sistemas y leyes fisicas para modelar_v2
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Modelado de Sistemas Dinámnicos por Euler LagrangeTRANSCRIPT
Sistemas Dinámicos El t Si t LElementos, Sistemas y Leyes
Físicas para Modelar
Dr. Andrés Blanco Ortega
111
F li E l LFormulismo Euler-Lagrange
iQDLLdtd
iiii qqqdt
L = K - V
L: Lagrangiano
K: Energía cinética total del sistema
V: Energía potencial total del sistemaV: Energía potencial total del sistema
D: Disipación de energía
qi: Coordenada generalizada: cada grado de libertad del i t di t d d li d
2
sistema se expresa mediante una coordenada generalizada.
Qi: Fuerzas externas aplicadas al sistema
Grados de libertadGrados de libertad Es el número mínimo de coordenadas necesarias parap
establecer completamente el movimiento de un sistema.
3
Grados de libertadGrados de libertad
4
EnergíaE í d d fi id l id d Energía: puede ser definida como la capacidadde efectuar trabajo.
Cuando la energía proviene del movimiento de Cuando la energía proviene del movimiento dela partícula se llama energía cinética.
Cuando proviene de la posición de la partícula,p p p ,medida desde un punto fijo o plano dereferencia, se denomina energía potencial.
5
Formulismo Euler-Lagrange
6
Formulismo Euler-LagrangeFormulismo Euler-Lagrange
La energía cinética y potencial del péndulo es:222
21
21 mlJK cos1 mglmghV
La energía cinética y potencial del péndulo es:
1El lagrangiano del sistema es L=K-V: cos1
21 22 mglmlL
0sin0
lgLL
dtd
El lagrangiano del sistema es L K V:Finalmente el modelo matemático
del péndulo está dada por:7
ldtdel péndulo está dada por:
Sistema Péndulo - Resorte
8
Sistema carro-pénduloSistema carro-péndulo
Considere un carro que puede deslizarse en laq pdirección horizontal y que tiene acoplado un péndulo.El carro está acoplado a las paredes mediante dos
t t l firesortes, como se muestra en la figura.
9
Las energías cinética y potencial del sistemaLas energías cinética y potencial del sistemaestán dadas por:
222 1sin1cos1 xMlmlxmK 2
s2
cos2
xlmlxm
22
21
21cos1 kxkxmglV
11
10
22222 cos121cos2
21 kxmglxMlxlxmL
mlxmlxml
mlxmlL
dtd
L
sincos
cos2
2
mlxmM
mglxmlL
L
dt
cos
sinsin
k
mlmlxmM
mlxmM
LxL
dtd
x
2sincos
cos2
Finalmente las ecuaciones que rigen la dinámicadel sistema son:
kxxL 2
del sistema son:
02sincos
0sincos2
2
kllM
mglmlxml
11
02sincos 2 kxmlmlxmM
Sistema Masa-Resorte-AmortiguadorSistema Masa-Resorte-Amortiguador
12
Sistema barra horizontal-pénduloSistema barra horizontal-pénduloConsidere el sistemamecánico que consiste de unabarra horizontal de masa m,restringida a tener sólogmovimiento en la direcciónvertical. La barra se encuentrainterconectada con un péndulopde masa despreciable ylongitud l como se muestra enla figura. Determine el modelola figura. Determine el modelomatemático que rige ladinámica de este sistema.
13
Sistema de EmpaquetadoSistema de EmpaquetadoDetermine el modelo matemáticoque rige la dinámica de la máquinaque rige la dinámica de la máquinapara envolver cajas. El sistemaconsiste de un brazo (J, M) quegira un ángulo al aplicar ung g ptorque el cual es proporcionadopor un motor. En el brazo seencuentra montado el rollo demasa m (plástico que se utilizapara envolver las cajas), el cualpuede moverse en la dirección
ti l d bid l f Fvertical debido a la fuerza F.Consideré el amortiguamiento Centre el brazo y el piso, y elamortiguamiento c entre la cuerda
14
amortiguamiento c entre la cuerday el rollo.
Sistema de EmpaquetadoSistema de Empaquetado
15
Las energías cinética y potencial, y la disipación deí tá d denergía están dadas por:
22222
21
21
21 zmmdMaJK
222
mgzV 22
21
21 CzcD
El lagrangiano del sistema está dado por L=K-V:
mgzzmmdMaJL 22222 111
Las ecuaciones para las coordenadas generalizadas son:
mgzzmmdMaJL 222
DLL
dtd F
zD
zL
zL
dtd
1616
Los términos de la ecuación de Euler-Lagrange para ell i d l i t d t i dlagrangiano del sistema son determinados como:
mdMaJmdMaJL
dtd
2222 zm
zL
dtd
D
Ldt
0
zcD
mgzL
Finalmente las ecuaciones que rigen la dinámica delsistema son:
CD
zc
z
sistema son:
CmdMaJ 22
Fmgzczm
1717
Sistema de PoleasSistema de PoleasDetermine modelo matemáticodel sistema de poleas Eldel sistema de poleas. Elsistema consiste de una poleaque tiene una cuerda rígida yen sus extremos está acopladaen sus extremos está acopladaa dos resortes. Un resorte estaempotrado a una base fija y enl t t t l del otro resorte esta acoplado a
una masa (m1). La polea giraun ángulo cuando se aplica
t i dun torque , proporcionado porun motor.
18
Las energías cinética y potencial están dadas por:
22
21
2
1121
21
RkRkV
xmJK
El lagrangiano del sistema está dado por L=K-V:
222
1 22 RkRxkV
222
12
12
21
21
21
21 RkRxkxmJL
Las ecuaciones para las coordenadas generalizadas son:
LL
dtd
0
xL
xL
dtd
1919
Los términos de la ecuación de Euler-Lagrange para ell i d l i t d t i dlagrangiano del sistema son determinados como:
JLdtd
xmLd
RRkRRxkLdt
21
RxkzL
xmxdt
1
Finalmente las ecuaciones que rigen la dinámica delsistema son:sistema son:
221 RkRRxkJ
01 Rxkxm
2020
Sistema de Péndulo-Resorte-Amortiguadorg
Determine el modelo matemático del péndulo que se muestra enla figura La varilla rígida del péndulo de masa m se encuentrala figura. La varilla rígida del péndulo de masa m se encuentrafija en el punto 0. Posteriormente, determine la frecuencia delpéndulo, considerando ángulos de oscilación pequeño (sen= ycos=1) y b=0cos=1) y b=0.
21
• Las energías cinética y potencial, y la disipación deí tá d denergía están dadas por:
22
121 mLK
22
21
cos1
cos1sin21
LbD
mgLLkV
• El lagrangiano del sistema está dado por L=K-V:
22
11
• La ecuación para la coordenada generalizada es:
cos1sin21
21 2
122 mgLLkmLL
0
DLL
dtd
2222
• Los términos de la ecuación de Euler-Lagrange para ell i d l i t d t i dlagrangiano del sistema son determinados como:
2mLLdtd
coscos
sincossin 11
LLbD
mgLLLkL
• Finalmente la ecuación que rige la dinámica del sistemaes:
coscos 22 LLb
es:
0cossincossin 222
21
2 bLmgLkLmL
2323
Sistemas MecánicosSistemas Mecánicos
24
Robot de 2 gdl
25
Si t tSistema masa-resorteObtenga las ecuaciones que rigen la dinámica del sistema, y
li d i l ió id d l árealice un programa de simulación considerando los parámetrosdel sistema como:K1= K=4N/m, K2=3N/m, m1=6kg, m2=4kg.a) x1(0)=0.01m y x2(0)=0. 0095mb) x1(0)=0.01m y x2(0)=-0. 0157m
26
Sistema esfera-vigaSistema esfera-vigaEl sistema de la esfera-viga consiste en una esfera de masa my momento de inercia Jb, la cual puede rodar, siny b, p ,deslizamiento, en una viga de masa M y momento de inerciaJ. La viga esta empotrada en uno de sus extremos, y en elotro extremo se encuentra conectada a un eslabón el cualotro extremo se encuentra conectada a un eslabón el cualpermite controlar la posición angular de la viga, mediante untorque , como se muestra en la figura. Determine el modelomatemático que rige la dinámica del sistemamatemático que rige la dinámica del sistema.
27
La energía cinética del sistema está dado por:
2222
21
21
RrJrmmrJJT bb
y la energía potencial es:sinmgrV
Aplicando la ecuación de Euler-Lagrange para lasdos coordenadas generalizadas, q1=r y q2=. Elg q1 y q2 lagrangiano está dado por: L=T-V.
LLd 0
LLdrrdt
0
28
dt
ddt∂L∂
m Jb2 r d
dt∂L∂
J Jb mr2 2mrrdt ∂r R2
∂L∂r mr2 − mg sin
dt ∂ b
∂L∂
−mgrcos
El modelo matemático del sistema viga-esfera está dadopor el conjunto de ecuaciones diferenciales no lineales:
cos22 mgrrmrmrJJ
0sin22
mgmrr
RJm b
En forma matricial:
cos2 mgrrmrmrJJ b
0
cossin0
00
22
mgrmgr
rmrmrmrr
mrJJm
b
RJb
29
Sistema esfera-vigaSistema esfera-viga
30
Amortiguador pendularAmortiguador pendularDetermine el modelomatemático del sistemaamortiguador pendular que semuestra en la figura. Segconsidera que la masa M semueve sólo en la direcciónvertical y en la parte centraly ptiene acoplado un péndulo queoscila un ángulo φ�. Elpéndulo de longitud l tienepéndulo de longitud l tieneacoplado un amortiguadorrotacional con un coeficientede amortiguamiento viscoso c
31
de amortiguamiento viscoso c
Dr. Andrés Blanco Ortega
Sistema rotor-chumaceraSistema rotor chumacera Las fuentes más comunes de vibración en maquinaria rotatoria
son el desbalance desalineamiento y resonancias las cualesson el desbalance, desalineamiento y resonancias, las cualesconstituyen del 80% al 90% de los problemas de vibración [Wowk,1991]. Determine el modelo matemático del sistema rotor-chumacera.
y y
DiscoCentro de masa
y
Disco
y
S
Gux
tt
z
Chumacera Chumacera0 x x
S
a) b)
Desbalance: es una condición donde el eje principal de inercia nocoincide con el eje geométrico
32
coincide con el eje geométrico.
Sistema rotor-chumaceraSistema rotor-chumacera
33
Péndulo InvertidoPéndulo InvertidoUtilice la ecuación de Euler-Lagrange para deducir las ecuacionesde movimiento del péndulo invertido. Suponga que la masa delp p g qpéndulo invertido es m, con momento de inercia J, y que el centrode gravedad del péndulo se ubica en el centro de la barra. Lafuerza que se aplica para mover el carro de masa M está denotadaq p ppor F.
34
Péndulo InvertidoPéndulo Invertido
2222
21
21
21 JyxxMK pp
cos,sin lylxx pp sin,cos 11 lylxx
22222 2 ll 22221
21 cos2 lxlxyx
La energía cinética y potencial del sistema estáLa energía cinética y potencial del sistema estádado por:
22222
1121cos2
21
21 JLxlxmxMK
Aplicando la ecuación de Euler Lagrange para
222
21cos
21 mlJxmlxmMK
cosmglV
Aplicando la ecuación de Euler-Lagrange paralas dos coordenadas generalizadas, q1=x y q2=. LLdLLd
donde:
0
LL
dtd
F
xL
xL
dtd
donde: cos
21cos
21 222 mglmlJxmlxmML
cos mlxmML
sincos
cos
2
mlmlxmMxL
dtd
mlxmMx
mlJxmlL
cos 2
0
xL
El modelo matemático del péndulo invertido
xlglmmglxmlmlJxmlxml
L
Ldtd
sinsinsinsincos 2
El modelo matemático del péndulo invertidoestá dado por el conjunto de ecuacionesdiferenciales no lineales:diferenciales no lineales:
0sincos
sincos2
2
mglmlJxmlFmlmlxmM
g
Sistema masa-resorte-amortiguadorSistema masa-resorte-amortiguador
Obtenga el modelo matemático, utilizando laObtenga el modelo matemático, utilizando lasegunda ley de newton, del sistema mecánicocompuesto por dos masas, dos resortes y unamortiguador como se muestra en la figura.
38
Péndulo de FurutaPéndulo de Furuta
39Dr. Andrés Blanco Ortega
Péndulo con longitud variablegUna pequeña masa m puede deslizar librementesobre una varilla homogénea de sección uniforme demasa M y longitud l, la cual está pivotada en uno desus extremos. La barra es controlada por un torque que es proporcionado por un motorque es proporcionado por un motor.
40
La energía cinética y potencial del sistema está dadopor:
sinsin21
21
21 22222
MglmgrV
rmMlmrT
Aplicando la ecuación de Euler-Lagrange para las doscoordenadas generalizadas q =r y q =
sinsin MglmgrV
coordenadas generalizadas, q1=r y q2= .
LLd
0
LLd
donde:
dt
0
rrdt
sinsin21
21
21 22222 MglmgrrmMlmrL
41
rmrL
dtd
sin2 mgmrrLrdt
ddt∂L∂
mr2 Ml2 2mrr
∂L∂
−mgrcos − Mglcos
El modelo matemático del péndulo variable está dado por elconjunto de ecuaciones diferenciales no lineales:
∂g g
0sin2 mgmrrm
mr2 Ml2 2mrr mr Mlgcos
42
Sistema TORASistema TORAEl sistema TORA (Translational OscillatoryRotational Artifact) consiste de un carro de masaM conectado por un resorte, de rigidez k, a unapared fija. En la parte superior tiene una masa
é t i t i l t l dexcéntrica rotacional que es controlada por untorque u.
43
Sistema mecánico traslacional-rotacional
44
Sistema Elevador de 3 gdl
45
Sistema Elevador de 3 gdlSistema Elevador de 3 gdl
Diagramas de Cuerpo LibreDiagramas de Cuerpo Libre
Diagramas de Cuerpo LibreDiagramas de Cuerpo Libre
Diagramas de Cuerpo LibreDiagramas de Cuerpo Libre
Dinámica de SistemasDinámica de SistemasUn eslabón de masa despreciabletiene dos masas, una de masa m1está fija en un extremo, mientrasque otra masa m2 esta restringida a2moverse a lo largo del eslabón yestá unida a la masa m1 por mediode un resorte de rigidez k.gUtilice la ecuación de Euler-Lagrange para encontrar lasecuaciones de movimiento cuandoecuaciones de movimiento cuandose aplica un torque. Considere queel resorte está en equilibrio (sinelongar) cuando r=L/2. Simule laselongar) cuando r L/2. Simule lasecuaciones dinámicas.
La energía cinética del sistema está dada por:
y la energía potencial:
21
221
221 2
121
21 rmrmLmK
y la energía potencial:
2
21 221cos1cos1
LrkgrmgLmV
El lagrangiano del sistema está dado por L=K-V, por lo cuálqueda como:
22222 cos1111 gLmrmrmLmL
2
2
1221
221cos1
cos1222
Lrkgrm
gLmrmrmLmL
Las ecuaciones para las coordenadas generalizadas son:
0
rL
rL
dtdLL
dtd
rrdtdt
Los términos de la ecuación de Euler-Lagrange para elg g plagrangiano del sistema son determinados como:
22
22
1LL rmrmLm
22
2221
222
22
1
221
cos1sinsin2
LrLL
rL
dtdL
dtd
r
rkgmrmgrmgLmrmrrmrmLm
rmrmLm
Finalmente las ecuaciones que rigen la dinámica delsistema son: 22sistema son:
02
cos1
sin2
22
22
2122
22
1
Lrkgmrmrm
grmLmrrmrmLm
2
Sistemas de FluidosSistemas de Fluidos
El análisis de sistemas de fluidos se realiza enEl análisis de sistemas de fluidos se realiza enel régimen de flujo laminar, es decir,considerando un número de Reynolds menor a2000.
DefinicionesDefiniciones La densidad de un cuerpo de define como la p
relación de su masa m con respecto a suvolumen V.
mAluminio = 2700kg/m3
Acero = 7800kg/m3
El gasto se define como el volumen de fluidoVm
Agua = 1000kg/m3
El gasto se define como el volumen de fluidoque pasa a través de cierta sección transversalen la unidad de tiempo.p
tVvAQ t
Ecuación de BernoulliEcuación de BernoulliLa ecuación de Bernoulli describe elcomportamiento de un fluido bajo condicionesvariantes y tiene la forma siguiente:
1
en donde:CTEvghP 2
21
P: presión estática a la que está sometido elfluido, debida a las moléculas que lo rodean.
ρ: densidad del fluidoρ: densidad del fluido.V: velocidad de flujo del fluidoG: aceleración de la gravedadG: aceleración de la gravedadH: altura sobre un nivel de referencia
Resistencia de sistemas de fluidosResistencia de sistemas de fluidos
La resistencia R para el flujo de líquido, en unLa resistencia R para el flujo de líquido, en untubo corto que conecta dos tanques, se definecomo el cambio en la diferencia de nivel(diferencia entre el nivel de liquido en los dostanques) necesaria para producir un cambio deuna unidad en la velocidad del flujo es decir:una unidad en la velocidad del flujo, es decir:
ldd flbsmflujodevelocidadlaencambio
mniveldediferencialaencambioR/,
,3
Resistencia de sistemas de fluidosResistencia de sistemas de fluidos
hh h
1
211 q
hhR
0
22 q
hR
Capacitancia de sistemas de fluidoCapacitancia de sistemas de fluido
La capacitancia de un tanque se define como elLa capacitancia de un tanque se define como elcambio necesario en la cantidad de liquidoalmacenado, para producir un cambio de unaunidad en el potencial (altura).
malturalaencambiomalmacenadoliquidoelencambioC
,, 3
qdtdhC
Capacitancia de sistemas de fluidoCapacitancia de sistemas de fluido
11
1 qqdtdhC i 01
22 qqq
dtdhC j
Sistema de nivel de liquidoSistema de nivel de liquido
Sistema de nivel de liquidoSistema de nivel de liquido
Dinámica de SIstemas
EL MÉTODO DE LALINEALIZACIÓN APROXIMADALINEALIZACIÓN APROXIMADA
62
Linealización mediante expansiones en serie de TaylorConsideré el sistema no lineal:
txhty
xtxtutxftx
00,,
Cuyos puntos de equilibrio son constantes, dados por(U,X,Y).Expresando este sistema como una ecuación integralExpresando este sistema como una ecuación integralequivalente:
duxfxtxt
t,
00
duxfxhty
t
t,
0
0
0
63
Suponga que el sistema dinámico seSuponga que el sistema dinámico seencuentra operando en perfecto equilibrio.
YxhtyUtuXxtx ;;00
Consideré sendas perturbaciones en elt d i i i l l f ió d t d
y;;00
estado inicial y en la función de entrada,descritas de la manera siguiente
tuUtuxXxxtx ;0000
64
La ecuación integral equivalente puede serLa ecuación integral equivalente puede serexpresada como:
duUxXfxXtxt
,0
xXhty
ft
,0
0
Expresando esta ecuación en términos delestado perturbado y la salida perturbada,tenemos:
XhxXhty
duUxXfxtxt
t
,0
0
XhxXhty
65
Aplicando el Teorema de expansión en seriede Ta lor comode Taylor como:
tuuftx
xfUXfuUtxXf
UXUX
,,
,,
Tomando en cuenta que f(X,U)=0, podemos
txxhXhtxXh
X
calcular el valor del estado perturbado como:
t ∂f
∂f x t x 0
t0
∂f∂x X,U
x t ∂f∂u X,U
ut d
yt hX ∂h∂x X
x t − hX ∂h∂x X
x t ∂x X ∂x X
66
Despreciando los términos de orden superior, seobtiene sólo una aproximación a los valores de x(t)y de y (t) Se adoptara como valor aproximado dey de y(t). Se adoptara como valor aproximado dex(t) el valor . tx
ff
h
dtuuftx
xfxtx
UXUX
t
t
,,
00
txxhty
X
dtuftxfxtxt
txhty
dtuu
txx
xtxUXUX
t
,,
00
x
yX
67
La ecuación anterior se escribe como: tCxty
dtButAxxtxt
t
0
0
Si tomamos derivadas respecto del tiempoen la ecuación anterior obtenemos una
tCxty
en la ecuación anterior, obtenemos unaecuación equivalente para x(t).
tCxty
xtxtButAxtx
00;
68
Las ecuaciones anteriores representan elLas ecuaciones anteriores, representan elsistema dinámico que aproxima lasperturbaciones ocurridas al sistema no linealperturbaciones ocurridas al sistema no linealcuando opera en condiciones de equilibrio.Las matrices constantes (A B C) queLas matrices constantes (A, B, C) quedefinen a esta aproximación lineal estándadas por: hff dadas por:
XUXUX xhC
ufB
xfA
;;,,
69
Y en forma aproximada tendremos que:Y en forma aproximada tendremos que:
i l t t
tyYtyuUtutxXtx ,,
o equivalentemente: YtytyUtuuXtxtx ,,
U X
u(t) x(t) x (t)u (t)x=f(x,u)+ + + -
70
Representación en funciones de transferencia
Considere el sistema no-lineal, n-dimensional, de una entrada-una salida:
txhty
tutxftx ,
Sea u(t)=U un punto de operación constantepara la entrada escalar del sistema anterior.El valor de equilibrio para el vector deestado y para la salida están dados,
ti t (t) X(U) (t) Y(U)respectivamente, por x(t)=X(U) y y(t)=Y(U).71
La expresión linealizada del sistema alrededor delpunto de operación (U,X(U),Y(U)), parametrizadaen términos del valor constante de la entrada de
t l ilib i U tá d dcontrol en equilibrio U, está dada por:
uUBxUAx
donde
xUCyuUBxUAx
y
UXUUXUUX x
xhUCu
uxfUBx
uxfUA
;,;,
,,
UYyyUuuUXxx ,,
72
A partir de esta representación del sistemap plinealizado podemos obtener la función detransferencia del sistema en lazo abierto, dadapor:
UBUAsIUCsGU1
FUNCIÓN DETRANSFERENCIA
y (t)u (t)G (s)U
ENTRADA SALIDAINCREMENTAL INCREMENTAL
73
x (t)u (t)x=Ax (t)+bu (t)
x (t)u (t) x (t)u (t)x=Ax (t)+bu (t)
u (t)=-Kx (t)
74
U XPunto de operación nominal
u(t) x(t) x (t)u (t)x=f(x,u)+ + + -
u (t)=-Kx (t)
75
Dinámica de SIstemas
Simulación y
Control de un Sistema
de Fluidos
Dr. Andrés Blanco Ortega76
Sistema de FluidosSistema de Fluidos El sistema de nivel de líquido de
dos tanques dispuestos endos tanques dispuestos encascada se muestra en la figura.Donde c es una constante querepresenta la resistencia a lapsalida de líquido y A es el áreade la base de cualquiera de losdos tanques. La altura de lostanques 1 y 2 está denotada,respectivamente, por h1 y h2. Laentrada de flujo al tanque 1 es qi
02 Agc Donde:
A0 denota el área del orificio de desagüe de cada uno de los dos tanquestanques.
77
Sistema de FluidosSistema de Fluidos El modelo matemático del sistema de fluidos
está dado por:
2
11 1
hchcdh
hAcq
Adtdh
i
212 h
Ah
Adt
iquyhxhx 2211 , Haciendo un cambio de variables:
111 x
Acu
Ax
iqy2211
212 xAcx
Acx
78
Igualando a cero los segundos miembrosIgualando a cero los segundos miembrosobtenemos
los puntos de equilibrio del sistema, para unau=U=CTE.
011 X
AcU
A
021 XAcX
Ac
AA
2
1 cUX
2
12 cUXX
1XcU
79
La linealización del modelo alrededor del puntoLa linealización del modelo alrededor del puntode equilibrio está dado por:
BuAxx
uxfB donde f
Cxy
U,UXu
u,xfB
U,UXxu,xfA
UXtxx Utuu UXtxx Utuu
11011
20
2/12/1
2/112
XAcxf
ccA
c
011
0
1121
1,2/1
222/1
12
Af
XAxxx
A
UXAc
Ac
00 , Au UX
80
El modelo linealizado alrededor del punto deEl modelo linealizado alrededor del punto deequilibrio está dado por:
11 11011 xcx
2
212 0112xy
uAxXAx
Haciendo: 1cc Haciendo: 121 XAc
111 A
uxcx
2
21112
xyxcxcxA
2xy
81
ControlabilidadControlabilidad
u
xc
x
1101 1
11
Axx
011 2
12
10 cc
1
1
11
1
010
cc
ccc
AB
1
1
0)(
cc
CDet
ABBC
A
1
1
1)(
0
cA
CDet
c
82
Con una ley de control lineal por realimentaciónCon una ley de control lineal por realimentacióndel estado se logra que el estado incremental
tienda a cero asintóticamente y por lo tanto elsistema no lineal se acercará a su valor deequilibrio.
2211 xkxku
El polinomio característico en lazo cerrado delsistema está dado por:sistema está dado por:
211
11
1
010
)( kkcsc
csBKAsIDet A
83
Igualando a un polinomio de Hurwitz para que el
211
1112
111
12 2)( kckccskcsBKAsIDet AAA
Igualando a un polinomio de Hurwitz para que elsistema en lazo cerrado tenga sus polosubicados en el semiplano izquierdo del planocomplejo. 22 2)( nnsssP
211
1112
111
1222 22 kckccskcsss AAAnn
Las ganancias se calculan como:
2 cAk
111
21
22
11
12
cAkc
Ack
cAk
n
n
84
El controlador lineal queda dado por:El controlador lineal queda dado por:
2211 xkxku Utuu
UXtxx
El controlador en las variables originales delsistema no lineal queda definido como:sistema no lineal queda definido como:
UXxtx
Uutu Uutu
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Sistemas eléctricosSistemas eléctricos
Ley de corrientes de Kirchhoff (ley de nodos).Ley de corrientes de Kirchhoff (ley de nodos). La suma algebraica de todas las corrientes que
entran y salen de un nodo es igual a cero.y g
Ley de voltajes de Kirchhoff (ley de mallas).Ley de voltajes de Kirchhoff (ley de mallas). La suma algebraica de todos los voltajes
alrededor de cualquier malla en un circuitoqeléctrico es igual a cero.
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Sistemas AnálogosSistemas Análogos
La analogía entre fuerza y corriente implica queLa analogía entre fuerza y corriente implica queun elemento de masa es análogo a un elementocapacitor, por lo tanto también se conoce comoanalogía masa-capacitor. Fue introducida porFirestone en 1933, motivado por el problema deconstruir un modelo de circuito equivalente conconstruir un modelo de circuito equivalente conun comportamiento dinámico análogo al de unsistema mecánico La comparación de fuerzasistema mecánico. La comparación de fuerzacon corriente se justificó en primer lugar por losmétodos de medición.
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Es decir, tanto la velocidad como el voltaje seEs decir, tanto la velocidad como el voltaje semiden como la diferencia de valores entre dospuntos. Por otro lado, la fuerza y la corriente seclasifican como del mismo tipo porque se midenen cualquier punto a lo largo de la línea detransmisión de potencia entre dos puntostransmisión de potencia entre dos puntos.
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Analogía de impedancia o Fuerza-Tensión
Sistema Mecánico Sistema Eléctrico Fuerza (F) Tensión (v)Desplazamiento (x) Carga (q)Velocidad (dx/dt) Corriente (i)Velocidad (dx/dt) Corriente (i)Cte. elasticidad (K) Capacidad (1/C)Rozamiento (R) Resistencia (R)Masa (M) Inductancia (L)
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Analogía de movilidad o Fuerza-corriente
Sistema Mecánico Sistema Eléctrico Fuerza (F) Corriente (i)Desplazamiento (x) Carga (q*Z)Velocidad (dx/dt) Tensión (v)Velocidad (dx/dt) Tensión (v)Cte. elasticidad (K) Inductancia (1/L)Rozamiento (R) Resistencia (1/R)Masa (M) Capacidad (C)
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Simulación de una suspensiónSimulación de una suspensión
Determine el circuito eléctrico análogo de unDetermine el circuito eléctrico análogo de unsistema de suspensión de automóvil.
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BIBLIOGRAFÍABIBLIOGRAFÍA 1. Sira-Ramírez, “Control De Sistemas No Lineales,”
ISBN: 8420544493, EDITORIAL ALHAMBRA. 2005.2. Close, Ch. M. y Frederick, D. K. (1993) Modeling and
analysis of dynamic systems. Ed. Houghton Mifflin.analysis of dynamic systems. Ed. Houghton Mifflin.3. Umez_Eronini E. (1971) Dinámica de sistemas
y control. International Thomson Editors.4. Wood y Law. (1997) Modeling ansd simulation
of dynamic systems. Prentice Hall.Bibli fí l t i5. Bibliografía complementaria:
9292
BIBLIOGRAFÍABIBLIOGRAFÍA6. Rowell, D. y Wormley, D. N. (1997) System, y y, ( ) y
dynamics: an introduction. Ed. Prentice-Hall.7. Shearer, J. L. Y Kulakowski, (1990) B. T.
D i d li d t l f i iDynamic modeling and control of engineeringsystems. Ed. Macmillan.
8 Wellstead P E (1979) Introduction to physical8. Wellstead, P. E. (1979) Introduction to physicalsystem modelling. Ed. Academic Press.
9. Takahashi, Y,.Rabins, M. J. y Auslander, D. M., , , y ,(1972) Control and dynamic systems. Ed.Addison Wesley.
9393
BIBLIOGRAFÍABIBLIOGRAFÍA10. Singiresu S. Rao, “Mechanical Vibrations”,g , ,
Prentice Hall, 2005. ISBN 13: 978-013-196-751-9, ISBN 10: 013-196-751-7.A D Di Vib ti f E i11. A.D. Dimarogonas, Vibration for Engineers,Prentice-Hall, NJ, 1996. ISBN-13: 978-0134562292.0134562292.
12. D.J. Inman, Engineering Vibration, 2nd Edition,Prentice-Hall, 2000. ISBN-13: 978-0137261420.
13. C.W. De Silva, Vibration: Fundamentals andPractice CRC Press Boca Raton FL 2000
9494
Practice, CRC Press, Boca Raton, FL 2000.