sistemas de primer orden - ing. greco

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FACULTAD DE INGENIERIA

UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES

AUTOMATIZACION INDUSTRIAL - 7206

SISTEMAS DE CONTROL

Ing. Antonio Greco

AÑO 2009

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SISTEMAS DE CONTROLA LAZO ABIERTOEN ESTOS SISTEMAS LA SALIDA NO AFECTA LA ACCION DE CONTROL. NO SE MIDE LA SALIDA Y NO SE REALIMENTA

A LAZO CERRADOES UN SISTEMA QUE INTENTA QUE LA VARIABLE CONTROLADA “SIGA “ A LA ENTRADA DE REFERENCIA EN PRESENCIA DE PERTURBACIONES, YA QUE COMPARA A AMBAS Y UTILIZA SU DFERENCIA PARA GENERAR LA ACCION DE CONTROL.

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DEFINICIONES• Planta: Se llama así al sistema a ser controlado. Puede ser parte de un equipo o parte de una máquina que funcionan juntas

para ejecutar una función particular.• Variable controlada: Es la cantidad o condición que se mide y controla (salida de la planta).• Variable manipulada: Es la cantidad o condición que el controlador modifica para afectar el valor de la variable controlada

(acción o fuerza de control).• Señal de referencia: Es el valor que deseamos que tome la variable controlada.• Controlar: Significa medir el valor de la variable controlada del sistema y aplicar la variable manipulada al sistema para

corregir o limitar una desviación al valor medido a partir de un valor deseado.• Perturbación: Es toda señal que tiende a afectar adversamente el valor de la variable controlada.• Hay dos tipos de perturbaciones:

a) Internas: incertidumbres en el modelo, falta de información de la planta, etc. b) Externas: se producen fuera, actúan como una u(t).

• DATOS DEL INGENIERO DE CONTROL:PlantaVariables a controlarEspecificaciones

• Para diseñar, analizar e implementar un sistema de control existen tres fases bien diferenciadas:• Experimentación• Simulación• Teoría

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FUNCION TRANSFERENCIA

• Como hemos ya dicho, las herramientas matemáticas para el análisis clásico son las funciones de transferencia.Para un sistema LTI (lineal e invariable en el tiempo) se define Función de Transferencia o Transmitancia al cociente entre las expresiones matemáticas de las variables de salida y de entrada en función del tiempo (más adelante, cuando estudiemos la transformada de Laplace, la definiremos como el cociente entre la Transformada de Laplace de la Salida (Función de Respuesta) y la Transformada de Laplace de la Entrada (Función Excitación) bajo la suposición de que todas las condiciones iniciales son nulas).

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MODELO MATEMATICO DE UN SISTEMA DE DINAMICO

• Se define como un conjunto de ecuaciones que representan la dinámica del sistema con precisión, o al menos bastante bien. El modelo no es único, puede haber muchos.La dinámica de muchos sistemas (eléctricos, mecánicos, térmico, etc.) se describe en términos de ecuaciones diferenciales que se obtienen a partir de leyes físicas que gobiernan dichos sistemas.Aquí surge un nuevo inconveniente para el ingeniero de control en lo que se refiere a precisión Vs. simplicidad.En los sistemas lineales es válido el principio de superposición, mientras que en los no lineales no es válido.De esta manera surgen dos disciplinas dentro del control que podemos llamar:

• Control Lineal • Control no Lineal

CONTROL CLASICOLas herramientas a utilizar son las funciones de transferencias tanto en el dominio temporal como en el de frecuencias, para

ello se cuenta con la transformada de Laplace para pasar de un dominio a otro. Además se disponen de métodos gráficos como Root Locus, Diagramas de Bode, diagrama de Nyquist, Carta de Nichols, etc.Este enfoque esta limitado a sistemas con una entrada y una salida (SISO) y deben ser lineales e invariantes con el tiempo.

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Los sistemas de control generalmente poseen varios componentes. Para mostrar las funciones que desempeña cada componente se utiliza una representación denominada diagrama de bloques funcionales.

Diagrama de bloques: un diagrama de bloques de un sistema es una representación gráfica de las funciones que realiza cada componente y el flujo de señales. El diagrama muestra las relaciones entre los diversos componentes. Cada bloque se rotula con el nombre del componente (y/o la operación matemática que desempeña) y los bloques se interconectan mediante flechas para indicar la dirección del flujo de señales.Un diagrama de bloques contiene información relacionada con el comportamiento dinámico, pero no incluye información de la construcción física del sistema.Los sistemas de control requieren una manipulación de sumas y restas, tal como se indica en la figura adjunta, un círculo con una cruz es el símbolo que representa a un sumador. Las señales que van a sumarse o restarse deben poseer las mismas unidades.

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MODELO MATEMATICO DE UN SISTEMA DE DINAMICOAlgebra de Bloques Dado que el planteamiento de los sistemas de control lo haremos utilizando diagrama de bloques, es necesario ver algunas de las manipulaciones y transformación de estos diagramas. En estos diagramas las variables se representan con letras minúsculas, mientras que las mayúsculas significarán las transmitancias de los bloques. Recordamos que la transferencia o transmitancia de un bloque es siempre la relación entre las señales de salida y de entrada, por lo que si llamamos G a la transmitancia de un bloque, x a su entrada, e y a su salida, podrá escribirse:

xyGxGy =⇒=

En todo momento podrán aplicarse las leyes conmutativas, asociativas y distributivas, igualmente válidas en álgebra de bloques. De hecho, las reglas del álgebra de bloques se basan en estas leyes, que podemos resumir así:

)()()()(

yxyxyxxFGFxGx

yxGGyGxGFFG

FGGF

+−=−+=−+=++=+

+=+=

Un bloque con ganancia unitaria se pude suprimir, dejando solamente la línea de flujo. Así, por ejemplo, se efectuaría la siguiente simplificación:

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Reglas algebraicas a) Bloques en serie. Pueden ser sustituidos por un único bloque, cuya transmitancia sea el producto de

las transmitancia de cada bloque. GFxzFyzGxy === ;;

b) Bloques en paralelo: Su equivalencia será un bloque con una transmitancia igual a la suma de lastransmitancias de cada bloque.

( )xFGFxGxz ±=±=

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c) Transformación de un lazo sencillo de realimentación en un bloque único

1

;;;+

==−==GH

GxzHzmmxeGez

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EJEMPLO DE FUNCION TRANSFERENCIAa) Transmitancia de una palanca con una relación de brazo 21 bab tal como se muestra en la figura adjunta.

Si la señal de entrada es ( )kgx y la señal de salida es ( )kgy y la palanca está en equilibrio, se verifica: ybxb .. 21 = Luego, la transmitancia será:

2

1

bb

xyW ==

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EJEMPLO DE FUNCION TRANSFERENCIA a) Transmitancia de una válvula de control en la que suponemos que existe una relación lineal entre la señal neumática de

entrada ( )tx y el desplazamiento del vástago ( )ty , y entre el movimiento del vástago ( )ty y el caudal de salida ( )tq , gracias a la forma del tapón u obturador.

Despreciando la histéresis y el retardo dinámico producidos por los rozamientos entre el vástago y la estopada, por la fuerzque ejerce el fluido sobre el obturador, y por la aceleración masa móvil servomotor-vástago-obturador, resultan como ecuaciones del equilibrio estático del conjunto: ( ) ( )tycStx .. =

( ) ( )tyktq .= Siendo: :S área del diafragma :c constante elástica del resorte :k constante de proporcionalidad de la válvula (se considera lineal).

Luego, la transmitancia será:

( )( ) c

kStxtqW .==

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TRANSFORMADA DE LAPLACELa resolución de ecuaciones diferenciales de orden superior al segundo es laboriosa por el método clásico, además, la inclusión de las condiciones iniciales para obtener las constantes de integración obliga a la resolución simultanea de un número de ecuaciones algébraicas igual al orden de la ecuación diferencial. Para facilitar y sistematizar la resolución de las ecuaciones diferenciales ordinarias de coeficientes constantes se emplea el método de la transformada de Lapalce. La transformada de Laplace es una herramienta matemática que provee un método sistemático y relativamente sencillo de resolución de ecuaciones diferenciales lineales. Se trata de un método operacional. Por medio de este método, una ecuación diferencial es transformada en una ecuación algebraica, donde la variable compleja s sustituye al tiempo como variable independiente. Resolviendo esta ecuación algebraica y llevando a cabo la transformación inversa, también llamada antitransformada, se obtiene la solución de la ecuación diferencial original. Las ventajas de un método operacional son: 1. Incluye automáticamente las condiciones iniciales en los límites. 2. El trabajo que exige la obtención de la ecuación es algébraico. 3. El trabajo está sistematizado. 4. Se reduce el trabajo mediante el empleo de tablas de transformadas. 5. Las entradas discontinuas se manejan fácilmente. 6. Se obtienen simultáneamente las componentes permanente y transitoria. En general, las expresiones: £ [ ] )()( sFtf = donde £ : simbolo operacional

£ [ ] [ ] ∫∫∞

−∞

− ===00

)()()()( dtetftfdtesFtf stst

Siendo: ωσ js += La antitransformada será:

£ 1− [ ] dtesFtfsFjc

jc

st∫+

−==

ϖ

ϖπ)(

21)()(

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TRANSFORMADA DE LAPLACE Propiedades y teoremas de la transformada de Laplace 1. Linealidad

Si K es una constante, entonces £ [ ] KtKf =)( £ [ ] )()( sKFtf =

2. Superposición £ [ ] =± )()( 21 tftf £ [ ]±)(1 tf £ [ ] )()()(( 21 sFsFtf ±= £ 1− [ ] =± )()( 21 sFsF £ 1− [ ]±)(1 sF £ 1− [ ] )()()( 212 tftfsF ±=

3. Multiplicación por .t Derivación compleja

£ [ ] )(')()( sFsFdsdtft −=−=

La transformada del producto del tiempo por una función temporal equivale a la derivada de la función transformada con signo cambiado. En general, para n entero se tiene:

£ [ ] )()1()()1()( )( sFsFdsdtft nn

n

nnn −=−=

Donde )()( sF n es la n -ésima derivada de ).(sF

4. División por .t Integración compleja

£ ∫∞

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

0)()( dssF

ttf

La transformación de una función dividida por el tiempo equivale a la integración respecto de s en la función transformada.

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TRANSFORMADA DE LAPLACE5. Traslación en el tiempo o tiempo muerto

Si a es un número real positivo, que significa un tiempo, entonces: £ [ ] )()( sFeatf as−=−

La transformada de una función temporal trasladada en la dirección positiva del tiempo, en una magnitud ,a es igual a la transformada de la función multiplicada por la exponencial ase− .

De aquí que un bloque del tiempo muerto se represente por la función de transferencia ase− . 6. Cambio de escala de tiempo Si a es una constante real positiva

£ [ ] )(1)(asF

aatf =

o también

£ )()( asaFatf =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

Esta propiedad es muy útil cuando se desea normalizar la escala de tiempos a efectos de comparar distintos sistemas, pero con funciones matemáticas equivalentes. 7. Amortiguación

Es el llamado teorema de traslación compleja o traslación en el campo s . £ [ ] )()( asFtfe at +=−

La multiplicación de una función temporal por la función extinción exponencial, ,ate − tiene por efecto reemplazar la variable s por )( as + en la función transformada.

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TRANSFORMADA DE LAPLACE8. Teorema de la derivación real

£ [ ] =)(' tf £ )0()()( +−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ fsFstfdtd

El término )0( +f es el valor de la función )(tf evaluada en ,0=t pero teniendo en cuenta que cuando la función tiene una discontinuidad en este punto (por ejemplo un escalón), debe tomarse el valor de la función en el lado positivo del tiempo. Este valor corresponde a los valores iniciales del sistema. La transformada de la segunda derivada es £ [ ] =)('' tf )0(')0()(2 +−+− ffssFs

En donde )0(' +f es el valor de la primera derivada de )(tf evaluada en el instante ,0=t en el lado positivo del tiempo, que corresponde igualmente a las condiciones iniciales del sistema. La transformada de la derivada n-ésima de una función es

£ [ ]=)()( tf n £ =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡)(tf

dtd

n

n

)0()0()0()0()0()( 1

1

2

2

2

2321 +−+−−+−+−+−=

−

−

−

−−−− f

dtdf

dtdsf

dtdsf

dtdsfssFs n

n

n

nnnnn K

o, en forma más compacta £ [ ]=)()( tf n )1()2()2(321 )0()0()0(')0()( −−−−− −−−−−− nnnnnn fsffsfsfssFs K En donde son contemplados los valores de la función y de sus sucesivas derivadas para ,0=t evaluados en el lado positivo del tiempo, y que, una vez más, corresponden a las condiciones iniciales del sistema.

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TRANSFORMADA DE LAPLACE9. Teorema de la integración real

£s

fssFdttf

t )0()()()1(

0

++=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

−

∫

donde )0()1( +−f es la integral de dttf )( calculada en ,0=t es decir, la constante de integración o condición inicial. La transformada de la integral de orden n será

£ [ ]s

fs

fs

fs

sFtfn

nnnn )0()0()0()()(

)(

1

)2()1()(

−

−

−−− ++++= K

De acuerdo a lo visto en los puntos 8 y 9 podemos resumir que la Transformada de Laplace convierte la operación de derivar en una multiplicación por la variable s y la operación de integrar en una división por la misma variable s, siempre que naturalmente las condiciones iniciales sean nulas.

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TRANSFORMADA DE LAPLACE10. Teorema del valor final

Si )(tf tiende a un valor definido cuando ,∞→t entonces

)()()(0

sFslimtflimfst →∞→

==∞

Este teorema establece que el valor de )(tf en régimen permanente o estado estacionario(tiempo infinito) es igual al producto )(ssF en la proximidad de .0=s Nótese que este teorema no puede aplicarse a funciones tales como las de tipo senoidal, que carecen de límite para .∞→t 11. Teorema del valor inicial )()()0(

0sFslimtflimf

st ∞→→==

Este teorema permite calcular el valor de )(tf para ,0=t en el lado positivo del tiempo, directamente de la función transformada. Las propiedades descriptas por este teorema, juntamente con las del teorema del valor final, son de gran utilidad porque permiten predecir ciertos aspectos fundamentales de la respuesta del sistema (cálculo del valor arranque y del valor en estado estacionario, respectivamente), sin necesidad de calcular la transformada inversa de la solución. Por otra parte, facilitan un medio para verificar que la solución obtenida en el dominio temporal (la antitransformada) ha sido bien calculada.

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SISTEMAS DE PRIMER ORDENSistemas de Primer Orden: Son aquellos sistemas cuya ecuación de transmitancia viene representada por una ecuación diferencial de primer orden. Sea el circuito R-C tal como el que se muestra en el gráfico y consideremos las tensiones de entrada 1v y de

salida ,2v como variables de entrada y salida del bloque.

La tensión de salida cvv =2 es la que aparece en el condensador. Por tanto, aplicando la segunda ley de Kirchhoff, en todo momento debe cumplirse que: ( ) ( ) ( )tvtvtv CR +=1

( ) ( ) ( )tvRtitv C+=1 Siendo:

( ) ( ) ( ) ( )tiCdt

tdvdtti

Ctv C

C11

=⇒= ∫

( ) ( )dt

tdvCti C=∴

Luego, reemplazando nos queda:

( ) ( ) ( )tvdt

tdvRCtv C

C +=1

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Tomando la transformada de Laplace en ambos miembros de la igualdad, y sacando factor común, obtenemos: ( ) ( ) ( ) ( ) )1(1 +=+= sRCsVsVsVsCRsV CCC Llamando: RC=τ y teniendo en cuenta que ( ) ( )tvtv C=2 Tenemos:

( ) ( )( ) 1

1

1

2

+==

ssVsVsG

τ

Siendo RC=τ , la constante de tiempo. Luego, si aplicamos una señal escalón a la entrada tenemos:

( )1

11

1)(12 +=

+=

ssA

ssVsV

ττ

Antitransformando nos queda:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

−τt

eAtv 12

Luego, para distintos valores de t

Para

( )( )( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

=∞=≅−≅=

==

AtvtAAtvt

tvt

2

2

2

63.0)37.01(00

τ

( ) ( )( )⎩

⎨⎧

>=<=

000

1

11 tparaAtv

tparatvtv

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SISTEMAS DE PRIMER ORDEN

21

SISTEMAS DE PRIMER ORDENComo hemos visto, los sistemas de primer orden se caracterizan por la denominada constante de tiempo del sistema, que es el coeficiente de la primera derivada. Esta constante es una medida de la “agilidad” del sistema para seguir las evoluciones d e la señal de entrada. Sistemas térmicos Pueden representarse por ecuaciones diferenciales un número limitado de sistemas térmicos; solo hace falta considerar que la temperatura de un cuerpo es uniforme. Puede considerarse que una región de aire o líquido es uniforme si el fluido está mezclado perfectamente. La condición necesaria para el equilibrio requiere que el calor añadido a un sistema sea igual al calor almacenado más el disipado; esto puede expresarse en función del flujo calorífico. Con estos conceptos en mente pasaremos a modelar el termómetro de mercurio.

Termómetro de mercurio Asumimos que la capacidad calorífica del cristal es despreciable, y que el mercurio se encuentra a una temperatura uniforme .2Θ Repentinamente, sumergimos el termómetro en un baño de agua que se encuentra a la temperatura .1Θ En este sistema 1Θ es la variable de entrada y 2Θ es la variable de salida. En todo momento, el flujo de calor que atraviesa la pared de cristal, debido a la diferencia de temperaturas, es acumulado por el mercurio y, por tanto, debe cumplirse la ecuación de equilibrio Flujo de calor trasvasado = flujo de acumulación

dt

dCdt

dcMAU P22)21( Θ

=Θ

=Θ−Θ

donde U = Coeficiente de transmisión de calor A = Superficie de conducción de calor M = Masa de mercurio Pc = Calor específico del mercurio

C = Capacidad calorífica del mercurio = M Pc

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SISTEMAS DE PRIMER ORDENReordenando obtenemos

122Θ=Θ+

Θdt

dAUcM P

Haciendo

tiempodectedondeAUcM P == ττ

nos queda

122Θ=Θ+

Θdt

dτ

Aplicando la transformada de Laplace, la transmitancia será

1

112

+=

ΘΘ

=s

Gτ

Podemos notar del estudio anterior la analogía con un circuito R-C en lo que se refiere al concepto de Resistencia-Capacidad. La capacidad ya ha quedado justificada y la resistencia equivale en este caso a la inversa del producto UA.Siendo este producto una conductancia calorífica, de aquí que su inversa puede considerarse una resistencia. Es, en efecto, la resistencia al paso del calor.

En resumen para sistemas térmicos podemos decir que:

ResistenciaAU

1=

Capacidad PcM=

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SISTEMAS DE PRIMER ORDENSistema mecánico de rotaciónSea el sistema mostrado en la siguiente figura. El mismo consiste en una carga inercial y un amortiguador viscoso a fricción.

Se define J = Momento de inercia de la carga B = Coeficiente de fricción viscosa w = Velocidad angular T = Par aplicado al sistema Para sistemas mecánicos de rotación la ley de Newton establece que ∑= TJα Donde

=α Aceleración angular aplicando la ley de Newton al sistema que se está estudiando obtenemos:

)()()( twBtwdtdJtT +=

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SISTEMAS DE PRIMER ORDENSi se supone que el par aplicado es la entrada y la velocidad angular la salida, la función transferencia de este sistema resulta ser

JBs

JBJssT

s+

=+

=Ω 11

)()(

Siendo =Ω )(s £ [ ])(tw =)(sT £ [ ])(tT La función de respuesta se puede determinar entonces si se especifica una función de excitación. Si el par de entrada es una función escalón igual a 1,0 )(tuS N-m y si los valores de J y de B son 25.0 mkg − y 1.0 N-M para rad/s, entonces:

)2(2)(1)(+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=Ωss

sTJBs

Js

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SISTEMAS DE PRIMER ORDEN A LAZO CERRADODiagrama de bloques

Si hacemos Ka=1 y H=1 y utilizando el ejemplo anterior como planta nos queda:

Ω

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SISTEMAS DE PRIMER ORDEN A LAZO CERRADO

Utilizando álgebra de bloques llegamos al siguiente diagrama

Donde 15.02

2+

=+

=s

Kcs

KcG

Luego la transferencia del lazo completo será:

GH

GHT +=

Ω1

Ω

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SISTEMAS DE PRIMER ORDEN A LAZO CERRADOReemplazando G y H obtenemos:

Kcs

Kc

sKcs

Kc

T ++=

++

+=

Ω15.0

15.01

15.0

Haciendo:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++

=Ω

11

5.01

1Kc

sKcKc

T

Llamando

1

5.0'+

=Kc

τ

tenemos

( )1'1

1 ++=

ΩsKc

KcT τ

Aplicando a la entrada un escalón de altura A ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ =

sAsT )( nos queda

( )1'1

1)(

++=Ω

sKcKc

sAs

τ

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Antitransformando

)1(1

)( 'τt

eKc

KcAtw−

−+

=

Vamos a analizar lo que sucede para ∞→t

0;1

)( ><+

=∞ KcconAKc

KcAw

También podemos analizarlo en s aplicando el teorema del valor final )()()(

0sslimtwlimw

stΩ==∞

→∞→

De lo anterior surge que la salida nunca alcanza el valor de la entrada A hay un error permanente SSe que va estar dado por:

1

1)1

1(1

)(+

=+

−=+

−=∞−=Kc

AKc

KcAKc

KcAAwAeSS

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Si gráficamos para distintos valores de Kc en función de t para una entrada escalón unitario

sistemas de primer orden - ing. greco

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