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Sistemas de n ecuaciones con n incognitas

Matrices cuadradas y determinantes

Algebra

Araceli Guzman y Guillermo Garro

Facultad de CienciasUNAM

Semestre 2018-1

doyouwantmektalwar.wordpress.com

Sistemas de n ecuaciones y n ecuaciones Algebra

Sistemas de dos ecuaciones con dos incognitas

(I)

{ax+ by = e (1)

cx+ dy = f (2)

Las preguntas que debemos responder son

1. ¿El sistema tiene solucion?

2. De ser ası, ¿cuantas soluciones tiene?

3. ¿Cuales son los criterios para determinar existencia y unicidad de las soluciones?

Araceli Guzman y Guillermo Garro doyouwantmektalwar.wordpress.com Facultad de Ciencias UNAM


Analisis Geometrico: Ecuacion General de la Recta

Recordemos que la ecuacion general de la recta en R2 esta dada por

Ax+By = C, con A2 +B2 > 0.

La condicion A2 +B2 > 0 se usa para garantizar que al menos una de las constantes A o Bes distinta de cero.

Si B = 0, se trata de unarecta vertical que pasa porel punto

(CA, 0)




Recordemos que la ecuacion general de la recta en R2 esta dada por

Ax+By = C, con A2 +B2 > 0.

La condicion A2 +B2 > 0 se usa para garantizar que al menos una de las constantes A o Bes distinta de cero

Si B 6= 0, cualesquiera dos pun-tos (x1, y1) y (x2, y2) en la rectacumplen

y2 − y1x2 − x1

= −A

B.

El numero m = −AB

es llamado

pendiente, y el numero b = CB

sellama ordenada al origen.




(I)

{ax+ by = e (1)

cx+ dy = f (2)

Analisis de las soluciones

Si a y b, y c y d no son ambas cero, el sistema (I) implica dos rectas en el plano.

No solucion

Rectas paralelas

Una solucion

Rectas no paralelas

Infinitas soluciones

Rectas iguales




(I)

{ax+ by = e (1)

cx+ dy = f (2)

Analisis de las soluciones. Casos triviales

Supongamos que a = 0 = b (o bien c = 0 = d).

Entonces cualquier punto (x, y) ∈ R2 cumple la ecuacion (1) siempre que e = 0.

En ese caso, se tiene en particular, que todos los puntos que cumplen (2) tambien cumplen(1).

Pero (2) es un plano o una recta. En cualquier caso, el sistema (I) tiene una infinidad desoluciones.

Pero si e 6= 0, entonces el sistema no tiene solucion.

Cuando c = 0 = d, el caso es completamente analogo.




(I)

{ax+ by = e (1)

cx+ dy = f (2)


Teorema

Las ecuaciones (1) y (2) del sistema (I) son dos rectas que se cortan en un unico puntosi y solo si,

ad− bc 6= 0.

Demostracion.

Observe que los casos a = 0 = b o c = 0 = d quedan excluidos. Vamos a probar la proposicionequivalente:

Las ecuaciones (1) y (2) son rectas parelelas si y solo si ad− bc = 0.

[⇒] Supongamos que (1) y (2) son rectas paralelas.

Si b = 0, (1) es una recta vertical. Por lo que d = 0. Y entonces

ad− bc = 0.Araceli Guzman y Guillermo Garro doyouwantmektalwar.wordpress.com Facultad de Ciencias UNAM



(I)

{ax+ by = e (1)

cx+ dy = f (2)


Teorema


ad− bc 6= 0.

Demostracion.




Si b 6= 0, entonces d 6= 0, por lo que podemos despejar y de ambas ecuaciones,

y = −a

bx+

e

by y = −

c

dx+

f

d.




(I)

{ax+ by = e (1)

cx+ dy = f (2)


Teorema


ad− bc 6= 0.

Demostracion.




Y como las rectas son paralelas, deben tener misma pendiente, esto es, ab

= cd. Luego

ad− bc = 0.




(I)

{ax+ by = e (1)

cx+ dy = f (2)


Teorema


ad− bc 6= 0.

Demostracion.



[⇐] Supongamos que ad− bc = 0.

Si b = 0 entonces ad = 0. Pero tambien a 6= 0. Por lo tanto d = 0. Ası que las rectas (1) y(2) son paralelas.




(I)

{ax+ by = e (1)

cx+ dy = f (2)


Teorema


ad− bc 6= 0.

Demostracion.



[⇐] Supongamos que ad− bc = 0.

Supongamos que b 6= 0. Si d = 0 entonces c = 0. Constradiccion. De modo que d 6= 0.Luego, a

b= c

d, esto es las pendientes de las rectas (1) y (2) son iguales.




(I)

{ax+ by = e (1)

cx+ dy = f (2)


Teorema : Regla de Cramer

El sistema (I) tiene solucion unica si y solo si

ad− bc 6= 0.

En cuyo caso la solucion (x, y) esta dada por las formulas

x =de− bfad− bc

y y =af − cead− bc

. (∗)

Solo hay que verificar que las formulas (∗) resuelvene el sistema (I):

(1) ax+ by = ade− bfad− bc

+ baf − cead− bc

=ade− abf + abf − bce

ad− bc= e.




(I)

{ax+ by = e (1)

cx+ dy = f (2)



El sistema (I) tiene solucion unica si y solo si

ad− bc 6= 0.

En cuyo caso la solucion (x, y) esta dada por las formulas

x =de− bfad− bc

y y =af − cead− bc

. (∗)

Solo hay que verificar que las formulas (∗) resuelvene el sistema (I):

(2) cx+ dy = cde− bfad− bc

+ daf − cead− bc

=cde− bcf + adf − cde

ad− bc= f.



Ejemplo: A veces hay caminos mas cortos

Sea el sistema {x+ y = 3 (1)

x+ 2y = −8 (2)

Hacemos la diferencia de la ecuacion (2)menos la ecuacion (1), para obtener

y = −11.

Sustituimos este valor en la ecuacion (1),

x+ (−11) = 3 ⇔ x− 11 = 3

⇔ x = 3 + 11

⇔ x = 14.

Solucion unica del sistema: (14,−11).



Ejemplo: Las formulas siempre son efectivas

Sea el sistema {3x− 7y = −5 (1)

4x− 3y = −2 (2)

De acuerdo al teorema de existencia y unici-dad,

x =(−5)(−3)− (−7)(−2)

3(−3)− (−7)(4)=

1

19

y =3(−2)− (−5)(4)3(−3)− (−7)(4)

=14

19.

Solucion unica del sistema:(1

19,14

19

).



Ejemplo: Siempre podemos elegir el mejor camino a seguir. La clave: elmınimo esfuerzo

Sea el sistema

(I)

{9x− 3y = −3 (I.1)

−2x+ 4y = 1 (I.2)

Multiplicamos (I.1) por 29

para obtener el sis-tema equivalente:

(II)

{2x− 2

3y = − 2

3(II.1)

−2x+ 4y = 1 (II.2)

Sumamos (II.1) y (II.2) para obtener

10

3y =

1

3⇔ y =

1

10.

Sustituimos este valor en (II.2),

−2x+ 41

10= 1⇔ −2x =

3

5⇔ x = −

3

10.



Uso de software: Octave

Sea el sistema {x+ y = 3 (1)

x+ 2y = −8 (2)

El codigo en Octave para resolver este sistema, como sistema de ecuaciones simbolicas, escomo sigue

> pkg load symbolic

> syms x y

> eqn1=x+y==3;

> eqn2=x+2*y==-8;

> solve(eqn1 ,eqn2 ,x,y)

ans =

scalar structure containing the fields:

x = (sym) 14

y = (sym) -11

> eqn1=ezplot(’x+y-3’ ,[-20 20 -20 20]);

> set(eqn1 ,’color’ ,[1 0 0])

> hold on

> eqn2=ezplot("x+2*y+8" ,[-20 20 -20 20]);

> title("Solucion del sistema");

> legend(’x+y=3’,’x+2y=-8’)



Matrices y determinantes de 2 × 2

Una matriz cuadrada de tamano 2, es una arreglo de 4 numeros ordenados en 2 renglones(filas) y 2 columnas:

A =

(a11 a12a21 a22

)Los numeros aij son llamados componentes (entradas o coeficientes) de la matriz A. Es-pecıficamente, para cada 1 ≤ i ≤ 2 y 1 ≤ j ≤ 2, aij es la ij-componente de A.

Es comun tambien la notacion

A = (Aij)2 o bien A = (aij)2×2 o bien A = (aij)1≤i,j≤2.

Dos matrices cuadradas de tamano 2, A = (aij)2 y B = (bij)2, son iguales si y solo siaij = bij , para todo 1 ≤ i, j ≤ 2.

Ejemplos

Las siguientes son matrices de 2× 2(1 20 1

),

(−1 01 0

),

(0 00 0

),

(0 0π 0

),

(2 3−2 −3

)




La matriz transpuesta de una matriz A = (aij)2 es la matriz

AT =

(a11 a21a12 a22

)Es decir, AT esta formada por el intercambio de renglones por columnas de A. Podemos usarla notacion AT = (aT

ij)2 donde aTij = aji para todas 1 ≤ i, j ≤ 2.

Ejemplos

(1 20 1

)T

=

(1 02 1

),

(−1 01 0

)T

=

(−1 10 0

),

(0 00 0

)T

=

(0 00 0

),

(0 0π 0

)T

=

(0 π0 0

),

(2 3−2 −3

)T

=

(2 −23 −3

)




El determinante de una matrriz A = (aij)2×2 de 2× 2 es el numero

|A| =∣∣∣∣a11 a12a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.

Ejemplos

∣∣∣∣1 20 1

∣∣∣∣ = 1,

∣∣∣∣−1 01 0

∣∣∣∣ = 0,

∣∣∣∣0 00 0

∣∣∣∣ = 0,

∣∣∣∣0 0π 0

∣∣∣∣ = 0,

∣∣∣∣ 2 3−2 −3

∣∣∣∣ = 0




Teorema

Dada una matriz A = (aij)2×2,

|AT| = |A|

Demostracion.

|AT| =∣∣∣∣a11 a21a12 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a21a12 =

∣∣∣∣a11 a12a21 a22

∣∣∣∣ = |A|.




Teorema

Dados numeros reales aij , 1 ≤ i, j ≤ 2,∣∣∣∣a11 a12a21 a22

∣∣∣∣ = − ∣∣∣∣a21 a22a11 a12

∣∣∣∣ y

∣∣∣∣a11 a12a21 a22

∣∣∣∣ = − ∣∣∣∣a12 a11a22 a21

∣∣∣∣Esto es, si alternamos renglones o columnas, el determinante cambia de signo.

Demostracion.

∣∣∣∣a11 a12a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21

= − (a12a21 − a11a22) = −∣∣∣∣a21 a22a11 a12

∣∣∣∣



Operaciones con matrices de 2 × 2

Si λ ∈ R, definimos el producto por un escalar como

λA = λ

(a11 a12a21 a22

)=

(λa11 λa12λa21 λa22

)En notacion abreviada

λA = (λaij)2×2

Ejemplos

5

(2 −3−1 0

)=

(10 −15−5 0

), −

(2 −3−1 0

)=

(−2 31 0

)




La suma de dos matrices A = (aij)2×2 y B = (bij)2×2 es la matriz

A+B =

(a11 a12a21 a22

)+

(b11 b12b21 b22

)=

(a11 + b11 a12 + b12a21 + b21 a22 + b22

)

En notacion abreviadaA+B = (aij + bij)2×2

Ejemplos

(1 20 1

)+

(−1 01 0

)=

(0 21 1

)(

4 7−5 1

)−(−1 −21 7

)=

(5 9−6 −6

)




El producto de dos matrices A = (aij)2×2 y B = (bij)2×2 es la matriz

AB =

(a11 a12a21 a22

)(b11 b12b21 b22

)=

(a11b11 + a12b21 a11b12 + a12b22a21b11 + a22b21 a21b12 + a22b22

)

En notacion abreviadaAB = (ai1b1j + ai2b2j)2×2.

Ejemplos

(2 35 6

)(2 00 1

)=

(4 310 6

),

(1 50 1

)(1 −32 3

)=

(11 122 3

)




Si x =

(xy

)es un vector columna en R2 y A = (aij)2×2 es una matriz cuadrada de tamano

2, entonces tambien definimos los siguientes productos

xTA =(x y

)(a11 a12a21 a22

)=(a11x+ a21y a12x+ a22y

)Ax =

(a11 a12a21 a22

)(xy

)=

(a11x+ a12ya21x+ a22y

)Observe que xTA es un vector renglon y Ax es un vector columna.

Ejemplo

Sea x =

(20

)y sea A =

(−1 −32 0

). Entonces

xTA =(2 0

)(−1 −32 0

)=(0 −3

)Ax =

(−1 −32 0

)(20

)=

(−24

)




Teorema : Propiedades asociativas

Sean A = (aij)2×2, B = (bij)2×2 y C = (cij)2×2 matrices cuadradas de tamano 2.Entonces

(A+B) + C = A+ (B + C) y (AB)C = A(BC).

Demostracion.

(A+B) + C =

[(a11 a12a21 a22

)+

(b11 b12b21 b22

)]+

(c11 c12c21 c22

)=

(a11 + b11 a12 + b12a21 + b21 a22 + b22

)+

(c11 c12c21 c22

)=

((a11 + b11) + c11 (a12 + b12) + c12(a21 + b21) + c21 (a22 + b22) + c22

)=

(a11 + (b11 + c11) a12 + (b12 + c12)a21 + (b21 + c21) a22 + (b22 + c22)

)=

(a11 a12a21 a22

)+

(b11 + c11 b12 + c12b21 + c21 b22 + c22

)=

(a11 a12a21 a22

)+

[(b11 b12b21 b22

)+

(c11 c12c21 c22

)]= A+ (B + C).




Teorema : Propiedades distributivas


A(B + C) = AB +BC y (B + C)A = BA+ CA.

Demostracion.

A(B + C) =

(a11 a12a21 a22

)[(b11 b12b21 b22

)+

(c11 c12c21 c22

)]=

(a11 a12a21 a22

)(b11 + c11 b12 + c12b21 + c21 b22 + c22

)=

(a11(b11 + c11) + a12(b21 + c21) a11(b12 + c12) + a12(b22 + c22)a21(b11 + c11) + a22(b21 + c21) a21(b12 + c12) + a22(b22 + c22)

)=

((a11b11 + a12b21) + (a11c11 + a12c21) (a11b12 + a12b22) + (a11c12 + a12c22)(a21b11 + a22b21) + (a21c11 + a22c21) (a21b12 + a22b22) + (a21c12 + a22c22)

)=

(a11b11 + a12b21 a11b12 + a12b22a21b11 + a22b21 a21b12 + a22b22

)+

(a11c11 + a12c21 a11c12 + a12c22a21c11 + a22c21 a21c12 + a22c22

)=

(a11 a12a21 a22

)(b11 b12b21 b22

)+

(a11 a12a21 a22

)(c11 c12c21 c22

)= AB +AC.



Una propiedad relevante

Teorema

Sean A = (aij)2×2 y B = (bij)2×2 matrices. Entonces

|AB| = |A||B|.

Demostracion.

|AB| =∣∣∣∣a11b11 + a12b21 a11b12 + a12b22a21b11 + a22b21 a21b12 + a22b22

∣∣∣∣= (a11b11 + a12b21)(a21b12 + a22b22)− (a11b12 + a12b22)(a21b11 + a22b21)

= a11a21b11b12 + a11a22b11b22 + a12a21b12b21 + a12a22b21b22

− a11a21b11b12 − a11a22b12b21 − a12a21b11b22 − a12a22b21b22

= a11a22(b11b22 − b12b21)− a12a21(b11b22 − b12b21)

= (a11a22 − a12a21)(b11b22 − b12b21)

= |A||B|.



Una propiedad relevante

Corolario


|AB| = |BA|.

Pero no es lo mismo...

Este corolario no dice que se cumpla la igualdad

AB = BA.

Se deja como ejercicio al estudiante comprobar con un ejemplo que esta igualdad no se cumple



Operaciones con matrices

Teorema

Si A = (aij)2×2 es una matriz y λ ∈ R,

|λA| = λ2|A|.

En particular, | −A| = |A|.

Demostracion.

|λA| =∣∣∣∣λa11 λa12λa21 λa22

∣∣∣∣= λa11λa22 − λa12λa21

= λ2(a11a22 − a12a21)

= λ2|A|.




Teorema

Sean a, b, c, d y λ numeros reales.∣∣∣∣ a bλc λd

∣∣∣∣ = λ

∣∣∣∣a bc d

∣∣∣∣Demostracion. ∣∣∣∣ a b

λc λd

∣∣∣∣ = λad− λbc = λ(ad− bc) = λ

∣∣∣∣a bc d

∣∣∣∣Teorema

Sean a, b, c, d y λ numeros reales.∣∣∣∣a λbc λd

∣∣∣∣ = λ

∣∣∣∣a bc d

∣∣∣∣Demostracion. ∣∣∣∣a λb

c λd

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ a cλb λd

∣∣∣∣ = λ

∣∣∣∣a cb d

∣∣∣∣ = λ

∣∣∣∣a bc d

∣∣∣∣

De la misma forma...

Debe ser claro que las igualdades siguientes son tambien validas:∣∣∣∣λa λbc d

∣∣∣∣ = λ

∣∣∣∣a bc d

∣∣∣∣ y

∣∣∣∣λa bλc d

∣∣∣∣ = λ

∣∣∣∣a bc d

∣∣∣∣




Teorema

Sean a, b y λ numeros reales. ∣∣∣∣ a bλa λb

∣∣∣∣ = 0

Demostracion.

∣∣∣∣ a bλa λb

∣∣∣∣ = λab− λab = 0.

Corolario

Sean a, b y λ numeros reales. ∣∣∣∣a λab λb

∣∣∣∣ = 0


Debe ser claro que las igualdades siguientes son tambien validas:∣∣∣∣λa λba b

∣∣∣∣ = 0 y

∣∣∣∣λa aλb b

∣∣∣∣ = 0



Una interesante propiedad de linealidad

Teorema

Sean a, b, u1, u2, v1 y v2 numeros reales. Entonces∣∣∣∣ a bu1 + v1 u2 + v2

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ a bu1 u2

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣ a bv1 v2

∣∣∣∣Demostracion.

∣∣∣∣ a bu1 + v1 u2 + v2

∣∣∣∣ = a(u2 + v2)− b(u1 + v1)

= au2 + av2 − bu1 − bv1

= au2 − bu1 + av2 − bv1

=

∣∣∣∣ a bu1 u2

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣ a bv1 v2

∣∣∣∣




Teorema

Sean a, b, u1, u2, v1 y v2 numeros reales. Entonces∣∣∣∣ a bu1 + v1 u2 + v2

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ a bu1 u2

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣ a bv1 v2

∣∣∣∣


Este resultado no dice que se cumpla la igualdad(a b

u1 + v1 u2 + v2

)=

(a bu1 u2

)+

(a bv1 v2

)Dejamos al estudiante que compruebe con un ejemplo que esta igualdad no se cumple.




Teorema

Sean a, c, u1, u2, v1 y v2 numeros reales. Entonces∣∣∣∣a u1 + v1c u2 + v2

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣a u1c u2

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣a v1c v2

∣∣∣∣Demostracion.

∣∣∣∣a u1 + v1c u2 + v2

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ a cu1 + v1 u2 + v2

∣∣∣∣=

∣∣∣∣ a cu1 u2

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣ a cv1 v2

∣∣∣∣=

∣∣∣∣a u1c u2

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣a v1c v2

∣∣∣∣


Debe ser claro que las igualdades siguientes son tambien validas:∣∣∣∣u1 + v1 u2 + v2a b

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣u1 u2a b

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣v1 v2a b

∣∣∣∣∣∣∣∣u1 + v1 au2 + v2 b

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣u1 au2 b

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣v1 av2 b

∣∣∣∣



El determinante como area dirigida en R2

Teorema

Sean a y b numeros reales no ambos cero, y c y d numeros reales no ambos cero. Elarea del paralelogramo A formado por los vectores x = (a, b) y y = (c, d) es igual a|ad− bc|.



Vectores parelelos y determinantes

Teorema

Sean a, b, c y d numeros reales. Si ∣∣∣∣a bc d

∣∣∣∣ = 0

entonces los vectores renglon (a, b) y (c, d) son paralelos, o bien, los vectores columna(a, c) y (c, d) son paralelos.

Demostracion.

Supongamos que ad = bc. Podemos analizar dos casos, a saber

Caso I. d = 0. En tal caso ad = 0 y por tanto bc = 0. En cuyo caso, b = 0 o bien c = 0. Sic = 0, entonces obviamente

(c, d) = (0, 0) = 0 · (a, b).

Si b = 0, se sigue igualmente

(b, d) = (0, 0) = 0 · (a, c).



Vectores parelelos y determinantes

Teorema

Sean a, b, c y d numeros reales. Si ∣∣∣∣a bc d

∣∣∣∣ = 0

entonces los vectores renglon (a, b) y (c, d) son paralelos, o bien, los vectores columna(a, c) y (c, d) son paralelos.

Demostracion.

De la hipotesis se sigue que ad = bc. Hay dos casos, a saber

Caso II. d 6= 0. En tal caso despejamos a en la igualdad ad = bc, para obtener que a = cdb.

Por lo tanto,

(a, b) =( cdb,c

d

)=b

a(a, c).



Matrices y sistemas de ecuaciones

Dado el sistema

(I)

{a11x1 + a12x2 = b1

a12x1 + a22x2 = b2

Hacemos la matriz

A =

(a11 a12a21 a22

).

La matriz A es llamada matriz de coeficientes del sistema (I).

Tambien definimos los vectores columna

x =

(xy

)y b =

(b1b2

),

entonces podemos representar (I), con la ecuacion matricial

Ax = b.

Esto es (a11 a12a21 a22

)(xy

)=

(b1b2

).

De otra manera...

Realizando calculos directos, se puede comprobar facilmente

Ax = b ⇔ xTAT = bT.



Matrices y sistemas de ecuaciones

Dado el sistema Ax = b, es decir,(a11 a12a21 a22

)(xy

)=

(b1b2

). (1)

Definimos las matrices

Ax =

(b1 a12b2 a22

)y Ay =

(a11 b1a21 b2.

)

Teorema : Regla de Carmer

El sistema (1) tiene solucion unica si y solo si,

|A| = a11a22 − a12a21 6= 0.

En cuyo caso, la solucion (x, y) esta dada por

x =|Ax||A|

=a22b1 − a12b2a11a22 − a12a21

y y =|Ay ||A|

=a11b2 − a21b1a11a22 − a12a21

.



Matrices inversas

Dada la matriz cuadrada

A =

(a11 a12a21 a22

),

decimos que una matriz

B =

(b11 b12b21 b22

)es la (una, pues aun no probamos unicidad) inversa de A si

AB = BA = I2

donde

I2 =

(1 00 1

)es la matriz identidad de tamano 2.

Si una matriz A tiene inversa, decimos que A es invertible.



Matrices inversas

¿Por que I2 se llama matriz identidad?

Teorema


AI2 = I2A = A.

Demostracion.

AI2 =

(a11 a12a21 a22

)(1 00 1

)=

(a11 · 1 + a12 · 0 a11 · 0 + a12 · 1a21 · 1 + a22 · 0 a21 · 0 + a22 · 1

)=

(a11 a12a21 a22

)= A.

Analogamente se prueba I2A = A.

Teorema

|I2| = 1



Matrices inversas

Teorema

Si A = (aij)2×2 es una matriz invetible, solo hay una unica inversa de A.

Demostracion.

Sean B y B′ matrices inversas de A. Tenemos

B = BI2 = B(AB′) = (BA)B′ = I2B′ = B′.

Usamos A−1 para denotar la matriz inversa de A.

Teorema

I2 es invertible y I−12 = I2.



Matrices inversas

Teorema

Una matriz A = (aij)2×2 es invetible si y solo si

|A| = a11a22 − a12a21 6= 0.

Demostracion.

Consideremos una matriz B =

(x1 x2y1 y2

). Entonces por definicion de producto de matrices,

AB =

(a11 a12a21 a22

)(x1 x2y1 y2

)=

(a11x1 + a12y1 a11x2 + a12y2a21x1 + a22y1 a21x2 + a22y2

)Por lo tanto, AB = I2 si y solo si

a11x1 + a12y1 = 1 a11x2 + a12y2 = 0

a21x1 + a22y1 = 0 a21x2 + a22y2 = 1

Ambos sistemas tienen solucion unica si y solo si

|A| = a11a22 − a12a21 6= 0.



Matrices inversas

De hecho, si resolvemos los sistemas

a11x1 + a12y1 = 1 a11x2 + a12y2 = 0

a21x1 + a22y1 = 0 a21x2 + a22y2 = 1

tenemos

x1 =a22

a11a22 − a12a21x2 = −

a12

a11a22 − a12a21y1 = −

a21

a11a22 − a12a21y2 =

a11

a11a22 − a12a21

Por tanto,

A−1 =1

a11a22 − a12a21

(a22 −a12−a21 a11

).

La matriz

adj(A) =

(a22 −a12−a21 a11

)se llama (matriz) adjunta (clasica) de A.

Matriz inversa

Tenemos una primera formula para la matriz inversa de una matriz invertibleA = (aij)2×2:

A−1 =1

|A|adj(A).



Matrices inversas y sistemas de ecuaciones lineales

Sea un sistema de 2× 2,

(1)

(a11 a12a21 a22

)(xy

)=

(b1b2

).

O bien, si

A =

(a11 a12a21 a22

), x =

(xy

)y b =

(b1b2

),

entonces escribimos (1) como(2) Ax = b.

Si |A| = a11a22 − a12a21 6= 0, entonces multiplicamos por la izquierda ambos miembros dela ecuacion (2) por la matriz inversa A−1 = 1

|A|adj(A), y obtenemos la solucion

A−1Ax = A−1b

I2x = A−1b

x = A−1b.

Encontrar matrices inversas y resolver sistemas de ecuaciones con igual numero de ecuacionese incognitas son calculos equivalentes.



Ejemplo

Sea el sistema {−13x+ 3y = 7

5x+ 22y = 9

Definimos

A =

(−13 3

5 22

), x =

(xy

)y b =

(79

)Para escribir este sistema en forma matricial Ax = b, o sea,(

−13 35 22

)(xy

)=

(79

)Tenemos entonces

|A| = (−13)(22)− (3)(5) = −301, y adj(A) =

(22 −3−5 −13

),

De donde

A−1 =1

|A|adj(A) =

(− 22/301 3/301

5/301 13/301

)



Ejemplo


5x+ 22y = 9

Definimos

A =

(−13 3

5 22

), x =

(xy

)y b =

(79

)Para escribir este sistema en forma matricial Ax = b, o sea,(

−13 35 22

)(xy

)=

(79

)La solucion del sistema esta dada por(

xy

)= A−1b =

(− 22/301 3/301

5/301 13/301

)(79

)=

(− 127/301

152/301

)



Uso de software Octave


5x+ 22y = 9

En Octave tenemos varias posibilidades para resolver sistemas como sistemas matriciales:

> A=[-13 3;5 22]

A =

-13 3

5 22

> b=[7;9]

b =

7

9

> iA=inv(A)

iA =

-0.0730897 0.0099668

0.0166113 0.0431894

> x=iA*b

x =

-0.42193

0.50498

> A=[-13 3;5 22]

A =

-13 3

5 22

> b=[7;9]

b =

7

9

> x=A\b

x =

-0.42193

0.50498

> A=[-13 3;5 22]

A =

-13 3

5 22

> b=[7;9]

b =

7

9

> x=linsolve(A,b)

x =

-0.42193

0.50498



Uso de software Octave


5x+ 22y = 9

Tambien podemos calcular el determinante, la matriz adjunta y realizar los graficos:

> A=[-13 3;5 22];

> b=[7;9];

> d=det(A)

d=-301

> iA=inv(A);

> adjA=d*iA

adjA =

22.0000 -3.0000

-5.0000 -13.0000

> x=linsolve(A,b)

x =

-0.42193

0.50498

> eqn1=ezplot(’ -13*x+3*y-7’,[-2 2 -2 2]);

> set(eqn1 ,’color’ ,[1 0 0])

> hold on

> eqn2=ezplot("5*x+22*y-9" ,[-2 2 -2 2]);

> plot(x(1),x(2),’go’,’LineWidth ’ ,5)

> legend(’ -13x+3y=7’,’5x+22y=9’);

> title("Solucion del sistema")-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

x

y

-13x + 3y =75x+22y=9

Solucion del sistema




Una matriz cuadrada de tamano 3 (3 renglones y 3 columnas) es una arreglo de 9 numerosreales o complejos

A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

.

Tambien usamos la notacion A = (aij)3×3 o bien A = (aij)3i,j=1 o bien A = (aij)1≤i,j≤3,

como es corriente.

Dos matrices cuadradas de tamano 3, A = (aij)3 y B = (bij)3, son iguales si y solo siaij = bij , para todo 1 ≤ i, j ≤ 3.

Ejemplos

−2 3 1−3 0 20 1 −2

,

2 π 00 0 2−1 3 −1

,

−1 3 1−e −2 20 −π −2π

,

√2 π 00 0 0

−eπ πe −1




La matriz transpuesta de una matriz A = (aij)1≤i,j≤3 es la matriz

AT =

a11 a21 a31a12 a22 a32a13 a23 a33

Esto es, AT resulta de intercambiar renglones por columnas de la matriz A.

Podemos escribir ası AT = (aTij)1≤i,j≤3 donde

aTij = aji, ∀1 ≤ i, j ≤ 3.

Ejemplos

−2 3 1−3 0 20 1 −2

T

=

−2 −3 03 0 11 2 −2

,

2 π 00 0 2−1 3 −1

T

=

2 0 −1π 0 30 2 −1



Matrices y Determinantes de 3 × 3

Definimos el determinante de A = (aij)1≤i,j≤3 como el numero real

|A| =

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣= a11

∣∣∣∣a22 a23a32 a33

∣∣∣∣− a12 ∣∣∣∣a21 a23a31 a33

∣∣∣∣+ a13

∣∣∣∣a21 a22a31 a32

∣∣∣∣= a11 (a22a33 − a23a32)− a12 (a21a33 − a23a31) + a13 (a21a32 − a22a31)

= a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23 − a13a22a31 − a23a32a11 − a33a12a21.

Ejemplo

∣∣∣∣∣∣−2 3 1−3 0 20 1 −2

∣∣∣∣∣∣ = −2∣∣∣∣0 21 −2

∣∣∣∣− 3

∣∣∣∣−3 20 −2

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣−3 00 1

∣∣∣∣= −2(−2)− 3(6)− 3

= −17



Determinantes de matrices de 3 × 3: Regla de Sarrus

A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

|A| = a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23 − a13a22a31 − a23a32a11 − a33a12a21.

Regla de Sarrus. Fuente Wikipedia

¡Advertencia!

La Regla de Sarrus es unicamente validapara determinantes de tamano 3.


https://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_Sarrus



Teorema


|AT| = |A|

Demostracion.

Basta calcular |AT| de acuerdo a la regla de Sarrus:

a11 a21 a31

a12 a22 a32

a13 a23 a33

a11 a21 a31

a12 a22 a32

+

+

+

−

−

−= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32

− a31a22a13 − a32a23a11 − a33a21a12

= a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23

− a13a22a31 − a23a32a11 − a33a12a21

Ası que |AT| = |A|.



Matrices y determinantes de 3 × 3: Desarrollo por columna

Del teorema anterior se desprende∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣a11 a21 a31a12 a22 a32a13 a23 a33

∣∣∣∣∣∣= a11

∣∣∣∣a22 a32a23 a33

∣∣∣∣− a21 ∣∣∣∣a12 a32a13 a33

∣∣∣∣+ a31

∣∣∣∣a12 a22a13 a23

∣∣∣∣= a11

∣∣∣∣a22 a23a32 a33

∣∣∣∣− a21 ∣∣∣∣a12 a13a32 a33

∣∣∣∣+ a31

∣∣∣∣a12 a22a31 a23

∣∣∣∣La formula∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ = a11

∣∣∣∣a22 a23a32 a33

∣∣∣∣− a21 ∣∣∣∣a12 a13a32 a33

∣∣∣∣+ a31

∣∣∣∣a12 a22a31 a23

∣∣∣∣se conoce como desarrollo por columna del determinante de 3× 3.




Teorema

Dados numeros reales aij , 1 ≤ i, j ≤ 3,∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ = −∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a31 a32 a33a21 a22 a23

∣∣∣∣∣∣ y

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ = −∣∣∣∣∣∣a11 a13 a12a21 a23 a22a31 a33 a32

∣∣∣∣∣∣Demostracion.∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ = −a11∣∣∣∣a22 a23a32 a33

∣∣∣∣− a12 ∣∣∣∣a21 a23a31 a33

∣∣∣∣+ a13

∣∣∣∣a21 a22a31 a32

∣∣∣∣= −a11

∣∣∣∣a32 a33a22 a23

∣∣∣∣+ a12

∣∣∣∣a31 a33a21 a23

∣∣∣∣− a13 ∣∣∣∣a31 a32a21 a22

∣∣∣∣= −

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a31 a32 a33a21 a22 a23

∣∣∣∣∣∣

Mas generalmente...

Debe resultar claro al estudiante, que este teorema tiene enunciacion masgeneral: si alternamos dos renglones o dos columnas, el determinante cambiade signo.La prueba de ello deberıa resultarle al estudiante igualmente trivial.




Si λ ∈ R, definimos el producto por un escalar como

λA = λ

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

=

λa11 λa12 λa13λa21 λa22 λa23λa31 λa32 λa33

En notacion abreviada

λA = (λaij)3×3

Ejemplos

4

2 π 00 0 2−1 3 −1

=

8 4π 00 0 8−4 12 −4

, −

−2 3 1−3 0 20 1 −2

=

2 −3 −13 0 −20 −1 2




La suma de dos matrices A = (aij)3×3 y B = (bij)3×3 es la matriz

A+B =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

+

b11 b12 b13b21 b22 b23b31 b32 b33

=

a11 + b11 a12 + b12 a13 + b13a21 + b21 a22 + b22 a23 + b23a31 + b31 a32 + b32 a33 + b33

En notacion abreviadaA+B = (aij + bij)3×3

Ejemplo

4

2 π 00 0 2−1 3 −1

− 2 π 0

0 0 0−π2 π −1

=

6 0 00 0 8

π2 − 4 12− π −3




El producto de dos matrices A = (aij)3×3 y B = (bij)3×3 es la matriz

AB =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

b11 b12 b13b21 b22 b23b31 b32 b33

=

a11b11 + a12b21 + a13b31 a11b12 + a12b22 + a13b32 a11b13 + a12b23 + a13b33a21b11 + a22b21 + a23b31 a21b12 + a22b22 + a23b32 a21b13 + a22b23 + a23b33a31b11 + a32b21 + a33b31 a31b12 + a32b22 + a33b32 a31b13 + a32b23 + a33b33

En notacion abreviadaAB = (ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j)3×3.

Ejemplo

2 π 00 0 2−1 3 −1

2 −3 −13 0 −20 −1 2

=

4 + 3π −6 −2(1 + π)0 −2 44 4 −3




Si x =

xyz

es un vector columna en R3 y A = (aij)3×3 es una matriz cuadrada de tamano

3, entonces tambien definimos los siguientes productos

xTA =(x y z

)a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

=(a11x+ a21y + a31z a12x+ a22y + a32z a13x+ a23y + a33z

)

Ax =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

xyz

=

a11x+ a12y + a13za21x+ a22y + a23za31x+ a32y + a33z

Observe que xTA es un vector renglon y Ax es un vector columna.



Operaciones con matrices de 3 × 3: Otros resultados

Teorema : Propiedades asociativas


(A+B) + C = A+ (B + C) y (AB)C = A(BC).

Teorema : Propiedades distributivas


A(B + C) = AB +BC y (B + C)A = BA+ CA.

Las demostraciones (tediosas) las dejamos al estudiante como ejercicio.



Operaciones con matrices de 3 × 3. Otros resultados

Teorema

Si A = (aij)3×3 es una matriz y λ ∈ R,∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23λa31 λa32 λa33

∣∣∣∣∣∣ = λ

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣Demostracion.∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13a21 a22 a23λa31 λa32 λa33

∣∣∣∣∣∣ = a11

∣∣∣∣ a22 a23λa32 λa33

∣∣∣∣− a12 ∣∣∣∣ a21 a23λa31 λa33

∣∣∣∣+ a13

∣∣∣∣ a21 a22λa31 λa32

∣∣∣∣= λa11

∣∣∣∣a22 a23a32 a33

∣∣∣∣− λa12 ∣∣∣∣a21 a23a31 a33

∣∣∣∣+ λa13

∣∣∣∣a21 a22a31 a32

∣∣∣∣= λ

(a11

∣∣∣∣a22 a23a32 a33

∣∣∣∣− a12 ∣∣∣∣a21 a23a31 a33

∣∣∣∣+ a13

∣∣∣∣a21 a22a31 a32

∣∣∣∣)

= λ

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣


Este mismo razonamiento aplica para probar las igualdades∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13λa21 λa22 λa23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ = λ

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣λa11 λa12 λa13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ = λ

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣




Corolario

Si A = (aij)3×3 es una matriz y λ ∈ R,∣∣∣∣∣∣a11 a12 λa13a21 a22 λa23a31 a32 λa33

∣∣∣∣∣∣ = λ

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣

Corolario

Si A = (aij)3×3 es una matriz y λ ∈ R,

|λA| = λ3|A|.

En particular, | −A| = −|A|.

Se dejan al estudiantes estas faciles pruebas.


Este mismo razonamiento aplica para probar las igualdades∣∣∣∣∣∣a11 λa12 a13a21 λa22 a23a31 λa32 a33

∣∣∣∣∣∣ = λ

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣λa11 a12 a13λa21 a22 a23λa31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ = λ

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣




Teorema

Si aij , 1 ≤ i ≤ 2, 1 ≤ j ≤ 3, son numeros reales, y λ ∈ R, entonces∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23λa11 λa12 λa13

∣∣∣∣∣∣ = 0

Demostracion.

Basta el caso λ = 1. Desarrollamos el determinante por columna∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a11 a12 a13

∣∣∣∣∣∣ = a11

∣∣∣∣a22 a23a12 a13

∣∣∣∣+ a21

∣∣∣∣a12 a13a12 a13

∣∣∣∣+ a11

∣∣∣∣a12 a13a22 a23

∣∣∣∣= a11

∣∣∣∣a22 a23a12 a13

∣∣∣∣+ a210− a11∣∣∣∣a22 a23a12 a13

∣∣∣∣ = 0

Un poco mas general ...

Debe resultar evidente que este resultado admite un enunciado mas general:

Si un renglon de una matriz cuadrada es multiplo de otro, entonces el de-terminante de la matriz es cero

Veremos mas adelante de hecho un enunciado mas general todavıa.




Corolario

Si aij , 1 ≤ i ≤ 3, 1 ≤ j ≤ 2, son numeros reales, y λ ∈ R, entonces∣∣∣∣∣∣a11 a12 λa11a21 a22 λa21a31 a32 λa31

∣∣∣∣∣∣ = 0

Demostracion.

Vamos a hacer esta prueba con la finalidad de ilustrar como se aplican algunos de los resultadosanteriores. Tenemos pues,∣∣∣∣∣∣

a11 a12 λa11a21 a22 λa21a31 a32 λa31

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣a11 a21 a31a12 a22 a32λa11 λa21 λa31

∣∣∣∣∣∣ = 0

Lo mismo aplica...

Debe resultar evidente que este resultado admite un enunciado mas general:

Si una columna de una matriz cuadrada es multiplo de otra, entonces eldeterminante de la matriz es cero

Veremos mas adelante de hecho un enunciado mas general todavıa.




Teorema

Si aij ∈ R, i = 1, 2, j = 1, 2, 3; y uk y vk tambien son numeros reales, k = 1, 2, 3.Entonces∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13a21 a22 a23

u1 + v1 u2 + v2 u3 + v3

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23u1 u2 u3

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23v1 v2 v3

∣∣∣∣∣∣


Este resultado no dice que se cumpla la igualdad a11 a12 a13a21 a22 a23

u1 + v1 u2 + v2 u3 + v3

=

a11 a12 a13a21 a22 a23u1 u2 u3

+

a11 a12 a13a21 a22 a23v1 v2 v3

Se deja como ejercicio verificar con un ejemplo que esta igualdad no es cierta.


Ningun estudiante deberıa dudar de la validez de las igualdades:∣∣∣∣∣∣u1 + v1 u2 + v2 u3 + v3a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣u1 u2 u3a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣v1 v2 v3a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

u1 + v1 u2 + v2 u3 + v3a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13u1 u2 u3a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13v1 v2 v3a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣




Demostracion.∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23

u1 + v1 u2 + v2 u3 + v3

∣∣∣∣∣∣ = a11

∣∣∣∣ a22 a23u2 + v2 u3 + v3

∣∣∣∣− a12 ∣∣∣∣ a21 a23u1 + v1 u3 + v3

∣∣∣∣+ a13

∣∣∣∣ a21 a22u1 + v1 u2 + v2

∣∣∣∣= a11

(∣∣∣∣a22 a23u2 u3

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣a22 a23v2 v3

∣∣∣∣)− a12 (∣∣∣∣a21 a23u1 u3

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣a21 a23v1 v3

∣∣∣∣)+ a13

(∣∣∣∣a21 a22u1 u2

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣a21 a22v1 v2

∣∣∣∣)

= a11

∣∣∣∣a22 a23u2 u3

∣∣∣∣− a12 ∣∣∣∣a21 a23u1 u3

∣∣∣∣+ a13

∣∣∣∣a21 a22u1 u2

∣∣∣∣+ a11

∣∣∣∣a22 a23v2 v3

∣∣∣∣− a12 ∣∣∣∣a21 a23v1 v3

∣∣∣∣+ a13

∣∣∣∣a21 a22v1 v2

∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23u1 u2 u3

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23v1 v2 v3

∣∣∣∣∣∣Araceli Guzman y Guillermo Garro doyouwantmektalwar.wordpress.com Facultad de Ciencias UNAM



Corolario

Si aij ∈ R, i = 1, 2, 3, j = 1, 2; y uk y vk tambien son numeros reales, k = 1, 2, 3.Entonces ∣∣∣∣∣∣

a11 a12 u1 + v1a21 a22 u2 + v2a31 a32 u3 + v3

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣a11 a12 u1a21 a22 u2a31 a32 u3

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣a11 a12 v1a21 a22 v2a31 a32 v3

∣∣∣∣∣∣Dejamos al estudiante la prueba que ya deberıa resultar sencilla.


a11 a12 u1 + v1a21 a22 u2 + v2a31 a32 u3 + v3

=

a11 a12 u1a21 a22 u2a31 a32 u3

+

a11 a12 v1a21 a22 v2a31 a32 v3

Nuevamente dejamos que el estudiante compruebe por sı mismo con un ejemplo que estaigualdad no siempre se cumple.


Todo estudiante deberıa deberıa ser capaz de probar de hecho las igualdades:∣∣∣∣∣∣u1 + v1 a12 a13u2 + v2 a22 a23u3 + v3 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣u1 a12 a13u2 a22 a23u3 a32 a33

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣v1 a12 a13v2 a22 a23v3 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 u1 + v1 a13a21 u2 + v2 a23a31 u3 + v3 a33

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣a11 u1 a13a21 u2 a23a31 u3 a33

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣a11 v1 a13a21 v2 a23a31 v3 a33

∣∣∣∣∣∣



Un teorema importante

Teorema

Si aij , 1 ≤ i ≤ 2, 1 ≤ j ≤ 3, son numeros reales; y α y β son tambien numeros reales,∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23

αa11 + βa21 αa12 + βa22 αa13 + βa23

∣∣∣∣∣∣ = 0

Demostracion.

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23

αa11 + βa21 αa12 + βa22 αa13 + βa23

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23αa11 αa12 αa13

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23βa21 βa22 βa23

∣∣∣∣∣∣= 0

Con toda generalidad...

Desde luego, este teorema es parte de un hecho mucho mas general:

Si un renglon de una matriz cuadrada es combinacion lineal de los restantesrenglones, entonces el determinante de la matriz es cero

La prueba no tiene diferencias significativas con lo que hicimos aquı.



Un teorema importante

Corolario

Si A = (aij)3×3 es una matriz y α y β son numeros reales,∣∣∣∣∣∣a11 a12 αa11 + βa12a21 a22 αa21 + βa22a31 a32 αa31 + βa32

∣∣∣∣∣∣ = 0

Dejamos al estudiante la prueba, que ya deberıa ser practicamente un ejercicio mental.

Con toda generalidad...

Igualmente podemos enunciar con toda generalidad:

Si una columna de una matriz cuadrada es combinacion lineal de las restantescolumnas, entonces el determinante de la matriz es cero

La prueba no deberıa ser ningun reto para ningun estudiante.



La importante (y tediosa) propiedad del determinante de un producto

Teorema


|AB| = |A||B|.

El estudiante puede comprobar que intentar una prueba directa es ya muy muy tedioso yaburrido.

Posponemos la prueba hasta completar algunos otros aspectos y entonces la haremos muyfacilmente

Corolario


|AB| = |BA|.

Se advierte, como antes, que este corolario no dice que se cumpla la igualdad

AB = BA.



Sistemas de ecuaciones lineales de 3 × 3

Sea un sistema de tres ecuaciones con tres incognitas

(∗)

a11x+ a12y+a13z= b1

a21x+ a22y+a23z= b2

a31x+ a32y+a33z= b3

La forma matricial de este sistema esa11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

xyz

=

b1b2b3

Si definimos las matrices

A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

, x =

xyz

, b =

b1b2b3

Entonces podemos escribir en corto

Ax = b.

La matriz A es llamada matriz de coeficientes de (∗).

De otra manera...

Realizando calculos directos, se puede comprobar facilmente

Ax = b ⇔ xTAT = bT.



La Regla de Cramer


Un sistema de 3× 3

(I)

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

xyz

=

b1b2b3

tiene solucion unica si y solo si ∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ 6= 0.

En cuyo caso, la solucion esta dada por

x =

∣∣∣∣∣∣b1 a12 a13b2 a22 a23b3 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣, y =

∣∣∣∣∣∣a11 b1 a13a21 b2 a23a31 b3 a33

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣, z =

∣∣∣∣∣∣a11 a12 b1a21 a22 b2a31 a32 b3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣.



Ejemplo: A veces hay caminos mas cortos

Sea el sistema

(I)

3x+ 2y + z = 2 (1)

−2x+ y − 7z = 0 (2)

3x− y + 8z = 2 (3)

Restamos la equacion (1) de la equacion (3)para obtener

−3y + 7z = 0,

de donde

z =3

7y.

Sustituyendo este valor en (2)

−2x+ y − 3y = 0,

esto es,

x = −y

Sustituimos estos valores de x y z en (1),

−3y+2y+3

7y = 2⇔ −

4

7y = 2⇔ y = −

7

2.

Por lo tanto

z = −3

2y x =

7

2.

El sistema tiene solucion unica(72,−

7

2,−

3

2

).



Ejemplo: La regla de Cramer tiene sus lımites

Sea el sistema

(I)

3x+ 6y − 6z = 9 (1)

2x− 5y + 4z = 6 (2)

5x+ 28y − 26z = −8 (3)

De acuerdo a la formula de Sarrus, el determinante de la matriz de coeficientes de este sistemaes

3 6 − 6

2 − 5 4

5 28 −26

3 6 − 6

2 − 5 4

+

+

+

−

−

−= +3(−5)(−26) + 2(28)(−6) + 5(6)(4)

− (−6)(−5)(5)− (4)(28)(3)− (−26)(6)(2)

= 390− 336 + 120

− 150− 336 + 312 = 0

Por lo tanto, el sistema (I) no tiene solucion unica. Pero ¿que significa que un sistemano tenga solucion unica? Desde luego, no significa necesariamente que el sistema no tengasolucion.



Ejemplo: La regla de Cramer tiene sus lımites

Sea el sistema

(I)

3x+ 6y − 6z = 9 (1)

2x− 5y + 4z = 6 (2)

5x+ 28y − 26z = −8 (3)

Veamos: Dividimos la ecuacion (1) entre 3y dividimos la ecuacion (2) entre 2, paraobtener el sistema equivalente

(I′)

x+ 2y − 2z = 3 (1′)

x− 52y + 2z = 3 (2′)

5x+ 28y − 26z = −8 (3′)

Sumamos las ecuaciones (1′) y (2′) paraobtener

2x−1

2y = 6,

de donde

x = 3 +1

4y.

Sustituyendo en (1′) resulta

9

4y − 2z = 0.

Esto es

z =9

8y.

Por lo tanto, todas las soluciones del sistema(I′), y en consecuencia, del sistema (I), sonde la forma(

3 +1

4y, y,

9

8y), y ∈ R.



Ejemplo. Moraleja: Busca siempre el camino mas corto

Sea el sistema

(I)

−9x+ 9y − 7z = 6 (1)

−7x − z = −10 (2)

9x+ 6y + 8z = 45 (3)

Sumamos las ecuaciones (1) y (3) para obtener

15y + z = 51,

de dondez = 51− 15y.

Sustituimos este valor de z en la ecuacion (2),

−7x− 51 + 15y = −10,

de donde

x =41− 15y

7.

De manera que las soluciones del sistema (I) son de la forma(417−

15

7y, y, 51− 15y

), y ∈ R.



Eejemplo: Las formulas siempre son efectivas

Sea el sistema

(I)

−x + 2z = 6

−3x+ 4y + 6z = 30

−x− 2y + 3z = 8

Lo complejo aquı es hacer el calculo de los determinantes, sobre todo porque aun no conocemosotro metodo que no sea el claculo directo (y la Regla de Sarrus).

Para no hacer mas tediosa esta exposicion vamos a obviar los calculos, los cuales puedecomprobar el estudiante facilmente.

Por la Regla de Cramer

x =

∣∣∣∣∣∣6 0 2

30 4 68 −2 3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 2−3 4 6−1 −2 3

∣∣∣∣∣∣= −

10

11, y =

∣∣∣∣∣∣1 6 2−3 30 6−1 8 3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 2−3 4 6−1 −2 3

∣∣∣∣∣∣=

18

11, z =

∣∣∣∣∣∣1 0 6−3 4 30−1 −2 8

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 2−3 4 6−1 −2 3

∣∣∣∣∣∣=

38

11.



Demostracion del “regreso” de la Regla de Cramer

Sea A = (aij)3×3 la matriz de coeficientes del sistema, y sean las matrices A1, A2 y A3

formadas a partir de A, pero reemplazando las columnas de los coeficientes de las variablesx, y y z, respectivamente, por el vector columna (b1, b2, b3). Esto es,

A1 =

b1 a12 a13b2 a22 a23b3 a32 a33

, A2 =

a11 a12 b1a21 a22 b2a31 a32 b3

, A3 =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

Hagamos primero el siguiente analisis:

Supongamos que el vector (x, y, z) es una solucion del sistema. Se cumplen ası las igualdades,

a11x+ a12y + a13z = b1

a21x+ a22y + a23z = b2

a31x+ a32y + a33z = b3

o equivalentemente

a11x = b1 − a12y − a13za12x = b2 − a22y − a23za13x = b3 − a32y − a33z



Demostracion del “regreso” de la Regla de Cramer

Tenemos entonces,∣∣∣∣∣∣b1 a12 a13b2 a22 a23b3 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣b1 a12 a13b2 a22 a23b3 a32 a33

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣−a12y − a13z a12 a13−a22y − a23z a22 a23−a32y − a33z a32 a33

∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣b1 − a12y − a13z a12 a13b2 − a22y − a23z a22 a23b3 − a32y − a33z a32 a33

∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣a11x a12 a13a12x a22 a23a13x a32 a33

∣∣∣∣∣∣= x

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a12 a22 a23a13 a32 a33

∣∣∣∣∣∣Del mismo modo podemos deducir las igualdades∣∣∣∣∣∣a11 b1 a13a21 b2 a23a31 b3 a33

∣∣∣∣∣∣ = y

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ y

∣∣∣∣∣∣a11 a12 b1a21 a22 b2a31 a32 b3

∣∣∣∣∣∣ = z

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣Araceli Guzman y Guillermo Garro doyouwantmektalwar.wordpress.com Facultad de Ciencias UNAM


Demostracion del “regreso” de la Regla de Cramer (continuacion)

Es decir, cualquier solucion (x, y, z) del sistema, si existe, cumple con las igualdades

|A1| = x|A|, |A2| = y|A| |A3| = z|A|.

Por lo tanto, si suponemos que |A| 6= 0, se tiene que si (x, y, z) es solucion del sistema,entonces

x =|A1||A|

, y =|A2||A|

z =|A3||A|

. (2)

Esto es, si el sistema tiene solucion y |A| 6= 0, la solucion es unica y esta dada por las formulas(2).

Observe que no hemos probado que el sistema tiene solucion. Para llegar a tal cosa, restacomprobar que las igualdades (2) son efectivamente solucion del sistema

a11x+ a12y+a13z= b1

a21x+ a22y+a23z= b2

a31x+ a32y+a33z= b3

o equivalentemente

|A|a11x+ |A|a12y+|A|a13z= |A|b1|A|a21x+ |A|a22y+|A|a23z= |A|b2|A|a31x+ |A|a32y+|A|a33z= |A|b3




Sean pues x =|A1||A|

, y =|A2||A|

y z =|A3||A|

. Tenemos,

a11|A|x+ a12|A|y + a13|A|z = a11|A1|+ a12|A2|+ a13|A3|

= a11

∣∣∣∣∣∣b1 a12 a13b2 a22 a23b3 a32 a33

∣∣∣∣∣∣+ a12

∣∣∣∣∣∣a11 b1 a13a21 b2 a23a31 b3 a33

∣∣∣∣∣∣+ a13

∣∣∣∣∣∣a11 a12 b1a21 a22 b2a31 a32 b3

∣∣∣∣∣∣= a11

∣∣∣∣∣∣b1 a12 a13b2 a22 a23b3 a32 a33

∣∣∣∣∣∣− a12∣∣∣∣∣∣b1 a11 a13b2 a21 a23b3 a31 a33

∣∣∣∣∣∣+ a13

∣∣∣∣∣∣b1 a11 a12b2 a21 a22b3 a31 a33

∣∣∣∣∣∣= a11

(b1

∣∣∣∣a22 a23a32 a33

∣∣∣∣− b2 ∣∣∣∣a12 a13a32 a33

∣∣∣∣+ b3

∣∣∣∣a12 a13a22 a23

∣∣∣∣)

− a12(b1

∣∣∣∣a21 a33a31 a33

∣∣∣∣− b2 ∣∣∣∣a11 a13a31 a33

∣∣∣∣+ b3

∣∣∣∣a11 a13a21 a23

∣∣∣∣)

+ a13

(b1

∣∣∣∣a21 a22a31 a32

∣∣∣∣− b2 ∣∣∣∣a11 a12a31 a32

∣∣∣∣+ b3

∣∣∣∣a11 a12a21 a22

∣∣∣∣)





, y =|A2||A|

y z =|A3||A|

. Tenemos,

a11|A|x+ a12|A|y + a13|A|z = a11

(b1

∣∣∣∣a22 a23a32 a33

∣∣∣∣− b2 ∣∣∣∣a12 a13a32 a33

∣∣∣∣+ b3

∣∣∣∣a12 a13a22 a23

∣∣∣∣)

− a12(b1

∣∣∣∣a21 a33a31 a33

∣∣∣∣− b2 ∣∣∣∣a11 a13a31 a33

∣∣∣∣+ b3

∣∣∣∣a11 a13a21 a23

∣∣∣∣)

+ a13

(b1

∣∣∣∣a21 a22a31 a32

∣∣∣∣− b2 ∣∣∣∣a11 a12a31 a32

∣∣∣∣+ b3

∣∣∣∣a11 a12a21 a22

∣∣∣∣)

= b1

(a11

∣∣∣∣a22 a23a32 a33

∣∣∣∣− a12 ∣∣∣∣a21 a33a31 a33

∣∣∣∣+ a13

∣∣∣∣a21 a22a31 a32

∣∣∣∣)

− b2(a11

∣∣∣∣a12 a13a32 a33

∣∣∣∣− a12 ∣∣∣∣a11 a13a31 a33

∣∣∣∣+ a13

∣∣∣∣a11 a12a31 a32

∣∣∣∣)

+ b3

(a11

∣∣∣∣a12 a13a22 a23

∣∣∣∣− a12 ∣∣∣∣a11 a12a21 a23

∣∣∣∣+ a13

∣∣∣∣a11 a12a21 a22

∣∣∣∣)





, y =|A2||A|

y z =|A3||A|

. Tenemos,

a11|A|x+ a12|A|y+a13|A|z = b1

(a11

∣∣∣∣a22 a23a32 a33

∣∣∣∣− a12 ∣∣∣∣a21 a33a31 a33

∣∣∣∣+ a13

∣∣∣∣a21 a22a31 a32

∣∣∣∣)

− b2(a11

∣∣∣∣a12 a13a32 a33

∣∣∣∣− a12 ∣∣∣∣a11 a13a31 a33

∣∣∣∣+ a13

∣∣∣∣a11 a12a31 a32

∣∣∣∣)

+ b3

(a11

∣∣∣∣a12 a13a22 a23

∣∣∣∣− a12 ∣∣∣∣a11 a12a21 a23

∣∣∣∣+ a13

∣∣∣∣a11 a12a21 a22

∣∣∣∣)

= b1

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣− b2∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a11 a12 a13a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣+ b3

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a11 a12 a13a21 a22 a23

∣∣∣∣∣∣= b1|A|.

De la misma manera se puede verificar las igualdades

a21|A|x+ a22|A|y + a23|A|z = b2|A|a31|A|x+ a32|A|y + a33|A|z = b3|A|

Con ello terminamos la prueba del “regreso” de la Regla de Cramer.Araceli Guzman y Guillermo Garro doyouwantmektalwar.wordpress.com Facultad de Ciencias UNAM


Matrices invertibles de 3 × 3

Decimos que una matriz A = (aij)3×3 es invertible si existe una matriz B = (bij)3×3 tal que

AB = I3 = BA,

donde

I3 =

1 0 00 1 00 0 1

es la matriz identidad de tamano 3.

Decimos que B es la inversa de A y usamos la notacion B = A−1 (esta notacion estarajustificada cuando probemos uncidad).

Teorema


AI3 = I3A = A.

La prueba es exactamente igual a caso n = 2 y se deja al estudiante.



Matrices inversas

Teorema

Si A = (aij)3×3 es una matriz invetible, solo hay una unica inversa de A.

Demostracion.

Sean B y B′ matrices inversas de A. Tenemos

B = BI2 = B(AB′) = (BA)B′ = I2B′ = B′.

Teorema

I3 es invertible y I−13 = I3.

Teorema

|I3| = 1

Nuevamente, dejamos estas pruebas al estudiante.



La matriz de cofactores de una matriz de 3 × 3

Sea la matriz de 3× 3

A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

Definimos las submatrices

C11 =

(a22 a23a32 a33

)C12 =

(a21 a23a31 a33

)C13 =

(a21 a22a31 a32

)

C21 =

(a12 a13a32 a33

)C22 =

(a11 a13a31 a33

)C23 =

(a11 a12a31 a32

)

C31 =

(a12 a13a22 a23

)C32 =

(a11 a13a21 a23

)C33 =

(a11 a12a21 a22

)Esto es, cada matriz Cij se obtiene de eliminar el renglon i y la columna j de A.

Definimos la matriz de cofactores de A como la matriz

C =

|C11| −|C12| |C13|−|C21| |C22| −|C23||C31| −|C32| |C33|



La matriz adjunta (clasica) de una matriz de 3 × 3


A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33


C11 =

(a22 a23a32 a33

)C12 =

(a21 a23a31 a33

)C13 =

(a21 a22a31 a32

)

C21 =

(a12 a13a32 a33

)C22 =

(a11 a13a31 a33

)C23 =

(a11 a12a31 a32

)

C31 =

(a12 a13a22 a23

)C32 =

(a11 a13a21 a23

)C33 =

(a11 a12a21 a22

)Esto es, cada matriz Cij se obtiene de eliminar el renglon i y la columna j de A.

Definimos la matriz adjunta (clasica) de A como la matriz

adj(A) = CT =

|C11| −|C21| |C31|−|C12| |C22| −|C32||C13| −|C23| |C33|

Explıcitamente...

adj(A) =

∣∣∣∣a22 a23a32 a33

∣∣∣∣ −∣∣∣∣a12 a13a32 a33

∣∣∣∣ ∣∣∣∣a12 a13a22 a23

∣∣∣∣−∣∣∣∣a21 a23a31 a33

∣∣∣∣ ∣∣∣∣a11 a13a31 a33

∣∣∣∣ −∣∣∣∣a11 a13a21 a23

∣∣∣∣∣∣∣∣a21 a22a31 a32

∣∣∣∣ −∣∣∣∣a11 a12a31 a32

∣∣∣∣ ∣∣∣∣a11 a12a21 a22

∣∣∣∣



Matrices invertibles de 3 × 3

Teorema : Matrices Invertibles

Una matriz

A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

es invertible si y solo si

|A| 6= 0.

En cuyo caso,

A−1 =1

|A|adj(A). (3)

Este resultado esta ıntimamente ligado a la Regla de Cramer. De hecho son resultados equi-valentes, como el estudante puede darse cuenta.

Vamos a dar primero una prueba del “regreso”, la cual depende solo del “regreso” de la Reglade Cramer, que ya probamos con todo detalle. La “ida” depende del teorema que dice queel determinante de un producto es el producto de los determinantes, por lo que se hara sinproblemas.



Demostracion del “regreso” del teorema de Matrices Invertibles

Supongamos que |A| 6= 0. Entonces, por la Regla de Cramer (solo el “regreso”) los siguientessistemas de ecuaciones tienen solucion unica:a11 a12 a13

a21 a22 a23a31 a32 a33

xyz

=

100

,

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

xyz

=

010

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

xyz

=

001

Sean (x1, y1, z1), (x2, y2, z2) y (x3, y3, z3) las respectivas soluciones. Y sea la matriz

B =

x1 x2 x3y1 y2 y3z1 z2 z3

El estudiante puede comprobar facilmente que

AB = I3 = BA.

Esto es B = A−1.




Para demostrar la formula A−1 = 1|A|adj(A), nuevamente ocupamos las formulas de la Regla

de Cramer para las soluciones de los sistemas antes descritos:

A−1 =

x1 x2 x3y1 y2 y3z1 z2 z3

=

∣∣∣∣∣∣∣∣1 a12 a130 a22 a230 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣∣|A|

∣∣∣∣∣∣∣∣0 a12 a131 a22 a230 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣∣|A|

∣∣∣∣∣∣∣∣0 a12 a130 a22 a231 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣∣|A|∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 1 a13a21 0 a23a31 0 a33

∣∣∣∣∣∣∣∣|A|

∣∣∣∣∣∣∣∣a11 0 a13a21 1 a23a31 0 a33

∣∣∣∣∣∣∣∣|A|

∣∣∣∣∣∣∣∣a11 0 a13a21 0 a23a31 1 a33

∣∣∣∣∣∣∣∣|A|∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 1a21 a22 0a31 a32 0

∣∣∣∣∣∣∣∣|A|

∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 0a21 a22 1a31 a32 0

∣∣∣∣∣∣∣∣|A|

∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 0a21 a22 0a31 a32 1

∣∣∣∣∣∣∣∣|A|




El termino 1|A| multiplica a todas las entradas de la matriz A−1, ası que podemos “sacarlo”

de la matriz:

A−1 =

x1 x2 x3y1 y2 y3z1 z2 z3

=1

|A|

∣∣∣∣∣∣1 a12 a130 a22 a230 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣0 a12 a131 a22 a230 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣0 a12 a130 a22 a231 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 1 a13a21 0 a23a31 0 a33

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 0 a13a21 1 a23a31 0 a33

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 0 a13a21 0 a23a31 1 a33

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 1a21 a22 0a31 a32 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 0a21 a22 1a31 a32 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 0a21 a22 0a31 a32 1

∣∣∣∣∣∣




Intercambiamos renglones y columnas de tal manera que en todos los determinantes quede 1en la esquina superior izquierda. Recordemos que realizar estas operaciones tiene como unicocoste el cambio de signo del determinante:

A−1 =

x1 x2 x3y1 y2 y3z1 z2 z3

=1

|A|

∣∣∣∣∣∣1 a12 a130 a22 a230 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ −

∣∣∣∣∣∣1 a22 a230 a12 a130 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 a32 a330 a12 a130 a22 a23

∣∣∣∣∣∣−

∣∣∣∣∣∣1 a11 a130 a21 a230 a31 a33

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 a21 a230 a11 a130 a31 a33

∣∣∣∣∣∣ −

∣∣∣∣∣∣1 a31 a330 a11 a130 a21 a23

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 a11 a120 a21 a220 a31 a32

∣∣∣∣∣∣ −

∣∣∣∣∣∣1 a21 a220 a11 a120 a31 a32

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 a31 a320 a11 a120 a21 a22

∣∣∣∣∣∣




Si calculamos los determinantes por columna, estos pueden reducirse a determinantes de 2×2:

B =

x1 x2 x3y1 y2 y3z1 z2 z3

=1

|A|

∣∣∣∣a22 a23a32 a33

∣∣∣∣ −∣∣∣∣a12 a13a32 a33

∣∣∣∣ ∣∣∣∣a12 a13a22 a23

∣∣∣∣−∣∣∣∣a21 a23a31 a33

∣∣∣∣ ∣∣∣∣a11 a13a31 a33

∣∣∣∣ −∣∣∣∣a11 a13a21 a23

∣∣∣∣∣∣∣∣a21 a22a31 a32

∣∣∣∣ −∣∣∣∣a11 a12a31 a32

∣∣∣∣ ∣∣∣∣a11 a12a21 a22

∣∣∣∣

=1

|A|adj(A).

Con lo que terminamos la prueba del “regreso” del teorema de Matrices Invertibles.



Demostracion de la “ida” del teorema de Matrices Invertibles

Esta parte es muy facil:

Suongamos que la matriz A = (aij)3×3 tiene inversa A−1. Entonces

AA−1 = I3.

De donde,|A||A−1| = |AA−1| = |I3| = 1.

En consecuencia,|A| 6= 0.



Ejemplo


A =

1 1 32 −2 10 1 0


C11 =

(−2 11 0

)C12 =

(2 10 0

)C13 =

(2 −20 1

)

C21 =

(1 31 0

)C22 =

(1 30 0

)C23 =

(1 10 1

)

C31 =

(1 3−2 1

)C32 =

(1 32 1

)C33 =

(1 12 −2

)Calculamos la matriz de cofactores de A,

C =

|C11| −|C12| |C13|−|C21| |C22| −|C23||C31| −|C32| |C33|

=

−1 0 23 0 −17 5 −4



Ejemplo


A =

1 1 32 −2 10 1 0

Calculamos la matriz adjunta de A,

adj(A) = CT =

−1 0 23 0 −17 5 −4

T

=

−1 3 70 0 52 −1 −4

Por otra parte, usando la regla de Sarrus,

|A| =

1 1 3

2 −2 1

0 1 0

1 1 3

2 −2 1

+

+

+

−

−

−= +0 + 6 + 0− 0− 1− 0 = 5.



Ejemplo


A =

1 1 32 −2 10 1 0


adj(A) = CT =

−1 0 23 0 −17 5 −4

T

=

−1 3 70 0 52 −1 −4


|A| =

∣∣∣∣∣∣1 1 32 −2 10 1 0

∣∣∣∣∣∣ = 5.

Por lo tanto,

A−1 =1

|A|adj(A) =

1

5

1 1 32 −2 10 1 0

=

15

15

35

25− 2

515

0 15

0



Matrices inversas y sistemas de ecuaciones lineales

Sea un sistema de 3× 3,

(1)

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

xyz

=

b1b2b3

.

O bien, si

A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

, x =

xyz

y b =

b1b2b3

,

entonces escribimos (1) como(2) Ax = b.

Si |A| 6= 0, entonces multiplicamos por la izquierda ambos miembros de la ecuacion (2) porla matriz inversa A−1 = 1

|A|adj(A), y obtenemos la solucion

A−1Ax = A−1b

I2x = A−1b

x = A−1b.

Encontrar matrices inversas y resolver sistemas de ecuaciones con igual numero de ecuacionese incognitas son calculos equivalentes.



Ejemplo

Sea el sistema de ecuaciones 2x+ 3y + z = 1

3x− 2y − 4z = −35x− y − z = 4

Hacemos las matrices

A =

2 3 13 −2 −45 −1 −1

, x =

xyz

, b =

1−34

Vamos a calcular la matriz A−1 con el metodo descrito antes para despues calcular las solu-ciones del sistema con la operacion

x = A−1b.



Ejemplo

A =

2 3 13 −2 −45 −1 −1


C11 =

(−2 −4−1 −1

)C12 =

(3 −45 −1

)C13 =

(3 −25 −1

)

C21 =

(3 1−1 −1

)C22 =

(2 15 −1

)C23 =

(2 35 −1

)

C31 =

(3 1−2 −4

)C32 =

(2 13 −4

)C33 =

(2 33 −2

)Calculamos la matriz de cofactores de A,

C =

|C11| −|C12| |C13|−|C21| |C22| −|C23||C31| −|C32| |C33|

=

−2 −17 72 −7 17

−10 11 −13



Ejemplo

A =

2 3 13 −2 −45 −1 −1


adj(A) = CT =

−2 −17 72 −7 17

−10 11 −13

T

=

−2 2 −10−17 −7 11

7 17 −13


|A| =

2 3 1

3 −2 −4

5 −1 −1

2 3 1

3 −2 −4

+

+

+

−

−

−= +4 + (−3) + (−60)− (−10)− 8− (−9) = −48.



Ejemplo

A =

2 3 13 −2 −45 −1 −1


adj(A) = CT =

−2 −17 72 −7 17

−10 11 −13

T

=

−2 2 −10−17 −7 11

7 17 −13


|A| =

∣∣∣∣∣∣2 3 13 −2 −45 −1 −1

∣∣∣∣∣∣ = −48.Por lo tanto,

A−1 =1

|A|adj(A) = −

1

48

−2 2 −10−17 −7 11

7 17 −13

=

124

− 124

524

1748

748

− 1148

− 748

− 1748

1348



Ejemplo

Sea el sistema de ecuaciones 2x+ 3y + z = 1

3x− 2y − 4z = −35x− y − z = 4

Hacemos las matrices

A =

2 3 13 −2 −45 −1 −1

, x =

xyz

, b =

1−34

Por lo tanto

x = A−1b

=

124

− 124

524

1748

748

− 1148

− 748

− 1748

1348

1−34

=

1−12



La geometrıa de los sistemas de ecuaciones de 3 × 3

La ecuacion general del plano en R3 es de la forma

Ax+By + Cz = D,

donde A, B y C son constantes no todas cero.

Por lo que dado un sistema de 3 ecuaciones con 3 incognitas

a11x+ a12y+a13z= b1

a21x+ a22y+a23z= b2

a31x+ a32y+a33z= b3

la interpretacion geometrica son tres planos en el espacio.

Se desprenden entonces los siguientes casos:

1. Los tres planos se intersecan en un solopunto. Por lo que existe una solucion unicapara el sistema





Ax+By + Cz = D,



a11x+ a12y+a13z= b1

a21x+ a22y+a23z= b2

a31x+ a32y+a33z= b3



2. Los tres planos se intersecan en la mismarecta, por lo que cada punto sobre la rectaes una solucion y el sistema tiene un numeroinfinito de soluciones.





Ax+By + Cz = D,



a11x+ a12y+a13z= b1

a21x+ a22y+a23z= b2

a31x+ a32y+a33z= b3



3. Dos de los planos coinciden e intersecana un tercer plano en la recta. Entonces cadapunto sobre la recta es una solucion y existeun numero infinito de soluciones.





Ax+By + Cz = D,



a11x+ a12y+a13z= b1

a21x+ a22y+a23z= b2

a31x+ a32y+a33z= b3



4. Al menos dos de los planos son paralelos ydistintos, por lo que ningun punto puede estaren ambos y no hay solucion.





Ax+By + Cz = D,



a11x+ a12y+a13z= b1

a21x+ a22y+a23z= b2

a31x+ a32y+a33z= b3



5. Dos de los planos coinciden en una rectaL. El tercer plano es paralelo a L (y no con-tiene a L), de manera que ningun punto deltercer plano se encuentra en los dos primeros.No existe una solucion.





Ax+By + Cz = D,



a11x+ a12y+a13z= b1

a21x+ a22y+a23z= b2

a31x+ a32y+a33z= b3



6. Los tres planos coinciden en uno solo. Hay una infinidad de soluciones.



Uso de Software: Octave

Sea el sistema 2x+ 3y + z = 1

3x− 2y − 4z = −35x− y − z = 4

Podemos ocupar cualquiera de las funciones de Octave que ya conocemos. Vamos a calcularel determinante de la matriz de coeficientes, la matriz adjunta y la matriz inversa, y desdeluego, las soluciones del sistema con un grafico.

> A=[2 3 1;3 -2 -4;5 -1 -1]

A =

2 3 1

3 -2 -4

5 -1 -1

> b=[1; -3;4]

b =

1

-3

4

> d=det(A)

d = -48.0000

> iA=inv(A)

iA =

0.041667 -0.041667 0.208333

0.354167 0.145833 -0.229167

-0.145833 -0.354167 0.270833

> adjA=d*iA

adjA =

-2.0000 2.0000 -10.0000

-17.0000 -7.0000 11.0000

7.0000 17.0000 -13.0000

> s=A\b

s =

1

-1

2



Uso de Software: Octave

Sea el sistema 2x+ 3y + z = 1

3x− 2y − 4z = −35x− y − z = 4

Para hacer el grafico continuamos con el codigo

> [x, y] = meshgrid ( -10:10);

> z1=1-2*x-3*y;

> z2=( -1/4)*( -3 -3*x+2*y);

> z3=-4+5*x-y;

> hold on;

> surf(x,y,z1,’edgecolor ’, ’none’,’FaceColor ’,’blue’)

> surf(x,y,z2,’edgecolor ’, ’none’,’FaceColor ’,’red’)

> surf(x,y,z3,’edgecolor ’, ’none’,’FaceColor ’,’green ’)

> xlabel(’x’), ylabel(’y’), zlabel(’z’)

> scatter3(s(1), s(2), s(3),10,’black ’,’filled ’)

x

y

-80

-60

-40

-20

z

0

20

40

60

-5

0

-10 105

0-5

-105

10

En esta liga pueden encontrar un muy completo y basico tutorial en lınea sobre Octave


http://www-h.eng.cam.ac.uk/help/programs/octave/tutorial/

sistemas de n ecuaciones con n incógnitas [6pt] matrices cuadradas … · 2017. 9. 28. ·...

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