Integracion de sistemas de ecuaciones

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Contenido

Integracion de sistemas de primer orden Modelos matematicos de sistemas Integracion de sistemas de ecuaciones lineales

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INTEGRACION DE SISTEMAS DE PRIMER ORDEN

3

Modelo de simulacion de un sistema continuo de primer orden

8

0 0,dx

f x u b u a xdt

El diagrama de simulacion representa la dinamica del sistema continuo como una conexion de bloques algebraicos e integradores

Aproximacion discreta del modelo del sistema continuo de primer orden

9

La ecuacion de diferencias del integrador discreto depende del integrador seleccionado para aproximar el integrador continuo

Aproximacion discreta del modelo del sistema continuo de primer orden

10

Integrator de Euler explicito

Aproximacion discreta del modelo del sistema continuo de primer orden

11

Integrator de Euler implicito

Aproximacion discreta del modelo del sistema continuo de primer orden

12

Integrator Trapezoidal

MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS

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Modelos matematicos de sistemas

Algunas veces los modelos matematicos tienen la forma

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),,,,(

),,,,(

),,,,(

21

2122

2111

nnn

n

n

yyytfdt

dy

yyytfdt

dy

yyytfdt

dy

1 1

2 2

(0)

(0)

(0)n n

y b

y b

y b

Modelos matematicos de sistemas

Otras veces los modelos matematicos tienen la forma

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1

1 11( )

n n

n nn n

d y d y dya a a y u t

dt dt dt

nn

n

bdt

ydb

dt

dyby

)0( ..., ,)0( ,)0(1

1

21

Modelos matematicos de sistemas Sin embargo, siempre es posible convertir un sistema

de orden n en n ecuaciones de primer orden

191

1

2

2

3

2

1

n

n

n dt

ydy

dt

ydy

dt

dyy

yy

12

23

1

1

nn

nn n

dyy

dtdy

ydt

dyy

dtdy

a y a y u tdt

Ejemplo de un sistema de segundo orden Sistema de segundo orden original

Sistema de primer orden equivalente

20

0)0(,1)0(,02

2

dt

dyyy

dt

yd

0)0(,

1)0(,

vydt

dv

yvdt

dy

Ejercicio

Convertir el modelo de segundo orden

a un sistema de ecuaciones de primer orden

21

3 6 1

(0) 1; (0) 4

x x x

x x

EJEMPLOS EN MATLAB

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Ejemplo 1

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones desde t = 0 hasta t = 1 con un paso de integracion de 0.5

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60y

40y

y30y104dt

dy

y50dt

dy

2

1

212

11

)(

)(

..

.

Funcion del integrador por el metodo de Euler

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Solucion del sistema de ecuaciones

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function f = example(t,y)% dy1/dt = f1 = -0.5 y1% dy2/dt = f2 = 4 - 0.1*y1 - 0.3*y2% let y(1) = y1, y(2) = y2% tspan = [0 1]% initial conditions y0 = [4, 6]f1 = -0.5*y(1);f2 = 4 - 0.1*y(1) - 0.3*y(2);f = [f1, f2]';

>> [t,y]=Euler_sys('example5',[0 1],[4 6],0.5);

>> [t,y]=Euler_sys('example5',[0 1],[4 6],0.2);

(h = 0.5)

(h = 0.2)

Ejemplo 2: Caso no lineal

Resolver la ecuacion del pendulo dado por el siguiente sistema de ecuaciones en t = [0, 15]

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122

22

21

2

1

2

2

yy30ydt

dy30

dt

yd

dt

dy

ydt

dy

dt

dy

dt

dyy

yy let

ydt

dy30

dt

yd

sin.sin.

sin.

Ejemplo 2: El pendulo

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function f = pendulum(t,y)% nonlinear pendulum d^2y/dt^2 + 0.3dy/dt = -sin(y)% convert to two first-order ODEs% dy1/dt = f1 = y2% dy2/dt = f2 = -0.1*y2 - sin(y1)% let y(1) = y1, y(2) = y2% tspan = [0 15]% initial conditions y0 = [pi/2, 0]f1 = y(2);f2 = -0.3*y(2) - sin(y(1));f = [f1, f2]';

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» [t,y1]=Euler_sys('pendulum',[0 15],[pi/2 0],15/100);» [t,y2]=Euler_sys('pendulum',[0 15],[pi/2 0],15/200);» [t,y3]=Euler_sys('pendulum',[0 15],[pi/2 0],15/500);» [t,y4]=Euler_sys('pendulum',[0 15],[pi/2 0],15/1000);» H=plot(t1,y1(:,1),t2,y2(:,1),t3,y3(:,1),t4,y4(:,1))

n = 100n = 200n = 500n = 1000

Nonlinear Pendulum

Ejercicio: Paracaidista

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Segunda ley de NewtonF = ma = Fdown - Fup

= mg - cdv2 (gravedad menos resistencia del aire)

Paracaidista: un sistema de segundo orden Velocidad y posicion de la caida de un paracaidista

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00v0x

vm

cg

dt

dv

vdt

dx

2d

)()(

tm

gc

c

mtx

tm

gc

c

gmtv

d

d

d

d

coshln)(

tanh)(

Solucion exacta

Ejercicio: Paracaidista

1. Hallar la solucion aproximada

2. Comparar la solucion verdadera con la aproximada

3. Implementar un modelo en simulink del sistema.

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INTEGRACION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

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Ecuaciones de estado de sistemas lineales Problema: Dadas las ecuaciones de estado

lineales

Encontrar el modelo de simulacion aproximado

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Modelo aproximado: Euler explicito

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Modelo aproximado: Euler implicito

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Mas calculo que en el caso explicito porque es necesario invertir la matriz (I – TA)

Modelo aproximado: Trapezoidal

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Mas calculo que en el caso Euler implicito

Ejercicios

Estudiar del documento de Klee

Ejercicio 3.5.3

Ejercicio 3.6.1

Caso de estudio – Ascenso vertical de un buzo

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Fuentes Lewis Andrew, A Mathematical Introduction to Feedback

Control. Queen’s University. Kingston, Canada. Abril, 2003. Tsakalis Kostas, System properties, A Collection of Class

Notes. http://www.eas.asu.edu/~tsakalis. December, 2003 Roberts Clive, Fundamentals of Signals and Systems.

University of Birmingham. 2003. Olver Peter J. and Shakiban Chehrzad, Applied Mathematics.

School of Mathematics, University of Minnesota and Department of Mathematics, University of St. Thomas. 1999.

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