inclinado).

Debemos hacer una distincin entre la fuerza de rozamiento de un cuerpo esttico y la friccin de un cuerpo en movimiento. La fuerza de rozamiento esttica (cuerpo quieto) es mayor que la que acta



sobre un cuerpo en movimiento. Se necesitan ms personas para empujar un auto parado que para llevarlo una vez que arranc.

Matemticamente la fuerza de rozamiento y la reaccin del piso son directamente proporcionales, para establecer una igualdad se necesita una constante, el valor constante de la proporcin est determinado por el coeficiente de rozamiento (). Por supuesto que el coeficiente esttico (e) es mayor, numricamente, que el coeficiente dinmico (d). e > d .

F r = . N(Se denomina normal (N) a la reaccin del piso a todas las fuerzas que actan sobre esa superficie)

Cantidad de Movimiento: Al aplicarse una fuerza es evidente que la velocidad de un cuerpo cambia, cambia "la cantidad de movimiento" de ese cuerpo, y la cantidad de movimiento puede medirse fsicamente.

Tenemos un cuerpo que tiene una masa m, (valor escalar) el que adquiere una velocidad determinada al aplicrsele una fuerza exterior. La masa y la velocidad resultan ser inversamente proporcionales ya que, a igual magnitud de fuerza, si la masa aumenta al doble su velocidad se reducir a la mitad. Expresado de una manera ms sencilla, si empujamos al mouse adquirir mayor velocidad que si empujamos, con la misma cantidad de fuerza, a la CPU.

Al ser inversamente proporcionales, la masa y la velocidad se multiplican para obtener un valor constante. La velocidad es un vector mientras que la masa una magnitud escalar, matemticamente al multiplicar un vector por un escalar obtendremos otro vector. Fsicamente ese vector producto entre la masa y la velocidad se denomina cantidad de movimiento y se lo designa con la letra p:

La segunda ley de Newton fue expresada en base a la variacin de la cantidad de movimiento en funcin del tiempo, es decir que si se aplica una fuerza exterior a un cuerpo este experimentar una variacin de cantidad de movimiento a medida que transcurre el tiempo.

F = p / t (como p = m . v) F = (m . v) / t (m es una constante, por lo tanto slo la velocidad puede variar)

F = m . v / t (recordando que a = v / t ) tenemos que: F = m . a

La variacin de la cantidad de movimiento se conoce con el nombre de mpetu, que se designa con la letra I.

"I = p"

De esa manera tenemos que F = / t (despejando) I = F . t.



Colisin (Choque): Imaginemos a dos machos cabros con sus imponentes cornamentas, enfrentados en un combate por un territorio repleto de hembras. Los dos magnficos animales se levantan sobre sus patas traseras "impulsndose" para descender a topetazos sobre su oponente. Este violento encuentro ilustra perfectamente la situacin de una colisin donde actan fuerzas externas relativamente grandes durante un tiempo estimativamente corto.

Como podemos determinar la posicin de cada animal durante todo el proceso, podemos tratarlos fsicamente como si fueran partculas.

Si bien la idea bsica de una colisin es que, en movimiento o quietas, dos o ms partculas (o por lo menos una de ellas) cambian bruscamente su direccin, lo que es muy evidente es el cambio de velocidad que experimentan las partculas involucradas antes y despus del choque..

Durante la colisin la fuerza vara de una manera tan compleja que resulta muy complicada medirla. Estas fuerzas, denominadas impulsivas, actan durante un brevsimo instante.

Lo que hay que estacar es que la cantidad de movimiento se mantiene constante.

La cantidad de movimiento, como se ha visto, es el producto entre la masa y la velocidad. As que tendremos la cantidad de movimiento de cada partcula antes y despus del choque, la cantidad total de movimiento (la suma de las cantidades de movimientos de ambos cuerpos) sern iguales antes y despus de chocar.

Si ambas partculas quedaran "adheridas" en un solo cuerpo en movimiento, el choque se denominar plstico. Pero si rebotaran separndose, el choque se designar con el nombre de elstico.

Choque plstico: ma .va + mb vb = v (ma + mb)

Choque elstico: ma .va + mb vb = ma .va + mb vb

Ejercicio Explicado:

F Una bala de 0,05 kg. masa se desplaza con una velocidad de 350 m/seg. cuando impacta sobre un bloque de madera, de 0,36 Kg. de masa, incrustndose en l. a) Hallar la velocidad con que se mueve el sistema luego del choque.

Solucin: Al impactar la bala queda incrustada dentro del bloque de madera, por lo cual podemos suponer despus del impacto ambos cuerpos se desplazan juntos. Estamos frente a un choque plstico, en el cual, antes del choque, la bala se encuentra movindose mientras que el bloque est quieto (velocidad inicial cero).

Datos: v bala = 350 m/seg, m bala = 0,05 kg, v madera = 0 m/seg., m madera = 0,36 Kg.



Incgnita: v.

= ?. (velocidad bala madera).

Apliquemos la ecuacin del choque plstico y reemplacemos por sus respectivos valores.

m bala .v bala + m madera v madera = v (m bala + m madera) 350 m/seg . 0,05 Kg + 0 = v (0,41 Kg)

v = 42,683 m/seg.

Plano Inclinado: Los movimientos rectilneos en la vida real no se producen sobre superficies planas; aunque el piso as lo parezca no lo es pues pertenece a una superficie curva. Lo que sucede es que esta porcin es tan pequea comparada con la de nuestro planeta que la vemos plana.

Reduzcamos el problema analizando los movimientos sobre curvas y rectas en vez de superficies.

Pequeos segmentos consecutivos (con distinta direccin), todos juntos, darn la impresin de formar una curva. A la inversa, si tenemos una pequea porcin de una curva la veremos recta, la direccin de esta coincidir con la recta tangente en ese punto.

Si necesitamos analizar un movimiento sobre una superficie inclinada (como la de una colina) podemos simplificar la dificultad de nuestro trabajo considerando toda la superficie como plana, y tomar una seccin transversal, de esa manera estudiamos lo que sucede como si fuera un movimiento rectilneo. Para ello utilizamos el plano inclinado que no es otra cosa que un tringulo rectngulo, donde por el lado ms largo (la hipotenusa) se desplaza el cuerpo.

Diagrama de Cuerpo libre : Al estudiar los distintos tipos de movimientos hacamos coincidir al eje x con el suelo en movimientos horizontales, mientras que para los verticales tombamos la lnea perpendicular al piso, el eje y.



Como ya se haba explicado, el peso es la fuerza gravitacional con que nos atrae la tierra hacia su centro. Esa direccin es perpendicular a la recta tangente de su superficie en cualquier punto, es por eso que el peso se dibuja como un vector perpendicular al piso.

Como la recta perpendicular al suelo tiene la misma direccin que el eje y, podemos superponer al vector peso con este eje de manera que P se ubique sobre el eje y. Por supuesto que la reaccin de esta superficie al peso, la fuerza normal, tambin la encontramos sobre el eje y. Anlogamente, cualquier fuerza que desplace (acelerando o frenando) horizontalmente al cuerpo puede ubicarse sobre el eje x.

Todas las fuerzas que acten sobre un cuerpo pueden representarse sobre un eje de coordenadas. Se denomina diagrama de cuerpo libre al eje de coordenadas donde estn "dibujadas" todas las fuerzas que actan sobre un cuerpo (sin ser necesario dibujar al cuerpo).

Si tenemos ms de un cuerpo en un sistema, tendremos que hacer un diagrama de cuerpo libre para cada uno.

Supongamos que la fuerza aplicada sobre el cuerpo no tuviera la misma direccin del eje x o del eje y. Tenemos una fuerza "F" que se encuentra formando un ngulo con el suelo; como el eje x es paralelo al piso, F y el eje x tambin forman un ngulo cuya amplitud es .

Hagamos el diagrama de cuerpo libre:

Tracemos rectas paralelas a los ejes que pasen por el pice (extremo) de F, de esa forma tendremos los componentes de la fuerza F sobre los ejes de coordenadas, Fx y Fy.

Entre los tres vectores (F, Fx y Fy) queda formado un tringulo rectngulo donde F es la hipotenusa, Fx es el cateto adyacente respecto de y Fy es el cateto opuesto, por lo tanto utilizando las funciones trigonomtricas tenemos:



De esa manera podemos analizar la accin de una o ms fuerzas sobre un cuerpo y ubicarlas en un diagrama de cuerpo libre para estudiar sus efectos.

Cuerpos Vinculados: En un problema cualquiera se debe hacer el diagrama de cuerpo libre para cada uno de los cuerpos involucrados indicando las fuerzas que actan en cada uno de ellos. Pongamos un ejemplo para que podamos entender que es lo que ocurre.

Ac tenemos dos cuerpos de distintas masas. Slo con ver el sistema sabemos que: m1 es el menor; sobre m2 acta una fuerza.

Como existe una cuerda que los une tendremos fuerzas a las que denominaremos tensiones. Por supuesto que cada uno tiene su peso y ste est

equilibrado por una normal. Dibujemos el sistema con todas las fuerzas que actan en l.

Por el principio de masa tenemos que P = m . g (ver principio de masa). La reaccin al peso de la superficie donde se mueve el sistema es la normal de cada uno de los cuerpos. Aunque est de ms decirlo, ambas normales tienen mdulos diferentes pues dependen del valor del peso de cada cuerpo.

Sobre el cuerpo m2 acta una fuerza y la cuerda ejerce otra fuerza sobre el cuerpo m1 a la que llamaremos tensin. El "tirn" de la cuerda provoca una reaccin sobre m2 que posee la misma direccin, el mismo mdulo pero sentido contrario que la tensin, por lo tanto se anulan entre s. Como la reaccin a esta tensin tiene sentido contrario su signo es negativo (signos indican sentidos).

Hagamos el diagrama de cuerpo libre para cada cuerpo:



Analicemos las acciones de las fuerzas sobre cada eje:

Eje x: T = m1 . a * Eje x: F T = m2 . a *

Eje y: N1 P1 = 0 ^ Eje y: N2 P2 = 0 ^

* Como sobre el eje x pueden moverse aplicamos el principio de masa (siempre y cuando no se muevan a velocidad constante)

^ Como sobre el eje y no pueden moverse la sumatoria de las fuerzas es cero.

Tomemos las ecuaciones de los ejes que pueden desplazarse con libertad (eje x en este caso) y summoslos miembro a miembro:

(se despeja lo que se deba despejar)

Ahora que ya has terminado con la parte terica puedes hacer ejercicios del tema:

Ejercicios Explicados de Dinmica:

F Una persona est parada sobre una balanza ubicada sobre el piso de un ascensor que se mueve hacia arriba con velocidad constante; en esas condiciones la balanza indica 80 kilos. Cul ser la indicacin de la balanza (en kilogramos) cuando el ascensor comienza a frenar, para detenerse, con una aceleracin de 2 m/seg.2?



Solucin: Consideramos que el peso de la persona es 80 kilogramos ya que al moverse con velocidad constante la sumatoria de fuerzas sobre el sistema hombre ascensor es nula; de esa forma es lcito pensar que el peso (que es lo que marca la balanza) es contrarrestado por la reaccin del piso (tercer principio de dinmica).

En el momento en que empieza a frenar el sistema, el cuerpo tiende a seguir en movimiento ya que frena el ascensor pero no la persona (principio de inercia). La fuerza supuesta "impulsora" del hombre est determinada por su masa y la aceleracin de frenado. Este fenmeno se percibe en la balanza "pareciendo" que la persona "pesa" menos, siendo el valor que aparece en el aparato la "resta" entre ambas fuerzas.

F balanza = P Fac. Fb = P m ac Fb = P P/g ac

F b = 80 Kgf 16 Kgf = 64 Kgf.

P = m . g m = P/g

Ejercicios de Dinmica.

24 de Febrero 2002


Apuntes de Trabajo Mecnico

Trabajo Mecnico: Autora: Silvia Sokolovsky

El trabajo mecnico es una magnitud escalar que depende del mdulo de una fuerza aplicada sobre un punto material y el desplazamiento que esta le produce.

Tomemos una partcula de masa "m" la que se encuentra en reposo y apliqumosle una fuerza exterior. Esta fuerza produce es una variacin en la velocidad, una variacin en la cantidad de movimiento de la partcula en funcin del tiempo.

Cada vez que se aplica una fuerza exterior sobre un cuerpo y este vara su cantidad de movimiento en funcin del tiempo, este se desplaza. De esta manera podemos buscar una relacin entre la fuerza aplicada y el desplazamiento producido sin olvidarnos que

son vectores.

Para que podamos entender mejor lo que sucede presupongamos que queremos detener un cuerpo que se halla en movimiento. Presupongamos que al aplicar una fuerza de 10 N el cuerpo se desplaza 100 m hasta detenerse. Si duplicamos la fuerza qu sucede con la distancia recorrida ?

Al aumentar al doble la fuerza el desplazamiento se reduce a la mitad por que la fuerza exterior aplicada y el desplazamiento son inversamente proporcionales. Matemticamente implica que ambas magnitudes deben multiplicarse. El producto escalar de ambos vectores se denomina "trabajo mecnico."

Mientras se realiza trabajo sobre el cuerpo, se produce una transferencia de energa al mismo, por lo que puede decirse que el trabajo es energa en movimiento. Las unidades de trabajo son las mismas que las de energa.

La unidad de trabajo en el Sistema Internacional de Unidades es el julio (suele conocerse como Joulle), que se define como el trabajo realizado por una fuerza de 1 newton a lo largo de un metro. El trabajo realizado por unidad de tiempo se conoce como potencia. La potencia correspondiente a un julio por segundo es un vatio (watt) " N. m = J "

Que sucede cuando el cuerpo se acelera debido a la fuerza aplicada?. Sencillamente sumamos los trabajos parciales, lo que en la realidad no es muy sencillo si ambos varan con frecuencia. Para comprender mejor el procedimiento grafiquemos la variacin de "F . cos " respecto a "r ".

Podemos calcular el trabajo mecnico en estas condiciones tomando pequeas porciones de rea

http://soko.com.ar/Fisica/trabajo_mecanico.htm (1 de 5)22/01/2005 12:13:55


rectangular donde la base est representada por r (desplazamiento) y la altura corresponde a "f . cos " (la proyeccin de la fuerza)

Como se ve en cada rectngulo posee un rea mayor, representado por , y un rea menor El valor del trabajo correspondera aproximadamente a un valor intermedio entre ambas superficies.

La sumatoria de esta reas elementales nos dar el valor del trabajo mecnico.

El sumar reas elementales lleva implcito un proceso matemtico denominado "integracin". Si tomamos r cada vez menor, tendiendo a cero (r 0) aplicando lmite tendremos:

.

De all que al ser el trabajo (L) la sumatoria de las reas elementales (A) tenemos que:

Energa Cintica: Al aplicar una fuerza exterior sobre un cuerpo, este se acelera. F = m . a (1)

La aceleracin produce variacin de velocidad: (2)

Al variar la velocidad la "cantidad" de espacio recorrido (x) en funcin del tiempo aumenta (si el movimiento es acelerado) o disminuye (si es desacelerado) :

(3)

Si analizamos el trabajo mecnico (mximo) que realiza una fuerza sobre un cuerpo tendremos:



suplantamos por (1) L = m a x

suplantamos por (2) y por (3)

simplificamos t y multiplicamos (mediante distributivas) las velocidades

L = Esta expresin la denominaremos energa cintica

De esta manera se puede afirmar que si en el trabajo mecnico hay variacin de velocidad tambin habr variacin de energa cintica: Teorema de la variacin de energa: L = EC

En este teorema se expresa la relacin entre trabajo y energa, la energa se mide en la misma unidad.

Fuerzas Conservativas y no Conservativas: Imaginemos que tenemos un resorte de masa despreciable sujeto por uno de sus extremos a una pared y un bloque de masa m; ambos en el piso de manera que si impulsamos al bloque, este se dirigir hacia el resorte con una velocidad constante v (ya que para facilitar nuestro anlisis consideremos que la fuerza de rozamiento entre el bloque y el piso es nula). As que la nica fuerza exterior que acta sobre el movimiento de este cuerpo proviene del resorte.

A medida que el bloque va comprimiendo al resorte su velocidad (y energa cintica) disminuye hasta detenerse. Aplicando la Ley de Hooke (F = k. x) podemos calcular la compresin que se

produce. Despus de esto el bloque invierte el sentido de su movimiento y, con igual direccin, va ganando velocidad a medida que el resorte vuelve a su longitud original; en ese momento el bloque tiene la misma velocidad (signo opuesto) que tena antes de comprimir al resorte.

El bloque pierde energa cintica durante una parte de su movimiento pero la recupera totalmente cuando regresa al punto de partida. Hay que recordar que la variacin de la energa cintica indica que existe trabajo mecnico; es claro que, al trmino de un viaje de ida y vuelta, la capacidad del bloque para hacer trabajo permanece igual; ha sido conservada.

La fuerza elstica ejercida por el resorte ideal y otras fuerzas que se comportan de la misma manera,



se las denomina fuerzas conservativas.

La fuerza de gravedad es la tpica representante de las fuerzas conservativas ya que si lanzamos un objeto hacia arriba (para el cual la resistencia del aire sea despreciable), regresa a nuestras manos con la misma energa cintica con la que parti.

Sin embargo, si una partcula sobre la que actan una o ms fuerzas regresa a su posicin inicial con ms energa cintica o con menos de la que tena inicialmente, resulta que en ese viaje de ida y vuelta su capacidad de producir trabajo mecnico vara. Podemos suponer que al menos una de las fuerzas actuantes es no conservativa. La fuerza de rozamiento es el tpico ejemplo de una fuerza no conservativa.

Resumiendo: Una fuerza es conservativa si el trabajo efectuado por ella (en el viaje de ida y vuelta) es cero. Una fuerza es no conservativa si el trabajo efectuado por ella (en el viaje de ida y vuelta) es distinto de cero.

Energa Potencial: En nuestra experiencia cotidiana, al lanzar un objeto verticalmente hacia arriba, por ejemplo una piedra, observamos que a medida que va subiendo su velocidad disminuye hasta

llegar a ser nula (cero) en el punto ms alto de su trayectoria.

Como el sistema tierra piedra es un sistema conservativo, la energa mecnica se mantiene constante durante el ascenso.

Tomemos dos posiciones cualesquiera a diferente altitud, y1 ms bajo que y2. Si llamamos v1 a la velocidad del objeto en la posicin y1 y v2 a la velocidad en y2 ; tenemos que v1 > v2 . Como la energa cintica es directamente proporcional al cuadrado de la velocidad podemos indicar que EC1 > EC 2.

Dijimos que el sistema es conservativo, entonces, dnde est la energa faltante?.

Existe un principio llamado "principio de conservacin de la energa" que nos indica que la energa no se crea ni se destruye. Es evidente, entonces, que a medida que la energa cintica va diminuyendo otra clase de energa tiene que aparecer para que la energa del sistema se mantenga constante, a esa energa se la denomina energa de configuracin, ms conocida con el nombre de energa

potencial; designaremos a la energa potencial con la letra U.

De esta manera podemos afirmar que la energa mecnica en la posicin es y1 es EC1 + U y en la posicin y2 tenemos que EC2 + + U =

Como el sistema es conservativo asumimos que:

EC1 + U = EC2 + U



Como v1 > v2 tenemos que EC < 0. teniendo en cuenta que

adems EC = L. U = L.

Recordemos que: .

El desplazamiento, lgicamente, ser la diferencia entre las dos posiciones:

La fuerza empleada depende de la masa del cuerpo y de la aceleracin de la gravedad, as que podemos utilizar: m . g = P. Tenemos que la fuerza actuante sobre el cuerpo es su propio peso.

L p = P . Cos 180 (y2 y1) L P = P. (y2 y1)

Como tenemos que U = L p y L p = P. (y2 y1)

U = [ P.(y2 y1)]

U = P. (y2 y1)

U = P y2 P y1.

De esa manera podemos expresar a la energa potencial como: U = P . y (quizs no sea necesario pero aclaro que y es la posicin vertical del cuerpo)

Suele designarse a la energa potencial tambin de la siguiente forma: E p.

Ejercicios

Octubre 2002


Apuntes de Ley de Gravitacin Universal

Ley de Gravitacin universalAutora: Silvia Sokolovsky

La fuerza de atraccin gravitacional es la fuerza con que la Tierra nos atrae hacia el suelo, es la culpable de que, al perder el equilibrio, nos vayamos de bruces al piso. Podemos medirla sencillamente al pararnos en una balanza.

Esa extraa fuerza que retiene nuestros pies sobre la superficie no es otra cosa que el peso.

Hasta el siglo XVII la tendencia de un cuerpo a caer al suelo era considerada como una propiedad inherente a todo cuerpo por lo que no necesitaba mayor explicacin.

A primera vista parecera que el girar de los planetas alrededor del Sol y la cada de una manzana de un rbol poco tienen en comn, sin embargo Isaac Newton intuy que se trataba de dos manifestaciones de un mismo fenmeno fsico. A la edad de 23 aos, en un receso escolar debido a una epidemia desatada donde l estudiaba, se inspir al ver caer una manzana desde un rbol a la tierra. Se le ocurri comparar la fuerza que atraa a la manzana y la que deba atraer a la luna hacia la tierra; consider que las aceleraciones producidas por dichas fuerzas deberan tener un mismo origen. La simple idea de que los movimientos celestes y terrestres estuvieran sujetos a leyes semejantes era un reto temerario a romper la tradicin Aristotlica que

imperaba en aquella poca.

La aceleracin de la manzana al caer ya la sabemos, es la aceleracin de la gravedad. As que ac (m) = g = 9,8 m/seg2

Si la misma fuerza de atraccin que hace caer la manzana acta sobre la luna por qu no cae?. Simplemente por que la luna gira produciendo una fuerza centrfuga que equipara a la fuerza de atraccin gravitacional.

La aceleracin de la luna puede ser calculada conociendo su perodo, y el radio de su rbita. Para tal fin consideremos a su rbita como circular. La luna tarda 27,3 das (2,36.106 seg.) en dar una vuelta completa y se encuentra a 378000 Km. de distancia de la superficie de nuestro planeta, el radio de giro deber considerarse sumando el radio terrestre (6360 Km. aproximadamente) y la distancia antes mencionada r = 3,85.108 m. Utilicemos las ecuaciones del movimiento circular uniforme.

"ac = 2.r" y " = 2pi/T " "ac = (2pi/T)2. r"

(suplantamos con los valores T = 2,36 . 106 seg. r = 3,85. 108 m)

http://soko.com.ar/Fisica/ley_de_grav.htm (1 de 4)22/01/2005 12:14:28


ac (L) = (2pi/2,36.102 seg.)2 . 3,85 . 108 m = 2,722. 10 3 m/seg2.

Ahora que sabemos ambos valores comparemos la aceleracin de la manzana con la aceleracin de la luna.

Quiere decir que la aceleracin de la gravedad es 3600 veces mayor que la aceleracin que experimenta la luna.

Comparemos la relacin que hay entre los radios de rotacin de la luna y la manzana.

Quiere decir que el radio de giro de la luna es 60 veces mayor que el de la manzana.

Observando detenidamente vemos que 602 = 3600 (reemplazando tendremos)

Lo que indica que "la aceleracin es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia".

ac. r2 = Cte.

Basndonos en el segundo principio de dinmica "F = m . ac" podemos (despejando y ac y suplantando en la ecuacin anterior) afirmar que "la fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia y directamente proporcional a la masa del cuerpo"

Tanto en el caso de la manzana como en el de la luna la masa de la tierra juega un papel importante, ya que la interaccin de cada uno de estos cuerpos con nuestro planeta produce la fuerza de atraccin.

Imaginemos dos mundos paralelos, en el primero encontramos a la Tierra y a la manzana, en el



segundo, en vez de la fruta est nuestro satlite natural exactamente en la misma posicin que la manzana de manera que en ambos casos las distancias son iguales. El objetivo de este experimento imaginario es conseguir la misma fuerza de atraccin para ambos casos; para ello la masa de los dos cuerpos quedar fija mientras que la masa terrestre podr variar segn nuestra voluntad.

Analicemos el sistema Tierra Luna (T L):

Si queremos lograr la misma fuerza de atraccin que en el sistema manzana Tierra (T m), la Tierra (L T) deber achicarse. La masa lunar obliga a disminuir la masa de nuestro planeta para que el producto entre ambas masas, en ambos sistemas, sea la misma. "mT . mL = mm . mT" ya que las masas son inversamente proporcionales entre s.

Por lo que podemos afirmar que la fuerza de atraccin gravitatoria es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre los dos cuerpos msicos que se atraen entre si; y es directamente proporcional al producto de sus masas.

Para establecer matemticamente la igualdad debemos establecer un valor constante, esa constante se la designa con la letra G cuyo valor es 6,67.10-11 m3/kg. seg2.

Como G es tan pequea las fuerzas gravitacionales entre dos cuerpos sobre la superficie de nuestro planeta son extremadamente pequeas y por lo tanto su valor es despreciable para fines prcticos.

La constante G no debe ser confundida con "g" que es la aceleracin de la gravedad la cual es un vector y no es una constante y mucho menos universal.

As que la fuerza de atraccin universal se expresa de la siguiente manera:

En la ley de gravitacin universal est implcita la idea de que la fuerza entre las dos partculas es independiente de la presencia de otros cuerpos. Dicho de otra manera, la fuerza actuante se dar entre cada dos partculas. De haber ms partculas debe calcularse las fuerzas por pares y despus sumarlas vectorialmente.

La fuerza gravitacional sobre un cuerpo es proporcional a su masa, una consecuencia importante de esta proporcionalidad es que podemos medir una masa midiendo la fuerza gravitacional ejercida sobre ella, o sea pesndola.



Octubre 2002


Apuntes Gases Ideales: Fsica - Qumica

Gases IdealesAutora: Silvia Sokolovsky

La materia puede presentarse en tres estados: slido, lquido y gaseoso. En este ltimo estado se encuentran las sustancias que denominamos comnmente "gases".

Ley de los gases Ideales

Segn la teora atmica las molculas pueden tener o no cierta libertad de movimientos en el espacio; estos grados de libertad microscpicos estn asociados con el concepto de orden macroscpico. Las libertad de movimiento de las molculas de un slido est restringida a pequeas vibraciones; en cambio, las molculas de un gas se mueven aleatoriamente, y slo estn limitadas por las paredes del recipiente que las contiene.

Se han desarrollado leyes empricas que relacionan las variables macroscpicas en base a las experiencias en laboratorio realizadas. En los gases ideales, estas variables incluyen la presin (p), el volumen (V) y la temperatura (T).

La ley de Boyle - Mariotte relaciona inversamente las proporciones de volumen y presin de un gas, manteniendo la temperatura constante: P1. V1 = P2 . V2

La ley de Gay-Lussac afirma que el volumen de un gas, a presin constante, es directamente

proporcional a la temperatura absoluta: *

La ley de Charles sostiene que, a volumen constante, la presin de un gas es directamente

proporcional a la temperatura absoluta del sistema: *

* En ambos casos la temperatura se mide en kelvin (273 K = 0C) ya que no podemos dividir por cero, no existe resultado.

De las tres se deduce la ley universal de los gases:

Teora Cintica de los Gases

El comportamiento de los gases, enunciadas mediante las leyes anteriormente descriptas, pudo explicarse satisfactoriamente admitiendo la existencia del tomo.

http://soko.com.ar/Fisica/Gases_ideales.htm (1 de 4)22/01/2005 12:14:48

Apuntes Gases Ideales: Fsica - Qumica

El volumen de un gas: refleja simplemente la distribucin de posiciones de las molculas que lo componen. Ms exactamente, la variable macroscpica V representa el espacio disponible para el movimiento de una molcula.

La presin de un gas, que puede medirse con manmetros situados en las paredes del recipiente, registra el cambio medio de momento lineal que experimentan las molculas al chocar contra las paredes y rebotar en ellas.

La temperatura del gas es proporcional a la energa cintica media de las molculas, por lo que depende del cuadrado de su velocidad.

La reduccin de las variables macroscpicas a variables mecnicas como la posicin, velocidad, momento lineal o energa cintica de las molculas, que pueden relacionarse a travs de las leyes de la mecnica de Newton, debera de proporcionar todas las leyes empricas de los gases. En general, esto resulta ser cierto.

La teora fsica que relaciona las propiedades de los gases con la mecnica clsica se denomina teora cintica de los gases. Adems de proporcionar una base para la ecuacin de estado del gas ideal. La teora cintica tambin puede emplearse para predecir muchas otras propiedades de los gases, entre ellas la distribucin estadstica de las velocidades moleculares y las propiedades de transporte como la conductividad trmica, el coeficiente de difusin o la viscosidad.

Densidad de un gas

En un determinado volumen las molculas de gas

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