Sistemas Lineales I

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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CIUDAD GUZMÁN

SISTEMAS LINEALES 1

“Análisis de la respuesta transitoria”

ALUMNOSRAÚL GUTIÉRREZ MACIEL

FORTINO CASTILLO GÓMEZASTERIO ALEXANDER HERNÁNDES FLORES

NÚMEROS DE CONTROL02290041

022900—

02290043

PROFESORLAURO GUTIÉRREZ MURO

CARRERAINGENIERÍA ELECTRÓNICA

QUINTO SEMESTRE

HORA10:00-11:00

Miércoles 20 de Octubre del 2004

Sistemas Lineales I

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MARCO TEÓRICOIntroducciónEl primer paso para analizar un sistema de control es establecer un modelo matemático del sistema,una vez ya obtenido este modelo se dispone de diversos métodos para analizar el comportamientodel sistemaAl analizar y diseñar sistemas de control hay que tener una base de comparación delfuncionamiento de los diversos sistemas de control, una de las formas para establecer estas bases esespecificando señales de entrada particulares de prueba, y comparando las respuestas de losdiversos sistemas a esas señales de entrada.Muchos criterios de diseño están basados en estas señales o en la repuesta del sistema a cambios enlas condiciones iniciales (sin ninguna señal de prueba).

Señales de prueba típicas. Las entradas de prueba mas comúnmente usadas son las funcionesescalón, rampa, aceleración, impulso, sinusoidal, ect. Con estas señales de prueba se pueden realizaranálisis experimentales y matemáticos de los sistemas de control con facilidad, ya que las señalesson muy simples del tiempo. Una vez diseñado un sistema de control sobre la base de señales deprueba el funcionamiento el sistema en respuesta a las entradas reales generalmente es satisfactorio.El uso de estas señales de prueba permite comparar el comportamiento de todos los sistemas sobrela misma base.

Respuesta transitoria y respuesta estacionaria. La respuesta temporal de un control consiste endos partes: la respuesta transitoria y la estacionaria. La primera es aquella que va desde el estadoinicial al estado final, la otra es la forma en la que la salida del sistema se comporta cuando t tiendea infinito.

Sistema de control: Sistema cuyo objetivo es el control manual o automático de cierta cantidad ovariable física.

Entrada: Estímulo, excitación o mandato aplicado para producir una respuesta específica delsistema.

Salida: Respuesta real del sistema. Puede coincidir o no con la respuesta del sistema, implícita en laentrada correspondiente.

Tipo de control:

• Lazo abierto: Control independiente de la salida y de las variables del sistema (por ejemplouna tostadora).

• Lazo cerrado: Control dependiente de la salida y/o de las variables del sistema (por ejemploun sistema de aire acondicionado).

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Para clasificar un sistema en lazo abierto o lazo cerrado debemos distinguir claramente entre loscomponentes del sistema y los que interactúan con él, pero que no hacen parte del sistema.

Sistemas de control en lazo abierto (SCLA)

Características:

1. Su precisión de operación viene determinada por su calibración. *

2. Generalmente no presentan problemas de inestabilidad.

3. Son relativamente fáciles de analizar y de diseñar

* Calibrar significa establecer o reestablecer la relación entrada/salida para obtener una exactituddeseada del sistema.

Sistemas de control en lazo cerrado (SCLC)

SCLC! Sistemas con una o varias líneas de realimentación.

1. Mayor precisión.

2. Tendencia a la inestabilidad o la oscilación.

3. Mayor robustez frente a las variaciones de los parámetros.

4. Diseño más complejo.

*Realimentación es la propiedad de los sistemas de control en lazo cerrado que permite que lasalida (o alguna variable controlada) se compare con la entrada del sistema (o una entrada de algúnotro componente o subsistema) de tal forma que la acción de control apropiada se puede formarcomo alguna función de la entrada y la salida.

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REPRESENTACIÓN, ANÁLISIS Y SÍNTESIS DE SISTEMAS

Representar un sistema supone obtener un modelo matemático que describa su dinámica decomportamiento.

Análisis: Investigación de las propiedades de un sistema existente.

Diseño: Elección y ordenamiento de componentes del sistema para desarrollar una tarea específica.

• Diseño por análisis: Modificación de las características de un sistema existente o estándar

• Diseño por síntesis: Desarrollo del sistema directamente de las especificaciones.

SISTEMAS LINEALES DE PRIMER ORDEN

Supóngase un sistema continuo de primer orden, cuya función de transferencia sea

Al estimular el sistema con un paso unitario , con condiciones iniciales nulas, la respuesta y(t)puede calcularse como sigue:

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Al cambiar el valor de cambia el valor de el único polo de la función de transferencia, que es -a.Para cualquier valor real positivo de el polo es un real negativo, y viceversa. Cuando el polo espositivo, la respuesta del sistema tiende a infinito, y se dice que el sistema es inestable. La figura4.1 muestra cuales son las regiones de estabilidad e inestabilidad con referencia a la recta real, esdecir, en qué lugares debe estar ubicado el polo de la función de transferencia para que el sistemasea, respectivamente, estable o inestable.

La figura 4.2 muestra las gráficas de y(t) para distintos valores de : -1,1,2,3.

Para un polo negativo cualquiera -a, la respuesta es como la que se muestra en la figura 4.3. El valordetermina qué tan empinada es la respuesta (y cuál será el valor final de la respuesta); para valores

grandes de , la respuesta es más empinada, debido a que la respuesta natural se extingue másrápido.

Para medir qué tan rápido decae una respuesta natural, podemos definir el tiempo de asentamiento otiempo de estabilización , como el tiempo a partir del cual la respuesta natural (su valor absoluto) no

supera un porcentaje de su valor máximo, por ejemplo el

Para el caso del sistema continuo de primer orden, este tiempo tas que satisface:

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En general, al alejar el polo del origen (al desplazarlo hacia la izquierda) disminuye el tiempo deasentamiento, es decir, la respuesta es más empinada. Esto nos permite definir una región de tiempode asentamiento máximo, como la que se muestra en la figura 4.4

SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN

Un sistema generalizado de segundo orden tiene la siguiente f.t.:

La respuesta transitoria del sistema depende del tipo de raíces del denominador de esta f.t. (polos):

Con lo que se pueden dar tres tipos de sistemas:

1) Subamortiguado 0<x <1 genera raíces complejas conjugadas

2) Críticamente amortiguado x =1 genera raíces reales iguales y negativas

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3) Sobreamortiguado x >1 genera raíces reales diferentes y negativas

Al graficar estas raíces (polos de la f.t. de 2° orden) en el plano complejo podemos definir rectas dex=cte y círculos de Wn=cte. Las rectas de x nos definen el ángulo de elevación del polo: cos(f)= -x.Mientras que Wn nos da la distancia del origen al polo.

Error de estado estacionarioEl error estacionario es una medida de la exactitud de un sistema de control. En general se juzga elcomportamiento en estado estacionario de un sistema de control por el error estacionario debido aentradas escalón, rampa o aceleración. Un sistema puede no tener error ante una entrada escalón,pero el mismo sistema tiene puede presentar error estacionario no nulo a una entrada rampa. Estodepende del tipo de la función de transferencia de lazo abierto.

Para un diseño de sistema continuo, normalmente usamos el Teorema del Valor Final

Los polos complejos conjugados los podemos definir en términos de sus partes real e imaginaria,tradicionalmente:

s i d= − ±σ ω.Ya que los polos complejos vienen de a pares, el denominador correspondiente al par de complejoses:

a s s i s i sd d d( ) ( . )( . ) ( )= + − + + = + +σ ω σ ω σ ω2 2

Cuando encontramos la función de transferencia a partir de ecuaciones diferenciales, típicamentepodemos escribir el resultado en la forma polinomial:

22

2

2)(

nn

n

sssG

ωξω

ω

++=

Comparando las dos últimas ecuaciones, encontramos la relación entre los parámetros:σ ξω= n y ω ω ξd n= −1 2

A ξ la conocemos como coeficiente de amortiguamiento, y a ωn como frecuencia natural no-amortiguada.

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En la figura 2 observamos el significado gráfico de cada uno de estos parámetros.Podemos observar (ver la figura 3) que cuando el coeficiente de amortiguamiento ξ es cercano acero las respuestas del sistema son oscilatorias, mientras que cada vez que el mismo se acerca a 1 esmayor el amortiguamiento de las oscilaciones hasta el punto de no presentarlas.

Figura 3. Respuestas a un escalón para un sistema de segundo orden, para distintosvalores del coeficiente de amortiguamiento (ξ = 0.0, 0.1, 0.2,... , 1.0).

Especificaciones en el dominio temporalLas especificaciones para el diseño de un sistema de control frecuentemente involucran ciertosrequerimientos asociados a la respuesta temporal del sistema. Los requerimientos para unarespuesta a un escalón los expresamos en términos de valores estandar ilustrados en la figura 4:Tiempo de crecimiento (rise time) tr es el tiempo que toma el sistema para alcanzar la vecindad desu nuevo set-point.Tiempo de establecimiento (settling time) ts es el tiempo que toma el sistema para que el transitoriodecaiga.Sobrepico (overshoot) Mp es la cantidad máxima que el sistema se sobrepasa en el transitorio suvalor final dividido ese valor final (frecuentemente se lo da en porcentaje).Tiempo del pico (peak time) tp es el tiempo que toma el sistema para alcanzar el máximo valor (elsobrepico).

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Figura 4. Definiciones de tiempo de crecimiento, tiempo de establecimiento, tiempo del pico ysobrepico de una respuesta a un escalón.

Analicemos el caso de una respuesta de un sistema de segundo orden (observemos la figura 3).Examinando las curvas bajo las definiciones de las especificaciones podemos dar relaciones entrelas especificaciones y los valores de ξ y ωn. Si consideramos, por ejemplo, la curva para ξ = 0.5(como promedio), podemos decir que el tiempo de crecimiento es:

trn

=18.ω

Para el sobrepico podemos determinar una relación en forma más analítica, obteniendo para quépunto la derivada de la respuesta a un escalón de un sistema de segundo orden se hace cero, y luegoevaluándola en ese punto. Así obtenemos:

tpd

=π

ω yM ep = ≤ <− −πξ ξ ξ/ ,1 2

0 1

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EJERCICIOSB-4-1Un termómetro requiere 1min para alcanzar el 98% del valor final de la respuesta a una entradaescalón. Suponiendo que el termómetro es un sistema de primer orden , encuentre la constante detiempo . Si el termómetro se coloca en un baño, cuya temperatura cambia en forma lineal a unavelocidad de 10grados/min.¿Cuanto error muestra el termómetro?

según la respuesta de un sistema de 1er orden cuando

t 4τ la respuesta ha crecido al 98%

lo que significa

ent 1min c t( ) .981

c t( ) 1 e 4−−

c t( ) .981

1min 60seg

4τ 60seg

τ 15sg

cuando el termómetro se coloca en el baño la variación actúa como una excitación rampa conpendiente de 10grados/min

la respuesta de 1er orden a la rampa es:

t 0>c t( ) 10t τ− τe

t−1τ

⋅

+

e t( ) τ 1 e

t−

τ−

e ∞( ) τ

e ∞( ) 15seg

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B-4-10.Demuestre que la función de transferencia tiene un cero en el semiplano derecho a continuaciónobtenga la grafica de la respuesta al escalón.

La función de transferencia está dada por:

y s( )x s( )

6s 2+( )

4s 1+( )

−

desarrollando y simplificando:

y s( )x s( )

2 s 1−( )s 2+( ) s 1+( )

Se comprueba que el cero tiene lugar en s=1 en el semiplano derechoPara la respuesta al escalón:

Graficando:

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B-4-7.Sea un sistema de un controlador de posición espacial suponiendo que T=3seg y que la razón parinercia k/j es de 2/9rad^2/seg^2 , encuentre el factor de amortiguamiento relativo de sistema.

kj

ωn2 k

j29

Por lo que

ωn29

ωn .471

De aquí se tiene

τ1σ

σ1τ

σ .333

σ ζω n

ζ .706

CONCLUSIONES FORTINO CASTILLO GÓMEZCon la realización de los ejercicios pude comprender los comportamientos de un

sistema a diferentes señales de prueba (Escalón, Rampa, Impulso) según lascaracterísticas del sistema así como los parámetros que lo rigen siendo esto de muchautilidad a la hora de tomarnos en un futuro a realizar este tipo de pruebas.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

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B-4-4Obtenga la respuesta escalón unitario de un sistema realimentado unitariamente, cuya función detransferencia en lazo abierto es:

G s( )4

s s 5+( )⋅:=

Solución:

El sistema realimentado unitariamente y con respuesta a escalón queda de la siguiente manera:

Simplificando: Quitamos primeramente la realimentación negativa

Tomando en cuenta la siguiente formula de bloques:

Quedaría de la siguiente manera:

Finalmente:

Por lo tanto la función de transferencia es:

G s( )R s( )

4s s 4+( )⋅ s 1+( )⋅

:=

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Utilizando fracciones parciales:

4s s 4+( )⋅ s 1+( )⋅

As

Bs 4+( )

+C

s 1+( )+:=

Resolviendo y obteniendo los valores de las constantes:

A 1:= B13

:= C43

:=

Sustituyendo los valores de las constantes:

F s( )1s

13 s 4+( )⋅[ ]

43 s 1+( )⋅[ ]

−+:=

Aplicando la antitransformada

F t( ) 113

e 4− t⋅+43

e t−⋅−:=

Graficando:

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B-4-6Considere el sistema en lazo cerrado obtenido mediante:

C s( )R s( )

ωn2

s2 2ζω n s⋅+ ωn2

+:=

Determine los valores de ζ y ωn para que el sistema responda a una entrada escalón con unsobrepaso de aproximadamente 5% y con un tiempo de asentamiento de 2 segundos. (Use el criteriode 2%)

Solución:Datos a buscar:ζ = ?ωn = ?Datos que tenemos:Mp = 0.05ts = 2 seg

Formulas a usar:

(1) ts 4T:= (2)T

1sigma

:=; (3) Mp e sigma− tp⋅:= (4)

tpπ

ωd:=

(5) sigma ζ ωn⋅:= (6) ωn sigma2 ωd2+:=

Empezando con los datos que tenemos:Sabemos el valor ts, por lo tanto de la fórmula (1) vamos a despejar “T”

Tts4

:=

sustituyendo valor de ts

T24

:= por lo tanto T 0.5:=

Ya sabemos el valor de T, ahora calcularemos sigma, esta la despejamos de la ecuación número (2):

sigma1T

:= sustituimos el valor de T:

sigma1

0.5:=

por lo tanto: sigma 2:=

De la ecuación número (3) despejamos tp:

tpln Mp( )⋅

sigma−:=

Ya sabemos los valores de Mp y de sigma, lo que sigue es sustituirlos.

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Sustituyendo:

tpln 0.5( )⋅

2−:=

por lo tanto tp 1.497:=

Ahora, sabiendo tp, podemos calcular wd, de acuerdo a la ecuación número (4) solo despejamos:

wdπtp

:= sustituyendo valores:

wd3.14161.497

:= por lo tanto wd 2.09:=

Teniendo wd y sigma, podemos calcular wn, para ello usamos la fórmula número (6).

wn sigma2 wd2+:= sustituyendo valores wn 22 2.092+:= por lo tanto wn 2.89:=

Usando la fórmula número (5) obtendremos el valor de “zeta” ζ , despejamos zeta:

ζsigmawn

:= sustituyendo valores

ζ2

2.89:=

por lo tanto ζ 0.69:=

Llegamos a los resultados pedidos

ζ 0.69:=

wn 2.89:=

B-4-9Obtenga la respuesta impulso unitario y la respuesta escalón unitario de un sistema realimentadounitariamente cuya función de transferencia en lazo abierto sea:

G s( )2s 1+

s2:=

Solución:IMPULSO UNITARIOEl sistema realimentado unitariamente y con respuesta al impulso queda de la siguiente manera:

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Simplificando usando las siguientes fórmulas:

Queda de la siguiente manera:

La función de transferencia es la siguiente:

G s( )R s( )

2s 1+s 1+( ) s 1+( )⋅

:= osea

F s( )2s 1+

s 1+( ) s 1+( )⋅:=

Aplicando fracciones parciales para posteriormente obtener la respuesta:

2s 1+s 1+( ) s 1+( )⋅

A

s 1+( )2B

s 1+( )+:=

Los valores de las constantes A y B son:

A 1−:= B 2:=

Ahora sustituimos los valores de las constantes:

F s( )1−

s 1+( )22

s 1+( )+:=

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Aplicamos la antitransformada para finalmente obtener la respuesta al impulso.

F t( ) t e t−⋅ 2 e t−⋅+:=

Graficando la respuesta:

ESCALÓN UNITARIOSabemos que la función de transferencia es la siguiente:

F s( )2s 1+

s 1+( ) s 1+( )⋅:=

Debido a que la respuesta que ahora requerimos es al escalón unitario, lo que agregaremos a estafunción de transferencia la transformada del escalón unitario: “1/s”, como sigue:

F s( )2s 1+

s 1+( ) s 1+( )⋅ s⋅:=

Resolviendo por fracciones parciales:

2s 1+s 1+( ) s 1+( )⋅ s⋅

A

s 1+( )2B

s 1+( )+

Cs

+:=

Obteniendo los valores de las constantes:

A 1:= B 1:= C 1:=

Sustituyendo los valores de las constantes en la función de trasferencia F(s)

F s( )1

s 1+( )21

s 1+( )−

1s

+:=

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Ahora antitransformamos la función de transferencia para obtener la respuesta al escalón unitario:

F t( ) t e t−⋅ e t−− 1+:=

Graficando:

B-4-3Considere el sistema de la figura 4-54(a). El factor de amortiguamiento relativo de este sistema es0.158 y la frecuencia natural no amortiguada es de 3.16 rad/seg. Para mejorar la estabilidad relativa,se emplea una realimentación de tacómetro. La figura 4-54(b) muestra tal sistema de realimentaciónde tacómetro. Determine el valor de Kh para que el factor de amortiguamiento relativo del sistema sea 0.5.dibuje curvas de respuesta escalón unitario tanto del sistema original como del sistema derealimentación de tacómetro.

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Solución:

Trabajando con el diagrama de bloques sin tacómetro, (a)

Vemos que es una realimentación unitaria, para simplificar usamos la formula:

El resultado es el siguiente, LA FUNCION DE TRANSFERENCIA:

F s( )10

s s 1+( )⋅ 10+:= F s( )

10

s2 s+ 10+:=

En este caso se cumple lo dicho al principio en cuanto al factor de amortiguamiento y la frecuencianatural no amortiguada.De acuerdo a la funcion de transferencia de segundo orden mostrada a continuación, deduciremos

los valores deζ y ωn

:

C s( )R s( )

ωn2

s2 2ζω n s⋅+ ωn2

+:=

De alli deducimos lo siguiente:

ωn2

10:= por lo tanto ωn 3.162:=

En cuanto a zeta:

2 ζ⋅ ωn⋅ 1:=

ζ1

2 ωn⋅:=

ζ1

2 3.16( )⋅:=

ζ 0.158:=

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Antitransformando:

10

s2 s+ 10+invlaplace s, →

F t( )2039

exp1−

2t⋅

⋅ 39⋅ sin12

39⋅ t⋅

⋅:=

Graficando la respuesta: (Sin tacómetro)

CON TACÓMETROComo se puede apreciar en la figura anterior (b) lo primero que aremos será simplificar el sistema,para ello empezaremos con la realimentación negativa del tacómetro, esto es el que contiene Kh, yla señal de escalón “1/s”, ver la siguiente figura (Trabajando con lo marcado de rojo).

Queda de la siguiente manera:

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Ahora pasamos a simplificar la realimentación negativa unitaria:

Ya tenemos la función de transferencia, ahora sacaremos el valor de Kh tal que “zeta” sea igual a0.5:Por observación:

10Kh 2 ζ⋅ ωn⋅:=

Kh2 ζ⋅ ωn⋅

10:=

Kh2 0.5( )⋅ 3.16⋅

10:=

Kh 0.3162:=

La función de transferencia finalmente quedó de la siguiente manera:

F s( )10

s2 3.162 s⋅+ 10+:=

Antitransformamos para obtener la respuesta:

F t( ) 3.651 exp 1.581− t⋅( )⋅ sin 2.738 t⋅( )⋅:=

Graficamos:

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CONCLUSIONES RAUL GUTIÉRREZ MACIEL

Mas que nada estos ejercicios nos sirvieron para repasar los temas vistosen clase y prepararnos para el examen del mismo, la realización de éstosha contribuido a mejorar el entendimiento del análisis de la respuestatransitoria. La ayuda de herramientas (software) sin duda nos aproporcionado todo lo necesario para el análisis de estos sistemas, ennuestro caso usamos el Mathcad. Espero que todos estos conocimientos yhabilidades adquiridas las pueda aplicar en el futuro, ya sea en el ámbitoprofesional o como estudiante.

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ζ 0.7 Wn2 16 Wn 4

C S( )R S( )

K

S2 2 Kk

1S

. C S( )R S( )

K

S2 2 Kk( ) S

C S( )R S( )

Wn2

S2 2 ζWnS Wn2

C S( )R S( )

K

S2 2 Kk( ) S K

C S( )R S( )

K

S2 2 Kk( ) S K

K Wn22 Kk 2 ζWn

K 16

2 Kk 2 ζWn k 2 .7( ). 4( ). 2( )2

k 0.225

B-4-12.DETERMINAR LOS VALORES DE K Y k TALES QUE EL SISTEMA TENGA UN FACTORDE AMORTUAMIENTO RELATIVO, Y UNA FRECUENCIA NATURAL NOAMORTIGUADA COMO SE MUESTRA A CONTINUACIÓN:

FUNCION DE TRANSFERENCIA CON UNA ENTRADA ESCALON SEVA SIMPLIFICANDO:

SE IGUALA:

SE OBTIENE K:

SE DESPEJA k Y SE OBTIENE DE LA IGUALDAD SUSTITULLENDO LOS VALORES:

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C S( )R S( )

16

S2 2 0.225( ) 16( ).( ) S 16

C S( )R S( )

16

S2 5.6 S 16

G S( ) 1S S 1( )

1S S 1( )

1

S2 S 1

G S( ) 1

S2 S 1

S11 1 4

2

S11 3

2

S21 1 4

2

S21 3

2

δ 12

δ .5 Wd 34

Wd .86

Wn2 1 Wn 1

SE SUSTITUYEN LOS VALORES:

B-4-5SEA LA RESPUESTA A UN ESCALON DE UN SISTEMA DE CONTROLREALIMENTACION UNITARIA CUYA FUNCION EN LAZO ABIERTO:

LAZO CERRADO:

LA FUNCION DE TRANSFERENCIA:

SE OBTIENE LAS RAICES CON LA FORMULA GENERAL:

SE OBTIENE δ Y TAMIEN Wd :

SE OBTIENE Wn2 DE LA IGUALDAD Wn:

Sistemas Lineales I

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2 ζWn = 1 ζ12

θ

θ tan 1 Wdδ

θ tan 1

3412

θ

θ 60

tp π.866

tp 3.62 seg

tr π θWd

tr 2.41

τ 1δ

5 2

τ 1.5

τ 2

mp 16.3 %

ts 4 τ ts 8 segts 4 2.

DE ESTA ECUACION SE OBTIENE ζ:

ζ 0.5

SE OBTIENE PARA ENCONTRAR tr:

SE OBTIENE tp Y tr:

OBTENGO T PARA ENCONTRAR EL SOBRE IMPULSO Y TAMBIEN EL TIEMPO EN QUESE TARDA EN ESTABLECERSE.

SOBRE IMPULSO:

TIEMPO DE ESTABLECER

CONCLUSIONES Asterio Alexander Hernández Flores

Con tan pocos elementos que nos dan podemos encontrar una función de transferencia de unsistema mecánico, eléctrico y neumático; por lo cual se puede decir con facilidad como se comportaun sistema con respecto a una entrada escalón, rampa o impulso que se le aplica al sistema para vercomo se comporta sin haberlo realizado físicamente y encontrar en que entrada del sistema seestablece mas rápido por lo tanto por medio de las raíces o de las constantes z se puede deducir queel sistema puede ser subamortiguado, críticamente amortiguado o sobreamortiguado por ultimo locual se deduce que se puede obtener un sistema físicamente estable.

mp e .5( ) 3.62( ).100.